一个不等式链的应用
高中4个基本不等式链
高中4个基本不等式链在高中数学学习中，基本不等式链是重要的概念之一。
它们是一系列基本不等式的组合，可以帮助我们解决各种数学问题。
本文将介绍高中阶段常见的4个基本不等式链，并探讨其应用。
1. 一次不等式链一次不等式链是最基本的不等式链形式。
它由一次不等式构成，即形如ax+b>0的不等式，其中a和b为实数，且a不等于零。
该类不等式链在解决实数范围内的一元一次不等式问题时非常有用。
例如，对于不等式3x + 4 > 0，可以通过求解一次不等式链来确定不等式的解集。
2. 二次不等式链二次不等式链由二次不等式构成，即形如ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b和c为实数，且a不等于零。
二次不等式链常用于解决实数范围内的一元二次不等式问题。
通过分析二次函数的图像并结合一次不等式的解法，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 -4 < 0，可以通过解二次不等式链来求解。
3. 绝对值不等式链绝对值不等式链由绝对值不等式构成，即形如|ax + b| > c的不等式，其中a、b和c为实数，且a不等于零。
绝对值不等式链常用于解决实数范围内的一元绝对值不等式问题。
通过分析绝对值函数的性质及符号的变化情况，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式|2x - 3| < 5，可以通过解绝对值不等式链来求解。
4. 分式不等式链分式不等式链由分式不等式构成，即形如f(x) > 0或f(x) < 0的不等式，其中f(x)为一个分式函数。
分式不等式链常用于解决实数范围内的分式不等式问题。
通过分析分式函数的性质及分母和分子的正负情况，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式(x - 2)/(x + 1) > 0，可以通过解分式不等式链来求解。
综上所述，高中阶段的数学学习中，我们经常遇到不等式问题。
掌握基本不等式链的概念和应用方法，可以帮助我们解决各种不等式问题。
一次不等式链、二次不等式链、绝对值不等式链和分式不等式链是常见的不等式链形式，通过对不等式的拆解和分析，我们能够准确求解不等式的解集。
均值不等式链的灵活运用
A.2 B.2 2 C.4 D.2
解析:因 为 ∠APB =90°,所 以|PA|2 +
|PB|2=4。
由基本不等式可得
|PA|+|PB|
2
≤
2
|PA|2+|PB|2 2
=2。
故|PA|+|PB|≤2 2。应选 B。
例 8 设 区 域 G = {(x,y)|x2 +y2 -
4y+2≤0},P (x,y)是 区 域 G 内 的 任 意 一
(二 )积 与 平 方 和 的 关 系 链
2ab ;平方平均数——— a2+b2 。
a+b
2
思维提炼:每 一 个 链 条 都 暗 含 着 一 个 思
考方向,每 一 个 链 条 都 暗 含 着 做 题 时 的 一 个
思路和方法!
二、各链条间的灵活运用
(一 )积 与 和 的 关 系 链
例 1 已 知 正 数 x、y 满 足 2y +x +
2xy=8,求 x+2y 的最小值。 解析:由已知 条 件 分 解 得:(x+1)(2y+
1)=9,又 x+2y= (x+1)+ (2y+1)-2≥
2 (x+1)(2y+1)-2=4,当 且 仅 当 x+1 =2y+1 时 取 等 号 。
例 2 设 x >0,y >0,3x +y =5,则
13 x+1+y
都在 圆 上,所 以 AD、BC 必 为 圆 的 直 径,
∠ACD= ∠BAC=90°,四 边 形 ABDC 为 矩
形,AD =2,|AC|2 +|AB|2 =|AD|2 =4,
基本不等式链的几何意义
基本不等式链的几何意义一、引言在数学中，不等式是一种重要的数学关系，用来描述数值之间的大小关系。
而不等式链则是由多个不等式组成的关系链，是解决许多实际问题的重要工具。
本文将从几何的角度，探讨基本不等式链的几何意义。
二、基本不等式链的定义基本不等式链是由一系列基本不等式组成的关系链。
基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是实数。
基本不等式链的关系可以是大于等于（≥）或小于等于（≤），也可以是同时包含这两种关系。
三、基本不等式链的几何意义1. 基本不等式链与线段长短的关系基本不等式链可以用来描述线段的长短关系。
例如，如果有三条线段AB、AC和BC，根据三角不等式可以得到AB+AC≥BC。
这意味着如果AB和AC两条线段的长度之和大于BC的长度，那么这三条线段可以构成一个三角形；反之，如果AB和AC的长度之和小于或等于BC的长度，那么这三条线段无法构成一个三角形。
2. 基本不等式链与角度大小的关系基本不等式链也可以用来描述角度的大小关系。
例如，如果有两个角度∠ABC和∠DBC，根据正弦定理可以得到sin∠ABC/AB=sin∠DBC/DB。
这意味着如果sin∠ABC与sin∠DBC 之间的比值等于AB与DB之间的比值，那么∠ABC和∠DBC的大小关系相同；反之，如果这两个比值不相等，那么∠ABC和∠DBC 的大小关系不同。
3. 基本不等式链与图形的面积关系基本不等式链还可以用来描述图形的面积关系。
例如，如果有两个平行四边形ABCD和EFGH，根据平行四边形的性质可以得到面积ABCD≥面积EFGH。
这意味着如果平行四边形ABCD的面积大于或等于平行四边形EFGH的面积，那么ABCD的面积关系也大于或等于EFGH的面积关系。
四、基本不等式链的应用举例1. 三角形的判定基本不等式链在三角形的判定中起着重要的作用。
例如，如果有三条边a、b、c，根据三角形的三边关系可以得到a+b>c、a+c>b 和b+c>a。
基本不等式关系链
基本不等式关系链基本不等式是一种重要的数学概念，是数学分析、几何学和代数学中最基本的思想形式。
它具有重要的理论价值，并且在解决实际问题中也有重要的应用价值。
一、定义基本不等式是一种不等式关系，它表示两个数大小关系，形式为：若a≠b，则有a>b或a<b，可以简写为a≠b，即a与b之间有着不同的大小关系，此时a>b或者a<b。
二、两个变量间的不等式关系对于a≠b的情况，a、b可以是任意的两个变量，其可以包括实数、整数、复数和多项式等等，要满足一定的条件可以互换解之间的不等式关系，这需要假定a、b正规，即不存在重复定义、交叉定义，否则可能会形成歧义，严重影响求解的结果。
三、基本不等式的推广当不等式中包括多个变量时，它就可以扩展为不等式组，它是若干个有序且非等式的组合。
它包括等号、不等号组成的大于、小于和大于等于、小于等于这四种形式。
它是一个重要的数学概念，并且可以揭示数学上许多令人兴奋的问题，在解决实际问题中也有重要的应用价值。
四、应用基本不等式在实际问题中的具体应用有：（1）求解最优解：此时要求不等式和等式必须满足约束条件；（2）在数值分析方面具有重要作用：它利用基本不等式来进行精确求解复杂函数；（3）局部最优解：此时无约束条件。
此外，基本不等式还可以利用二分查找法，结合单调性原理来求解数值解；（4）在多项式函数的极值化问题中也有重要的作用：此时，只需要将不等式设置为约束条件，并找到相应的解，即可自然得到该函数的极值。
五、总结基本不等式是一种重要的数学概念，它的主要内容是：两个变量之间有着不同的大小关系，具体有：a>b或a<b。
不等式关系在求解实际问题中有重要的应用价值，它可以用来解决最优化问题、局部最优解以及多项式函数的极值化问题。
欧拉不等式的一个不等式链
“欧拉不等式”是一套描述两个无向图之间的性质的重要定理。
该不等式包含三个重要的变量: 图G中的顶点数 V，边数 E，边的穿过次数 F （即每条边被走过时计1，多次走过计多次）。
欧拉不等式可以表示为V+F=E+2，其中V，E，F分别为顶点数，边数和边的穿过次数。
欧拉不等式的一个不等式链就是V-E+F=2，也就是说顶点数减去边数再加上边穿过的次数等于2。
该不等式链意味着，任何图G都可以描述为V-E+F=2，这里V，E，F分别为顶点数，边数和边的穿过次数。
另一个这种不等式链是说如果一个图只有一条完美游走路（横跨每条边一次但走不穿一次），则V=E+2，即顶点数等于边数加2。
这个假设和欧拉不等式相关会导致一些有趣的正确结果。
最后，如果一个图的每条边的穿过次数都为1或0，则V-E+F=0。
这意味着，顶点数减去边数再加上边的穿过次数，结果都会是零。
以上就是欧拉不等式的一个不等式链的介绍，能很好的描述两个无向图之间的关系，也是数学中非常重要的定理。
它描述了一些图形学中很有用的性质，如最小环数、网络割点等，对图形学以及其他许多领域的研究有至关重要的意义。
对数不等式链
对数不等式链
数学在生活中的重要性不言而喻，常常需要依靠它来破解许多复杂的运算让事
情变的更加顺利。
而求解不等式也是数学的高级应用当中的技能。
针对数学不等式，特别是对数不等式求解，可以采用的技术有很多，其中最为常用的就是使用对数不等式链的技术。
对数不等式链技术是一种可以将复杂的不等式推导到其他有用的不等式上的技术，它是一种以不等式形式构建不等式链，每一步使用上一步的结论来构建一个新的结论。
例如，如果某个不等式的右端为正常，那么可以取对数，对两边取对数，再对新的不等式右边结果进行乘法，从而形成一个新的不等式链。
这样，可以边建链边发现普遍性和统一性，将一个复杂的不等式分解成较为简单的表达式，有效果地把不同类型的不等式转化为统一表达形式。
在数学学习中，使用对数不等式链来解决复杂的问题时，不熟练者可以采用一
种八步链法来解决，它首先要求列出原始的数学不等式，接着将被求解的不等式右端取对数，然后将步骤一的表达结果把右端的数作为系数，乘法运算；其次乘以已知的因子，然后把右端乘以减数；再将结果上的对数取反，同时在左端未知数将右端的对数的项乘以未知数；六是取反并把结果上的乘数转变成除数；七是得到新的不等式后将两边同时乘以减数；最后一步是输出结果，然后比较大小决定结论。
使用对数不等式链来求解复杂不等式，是一种比较简明易懂的数学技巧，可以
极大地提高数学思维能力，增强数学运算能力，尤其是求解不等式，使解题速度更快，更有效，让做题更容易、更有趣，更有信心，最终取得更好的成绩。
这是使用对数不等式链的一个重要的意义。
三角形内点到各边距离之积的一个不等式链
< 6/:FG(:FG&-所 以重 心 C到 三边 的距 离之 积
7 4C 5 <DE/6 :FG<&5 <<HE</.<1
引理 I 设 %&’(内 心 J到三 边的 距离
之积 为 4J-则 4J 5 .6
>6@
引理 K 设 %&’(垂 心 L 到三 边的 距离
之积 为 4L-则
7 4L 5 D/6 89:<& 5 <$ /;0<= ></? .@<A< >!@
因为 所以
4J 5 .6- 43 5 / !;0<= ></? .@<A4JV 43
W 0< S !/<? !/.? .<? !/.<1 由引 理 R知-需 证明
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R!U6
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成立 -等价 于
><X$E/<= $#XD/.? D$X<.<@>/= <.@V #
成立 -而对 于
<X$E/<= $#XD/.? D$X<.< V #恒有 判别 式 YZ #-
所以 所证 不等式 成立 1 >6@最后 证明 43 V 4L 成立 1
7 7 因 43 5 /6 89:&- 4L 5 D/6 89:<&-
所以 43 V 4L W
7 $
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V
89:&-
这显 然成 立1
高中数学：一个不等式链的应用
高中数学：一个不等式链的应用
已知a，b为正数，求证：，当且仅当a＝b时等号成立。
此不等式链含有6个不等式：
①
②
③
④
⑤
⑥
这些不等式就是同学们熟悉的均值不等式及其变化，但在解题中常常被忽视，若能灵活运用，则会给解题带来很多方便，现举例说明。
例1、某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价
q%，第二次提价p%；丙方案第一次提价，第二次再提价，其中。
则经过两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？
解析：设该商品原价为a，两次提价后的价格按甲、乙、丙三种方案的次序依次为，则：
∵，由不等式②得：
∴
故丙方案提价的幅度最大。
例2、已知a，b，c均为正数，求证：。
证明：由不等式③，得：
，。
上述不等式相加得，。
例3、甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。
如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）
A. 甲先到教室
B. 乙先到教室
C. 两人同时到教室
D. 不确定
解析：设从寝室到教室的路程是s，甲（乙）跑步和步行的速度分别为a，b，
甲、乙两人所用时间分别为，则：
，
由不等式④，得（a≠b），所以，故选B。
例4、求证：在直径为d的圆内接矩形中，面积最大的是正
方形，这个正方形的面积等于。
证明：设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则
由不等式⑥，得。
当且仅当时等号成立，故。
▍ ▍
▍。
不等式链的原理及应用
不等式链的原理及应用一、不等式链的定义不等式链是一种数学表示形式，它由多个不等式组成，这些不等式之间通过逻辑运算符连接，形成一个关联的不等式序列。
不等式链常用于解决复杂的实际问题，例如优化、最大化、最小化等。
二、不等式链的基本形式不等式链的基本形式如下：不等式1 运算符A 不等式2 运算符B ... 运算符N 不等式N+1其中，不等式1、不等式2、…、不等式N+1为不等式表达式，运算符A、运算符B、…、运算符N为逻辑运算符，常用的逻辑运算符有“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）等。
三、不等式链的性质与操作规则不等式链具有以下几个性质和操作规则：1.传递性：若不等式1<=不等式2且不等式2<=不等式3，则有不等式1<=不等式3。
2.复合性：若不等式1<=不等式2且不等式2<=不等式3，则有不等式1<=不等式3。
3.加减乘除规则：对于不等式链中的每个不等式，可以进行加减乘除等基本运算，且运算结果不等式的关系符号不变。
4.取等规则：对于不等式链中的每个不等式，若两侧的数值相等，则可以在不等式关系符号上加上“=”。
四、不等式链的应用不等式链在各个领域中具有广泛的应用，以下列举几个实际问题的解决方法：1.最优化问题：通过建立适当的不等式链，可以求解最大值或最小值。
例如，在生产过程中，我们希望通过调整原材料的使用量来使得生产成本最小化，这就是一个最小化问题，可以通过建立一系列的约束条件不等式来进行优化解决。
–不等式1：原材料A的用量≥100–不等式2：原材料B的用量≥200–不等式3：原材料A的用量+原材料B的用量≤5002.约束条件问题：在一些问题中，我们需要满足一定的约束条件，不等式链可以用来描述这些约束条件。
例如，在设计水池时，我们需要控制水位在某个安全范围内，可以通过建立以下不等式链来满足约束条件：–不等式1：水位≥最低安全水位–不等式2：水位≤最高安全水位3.概率问题：在概率论中，我们常常需要处理不等式链来求解概率。
基本不等式链公式
基本不等式链公式基本不等式链公式，这可是数学中的一个重要知识点。
咱先来说说什么是基本不等式链公式。
简单来讲，它就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们解决好多问题。
比如说，在比较两个数的大小、求最值的时候，它就派上大用场啦！给大家举个例子吧。
我曾经教过一个学生小明，这孩子其他科目都不错，可就是数学成绩总是上不去。
特别是遇到不等式相关的题目，那简直是一头雾水。
有一次做作业，有一道题是这样的：已知 a＞0，b＞0，且 a + b = 1，求 1/a + 1/b 的最小值。
小明拿到这道题，左思右想，写了擦擦了写，半天也没个思路。
我就给他讲，咱可以用基本不等式链公式呀！因为 a + b = 1，所以1/a + 1/b = (a + b)/a + (a + b)/b = 2 + b/a + a/b 。
然后根据基本不等式链公式，b/a + a/b ≥ 2 ，所以1/a + 1/b ≥ 4 ，当且仅当 a = b = 1/2 时，等号成立。
小明听完，恍然大悟，眼睛都亮了，直说：“原来这么简单，我怎么就没想到呢！”从那以后，小明对基本不等式链公式越来越熟悉，遇到类似的题目也不再害怕，数学成绩也慢慢提高了。
咱们再深入讲讲基本不等式链公式的一些特点和应用场景。
它其实包括了好几个常见的不等式，比如均值不等式、柯西不等式等等。
这些不等式在不同的情况下都能发挥作用。
比如说，在几何问题中，如果要证明两个线段长度的关系，或者求图形面积的最值，基本不等式链公式就能帮上大忙。
还有在实际生活中，比如规划生产方案，要考虑成本最小化或者利润最大化，这时候运用基本不等式链公式进行分析和计算，也能得出最优的方案。
而且哦，基本不等式链公式可不是孤立存在的，它和函数、方程等知识都有着密切的联系。
比如说，通过基本不等式链公式求出最值后，还可以进一步分析函数的单调性、奇偶性等性质。
总之，基本不等式链公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的精髓，多做练习，多思考，就能在数学的海洋里畅游，轻松解决各种难题。
一个经典的导数不等式链秒杀导数压轴题(详解版)
一个经典的函数不等式链在高考大题中的应用武汉大学 兰老师导数是研究函数图像和性质的重要工具，是历年高考的热点。
尤其是利用导数证明不等式是高考考查的重点和学生解答的难点。
因此，对高考中的一些典型模型进行深入研究显得尤为重要。
函数ln(1)y x =+是高中教材中的重要模型，同时也是历年高考考查的核心内容。
本文介绍以ln(1)y x =+为主体的不等式链及其在高考中的应用。
1 函数不等式链及证明下面简单介绍下此函数不等式链并对其进行证明。
引 理 当0x ≥时，()211ln 1(1)1221x x x x x x x x ≤≤+≤+−≤+++. 证 明：（1）11(1)21x x x +−≤+； 令11()(1)21F x x x x =−+−+，则211'()22(1)F x x =++，当0x ≥时，'()0F x >， 故()F x 在[)0,+∞上单调递增，又因为()(0)0F x F ≥=，所以在[)0,+∞上()0F x ≥恒成立。
故0x ≥时，11(1)21x x x +−≤+恒成立。
（2）()11ln 1(1)21x x x +≤+−+; 令11()(1)ln(1)21G x x x x =+−−++，则22'()2(1)x G x x =+。
当0x ≥时，'()0G x ≥,故()G x 在[)0,+∞上单调递增，所以()(0)0G x G ≥=,则在[)0,+∞上()0G x >恒成立，故0x ≥时，()11ln 1(1)21x x x +≤+−+恒成立。
（3）()2ln 12xx x ≤++； 令()2()ln 12x W x x x =+−+，则22'()(1)(2)x W x x x =++。
当0x ≥时，'()0W x ≥恒成立，故()W x 在[)0,+∞上单调递增，又因为()(0)0W x W ≥=,所以在[)0,+∞上()0W x ≥恒成立。
均值不等式链公式四个
以下是四个常见的均值不等式链公式：
1. 算术均值-几何均值不等式（AM-GM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其算术均值（所有数之和除以个数）不小于其几何均值（所有数的乘积开n 次方，n为数的个数）。
例如：对于非负实数a和b，有(a + b) / 2 ≥√(ab)。
2. 算术均值-平方均值不等式（AM-QM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其算术均值不小于其平方均值（所有数的平方和除以个数再开根号）。
例如：对于非负实数a和b，有(a + b) / 2 ≥√[(a^2 + b^2) / 2]。
3. 平方均值-几何均值不等式（QM-GM不等式）：
对于非负实数集合中的任意一组数，其平方均值不小于其几何均值。
例如：对于非负实数a和b，有√[(a^2 + b^2) / 2] ≥√(ab)。
4. 算术均值-谐均值不等式（AM-HM不等式）：
对于正实数集合中的任意一组数，其算术均值不小于其谐均值（倒数的算术均值的倒数）。
例如：对于正实数a和b，有(a + b) / 2 ≥2 / (1/a + 1/b)。
这些均值不等式链公式在数学推导和证明中经常被使用，并且在解决各种问题时具有广泛的应用。
一个有趣的不等式链及其应用
2020年7月1日理科考试研究•数学版.15 .一个有赵的不等式裢及其启用张彩霞(高台县第一中学甘肃张掖734300)摘要：本文探析了一个不等式链的形成及应用，并以微观映射宏观.在教学活动中，教师要善于立足基础，从教材出发归纳知识、整合知识和应用知识，丰富和发展学生的认知结构，提升数学解题思维和自信，这也有助于学生学科素 养的训练和达成.关键词：不等式链；形成；变形；应用波利亚说:“好问题同某种蘑菇有些相似,它们都 是成对地生长,找到一个以后，你应当在周围找找，很 可能在附近就有几个.”本文对复习过程中遇到的一 个不等式链的形成做一些总结,并对它的应用及变形 应用也做了分析，旨在诱发新的解题思路，使一些不 等式的证明思路更自然、更有趣.1不等式链的形成l.i英1时，7^"-备矣冬（a ； - ~L )矣％ -1，当且仅当■Jx 2 x文=1时“=”成立证明先证^■(* -丄）矣* - 1.2 x(x - \ )2 ^0<^>x 2 -2x ^ - 1 <=>2x 2 -2x ^x 2 - l <=>2x(x - l ) ^x 2 -1.两边同除以2尤,得+(尤-丄•）- 1，当且仅当尤1 x 1时“=”成立.再证在-去$+(^2x因为d ，所以;c -130.且有:t + 1 彡+ 1)(无 一 1)彡2(尤 一 1 )▲<=>-\ ^2(x - \ ) J x .两边同除以»当且仅当尤=1时成立1.2 I n i $尤一1，当且仅当x = l 时“=”成立曲线:K = ln A ：U >0)在点（1，0)处的切线方程是y =%-1，由曲线与切线的相对位置关系，得出这个不 等式，这样便于记忆和应用.（证明过程略）1.3 %彡1时，lm :当且仅当无=1，时“=”成立证明令等价于证Ir U 2幻21n ^ ^^ — —<^21ni — t ■¥ — ^0.t t构造函数，令 A (t ) =21nt -<++，则 Y (t ) = + -1 -+=-(丄-1)2«0.t t所以A (0在h [1，+〇〇 )时是减函数.所以 /i (尤）$/z (1) = 0<=>21n f - f$ 0<=>21n f $ f-—<=>lnr.tt所以:r 彡丨时，ln .r 彡v ^-^r 是成立的.由此暂得结论，x 彡1时，丄）心-1，当且仅当a : = 1时“=”成立.x作者简介：张彩霞（1969 -)，女，甘肃高台人，本科，中学高级教师，研究方向：中学数学教学.• 16 •理科考试研究•数学版2020年7月1日1. 4 1 一 —<1似<尤 一 1),当且仅当 A ：二 1 时x“=”成立证明因为lrw 矣*-1，将;t 的位置赋值为1，得 In — ^ — — 1 <=> — \nx ^ — — 1 <=>ln % ^ 1 ——X X X Xx -i -i , 、1、—彡---7(x ^\ ).X X + 1在1 - —S l n x 两边同乘以:c U 多1 )得 a : - 1至此得到结论链时，x — [-\ ^2(x -\)T ^^\X + 1XX + 1^：\nx^：/x - ——)彡尤一1 $尤1似，当且仅当 a :y * 2 ^=i 时“=”成立.2不等式(上-/丨矣1似矣在-X + IXx1J x备(％ -丄）彡x - 1 〇ln .x ( %彡1 )的应用2x给*赋值为1 +n + 1,得出一个数列不等式由此又得结论时，^|矣^"=丨-丄《X + 1 X X■(尤-丄）彡x - 1彡：dm :，当且仅当x =在2 %1时“=”成立.1.成立丄彡1),当且仅当x = i 时“=”x x -\-i证明（尤一 1)2 >0<=>尤2 - 2尤> 一 1 <=>2尤2 - 2尤多尤21 <=>2 (x 2 - x ) ^ x 2 - \ ^>2x (x -\)^(x + \)(x -\)2(x -\)xx + 1T 彡 ％ + 11.6 2-h -1)矣1似，当且仅当尤=1时“=”成立X +1由上面的探究与ltl *的大小是什么X + 1关系？因为在 时，0矣 W'1) =2(a： + 1「2) =2(1x + 1x + 1^ ) = 2 -斗 < 2，而 lnx 彡0，且在► + 〇〇 时，1x + \In %—► + 〇〇，由此猜想，~~p ^-^ln A ：.x + \证明要证以-尤--,-1)矣1似<=>1似-2(尤一,1)彡〇〇X +1X + \\nx +---- - 2 ^0.x + 1构造函数，令g U ) =4x + 12A/1 \ 2-2,则 g 'U )(% + 1) -Ax _ (% - 1 V ^0.X( A ： + 1 ) 2 x(x + \ )2 x(x + l )^所以g U )在I G [1，+ W )时是增函数• 所以 g (：〇1) =0•即 1似+-^-2&0〇^二^矣1似.X + 1 X + 1t v #-11 2 * / » 1 \ n7 < —T < ^~TT < ln(1 + —) < ,----I n + 1 n + i I n + I n n + \n-n + \x z I *. . an 、1a + 1 , / a + 1 x 1了（------- —t ) < — < -----In (------)T <z nn + 1nn nI n + 112 , /t 1 x l---7---r < ln ( 1 +—)< /——--,、^、^ +1 2n + \n\ nn + \ 2 n< —(1n + 12. 1 In %- 1 <;dnx 的应用例1 (2018年全国ID 卷）设/U )二1似-1 + 1(:>〇)，证明:*e (l , +»)时，1 <:I n A ：< x .\nx证明因为％ e ( 1，+ 〇〇 )时，lm : > 0，要证1 <<尤，只需证lm < % - 1 < a j I i u 成立.这正是上面的结论，居然直接出现在高考题中，足见其应用的重要性.2.2 ln(l +丄）〈丄的应用nn例2(2017年全国m 卷）已知函数/U ) =x -l-一，设meAT ,且对任意正整数…，（1 +士）（1 +$)•..( 1 +士）<m ，，求 的最小值-解析令J = (l +|)(1 +表)…(1 +表)，探究t的取值情况.因为 I r U =ln(l + 了）+ln(l + p ) + …+ ln(l +丄）<冬+人+ ".+丄=1 -丄 <1 = Ine ，2"222V2"所以《<啦(1 + 士)(1 +♦)•••( 1 +表)<e .2020年7月1日理科考试研究•数学版•17 •而(1 ++)(1 + ♦) + (1 +表)>2,又因为故m的最小值是3.2.3 ln(1 + 丄)<士•(丄+ —L p)的应用n I n n+ 1例3 (2010年湖北卷）求证:1 + 士+ ++…+—> ln(n+ 1)n彡1yn e N* ).n2(n+ 1)证明因为ln(l +丄）<j(丄+ —丨7)，n Z n n+ 1所以丨n(n+ l) - lrm<+(丄+—^) •给/i的位置依次赋值为1，2，3，…，则（ln2 - lnl) + (ln3 - ln2) + ." + [ln(n + l) - In n] < 士 (1 + 士) +士(士+知+•••+士(士+士)_则 ln(n+l) <+[1 +2(++士+•••+丄)+-^]，2 23 n n+1则 1++ 1) < 2 +( 2 + 3 +... +7)十^^.贝yin(fi+l)<1+•••++)12(n+l)2*则 In(n+ 1) + 7<1^ … -、、*,a+ 丁 + …+ —•2 2(汀+ 1) 23 n贝l j In(n+ 1) +2(7m y<1+T+y + *,, + ,2.4 ln(1 + —) < /— —--7的应用n A/n n+ 1例 4 求证：i>[(l + 丄 )•证明因为ln(l +丄）—L T,所以[ln(l + 丄）]2< 丄-一n n n+ \给n的位置依次赋值为1,2,3,…，则1 2 121[ln(l+[ln(l…+ [ln(l<(+_知+(士-知 +…+ (士 _；^)-所以f(i +丄)«=i L n2.5一1"TClnU +丄）〈丄的应用n+ \n n例5 任意；i E W+，求证：ln2<+ •••+— < ln3.n+ 3 3n证明因为-:ln(l + 丄）<丄，所以----<\n(n+ \) - \nn<—.n+ 1n同理，~^r<ln(n+2) -ln(n+ l) < ^yn-\-2< ln(/i+ 3 ) - In(^i+2) < ^n + rn+2.1< ln3n- In(3n- 1) < ^3/i- 1n+2n-~-~-<ln(3n+ l) -ln3n<^~.in+ 13n上面共(2n+ 1)个同向不等式，左边前2〃个不等111式相加，得 ，•，|n+ 1n+1n+.\nn=ln3 ；右边后2〃个不等式相加，得1n+2n<ln3n+ -^+ 1n+ \n+ 2 n+ 33n+ 1>ln(3^ + l) - ln(n+ l) = Inn+2n n+ l所以 l n^1 =lr^3I iL+1H=lnn+1 L n+1 J[^M+3]^n 的增函数.所以丨n彡In= ln2.1+1综上所得时>21+-L,+n+ \n+ 2n+ 3+厂< ln3成立.i n2.6+丄）的应用+ 1n例6 求证:l n(n+l)>了十了+ …+^.证明因为ln U+t)>2~^I,1所以 ln(/i+ 1) - Inn•I n + 1给n的位置依次赋值为1，2,3，•••，则(ln2 - lnl) + (ln3 - ln2 ) + ••• + [In(n + 1)-l n n]>y+_+ ...+_所以1n(" + 1)H+，_，+^7T.在*e(0，l)时，有3x x+ \2< ~Z~(xX.18 •理科考试研究•数学版2020年7月1日学知识的形成过程和解题思路的分析探索过程，才能帮助学生提升能力，走出“题海战参考文献：[1] 吴燕梅.利用“切线”处理函数中两类不等式问题[J].中学数学研究,2017(02) :43 - 45.[2] 邵继享.关于ln x的两个不等式在解高考压轴题中的应用[J].中学数学研究,2013(12) :13-14.(收稿日期=2020 -03 -22)看似无圆卖则有圆“圆”来如此—例谈一类隐形圆问题的求解策略张刚(宿州应用技术学校安徽宿州234000)摘要：有些几何问题从表面看似乎与圆没有关系，但是,如果我们深入分析题干条件，深挖题目隐含条件，善于联想与构造，适时建立符合题意的各类辅助圆，再利用圆中几何性质，结合题目其他已知条件，就可以让隐形圆浮出“水面”，真正实现化隐为显、化难为易的解题效果.本文通过例举几类隐形圆问题，从解决这类问题的一般策略入手进行分析，达到举一反三之效.关键词：隐形圆；几何问题；求解策略1构造方程，式中有圆有些数学问题，看似问题与圆无关，但由于圆的 方程灵活多变、形式多样，因此准确把握题干数量关 系，通过分析等价转化，构造出符合题意的圆方程的 适当形式，再借助圆和平面几何知识就可以进行处理.例1在平面直角坐标系中，动圆（：：（；(- 3)2 + (7-6)2^2(其中『2-62<9)截；(轴所得的弦 长恒为4.若过点0作圆C的一条切线，切点为P，则 点户到直线+ y - 10 = 0的距离的最大值为______•解析设动圆与^轴交于点过点C(3,6)作x轴的垂线C//，垂足为点//,连接CP,OC，CM，如图1所示.在m厶CWM中，由勾股定理，知ICMI2 = IO/I2 + \HM\2M r2 =b2 +4JP b2-r2 =-4.在R t A O P C中，由勾股定理，知丨OP|= 71P C12 - I C P12= V9+b2 -7=^5.可见，点P到原点的距离是义.因此点P在以点〇为圆心、半径长为^的动圆V+y2=5上，如图2所示.因为点〇到直线+y-10=0的距离是=A T T所以点P到直线2；c+y- 10 =0的距离的最大值 dm a^l/5 +^5 =%/5.例2已知圆+y-=4与ac轴负半轴的交点 为 <点尸在直线上，过点P作圆0 的切线，切点为且|P/1| =2 |P7l,求实数n的取值1、/~1,2(戈—1) -!一)^y/x - — <I n A：<-----1—<x- \ < x\nx.x^x + \以上应用只是诸多应用中的“冰山一角大家知道，高考数学试题很多都是源于教材但高于教材，命 题遵循的是在继承中创新，但也不回避已经考过的题 型.因此在高考复习中，教师要立足教材，新知识要及 时纳人已有的知识系统中，逐步构建条理化、有序化 和网格化的知识体系，课堂教学要重视向学生展示数作者简介：张刚（1981 -)，男，安徽宿州人，本科，中学一级教师，研究方向：高中数学教学研究.。
不等式链条
不等式链条不等式链条概述不等式是数学中重要的概念之一，它描述了两个数之间的大小关系。
而不等式链条则是由多个不等式组成的复合不等式，它可以帮助我们更加准确地描述数学问题中的复杂关系。
基本概念在介绍不等式链条之前，我们先来回顾一下不等式的基本概念。
1. 不等式不等式是指形如 $a\lt b$、$a\leq b$、$a\gt b$ 或 $a\geq b$ 的数学语句，其中 $a$ 和 $b$ 是实数。
2. 解不等式解不等式就是找出满足该不等式的所有实数解的过程。
对于简单的一次不等式，我们可以通过移项、分段讨论或画图来解决。
但对于复杂的多次方程或含有绝对值符号的方程，则需要运用更高级的技巧来求解。
3. 不等式组如果有多个不等式同时存在，并且它们之间存在着某种逻辑关系，则称这些不等式为一个“不等式组”。
例如：$$\begin{cases}x+y\gt 0\\x-y\lt 2\end{cases}$$4. 复合不等式如果一个数学语句中包含了多个不等式，则称其为“复合不等式”。
例如：$$-1\leq x\lt 2$$不等式链条的定义有了以上的基础知识，我们就可以来讨论不等式链条了。
1. 不等式链条的定义不等式链条是由多个不等式组成的复合不等式，其中每个不等式都与它前面的不等式和后面的不等式有某种逻辑关系。
例如：$$-1\leq x\lt 2\lt y\lt 5$$这就是一个简单的不等式链条。
它由四个简单的一次不等式组成，每个不等式都与相邻的两个不等式存在着逻辑关系。
2. 不等式链条的作用在数学问题中，我们经常需要描述一些复杂的大小关系。
这时候，使用单独一个简单的一次或二次方程可能无法准确描述问题。
而使用一个由多个简单的一次或二次方程组成的复合方程，则可以更加准确地描述问题。
例如，在优化问题中，我们需要找到某个函数在一定条件下取得最大值或最小值。
这时候，我们就可以使用一个由多个限制条件组成的复合函数来表示问题，并通过求解该函数来得到最优解。
一个不等式链推广的统一巧证
一个不等式链推广的统一巧证等式链推广是一种有效的数学表达方式，它可以帮助学生从基本的数学不等式推广更抽象的概念。
例如，如果学生知道一个不等式，例如x<2，他们可以使用等式链推广来推广出更复杂的不等式，例如x<6，x<8，等等。
使用等式链推广可以帮助学生更好地理解数学概念，培养他们的逻辑思维能力，并提高他们的数学技能。
等式链推广的统一证明是一种通用的策略，可以用来证明一连串的不等式。
基本上，它是从一个初始不等式出发，然后逐步推广出一系列不等式，使得等式链成为一个整体。
这需要学生有效地使用逻辑推理，记住前面已经推广出来的不等式，并加以利用。
例如，学生可以从一个初始不等式x<2出发，然后用逻辑推理推广出x<3，x<4，x<5等不等式。
其实，学生可以更进一步，比如将x<2推广到x<4，x<6，x<8等不等式，这就需要学生发挥他们的创造性和灵活性，把一个不等式推广到一系列不等式。
此外，学生还可以在等式链推广的统一证明中使用反证法，以证明一系列不等式的有效性。
反证法是指，首先假设一个不同的结论，然后证明这个结论错误，这就是证明原结论正确的一种方法。
例如，如果学生想要证明x<2，x<4，x<6，x<8等一系列不等式，他们可以首先假设x<2错误，然后证明x<2错误的推论，从而证明一系列不等式的有效性。
总之，等式链推广的统一证明是一种有效的数学表达方式，可以帮助学生从一个初始不等式推广更抽象的概念，培养他们的逻辑思维能力，并提高他们的数学技能。
此外，学生还可以利用反证法来证明一系列不等式的有效性，这需要他们发挥创造性和灵活性。
总而言之，学生可以通过等式链推广的统一证明来推广更复杂的数学概念，并有效地提高他们的数学技能。
(完整版)心理学不等式链
(完整版)心理学不等式链心理学不等式链是心理学中一种常见的概念模型，用于描述个体心理状态和心理过程之间的关系。
它指出了心理状态和心理过程之间的相互影响和作用，并强调了它们对个体行为和幸福感的重要性。
理论框架心理学不等式链的基本理论框架包括以下几个重要元素：1. 心理状态（Psychological States）：指个体在特定时刻的心理体验、情绪和感受，如快乐、悲伤和紧张等。
2. 心理过程（Psychological Processes）：指个体在心理状态下进行的认知、情感和行为过程，如思考、决策和社交等。
3. 影响因素（Influencing Factors）：指影响心理状态和心理过程的内外部因素，如环境、经验和个体特质等。
4. 作用机制（Mechanisms）：指心理状态和心理过程之间的相互作用和影响机制，如正反馈、负反馈和调节等。
不等式链的解释心理学不等式链描述了个体在特定心理状态下，心理过程之间的相互作用和影响关系。
它可以用以下不等式链表示：心理状态→ 心理过程→ 个体行为→ 幸福感具体而言，不同的心理状态会影响个体的认知、情感和行为过程。
这些心理过程进一步影响个体的行为表现，最终对个体的幸福感产生影响。
例如，当个体处于快乐的心理状态时，其认知过程可能更加积极、灵活，情感更加积极，从而增加了积极行为的可能性，提升了个体的幸福感。
相反，当个体处于悲伤或紧张的心理状态时，其认知过程可能更加消极、狭隘，情感更加消极，从而增加了消极行为的可能性，降低了个体的幸福感。
应用和意义心理学不等式链的应用广泛且重要。
它可以帮助理解个体心理状态和心理过程之间的关系，进而指导心理干预和心理治疗。
通过了解个体的心理状态和心理过程，并识别其对个体行为和幸福感的作用，我们可以通过相应的心理干预措施来调节和改善个体的心理状态和心理过程，以促进其积极行为和提升其幸福感。
此外，心理学不等式链还有助于个体对自身情绪和行为的反思和调整。
基本不等式链
关键词：基本不等式 高中数学教学随笔 必修5 >> 不等式授之以鱼，不如授之以渔。
1均值不等式链基本不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
注：算术平均数---2b a +；几何平均数---ab ；调和平均数---b a ab ba +=+2112；平方平均数---222b a +。
证明1：（代数法）（1）ab ba ab b a b a b a ≥+⇒≥+⇒≥-⇒>>220)(002，； （2）ab abb a ab ab b a ab b a ≤+⇒≤+⇒>≥+21202ab ba ≤+⇒112； （3）224)(22)(2222222222222ba b a b a b a b a ab b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒++≥+⇒≥+； 综上，2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+，当且仅当b a =时”“=成立。
证明2：（几何法）如图，b a AB b BC a AC +===，，，以AB 为直径作圆O ，则 图1：ab DC b a OD =+=，2，⇒≤OD DC 2ba ab +≤； 图2：b a ab OD DC DE ab DC +===22，，⇒≤DC DE ab ba ab≤+2； 图3：2222b a GC b a OC +=-=，，⇒≤GC OG 2222b a b a +≤+； 综上，2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+，当且仅当b a =时”“=成立。
AGB界首一中 2011-01问题是思考的结果，是创造的开始。
2证明3：（几何法）作梯形ABCD ，使CD BC AD B BC AD =+︒=∠，，90//，令)(a b b BC a AD >==，，，F E 、分别是CD AB 、的中点，过E 作CD EG ⊥于G ，过G 作AB GH ⊥于H ，在EB 上截取2ab EN -=，则F E 、分别是CD AB 、的中点，2ab EF +=⇒， ED 平分ADC ∠ab AB EA EG ===⇒21， b a DG BC CG AD GH b a GC DG BC GC DA DG +⋅+⋅=⇒=⇒==，，即b a abGH +=2， 2a b EN -=222b a NF +=⇒， 显然，FN EF EG GH <<<，∴22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ 当“b a =”时，22222b a b a ab b a ab +=+==+。
对数平均数的不等式链的几何解释及应用
对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a bab a b+->>-，其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以()12ln ln ,badx b a b a x a b=->-+ò① 又1ln ln abAUTPaS dx ab a x==-ò曲边梯形， ()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， ()11111222AUTP ABCDb aS ab a S aab ab骣-÷ç=+-=?÷ç÷ç桫梯形梯形，根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b ab a ab--<， ② 另外，ABQXABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a骣÷ç-<-<+-<-÷ç÷ç桫 ③ 综上，结合重要不等式可知：()()()()211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b aab 骣--÷ç-<<-<<+-<-÷ç÷ç桫+， 即()20112ln ln a b b ab ab a b a b aa b+->>>>>>>-+. ④2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.1()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）因为()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b a b b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++， 故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L . 例2 （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+ 2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L ()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.2()2202ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用例3 设数列{}n a 的通项()111n a n n =++，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析 根据0b a >>时，222ln ln a b b ab a+->-，即()222ln ln b a b a a b-->+，令1,,b n a n =+=则()()222ln 1ln 1n n n n +->++22221n n =++22222n a n n >>++，易证()ln 1n S n <+．2.3()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例4 设数列{}n a 的通项111123na n=++++，证明：()ln 21n a n <+． 解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b ab a+->-，即()2ln ln b a b a a b -->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+． 2.4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用 例 5 （2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ， ()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123na n =++++，证明：21ln 24n n a a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意； 综上，λ的最小值是12．（2)当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ ()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++ ()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n骣÷ç--<+÷ç÷ç桫- 将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111l n 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.5()0ln ln b aab b a b a->>>-的应用例7 （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b aab b a->-，即ln ln ,b ab a ab --<令21,21,b n a n =+=-则()()22ln 21ln 21,41n n n +--<-变形可得：()()2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n -+轾+--<=<臌---则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌- 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.。
高中不等式链
在高中数学中，不等式链是指多个不等式连接在一起形成的一系列不等式关系。
不等式链可以用来推导和证明数学问题，展示不等式之间的递进关系或比较大小关系。
以下是一些常见的高中不等式链的例子：
简单的不等式链：
a <
b <
c （a小于b，b小于c）
绝对值不等式链：
|a| < |b| （a的绝对值小于b的绝对值）
平方不等式链：
a^2 < b^2 （a的平方小于b的平方）
乘法不等式链：
a <
b < 0 ⇒a^2 > b^2 （a小于b小于0，则a的平方大于b的平方）
和差不等式链：
a +
b >
c ⇒a^2 + b^2 > c^2 （a加b大于c，则a的平方加b的平方大于c的平方）
这些只是一些简单的例子，实际上在高中数学中，不等式链的形式和应用可以更加复杂和多样化。
通过使用不等式链，可以对不等式进行推理和证明，解决各种与不等式相关的数学问题，如优化问题、几何问题等。
在学习不等式链时，理解不等式的性质和运算规则是关键，同时需要熟练掌握不等式的解法和推导方法。
通过练习和实践，可以提高对不等式链的理解和应用能力。
不等式链条
不等式链条不等式链条是指多个不等式组成的链条，通过其中一个不等式的约束条件，推导出其他不等式的关系，从而进一步得出一系列不等式的解集。
这种不等式的推导过程在数学中有着广泛的应用，特别是在优化和最优化问题中。
不等式链条的构成可以简单的分成两部分：基础不等式和推导不等式。
基础不等式是链条的起点，是最初给定的约束条件，而推导不等式则是根据基础不等式和不等式规则导出的其他约束条件。
例如，我们可以有以下的不等式链条：x >= 3x + y >= 73x - 4y <= 14在这个不等式链条中，x >= 3是基础不等式，它可以推导出x + y >= 7。
这是因为如果x + y < 7，那么x < 7 - y，如果x < 3，那么y > 4。
但是这与第三个不等式3x - 4y <= 14不符，因此x +y >= 7。
同样，我们可以使用基础不等式和推导不等式来得出更多的不等式关系。
例如，我们可以使用上面的不等式链条来推导出下面的不等式：x >= 3y >= 4这是因为在上面的不等式链条中，我们得出了x + y >= 7和3x - 4y <= 14这两个不等式。
如果我们令x = 3，那么x + y = 7。
因为x + y >= 7，所以y >= 4。
另一方面，如果我们令y = 4，那么3x - 4y = 0。
因为3x - 4y <= 14，所以x <= (14 + 4) / 3 = 6。
因此，我们可以得出x >= 3和y >= 4这两个不等式，它们是不等式链条的推导结果。
不等式链条在实际应用中特别有用。
例如，在优化问题中，我们希望找到一个解集，使得它同时满足多个约束条件。
我们可以使用不等式链条将这些约束条件转化成一系列不等式，然后找到它们的交集，得到最终的解集。
除了在优化问题中，不等式链条也可以应用在其他数学问题中，例如代数方程、微积分等领域。
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一个不等式链的应用
人教版高中数学第二册（上）习题6.2第3题：
已知a ，b 为正数，求证：2112222a b
ab a b a b +≤≤+≤+，当且仅当a ＝b 时等号成立。
此不等式链含有6个不等式：
2
11a b
ab +≤ ① ab a b ≤+2 ② a b a b +≤+2
222 ③ 2112a b a b +≤+ ④ 2
11222a b a b +≤+ ⑤ ab a b ≤+222
⑥ 这些不等式就是同学们熟悉的均值不等式及其变化，但在解题中常常被忽视，若能灵活运用，则会给解题带来很多方便，现举例说明。
例1. 某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价q%，第二次提价p%；丙方案第一次提价
p q +2%，第二次再提价p q +2
%，其中p q >>0。
则经过两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？ 解：设该商品原价为a ，两次提价后的价格按甲、乙、丙三种方案的次序依次为y y y 123，，，则：
y a p q 111=++(%)(%)
y a q p 211=++(%)(%)
y a p q 3212
=+
+(%) ∵p q >>0，由不等式②得：
(%)(%)[(%)(%)](%)1111212
22++<+++=++p q p q p q ∴y y y 123=< 故丙方案提价的幅度最大。
例2. 已知a ，b ，c 均为正数，求证：
a b b c c a a b c 2222222+++++≥++()。
证明：由不等式③，得：
a b a b b c b c 22222222+≥++≥+()()，，
a c c a 2222
+≥+()。
上述不等式相加得，
a b b c c a a b c 2222222+++++≥++()。
例3. 甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。
如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ）
A. 甲先到教室
B. 乙先到教室
C. 两人同时到教室
D. 不确定
解：设从寝室到教室的路程是s ，甲（乙）跑步和步行的速度分别为a ，b ， 甲、乙两人所用时间分别为t t 12，，则：
s a s b t t a t b s 2222
122+=+=，， t s a b
t s a b
122112=+=+， 由不等式④，得2112a b a b +<+（a ≠b ），所以t t 12>，故选B 。
例4. （人教版高中数学第二册（上）习题6.2第7题1）求证：在直径为d 的圆内接矩形
中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于d 2
2。
证明：设矩形的长为x ，宽为y ，面积为S ，则x y d S xy 222+==，
由不等式⑥，得S xy x y d =≤+=22222。
当且仅当x y =时等号成立，故S d max =2
2。
［练一练］
设a b c R ，，∈*，求证：a b b c c a a b c 2222222++++
+≥++()。
证明过程提示：因为a b R ，∈*，且a b a b 22
2
2
+≥+()， 所以a b a b 222
+≥+ 同理b c b c c a c a 222222+≥++≥+， 三式相加，得：
a b b c c a a b c 22222212
222+++++≥++()=++2()a b c。