九年级数学提高练2

合集下载

第2章直角三角形的边角关系同步提升训练(附答案)2021-2022学年鲁教版九年级数学上册

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》同步能力提升训练（附答案）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝（）A．B．C．D．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tan A的值逐渐增大，cot A的值逐渐减小；②tan12°•tan78°＝1；③在△ABC中，已知∠C＝90°，如果tan（90°﹣A）＝2，那么cot（90°﹣A）＝2；④若∠A为锐角，则0＜tan A＜1．A．①②B．③④C．①②③D．③④3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，那么∠C的度数为（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝24，cos B＝，则AD的长为（）A．12B．10C．6D．56．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为3：1，休闲平台DE的长是（）米．A．20B．15C．D．9．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里11．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝．12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，则sin B＝．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么tan∠BAH 的值是．15．如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i ＝1：3，斜坡CD的坡度i＝1：2.5，则坝底宽AD＝m．16．如图是学生用的台灯，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是cm（用含根号的式子表示）．17．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．18．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sin A+cos A＝．试求：（1）sin A•cos A的值；（2）sin A﹣cos A的值．19．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．20．如图△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm；△DEF中∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝3cm．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB 方向移动（如图）．在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A 重合，一直移动至点F与点B重合为止）．（1）当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？（2）在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD＝22.5°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．21．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）22．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）参考答案1．解：如图，∵BC≥AC，∴只有BC边上的中线，满足条件，AD＝BC，设CD＝BD＝a．则AD＝2a，CD＝a，AD＝2CD，∵∠C＝90°，∴∠DAC＝30°，∴AC＝a，∴tan B＝＝．故选：B．2．解：①根据锐角三角函数的增减性，可知正确；②∵tan78°＝cot12°，∴tan12°•tan78°＝1．正确；③根据同角的正切和余切互为倒数．错误；④如tan60°＝＞1．错误．故选：A．3．解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．解：∵|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，∴|sin A﹣|＝0，（1﹣tan B）2＝0，∴sin A＝，tan B＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C的度数为：180°﹣30°﹣45°＝105°．故选：C．5．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝12．在直角△ABD中，∵cos B＝＝，∴AB＝13，∴AD＝＝＝5．故选：D．6．解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．7．解：作OG⊥AB于点G，∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，故选：D．8．解：延长DE交BC于H．由题意BH：EH＝3：1，在Rt△ABC中，AB＝60，∠BAC＝45°，∵BC＝AC＝60，∵AD＝DB，DH∥AC，∴BH＝CH＝30，∴DH＝AC＝30，∴EH＝10，DE＝30﹣10＝20，故选：A．9．解：过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．10．解：在Rt△P AB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2P A，∵P A＝AB•tan60°，∴PC＝2×20×＝40（海里），故选：D．11．解：在Rt△ABD中，∵tan∠D＝＝，∴设AB＝2x，AD＝3x，∵∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝2x，则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，∴＝＝，故答案为：．12．解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．13．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，即＝，设CB＝2x，则AB＝3x，根据勾股定理可得：AC＝x．∴sin B＝＝＝．故答案为：．14．解：设AH＝BC＝2x，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝x，∴tan∠BAH＝，故答案为：15．解：∵AB的坡度i＝1：3，∴tan A＝，∴＝，∵BE＝23，∴AE＝69，∵BC＝6，∴EF＝6，∵CD的坡度i′＝1：2.5，∴tan D＝＝，∴＝，∴DF＝57.5，∴AD＝AE+EF+DF＝69+6+57.5＝132.5（m）．答：坝底宽AD的长是132.5m．故答案为：132.5．16．解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，∴sin30°＝，∴CF＝15cm，在直角三角形ABG中，sin60°＝，∴，解得：BG＝20，又∠ADC＝∠BFD＝∠BGD＝90°，∴四边形BFDG为矩形，∴FD＝BG，∴CE＝CF+FD+DE＝CF+BG+ED＝15+20+2＝17+20（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是17+20cm．17．解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AC＝5，，∴AD＝AC•sin C＝3．∴在Rt△ACD中，．∵AB＝，∴在Rt△ABD中，．∴BC＝BD+CD＝7．18．解：（1）∵sin A+cos A＝，∴sin2A+cos2A+2sin A cos A＝，即1+2sin A cos A＝，∴sin A cos A＝；（2）∵（sin A﹣cos A）2＝sin2A+cos2A﹣2sin A cos A，＝1﹣，＝，∴sin A﹣cos A＝±．19．解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC＝MD，OC＝OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM＝∠DOM，又∵OC＝OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM＝∠DOM，∴∠COM＝，在Rt△COM中，CM＝OC•tan∠COM＝m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．20．解：（1）AD＝（10﹣3）cm时，BE∥AC．理由如下：连接EB，设EB∥AC，则∠EBD＝∠A＝30°，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm，∴AB＝10cm，又∵∠FDE＝90°，DE＝3cm，∴DB＝3cm∴AD＝AB﹣BD＝（10﹣3）cm，∴AD＝（10﹣3）cm时，BE∥AC；（2）在△DEF的移动过程中，当AD＝（7﹣3）cm时，使得∠EBD＝22.5°．理由如下：假设∠EBD＝22.5°．∵在△DEF中，∠D＝90°，∠DEF＝45°，DE＝3cm，∴EF＝3cm，∠DEF＝∠DFE＝45°，DE＝DF＝3cm．又∵∠DFE＝∠FEB+∠FBE＝45°，∴∠EBD＝∠BEF，∴BF＝EF＝3，∴AD＝AB﹣BF﹣DF＝7﹣3（cm）．∴在△DEF的移动过程中，当AD＝（7﹣3）cm时，使得∠EBD＝22.5°．21．解：由题意可得：tan72°＝＝＝，解得：BC＝，则AB＝BC+AC＝+2＝（m），故sin35°＝＝＝，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的长为26.2m．22．解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．设PE＝x米，∵tan∠P AB＝＝，∴AE＝2x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，∴100+2x＝100﹣x，解得x＝（米）．答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．。

《第2章一元二次方程》同步能力提升训练(附答案)2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》同步能力提升训练（附答案） 1．两个关于x 的一元二次方程2c 0ax bx ++=和2a 0cx bx ++=，其中a ，b ，c 是常数，且a c 0+=，如果2020x =是方程2c 0ax bx ++=的一个根，那么下列各数中，一定是方程2a 0cx bx ++=的根的是（） A ．±2020B ．12020-C ．-2020D ．120202．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n 行有n 个点…，前n 行的点数和不能是以下哪个结果（）A ．741B ．600C ．465D ．3003．若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=≠有一根为2020，则方程()()2115a x b x +++=-必有根为（）A ．2021B ．2020C ．2019D ．20154．方程(1)(3)1x x x -+=-的根是（） A ．1x =B ．123,1x x =-=C ．122,1x x =-=D ．123,0x x =-=5．已知m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m 的值为（） A ．2020B ．2021C ．2019D ．-20206．已知关于x 的一元二次方程2104x x m -+=有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b ，令24433y b b m =--+，则（） A ．1y >-B ．1y ≥-C ．1y ≤D ．1y <7．若关于x 的一元二次方程2230kx x --=有实数根，则字母k 的取值范围是（）A ．12k- B ．12k-且0k ≠ C ．13k - D ．13k-且0k ≠ 8．已知4是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（） A ．7B ．7或10C ．10或11D ．119．如图，一次函数23y x =+与y 轴相交于点A ，与x 轴相交于点B ，在直线AB 上取一点P （点P 不与A ，B 重合），过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为点Q ，连结PO ，若PQO 的面积恰好为916，则满足条件的P 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（） A ．2000(1)2420x += B ．2000(12)2420x += C ．22000(1)2420x -=D ．22000(1)2420x +=11．关于x 的一元二次方程2(1)10mx m x -++=有两个不等的整数根，m 为整数，那么m 的值是_________．12．已知方程2410x x --=的两根为12,x x ，则()()1211x x --=________． 13．关于x 的方程x 2-kx -2k =0的两个根的平方和为12，则k =________． 14．如图，在平行四边形ABCD 中，2AD =，AB 6=B 是锐角，AE BC ⊥于点E ，F 是AB 的中点，连结,DF EF ．若90EFD ∠=︒，则AE 的长为__________．15．如图，长方形ABCD （长方形的对边相等，每个角都是90︒），6,2AB cm AD cm ==，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t ．（1）当点P 和点Q 距离是3cm 时，t =_________．（2）当t =_________，以点P 、Q 、D 为顶点的三角形以PD 为腰的等腰三角形．16．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长（OA OB <）是关于x 的方程218720x x -+=的两个实数根，C 是线段的OB 中点．（1）求直线AC 的解析式______；（2）若P 是直线AC 上的点，求平面内使O 、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形的点Q 坐标_____． 17．解方程（1）（直接开平方法）（2）（配方法）（3）（分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=-12（运用适当的方法）18．阅读下列材料，解答问题：解方程2||60x x --=．解：①当0x ≥时，原方程变形为260x x --=，解得12x =-（舍去），23x =； ②当0x <时，原方程变形为260x x +-=，解得12x =（舍去），23x =-．∴原方程的解为13x =，23x =-．请参照上述解法解方程22|4|270x x -+-=．19．已知关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=有两个不等的实根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大整数值时，ABC ∆的三条边长均满足关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=，求ABC ∆的周长．20．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0 （1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值． 21．如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______．（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求；ΔABC 的面积（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？22．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价． 23．接种疫苗是阻断病毒传播的有效途经，为了保障人民群众的身体健康，我国目前正在开展新冠疫苗大规模接种工作．现有A 、B 两个社区疫苗接种点，已知A 社区疫苗接种点每天接种的人数是B 社区疫苗接种点每天接种人数的1.2倍，A 社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比B 社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天．（1）求A 、B 两个社区疫苗接种点每天各接种多少人？（2）一段时间后，A 社区接种点每天前来接种的人数比（1）中的人数减少了10m 人，而B 社区疫苗接种点由于加大了宣传力度，每天前来接种的人数增加到了（1）中A 社区疫苗接种点每天接种的人数，这样A 社区接种点3m 天与B 社区接种点()20m +天一共种完了69000支疫苗，求m 的值11．-1.解:∵一元二次方程2(1)10mx m x -++=有两个不等的整数根， ∴△＞0，∴2[(1)]4m m -+-＞0， ∴2(1)m -＞0， ∴m≠1，∵1|1|2m m x m+±-=，∴当m ＞1时，1(1)2m m x m+±-=，∴1112m m x m ++-==1，21112m m x m m+-+==，∵一元二次方程2(1)10mx m x -++=有两个不等的整数根，m 为整数， ∴m=1，与m≠1矛盾， ∴此种情形不成立；∴当m ＜1时，1(1)2m m x m+±-=，∴111-2m m x m++==1m ，211m 12m x m +-+==， ∵一元二次方程2(1)10mx m x -++=有两个不等的整数根，m 为整数， ∴m=-1， ∴此种情形成立；综上所述，m 的值为-1，故答案为：-1. 12．4-解：方程2410x x --=的两根为12,x x ，所以，124x x +=，121x x ⋅=-，()()121212111()x x x x x x --+-+=，把124x x +=，121x x ⋅=-代入得，原式=1414--=-，故答案为：-4． 13．2解:设关于x 的方程x 2-kx -2k =0的两实数根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=k ，x 1•x 2=-2k ．∵原方程两实数根的平方和为12， ∴222121212()212x x x x x x +=+-=， ∴22(2)12k k --=，即24120k k +-=．解得：12k =，26k =-． ∵方程有两实数根，∴24(2)0k k ∆=-⨯-≥，即280k k +≥， ∴0k ≥或8k ≤-． ∴26k =-舍去．综上2k =．故答案为：2． 14．5解：如图，延长EF 交DA 的延长线于Q ，连接DE ，设BE ＝x ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DQ ∥BC ， ∴∠Q ＝∠BEF ，∵AF ＝FB ，∠AFQ ＝∠BFE ， ∴△QFA ≌△EFB （AAS ）， ∴AQ ＝BE ＝x ，QF ＝EF ， ∵∠EFD ＝90°， ∴DF ⊥QE ， ∴DQ ＝DE ＝x ＋2， ∵AE ⊥BC ，BC //AD ， ∴AE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠EAD ＝90°， ∵AE 2＝DE 2−AD 2＝AB 2−BE 2， ∴（x ＋2）2−4＝6−x 2，整理得：2x 2＋4x −6＝0，解得x ＝1或−3（舍弃）， ∴BE ＝1， ∴AE=，15 65 解：（1）如图，作QE ⊥AB 于E ， ∴∠PEQ=90°， ∵∠B=∠C=90°， ∴四边形BCQE 是矩形， ∴QE=BC=2cm ，BE=CQ=t ． ∵AP=2t ， ∴PE=6-2t-t=6-3t ．在Rt △PQE 中，由勾股定理，得（6-3t）2+4=9，解得：t=653±，如图，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6-2t．∵CQ=t，∴QE=t-（6-2t）=3t-6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t-6）2+4=9，解得：t=653±，综上所述：t=653-或653+；（2）如图，连接DP，过点P作PG⊥CD，∵点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．∴①当PD=PQ时，即：PD2=PQ2，在Rt △APD 中，AD=2，AP=2t ， ∴PD 2=AD 2+AP 2=4+4t 2，由（2）知，PQ 2=PG 2+QG 2=4+（6-3t ）2， ∴4+4t 2=4+（6-3t ）2， ∴t=6（舍）或t=65，当PD=DQ 时，即：PD 2=DQ 2， ∴4+4t 2=（6-t ）2，∴综上：t=6516．y =-x +6 （3，-3）或（--6，6）解：（1）方程x 2-18x +72=0，因式分解得：（x -6）（x -12）=0，解得：x 1=6，x 2=12，即OA =6，OB =12，即A （6，0），B （0，12）， ∵C 是线段的OB 中点， ∴OC =6，即C （0，6），设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则066k b b =+⎧⎨=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =-x +6；（2）若OA 为菱形的对角线，如图，四边形OP 1AQ 1为菱形，则P 1和Q 1在OA 的垂直平分线上， ∵AC 的解析式为：y =-x +6， ∴∠OAC =45°，则∠CAQ 1=90°，此时菱形OP 1AQ 1为正方形，又OA =6， ∴Q 1（3，-3）；若OA为菱形的边，当四边形OAP2Q2为菱形时，AP2∥OQ2，OQ2=OA=6，∴∠CAO=∠DOQ2=∠COQ2=45°，∴262=32，∴Q2（32-，32）；当四边形OAP3Q3为菱形时，同理可得：Q3（32，32-）；当四边形OAQ4C为菱形时，此时点P和点C重合，则∠AOC=90°，则此时菱形OAQ4C是正方形，∴Q4（6，6）；综上：点Q的坐标为（3，-3）或（32-，32）或（32，32-）或（6，6）．故答案为：y=-x+6；（3，-3）或（32-323232-6，6）．17．（1）x=1.x=5 (2) x=3214+, x=3214-(3) x=2/3,x=4 (4)x=-4,x=-5 【解析】试题分析：第(1)小题用直接开方法；第(2)小题用配方法；第(3)小题用因式分解法：提取公因式；第(4)小题用因式分解法.试题解析：()()21238,x -=2(3)4x -=， 32,x -=±121 5.x x ∴==，()224630x x --=， 233024x x ∴--=， 23324x x ∴-=, 22233332444x x ⎛⎫⎛⎫∴-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 2321416x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,344x ∴-=或344x -=-,12x x ∴== ()23(23)5(23)x x -=-,2(23)5(23)0x x ∴---=,(23)(235)0x x ∴---=,230,2350x x ∴-=--=,123 4.2x x ∴==， ()4(8)(1)12,x x ++=29200,x x ∴++=()4(5)0x x ∴++=,40,50x x ∴+=+=,124,5x x ∴=-=-．18．17x =，21x =--解：①当4x ≥-时，原方程变形为22(4)270x x -+-=，22350x x --=，(7)(5)0x x -+=，17x =，25x =-（舍去）．②当4x <-时，原方程变形为22(4)270x x ++-=，22190x x +-=，2(1)20x +=，11x =--21x =-+，∴原方程的解为17x =，21x =--19．（1）133a <且3a ≠；（2）ABC ∆的周长为3或9或7．解：（1）关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=有两个不相等的实数根， ∴30164(3)30a a -≠⎧⎨--⨯>⎩，解得133a <且3a ≠．（2）由（1）得a 的最大整数值为4； 2430x x ∴-+=解得：1213x x ==．ABC ∆的三条边长均满足关于x 的一元二次方程2(3)430a x x --+=，∴①三边都为1，则ABC ∆的周长为3；②三边都为3，则ABC ∆的周长为9；③三边为1，1，3，因为113+<，不符合题意，舍去；④三边为1，3，3，则ABC ∆的周长为7．∴ABC ∆的周长为3或9或7．20．（1）（2）k ＝1或k ＝3；（3）k 的值为﹣3或0解：（1）证明：当k +1=0，即k =-1时，原方程为-4x -4=0，解得：x =-1；当k +1≠0，即k ≠-1时，△=（3k -1）2-4（k +1）（2k -2）=k 2-6k +9=（k -3）2≥0，∴方程有实数根，综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）∵方程有两个整数根，∴()1133121k k x k -+-==-+，()()()2133214=-2+21+1k+1k k k x k k ----==+，且k ≠﹣1， ∵x 2为整数，k 为正整数，∴k =1或k =3；（3）由（2）得x 1=-1，24-2+k+1x =，且k ≠-1， ∴|x 1-x 2|=44-1--2+13k+11k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，解得：k =-3或k =0，经检验k =﹣3或k =0是原方程的解，故k 的值为﹣3或0．21．（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813解：（1）∵直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+，∵经过点()4,0A 和点(2,3)C -，∴0432k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-． ∴直线2l 的解析式为：362y x =-；（3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABC S=⨯⨯=；（4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，∵A （4,0），B （1,0），∴点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，∵222PH AH AP +=，∴2223(6)(4)32x x -+-=，解得x =5261313±；③当AB=BP =3时，作PM ⊥x 轴于点M ，∵222PM BM BP +=， ∴2223(6)(1)32x x -+-= 解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5261313±． 22．（1）280；（2）23元或19元；（3）19元解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．故答案为：280．（2）设每件商品降价x 元，则销售每件商品的利润为（25-15-x ）元，平均每天可售出80+0.5x ×20=（40x+80）件，依题意，得：（25-15-x ）（40x+80）=1280，整理，得：x 2-8x+12=0，解得：x 1=2，x 2=6，∴25-x=23或19．答：每件商品的定价应为23元或19元．（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，∴25-x=19．答：商品的销售单价为19元．23．（1）A 社区疫苗接种点每天各接种1200人，B 社区疫苗接种点每天各接种1000人；（2）m的值是10解：（1）设B社区疫苗接种点每天各接种x人，则A社区疫苗接种点每天各接种1.2x人，根据题意，得：6000600011.2+=x x解得x=1000．经检验x=1000是原方程的解，且符合题意．所以1.2x=1200．答：A社区疫苗接种点每天各接种1200人，B社区疫苗接种点每天各接种1000人；（2）根据题意，得（1200-10m）•3m+1200（m+20）=69000，整理，得m2-160m+1500=0．解得m1=150（舍去），m2=10，答：m的值是10．。

人教版九年级数学上册《二次函数》能力提升卷

人教版九年级数学上册22.1.1二次函数能力提升卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列函数中，是二次函数的有( )①y＝1－3x2；②y＝1x2；③y＝x(1＋x)；④y＝(1－2x)(1＋2x)．A．1个B．2个C．3个D．4个2．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则()A．m≠－2 B．m≠2C．m≠3 D．m≠－33．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是()A．y＝mx2＋3x－1B．y＝(m－1)x2C．y＝(m－1)2x2D．y＝(－m2－1)x24．二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象一定经过点()A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，1)5．无论m为何实数，二次函数y＝x2－(2－m)x＋m的图象总是过定点()A．(－1，3) B．(1，0)C．(1，3) D．(－1，0)6. 设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是( )A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不正确7．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是() A．a＝1，b＝－3，c＝5B．a＝1，b＝3，c＝5C．a＝5，b＝3，c＝1D．a＝5，b＝－3，c＝18．已知x是实数，且满足(x－2)(x－3)1－x＝0，则相应的函数y＝x2＋x＋1的值为()A．13或3 B．7或3C．3 D．13或7或39．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么销售该商品所赚利润y(元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式为()A．y＝－10x2－560x＋7 350B．y＝－10x2＋560x－7 350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－7 35010．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF.四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为()A．y＝5－x2(0≤x＜5)B．y＝5－x2(0≤x＜5)C．y＝25－x2(0≤x＜25)D．y＝25－x2(0≤x＜5)二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知y＝(m－2)x2＋3x＋6是二次函数，则m的取值范围是．12. 对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数项的和是____．13．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.(1)当__________时，x，y之间是二次函数关系；(2)当______________时，x，y之间是一次函数关系．14．国家对某种商品价格分两次降价，若平均每次降价的百分率为x，且该药品的原价是28元/盒，降价后的价格为y元/盒，则y与x的函数关系式为y＝28(1－x)2，自变量x的取值范围是__________. 15．已知二次函数y＝x2－2x－2，当x＝2时，y＝____；当x＝______________时，函数值为1. 16．当a＝________时，函数y＝(a－2)x a2－2＋ax－1是二次函数．17．若等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为．18．一块矩形的草坪，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2. 则y与x的函数关系式是________ ．.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 写出下列函数自变量x的取值范围：(1)y＝x(x－1)；(2)y＝x1－2x；(3)y＝3x－4.20．(6分) 如图，有一根长60 cm的铁丝，用它围成一个矩形．(1)写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式；(2)当S＝125时，求x的值．21．(6分) 如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y(厘米2)与时间t(秒)之间的函数关系式．22．(6分)若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3.(1)m取什么值时，此函数是二次函数？(2)m取什么值时，此函数是一次函数？23．(6分)某商店以每副42元的价格购进一种手套，根据试销得知这种手套每天的销售量t(副)与每副的售价x(元)之间可以看成一次函数关系：t＝－4x＋204.请写出每天的销售利润y(元)与每副的售价x(元)之间的函数解析式，并确定自变量x的取值范围．24．(8分)某商场每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，这种商品每降价1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利多少元．(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利y元．①若商场经营该商品一天要获利2 160元，则每件商品要降价多少元？②求y与x之间的函数关系式．25．(8分) 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，一点到达终点后，另一点随即停止运动，设运动时间为x s ，△PBQ 的面积为y cm 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)当x 为多少时，△PBQ 的面积为4 cm 2?(3)△PBQ 的面积能否等于7 cm 2？说明理由．参考答案1-5CBDDA 6-10CDCBD11. m≠212. 013. a≠2；a ＝2且b≠－214. 0＜x ＜115. －2；3或－116. －217. y ＝34x 218. y ＝x 2＋14x(x≥0)19. 解：(1)任意实数 (2)x≠12(3)x ＞420. 解：(1)S ＝x·60－2x2＝－x 2＋30x.(2)当S ＝125时，－x 2＋30x ＝125，即x 2－30x ＋125＝0.∴ x 1＝5，x 2＝25.21. 解：由题意知，AM ＝20－2t ，则重叠部分的面积y ＝12×AM 2＝12(20－2t)2，即y ＝12(20－2t)2＝2t 2－40t ＋200(0≤t≤10)． 22. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2＋2m －1＝2，得m ＝－3(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2＋2m －1＝1，得m ＝－1±323. 解：y ＝(x －42)t ＝(x －42)(－4x ＋204)，即y ＝－4x 2＋372x －8 568.因为每副手套的进价为42元，所以x≥42.而t≥0，故－4x ＋204≥0，即x≤51.所以自变量x 的取值范围为42≤x≤51.24. 解：(1)商场经营该商品原来一天可获利100×(100－80)＝2 000(元)．(2) ①依题意，得(100－80－x)(100＋10x)＝2 160，即x 2－10x ＋16＝0，解得x 1＝2，x 2＝8.因为要尽量减少库存，所以x 应取8，即每件商品要降价8元．②依题意，得y ＝(100－80－x)(100＋10x)＝－10x 2＋100x ＋2 000.25. 解：(1)y ＝12PB·BQ ＝12·(5－x)·2x ＝－x 2＋5x(0＜x≤3.5)． (2)由－x 2＋5x ＝4，解得x 1＝1，x 2＝4(舍去)．∴当x ＝1时，△PBQ 的面积为4 cm 2.(3)不能．理由如下：由－x 2＋5x ＝7，得x 2－5x ＋7＝0.∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0，∴此方程无实数根．∴△PBQ 的面积不能等于7 cm 2.1、在最软入的时候，你会想起谁。

湘教版九年级上学期数学第2章一元二次方程能力提升习题课件共23张

∵x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0， ∴(x－k－1)(x－k－2)＝0，∴x＝k＋1 或 x＝k＋2. ①当 k＋1＝k＋2 时，不成立； ②当 k＋1＝4 时，k＝3，∴k＋2＝5，∴周长为 4＋4＋5＝13； ③当 k＋2＝4 时，k＝2，∴k＋1＝3，∴周长为 3＋4＋4＝11. 综上所述，k 的值为 2 或 3，△ABC 的周长为 11 或 13. 【答案】2或3；11或13
(3)x(x－4)＝8－2x(因式分解法 )；
解：方程整理得 x(x－4)＋2(x－4)＝0，分解因式得 (x－4)(x＋2)＝0，解得 x1＝4，x2＝－2. (4)(x＋1)(x－2)＝4(公式法 )．方程整理得 x2－x－6＝0， ∴Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝1＋24＝25＞0，∴x＝1±2 25，解得 x1＝3，x2＝－2.
14．设 a，b 是直角三角形的两条直角边的长，且 (a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝20，则直角三角形的斜边长为____2____．
15．已知△ABC 的两边 AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 4，若△ABC 是等腰三角形，则 k＝________ ，△ABC 的周长为 ________.
B．公式法；配方法；因式分解法；配方法
C ．直接开平方法；公式法；因式分解法；配方法
D．直接开平方法；配方法；公式法；公式法
7．解下列一元二次方程． (1)4(x－1)2－36＝0(直接开平方法)；
解：方程整理得 (x－1)2＝9，开方得 x－1＝3 或 x－1＝－3，解得 x1＝4，x2＝－2. (2)x2＋2x－3＝0(配方法 )；方程整理得 x2＋2x＝3，配方得 x2＋2x＋1＝3＋1，即(x＋1)2＝4，开方得 x＋1＝2 或 x＋1＝－2，解得 x1＝1，x2＝－3.

2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》(二)

2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》（二）1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，①当△PAD的面积最大时，P点的坐标是；②当AB平分∠DAP时，求线段PA的长．（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．3．已知：二次函数y＝x2﹣2mx﹣m2+4m﹣2的对称轴为l，抛物线与y轴交于点C，顶点为D．（1）判断抛物线与x轴的交点情况；（2）如图1，当m＝1时，点P为第一象限内抛物线上一点，且△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求点P的坐标；（3）如图2，直线y＝mx和抛物线交于点A、B两点，与l交于点M，且MO＝MB，点Q（x0，y）在抛物线上，当m＞1时，h+12≤﹣my2﹣6my时，求h的最大值．4．已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．5．如图①，直线y＝﹣x﹣3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C 两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图①，点P在第三象限内的抛物线上．①连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，G为x轴上一点，当PG+AG取得最小值时，求点G的坐标；（3）如图②，Q为x轴下方抛物线上任意一点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N．问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+4（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y ＝m，交抛物线于D、E两点．（1）当a＝﹣时，求A，B两点的坐标；（2）当m＝2，DE＝4时，求抛物线的解析式；（3）当a＝﹣1时，方程ax2﹣3ax+4＝m在﹣6≤x＜4的范围内有实数解，请直接写出m 的取值范围：．7．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．8．如图，一条抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点，点P在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；（3）过点P作直线l∥AC交抛物线于Q，是否存在以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）坐标平面内一点M到点B的距离为1个单位，求DM+OM的最小值．9．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以3个单位/秒的速度运动．过P作PQ⊥OA于Q．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜），△OPQ与四边形OABC重叠的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示P、Q两点的坐标；（3）将△OPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与t的函数解析式；10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点坐标为（3，），与y轴交于点A．过点A作AB∥x轴，交抛物线于点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E在y轴的负半轴上，且AE＝AD，直线CE交抛物线y＝ax2+bx+4于点F．①求点F的坐标；②过点D作DG⊥CE于点G，连接OD、ED，当∠ODE＝∠CDG时，求直线DG的函数表达式．参考答案1．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）当△PAD的面积最大时，P点到直线AD的距离就最大．∴P点在与直线AD平行且与抛物线相切的直线上，即P点是这两个图象的唯一的交点，设P点坐标为（x，y），由题意得，，∴x2﹣4x+m﹣4＝0，∵直线y＝﹣x+m与抛物线只有一个交点，∴△＝42+4（m﹣4）＝0，∴m＝8，∴x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，∴代入抛物线的解析式得y＝﹣4+6+4＝6，∴P（2，6）；故答案为：（2，6）．②过点P作PE⊥x轴于点E，∵y＝﹣x﹣1，∴A（﹣1，0），C（0，﹣1），∴OA＝OC，∵∠AOC＝90°，∴∠CAB＝45°，∴当AB平分∠DAP时，∠BAP＝∠DAB，则∠BAP＝45°，∴△PEA是等腰直角三角形，∴PE＝EA，设P点坐标为（m，n），由题意得，m+1＝﹣m2+3m+4，∴m1＝3，m2＝﹣1（舍去），∴PE＝EA＝4，∴PA＝4．（3）NC＝5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2±或0或4（舍去0），则点M坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（0，），设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：m+n＝0，2＝，解得：m＝0（舍去）或m＝4，故点M（﹣4，3）；故点M的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．2．解：（Ⅰ）依题意解得∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3；（Ⅱ）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，设M（x，0），P（x，﹣x2﹣2x+3），其中﹣3＜x＜﹣1，∵P、Q关于直线x＝﹣1对称，设Q的横坐标为a，则a﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，∴a＝﹣2﹣x，∴Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），∴MP＝﹣x2﹣2x+3，PQ＝﹣2﹣x﹣x＝﹣2﹣2x，∴周长d＝2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）＝﹣2x2﹣8x+2＝﹣2（x+2）2+10，当x＝﹣2时，d取最大值，此时，M（﹣2，0），∴AM＝﹣2﹣（﹣3）＝1，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴设直线AC的解析式为y＝x+3，将x＝﹣2代入y＝x+3，得y＝1，∴E（﹣2，1），∴EM＝1，∴；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ的周长最大时，x＝﹣2，此时点Q（0，3），与点C重合，∴OQ＝3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴D（﹣1，4），如图，过D作DK⊥y轴于K，则DK ＝1，OK ＝4，∴QK ＝OK ﹣OQ ＝4﹣3＝1，∴△DKQ 是等腰直角三角形，∴DQ ＝DK ＝， ∴，设F （m ，﹣m 2﹣2m +3），则G （m ，m +3），FG ＝m +3﹣（﹣m 2﹣2m +3）＝m 2+3m ，∴m 2+3m ＝4，解得m 1＝﹣4，m 2＝1，当m ＝﹣4时，﹣m 2﹣2m +3＝﹣5，当m ＝1时，﹣m 2﹣2m +3＝0，∴点F （﹣4，﹣5）或（1，0）．3．解：（1）针对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣m 2+4m ﹣2，令y ＝0，则x 2﹣2mx ﹣m 2+4m ﹣2＝0，∴△＝（﹣2m ）2﹣4×1×（﹣m 2+4m ﹣2）＝4m 2+4m 2﹣16m +8＝8（m ﹣1）2≥0， ∴抛物线与x 轴必有交点，即当m ＝1时，有一个交点，当m ≠1时，有两个交点；（2）当m ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2①，∴C （0，1），D （1，0），∵△PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，如图1，①当PC ＝PD 时，点P 是CD 的垂直平分线上，∵C （0，1），D （1，0），∴OC ＝OD ＝1，∴CD 的垂直平分线的解析式为y ＝x ②，联立①②解得，或，∴点P 的坐标为（，）或（，），②当PD ＝CD 时，点D 是CP 的垂直平分线上，∴点P 的纵坐标为1，则x 2﹣2x +1＝1，∴x ＝0或x ＝2，∴P （2，1），即满足条件的点P 的坐标为（，）或（，）或（2，1）；（3）∵二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣m 2+4m ﹣2的对称轴为l ，∴抛物线的对称轴l 为x ＝m ，∴点M 的横坐标为m ，∵点M 在直线y ＝mx 上，∴M （m ，m 2），∵MO ＝MB ，∴点B （2m ，m 2），将点B （2m ，m 2）代入二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣m 2+4m ﹣2得，m 2＝4m 2﹣4m 2﹣m 2+4m ﹣2， ∴m ＝1或m ＝，∵m ＞1，∴m ＝，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x +＝（x ﹣）2﹣， ∵点Q （x 0，y 0）在抛物线上，∴y 0＝（x 0﹣）2﹣，∴﹣my 02﹣6my 0＝﹣m （y 02+6y 0）＝﹣[（y 0+3）2﹣9]＝﹣[（x 0﹣）2﹣+3]2+12＝﹣[（x﹣）2+]2+12，∵h+12≤﹣my02﹣6my，∴h≤﹣[（x﹣）2+]2，当x0＝时，h最大＝﹣．4．解：解：（1）∵点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数且a≠0）上，∴﹣3＝4a﹣4a+a+k，∴k＝﹣3﹣a；抛物线L的对称轴为直线x＝﹣＝1，即x＝1；（2）∵L经过点（3，3），∴9a﹣6a+a+k＝3，∵k＝﹣3﹣a，∴a＝2，k＝﹣5∴L的表达式为y＝2x2﹣4x﹣3；∵y＝2（x﹣1）2﹣5，∴顶点坐标为（1，﹣5）；（3）顶点坐标（1，﹣a﹣3），∵在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，∴2＜﹣a﹣3≤3，∴﹣6≤a＜﹣5；（4）当a＞0时，t≥3或t+1≤﹣1，∴t≥3或t≤﹣2；观察图象，此时有不符合条件的点使y1≥y2，故此情况舍去；当a＜0时，t+1≤3且t≥﹣1，∴﹣1≤t≤2；综上所述，﹣1≤t≤2；5．解：（1）在y＝﹣x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3；令y＝0，得x＝﹣3．∴B（﹣3，0），C（0，﹣3）．设抛物线的函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）．将点C（0，﹣3）代入，得a＝1．∴抛物线的函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点P的坐标为（t，t2+2t﹣3），则点F的坐标为（t，﹣t﹣3）．∴PF＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t．∴S 四边形ABPC ＝S △BPC +S △ABC ＝PF •OB +AB •OC ＝（﹣t 2﹣3t ）+6＝． ∵＜0，∴当t ＝时，S 四边形ABPC 取得最大值．∴此时点P 的坐标为；②如图2，在y 轴上取一点Q （0，），作直线AQ ，过点G 作GT ⊥AQ 于T ，连接PG在Rt △AOQ 中，AQ ＝＝＝， ∴sin ∠OAQ ＝＝， ∴GT ＝AG •， ∴PG +AG ＝PG +GT ，根据垂线段最短，可知当P ，G ，T 共线，且PT ⊥AQ 时，PG +AG 的值最小， ∵直线AQ 的解析式为y ＝﹣x +，又∵PT ⊥AQ ，∴直线PT 的解析式为y ＝2x ﹣，∴G （，0）．（3）DM +DN 是定值．如图3，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵ND⊥x轴，∴QH∥ND．∴△BQH∽△BND，△AMD∽△AQH．∴，．设点Q的坐标为（k，k2+2k﹣3），则HQ＝﹣k2﹣2k+3，BH＝3+k，AH＝1﹣k．∵D是抛物线的对称轴与x轴的交点，∴AD＝BD＝2．∴，．∴DN＝2﹣2k，DM＝2k+6．∴DM+DN＝2k+6+2﹣2k＝8．∴DM+DN是定值，该定值为8．6．解：（1）当a＝﹣时，令y＝﹣x2﹣3×（﹣）x+4＝0，解得：x＝5或﹣2，故点A、B的坐标分别为（5，0）、（﹣2，0）；（2）函数的对称轴为x＝，∵DE＝4，m＝2，故点D（，2），将点D的坐标代入y＝ax2﹣3ax+4并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（3）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+3x+4，令y＝0，则x＝﹣6或4，当x＝﹣6时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣50，函数的对称轴为x＝，则顶点坐标为（，），当﹣6≤x＜4时，﹣50≤y≤，故m的取值范围为：﹣50≤m≤，故答案为：﹣50≤m≤．7．解：（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为，则，解得，故抛物线的抛物线为：y＝x2﹣x+4；（2）对于y＝x2﹣x+4，令y＝0，则x＝1或6，故点B、A的坐标分别为（1，0）、（6，0）；如图，过点P作PH∥y轴交AC于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+4①，设点P（x，x2﹣x+4），则点H（x，﹣x+4），△APC的面积S＝S△PHA +S△PHC＝×PH×OA＝×6×（﹣x+4﹣x2+x﹣4）＝﹣2x2+12（1＜x＜6），当x＝1时，S＝10，当x＝6时，S＝0，故使△APC的面积为整数的P点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点P（x，y），则x+y＝0，即y＝x2﹣x+4＝﹣x，解得：x＝或4，故点P的坐标为（，﹣）或（4，﹣4）；（4）设点P（m，m2﹣m+4），为点A（6，0），设直线AP的表达式为：y＝kx+t，同理可得，直线AP的表达式为：y＝（m﹣1）（x﹣6），∵AP∥OQ，则AP和OQ表达式中的k值相同，故直线OQ的表达式为：y＝（m﹣1）x②，联立①②并解得：x＝，则点Q（，4﹣），∵四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，则m+＝6，解得：m＝3，则＝3，故Q的横坐标的值为3．8．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴设此抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C（0，3）代入，得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4），设直线DB解析式为y＝kx+b，将D（1，4），B（3，0）代入得，解得：，∴直线DB解析式为y＝﹣2x+6，①如图1，当点P在点B左侧时，∵∠PCB＝∠CBD，∴CP∥BD，设直线CP解析式为y＝﹣2x+m，将C（0，3）代入，得m＝3，∴直线CP解析式y＝﹣2x+3，当y＝0时，x＝，∴P（，0）；②如图2，当点P在点B右侧时，作点P关于直线BC的对称点N，延长CN交x轴于点P'，此时∠P'CB＝∠CBD，∵C（0，3），B（3，0），∴OC＝OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠CPB＝45°，∴∠NBC＝45°，∴△PBN为等腰直角三角形，∴NB＝PB＝3﹣＝，∴N（3，）；设直线CN的解析式为：y＝nx+t，将C（0，3），N（3，）代入直线CN解析式y＝nx+t得，解得，∴直线CN解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝6，∴P'（6，0），综上所述，点P坐标为（，0）或（6，0）．（3）①如图3，当四边形APQC为平行四边形时，∴CQ∥AP，CQ＝AP，∵y C＝3，∴y Q＝3，令﹣x2+2x+3＝3，解得：x1＝0，x2＝2，∴Q（2，3），②如图4，当四边形AQPC为平行四边形时，AC∥PQ，AC＝PQ，∴y C﹣y A＝y P﹣y Q＝3，∵y P＝0，∴y Q＝﹣3，令﹣x2+2x+3＝﹣3，解得，x1＝1+，x2＝1﹣，∴Q1（1+，﹣3），Q2（1﹣，﹣3），综上所述，点Q的坐标为Q（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．（4）∵点M到点B的距离为1个单位，∴点M在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，如图5，在x轴上作点E（，0），连接BM、EM、DE，∴BE＝OB﹣OE＝3﹣＝，∵BM＝1，∴，∵∠MBE＝∠OBM，∴△MBE∽△OBM，∴，∴ME＝OM，∴DM+OM＝DM+ME，∴当点D、M、E在同一直线上时，DM+OM＝DM+ME＝DE最短，∵D（1，4），∴DE＝＝，∴DM+OM的最小值为．9．解：（1）∵抛物线过点A（1，﹣1），B（3，﹣1），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣4），把A（1，﹣1）代入得a•1•（﹣3）＝﹣1，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x（x﹣4），即y＝x2﹣x；∵y＝（x﹣2）2﹣，∴顶点M的坐标为（2，﹣）；（2）作QN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图1，∵A（﹣1，1），∴OH＝AH＝1，∴△AOH为等腰直角三角形，∴△ONQ为等腰直角三角形，∴QN＝ON＝NP＝OP＝，∴P（3t，0），Q（t，﹣t）；（3）存在．△OPQ 绕P 点逆时针旋转90°得到△O ′PQ ′，如图2，作Q ′K ⊥x 轴于K ，∠QPQ ′＝90°，PO ′⊥x 轴，PO ′＝PO ＝3t ，PQ ′＝PQ ＝t ，则O ′（3t ，﹣3t ）；∵∠KPQ ′＝90°﹣∠OPQ ＝45°，∵△PQ ′K 为等腰三角形，∴PK ＝Q ′k ＝t ，∴Q ′（t ，﹣t ），当O ′（3t ，﹣3t ）落在抛物线上时，﹣3t ＝•9t 2﹣•3t ，解得t 1＝0，t 2＝；当Q ′（t ，﹣t ）落在抛物线上时，﹣t ＝•t 2﹣•t ，解得t 1＝0，t 2＝；综上所述，当t 为或时，使得△OPQ 的顶点O 或Q 落在抛物线上；（4）当0＜t ≤时，如图1，S ＝•3t •t ＝t 2；当＜t ≤1时，如图3，PQ 交AB 于E 点，S ＝S △POQ ﹣S △AEQ ＝•t •3t ﹣•（t ﹣1）•2（t ﹣1）＝3t ﹣1；当1＜t ＜，如图4，PQ 交AB 于E 点，交BC 于F 点，∵△POQ 为等腰直角三角形，∴∠CPF ＝45°，∴△PCF 为等腰直角三角形，∴PC ＝CF ＝3t ﹣3，∴BF ＝1﹣（3t ﹣3）＝4﹣3t ，∴S △BEF ＝（4﹣3t ）2＝t 2﹣12t +8，∴S ＝S 梯形OABC ﹣S △BEF ＝•（2+3）•1﹣（t 2﹣12t +8，）＝﹣t 2+12t ﹣．10．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +4的顶点坐标为（3，）， ∴y ＝a （x ﹣3）2+＝ax 2﹣6ax +9a +， ∴9a +＝4， ∴a ＝﹣，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +4；（2）如图1，设C（m，﹣m2+m+4）；∵AD＝AE，AD∥x轴，CD∥y轴，∴AD＝AE＝m，∵OA＝4，∴OE＝m﹣4，∵点E在y轴的负半轴上，∴E（0，4﹣m），设CE的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴CE的解析式为：y＝（﹣）x+4﹣m，解法一：∴﹣x2+x+4＝（﹣）x+4﹣m，∴﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，x2+（4﹣m）x﹣4m＝0，（x+4）（x﹣m）＝0，x 1＝﹣4，x2＝m，∴定点F（﹣4，﹣6）；解法二：CE的解析式为：y＝（﹣）x+4﹣m＝（﹣x﹣1）m+x+4，由画图可知：F是直线CE上的定点，∴﹣x﹣1＝0，∴x＝﹣4，∴定点F（﹣4，﹣6）；②如图2，过E作EH⊥CD于H，交DG于Q，连接OQ，由①知：OE＝m﹣4，∵∠DAE＝∠ADH＝∠EHD＝90°，AD＝AE，∴四边形AEHD是正方形，∴∠EDH＝45°，AD＝AE＝DH＝EH，∵∠ODE＝∠CDG，∴∠ODE+∠EDQ＝∠EDQ+∠CDG＝45°，即∠ODQ＝45°，∴∠ADO+∠CDG＝45°，在OA的延长线上取AP＝QH，连接PD，∵∠PAD＝∠QHD＝90°，AD＝DH，∴△PAD≌△QHD（SAS），∴PD＝DQ，∠ADP＝∠CDG，AP＝QH，∴∠ADP+∠ADO＝45°＝∠ODQ，∵OD＝OD，∴△PDO≌△QDO（SAS），∴OP＝OQ，∵EH＝DH，∠EHC＝∠DHQ，∠GEH＝∠CDG，∴△EHC≌△DHQ（ASA），∴CH＝QH＝﹣（m﹣4）＝＝AP，∴OQ＝OP＝4+，∵OE＝m﹣4，EQ＝EH﹣QH＝m﹣（）＝﹣m，在Rt△OEQ中，由勾股定理得：OE2+EQ2＝OQ2，∴（m﹣4）2+（﹣）2＝（4+）2，m3﹣10m2﹣24m＝0，解得：m1＝0（舍），m2＝12，m3＝﹣2（舍），∴D（12，4），Q（6，﹣8），设直线DG的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴直线DG的函数表达式为：y＝2x﹣20．。

2022-2023学年北京市海淀区人民大学附属中学九年级上学期数学练习2(10月考)带讲解

（2）根据全等三角形的性质得到△ABF与△ADE的面积相等，得到四边形AFCE的面积等于正方形ABCD的面积，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF=90°，
在△ABF与△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF=AE；
∵ ，∠ECD=45°，
∴cos∠ECD= ，
∴ （尺），
故答案为∶ ．
【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
15.点，在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据列出关于m的不等式即可解得答案．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】点关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
10.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m=_______．
【答案】120°##120度
【分析】根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解∶∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=120°．
故答案为：120°
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13.若二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的实数根是________．
【答案】
【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题(含答案)

人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程实际应用》能力提升练习题基础题训练（一）：限时30分钟1．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝．（1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．2．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量．经过市场调查得知，某市去年新能源汽车总量已达到3250辆，预计明年会增长到6370辆．（1）求今、明两年新能源汽车数量的平均增长率；（2）为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对今年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴．在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？3．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，根据市场需求和生产经验甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件获利减少2元，设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65﹣x15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多650元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？4．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．5．重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a的值．基础题训练（二）：限时30分钟6．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？8．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的道路（即图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．9．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低1元，每天可多售出200斤．为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？10．某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销售会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？参考答案1．解：（1）设第二批制作x个风筝，（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，解得，x≥90，答：第二批至少应该制作90个风筝；（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，解得，a＝20或a＝5（舍去），答：a的值是20．2．解：（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为x，由题意，得3250（1+x）2＝6370．解得，x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为40%；（2）3250×40%×0.8＝1040（万元）．答：该市财政部门今年需要准备1040万元补贴资金．3．解：（1）设每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65﹣x）人生产甲产品，每天可生产x件乙产品，每件的利润为（120﹣2x）元，每天可生产2（65﹣x）件甲产品．故答案为：2（65﹣x）；120﹣2x．（2）依题意，得：15×2（65﹣x）﹣（120﹣2x）•x＝650，整理，得：x2﹣75x+650＝0解得：x1＝10，x2＝65（不合题意，舍去），∴15×2（65﹣x）+（120﹣2x）•x＝2650．答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是2650元．4．解：（1）设班长代买A种品牌同学录x本，B种品牌同学录y本，依题意，得：，解得：．答：班长代买A种品牌同学录12本，B种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+a%）+10（1﹣a%）×175[1+（a+20）%]＝2550，整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．答：a的值为20．5．解：（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，依题意，得：，解得：．答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆．（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝5600，整理，得：8a﹣0.64a2＝0，解得：a1＝12.5，a2＝0（舍去）．答：a的值为12.5．6．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．7．解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，∴16﹣5x＝±8，∴x1＝，x2＝；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．①当0≤y ≤时，则PB ＝16﹣3y ， ∴PB •BC ＝12，即×（16﹣3y ）×6＝12，解得y ＝4； ②当＜x ≤时，BP ＝3y ﹣AB ＝3y ﹣16，QC ＝2y ，则BP •CQ ＝（3y ﹣16）×2y ＝12，解得y 1＝6，y 2＝﹣（舍去）； ③＜x ≤8时，QP ＝CQ ﹣PQ ＝22﹣y ，则QP •CB ＝（22﹣y ）×6＝12，解得y ＝18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．8．解：设道路的宽x 米，则（32﹣x ）（20﹣x ）＝540，解得：x ＝2，x ＝50（舍去），答：道路的宽是2米．9．解：（1）∵售价每降低1元，每天可多售出200斤，∴售价降低x 元时，每天销售量为：100+200x ．故答案为：200x +100．（2）由已知得：（4﹣2﹣x ）（200x +100）＝300，整理得：2x 2﹣3x +1＝0，解得：x1＝＝0.5，x2＝1，当x＝0.5时，200x+100＝200，∵200＜260，∴x＝0.5不合适．∴销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低1元．10．解：（1）设每次降价的百分率为x，200（1﹣x）2＝162解得，x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），即每次降价的百分率是10%；（2）设店主将售价降价x元，（200﹣150﹣x）（20+2x）＝1750解得，x1＝15，x2＝25∴200﹣15＝185，200﹣25＝175，即应把售价定为185元或175元．。

鲁教版九年级数学上册《二次函数》能力提升2及答案【精编】

第三章二次函数能力提高一、选择题1、261y x x =--+抛物线中（）A 、最大值1B 、最大值10C 、最小值-8D 、最小值-10 2、()2,y ax bx c A a b =++二次函数的图象如图所示,则点在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、已知M 、N 两点，关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3y x =+上，设点M 的坐标为(,)a b ，则二次函数2()y abx a b x =-++（）A 、有最小值且最小值是92B 、有最大值，且最小值是92- C 、有最大值，且最大值是92 D 、有最小值，且最小值是92- 4、无论M 为任何实数，二次函数2(2)y x m x m =+-+的图象一定经过的点是（）A 、（-1，0）B 、（1，0）C 、（-1，3）D 、（1，3）二、填空题5、若抛物线2y x bx c =-++的最高点为（-1，-3），则b = ，c=6、炮弹从炮口射出后，飞行高度()h m 与飞行时间()t s 之间的函数关系式是2sin 5o h V t t α=-，其中0V 是炮弹发射的初速度，a 是炮弹的发射角，当0300(/),V m s = 030a =时该炮弹飞行的最大高度是7、某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售出500个，如果这种产品每涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为。

8、如图，用12米长的木条，做一个有一条横木的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高为米，宽为米。

三、解答题9、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米。

(1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升h米,桥下水面的宽度为d（米），试求出将d表示为h的函数解析式；(3)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行。

人教版九年级数学下册专题讲解：专训2 巧作平行线构造相似三角形

专训2 巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．(第2题)过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC.(第3题)过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.(第4题)答案1．解：如图，连接DF ，∵E，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线．∴DF∥AE，且DF ＝12AE.∴DF∥PE. ∴△BEP∽△BFD.∴BE BF ＝PE DF ＝BP BD. ∵BF＝2BE ，∴DF＝2PE ，BD ＝2BP.∴BP＝PD.∵DF∥AE，∴△APQ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP DF. 设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQ QD ＝AP DF ＝32. ∴BP PQ QD ＝53 2.(第1题) (第2题)2．解：如图，过点C 作C G∥AB 交AE 的延长线于点G.∴△GCD∽△AFD.∴CG FA ＝CD FD. 又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝FD.∴AF＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB∥CG，∴△ABE∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52. 3．证明：如图，过点C 作CF∥AB 交DP 于点F ，∴△PCF∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF. ∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.(第3题)∵AD＝AE ，∴∠ADE＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CE P.∴EC＝CF.∴BP CP ＝BD EC.4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF∥AB，交DE 于点F ，(第4题①) ∴△CDF∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD . ∵点M 为AC 边的中点， ∴AM＝CM. 易证△AME≌△CMF.∴AE＝C F.∵AE＝14AB ，∴BE＝3AE. ∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD ， ∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝3CD.∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF∥DE，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM AC. 又∵点M 为AC 边的中点，∴AC＝2AM.∴2AE＝AF.∴AE＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2. 又∵CF∥DE，∴BF FE ＝BC CD＝2. ∴BC＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF∥BC，交AC 于点F ，∴△AEF∽△ABC.∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AF AC ＝AE AB ＝14， ∴EF＝14BC ，AF ＝14AC. 由E F∥CD，得△EFM∽△DCM，∴EF CD ＝MF MC .又∵AM＝MC ，∴MF＝12MC. ∴EF＝12CD.∴BC＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF∥BD，交DE 的延长线于点F ，∴△AEF∽△BED.∴AE BE ＝AF BD. ∵AE＝14AB ， ∴AE＝13BE.∴AF＝13BD. 由AF∥CD，AM ＝MC ，易证得△AFM≌△CDM.∴AF＝CD.∴CD＝13BD.∴BC＝2CD. 点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB=3cm，AC=32cm，则∠BAC的度数为（）A．15°B．75°或15°C．105°或15°D．75°或105°【答案】C【解析】解：如图1．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABD中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=105°；如图2，．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ABC=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABC中，AD=6，AC=32，∠CAD=45°，则∠BAC=15°．故选C．点睛：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．2．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11910813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）B．108 91311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩C．91181013x yx y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D．91110813 x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）【答案】D【解析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得：91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（），故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA=5，OC=1．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为（）A ．（﹣91255，）B ．（﹣12955，）C ．（﹣161255，）D ．（﹣121655，）【答案】A 【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC 1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【详解】过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，过点A 1作A 1M ⊥x 轴于点M ，由题意可得：∠C 1NO=∠A 1MO=90°，∠1=∠2=∠1，则△A 1OM ∽△OC 1N ，∵OA=5，OC=1，∴OA 1=5，A 1M=1，∴OM=4，∴设NO=1x ，则NC 1=4x ，OC 1=1，则（1x ）2+（4x ）2=9，解得：x=±35（负数舍去），则NO=95，NC 1=125，故点C 的对应点C 1的坐标为：（-95，125）．故选A ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A 1OM ∽△OC 1N 是解题关键．4．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（）A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（4，2）【答案】A 【解析】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴AD BG =13， ∵BG=6，∴AD=BC=2， ∵AD ∥BG ，∴△OAD ∽△OBG ， ∴OA OB =13， ∴2OA OA +=13，解得：OA=1，∴OB=3，∴C 点坐标为：（3，2），故选A ．5．下列各式计算正确的是( )A 633=B ．1236=C ．3535+=D 1025=【答案】B【解析】A 63、B 123=36=6，∴本选项正确；C 选项中，∵35=353+5D选项中，∵10102=52÷≠，∴本选项错误；故选B.6．已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（）A．3﹣5B．12（5+1）C．5﹣1 D．12（5﹣1）【答案】C【解析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC=512-AB，代入数据即可得出BC的值．【详解】解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC=2×512-=5-1．故答案为：5-1．【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352倍，较长的线段=原线段的512-倍．7．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解. 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC2、210、只有选项B的各边为125B．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.8．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（）A．513B．512C．1213D．125【答案】B【解析】如图，等腰△ABC 中，AB=AC=13，BC=24，过A 作AD ⊥BC 于D ，则BD=12，在Rt △ABD 中，AB=13，BD=12，则， 225AB BD -=，故tanB=512AD BD =. 故选B ．【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．9．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：23224x x x x +-++-”. 小明的做法：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的【答案】C 【解析】试题解析：23224x x x x +-++- =()()32222x x x x x +--++- =3122x x x +-++ =3-12x x ++ =22x x ++ =1．所以正确的应是小芳．故选C ．10．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3B ．1，12C ．1，13D ．1，23【答案】D【解析】根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B 、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C 、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定； D 、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．【详解】∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误； B 、∵12+12=(2)2，是等腰直角三角形，故选项错误； C 、底边上的高是2231-2（）=12，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误； D 、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）11．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程．【答案】()240024008.120%x x -=+. 【解析】试题解析：∵原计划用的时间为：2400x，实际用的时间为：()2400120%x +， ∴可列方程为：()240024008.120%x x -=+ 故答案为()240024008.120%x x-=+ 12．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.【答案】1【解析】首先连接BE ，由题意易得BF=CF ，△ACP ∽△BDP ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP ：CP=1：3，即可得PF ：CF=PF ：BF=1：1，在Rt △PBF 中，即可求得tan ∠BPF 的值，继而求得答案．【详解】如图：，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：1，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==1，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=1．故答案为：1【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．13．一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为____.【答案】2 5【解析】解：根据题意可得：列表如下红1 红2 黄1 黄2 黄3红1 红1，红2 红1，黄1 红1，黄2 红1，黄3 红2 红2，红1 红2，黄1 红2，黄2 红2，黄3 黄1 黄1，红1 黄1，红2 黄1，黄2 黄1，黄3黄2 黄2，红1 黄2，红2 黄2，黄1黄2，黄3 黄3黄3，红1黄3，红2黄3，黄1黄3，黄2共有20种所有等可能的结果，其中两个颜色相同的有8种情况，故摸出两个颜色相同的小球的概率为82205=．【点睛】本题考查列表法和树状图法，掌握步骤正确列表是解题关键．14．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD ，DC ∥AB ，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC 宽为2m ，坝高为6m ，则坝底AB 的长为_____m ．【答案】（7+63）【解析】过点C 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为：E ，F ，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt △AEF 中利用DF 的长，求得线段AF 的长；在Rt △BCE 中利用CE 的长求得线段BE 的长，然后与AF 、EF 相加即可求得AB 的长．【详解】解：如图所示：过点C 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为：E ，F ，∵坝顶部宽为2m ，坝高为6m ， ∴DC=EF=2m ，EC=DF=6m ， ∵α=30°， ∴BE=63tan30EC=︒（m ），∵背水坡的坡比为1.2：1， ∴1.2 1.21DF AF AF ==，解得：AF=5（m ），则3（3m ，故答案为（3m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．15．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．【答案】20【解析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x 个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x 的方程，解方程即可得. 【详解】设原来红球个数为x 个，则有1010x +=1030，解得，x=20，经检验x=20是原方程的根. 故答案为20. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.16．如图，矩形ABCD ，AB=2，BC=1，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°得矩形AEFG ，连接CG 、EG ，则∠CGE=________．【答案】45° 【解析】试题解析：如图，连接CE ， ∵AB=2，BC=1， ∴DE=EF=1，CD=GF=2，在△CDE 和△GFE 中,CD GF CDE GFE DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△GFE(SAS)，∴CE=GE ，∠CED=∠GEF ， 90AEG GEF ∠+∠=， 90CEG AEG CED ∴∠=∠+∠=，45.CGE ∴∠=故答案为45.17．一元二次方程x 2+mx+3=0的一个根为- 1，则另一个根为．【答案】-1.【解析】因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解．【详解】∵一元二次方程x 2+mx+1=0的一个根为-1，设另一根为x 1，由根与系数关系：-1•x 1=1，解得x 1=-1．故答案为-1.18．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.【答案】（-2，-2）【解析】先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．【详解】“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），故答案是：（﹣2，﹣2）．【点睛】考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．三、解答题（本题包括8个小题） 19．先化简，再求值：22211·1441x x x x x x -++--+-，其中x 是从-1、0、1、2中选取一个合适的数．【答案】12-.【解析】先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=12x -，由于x 不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可．【详解】22211·1441x x x x x x -++--+-, =()()2211•11(2)1x x x x x x -+++--- =12(1)(2)(1)(2)x x x x x -+----=()()112x x x ---=12x -，当x=0时，原式=11022=--. 20．如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上)．求教学楼AB 的高度；学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数)．【答案】（1）2m （2）27m【解析】（1）首先构造直角三角形△AEM ，利用0AMtan22ME=，求出即可．（2）利用Rt △AME 中，0MEcos22AE=，求出AE 即可．【详解】解：（1）过点E 作EM ⊥AB ，垂足为M ．设AB 为x ．在Rt △ABF 中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x ， ∴BC=BF ＋FC=x ＋1．在Rt △AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB －BM=AB －CE=x －2，又∵0AM tan22ME =，∴x 22x 135-≈+，解得：x≈2． ∴教学楼的高2m ．（2）由（1）可得ME=BC=x+1≈2+1=3．在Rt △AME 中，0MEcos22AE=， ∴AE=MEcos22°≈15252716⨯≈． ∴A 、E 之间的距离约为27m ． 21．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．求、的值；如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【解析】（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F 的对称点，代入直线BE ，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值. 【详解】解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足为①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和考点：二次函数的综合运用.22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD，连接BF。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且∠BOD=∠BCD，连结BD、AC、CE.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF=1，sin∠FCA=√33，求EG的长.2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x 2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(52,34).（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N(n,0) (0<n<52)在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=90°.①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？3．综合与探究如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，D(3,4)两点，直线AD与y 轴交于点Q．点P(m,n)是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E．（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；（2）当CP//AD时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，∠CPE=∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，⊙B=90°，BC=6，AD=3，⊙DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边⊙EFG，设E点移动距离为x（x＞0）．（1）⊙EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若⊙EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式；（3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值．5．如图，抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）若△BPN与△OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”.（1）当⊙O的半径为2时，﹣12)⊙O的“完①点M( 32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣√32美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；（2）设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围.7．平面直角坐标系xOy中有点P和某一函数图象M，过点P作x轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为 y P ， y Q ．如果 y P >y Q ，那么称点P 为图象M 的上位点；如果 y P =y Q ，那么称点P 为图象M 的图上点；如果 y P <y Q ，那么称点P 为图象M 的下位点．（1）已知抛物线 y =x 2−2 .① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是；② 如果点D 是直线 y =x 的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标 x D 的取值范围；（2）将直线 y =x +3 在直线 y =3 下方的部分沿直线 y =3 翻折，直线 y =x +3 的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为 1 ．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标 x H 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点A 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交⊙O 于点B ，若AP =kAB ，则称点P 是点A 关于⊙O 的k 倍特征点．（1）如图，点A 的坐标为(1，0)．①若点P 的坐标为(−12，0)，则点P 是点A 关于⊙O 的 ▲倍特征点；②在C 1(0，12)，C 2(12，0)，C 3(12，−12)这三个点中，点 ▲是点A 关于⊙O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，∠DAO =60°.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y=−x+1(0<x<1)的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．9．如图，已知抛物线y=x2+bx-3c经过点A(1,0)和点B(0,-3)，与x 轴交于另一点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点，是否存在这样的点P ，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在⊙ABC中，⊙ACB =90°，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线．动点P 从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊙AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN= 2．设矩形PQMN与⊙ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为t(s)3PQ（t>0）．（1）当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长．（2）当点N落在边AD上时，求t的值．（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出t的值．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= √36x2﹣114x+3 √3与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊙x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．（1）求S⊙ABD的值；（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF⊙y轴交直线AD于点F，作PG⊙AC交直线AD于点G，当⊙PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+ 35QE的值最小时，求此时PQ+35QE的值；（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角⊙CMN，使CN⊙x轴，MN⊙y 轴，将⊙CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为⊙C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的⊙C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问⊙CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若⊙DPQ与⊙ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．13．如图，已知抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x 轴于点F，交BC于点E，过点D作DM⊥BC，垂足为M．求线段DM的最大值；（3）已知P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标．14．如图，D是⊙ABC的BC边上一点，连接AD，作⊙ABD的外接圆，将⊙ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上.（1）求证：AE＝AB.（2）填空：①当⊙CAB＝90°，cos⊙ADB＝13，BE＝2时，边BC的长为.②当⊙BAE＝时，四边形AOED是菱形.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连结AB，过点A作AC⊙AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连结BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连结AE并延长交x轴于点F，连结DF.（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan⊙AFC的值；（3）若⊙DEF与⊙AEB相似，求BEDE的值.16．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC = 8，tan⊙BDC = 4 3（1）求⊙O的直径；（2）当DG= 52时，过G作GE//AD，交BA的延长线于点E，说明EG与⊙O相切.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连结OC ，∵OE⊙BC ， ∴⊙OHB=90°， ∴⊙OBH+⊙BOD=90°， ∵OB=OC ， ∴⊙OBH=⊙OCB ， ∵⊙BOD=⊙BCD ， ∴⊙BCD+⊙OCB=90°， ∴OC⊙CD ，∵点C 为⊙O 上一点， ∴DF 为⊙O 的切线（2）证明：∵⊙OCD=90°， ∴⊙ECG+⊙OCE=90°， ∵OC=OE ， ∴⊙OCE=⊙OEC ， ∴⊙ECG+⊙OEC=90°， ∵⊙OEC+⊙HCE=90°， ∴⊙ECG=⊙HCE ，在⊙CHE 和⊙CGE 中， {∠CHE ＝∠CGE ＝90°∠ECG ＝∠HCE CE ＝CE，∴⊙CHE⊙⊙CGE （AAS ）（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°， ∴⊙ABC+⊙BAC=90°， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴⊙OCA+⊙FCA=90°， ∵OA=OC ， ∴⊙OAC=⊙OCA ， ∴⊙FCA=⊙ABC ，∴sin∠ABC =sin∠FCA =√33，设AC= √3a ，则AB=3a ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(3a)2−(√3a)2=√6a ， ∵⊙FCA=⊙ABC ，⊙AFC=⊙CFB ， ∴⊙ACF⊙⊙CFB ，∴AF CF =CF BF =AC BC =1√2，∵AF=1， ∴CF= √2 ， ∴BF =(√2)21=2 ，∴BF-AF=AB=1，∴OC =12,BC =√63，∵OE⊙BC ，∴CH =12BC =√66，∴OH =√OC 2−CH 2=(12)2−(√66)2=√36，∴HE=OE-OH= 12−√36，∵⊙CHE⊙⊙CGE ，∴EG=HE= 12−√36.2．【答案】（1）解：∵直线 y =−12x +2 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4， ∴A （4，0），B （0，2），∵抛物线 y =−23x 2+bx +c 经过B （0，2）， C(52,34) ，∴{2=c 34=−23×254+52b +c ，解得： {b =76c =2 ， ∴抛物线的表达式为： y =−23x 2+76x +2 ；（2）解：当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足 ∠PAO =∠BAO ， ∵C(52,34) ，∴P(52,34) ，当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ，∵∠PAO =∠BAO ，∴B ，Q 关于x 轴对称，∴Q （0，-2），又A （4，0），设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，{−2=q0=4p +q ，解得： {p =12q =−2 ，∴直线AQ 的表达式为： y =12x −2 ，联立得：{y =12x −2y =−23x 2+76x +2，解得：x=3或-2，∴点P 的坐标为（3， −12 ）或（-2，-3），综上，当 ∠PAO =∠BAO 时，点P 的坐标为： (52,34) 或（3，−12 ）或（-2，-3）；（3）解：①如图，⊙MNC=90°，过点C 作CD⊙x 轴于点D ，∴⊙MNO+⊙CND=90°，∵⊙OMN+⊙MNO=90°，∴⊙CND=⊙OMN,又⊙MON=⊙CDN=90°，∴⊙MNO⊙⊙NCD ，∴MO ND =NO CD ，即 m 52−n =n 34 ，整理得： m =−43n 2+103n ； ②如图，∵⊙MNC=90°，以MC 为直径画圆E ，∵N(n,0) (0<n <52) ， ∴点N 在线段OD 上（不含O 和D ），即圆E 与线段OD 有两个交点（不含O 和D ）， ∵点M 在y 轴正半轴，当圆E 与线段OD 相切时，有NE= 12 MC ，即NE 2= 14MC 2， ∵M （0，m ）， C(52,34) ， ∴E （ 54， 38+m 2 ）， ∴(38+m 2)2 = 14[(52)2+(m −34)2] ，解得：m= 2512，当点M 与点O 重合时，如图，此时圆E 与线段OD （不含O 和D ）有一个交点，∴当0＜m ＜ 2512时，圆E 与线段OD 有两个交点，故m 的取值范围是：0＜m ＜ 2512. 3．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{−(−1)2+b ×(−1)+c =0−32+b ×3+c =4，解之得： {b =3c =4 ∴抛物线的函数关系表达式为 y =−x 2+3x +4 ，设直线 AD 的函数关系表达式为 y =kx +b ，∵直线 AD 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{k ×(−1)+b =0k ×3+b =4，解之得： {k =1b =1 ∴直线 AD 的函数关系表达式为 y =x +1 ．（2）解：把 x =0 代入 y =−x 2+3x +4 ，得 y =4 ．∴点 C 坐标是（0，4），∵CP//AD∴k CP =k AD =1 ，设直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +b ，∵将点 C （0，4），代入 y =x +b 得： b =4 ，∴直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +4 ，∵直线 CP 与抛物线 y =−x 2+3x +4 相交于 P ，则有： x +4=−x 2+3x +4 ，解之得： x 1=0 ， x 2=2 ，把 x =2 代入 y =x +4 ，得 y =6 ，∴点P 的坐标是（2，6）．（3）解：存在点 P ，使得 ∠CPE =∠QFE ．过点 C 作 CG ⊥PF ，垂足为 G ．过点 Q 作 QH ⊥PF ，垂足为 H ．则四边形CGHQ为矩形．∴CG=QH，∠CGP=∠QHF=90°．∴当PG=HF时，△CGP≌△QHF，这时∠CPG=∠QFH，即∠CPE=∠QFE．设P(m,−m2+3m+4)，则PG=−m2+3m+4−4=−m2+3m．∵HF=QO=1．∴−m2+3m=1，解得m=3+√52或m=3−√52．4．【答案】（1）x；D（2）解：①当0＜x≤2时，⊙EFG在梯形ABCD内部，所以y= √34x2；②分两种情况：⊙．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵⊙FNC=⊙FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．∵在Rt⊙NMG中，⊙G=60°，GN=3x﹣6，∴GM= 12（3x﹣6），由勾股定理得：MN= √32（3x﹣6），∴S⊙GMN= 12×GM×MN= 12× 12（3x﹣6）× √32（3x﹣6）= √38（3x﹣6）2，所以，此时y= √34x2﹣√38（3x﹣6）2=﹣7√38x2+9√32x−9√32；⊙．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为⊙ECP，∵EC=6﹣x，∴y= √38（6﹣x）2= √38x2﹣3√32x+ 9√32，⊙．当x＞6时，点E，F都在线段BC的延长线上，没公共部分，∴y=0（3）解：当0＜x≤2时，∵y= √34x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大= √3；当2＜x＜3时，∵y=﹣9√37x 2+9√32x−9√32在x= 187时，y最大= 9√37；当3≤x≤6时，∵y= √38x−3√32x+9√32，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大= 9√38．综上所述：当x= 187时，y最大=9√37．5．【答案】（1）解：∵抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，∴{−34×16+4 b+c=0c=3，解得{b=94c=3，∴抛物线y=−34x 2+94x+3=−34(x−32)2+7516；∴抛物线的对称轴为直线x=32（2）解：设直线A(4，0)，B(0，3)的解析式为y=ax+d，∴{4a+d=0d=3，解得{a=−34 d=3，∴直线AB的表达式为：y=−34x+3；∵点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴PN//y轴，即PN//OB，且点N在点P上方，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN=OB，∴−34m2+94m+3−(−34m+3)=3，解得m=2；即当m=2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．（3）解：M（1，0）6．【答案】（1）不是；是；解：如图1，根据题意，|PA−PB|＝2，∴|OP+2−(2−OP)|＝2，∴OP＝1. 若点P在第一象限内，作PQ⊙x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴OQ=45,PQ=3 5 .∴P( 45,35). 若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35). 综上所述，PO的长为1，点P的坐标为( 45,35)或（−45,−35）).（2）解：对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2.∴CP＝1.∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”.因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的上方时，t 的值最大.设切点为E ，连接CE ，∵⊙C 的圆心在直线y ＝﹣2x+1上，∴此直线和y 轴，x 轴的交点D(0，1)，F( 12，0)， ∴OF ＝ 12，OD ＝1， ∵CE⊙OF ，∴⊙DOF⊙⊙DEC ，∴OD DE =OF CE， ∴1DE =12， ∴DE ＝2，∴OE ＝3，t 的最大值为3，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的下方时，t 的值最小.同理可得t 的最小值为﹣1.综上所述，t 的取值范围为﹣1≤t≤3.7．【答案】（1）解：① A ，C ②∵点D 是直线 y =x 的图上点，∴点D 在 y =x 上. 又∵点D 是 y =x 2−2 的上位点， ∴点D 在 y =x 与y =x 2−2 的交点R ，S 之间运动. ∵{y =x 2−2,y =x.∴{x 1=−1,y 1=−1. {x 2=2,y 2=2.∴点R( −1 ， −1 )，S( 2 ， 2 ). ∴−1<x D <2 .（2）解：如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.将y=x+3沿直线y=3翻折后的直线的解析式为y=−x+3当y=x+3=0时，x=−3，∴A(-3,0),OA=3当x=0时，y=x+3=3∴C(0,3),OC=3∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠CAO=45°∴AH1=rsin45°=1√22=√2∵A(-3,0)∴x H1=−3+√2同理可得x H2=3−√2∴线段EF上同时存在图象G的上位点，图上点和下位点，圆心H的横坐标x H的取值范围为x H>3−√2或x H<−3+√2.8．【答案】（1）解：①34②C3③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊙x轴于F，∵点E 是点A 关于⊙O 的12倍的特征点， ∴AE AB =12， ∴E 是AB 的中点，∴OE⊙AB ，∵⊙EAO=60°，∴⊙EOA=30°，∴AE =12OA =12，EF =12OE ， ∴OE =√OA 2−AE 2=√32， ∴EF =√34， ∴OF =√OE 2−EF 2=34， ∴点E 的坐标为（34，√34）；（2）k 的最小值为2−√24，k 有最大值为2+√249．【答案】（1）解：把A （1，0），B （0，-3）代入 y=x 2+bx-3c ，得 {1+b −3c =0−3c =−3解得 {b =2c =1∴抛物线的解析式为y=x 2+2x-3；（2）解：对于y=x 2+2x-3，∵x =−b 2a=−1 ，A(1，0)∴C 点坐标为（-3,0），AC=4，Q点的横坐标为-1.如图所示：若以点A、C、P、Q 为顶点的平行四边形以AC为边，则PQ=AC=4.①当P点的横坐标为x1=-1-4=-5时，y1=x2+2x−3=25−10−3=12，即P1(-5,12）②当P点的横坐标为x2=-1+4=3时，y2=x2+2x−3=9+6−3=12，即P2(3,12）；若以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形以AC为对角线，则设P3的横坐标为x3，则有x3−12=−3+12，解得x3=-1，y3=x2+2x−3=1−2−3=−4，即P3(-1，-4)。

人教版九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程同步提高训练(含答案)

人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元一次方程同步提高训练（含答案）一、选择题（本大题共7道小题）1. 抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为()A．0 B．1 C．2 D．32. 已知二次函数y＝x2－x＋14m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是()A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞23. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是()A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3 D．x＝－24. 下面的表格列出了函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的取值范围是()A.6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.205. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是()A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜26. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝17. 抛物线y＝2x2－22x＋1与坐标轴的交点个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7道小题）8. 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝2，x2＝12，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为______________．9. 若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．10. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．11. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．12. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．13. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：△b＞0；△a－b ＋c＝0；△一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；△当x ＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)14. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．三、解答题（本大题共2道小题）15. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根；(2)当x 为何值时，y ＞0？当x 为何值时，y ＜0? (3)写出y 随x 的增大而减小时自变量x 的取值范围.16. 已知函数y ＝(m －1)x 2＋4x ＋2.(1)当m 为何值时，函数图象与x 轴有两个公共点？ (2)当m 为何值时，函数图象与x 轴只有一个公共点？人教版九年级数学上册 22.2 二次函数与一元一次方程同步提高训练-答案一、选择题（本大题共7道小题）1. 【答案】C [解析] 当x ＝0时，y ＝－x 2＋4x －4＝－4，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－4)；当y ＝0时，－x 2＋4x －4＝0，解得x 1＝x 2＝2，则抛物线与x 轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选C.2. 【答案】A[解析] ∵抛物线y ＝x 2－x ＋14m －1与x 轴有交点，∴b 2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m≤5.3. 【答案】A[解析] ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1.故选A.4. 【答案】C [解析] 由表格中的数据，得在6.17＜x ＜6.20范围内，y 随x 的增大而增大，当x ＝6.18时，y ＝－0.01，当x ＝6.19时，y ＝0.02，故方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围是6.18＜x ＜6.19.5. 【答案】A [解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.6. 【答案】C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a ＋2a ＋c ＝0，即3a ＋c ＝0.当x ＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a ＋c ＝0成立，当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a ＋c ＝0(与3a ＋c ＝0不相符)，∴方程的两个根为x 1＝－1，x 2＝3.7. 【答案】C 【解析】抛物线y ＝2x 2－22x ＋1，令x ＝0，得到y ＝1，即抛物线与y 轴交点坐标为(0，1)；令y ＝0，得到2x 2－22x ＋1＝0，即(2x －1)2＝0，解得：x 1＝x 2＝22，即抛物线与x 轴交点坐标为(22，0)，则抛物线与坐标轴的交点个数是2.二、填空题（本大题共7道小题）8. 【答案】(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，09. 【答案】－1[解析] 依题意可知Δ＝0，即b 2－4ac ＝22－4×1×(－m)＝0，解得m ＝－1.10. 【答案】15[解析] 当x ＝0时，y ＝－5，∴点A 的坐标为(0，－5)；当y ＝0时，x 2－4x －5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，不妨设点B 在点C 的左侧， ∴点B 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(5，0)，则BC ＝6， ∴△ABC 的面积为12×6×5＝15.11. 【答案】x 1＝－2，x 2＝1[解析] 方程ax 2＝bx ＋c 的解即抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1.12. 【答案】．x ＜－1或x ＞313. 【答案】②③④[解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(3，0)，∴b ＝－2a ，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)． ①∵a ＞0，∴b ＜0，∴①错误； ②当x ＝－1时，y ＝0， ∴a －b ＋c ＝0，∴②正确；③一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0的解是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与直线y ＝－1的交点的横坐标，由图象可知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与直线y ＝－1有两个不同的交点， ∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根， ∴③正确；④由图象可知，y ＞0时，x ＜－1或x ＞3， ∴④正确．14. 【答案】⎝⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x 2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.三、解答题（本大题共2道小题）15. 【答案】解：(1)由图象可得：x1＝1，x2＝3.(2)结合图象可得：当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0.(3)根据图象可得：当x>2时，y随x的增大而减小．16. 【答案】解：(1)由题意得Δ＞0且m≠1，即16－4(m－1)×2＞0且m≠1，∴m＜3且m≠1.故当m＜3且m≠1时，函数图象与x轴有两个公共点．(2)由题意得Δ＝0或m＝1，∴m＝3或m＝1.故当m＝1或m＝3时，函数图象与x轴只有一个公共点．。

2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》应用解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》应用解答题专题提升训练（附答案）1．某小区准备购入一架滑梯供小区儿童使用，物业选定了左图的滑梯，但受小区儿童区域场地的限制，需知晓滑梯的水平长度．滑梯的截面如右图所示，已知梯子AE长度为3m，坡度为57°，顶台DE∥AB，且长度为1m，滑坡BD的坡度i＝1：3.2，滑梯的缓冲长度BC为1.5m，求滑梯的水平长度AC．（结果精确到0.1m．参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）2．如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为18m，它的坡角为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡AD，在CB方向距点B处9m 处有一座房屋．（参考数据；）（1）求∠DAB的度数；（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？3．如图（1）是一天桥的梯步图，为了方便残疾人出行，准备对梯步进行改建降低坡度，绘制了如图（2）的侧面示意图，点A为梯步顶端，点C为梯步底端，AB垂直于水平地面BC，并测得∠ACB＝40°，CB＝5米．要使改建后的梯步与水平面的夹角∠ADC＝36°，求梯步底端向外延伸的长度DC（精确到0.1米，sin36°≈0.588，tan36°≈0.727，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）．4．如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E三点在一直线上（≈1.732，结果精确到1米）？5．高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）6．如图，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝的高为20m，坝顶CD的宽为10m．求大坝横截面的周长．7．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.7328．浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图①），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图②），测量知，∠A＝30°，∠C＝49°，AB＝60m．请你利用以上数据，求出悬索AC和支架BC的长（结果取整数）．参考数据：≈1.73，sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15．．9．如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线．已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°．求电线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．10．如图，我市常璩广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，在C点上方E处加固另一条钢缆ED，钢缆ED与地面夹角为60°，现在要在EC 处放置一个广告牌，请问广告牌EC的高度为多少？（sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8）11．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm．使用时发现：光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，求光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长．【参考数据：sin25°＝0.42，cos25°＝0.91，tan25°＝0.47】．12．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角α；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）13．如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由45°降为30°，已知原滑滑梯AB的长为5m，点D，B，C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑梯会加长多少？（精确到0.01m）（2）若滑滑梯的正前方能有3m长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有6m长的空地，像这样改造是否可行？说明理由（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）14．如图，身高1.75m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度（∠A＝30°），已知她与树之间的距离为5m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m）15．一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角，且BD＝5m，现再在C点上方2m处加固另一根钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留根号）16．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MB＝m米，梯子的倾斜角度∠MCB＝45°．若梯子斜靠在对面墙上，梯子的倾斜角度∠NCA＝60°．试求该房间的宽和梯子的长度．17．如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光与水平面75°角时．测得该树坡上的树影BC的长为4（）米．求树高．18．如图，为迎接全国文明城市检查，某单位准备在一斜坡EF上安装衣服悬挂“社会主义核心价值观”宣传牌的金属架A﹣C﹣B，若CA与地面垂直，斜坡的坡角∠E＝30°，∠C＝45°，小王测得从A到B的距离是5m，已知每米金属架106元，请你帮该单位算一下安装这副金属架共需多少元（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449，结果保留整数）．19．海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时通过植被、下沉式绿地、渗透塘等设施吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水“释放”并加以利用．我市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地（四边形ABCD），经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D ＝45°，求该绿地边界的周长（结果保留根号）．20．倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°．（1）求下管BC的长；（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）参考答案1．解：作ME⊥AC于M，DN⊥AC于N，则四边形MNDE为矩形，则MN＝DE＝1，EM＝DN，在Rt△AEM中，∠EAM＝57°，AE＝3，∴EM＝AE×sin57°≈3×0.84＝2.52（m），AM＝AE×cos57°≈3×0.55＝1.65（m），在Rt△DNB中，i＝1：3.2，即＝，∴BN＝2.52×3.2＝8.064（m），又∵BC＝1.5m，∴AC＝AM+MN+NB+BC＝1.65+1+8.064+1.5＝12.214≈12.2（m），答：AC的长度约为12.2m．2．解：（1）∵坡度为的斜坡AD，∴tan∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角为45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝18m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝×18＝9（m），∴tan30°＝＝＝，解得：DC＝9，故DB＝DC﹣BC＝9﹣9≈9.324（米），∵9.324＞9，∴在背水坡改造的施工过程中，此处房屋需要拆除．3．解：由题意可得：tan40°＝＝≈0.839，解得：AB≈4.195，tan36°＝＝≈0.727，∴DB≈5.77（米），故DC＝DB﹣BC＝5.77﹣5≈0.8（米），答：梯步底端向外延伸的长度约为0.8米．4．解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°，∴BE＝BD＝200m，∴DE＝＝200≈346（m），答：另一边开挖点E离D346m，正好使A，C，E三点在一直线上．5．解：设AH的长为x米，则CH的长为（x﹣2）米．在Rt△ABH中，AH＝BH•tan45°，∴BH＝x，∴DH＝BH﹣BD＝x﹣10；在Rt△CDH中，CH＝DH•tan65°，∴x﹣2＝2.14（x﹣10），解得：x＝17.01≈17.0．答：立柱AH的长约为17.0米．6．解：∵DE＝20m，DE：AE＝4：3，∴AE＝15m，∴AD＝＝25（m），∵CF＝DE＝20m，CF：BF＝1：2，∴BF＝40m，∴BC＝＝20（m），则周长C＝AD+DC+BC+AB＝（100+20）m，答：大坝横截面的周长为（100+20）m，7．解：在Rt△CDE中，∵sin∠C＝，cos∠C＝∴DE＝sin30°×DC＝×14＝7（m），CE＝cos30°×DC＝×14＝7≈12.124≈12.12，∵四边形AFED是矩形，∴EF＝AD＝6m，AF＝DE＝7m在Rt△ABF中，∵∠B＝45°∴DE＝AF＝7m，∴BC＝BF+EF+EC≈7+6+12.12＝25.12≈25.1（m）答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．8．解：过点B作BD⊥AC于点D，∵∠A＝30°，AB＝60，∴BD＝AB＝30，∴AD＝BD＝30，在Rt△CBD中，tan49°＝，sin49°＝，∴CD≈26，BC≈40，∴AC＝AD+CD≈78．9．解：作DF⊥AE于点F，则四边形ABDF是矩形．DF＝AB＝8（米），EF＝AE﹣AF＝AE﹣BD＝12﹣6＝6（m）．在直角△DEF中，DE＝＝＝10（m）．在直角△BCD中，sin∠DCB＝，则DC＝＝BD＝4（m）．则电线CDE的总长L＝DE+DC＝10+4（m）．答：电线CDE的总长L是（10+4）m．10．解：在Rt△CDB中，tan∠BDC＝，∴BC＝BD tan40°≈4，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，∴BE＝BD tan∠BDE＝5，∴CE＝BE﹣BC≈4.66（m），答：广告牌EC的高度约为4.66m．11．解：由题意得：AD⊥CD，过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为25°，∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，∴sin25°＝＝，∴CF＝30×0.42＝12.6（cm），∴CD＝CF+FD+2＝CF+AB+2＝12.6+40+2＝54.6（cm）答：光线最佳时灯罩顶端C到桌面的高度CD的长54.6cm．12．解：（1）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH＝＝＝，∴∠CAH＝30°，即新坡面的坡角α为30°；（2）文化墙需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH＝＝，∴BH＝CH＝6米，∵＝，∴AH＝CH＝6≈10.392（米），∴AB＝AH﹣BH＝6﹣6＝4.392（米），∵3+4.392＞7，∴文化墙需要拆除．13．解：（1）Rt△ABC中，AC＝AB×sin45°＝（m），Rt△ADC中，BC＝AB×cos45°＝（m），AD＝＝5（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后滑滑梯会加长2.07 m；（2）这样改造能行．在直角△ACD中，CD＝＝（m），因为CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59．因此，像这样改造是可行的．14．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，解得：CD＝≈2.89（m），故CE＝DC+DE＝2.89+1.75≈4.6（m），答：这棵树大约有4.6m．15．解：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，BD＝5，∴BC＝BD＝5．∵在Rt△BED中，∠EBD＝90°，BE＝BC+CE＝5+2＝7，BD＝5，∴ED＝＝＝（m）．答：钢缆ED的长度为m．16．解：∵CB⊥MB，∠BCM＝45°，∴∠BMC＝45°，∵MB＝m米，∴CB＝m米，∴MC＝＝＝m米，∵NC＝CM，∴NC＝m米，∵∠NCA＝60°，∴∠ANC＝30°，∴AC＝m米，∴AB＝AC+BC＝m+m＝m（米）；答：该房间的宽是m米，梯子的长度是m米．17．解：过点B作BE⊥AC于E，以B为顶点，BE为一边，在∠ABE的内部作∠EBN＝60°，交AE于N．∵∠D＝30°，∠AMH＝75°，∴∠DCM＝∠AMH﹣∠D＝45°，∴∠ECB＝∠DCM＝45°．在Rt△BCE中，∵∠BEC＝90°，∠ECB＝45°，BC＝4（﹣1），∴BE＝CE＝BC＝2﹣2，在Rt△BNE中，∵∠BEN＝90°，∠EBN＝60°，∴∠BNE＝30°，∴EN＝BE＝6﹣2，BN＝2BE＝4﹣2，∵∠BNE＝30°，∠A＝90°﹣∠AMH＝15°，∴∠ABN＝∠BNE﹣∠A＝15°，∴AN＝BN＝4﹣4，在Rt△ABE中，∵∠BEA＝90°，BE＝2﹣2，AE＝2+2，∴AB＝＝8（米），答：树高为8米．18．解：延长CA至D，则CD⊥ED，作BG⊥AC，∵∠E＝30°，∴∠CAB＝60°，则∠ABG＝30°，∵AB＝5，∴AG＝AB＝，∵∠C＝45°，∴CG＝BG＝AG＝，∴BC＝BG＝，∴AC+BC＝AG+CG+BC＝++≈2.5+4.33+6.12＝12.95米，∴安装这副金属架共需12.95×106≈1373元．19．解：连接AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20米，∠ACB＝60°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝60°，在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝20×＝10（米），CE＝AC•cos60°＝20×＝10（米），在Rt△AED中，∠D＝45°，∴DE＝＝＝10（米），AD＝＝＝10（米），∴AB+BC+CD+AD＝20+20+10+10+10＝（50+10+10）米，∴该绿地边界的周长为（50+10+10）米．20．解：（1）∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝27cm，AC＝36cm，∴BC＝＝＝45（cm），∴下管BC的长为45cm；（2）过点E作EF⊥BD，垂足为F，∵AE＝18cm，AB＝27cm，∴BE＝AE+AB＝45cm，在Rt△BEF中，∠ABD＝75°，∴EF＝BE•sin75°≈45×0.97＝43.65（cm），∴座垫E离地面的距离＝43.65+30≈74（cm），∴座垫E离地面的距离约为74cm．。

华师版九年级上册数学期末提分练第2课时一元二次方程及其解法

A．x2－3x－c＝0
B．x2＋3x－c＝0
C．x2－3x＋c＝0
D．x2＋3x＋c＝0
5．【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x＋1＝0 有
两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k＜54且 k≠1
B．k＞54 D．k≤54且 k≠1
6．【2020·随州】将关于 x 的一元二次方程 x2－px＋q＝0 变形为 x2＝px－q，就可以将 x2 表示为关于 x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 x3＝x·x2＝x(px－q)＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，根据“降次法”，已知：x2－x－1＝0，且 x＞0，则 x4－2x3 ＋3x 的值为( C ) A．1－ 5 B．3－ 5 C．1＋ 5 D．3＋ 5
14．当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用 “缩根法”简化运算．
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1＝α，x2＝β，求关于x的一元二次方程p2ax2＋pbx＋c ＝0(ap≠0)的两根．
解：∵p2ax2＋pbx＋c＝0(ap≠0)， ∴a(px)2＋b·px＋c＝0，令px＝x′，
期末提分练案
第2课时一元二次方程及其解法
提示：点击进入习题
1A 2D 3B 4A 5D
6C
7 见习题
83 4
9 －3或4
10 四
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
1．下列方程中，是一元二次方程的是( A )
A．x2－4＝0 C．x2＋3x－2y＝0
B．x＝1x D．x2＋2＝(x－1)(x＋2)

初三数学提高试卷答案下册

一、选择题1. 下列各数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √25D. √27答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数之比的数，其中√27是一个无理数，因为它不能表示为两个整数的比例。

2. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x^2C. y = 3/xD. y = 5x答案：C解析：反比例函数的一般形式是y = k/x（k≠0），所以选项C符合反比例函数的定义。

3. 已知直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，那么斜边的长度是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的平方和的平方根，即√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。

4. 下列各图中，能正确表示函数y = 2x - 1的是（）A.B.C.D.答案：C解析：根据函数y = 2x - 1的图像特征，斜率为2，截距为-1，只有选项C的图像符合这个特征。

5. 下列等式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2C. (a - b)^2 =a^2 - 2ab + b^2 D. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)答案：B解析：选项B是平方差公式，是正确的等式。

其他选项中的公式都是错误的。

二、填空题6. 已知a = 3，b = -2，那么a^2 + b^2的值是______。

答案：13解析：将a和b的值代入公式，得到3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13。

7. 函数y = 2x + 3在x = 2时的函数值是______。

答案：7解析：将x = 2代入函数y = 2x + 3，得到y = 22 + 3 = 4 + 3 = 7。

8. 直角三角形的两条直角边分别是6cm和8cm，那么斜边长度是______cm。

北师大版九年级数学上册单元提高训练：第二章一元二次方程

一元二次方程一、填空题1、已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根是1，则代数式的值等于__2、若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为．3、已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．4、关于的一元二次方程的一个根为，那么________，另一个根是________．5、以3和4为根的一个一元二次方程是 .6、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣b，根据这个规则，方程（x﹣1）*9=0的解为．二、选择题7、方程的根是（）A、2；B、-2；C、2或-2；D、以上答案都不对8、下列各式是一元二次方程的是（）A、 B、 C、 D、9、一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根为x=2，则k的值为( )A．1 B．2 C．3 D．410、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣311、若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠012、若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37根的情况是（）A．无实数根 B．有两个正根C．有两个根，且都大于﹣3mD．有两个根，其中一根大于﹣m13、已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣114、若关于x的方程x2+x﹣a+＝0有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215、关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定16、已知一元二次方程：①，②. 下列说法正确的是（）（A）方程①②都有实数根；（B）方程①有实数根，方程②没有实数根；（C）方程①没有实数根，方程②有实数根；（D）方程①②都没有实数根 .17、关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．18、对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），有下列说法：①当a＜0，且b＞a+c时，方程一定有实数根；②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；③若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1；④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2+ax+c=0一定有两个不相等的实数根．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④三、计算题19、解方程：． 20、（x﹣2）（x﹣5）=﹣2．21、=x． 22、2（x+2）2﹣8=0．23、x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=12．四、综合题24、先化简，再求值：，其中是方程的根．25、已知m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．（1）求证：关于x的一元二次方程mx2+ px+n=0必有实数根；（2）若x=﹣1是一元二次方程mx2+ px+n=0的一个根，且Rt△ABC的周长为2+2，求Rt△ABC的面积．26、预警方案确定：设W＝，如果当月W＜6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”．【数据收集】今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表【问题解决】(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”：(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米，请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．北师大版九年级数学上册单元提高训练：第二章一元二次方程参考答案一、填空题1、－1__.2、2019 ．3、k＜3．4、-3、2/7.5、 x2﹣7x+12=06、x1=﹣2，x2=4 ．二、选择题7、C8、A9、B10、A11、D12、A13、D14、D15、.A16、C17、C；18、B三、计算题19、，，，，，．20、8.-121、两边平方得x+6=x2，x2﹣x﹣6=0，（x+2）（x﹣3）=0，∴x1=﹣2，x2=3，经检验，x=﹣2不是原方程的解，∴原方程的解为x=3．22、2（x+2）2=8，（x+2）2=4，x+2=±2，∴x1=0，x2=﹣4；23、解：方程变形为x2+5x+1=0，∵a=1，b=5，c=1，∴b2﹣4ac=21，∴x=，∴x1=，x2=．四、综合题24、25、【解答】（1）证明：∵m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p，∴p2=m2+n2，∴b2﹣4ac=2p2﹣4mn=2（m2+n2）﹣4mn=2（m﹣n）2≥0，∴关于x的一元二次方程mx2+ px+n=0必有实数根；（2）解：∵x=﹣1是一元二次方程mx2+ px+n=0的一个根，∴m﹣ p+n=0①，∵Rt△ABC的周长为2+2，∴m+n+p=2+2②，由①、②得：m+n=2，p=2，∴（m+n）2=8，∴m2+2mn+n2=8，又∵m2+n2=p2=4，∴2mn=4，∴mn=1，∴Rt△ABC的面积是1．26、。

新人教版数学提升初三同步训练

新人教版数学提升初三同步训练一、选择题(每题3分，共24分) 1、关于的方程是一元二次方程，则 ( ) A、 B、 C、 D、 2、解方程的解为( ) A、 B、 C、 D、 3、下列方程中，有两个不等实数根的是( ) A、 B、 C、 D、 4、一元二次方程的解是( ) A、 B、 C、D、 5、某商品原价为100元，连续两次涨价后售价为120元，设两次平均增长率为，满足的方程是( ) A、 B、 C、 D、6、用22cm的铁丝围成一个面积为30的矩形，则这个矩形的两边长是( ) A、5cm和6cm B、6cm和7cm C、4cm和7cm D、4cm和5cm 7、用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上9的是( ) A、 B、 C、 D、 8、若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是( ) A、m-1 C、mgt;l D、mlt;-1 二、填空题(每题3分，共18分) 9、方程化为一元二次方程的一般形式是它的一次项系数是______方程解是______________ 的一个根为，则 12、等腰三角形的底和腰分别是方程的两个根，则这个三角形的周长是________ 13、已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 17、(配方法) 18、(因式分解法) 19、(用适当的方法) 20、(用适当的方法) 四、列方程解应用题(20,21每题7分，22每题8分，共22分) 在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的10000元/下降到5月份的8100元/.4、5两月平均每月降价的百分率是多少? 22、在一幅长为80，宽为50的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400，求金色纸边的宽。

(附加题)23、某商店以16元的价格进了一批钢笔，如果以20元的价格售出，每周可以卖出200支，而价格每上涨1元，就少卖10支，现在该商店希望本周这种钢笔的利润达到1350元，则该种钢笔的价格应上涨多少元?此时能售出多少支钢笔?九年级数学测试题之经典轴对称题选编2014初三数学同步练习：反比例函数复习题。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

A E D B
C
A '
九年级数学提高练习（2012-11-3）
一、选择题：
1. 已知关于x 的一元二次方程()()0112222
=++--x m x m 有两个不相等的
实根，则m 的取值范围（）A. 43>m B. 43≥m C. 4
3
>m 且2≠m D. 4
3
≥
m 且2≠m 2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为（）A ．2 B ．
3
3
4 C ．32 D ．34
第2题图第3题图第4题图
4．如图，等边三角形的边长为3，、分别是、上的点，且2AD AE ==，将ADE △沿直线DE 折叠，点A 的落点记为A '，则四边形
ADA E '的面积1S 与ABC △的面积2S 之间的关系是（）
A ．
1212S S = B ．1278S S = C ．123
4
S S = D ．1289S S =
二、填空题：
8.若方程
1)1(2
=+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是______
9.若方程2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，在下列叙述中：①sinA+sinB≥1 ②sin
2
A =cos 2
B
C +；③sin sin A
B =tanB ，其中正确的结论是______．（填序号）
10.sin 30x -
,则x 的取值范围是________.
11．在△ABC 中，AB=5，AC=4，E 是AB 上一点，AE=2，在AC 上取一点F ，使以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么AF= ________
13．如图为△ABC 与△DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB
∥DE ．若△ABC 与
△DEC 的面积相等，且EF=9
，AB=12，则DF 的值为________
第13题图第14题图第15题图 14．如图，把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C 、B 、E 在同一直线上，连接CD ．若AC=6cm ，则△BCD 的面积为________.
15．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=4，BC=6．将腰CD 以D 为旋转中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE ，则△ADE 的面积是 ________ 16．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P 在斜边AB 上，且CP 2=AP•BP ，则CP 的长为________ 三、解答题：
17. 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D
在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ．（1）求证：△ABD ∽△CED ．
（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．
20.如图，某县为加固长90cm, 高5cm，坝顶宽为4m，迎水坡和背水坡的坡度都
是1∶1的横断面是梯形的防洪大坝。

要将大坝加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5。

已知坝顶宽不变。

（1）求大坝横截面面积增加多少m2？（2）要在规定时间内完成此项工程，如果甲队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延6天完成，现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成，求原来规定多少天完成和每天完成的土方数。