江西省宜春中学高中数学《1.8.2函数的图像》导学案 新人教版必修4
江西省宜春中学高中数学《1.6余弦函数的图像与性质》教学案新人教版必修4
1.6 余弦函数的图像与性质一、课前自主导学【教学目标】1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2．会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像． 3．掌握余弦函数的性质及应用． 【重点难点】余弦函数的图像特征及性质 【教材助读】1、如何由x y sin =的图像得到x x y cos 2sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π的图像呢？ 【提示】x y sin =图像向左平移2π个单位即得x y cos =的图像． 2、余弦函数x y cos =的图像可以通过将正弦曲线x y sin =向左平移2π个单位 长度得到．如图是余弦函数()R x x y ∈=cos 的图像，叫作余弦曲线．3、用五点法可以作出正弦函数的图像，利用这个方法作出余弦函数的图像吗？ 五个关键点是什么？ 【提示】能．五个关键点分别为(0,1)，(2π，0)，(π，－1)，(23π，0)，(π2,1)． 画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数[]()π2,0cos ∈=x x y 的图像上有五个关键点，为(0,1)，(2π，0)，(π，－1)，(23π，0)，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数()R x x y ∈=cos 的简图(如图)．4、研究正弦函数x y sin =的性质时，主要研究了它的哪些性质？类比正弦 函数的性质，能得到余弦函数x y cos =的性质吗？【提示】 主要研究了x y sin =的定义域、值域、周期、单调性、对称轴、 对称中心等．可以类比得到x y cos =的性质．是增加的；【预习自测】1.函数()R x x y ∈=cos 的图像向左平移2π个单位后，得到函数)(x g y =的图 像，则)(x g 的解析式为( )A ．x sin -B ．x sinC ．x cos -D ．x cos 【解析】依题意知，x x x g sin )2cos()(-=+=π，故选A.2．函数R x x x f ∈-=,cos )(是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数 【解析】 由于x x f cos )(-=图像与x y cos =的图像关于x 轴 对称，所以x x f cos )(-=的周期与x y cos =的周期相同，仍为2π， 且图像仍关于y 轴对称，所以是偶函数，故选C.【答案】C3．设函数1cos )(3+=x x x f ，若11)(=a f ，则=-)(a f ________.【解析】令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )． ∴g (x )为定义在R上的奇函数．又∵f (a )＝11，∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10， 又∵g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.【答案】－9 4．画出x y cos 31-=在[]π2,0上的简图，并指出其最值和单调区间． 【解】列表：图像如下：由图像可知，函数x y cos 31-=在[]π2,0上的最大值为4，最小值为－2， 单调增区间为[]π,0，减区间为[]ππ2,.【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】对于函数x y cos 23+=(1)用五点法作出此函数的简图．(2)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合并分别写出最大值、 最小值；(3)讨论此函数的单调性．【思路探究】 由五点法画简图，根据图像求最值及讨论单调性． 【自主解答】 (1)按五个关键点列表如下，描点画出图像(如图)．(2)当1cos =x ，即{}Z k k x x x ∈=∈,2π时，5max=y ；当1cos -=x ，即{}Z k k x x x ∈+=∈,)12(π时，1min =y . (3)x y cos 23+=的增减区间就是x y cos =的增减区间． 所以当()[]()Z k k k x ∈-∈ππ2,12时，函数x y cos =是增加的，x y cos 23+=也是增加的；当[]()Z k k k x ∈+∈ππ)12(,2时， 函数x y cos =是减少的，x y cos 23+=也是减少的．【例2】求下列函数的定义域：(1)2cos 2-=x y(2)()1sin 2lg cos 21-+-=x x y ．【解答】 (1)要使函数有意义，则02cos 2≥-x ， ∴22cos ≥x . 画出x y cos =的图像及直线22=y ，如图，由图像可知函数定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,4242ππππ．(2)要使函数有意义，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≤01sin 221cos x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤21sin 21cos x x ， 21cos ≤x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,23523ππππ，21sin >x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,26526ππππ． ∴函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<≤+Z k k x k x,26523ππππ．【例3】(1)求函数x y cos 3-=的单调增区间； (2)比较大小：718cosπ________ ⎪⎭⎫⎝⎛-7cos π． 【解答】(1)函数x y cos 3-=的单调增区间为[])(2,2Z k k k ∈+πππ．(2)由于74cos742cos 718cosππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，7cos 7cos ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 又∵747ππ<,而x y cos =在[0，π]上单调递减，∴74cos 7cos ππ>，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-<7cos 718cos ππ． 【答案】 <【例4】求下列函数的最大值及最小值． (1)1cos 3y +-=x ；(2)321cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y .【解答】 (1)因为1cos 1≤≤-x ，又因为一次函数13+-=m y 在 R m ∈上是单调减函数，所以：当1cos -=x 时，4max =y ，当1cos =x 时，2min -=y . (2)因为1cos 1≤≤-x ，所以根据函数3212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m y 的性质，当21cos =x 时，3min -=y ；当1cos -=x 时，43max -=y .【我的收获】三、课后知能检测一、选择题1．函数)0)(sin(πθθ≤<+=x y 是R 上的偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π4 C.π2 D ．π【解析】 当2πθ=时，x x y cos )2sin(=+=π是偶函数．【答案】C2．若函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=3,0,21cos 3)(πx x x f ，则函数)(x f 的最小值为( )A.32B.23C.22D.32 【答案】 A 3．函数x x y cos 2=的部分图像是( )【答案】A4.设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M ＋m 等于( ) A.23 B ．－23 C ．－43 D ．－2 【答案】 D5．已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则)(x f 的图像( )A ．与)(x g 的图像相同B ．与)(x g 的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得到)(x g 的图像 D ．向右平移2π个单位，得到)(x g 的图像【答案】D 二、填空题6．x y cos =在区间[]a ,π-上为增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(－π，0]7．函数10cos 2+-=x y 取最小值时，自变量x 的集合是________． 【答案】{}Z k k x x ∈=,2π8．已知函数()π10000cos 2≤≤=x x y 的图像和直线2=y 围成一个封闭的 平面图形，则这个封闭图形的面积是________．【解析】如图，x y cos 2=的图像在[]π2,0上与直线2=y 围成封闭 图形的面积为π4=S ,所以在[]π1000,0上封闭图形的面积为ππ20005004=⨯. 【答案】π2000三、解答题9．画出函数x x y cos 21cos 21+=的图像，并根据图像讨论其性质． 【解】 ⎩⎨⎧<≥=+=0cos ,00cos ,cos cos 21cos 21x x x x x y利用五点法画出其图像，如图，由图像可知函数具有以下性质：定义域R ；值域：[0,1]；奇偶性：偶函数； 周期性：最小正周期为2π的周期函数；单调性：在区间)(22,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ上是减少的；在区间)(2,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ上是增加的． 10．判断方程x x cos =在()+∞∞-,内根的个数．【解】在同一直角坐标系中作出函数x y =和x y cos =的图像，如图． 当2π>x 时，12>>=πx y ，1cos ≤=x y .当2π-<x 时，12>>=πx y ，1cos ≤=x y ，所以两函数的图像只在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内有两个交点，所以x x cos =在()+∞∞-,内有两个根． 11．已知函数b a x a x a x f ++-=cos 22cos 2)(2的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，而且函数)(x f 的最大值为1，最小值为－5，求b a ,.【解】()b a x x a x f ++-=cos 2cos 2)(2b a x a ++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2122cos 22b x a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222cos 2 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 知，[]1,0cos ∈x .(1)0>a ，当0cos =x 时，)(x f 取最大值b a +；当22cos =x 时，)(x f 取最小值b .∴⎩⎨⎧==+-51b b a ，解得⎩⎨⎧-==56b a . (2)0<a ，当0cos =x 时，)(x f 取最小值b a +；当22cos =x 时，)(x f 取最大值b . ∴⎩⎨⎧=-=+15b b a ，∴⎩⎨⎧=-=16b a .综上知⎩⎨⎧-==56b a 或⎩⎨⎧=-=16b a .。
江西省宜春中学高中数学《1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的定义》教学案 新人教版必修4
1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的定义 导学案一、课前自主导学【学习目标】1.让学生理解并掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；2.让学生会判断正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的符号 ；3.让学生会根据定义解决一些相关的简单问题； 【重点、难点】1.让学生理解并掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，并能根据定义解决一些相关的简单问题；2.让学生会判断正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的符号； 【温故而知新】 1.复习填空（1）初中利用直角三角形学习了锐角的正弦函数、余弦函数、正切函数，如图 则=αsinr hαcos = r sαtan = sh（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=S {}Z k k ∈⋅+=,2παβ .（3）弧度制将角的度数与实数一一对应起来。
【教材助读】1.认真阅读课本P13—15，理解教材求角的正弦函数、余弦函数的方法，并掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，完成下列填空 (1)单位圆：以 1 为半径的圆(2)任意角的三角函数：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆的交点为),(P v u ， 那么角α的正弦、余弦、正切分别是：αsin v αcos u =αtanuv它们都是以角为自变量 的函数．则将函数 x y sin = 、 x y cos = 和 x y tan = 分别叫做正弦函数、余弦函数和正切函数；它们的定义域分别为 R 、 R 和 }2|{ππ+≠k x x 。
（3）当角的终边分别在第一、二、三、四象限时，完成下列表格αrsh【预习自测】 1.求下列值【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】已知角α的终边经过点P (2，－3)，求α的正弦、余弦、正切.解：103)3(23sin 22-=-+-=α 51)3(22cos 22=-+=α 2323tan -=-=α 【变式训练1】已知角α的终边在直线043=+y x 上，求αsin ,αcos ,αtan 的值. 解：由题意得：x y 43-=则： 2221625cos x xy x x =+=α43tan -==x y α①当0>x 时，53443sin -=-=x x x 5445cos ==x x x 43tan -==x y α②当0<x 时，534543sin =--=x x x 5445cos -=-=x x x 43tan -==x y α【例2】 确定下列三角函数值的符号 (1)250cos 负（2）)4sin(π-负 （3）()672tan - 正 (4))311tan(π负 【例3】设α是第三、四象限角，mm --=432sin α，则m 的取值范围是（ C ）A 、（－1,1）B 、（－1，)21C 、（－1，)23D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,1 【我的收获】三、课后知能检测1.若0sin >α，且0cos <α，则角α所在的象限是 （ B ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限 2.下列各式的值是正值的是 ( B ) A. )30sin(0- B. )30cos(0- C. 0240sin D. 0240cos 3.已知角α的终边经过点)21,23(P 则αcos 等于 （ A ） A.21 B. 23 C. 33 D. 21±4. 若角α终边上有一点)3,0(P ，则下列函数值无意义的是（ A ） A ．αtan B.αsin C ．αcos D.都有意义5.半径为1 cm ，中心角为150°的角所对的弧长为( D )A.cm 32 B.cm 32π C.cm 65 D.cm 65π 6.已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为 137- 。
江西省宜中学高中数学《1.5.2正弦函数的性质与图像》导学案 新人教版必修4
1.5.2 正弦函数的性质与图像一、课前自主导学【教学目标】1.能从单位圆得出正弦函数的性质(定义域、值域、周期性,在[]π2,0上的单调性).2.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.3.含正弦函数的复合函数的定义域、值域的求法： 【重点难点】进一步研究和理解正弦函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性). 【温故而知新】1、在函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像上，起着关键作用的有五个关键点：()0,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2π，()0,π，⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,23π，()0,2π．2、请同学们画出正弦函数的草图,观察正弦曲线的特点，写出正弦函数的性质. （1）定义域: （2）值域: （3）周期性: （4）单调性: （5）奇偶性: （6）对称性: 答案；见课本 【预习自测】 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=32,6,sin ππx x y 的值域为( ). A .[]1,1- B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21 D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 【答案】B 当2π=x ,y 有最大值1,当6π=x 时,y 有最小值21. 2.若32sin +=m x ,且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππx ,则m 的取值范围为( ). A .[21-,21] B .[45-，] C ，45-] D .[,21]【答案】CΘx ∈[6π-,],∴由y=sin x 的图像可知y ∈[21-,21],即21-≤2m+3≤21,解得≤m ≤45-.故m 的取值范围为[,45-] .2.用“五点法”作函数[]π2,0,sin 2∈+=x x y 的图像时的五个点分别是 、 、 、 、 .【答案】(0,2) (2π,3) (π,2) (,1) (2π,2) 4.观察正弦函数的图像,求满足0sin >x 的x 的取值范围.【答案】解:如图,观察正弦曲线可得{}Z k k x k x ∈+<<,22πππ. 【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域． 解：为使函数有意义，需满足⎪⎩⎪⎨⎧>≥-,0sin ,01sin 1log 2x x 即⎪⎩⎪⎨⎧>≤sin 21sin x x由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．所以函数的定义域为{622πππ+≤<k x k x 或,2652ππππ+<≤+k x k }z k ∈【例2】求使函数45sin 3sin 2++-=x x y 取得最大值和最小值的自变量x 的集合，并求出函数的最大值和最小值． 解： 令x t sin =，则11≤≤-t .22345322+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=t t t y . 所以，当23=t ，2max =y 此时23sin =x ，即32ππ+=k x 或()Z k k x ∈+=322ππ． ∴当1-=t ，341min -=y此时1sin -=x 即()Z k k x ∈+=232ππ． 【例3】求函数x y sin log 21=的单调递增区间.解：令x u sin =,则u y 21log =,Θ21()1,0∈,∴u y 21log =是关于u 的减函数, 故只需求x u sin =大于0的减区间即可, 而x u sin =的减区间为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤<+Z k k x k x ,222ππππ,∴x y sin log 21=的单调递增区间为()Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++ππππ2,22, 【例4】判断下列函数的奇偶性． (1)()x x x f +=πsin )(； (2)1sin 2)(-=x x f(3)()x x x f 2sin 1sin lg )(++=f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．解：(1)x x x f sin )(-=，定义域为R .∵)(sin )sin()(x f x x x x x f =-=-=-， ∴函数)(x f 为偶函数． (2)由01sin 2≥-x 得21sin ≥x ， ∴)(65262Z k k ，k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈ππππ． 定义域不关于原点对称，故)(x f 为非奇非偶函数．(3)∵x x x sin sin sin 12-≥>+，∴0sin 1sin 2>++x x ∴函数的定义域为R ，关于原点对称．又)()(x f x f +-()()x x x x 22sin 1sin lg sin 1sin lg +++++-=()()x x x x 22sin 1sin sin 1sin lg ++++-=()01lg sin sin 1lg 22==-+=x x ，∴)()(x f x f -=-f (－x )＝－f (x )． ∴)(x f 为奇函数．【我的收获】三、课后知能检测1、函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=326sin ππx x y 的值域是( )． A ．[]1,1- B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 【答案】B2、函数xx x x f 3sin )(-=是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】B 3、点M (4π,m )在函数x y sin =的图像上,则m 的值为( ). A .21 B .22 C . 23 D .1【答案】B 将(4π,m )代入x y sin =中,得m =.224、函数x y sin =的图像的一条对称轴方程可以是( ). A .6π-=x B .0=x C .2π-=xD .π=x【答案】C 函数x y sin =图像的对称轴方程为()Z k k x ∈+=2ππ.5.函数1sin sin 2-+=x x y 的值域为( ).A .[]1,1-B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,45 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,45 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,1 【答案】C 4521sin 1sin sin 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=x x x y ,Θ1sin 1≤≤-x ,∴145≤≤-y . 6、令⎪⎭⎫⎝⎛-=18sin πa ,π1011sin =b ，则a 与b 的大小关系是__________．【答案】a b < 7.函数x y sin 21+=的定义域为 . 【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,67262ππππ 由0sin 21≥+x 得 21sin -≥x ,由正弦函数图像得⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,67262ππππ 8.判断方程0sin =+x x 的根的个数.【答案】解:设x x g x x f sin )(,)(=-=,在同一直角坐标系中画出)(x f 和)(x g 的图像,由图知)(x f 和)(x g 的图像仅有一个交点,即方程0sin =+x x 仅有一个根.9．函数x y sin 2-=的定义域是________，单调减区间是________．【答案】[]()Z k k k ∈++ππππ22,2()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ22,232 10．求下列函数的最值，并求取得最值时x 的取值集合：(1)x y 2sin 23-=； (2)5sin 4sin 2+-=x x y .【解】(1)∵12sin 1≤≤-x ，∴22sin 22≤-≤-x .∴[]5,1∈y ．∴当()Z k k x ∈+=4ππ时，函数有最小值1；当()Z k k x ∈+=43ππ时，函数有最大值5， 即函数取最小值1时，x 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,4ππ，当函数取最大值5时，x 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,43ππ (2)∵()[]1,1sin ,12sin 2-∈+-=x x y ，∴当1sin -=x ,()Z k k x ∈+=232ππ时，10max =y ； 当1sin =x ，即()Z k k x ∈+=22ππ时，2min =y ，即y 取得最大值10时，x 的取值集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,232ππ y 取得最小值2时，x 的取值集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22ππ.。
高中数学 新人教A版必修4导学案全套
任意角高中数学1.1.1任意角导学案新人教A版必修4一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。
2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。
二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点三、知识链接：1.初中是如何定义角的？2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？四、学习过程:（一）阅读课本1-3页解决下列问题。
问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。
零角的与重合。
如果α是零角，那么α= 。
问题2、问题3、象限角与象限界角为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。
问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：（1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。
把与-32o角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
例1. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：（１）︒480； （２）︒-760； （３）03932'︒.变式练习 1、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：(1)420 º (2)—54 º18′ （3）395º 8 ′ (4)—1190º 30′2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720oβ≤＜360o 的元素写出来：（1）1303o 18， （2）--225o问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360≤β＜720o 元素β写出来。
江西省宜春中学高中数学《1.7正切函数的图像与性质》导学案新人教版必修4
1.7正切函数的图像与性质一、课前自主导学【教学目标】1. 理解正切函数、正切线的概念，掌握正切函数图像的画法，并能通过图像理解正切函数的性质;2.会运用正切函数的性质，解决有关问题. 【重点难点】正切函数的图像特征及性质 【教材助读】 1.正切函数及相关概念 （1）正切函数的定义在直角坐标系中，若角α满足≠∈ααR ， 且角α的终边与 单位圆交于点),(b a ，则比值 叫角α的正切 函数，记作),2(tan Z k k R ，y ∈+≠∈=ππααα。
（2）正切函数与正、余弦函数的关系=αtan ),2(Z k k R ，∈+≠∈ππαα（3）正切线的定义在直角坐标系中，设单位圆与x 轴正半轴的交点为)0,1(A ，过点A 作x 轴的垂线，与角α的 相交于T 点，则称 为角α的正切线2.正切函数的图像及相关概念 （1）),2(tan Z k k R ，y ∈+≠∈=ππααα的图像（2）正切曲线的渐近线正切曲线是由被相互平行的直线=x 隔开的无穷多支曲 线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线 3.),2(tan Z k k R ，y ∈+≠∈=ππααα的性质(1)定义域是 (2)值域是 (3)周期性:最小正周期是 (4)奇偶性；正切函数是(5)单调性:在 内都是增函数 (6)对称性；对称中心是 答案：见课本【预习自测】1．函数x y 2tan =的最小正周期是( )． A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2π答案: B2．在下列函数中，同时满足：①在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上递增；②以2π为周期；③是奇函数 的是( )．A ．x y tan =B ．x y cos =C ．2tan xy = D ．x y tan -=答案: C3.若点()y P ,3是角α终边上的一点，且满足53cos ,0=<αy ，则αtan 等于( )． A ．－34 B ．34 C ．43 D ．－43答案: D4．若0sin <θ，且0tan <θ，则θ是第__________象限角． 答案:四【我的疑惑】二、课堂互动探究 【例1】 (1)求函数)6tan(1tan +-=x x y 的定义域．(2)求函数3tan 2tan 2--=x x y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的值域． 解:(1))(2,33,4Z k k k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++ππππππππ ． (2)[]32,4-．【例2】求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y 的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心 解：由Z k k x ∈+≠-,232πππ，得Z k k x ∈+≠,1252ππ. 所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y 的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,1252ππ.又由ωπ=T ，得2π=T ，∴函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y 的最小正周期为π2.由Z k k x k ∈+<-<-,2322πππππ，得Z k k x k ∈+<<-,2125122ππππ. 所以函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y 的单调增区间为)(2125,122Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-ππππ．由Z k k x ∈=-,232ππ，得Z k k x ∈+=,64ππ 所以函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx y 的对称中心是Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+0,64ππ.【例3】利用正切函数的图像作出x x y tan tan +=的图像，并根据图像研究其性质．解：∵当)(,2Z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππ时，0tan ≤=x y ， 当)(2,Z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈πππ时，0tan >=x y ，∴x x y tan tan +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈=2,,tan 2,2,0ππππππk k x x k k x )(Z k ∈ 如图所示．性质：定义域：)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-ππππ， 值域：[)+∞,0单调性：增函数，递增区间为)(2,Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+πππ 奇偶性：非奇非偶函数，周期性：以π为周期的周期函数． 【我的收获】三、课后知能检测1.函数)43tan(2π-=x y 的一个对称中心为（ ）D.(,0)3A π .(,0)6B π .(,0)4C π- .(,0)2D π-2.函数)0(tan )(>=ωωx x f 图像相邻的两支截直线4π=y 所得的线段长为4π，则)4(πf （ ）C A. 4π.0B .1C .1D -3.若43tan =α，借助三角函数的定义求角α的正弦函数值和余弦函数值分别为 ．解：因为043tan >=α,所以，α是第一或第三象限的角． (1)如果α是第一象限的角，则由43tan =α可知，角α终边上必有一点P (4,3)，所以3,4==y x .因为53422=+==OP r ，所以53sin =α,54cos =α.(2)如果α是第三象限的角，则由43tan =α可知，角α终边上必有一点P (－4，－3)，所以3,4-=-=y x .可知53422=+==OP r ，所以53sin -=α,54cos -=α. 答案:53sin =α,54cos =α或53sin -=α,54cos -=α4.函数)tan(sin x y =的值域为 . 答案:[]1tan ,1tan -5.函数⎪⎭⎫⎝⎛≠≤≤=2x 324tan πππ且x x y 的值域为 .答案: [)(]3,1，∞-⋃+∞6..函数tan y x =的对称中心为 . 答案:()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π7.已知角α的终边经过点P (1，－2)，求αα2tan 1tan 2-的值．答案: 438．求函数3tan 3-=x y 的定义域；答案:)(2,6Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡++ππππ 9.在区间⎪⎭⎫⎝⎛-23,23ππ内，函数x y tan =与函数x y sin =的图像交点个数为 . 答案: 3个 10.已知43ππ≤≤-x ，2tan 2tan )(2++=x x x f ，求)(x f 的最大值和最小值，并求出相应的x 值.答案: 5)4()(max ==πf x f ,1)4()(min =-=πf x f。
【新导学案】高中数学人教版必修四：15《函数的图象》.doc
1.5《函数y = A sin（cox + 0）的图象》导学案【学习目标】1.会用“五点法”作出函数y = Asm（wx（p）以及函数y = /cos（wx + °）的图象的图象°2.能说出炉、W. /对函数y = Asin（wx +（p）的图象的影响.3.能够将y = sin x的图彖变换到y = A sin（wx +卩）的图象，并会根据条件求解析式. 【重点难点】重点：由正弦曲线变换得到函数尹二/sin（61r + °）的图象。
难点：当eHl时，函数必=A sin（eox +（p A）与函数儿-^sin（tox + ^2）的关系。
【学法指导】预习图像变换的过程，初步了解图像的平移。
【知识链接】1.函数尸sin（x + 0）, XG R（其中©HO）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点________ （当”0时）或_______________ （当以0时）平行移动岡个单位长度而得到.2.函数= 7?（其中">0且69H1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标_____________ （当Q>1时）或_____________ （当0〈0〈1时）到原來的倍（纵坐标不变）而得到. 丄3.函数y = Asinx y xeR（A >0且A H 1）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坠标__________ （当A>1时）或_________ （当O<A<1）到原來的A倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx的值域为____________ .最大值为_________________ ,最小值为4._______________________________ 函数y = Asin（（tix+（p）,xeR其中的（A>0, e>0）的图象,可以看作用下面的方法得到: 先把正弦曲线上所有的点___ （当0〉0时）或（当。
高中数学《函数的图象》学案 新人教A版必修4
湖南省隆回县万和实验学校高中数学《函数的图象》学案 新人教A 版必修4【学习目标】①知识与技能：（1） 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律；（2） 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系；（3） 培养学生观察问题和探索问题的能力；【学习重点】函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法和设图像与函数y=sinx 图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示.【学习难点】各种变换内在联系的揭示。
【自主学习】(一)课前回顾①“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？② 函数y = sin(x ±k)(k>0)的图象和函数y = sinx 图像的关系是什么？③函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？④函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么（二）创设情境上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x ±k)，y = sinwx ，y = Asinx 的图像和函数y = sinx 图像的关系，那么函数y = Asin(wx+ϕ)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx 的图像有何关系呢？（三）尝试探究1. 函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx +ϕ)的图像和函数y = sinx 图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+ϕ)的图像。
例：作函数y = 3sin(2x+3π)的简图。
解：⑴设Z= 2x +3π，那么3xin(2x+3π)= 3sin Z ，x=2z 3π-=62z π-，分别取z = 0，2π，，23π，2，则得x 为6π-，12π，3π，127π，65π，所对应的五点为函数y=3sin(x 3π-)在一个周期[6π-，65π]图象上起关键作用的点。
江西省宜中学高中数学《1.4.2单位圆与周期性、三角函数线 导学案》导学案 新人教版必修4
1.4.2单位圆与周期性、三角函数线 导学案一、课前自主导学【学习目标】1.通过正、余弦函数的周期现象，理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；2.能根据周期函数的定义解决与周期性有关的问题；3.理解三角函数线的几何意义，能正确画出三角函数线；能利用三角函数线解决有关问题；【重点、难点】1.周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；2.有关函数周期性的应用；3.三角函数线的几何意义及简单应用；【温故而知新】1.复习填空(1)单位圆：以 单位长度 为半径的圆 （2)任意角的三角函数：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆的交点),(P v u ， 那么角α的正弦、余弦、正切分别是：=αsin v =αcos u =αtan u v（3）把某种动作或现象每经过一段时间后就会重复出现的现象叫做周期现象。
（4）周期现象的特征：1、经过相同的时间间隔；2、现象是重复的。
【教材助读】1.认真阅读课本P15—16，理解正、余弦函数的周期现象，并掌握周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义，完成下列填空(1)终边相同的角的正、余弦值都相等，即有)2sin(πα⋅+k = αsin ， )2cos(πα⋅+k = αcos ；则正弦函数与余弦函数都为周期函数，且 π2 是他们的最小正周期。
（一般周期指的是最小正周期）（2）周期函数：一般地，对于函数)(x f ，如果存在非零实数T ，对定义域的 任意一个x 值，都有 )()(x f T x f =+ ，则称)(x f 为周期函数，T 叫做周期函数的 周期 ；2.三角函数线的概念（1）如图（1）（2）（3）（4）分别表示终边在一、二、三、四象限的角α，),(y x P 为α的终边与单位圆的交点，过P 做PM ⊥x 轴，垂足为M 。
依三角函数定义知：|sin |||||α==y MP ，|cos |||||α==x OM有向线段：①当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为起点，M 为终点，规定：若线段OM 指向x 轴正方向，称OM 的方向为正方向，且 x OM =（正值），如（1）、（4） 若线段OM 指向x 轴负方向，称OM 的方向为负方向，且x OM =（负值），如（2）、（3）如此，无论OM 方向如何，都有αcos ==x OM②当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为起点，P 为终点，规定：若线段MP 指向y 轴正方向，称MP 的方向为正方向，且 y MP =（正值），如（1）、（2） 若线段MP 指向y 轴负方向，称MP 的方向为负方向，且y MP =（负值），如（3）、（4）如此，无论MP 方向如何，都有αsin ==y MP（2）思考：能否用有向线段表示正切？过A （0,1）做单位圆的切线（必平行于y 轴），与角α的终边交于T ，如前规定，OA 、AT 分别为x 、y 轴方向的有向线段，可知OA=1，则有：αtan ====xy OM MP OA AT AT 便称有向线段AT 为角α的正切线，αtan =AT分别在下图中作出第二、三、四象限角的正切线【教学笔记】【预习自测】1.对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ 不能2.正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？ 是，π23.若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ 是，因为)()(x f kT x f =+ 。
江西省宜春中学高中数学《1.5.1正弦函数的性质与图像
1.5.1 正弦函数的性质与图像一、课前自主导学【教学目标】1.理解正弦线的含义,能在单位圆中作出角α的正弦线.2.了解正弦曲线的画法,能利用五点法画出正弦函数的简图.3.掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期，单调区间和最值． 【重点难点】正弦函数的图像特征及性质，五点法作图，求正弦函数的最小正周期， 单调区间和最值． 【教材助读】问题1:如下图,设任意角α的终边与单位圆交于点P (a ,b ),过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ,我们称 MP 为角α的 ,如果b>0,把MP 看作与y 轴 ,规定此时MP 具有正值b ;如果b<0,把MP 看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值b ,当角α的终边在x 轴上时,正弦线变成 .问题1:有向线段正弦线同向一点 问题2:作正弦函数图像的一般方法 (1)描点法:列表,描点,连线.(2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像. (3)五点法:正弦函数y=sin x ,x ∈[0,2π]中,五个关键点为 、 、 、 、 . 问题2:(3)()0,0 ⎪⎭⎫⎝⎛1,2π ()0,π ⎪⎭⎫⎝⎛-1,23π) ()0,2π 问题3:根据曲线写出正弦函数的一些性质: 【取得最大值问题3:R []1,1- π2 ()Z k k x ∈+=π22()Z k k x ∈+-=π22()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ22,22 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ223,22 奇函数()Z k k x ∈+=2ππ()()Z k k ∈0,π 【预习自测】1．函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的大致图像是下图中的 ( )【答案】 B2．函数xy sin 1=的定义域为( ) A ．R B ．{}Z k k x R x ∈≠∈,πC ．[)(]1,00,1 -D ．{}0≠x x【答案】 B3．正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像的一条对称轴是( )A ．y 轴B ．x 轴C ．直线23π=x D ．直线π=x 【解析】 结合R x x y ∈=,sin 的图像可知，其对称轴应过图像的最高点或最低点，故选C. 【答案】 C4．在[]π2,0内用五点法作出1sin --=x y 的简图． 【解】 (1)按五个关键点列表：(2)如图所示：【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】作出函数[]π2,0,sin 21∈+-=x x y 的简图．【解答】 按五个关键点列表：【例2】利用正弦函数图像或正弦线解三角不等式 求不等式22sin ->x 的解集． 【解】结合x y sin -=的图像可知，满足22sin ->x 的x 的 取值范围是Z k k x k ∈+<<-,24542ππππ.∴不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,24542ππππ.【例3】正弦函数的单调性及应用 (1)比较下列各组三角函数值的大小：①521sinπ与542sin π；②⎪⎭⎫ ⎝⎛-53sin π与⎪⎭⎫⎝⎛-413sin π. (2)求函数1sin 2--=x y 的增区间．【解】 (1)①∵5sin 54sin 521sinππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 52sin528sin 542sin ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.∵25250πππ<<<， 又∵x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递增，∴52sin 5sin ππ<，即<521sin π542sin π②∵53sin53sin ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-. 45sin452sin 413sin ππππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 由于2345532ππππ<<<，且x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ上单调递减，∴45sin 53sin ππ>，∴45sin 53sin ππ-<-， 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-413sin 53sin ππ．(2)由于x y sin =的单调减区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ ∴1sin 2--=x y 的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ． 【我的收获】三、课后知能检测1．用五点法作函数x y 2sin 2-的图像时，首先应描出的五点的横坐标 可以是( ) A ．ππππ2,23,,2,0 B ．ππππ,43,2,4,0 C ．ππππ4,3,2,,0 D ．32,2,3,6,0ππππ【答案】B2．下列不等式中成立的是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-10sin 8sin ππ B ．⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-417sin 521sin ππ C ．2sin 3sin > D ．⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛52sin 57sin ππ【解析】由于28100πππ<<<，而x y sin =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递增， ∴8sin 10sin ππ<，∴8sin 10sin ππ->-，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-10sin 8sin ππ故选A. 【答案】A3．设函数R x x x f ∈=,sin )(,对于以下三个命题：①函数f (x )的值域是[]1,1-；②当且仅当()Z k k x ∈+=22ππ时，)(x f 取得最大值1；③当且仅当()Z k k x k ∈+<<+2322ππππ时，0)(<x f .其中正确 命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】显然①②正确，③不正确，故选C.【答案】 C 4．函数x x f sin 1)(+=的最小正周期是( )． A ．2π B π C ．23π D ．π2 【答案】D 5．函数3sinπ=y 的定义域是( )．A ．RB ．[]1,1-C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 D ．[]3,3- 【答案】A6．函数x y 2sin =的一个增区间是( ) A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π【答案】B7．函数x y sin 2-=的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．2,3π==x y B ．()Z k k x y ∈+==ππ22,1C ．()Z k k x y ∈+-==ππ22,3 D ．()Z k k x y ∈+==ππ22,3【答案】 C8．函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=320sin πx x y 的值域是________． 【答案】(]1,09．函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的图像与直线23=y 有________个交点． 【解析】在同一坐标系中作出函数x y sin 1+=，23=y 的图像，如图所示：在[]π2,0∈x 内共两个交点．【答案】两。
人教版高中数学必修4全册导学案全集
人教版高中数学必修4全册导学案全集标题：人教版高中数学必修4全册导学案全集导学案是高中数学教学中的重要辅助教材，为学生提供了系统、全面的学习指导和练习题。
本文将全面介绍人教版高中数学必修4全册的导学案内容，帮助学生更好地掌握数学知识。
第一章函数及其应用本章主要介绍了函数的概念、函数的表示法、函数的性质以及函数方程的应用。
通过导学案中的练习题，学生可以锻炼观察问题、建立数学模型和解决实际问题的能力。
第二章二次函数本章重点讲解了二次函数的概念、图像、性质以及应用。
通过导学案中的案例分析，学生可以理解二次函数在现实中的应用，并能够运用二次函数来解决实际问题。
第三章三角函数本章主要介绍了正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的图像和性质。
导学案中的练习题旨在帮助学生熟悉三角函数的运算和性质，并能够应用三角函数解决实际问题。
第四章推理与证明本章重点讲解了数学中的命题、命题的联结词、命题的等价关系以及命题的推理方法。
导学案中的练习题旨在培养学生的逻辑思维和推理能力，并能够运用推理方法解决实际问题。
第五章指数与对数函数本章主要介绍了指数函数和对数函数的概念、性质、运算法则以及指数与对数方程的应用。
导学案中的实例分析和练习题有助于学生理解指数与对数函数在现实中的应用，并能够熟练运用它们解决实际问题。
第六章平面向量本章重点讲解了平面向量的概念、向量的运算法则、向量共线、共面以及平面向量与几何的应用等内容。
导学案中的案例分析和练习题旨在帮助学生理解平面向量的性质和应用，并能够运用平面向量解决实际问题。
第七章空间几何体的位置关系本章主要介绍了空间几何体的位置关系，包括平行、垂直、相交等。
导学案中的练习题旨在提高学生观察问题和分析问题的能力，并能够应用位置关系解决实际问题。
第八章空间向量与空间解析几何本章重点讲解了空间向量的概念、运算法则以及空间向量与几何的应用。
通过导学案中的案例分析和练习题，学生可以掌握空间向量的性质和应用，并能够运用空间向量解决实际问题。
江西省宜春中学高中数学《1.1周期现象1.2角的概念的推广》导学案新人教版必修4
1.1 周期现象 1.2角的概念的推广 导学案一、课前自主导学【学习目标】1.感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象；2.理解角、象限角、坐标轴上角、终边相同的角的概念；3.能判断角的象限，找出终边相同角及表示；4.能够写出任意角终边相同的角的集合；【重点、难点】1.理解角、象限角、坐标轴上角、终边相同的角的概念；2.能判断角的象限，找出终边相同角及表示；3.能够写出任意角终边相同的角的集合；【温故而知新】1.复习填空初中角的定义为：由两条具有公共顶点的射线组成的图形。
可以看成是平面上一条射线绕着端点由一个位置旋转到另外一个位置所形成的图形。
初中角的分类：按照角的大小将角分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
【教材助读】1.认真阅读课本P3—4，感受周期现象及其特征（1）把某种动作或现象每经过一段时间后就会重复出现的现象叫做周期现象。
（2）周期现象的特征：1、经过相同的时间间隔；2、现象是重复的。
2.认真阅读课本P6-P7，理解角的概念，并填空（1）角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所形 成的 图形 . 射线在旋转时有两个相反的方向，顺时针旋转形成的图形为正角； 逆时针旋转形成的图形为负角； 为零度角，又称零角.（2）在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与 原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合. 角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为坐标轴上的角.（3）终边相同的角有 无数 个，相等的角终边一定 相同 ，但终边相同的 角不一定 相等 .（4）一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=S {}Z k k ∈⋅+=,360 αβ . 【预习自测】1.判断下列现象是否周期现象：（1）地球上一年四季春、夏、秋、冬的变化； 是（2）钟表的分针的运动； 是（3）连续抛一枚硬币，出现正面向上； 否2、地球同步卫星绕地球公转的周期是（C ）A 、一年B 、一个月C 、24小时D 、12小时3、下列命题正确的是（ A ）A.终边和始边相同的角相等B.第一象限的角都是锐角C.第一象限的角比第二象限的角小D.小于090的角不一定是锐角4、经过一个小时,手表上的时针旋转了( C ).A.30°B.-30°C.15°D.-15°5、终边与30︒相同的角的集合是什么？{}Z k k ∈⋅+=,36030α 【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】（1）下列自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火山爆发.其中是周期现象的有( B ).A.1个B.2个C.3个D.4个（2）如果今天是星期一,那么从明天算起,第100天是星期( C ).A.二B.三C.四D.五（3）如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：(1)单摆的振动是周期现象吗？(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？解：(1) 是。
高中数学《1.8.2 函数的图像》教学案 新人教版必修4
1.8.2函数)sin(ϕω+=x A y 的图像一、课前自主导学【教学目标】1．掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的周期，单调性及最值的求法． 2．理解函数)sin(ϕω+=x A y 的对称性． 【重点难点】理解并掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的性质.【教材助读】函数)sin(ϕω+=x A y ）（0,0>>ωA 的性质【预习自测】 1．函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C 2．函数)62sin(π+=x y 的最小正周期是( )A ．π2B ．ΠC ．2πD ．4π【答案】 B 3．函数)43sin(π-=x y 的图像的一个对称中心是( )A ．(－7π12，0)B ．(－π12，0)C ．(7π12，0)D ．(11π12，0)【答案】 A 4．求函数)4cos(21π-=x y 单调减区间．函数的单调减区间为)(452,42Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】 求下列函数的周期： (1)1)32sin(3++=πx y ； (2)1)451sin(4--=πx y ；(3)x y sin =.【解答】 (1)∵2=ω，∴2222===πωπT . (2)∵51=ω，∴ππ10512==T . (3)x y sin =的图像如下：由图像可知，π=T .【例2】已知曲线)sin(ϕω+=x A y ）（2,0,0πϕω<>>A 上的一个最高点的坐标为)2,2(π，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点)0,23(π． (1)求函数的解析式；(2)求出函数y 的单调区间．【解答】 (1)由题意πππ=-=2234T ,ωππ24==T ， ∴2,21==A ω，∴)2sin(2ϕ+=xy ，当2,2==y x π时，即)212sin(22ϕπ+⨯=．∴)(224Z k k ∈+=+ππϕπ，∴)(42Z k k ∈+=ππϕ，∵)2,2(ππϕ-∈，∴4πϕ=.∴)42sin(2π+=x y ；(2)∵当)(22,2242Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈+πππππ时，y 单调递增，∴)(24,234Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ为增区间； 当)(232,2242Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈+πππππ时，y 单调递减， ∴)(254,24Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ(k ∈Z )为减区间． 【例3】已知函数)0)(62cos(>+-=b x b a y π的最大值为32，最小值为－12.(1)求b a ,的值；(2)求函数)3sin(4)(π--=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合．【解答】 (1)∵R x ∈，∴[]1,1)62cos(-∈+πx ，又∵0>b ，∴0<-b ，∴当1)62cos(-=+πx 时,23max =+=b a y ，当1)62cos(=+πx 时,21max -=-=b a y ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+2123b a b a 得1,21==b a . (2)由(1)知：)3sin(2)(π--=x x g g (x )＝－2sin(x －π3)．∵[]1,1)3sin(-∈-πx ，∴当1)3sin(=-πx 时)(x g 取最小值－2.此时Z k k x ∈+=-,223πππ，Z k k x ∈+=,652ππ 所以对应x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,652ππ．【我的收获】三、课后知能检测一、选择题1．已知函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点)0,3(π对称 B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点)0,4(π对称 D ．关于直线3π=x 对称【答案】 A 2．函数)36sin(8π+=x y 取最大值时，自变量x 的取值集合是( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=Z k k x x ,365ππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,336ππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ,3π D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,39ππ【答案】 B3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则=ω( )A ．3B ．2 C.32 D.23【答案】 C4．下列函数中，图像关于直线3π=x 对称的是( )A ．)32sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x yC ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=x y 【答案】 B5．将函数)42sin(π+=x y 的图像向右平移8π个单位，所得图像所对应的函数 是( )A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．奇函数D ．偶函数 【答案】 C 二、填空题 6．当22ππ≤≤-x 时，函数)3sin(2)(π+=x x f 的最大值是________，最小值是________． 【答案】2 －227．关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π有下列结论：①函数的最小正周期为π； ②表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；③函数的图像关于点)0,6(π-对称；④函数的图像关于直线6π-=x 对称．其中正确结论的序号为________．【答案】①②③8．函数)sin(ϕω+=x A y ）（0,0>>ωA 的部分图象如图所示， 则)2013()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于________． 【答案】2＋ 2 三、解答题9．已知函数R x x x f ∈-=),62sin()(π.(1)写出函数)(x f 的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)求函数)(x f 在区间[0，π2]上的最大值和最小值．【解】(1)由)(262Z k k x ∈+=-πππ得，)(32Z k k x ∈+=ππ． 所以函数f (x )的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. 由ππk x =-62得)(122Z k k x ∈+=ππ．所以函数)(x f 的对称中心为Z k k ∈+),0,122(ππ. (2)∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴当662ππ-=-x ，即0=x 时，)(x f 取得最小值－1；当262ππ=-x ，即3π=x 时，)(x f 取得最大值2.10．设函数)0)(2sin()(<<-+=x x x f πϕ，)(x f y =图像的一条对称轴是 直线8π=x .(1)求ϕ；(2)求函数)(x f y =的单调增区间．【解】(1)43πϕ-=. (2)由(1)知43πϕ-=，因此)432sin(π-=x y ． 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，∴函数)432sin(π-=x y 的单调增区间为 )(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ． 11．记函数)0)(35sin(5)(≠-=k x k x f π．(1)写出)(x f 的最大值M ，最小值m ，最小正周期T ；(2)试求正整数k 的最小值，使得当自变量x 在任意两相邻整数间(包括整数 本身)变化时，函数)(x f 至少有一个值是M ，一个值是m .【解】 (1)kT m M π10,5,5=-==.(3)由题意知)(x f 在相邻两整数之间(包括整数本身)至少有一个M 和一个m ，∴最小正周期1≤T ，则110≤kπ，∴π10≥k ,又k 为正整数， ∴正整数k 的最小值为32.。
高中数学 第一章 三角函数第八节 函数的图像学案 必修4
【必修4】第一章 三角函数第八节 函数的sin()y A x ωϕ=+图像 学时:2学时【学习引导】一、自主学习1. 阅读课本P42----P462. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间有什么联系？（3）函数sin()y A x b ωϕ=++中，,,,A b ωϕ对函数的影响分别在哪些方面？（4）如何由函数sin y x =的图像得到函数5sin(2)13y x π=-+的图像? (试用多种方法解答)3. 完成P46练习.4. 小结.二、方法指导1. 同学们要对图像进行认真分析，观察其特征.2. 要记住,,,A b ωϕ对图像的影响.3. 要弄清楚图像的变换规则.【思考引导】一、提问题1．借助函数的性质，你能解决什么类型的实际问题？2.（1）作函数3sin y x =和1sin 3y x =的简图，并观察它们与函数sin y x =的关系. (2)作函数sin()3y x π=+与sin()4y x π=-的简图，并观察它们与函数sin y x = 的关系. (3)作函数sin 3y x =和1sin 3y x =的简图，并观察它们与函数sin y x =的关系. 从以上观察,你能得出什么结论？二、变题目1.函数sin 2x y =的图像向右平移6π个单位长度所得的图像解析式为（ ） A. sin()26x y π=+ B. 5sin()26x y π=- C. sin()212x y π=- D. sin()212x y π=+ 2.已知12()sin ,()sin (0)f x x f x x ωω==>，且2()f x 的图像可以看作是把1()f x 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）得到的，则ω=（ ）A. 12B.2C. 3D. 133.把函数()y f x =的图像上各点先向右平移6π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的23，所得图像的解析式是12sin()23y x π=+，则()f x 的解析式为（ ）A. 3cos y x =B. 2cos 3y x =C. 3sin()6y x π=+D. 2sin()36y x π=- 4.若函数()f x 同时满足条件：（1）在区间内0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦为增函数；（2）()()f x f x -=（3）最小正周期为π，则这样的函数解析式可以是___________________.5. 函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图像如图所示, 则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++⋅⋅⋅+=6.指出函数3sin()33x y π=-的周期,单调递增区间,其图像的对称轴方程及对称中心.7.已知函数sin()(0,0)y A x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数.其图像关于点3(,0)4M π对称,且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数.求ϕ和ω的值.8.若函数())f x x ϕ=+对任意x 都有()()33f x f x ππ-=+. (1)求()3f π的值；(2)求ϕ的最小正值；(3)当ϕ取最小正值时，若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值.【总结引导】1. 你认为本节课的重点是什么？2. 函数sin ()y A x x R =∈(其中0,1A A >≠)的图像，可以看作把正弦函数sin y x =的图像上所有点的____坐标____(当1A >时)或____(当01A <<时)到原来的____倍而得到. 函数sin ()y A x x R =∈(其中0,1A A >≠)的值域为_______,最大值为____,最小值为____.通常称A 为______.3. 函数sin()()y x x R ϕ=+∈(其中0ϕ≠)的图像，可以看作把正弦函数sin y x =的图像上所有点向____(当0ϕ>时)或____(当0ϕ<时)平行移动____个单位长度而得到.通常称ϕ为_______,x ϕ+为_______.4. 函数sin ()y x x R ω=∈(其中0,1ωω>≠)的图像，可以看作把正弦函数sin y x =的图像上所有点的_____坐标____(当1ω>时)或____(当01ω<<时)到原来的____倍而得到. 函数sin ()y x x R ω=∈(0ω>)中，_____决定了函数的周期T=_____.通常称周期的倒数1f T==_____为_____.【拓展引导】一、课外作业：P55 4，5，6二、课外思考：1. 函数sin cos 1y x x =⋅-的最小正周期与最大值的和是 。
江西省宜中学高中数学《1.8.3 函数的图像》导学案 新人教版必修4
1.8.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像一、课前自主导学【教学目标】函数)sin(ϕω+=x A y 性质的综合应用 【重点难点】理解并掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的性质. 【温故而知新】1.函数)sin ϕ+=x y （，R x ∈（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线 上所有的点_________（当ϕ>0时）或______________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到.2.函数R x x y ∈=,sin ω（其中ω>0且1≠ω）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当ω>1时）或_______（当0<ω<1时） 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到.3.函数A R x x A y (,sin ∈=>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所 有点的纵坐标________（当A>1时）或________（当0<A<1）到原来的A 倍 （横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为_________.最大值为_______ 最小值为______________.4.函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω其中的（A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面 的方法得到：先把正弦曲线上所有的点_______（当ϕ>0时）或_______ （当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度，再把所得各点的横坐标_______ （当ω>1时）或________（当0<ω<1）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得 各点的纵横坐标______（当A>1时）或______（当0<A<1时到原来的A 倍 （横坐标不变）而得到. 答案:1.向左；向右 2.缩短；伸长3.伸长；缩短；[]A A ,-；A ;A -4.向左；向右；缩短；伸长；伸长；缩短【预习自测】1.已知函数)(x f y =，将)(x f 图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得 到的曲线与sinx 21y =的图象相同，那么已知函数)(x f y =的解析式为（ ） A. )22sin(21)(π-=x x f B. )22sin(21)(π+=x x fC. )22sin(21)(π+=x x fD. )2sin(221)(π-=x x f答案；D2、把函数sinx y =的图象向右平移8π后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍， 所得到的函数的解析式为（ ）. A. )8-x 21sin(y π= B. )8x 21sin(y π+= C. )8-x 2sin(y π= D. )4-x 2sin(y π=答案；A3、函数)3x 2sin(3y π+=的图象，可由函数sinx y =的图象经过下述________变换而得到（ ）. A.向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31D.向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标缩小到原来的31答案；B4.函数)4-x 21sin(3y π=的周期是_________，振幅是__________，答案；3,4π5.已知函数)x Asin(y ϕω+=)0,0,0(πϕω<<>>A 的两个邻近的最值点为 （26，π）和（232-，π），则这个函数的解析式为__________. 答案；)62sin(2π+=x y5.已知函数)Asin(y ϕω+=),0,0(πϕω<>>A 的最小正周期是32π，最小值是-2，且图象经过点)095(，π，求这个函数的解析式. 答案；)33sin(2π+=x y【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】已知: 函数)sin()(ϕω+=x A x f ,0(>A ,0>ω)2πϕ<的图像在y 轴上的截距为1,在相邻两最值点()0003,2,,2(0)2x x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭上,)(x f 分别取得 最大值和最小值. (1)求)(x f 的解析式.(2)在区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴?请说明理由. 答案.（1）)632sin(2)(ππ+=x x f （2）不存在 【例2】函数)x Asin()(ϕω+=x f )2,0,0(πϕω<>>A 在)7,0(π∈x 内只取到一个最大值和一个最小值,且当π=x 时,y 有最大值3,当π6=x 时, y 有 最小值3-.(1)求此函数的解析式. (2)求此函数的单调区间.答案：(1)13()3sin()510f x x π=+)103x 513sin()(π+=x f（2）增区间:[])(10,104Z k k k ∈++-ππππ减区间:[])(106,10Z k k k ∈++ππππ【例3】已知: 函数)x sin()(ϕω+=x f )0,0,0(πϕω≤≤>>A 是R 上的偶函数,其图像关于点)0,43(πM 对称,且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调函数,求ωϕ,的值. 答案：10,23πϕω==【例4】已知:函数()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭(其中a 为常数),（1）求()f x 的单调区间.（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 的最大值为4,求a 的值; （3）求使()f x 取最大值时x 的取值集合. 1.增区间:,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,减区间:2,,.63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦2. 1.a =3.6x k ππ=+时,max ()f x 3.a =+【我的收获】三、课后知能检测1.函数)3x 2sin(3y π+=的图象可看作是函数x 2sin 3y =的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（ ）.D A.向右平移3π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位 2.函数)25x 2sin(y π+=的图象的对称轴方程为__________. 【答案】()2k k Z ππ-∈ 3.已知函数)x Asin(y ϕω+=)0,0,0(πϕω<<>>A 的两个邻近的最值点为（26，π）和（232-，π），则这个函数的解析式为___________. 【答案】2sin(2)6y x π=+4.函数)5x 2sin(3Q y +=的图象关于y 轴对称，则Q 的最小值为__________. 【答案】10π5.设0ω>，函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移43π个单位后与原图像 重合，则ω的最小值是_________. 【答案】23=ω 6.已知ω为正数，函数()2sin f x x ω=在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围为________． 【答案】 ⎥⎦⎤ ⎝⎛23,07.函数sin 2()3y x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦是偶函数，且0ϕπ<<，则ϕ=_____， 其单调递减区间为 .【答案】6πϕ=，()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πππ,2 8.函数sinx y =的图象可由)6-x 2cos(y π=的图象经过怎样的变化而得到？【答案】解：)63sin(2π+=x y。
江西省宜春中学高中数学《1.8.2函数的图像》教学案新人教版必修4
1.8.2函数)sin(ϕω+=x A y 的图像一、课前自主导学【教学目标】1．掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的周期，单调性及最值的求法． 2．理解函数)sin(ϕω+=x A y 的对称性． 【重点难点】理解并掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的性质.【教材助读】函数)sin(ϕω+=x A y ）（0,0>>ωA 的性质【预习自测】 1．函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C 2．函数)62sin(π+=x y 的最小正周期是( )A ．π2B ．ΠC ．2πD ．4π【答案】 B 3．函数)43sin(π-=x y 的图像的一个对称中心是( )A ．(－7π12，0)B ．(－π12，0)C ．(7π12，0)D ．(11π12，0)【答案】 A 4．求函数)4cos(21π-=x y 单调减区间．函数的单调减区间为)(452,42Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】 求下列函数的周期： (1)1)32sin(3++=πx y ； (2)1)451sin(4--=πx y ；(3)x y sin =.【解答】 (1)∵2=ω，∴2222===πωπT . (2)∵51=ω，∴ππ10512==T . (3)x y sin =的图像如下：由图像可知，π=T .【例2】已知曲线)sin(ϕω+=x A y ）（2,0,0πϕω<>>A 上的一个最高点的坐标为)2,2(π，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点)0,23(π． (1)求函数的解析式；(2)求出函数y 的单调区间．【解答】 (1)由题意πππ=-=2234T ,ωππ24==T ， ∴2,21==A ω，∴)2sin(2ϕ+=xy ，当2,2==y x π时，即)212sin(22ϕπ+⨯=．∴)(224Z k k ∈+=+ππϕπ，∴)(42Z k k ∈+=ππϕ，∵)2,2(ππϕ-∈，∴4πϕ=.∴)42sin(2π+=x y ；(2)∵当)(22,2242Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈+πππππ时，y 单调递增，∴)(24,234Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ为增区间； 当)(232,2242Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈+πππππ时，y 单调递减， ∴)(254,24Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ(k ∈Z )为减区间． 【例3】已知函数)0)(62cos(>+-=b x b a y π的最大值为32，最小值为－12.(1)求b a ,的值；(2)求函数)3sin(4)(π--=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合．【解答】 (1)∵R x ∈，∴[]1,1)62cos(-∈+πx ，又∵0>b ，∴0<-b ，∴当1)62cos(-=+πx 时,23max =+=b a y ，当1)62cos(=+πx 时,21max -=-=b a y ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+2123b a b a 得1,21==b a . (2)由(1)知：)3sin(2)(π--=x x g g (x )＝－2sin(x －π3)．∵[]1,1)3sin(-∈-πx ，∴当1)3sin(=-πx 时)(x g 取最小值－2.此时Z k k x ∈+=-,223πππ，Z k k x ∈+=,652ππ 所以对应x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,652ππ．【我的收获】三、课后知能检测一、选择题1．已知函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点)0,3(π对称 B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点)0,4(π对称 D ．关于直线3π=x 对称【答案】 A 2．函数)36sin(8π+=x y 取最大值时，自变量x 的取值集合是( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=Z k k x x ,365ππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,336ππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ,3π D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,39ππ【答案】 B3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则=ω( )A ．3B ．2 C.32 D.23【答案】 C4．下列函数中，图像关于直线3π=x 对称的是( )A ．)32sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x yC ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=x y 【答案】 B5．将函数)42sin(π+=x y 的图像向右平移8π个单位，所得图像所对应的函数 是( )A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．奇函数D ．偶函数 【答案】 C 二、填空题 6．当22ππ≤≤-x 时，函数)3sin(2)(π+=x x f 的最大值是________，最小值是________． 【答案】2 －227．关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π有下列结论：①函数的最小正周期为π； ②表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；③函数的图像关于点)0,6(π-对称；④函数的图像关于直线6π-=x 对称．其中正确结论的序号为________．【答案】①②③8．函数)sin(ϕω+=x A y ）（0,0>>ωA 的部分图象如图所示， 则)2013()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于________． 【答案】2＋ 2 三、解答题9．已知函数R x x x f ∈-=),62sin()(π.(1)写出函数)(x f 的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)求函数)(x f 在区间[0，π2]上的最大值和最小值．【解】(1)由)(262Z k k x ∈+=-πππ得，)(32Z k k x ∈+=ππ． 所以函数f (x )的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. 由ππk x =-62得)(122Z k k x ∈+=ππ．所以函数)(x f 的对称中心为Z k k ∈+),0,122(ππ. (2)∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴当662ππ-=-x ，即0=x 时，)(x f 取得最小值－1；当262ππ=-x ，即3π=x 时，)(x f 取得最大值2.10．设函数)0)(2sin()(<<-+=x x x f πϕ，)(x f y =图像的一条对称轴是 直线8π=x .(1)求ϕ；(2)求函数)(x f y =的单调增区间．【解】(1)43πϕ-=. (2)由(1)知43πϕ-=，因此)432sin(π-=x y ． 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，∴函数)432sin(π-=x y 的单调增区间为 )(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ． 11．记函数)0)(35sin(5)(≠-=k x k x f π．(1)写出)(x f 的最大值M ，最小值m ，最小正周期T ；(2)试求正整数k 的最小值，使得当自变量x 在任意两相邻整数间(包括整数 本身)变化时，函数)(x f 至少有一个值是M ，一个值是m .【解】 (1)kT m M π10,5,5=-==.(3)由题意知)(x f 在相邻两整数之间(包括整数本身)至少有一个M 和一个m ，∴最小正周期1≤T ，则110≤kπ，∴π10≥k ,又k 为正整数， ∴正整数k 的最小值为32.。
江西省宜中学高中数学《1.8.1函数的图像》导学案 新人
1.8.1函数)sin(ϕω+=x A y 的图像一、课前自主导学【教学目标】1.了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数)sin(ϕω+=x A y 的图像． 2．理解并掌握函数)sin(ϕω+=x A y 图像的平移与伸缩变换． 3．掌握A 、ω、φ对图像形状的影响． 【重点难点】理解并掌握函数)sin(ϕω+=x A y 图像的平移与伸缩变换、掌握ϕω,,A 图像形 状的影响. 【教材助读】1．参数b A ,,,ϕω的作用 参数作用A ，b A 和b 决定了该函数的值域和振幅，通常称A 为振幅，值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．φφ决定了x ＝0时的函数值，通常称φ为初相．ωω决定了函数的周期，其计算方式为T ＝2πω，周期的倒数f ＝1T ＝ω2π为频率.2.平移变换(1)左右平移(相位变换)：对于函数)0)(sin(≠+=ϕϕx y 的图像，可以看作是 把x y sin =的图像上所有的点向左(当0>ϕ时)或向右(当0<ϕ时)平行移动ϕ个单位长度得到的．(1)上下平移：对于函数b x y +=sin 的图像，可以看作是把x y sin =的图像上 所有点向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b |个单位长度得到的． 3．伸缩变换(1)振幅变换：对于函数)1,0(sin ≠>=A A x A y 的图像可以看作是把x y sin =的图像上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．(2)周期变换：对于函数)1,0(sin ≠>=ωωωx y 的图像，可以看作是把x y sin =的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当10<<ω时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的．【预习自测】 1．函数)52sin(2π+=x y 的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2 D ．π，－2【答案】 B2．要得到)322sin(π-=x y 的图像，需要将函数x y 2sin =的图像( ) A ．向左平移32π个单位长度 B ．向右平移32π个单位长度C ．向左平移3π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度【答案】 D3．函数)52sin(2π+-=x y 的振幅为_______，周期为______，初相为_____．【答案】2，π，π54．如图为函数)sin(ϕω+=x A y 的图像的一段，试解定函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式．【解】由振幅情况知A ＝3，T 2＝5π6－π3＝π2，所以ωππ2==T ⇒2=ωω＝2.由B (π3，0)，令πϕπ=+⨯23，得3πϕ=.所以)32sin(3π+=x y .【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】作函数)631sin(2π-=x y 在长度为一个周期的闭区间上的简图．【思路探究】 函数y ＝2sin(13x －π6)的周期T ＝6π，画出13x －π6取0，π2，π，3π2，2π时的五个关键点，是解答本题的关键．【自主解答】 第一步：列表.第二步：描点(2，0)，(2π，2)，(2，0)，(5π，－2)，(2，0)．第三步：连线画出图像．【例2】说明1)62sin(2+--=πx y 的图像是由x y sin =的图像怎样变换而来的．【解答】 变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩． 变换1(先伸缩后平移)：x y sin =――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换x y sin -=→x y sin 2-=→x y 2sin 2-=→)62sin(2π--=x y→1)62sin(2+--=πx y .变换2(先平移后伸缩)：x y sin =――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换x y sin 2-= →)6sin(2π--=x y →)62sin(2π--=x y y ＝－2sin(2x －π6)＋1.【例3】若函数b x A x f ++=)sin()(ϕω(其中2,0,0πϕω<>>A )的图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求)2012()3()2()1()0(f f f f f S +++++=Λ的值．【解答】(1)12sin 21)(+=x x f π. (2)由(1)知函数12sin 21)(+=x x f π，周期4=T .∴)2012()3()2()1()0(f f f f f S +++++=Λ[]503)4()3()2()1()0(⨯++++=f f f f f又∵1)0(=f ，23)1(=f ，1)2(=f ，21)3(=f ，1)4(=f ， ∴20135031211231=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=S【我的收获】三、课后知能检测一、选择题1．已知简谐运动)2)(3sin(2)(πϕϕπ<+=x x f 的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初期ϕ分别为( ) A ．6,6πϕ==T B ．3,6πϕ==TC ．6,6πϕπ==T D ．3,6πϕπ==T【答案】 A2．要得到函数)12cos(+=x y 的图像，只要将函数x y 2cos =的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位.【答案】 C3．已知函数B x A y ++=)sin(ϕω的一部分图像如图所示，如果2,0,0πϕω<>>A ，则( )A ．4=AB ．1=ωC ．6πϕ= D ．4=B .【答案】 C4．在同一平面直角坐标系中，函数[])2,0)(232cos(ππ∈+=x x y 的图像和 直线21=y 的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C5．把函数12cos +=x y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标 不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像 是( )【答案】 A 二、填空题6．函数)sin(ϕω+=x A y (ϕω,,A 为常数，0,0>>ωA )在闭区间[]0,π-上 的图像如图所示，则ω等于________．【答案】 37．把函数)32sin(2π+=x y 的图像向左平移m 个单位，所得图像关于y 轴对称 ，则m 的最小正值是________．【答案】 56π8．已知函数)0)(6sin(3)(>-=ωπωx x f 和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的图像 的对称轴完全相同．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则)(x f 的取值范围是________．【答案】 [－32，3]三、解答题9．若函数b x A y ++=)sin(ϕω)2,0,0(πϕω<>>A 在其一个周期内的图像上有一个最高点)3,12(π和一个最低点)5,127(-π，求该函数的解析式．【解】 由题意知：1-=b ，4,==A T π，∴2=ω. 所以所求函数为1)2sin(4-+=ϕx y .∵)3,12(π为该函数图像上的点，∴当12π=x 时，3=y .即31)2sin(4=-+ϕx ∴1)6sin(=+ϕπ，∴Z k k ∈+=+,226ππϕπ∴ππϕk 23+=,∵2πϕ<,∴3πϕ=∴该函数的解析式为1)32sin(4-+=πx y .10．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=421sin 3πx y ，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像；(3)说明⎪⎭⎫⎝⎛-=421sin 3πx y 的图像可由x y sin =的图像经怎样的变换而得到．【解】(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421sin 3πx y 的振幅3=A ，周期π4=T ，初相4πϕ-=.(2)列出下表，并描点画出图像如图. 12x －π4 0 π2π 3π2 2π x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 y3－3(3)①把x y sin =的图像上所有的点向右平移π4个单位长度，得到)4sin(π-=x y 的图像；②把)4sin(π-=x y 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到)421sin(π-=x y 的图像；③将)421sin(π-=x y 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到)421sin(3π-=x y 的图像．11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=380),sin(202,1πϕωx x x kx y 的图像如图所示，试求ϕω,,k 的值．【解】 由于[－2,0)上图像是一线段，由(0,1)和(－2,0)知21=k . 当380π≤≤x 时，πππ4)3538(4=-=T ，故21=ω.将点)0,35(π代入)21sin(2ϕ+=x y 得Z n n ∈=+⨯,3521πϕπ. ∴Z n n ∈-=,65ππϕ.。
江西省宜春中学高中数学 2.4.4 图像变换的应用导学案 新人教版必修1
江西省宜春中学高中数学 2.4.4图像变换的应用导学案 新人教版必修1【教学目标】1.掌握函数图像的平移变换，伸缩变换和对称变换；2.会利用函数图像理解和研究函数性质并解决问题。
【教学过程】一、预习导航，要点指津1． 伸缩变换：函数)1)((≠=A x Af y 的图像可由)(x f y =的图像上各点的纵坐标变成原来的A 倍，横坐标不变。
2.平移变换：函数()y f x h k =++)0,0(≠≠k h 的图像可由()y f x =先向左)0(>h 或向右)0(<h 平移||h 个单位，再将所得图像向上)0(>k 或向下)0(<k 平移||k 个单位得到。
（口诀：左加右减，上加下减）3.对称变换①函数|)(|x f y =的图像可由()y f x =在y 轴右侧的部分及其该部分关于y 轴对称的部分； ②函数|)(|x f y =的图像可通过作()y f x =的图像，然后把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分保持不变而得到。
③函数)(x f y -=的图像可通过作()y f x =的图像关于y 轴对称的图形而得到； ④函数)(x f y -=的图像可通过作()y f x =的图像关于x 轴对称的图形而得到； ⑤函数)(x f y --=的图像可通过作函数()y f x =的图像关于原点对称的图形而得到。
二、自主探索，独立思考（约10分钟） 例1、已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，利用函数图像的变换，分别作出)1(-=x f y ,)(x f y -=,|)(||),(|x f y x f y ==的图像。
【教学笔记】例2、函数a x x y +-=||2与x 轴有两个交点，求a 的取值范围。
例3、已知函数1|1|2--=x x y 的图像与函数kx y =的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 )2,1()1,0(变式：若将例3中kx y =改为2-=kx y ，其他不变，则k 的取值范围是答案：)4,1()1,0(三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟） 各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。
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1.8.2函数)sin(ϕω+=x A y 的图像一、课前自主导学【教学目标】1．掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的周期，单调性及最值的求法． 2．理解函数)sin(ϕω+=x A y 的对称性． 【重点难点】理解并掌握函数)sin(ϕω+=x A y 的性质.【教材助读】函数)sin(ϕω+=x A y ）（0,0>>ωA 的性质【预习自测】 1．函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C 2．函数)62sin(π+=x y 的最小正周期是( )A ．π2B ．ΠC ．2πD ．4π【答案】 B 3．函数)43sin(π-=x y 的图像的一个对称中心是 ( )A ．(－7π12，0)B ．(－π12，0)C ．(7π12，0)D ．(11π12，0)【答案】 A 4．求函数)4cos(21π-=x y 单调减区间．函数的单调减区间为)(452,42Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】 求下列函数的周期： (1)1)32sin(3++=πx y ； (2)1)451sin(4--=πx y ；(3)x y sin =.【解答】 (1)∵2=ω，∴2222===πωπT . (2)∵51=ω，∴ππ10512==T . (3)x y sin =的图像如下：由图像可知，π=T .【例2】已知曲线)sin(ϕω+=x A y ）（2,0,0πϕω<>>A 上的一个最高点的坐标为)2,2(π，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点)0,23(π． (1)求函数的解析式；(2)求出函数y 的单调区间．【解答】 (1)由题意πππ=-=2234T ,ωππ24==T ， ∴2,21==A ω，∴)2sin(2ϕ+=xy ，当2,2==y x π时，即)212sin(22ϕπ+⨯=．∴)(224Z k k ∈+=+ππϕπ，∴)(42Z k k ∈+=ππϕ，∵)2,2(ππϕ-∈，∴4πϕ=.∴)42sin(2π+=x y ；(2)∵当)(22,2242Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈+πππππ时，y 单调递增，∴)(24,234Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ为增区间； 当)(232,2242Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈+πππππ时，y 单调递减， ∴)(254,24Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ(k ∈Z )为减区间． 【例3】已知函数)0)(62cos(>+-=b x b a y π的最大值为32，最小值为－12.(1)求b a ,的值；(2)求函数)3sin(4)(π--=bx a x g 的最小值并求出对应x 的集合．【解答】 (1)∵R x ∈，∴[]1,1)62cos(-∈+πx ，又∵0>b ，∴0<-b ，∴当1)62cos(-=+πx 时,23max =+=b a y ，当1)62cos(=+πx 时,21max -=-=b a y ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+2123b a b a 得1,21==b a . (2)由(1)知：)3sin(2)(π--=x x g g (x )＝－2sin(x －π3)．∵[]1,1)3sin(-∈-πx ，∴当1)3sin(=-πx 时)(x g 取最小值－2.此时Z k k x ∈+=-,223πππ，Z k k x ∈+=,652ππ 所以对应x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,652ππ．【我的收获】三、课后知能检测一、选择题1．已知函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点)0,3(π对称 B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点)0,4(π对称 D ．关于直线3π=x 对称【答案】 A 2．函数)36sin(8π+=x y 取最大值时，自变量x 的取值集合是( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=Z k k x x ,365ππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,336ππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ,3π D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,39ππ【答案】 B3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则=ω( )A ．3B ．2 C.32 D.23【答案】 C4．下列函数中，图像关于直线3π=x 对称的是( )A ．)32sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x yC ．)62sin(π+=x y D ．)62sin(π+=x y 【答案】 B5．将函数)42sin(π+=x y 的图像向右平移8π个单位，所得图像所对应的函数 是( )A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．奇函数D ．偶函数 【答案】 C 二、填空题 6．当22ππ≤≤-x 时，函数)3sin(2)(π+=x x f 的最大值是________，最小值是________． 【答案】2 －227．关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π有下列结论：①函数的最小正周期为π； ②表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；③函数的图像关于点)0,6(π-对称；④函数的图像关于直线6π-=x 对称．其中正确结论的序号为________．【答案】①②③8．函数)sin(ϕω+=x A y ）（0,0>>ωA 的部分图象如图所示， 则)2013()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于________． 【答案】2＋ 2 三、解答题9．已知函数R x x x f ∈-=),62sin()(π.(1)写出函数)(x f 的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)求函数)(x f 在区间[0，π2]上的最大值和最小值．【解】(1)由)(262Z k k x ∈+=-πππ得，)(32Z k k x ∈+=ππ． 所以函数f (x )的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. 由ππk x =-62得)(122Z k k x ∈+=ππ．所以函数)(x f 的对称中心为Z k k ∈+),0,122(ππ. (2)∵20π≤≤x ，∴65626πππ≤-≤-x ，∴当662ππ-=-x ，即0=x 时，)(x f 取得最小值－1；当262ππ=-x ，即3π=x 时，)(x f 取得最大值2.10．设函数)0)(2sin()(<<-+=x x x f πϕ，)(x f y =图像的一条对称轴是 直线8π=x .(1)求ϕ；(2)求函数)(x f y =的单调增区间．【解】(1)43πϕ-=. (2)由(1)知43πϕ-=，因此)432sin(π-=x y ． 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，∴函数)432sin(π-=x y 的单调增区间为 )(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ． 11．记函数)0)(35sin(5)(≠-=k x k x f π．(1)写出)(x f 的最大值M ，最小值m ，最小正周期T ；(2)试求正整数k 的最小值，使得当自变量x 在任意两相邻整数间(包括整数 本身)变化时，函数)(x f 至少有一个值是M ，一个值是m .【解】 (1)kT m M π10,5,5=-==.(3)由题意知)(x f 在相邻两整数之间(包括整数本身)至少有一个M 和一个m ，∴最小正周期1≤T ，则110≤kπ，∴π10≥k ,又k 为正整数， ∴正整数k 的最小值为32.。