一元函数微分学测验答案
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷2(题后含答案及解析)全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题) 数学部分单项选择题1．设函数f(x)＝x.tanx.esinx，则f(x)是( )．A．偶函数B．无界函数C．周期函数D．单调函数正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学2．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB＝0的充分必要条件是A＝0或B＝0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0或B≠0C．AB＝0且r(A)＝n，则B＝0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学3．设cosx-1=xsina(x),其中｜a(x)｜＜π/2,则当x→0时，a(x)是A．比x高阶的无穷小B．比x低阶的无穷小C．比x同阶但不等价的无穷小D．与x等价的无穷小正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学4．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且曰可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的充分条件是( )．A．f(a)＝0且fˊ(a)＝0B．f(a)＝0且fˊ(a)≠0C．f(a)＞0且fˊ(a)＞0D．f(a)＜0且fˊ(a)＜0正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学6．设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．A．λE-A＝λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量C．A与B都相似于一个对角矩阵D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学7．向量组α1，α2，…,αm线性无关的充分必要条件是( )．A．向量组α1，α2，…,αm，β线性无关B．存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0C．向量组α1，α2，…,αm的维数大于其个数D．向量组α1，α2，…,αm的任意一个部分向量组线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜＝0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．任一列向量是其余列向量的线性组合D．必有一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学9．设n阶方程A＝(α1，α2，…,αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…γn)，记向量组(I)：1，α2，…,αn，(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(I)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(I)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(I)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学10．设函数f(x)在(-∞，+∞)内有定义，x0≠0是函数f(x)的极大值点，则( )．A．x0必是函数f(x)的驻点B．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的最小值点C．对一切x0都有f(x)≤f(x0)D．﹣x0必是函数﹣f(﹣x)的极小值点正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学11．函数y＝C1ex＋C2e﹣2x＋xex满足的一个微分方程是( )．A．y〞-yˊ-2y＝3xexB．y〞-yˊ-2y＝3exC．y〞＋yˊ-2y＝3exD．y〞＋yˊ-2y＝3xex正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学12．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0仅有零解的充分条件是( )．A．A的列向量线性相关B．A的行向量线性相关C．A的行向量线性无关D．A的列向量线性无关正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学13．设A为n阶实矩阵，AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX＝0和(Ⅱ)ATAx＝0必有( )．A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解B．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解D．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学14．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A．4/3B．3/4C．1/2D．1/4正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学15．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A．P-1α．B．PT α．C．Pα．D．(P-1 )Tα．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学填空题16．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为__________.正确答案：2/x 涉及知识点：一元函数微分学17．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=________.正确答案：1/x 涉及知识点：一元函数微分学18．微分方程y”-2y’+2y=ex的通解为________.正确答案：ex(C1cosx+C2sinx+1) 涉及知识点：一元函数微分学19．若x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．正确答案：-4 涉及知识点：一元函数微分学20．已知fˊ(lnx)＝1＋x，则f(x)＝_________．正确答案：x+ex+C 涉及知识点：一元函数微分学21．若四阶矩阵A与B为相似矩阵，A的特征值为1／2、1／3、1／4、1／5，则行列式｜B-1-E｜＝_______．正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学22．设A，B为3阶矩阵，且｜A ｜=3，｜B ｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1 ｜=_____________.正确答案：3 涉及知识点：一元函数微分学23．设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．正确答案：-27 涉及知识点：一元函数微分学24．若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=正确答案：n-m 涉及知识点：一元函数微分学25．设A，B均为n阶矩阵，｜A ｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．正确答案：-22n-1/3 涉及知识点：一元函数微分学26．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E ｜=_________.正确答案：24 涉及知识点：一元函数微分学解答题27．求微分方程y”-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．正确答案：齐次方程y”-2y’=0的特征方程为λ2-2λ=0．由此求得特征根λ1=0，λ2=2.对应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x．设非齐次方程的特解为y”=Axe2x，则(y*)’=(A+2Ax)e2x，(y*)”=4A(1+x)e2x代入原方程，可得A=1/2，从涉及知识点：一元函数微分学28．求：微分方程y〞＋y＝-2x的通解．正确答案：方程y〞＋y＝-2x对应的齐次方程的特征方程为λ2＋1＝0，特征根为λ1，2＝±i，故对应的齐次方程通解为C1cosx＋C2sinx．因为a＝0不是特征根，因此原方程的特解可设为y*＝Ax＋B，代入原方程得A＝-2，B＝0．所以原方程的通解为y＝C1cosx＋C22sinx-2x．涉及知识点：一元函数微分学。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数f(x)在x=0，则（分数：2.00）A.f(0)=0且f －' (0)存在B.f(0)=1且f －' (0)存在C.f(0)=0且f ＋' (0)存在√D.f(0)=1且f ＋' (0)存在解析：解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有＋' (0)，故选C．2.设f(x)=e 2 + ，则f '（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：f ' (x)=(e 2 ) '3.设函数f(x)=xsinx，则f '（分数：2.00）B.1 √D.2π解析：解析：因为f ' (x)=sinx+xcosx，所以．4.函数x=0处 ( )（分数：2.00）A.连续且可导B.连续且不可导√C.不连续D.不仅可导，导数也连续解析：解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；所以函数在x=0处不可导．5.设y=x 2 +2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：y=x 2 +2x一1(x＞0)，y ' =2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y ' (1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ'，故选A．6.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，则在点x=0处f(x) ( )（分数：2.00）A.不可导B.可导且f(0)≠0C.取得极大值D.取得极小值√解析：解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=00，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．7.函数y=e x +arctanx在区间[一1，1]上 ( )（分数：2.00）A.单调减少B.单调增加√C.无最大值D.无最小值解析：解析：因y ' =e x0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．8.设函数f(x)满足关系式f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x，且f ' (0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点√D.f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点解析：解析：由f ' (0)=0及f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x知f '' (0)=0且f '' (x)=x一[f ' (x)] 2，又x，f' (x)可导，所以f '' (x)可导，于是f ''' (x)=1—2f ' (x)f '' (x)，f ''' (0)=1＞0，而f '''，故f '' (x)在x=0左、右两侧异号，故选C．9.设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf ' (x)一f(x)＜0，则(0，a)内是 ( )（分数：2.00）A.单调减少√B.单调增加C.有增有减D.不增不减(0，a)内单调减少．10.点(0，1)是曲线y=ax 3 +bx 2 +c的拐点，则有 ( )（分数：2.00）A.a=1，b=一3，c=1B.a≠0，b=0，c=1 √C.a=1，b=0，c为任意D.a、b为任意，c=1解析：解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y ' =3ax 2 +2bx ，y '' =6ax+2b ，(0，1)为拐点，所以y ''(0)=0，得a≠0，b=0，故选B ．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设f '(x)=g(x)，则2x)]= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：g(sin 2x)sin2x ）解析：解析：2 x)]=f ' (sin 2 x)．(sin 2 x) ' =2sinxcosxf ' (sin 2 x)=sin2xg(sin 2x)．12.设y=(3x+1) 27，则y (27)= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3 27．27！）解析：解析：对于形如y=(ax+b) n的函数，其k 阶导为y (k)k (ax+b) n －k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y (27)=27！．3 27 ． 13.若f '(x 0 )=1，f(x 0 )=0，则= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）解析：解析：－f '(x 0 )=－1．14.函数F(x)=∫ 1 x(2－＞0)的单调递减区间是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0＜x ＜[*]）解析：解析：由F(x)=∫ 1 x(2一 )dt(x ＞0)，则F '(x)=2一． 令F '(x)=0，得时，F '(x)＜0，F(x)单调递减．15.设点(x 0 ，f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点，且f ''(x 0 )≠0，则f ''(x 0 )必定 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不存在） 解析：解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.当h→0，f(x 0 +3h)一f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，求f '(x 0 )． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为h→0，f(x 0 +3h)－f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，即 所以，3f '(x)+2=0，即f '(x 0．)解析：17.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x 一a[一1)]=x +2a ．)解析：18.设f(x)在x=1处有连续导数，且f ' (1)=2，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.设y=y(x)由所确定，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：，由隐函数求导)解析：20.计算lnl．01的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f '(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f ' (1)．0．01=0+1．0．01=0．01．)解析：给定曲线 4.00）(1).求曲线在横坐标为x 0的点处的切线方程；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由y ' = 可知曲线y= 在横坐标为x 0的点处的切线方程为) 解析：(2).求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由切线方程y一(x—x 0 )分别令y=0，x=0可求得该切线在x轴，y轴上的截距分别为设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L 2=X 2＋Y 2= ．令=0，得驻点x 0 = ．由此可知，L 2在x 0 = 处取得极小值，即最小值，)解析：21.设f(x)在[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+f ' (ξ)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因[e x f(x)] ' =e x f(x)+e x f ' (x)=e x [f(x)+f ' (x)]，故设F(x)=e x f(x)，显然F(x)在[a，b]上连续且可导，F(a)=F(b)=0．由罗尔定理，至少存在ξ∈(a，b)，使F ' (ξ)=0．即e ξ [F(ξ)+f ' (ξ)]=0，e ξ＞0，则f(ξ)+f ' (ξ)=0．)解析：22.设f(x)在[0，c]上有定义，f ' (x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：在[0，a]上用拉格朗日中值定理得 f(a)一f(0)=f ' (ξ)(a一0)，(0＜ξ＜a) 即有f(a)=af '(ξ)，(0＜ξ＜a) 再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得f(b+a)=f(b)+f '(η)a，(b＜η＜a+b) 因为f '(x)单调减少，且ξ＜a≤b＜η，则有f '(ξ)＞f '(η)，而a≥0，故af '(ξ)≥af ' (η)，于是f(a+b)≤f(b)+af ' (ξ)=f(b)+f(a)．)解析：23.证明：当0＜x sinx+tanx＞2x．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设f(x)=sinx+tanx一2x，f ' (x)=cosx+sec 2 x一2， f '' (x)=一sinx+2sec 2xtanx=sinx(2sec 3 x一1)＞0，x∈(0，)，因此f ' (x)单调增加，故f ' (x)＞f ' (0)=0，因此f(x)单调增加，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x,x∈(0，)．)解析：24.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，，证明至少存在一个ξ∈(0，1)，使f ' (ξ)=1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令F(x)=f(x)一x，则有F(0)=f(0)一0=0，F(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[ ，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈( ，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η(0，1)，使F ' (ξ)=0，f ' (ξ)=1．)解析：25.设一物体下端为直圆柱，上端为半球形，如果此物体的体积为V，问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设底面半径为r，圆柱高为h，则V=πr 2h+ πr 3，S=3πr 2+2πrh，经验证其为极小值点，在此问题中也为最小值点，r代入h中解得h= ，所以底面半径和直圆柱的高均为时，S有最小值．)解析：。
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分：94.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：4，分数：8.00)1.已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。
∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：2.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D （分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。
选项A中，[*]，原等式成立。
选项B中，[*]，原等式成立。
选项C中，[*]，原等式不成立。
选项D中，[*]，原等式成立。
3.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]。
4.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．必存在 D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：8，分数：24.00)5.(2，3)处的切线方程是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]，1）解析：7.f'(0)=______。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*] 依题意，有[*]，于是有[*]。
8.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：[解析] y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，k=y'|x=0=-e0=-1。
一元函数微分学练习题（答案）
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim 222-=-+=-+→x x x2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e xcos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x f n6、y xy x= 求dy7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf 15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dx yd20、()xx y cos sin =，求dx dy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
考研数学二(一元函数微分学)-试卷3
考研数学二（一元函数微分学）-试卷3(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫ a b |x一t|ψ(t)dt的图形 ( )（分数：2.00）A.在(a，b)内为凸B.在(a，b)内为凹√C.在(a，b)内有拐点D.在(a，b)内有间断点解析：解析：先将φ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有φ(x)=∫ a x (x一t)ψ(t)dt+∫ x b (t一x)ψ(t)dt=s∫ a xψ(t)dt一∫ a x tψ(t)dt+∫ x b tψ(t)dt—x∫ x bψ(t)dt．因为ψ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．为讨论其余三个选项，只需求出φ"(x)，讨论φ"(x)在(a，b)内的符号即可．因φ"(x)=∫ a xψ(t)dt一∫ x bψ(t)dt，φ"(x)=2ψ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=φ(x)的图形为凹．直选(B)．x f(t)dt，则 ( )-1（分数：2.00）A.F(x)为f(x)的一个原函数B.F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函数C.F(x)在(一∞，+∞)上不连续D.F(x)在(一∞，+∞)上连续，但不是f(x)的原函数√解析：解析：请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得F" +(0)≠F" -(0)．根据原函数定义，F(x)不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函数．请考生看看，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于f(x)有第一类间断点，所以F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D)．(一∞，+∞)内，下列正确的是 ( )（分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为f(x)的原函数√B.f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C.f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且F’(x)=f(x)解析：解析：可以验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为：故x=0为f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数．故F(x)可微．即F"(x)=f(x)，故(A)正确．5.设F(x)=∫ x x+2π e sint sintdt，则F(x) ( )（分数：2.00）A.为正常数√B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：因e sinx sin x是以2π为周期的周期函数，所以 e sinx cos 2x≥0，故选(A)．6.设f(x)是以l为周期的周期函数，则∫ a+kl a+(k+l)l f(x)dx之值 ( )（分数：2.00）A.仅与a有关B.仅与a无关C.与a及k都无关√D.与a及k都有关解析：解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以∫ a+kl a+(k+1)l f(x)dx=∫ kl(k+1)l f(x)dx=∫ 0l f(x)dx，故此积分与a及k都无关．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.∫ 0+∞ xe -x dx= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原积分=一∫ 0+∞ xde -x =xe -x | 0+∞+∫ 0+∞ e -x dx=∫ 0+∞ e -x dx=一e -x | 0+∞ =1．8.设f(x)连续，则0x [sin 2∫ 0t f(u)du]dt)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：sin 2∫ 0x f(u)du）解析：解析：∫ 0x [sin 2∫ 0t f(u)du]dt是形如∫ 0xφ(t)dt形式的变上限积分，由9.设两曲线y=f(x)与y=∫ 0arctanx在点(0，0)处有相同的切线，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由已知条件知f(0)=0，f"(0)==1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：显然积分难以积出．考虑积分中值定理，其中ξx介于a，a+a之间．所以11.设f(x)，则f(7)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得f(x 3一1).3x 2 =1，f(x 3一1)= 令x=2，即得12.设01 f(x)dx= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令3x+1=t，所以13.设-∞a te t dt，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： e a =(a一1)e a，a=2．14.设f(x)的一个原函数，则∫ 1e xf’(x)dx= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：∫ 1e xf’(x)dx=∫ 1e xdf(x)=[xf(x)]| 1e一∫ 1e f(x)dx．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln 3）三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分第二章习题参考答案
,
y
3 2(1)3 (t 2)4
3 2(1)3 (t 1)4
,
y(n)
n!(1)n (t 2)n1
n!(1)n (t 1)n1
n!(1)n ( (t
1 2)n1
(t
1 1)n1
).
四.求下列函数所指定阶的导娄数.
1. y sh , y(100) . y sh ch , y 2ch sh , y 3sh ch , y(4) 4ch sh,
五.(1)
1 dy dx d arctan y dx 1 y2 dy,
x0
x0
x
x
2时,f ( x)在x 0处连续.
六.
设f
(
x
)存在,
求下列函数y的二阶时数
d2y dx 2
.
(1) y f (e x ).
y e x f (e x ),
y e x f (e x ) e2x f (e x ),
(2) f ( x) 0, y ln f ( x).
y f ( x) . f (x)
2.当 1时,函数在x 0处可导,
当 1时,函数在x 0处不可导.
三.解. f (1) f (1 0) 1, f (1 0) a b,
b 1 a;
又
f(1)
lim
x10
x2 1 x1
2,
f
(1)
lim
x 1 0
(ax b) x1
1
(ax 1 a) 1
lim
a,
2. tan t ;
3. 2 ln(1 x) dx; 1 x
4. 8tan(1 2 x2 )sec2(1 2 x2 ) xdx;
(t )(1 t ) (t )
2成考高数之一元函数微分复习题与解析
方舟数学
）
A.单调增加
B.单调减少
C.先单调增加，后单调减少
D.先单调减少，后单调增加
14.设函数()在区间[, ]连续,在(, )可导，′() > 0.若() ∙ () < 0,则
y = ()在(, )（
A.不存在零点
）
B.存在唯一零点
15.( 2) =（
.
解析：考查导数的几何意义：y′ = 1 − sin ,切线斜率 = y ′ |=0 = 1
8. 曲线y = + 2 在点(0,1)处的切线方程为
.
解析：考查导数的几何意义：先求出y ′ = + 2
即切线斜率 = y ′ |=0 = 0 + 0 = 1
y − 1 = 1 ∙ ( − 0)得：y = + 1
10.设函数() = ln(3)，则′(2) =（
A.6
）
1
B. ln 6
1
C.2
D. 6
1
1
解析：′() = ，所以 = 2代入′()得′(2) = 2，答案为 C
11.设函数() = ln ，则′′() =（
1
1
A.
）
1
B. 2
2
C.− 2
1
D.−
14.设函数()在区间[, ]连续,在(, )可导，′() > 0.若() ∙ () < 0,则
y = ()在(, )（
A.不存在零点
）
B.存在唯一零点
C.存在极大值点
D.存在极小值点
解析：考查零点定理：′() > 0单调递增，() ∙ () < 0所以连续函数y = ()
一元函数微分学练习题(答案)
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nnm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
一元函数微分学练习题(答案)
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nnm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
《一元函数微积分》习题解答第一章
《一元函数微积分》 习题1—11．确定下列函数的定义域： （1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x .所以函数定义域：),3()3,(+∞⋃--∞.（2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1]. （3）2111x x y --+=； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].（4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞⋃. （5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-=； 解：0412112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。
所以函数定义域：)2,1[- （6）xy πsin 1=.解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,.2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x xy 的定义域和值域,并求⎪⎭⎫⎝⎛π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞. 当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f .3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么? (1) 2)(,)(x x g x x f ==;解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数.(2) 2sin 21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R ,值域为[-1,1],且)(cos 2sin21)(2x f x xx g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g xxx f ==. 解: 相同因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==x x x g x xxx f 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin2)()(x x x x f x x f ∆+∆=-∆+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin 2sin )sin()()(xx x x x x x f x x f ∆+∆=-∆+=-∆+.5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f 由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f 所以有:82=a 且3=+b a 得:1,4-==b a .6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) )1(22x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞)()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数是偶函数. (2)323x x y -=; 解: 定义域:),(+∞-∞32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数既非奇函数又非偶函数.(3)2211x x y +-=;解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数. (4))1)(1(+-=x x x y 解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-.所以函数是奇函数. (5)1cos sin +-=x x y ; 解: 定义域:),(+∞-∞1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以函数既非奇函数又非偶函数.(6)2xx a a y -+=.解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=--所以函数是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数.证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞ (1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-⇒-+= ,. 故)(1x F 是偶函数. (2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-⇒--= ,.故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数. 且 )(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L .)(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->- ，)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴即 )()(21x f x f ->- )()(21x f x f < 所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) )2cos(-=x y ;解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T . (2) x y 4cos =; 解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=;解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T . (4) x x y cos =; 解: 非周期函数 (5) x y 2sin =; 解: )](2cos 1[21)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T . (6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π32和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域. (1) 3x y =,t x sin =;解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞. (2) ua y =,2x u =;解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞. (3) u y a log =,232+=x u ;解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =; 解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u .解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞⋃--∞.12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的?(1) 321)1(++=x y ;解: 3u y =,1)1(2++=x u . (2) 2)1(ln 3+=x y ;解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .(3) )13(sin 3+=x y ;解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32cos log x y a =.解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.13. 求下列函数的反函数: (1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin yx =. 得反函数: 2arcsinx y =. (2) )2(log 1++=x y a ;解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y a x .得反函数: 21-=-x ay反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-.(3) 122+=x xy .解: 121112112122+-=+-+=+=xx x x x y 由于112>+x, 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x-=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2反函数的定义域: )1,0(, 值域: ),(+∞-∞.14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元; 当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元; 当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=;当5020≤<x 时, 43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时, 192)50(2)2050(3.2205.2+=-+-⨯+⨯=x x y ; 当100>x 时, 398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x xy 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p 为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式. 解: 供应函数p p S Q 480)(+-==则总利润120864)480)(5.1()5.1(2+-=+--=-=p p p p Q p L .16. 用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当1000>Q 时 1000500007)(>-==p p D Q 则价格120<p . 达到损益平衡, 则 C pQ =即: )500007(25000202500020)500007(p Q p p -+=+=-039001652=+-p p得282.107165±=p又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-=圆柱的体积: 3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==. 定义域: )2,0(r18. 已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.(1) 写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系; (2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数. 由题知:⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系: 328.1+=x y (其中x 的度量单位是℃, y 的度量单位是F) (2) 函数图形(略)(3) 摄氏20℃时, y =1.8⨯20℃+32=68(F) 习题1－2 1．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散 2．（1）证明：0>∀ε，要使ε<=-+nn 1111，即ε1>n 。
高等数学一元函数微积分学题目与答案A
三、一元函数积分学练习题（A）一．选择题1. =+òdx x )1(cos （）Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41（）CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（）A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导，且恒有()f x ¢=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ¢=（）A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ò--10)2)(1(dx x x x ；.B ò--20)2)(1(dx x x x ；.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115（ ） 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢，()231p=F ，则()=x F （ ） A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +； （4）2xe dx -= 2()xd e-；（5）219dx x=+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ； （7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -； （8）dx x= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -； （10）21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ò13x d x ò（2）10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò，则(1)f ¢= 9. 当x = 时，函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ，()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(，则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三．计算题三．计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算（1）1x x e dx e +ò （2）12x e dx x ò（3）ln dx x x ò（4）211x dx x --ò （5）3431xdx x -ò（6）12dx x -ò（7）223xdx x-ò（8）3xa dx ò（9）sin tdt tò （10）2cos ()x dx w j +ò（11）2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò（12）22(arcsin )1dx x x-ò（13）3tan secx xdxò（14）sec(sec tan)x x x dx-ò（15）11cos2dxx+ò（16）2(4)x x dx-ò（17）32(32)x dx-ò（18）221dxx x-ò（19）1231dxx-+ò（20）sinx xdxò（21）xxe dx-ò（22）arcsin xdxò（23）2tte dt -ò（24）2arcsin 1xdx x-ò（25）sin cos xxe dx ò（26）1cos sin x dx x x++ò（27）dxx 43-ò （28）dx x 122-ò（29）dx xxe e --ò （30）e32x dx +ò（31）()232xx dx+ò （32）1252+òx dx（33）sin5xdxò（34）cos25xdxò（35）()()244522x dxx x+++ò（36）x dxx23412-ò（37）sin cossin cosx xx xdx+-ò3（38）dxx x(arcsin)221-ò（39）dxx x222-+ò（40）sin cossinx xxdx14+ò（41）2x xe dxò（42）23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算（1）1e xx dx-ò（2）e1lnx xdxò（3）41ln xdxxò（4）324sinxdxxppò（5）220e cosxxdxpò（6）221logx xdxò（7）π2(sin)x x dxò（8）e1sin(ln)x dxò（9）121ln(1)x x dx-++ò（10）41xdxò（11）dx xx x )1(241+ò（12）dx xxò+1241 （13）dx x ò+2241 （14）dx x x ò40tansec p（15）xdxò242cotpp（16）ò--112d x x x（17）dx ò2121)-(3x 1 （18）dx ò+3ln 0x xe 1 e（19）dxx xò-123 （20）ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算（1）2048dx x x +¥++ò（2）21arctan xdx x +¥ò（3）101(1)dx x x -ò（4）1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：（1）ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x（2）ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x（3）dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1(（4）ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四．综合题四．综合题 1.求导数求导数（1）201xdt dt dx +ò （2）5ln 2xtdt e dt dx -ò（3）cos 2cos()xd t dt dx p ò （4）sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ； (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò；(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴；轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴；轴；(4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．轴．(5). 32y x =，x=4 ,绕y 轴．轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò，求1()f x dx ò．8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值．的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1b af x dx =ò，求()baf a b x dx +-ò．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -，求此曲线方程．11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïí죣=其它,00,sin 21p x x xf ，求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ，求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ，求()f x . 三、一元函数积分学 练习题（ A ） 参考答案 一．选择题一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1- （8）31；（9）1-；（1010））1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）112300x dx x dx>òò；∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò（2）110(1)xe dx x dx >+òò；令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+，所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三．计算题三．计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò （2）11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò （3）ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò（6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò （7）22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò （8）33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò（9）sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò（1010））21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ （1111））221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++（1212））222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò（1313））32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò （1414））2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò（1515））221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò （1616））515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò（1717））33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò （1818）令）令sin ()22x t t p p=-<<，则cos dx tdt =，所以，所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò（1919）令）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++（2020））sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò（2121））xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò（2222））222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ （2323））2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò（2424））22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò（2525））sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò（2626））1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò（2727））dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。
考研数学一(一元函数微分学)-试卷2
考研数学一（一元函数微分学）-试卷2(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导且f"(x)＜0(x∈(0，1))，则( )（分数：2.00）A.当0＜x＜1时∫ 0x f(t)dt＞∫ 0x xf(t)dt √B.当0＜x＜时∫ 0x f(t)dt=∫ 0x xf(t)dtC.当0＜x＜1时∫ 0x f(t)dt＜∫ 0x xf(t)dt．D.以上结论均不正确．解析：解析：记F(x)=∫ 0x f(t)dt一∫ 01 xf(t)dt，F(x)在[0，1]连续，则F"(x)=f(x)一∫ 01 f()dt，且F"(x)=f"(x)＜0(x∈(0，1))，因此F"(x)在[0，1]上单调下降．又F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，则存在ξ∈(0，1)，故 F(x)＞0(x∈(0，1))，故选A．3.设y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是( ) ①x 0∈(a，b)，若f"(x 0)≠0，则△x→0时，与△x是同阶无穷小．②df(x)只与x∈(a，b)有关．③△y=f(x+△x)一f(x)，则dy≠△y．④△x→0时，dy一△y是△x的高阶无穷小．（分数：2.00）A.1．B.2．√C.3．D.4．解析：解析：逐一分析．①正确．因为所以△x→0是同阶无穷小．②错误．df(x)=f"(x)△x，df(x)与x∈(a，b)及△x有关．③错误．当y=f(x)为一次函数：f(x)=ax+b，则dy=a△x=△y．④正确．由可微概念，f(x+△x)一f(x)=f"(x)△x+o(△x)，(△x—0)，即△y—dy=o(△x)，(△x→0)．故选B．4.设f(x)一1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )（分数：2.00）A.2．B.一1．D.一2．√解析：解析：将题中极限条件两端同乘2f"(1)=一2，故选D．5.，则( )（分数：2.00）A.f(x)在x=x 0处必可导且f"(x 0 )=a．B.f(x)在x=x 0处连续，但未必可导．C.f(x)在x=x 0处有极限但未必连续．D.以上结论都不对．√解析：解析：本题需将f(x)在x=x 0处的左右导f" — (x 0 )，f" + (x 0 )与在x=x 0处的左右极限区分开．=a，但不能保证f(x)在x 0处可导，以及在x=x 0处连续和极限存在．所以f(x)在x=0处不连续，不可导．故选D．6.设y=f(x)是方程y"一2y"+4y=0的一个解，且f(x 0 )＞0，f"(x 0 )=0，则函数f(x)在点x 0处( ) （分数：2.00）A.取得极大值．√B.取得极小值．C.某邻域内单调增加．D.某邻域内单调减少．解析：解析：由f"(x 0)=0，知x=x 0是函数y=f(x)的驻点．将x=x 0代入方程，得y"(x 0)一2y"(x 0)+4y(x 0 )=0．考虑到y"(x 0 )=f"(x 0 )=0，y"(x 0 )=f"(x 0 )，y(x 0 )=f(x 0 )＞0，因此有f"(x 0 )=一4f(x 0 )＜0，由极值的第二判定理知，f(x)在点x 0处取得极大值，故选A．δ为大于零的常数，又g" —(x 0)，h" +(x 0)均存在，则g(x 0)=h(x 0)，g" —(x 0)=h" + (x 0 )是f(x)在x 0可导的( )（分数：2.00）A.充分非必要条件．B.必要非充分条件．C.充分必要条件．√D.非充分非必要条件．解析：解析：充分性：设g(x 0 )=h(x 0 )，g" — (x 0 )=h" + (x 0 )，则f(x)可改写为所以f" — (x 0 )=g"(x 0 )，f" + (x 0 )=h" + (x 0 )，即f" — (x 0 )=f" + (x 0 )．必要性：由可导的充要条件得f(x)在x 0处可导．设f(x)在x 0处可导，则f(x)在x 0处连续，所以=f(x 0 )．又g" — (x 0 )与h" + (x 0 )存在，则g(x)，h(x)在x 0分别左右连续，所以由此有 f" + (x 0 )=h" + (x 0 )，f" —(x 0 )=g" — (x 0 )，所以h" + (x 0 )=g" — (x 0 )，故选C．8.设f(x)可导，且f"(x 0f(x)在x 0点处的微分dy是( )（分数：2.00）A.与△x等价的无穷小．B.与△x同阶的无穷小．√C.比△x低阶的无穷小．D.比△x高阶的无穷小．解析：解析：由f(x)在x 0点处可导及微分的定义可知时，dy与△x是同阶的无穷小，故选B．9.设f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且f"(a)=0．B.f(a)=0，且f"(a)≠0．√C.f(a)＞0，且f"(a)＞0．D.f(a)＜0，且f"(a)＜0．解析：解析：若f(a)≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D．(当f(x)在x=a可导，且f(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a点可导．) 当f(a)=0时，上两式分别是｜f(x)｜在x=a点的左右导数，因此，当f(a)=0时，｜f(x)｜在a=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f"(a)≠0时，故选B．10.设函数f(x)与g(x)在区间(一∞，+∞)上均可导，且f(x)＜g(x)，则必有( )（分数：2.00）A.f(一x)＞g(一x)．B.f"(x)＜g"(x)．√D.∫ 0x f(t)dt＜∫ 0x g(t)dt解析：解析：取f(x)=1，g(x)=2，显然满足题设条件，而由此例可立即排除选项A、B，且对于选项D，因∫ 0x f(t)dt=∫ 0x 1).dt=x，∫ 0x g(t)dt=∫ 0x 2.dt=2x，当x＜0时，选项D显然不正确，故选C．11.设函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当f(a)f(b)＜0，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．B.对任何ξ∈(a，b)一f(ξ)]=0 √C.当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．D.存在ξ∈(a，b)，使f(b)一f(a)=f"(ξ)(b一a)．解析：解析：因只知f(x)在闭区间[a，b]上有定义，而A、C、D三项均要求f(x)在[a，b]上连续．故选项A、C、D均不一定正确，故选B．12.设f(x)=｜(x一1)(x一2) 2 (x一3) 3，则导数f"(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0．B.1．√C.2．D.3．解析：解析：设φ(x)=(x一1)(x一2) 2 (x一3) 3，则f(x)=｜φ(x)｜．使φ(x)=0的点x=1，x=2，x=3可能是f(x)的不可导点，还需考虑φ"(x)在这些点的值．φ"(x)=(x—2) 2 (x—3) 3 +2(x一1)(x一2)(x一3) 3 +3(x—1)(x一2) 2 (x一3) 3，显然，φ"(1)≠0，φ"(2)=0，φ"(3)=0，所以只有一个不可导点x=1．故选B．13.已知函数y=f(x)对一切的x满足xf"(x)+3x[f"(x)] 2 =1一e —x，若f"(x 0 )=0(x 0≠0)，则( ) （分数：2.00）A.f(x)是f(x)的极大值．B.f(x 0 )是f(x)的极小值．√C.(x 0，f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点．D.f(x 0 )不是f(x)的极值，(x 0，f(x 0 ))也不是曲线y=f(x)的拐点．解析：解析：由f"(x)=0知，x=x 0是y=f(x)的驻点．将x=x 0代入方程，得x 0 f"(x 0 )+3x 0 [f"(x 0 )]2＞0(分x0＞0与x 0＜0讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在x 0处取得极小值，故选B．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)。
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学[选择题]容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。
1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有( )(A) y d 是h 的同价无穷小量.(B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。
(C) y d 是比h 高阶的无穷小量.(D) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量.答D2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0<x 时，0)(,0)(<''>'x f x f ，则在),0(+∞内有（ ）（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
答C3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ）（A ）必要条件。
(B) 充分条件。
（C ）充要条件。
（D ）既非必要，又非充分条件。
答B4．设n 是曲线x x x y arctan 222-=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4答D5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ）（A ）间断点。
（B ）连续而不可导的点。
（C ）可导的点，且0)0(='f 。
（D ）可导的点，但0)0(≠'f 。
答C6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ）（A ）f （x ）可导，则f （x ）连续（B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续（C ）f （x ）连续，则f （x ）可导（D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导答A7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ）（A ）0x 点的切向量（B ）0x 点的法向量（C ）0x 点的切线的斜率（D ）0x 点的法线的斜率答C8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ）（A ）0x 点的自向量的增量（B ）0x 点的函数值的增量（C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限（D）没意义答C9．x(，其定义域是0f=)xx，其导数的定义域是（）≥（A）0x≥（B）0≠x（C）0x>（D）0x≤答C10．设函数)f在点(xx不可导，则（）（A）)(xf在点x没有切线（B）)(xf在点x有铅直切线（C）)f在点(xx有水平切线（D）有无切线不一定答D11．设'=''='''>()(),()f x f x f x00, 则( )000(A) x是'f x()的极大值点是f x()的极大值点(B) x是f x()的极小值点(C) x(D) (,())是f x()的拐点x f x00[D]12．（命题I）: 函数f在[a,b]上连续. （命题II）: 函数f在[a,b]上可积. 则命题II是命题I 的（ ）（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（答 B ）13．初等函数在其定义域内（ ）（A ）可积但不一定可微 （B ）可微但导函数不一定连续（C ）任意阶可微 （D ）A, B, C 均不正确 （答 A ）14． 命题I ）: 函数f 在[a,b]上可积. （命题II ）: 函数 |f| 在[a,b]上可积. 则命题I 是命 题II 的 （ ）（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（答 A ）15．设 )(x u e y = 。
考研数学三(一元函数微分学)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)的导数在x=a处连续，又则A．x=a是f(a)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点。
C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：取易验证此f(x)满足题目条件．但x=a是f(x)的极大值点而不是极小值点．则A不正确，又(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．则C也不正确．由于x=a是f(x)的极大值点，则D也不正确．所以应选B．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．B．对任何ξ∈(a，b)，有C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)．正确答案：B解析：由于f(x)在(a，b)内可导．ξ∈(a，b)，则f(x)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故知识模块：一元函数微分学3．设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数A．在x=0处左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：由于f(x)为奇函数，则f(0)=0，从而又在x=0处无定义，则x=0为g(x)的可去间断点．知识模块：一元函数微分学4．设f(x)=｜x(1一x)｜，则A．x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点．B．x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．C．x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．D．x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：C解析：由f(x)=｜x(1一x)｜知，f(0)=0，而当x＜0，或0＜x＜1时，f(x)＞0，由极值的定义知f(x)在x=0处取极小值．又则当x＜0时，f’’(x)=2＞0；当0＜x ＜1时，f’’(x)=一2＜0，则(0，0)是曲线y=f(x)的拐点，故应选C．知识模块：一元函数微分学5．设f’(x)在[a，b]上连续，且f’(a)＞0，f’(b)＜0，则下列结论中错误的是A．至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(a)．B．至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(b)．C．至少存在一点x0∈(a，b)，使得f’(x0)=0．D．至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0．正确答案：D解析：令f(x)=一x2+2，a=一1，b=1，显然f’(x)在[一1，1]上连续，f’(一1)＞0，f’(1)＜0，但在(一1，1)上不存在x0，使f(x0)=0，则D是错误的，故应选D．知识模块：一元函数微分学6．当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点．A．2B．4C．6D．8正确答案：B解析：f’(x)=6x2一18x+12=6(x2一3x+2)=6(x一1)(x一2)令f’(x)=0，得x1=1，x2=2；f(1)=5一a，f(2)=4一a当a=4时，f(1)一1＞0，f(2)=0．即x=2为f(x)的一个零点，由f’(x)=6(x一1)(x一2)知当一∞＜x＜1时，f’(x)＞0，f(x)严格单调增，而f(1)=1＞0，，则f(x)在(一∞，0)内有唯一零点．当1＜x＜2时，f’(x)＜0，f(x)单调减，又f(2)=0，则当1＜x＜2时，f(x)＞0，此区间内无零点．当x＞2时，f’(x)＞0，f(2)=0．则x＞2时f(x)＞0，即在此区间内f(x)无零点．故应选B．知识模块：一元函数微分学7．设f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是A．f(0)是极大值，是极小值．B．f(0)是极小值，是极大值．C．f(0)是极大值，也是极大值．D．f(0)是极小值，也是极小值．正确答案：B解析：f’(x)=sinx+xcosx—sinx=xcosx，f’’(x)=cosx—xsinx;f’(0)=0，f’’(0)=1＞0，则f(0)是极小值．故应选B．知识模块：一元函数微分学8．以下四个命题中，正确的是A．若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B．若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C．若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D．若f(x)在(0，1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．正确答案：C解析：(直接法)由于f’(x)在(0，1)内有界，则存在M＞0，使对任意x∈(0，1)，｜f’(x)｜≤M，对任意的x∈(0，1)，由拉格朗日中值定理知从而有则f(x)在(0，1)内有界．知识模块：一元函数微分学9．设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则A．0＜dy＜△yB．0＜△y＜dyC．△y＜dy＜0D．dy＜△y＜0正确答案：A解析：直接法由于dy=f’(x0)△x△y=f(x0+△x)一f(x0)=f’(ξ)△x(x0＜ξ＜x0+△x)由f’’(x)＞0，则f’(x)单调增，又△x＞0，且f’(x)＞0，则0＜dy＜△y故应选A．知识模块：一元函数微分学10．设函数f(x)在x=0处连续．且，则A．f(0)=0且f-’(0)存在B．f(0)=1且f-’(0)存在C．f(0)=0且f+’(0)存在D．f(0)=1且f+’(0)存在正确答案：C解析：直接法知识模块：一元函数微分学11．设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是A．若存在，则f(0)=0．B．存在，则f(0)=0．C．若存在，则f’(0)存在．D．若存在，则f’(0)存在．正确答案：D解析：由存在及f(x)在x=0处的连续性知，f(0)=0，从而有f’(0)，所以，命题A和C是正确的；由，则f(0)=0，所以，命题B也是正确的．事实上，命题D是错误的．例如，令f(x)=｜x｜，显然，但f(x)=｜x｜在x=0处不可导，即f’(0)不存在．故应选D．知识模块：一元函数微分学12．曲线渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：由于则x=0为原曲线的一条垂直渐近线．而，则y=0为原曲线的一条水平渐近线．则y=x为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以，本题应选D．知识模块：一元函数微分学13．设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是A．10B．20C．30D．40正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知P=40．故应选D．知识模块：一元函数微分学14．证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且则f+’(0)存在，且f+’(0)=A．2—69(10，4分)设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g’’(x)＜0．若g(x0)=a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是A．f’(a)＜0B．f’(a)＞0C．f’(a)＜0D．f’’(a)＞0正确答案：B解析：令φ(x)=f[g(x)]，则φ’(x)=f’[g(x)]g’(x)φ’(x0)=f’[g(x0)]g’(x0)=0φ’’(x)=f’’[g(z)]g’2(x)+f’[g(x)]g’’(x)φ’’(x0)=f[g(x)]g’’(x0)=f’(a)g’’(x0)若f’(a)＞0，则φ’’(x0)＜0，故φ(x)在x0处取极大值．知识模块：一元函数微分学填空题15．设其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____________．正确答案：λ＞2解析：当x≠0时,当x=0时,由上式可知，当λ＞1时，f’(0)存在，且f’(0)=0。
考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷39(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷39(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )．A．f(x)，g(x)在x0处都可导B．f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C．f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D．f(x)，g(x)在x0处都可能不可导正确答案：D解析：令f(x)=显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡-1在任何一点都可导，选(D)．知识模块：一元函数微分学2．f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处( )．A．可导B．不可导C．连续但不一定可导D．不连续正确答案：C解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选(C)．知识模块：一元函数微分学3．设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，则当x ＞0时有( )．A．f’’(x)＜0，f’(x)＜0B．f’’(x)＞0，f’(x)＞0C．f’’(x)＞0，f’(x)＜0D．f’’(x)＜0，f’(x)＞0正确答案：A解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f’(-x)=f’(x)，f’’(-x)=-f’’(x)，即f’(x)为偶函数，f’’(x)为奇函数，故由x＜0时有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，得当x＞0时有f’’(x)＜0，f’(x)＜0，选(A)．知识模块：一元函数微分学4．设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，则g’(4)等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因为g’(4)=，所以选(B)．知识模块：一元函数微分学5．设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’-(a)都存在，则( )．A．f(x)在x=a处不连续B．f(x)在x=a处连续C．f(x)在x=a处可导D．f(x)在x=a处连续可导正确答案：B解析：因为f’+(a)存在，所以=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f’-(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选(B)．知识模块：一元函数微分学6．下列命题成立的是( )．A．若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x-x0｜＜δ内连续B．若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x-x0｜＜δ内可导C．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且存在，则f(x)在x0处可导，且f’(x0)=D．若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且不存在，则f(x)在x0处不可导正确答案：C解析：设f(x)=显然f(x)在x=0处连续，对任意的x0≠0，因为不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x=0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；因为也存在，即f(x)在x0处可导且f’(x0)=，选(C)；令f(x)=不存在，(D)不对．知识模块：一元函数微分学填空题7．设f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f’’(0)=2且f’’(x)在x=0的邻域内连续，则=______正确答案：1解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，于是f’(0)=0，又因为f’’(x)在x=0的邻域内连续，所以f(x)=f(0)+f’(0)x++o(x2)=1+x2+o(x2)，于是知识模块：一元函数微分学8．设f(x)满足f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(-1，1)内f’(x)=｜x｜，则=_____正确答案：解析：因为在(-1，1)内f’(x)=｜x｜，所以在(-1，1)内f(x)=由f(0)=0得f(x)= 知识模块：一元函数微分学9．若f(x)=2nx(1-x)n，记Mn==________正确答案：解析：由f’(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0得x= 知识模块：一元函数微分学10．设f(x)在x=a的邻域内二阶可导且f’(a)≠0，则=_______正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学11．设=_____正确答案：0解析：当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1，得y=0．，方程Y+ey=ln(e+t2)两边对t求导数，得知识模块：一元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(一元函数微分学)模拟试卷11(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导且f’(x)＜0(x∈(0，1))，则( )A．当0＜x＜1时∫0xf(t)dt＞∫0xxf(t)dtB．当0＜x＜时∫0xf(t)dt=∫0xxf(t)dtC．当0＜x＜1时∫0xf(t)dt＜∫0xxf(t)dt．D．以上结论均不正确．正确答案：A解析：记F(x)=∫0xf(t)dt一∫01xf(t)dt，F(x)在[0，1]连续，则F’(x)=f(x)一∫01f( )dt，且F”(x)=f’(x)＜0(x∈(0，1))，因此F’(x)在[0，1]上单调下降．又F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，则存在ξ∈(0，1)，故F(x)＞0(x∈(0，1))，故选A．知识模块：一元函数微分学2．设y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是( )①x0∈(a，b)，若f’(x0)≠0，则△x→0时，与△x是同阶无穷小．②df(x)只与x∈(a，b)有关．③△y=f(x+△x)一f(x)，则dy≠△y．④△x→0时，dy一△y是△x的高阶无穷小．A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：B解析：逐一分析．①正确．因为所以△x→0时，与△x是同阶无穷小．②错误．df(x)=f’(x)△x，df(x)与x∈(a，b)及△x有关．③错误．当y=f(x)为一次函数：f(x)=ax+b，则dy=a△x=△y．④正确．由可微概念，f(x+△x)一f(x)=f’(x)△x+o(△x)，(△x—0)，即△y—dy=o(△x)，(△x→0)．故选B．知识模块：一元函数微分学3．设f(x)为可导函数，且满足条件=一1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．2．B．一1．C．．D．一2．正确答案：D解析：将题中极限条件两端同乘2，得由导数定义可知，f’(1)=一2，故选D．知识模块：一元函数微分学4．设=a，则( )A．f(x)在x=x0处必可导且f’(x0)=a．B．f(x)在x=x0处连续，但未必可导．C．f(x)在x=x0处有极限但未必连续．D．以上结论都不对．正确答案：D解析：本题需将f(x)在x=x0处的左右导f’—(x0)，f’+(x0)与在x=x0处的左右极限区分开．=a，但不能保证f(x)在x0处可导，以及在x=x0处连续和极限存在．所以f(x)在x=0处不连续，不可导．故选D．知识模块：一元函数微分学5．设y=f(x)是方程y”一2y’+4y=0的一个解，且f(x0)＞0，f’(x0)=0，则函数f(x)在点x0处( )A．取得极大值．B．取得极小值．C．某邻域内单调增加．D．某邻域内单调减少．正确答案：A解析：由f’(x0)=0，知x=x0是函数y=f(x)的驻点．将x=x0代入方程，得y”(x0)一2y’(x0)+4y(x0)=0．考虑到y’(x0)=f’(x0)=0，y”(x0)=f”(x0)，y(x0)=f(x0)＞0，因此有f”(x0)=一4f(x0)＜0，由极值的第二判定理知，f(x)在点x0处取得极大值，故选A．知识模块：一元函数微分学6．f(x)=δ为大于零的常数，又g’—(x0)，h’+(x0)均存在，则g(x0)=h(x0)，g’—(x0)=h’+(x0)是f(x)在x0可导的( )A．充分非必要条件．B．必要非充分条件．C．充分必要条件．D．非充分非必要条件．正确答案：C解析：充分性：设g(x0)=h(x0)，g’—(x0)=h’+(x0)，则f(x)可改写为所以f’—(x0)=g’(x0)，f’+(x0)=h’+(x0)，即f’—(x0)=f’+(x0)．必要性：由可导的充要条件得f(x)在x0处可导．设f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续，所以=f(x0)．又g’—(x0)与h’+(x0)存在，则g(x)，h(x)在x0分别左右连续，所以由此有f’+(x0)=h’+(x0)，f’—(x0)=g’—(x0)，所以h’+(x0)=g’—(x0)，故选C．知识模块：一元函数微分学7．设f(x)可导，且f’(x0)=，则当△x→0，f(x)在x0点处的微分dy是( ) A．与△x等价的无穷小．B．与△x同阶的无穷小．C．比△x低阶的无穷小．D．比△x高阶的无穷小．正确答案：B解析：由f(x)在x0点处可导及微分的定义可知即当△x→0时，dy与△x是同阶的无穷小，故选B．知识模块：一元函数微分学8．设f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分必要条件是( )A．f(a)=0，且f’(a)=0．B．f(a)=0，且f’(a)≠0．C．f(a)＞0，且f’(a)＞0．D．f(a)＜0，且f’(a)＜0．正确答案：B解析：若f(a)≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D．(当f(x)在x=a可导，且f(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a点可导．) 当f(a)=0时，上两式分别是｜f(x)｜在x=a点的左右导数，因此，当f(a)=0时，｜f(x)｜在a=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f’(a)≠0时，故选B．知识模块：一元函数微分学9．设函数f(x)与g(x)在区间(一∞，+∞)上均可导，且f(x)＜g(x)，则必有( ) A．f(一x)＞g(一x)．B．f’(x)＜g’(x)．C．．D．∫0xf(t)dt＜∫0xg(t)dt正确答案：C解析：取f(x)=1，g(x)=2，显然满足题设条件，而由此例可立即排除选项A、B，且对于选项D，因∫0xf(t)dt=∫0x1).dt=x，∫0xg(t)dt=∫0x2.dt=2x，当x＜0时，选项D显然不正确，故选C．知识模块：一元函数微分学10．设函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( ) A．当f(a)f(b)＜0，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．B．对任何ξ∈(a，b)，有[f(x)一f(ξ)]=0C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)．正确答案：B解析：因只知f(x)在闭区间[a，b]上有定义，而A、C、D三项均要求f(x)在[a，b]上连续．故选项A、C、D均不一定正确，故选B．知识模块：一元函数微分学11．设f(x)=｜(x一1)(x一2)2(x一3)3，则导数f’(x)不存在的点的个数是( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：B解析：设φ(x)=(x一1)(x一2)2(x一3)3，则f(x)=｜φ(x)｜．使φ(x)=0的点x=1，x=2，x=3可能是f(x)的不可导点，还需考虑φ’(x)在这些点的值．φ’(x)=(x—2)2(x—3)3+2(x一1)(x一2)(x一3)3+3(x—1)(x一2)2(x一3)3，显然，φ’(1)≠0，φ’(2)=0，φ’(3)=0，所以只有一个不可导点x=1．故选B．知识模块：一元函数微分学12．已知函数y=f(x)对一切的x满足xf”(x)+3x[f’(x)]2=1一e—x，若f’(x0)=0(x0≠0)，则( )A．f(x)是f(x)的极大值．B．f(x0)是f(x)的极小值．C．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．D．f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：由f’(x)=0知，x=x0是y=f(x)的驻点．将x=x0代入方程，得x0f”(x0)+3x0[f’(x0)]2=＞0(分x0＞0与x0＜0讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在x0处取得极小值，故选B．知识模块：一元函数微分学填空题13．=__________。
《高等数学(一元函数微分学)》例题解析【参考答案】
《高等数学（一元函数微分学）》例题解析【参考答案】1. ⑴连续； ⑵ dxx f x )1(1'2-； ⑶ 41π+； ⑷ 1>a ； ⑸ 2-e ； ⑹ ()t t t t sin cos -； ⑺()!1--n 。
2. ⑴ 解：因为0(0)=f ，2(0)='f所以202020tan cos -1lim (0))tan cos -1()cos -(0)](1-)cos -1([lim tan )cos -1(limx xf x x x f x f x x f x x x →→→'==1212=⋅= ⑵ dx xxexx x x ]11)2([21222+++++；⑶ ]ln cot -)ln 2-sin ln (1[)sin (ln x x x x xx x x ⋅； ⑷ 解：tt dt dx sin cos =，t e t e dt dy y ysin -1cos =，t e t e dt dx dt dy dx dy y y sin -1sin == ⑸ 解：方程1=-y xe y 两边同时对x 求导，得 0--=''y y e y x e y当0=x 时，1=y ，所以e y ='(0)；在方程0--=''y ye y x ey 两边继续对x 求导，得0)(-2-2=''+'''''y y y e y x e y x y e y ，所以22(0)e y =''⑹ 解：1-1-2-12312x x x x y =+-=，1n n(n))2-(!)1(-)2-1(+=x n x ，1n n(n))1-(!)1(-)1-1(+=x n x ， 所以])1(1-)2(1[!(-1)11n )(++=n n n x-x-n y。
3. 解：2112t dt dx ++=，2123-t tdt dy ++=，3223-3-22++==t t t dt dx dt dy dx dy ， 当3=x 时，0=t ，2=y ，故1-|3==x dxdy，因此曲线在3=x 处的切线方程为 )3--(2-x y =，即05=-+y x 。
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（A） 是 的极小值；（B） 是 的极大值；
（C） 在 内单调增加；（D） 在 内单调减少。答：（B）
4、 时， 是
（A）比 高阶的无穷小量（B）比 低阶的无穷小量
（C）与 同阶的无穷小量（D）无穷小量，但是其阶不能确定答：（D）
5、 存在的充要条件是
（A） （B） 在 点连续
五、证明题（16分）(1、2、两题可任选一题做)
1、
3、设 ，且 ，证明： , （7分）
证明 ：设 ，
由 存在得 在x=0处连续， ，（由 ）
从而得
从而 ，
，
得， 在 为单调增加函数，
所以 在 为单调增加函数，
即：
（或者 由中值定理 ， ）
证明：证法1
又 ，
由零点定理知，在 内至少存在一点 ，使得
即在 内至少存在一点 ，
（C） （D） 在 点可导答：（C）
三、求极限（每题8分，共16分）
1、
解、 =
= = =
２、
四、求解下列各题（每题7分，共28分）
1、设由方程组 确定了 是 的函数,求 。
1． ，对于 ，两边对 求导，
当 时，
把 ， 及 代入：
2、求曲线 的凹凸区间和拐点．
2．
…………2分
令 得 以及 不存在的点 …………3分
一元函数微分学自测题
一、填空题（每题3分,共15分）
1、 =0.
2、设 ，则 _____.
3、
4、设 ，其中 可微，则 = 。
5、设 ，且 ，则
二、单选题：（每题4分,共20分）
1、若当 时， 是 高阶无穷小，则
(A)０(B)１(C) (D) 答（A）
2、若 在 内处处可导，则
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） 答（D）
列表讨论如下:
不存在
不存在
无定义
无定义
曲线的凸区为： (或 )
曲线的凹区间为： （或 ）
曲线的拐点为：
解：
4、设函数 由方程 所确定,求函数的极值点,并求极值。
解．设方程确定的函数 可导，那么极值点一定在驻点获得
两边对 求导得：
令 ，代入原方程得
由 两边对 求导
把 ， ， 代入上式得
所以 为极小值点，极小值为