初中数学八年级下册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法第1课时作业设计
《2.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学浙教版12八年级下册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对一元二次方程概念的理解，熟悉开方解法与公式解法的操作过程，并能熟练应用一元二次方程解决实际问题，通过适当的练习提升解题速度与准确率。
二、作业内容作业内容将分为四个部分，分别为理论知识回顾、基本练习题、进阶挑战题和实际问题应用。
1. 理论知识回顾：要求学生复习一元二次方程的定义、标准形式及解法的基本原理，包括开方法与公式法。
2. 基本练习题：设计一系列一元二次方程的解法练习题，包括已知系数求解未知数，以及根据题目要求选择合适的解法（开方法或公式法）。
题目难度适中，以巩固基础知识为主。
3. 进阶挑战题：在基本练习的基础上，增加一些难度较高的题目，要求学生综合运用所学知识进行解题。
挑战题目注重学生思维能力的培养。
4. 实际问题应用：设置几道实际生活中的问题，如抛物线问题、路程时间问题等，通过这些实际问题，让学生将一元二次方程的知识与现实生活联系起来，培养其运用数学知识解决实际问题的能力。
三、作业要求1. 完成时间：本作业设计需在课后完成，建议学生合理安排时间，保证作业质量。
2. 解题步骤：要求学生在解题过程中，明确写出每一步的解题思路和依据，以培养其良好的解题习惯。
3. 错误订正：对于做错的题目，学生需自行检查并订正，如遇困难可查阅教材或请教老师。
4. 独立思考：鼓励学生在完成作业过程中独立思考，尝试多种解题方法，培养其创新思维。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰度、解题速度等方面进行评价。
2. 反馈方式：教师通过批改作业，对学生的错误进行指导与纠正，对优秀作业进行表扬与鼓励。
3. 改进建议：根据学生的作业情况，教师可对教学进度和教学方法进行调整，以更好地满足学生的学习需求。
五、作业反馈1. 学生自我反馈：学生完成作业后，应进行自我检查与反思，总结自己在解题过程中的收获与不足。
2. 教师反馈：教师通过批改作业，向学生提供详细的反馈信息，指出学生的错误及改进方向。
《2.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学湘教版12九年级上册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对一元二次方程基本概念的理解，掌握一元二次方程的解法，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过本课时的作业练习，提高学生的数学逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容（一）基础训练1. 让学生复习一元二次方程的标准形式ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0），并能够根据给定的方程判断其是否为一元二次方程。
2. 练习一元二次方程的根的判别式Δ = b^2 - 4ac，并能够根据判别式判断方程的根的情况。
3. 让学生掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，并能够独立完成相关练习。
（二）实践应用1. 针对实际生活问题，设计一元二次方程应用题，让学生通过解决实际问题来加深对一元二次方程的理解。
2. 通过画图来辅助解决一元二次方程问题，例如在直角坐标系中表示一元二次方程的图像。
（三）提高题针对学有余力的学生，设计一些复杂的一元二次方程问题，包括含有参数、高次项的方程，提高学生的解题能力。
三、作业要求1. 作业需在规定时间内独立完成，不得抄袭他人答案。
2. 基础训练部分需全部完成，实践应用部分至少完成两道题目，提高题可根据自身能力选择完成。
3. 作业需字迹工整，步骤清晰，答案准确。
4. 对于每一道题目，需写出详细的解题步骤和答案。
四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况、解题步骤和答案的准确性进行评价。
2. 对于基础训练部分，教师将重点评价学生对一元二次方程基本概念的理解和掌握情况。
3. 对于实践应用和提高题部分，教师将评价学生的应用能力和解题思路的准确性。
4. 教师将根据学生的作业情况给出相应的鼓励和建议，帮助学生改进学习方法，提高学习效果。
五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，针对学生的错误进行纠正和指导。
2. 对于普遍存在的问题，教师将进行重点讲解和练习，确保学生掌握相关知识点。
3. 教师将鼓励学生相互交流和学习，共同进步。
《17.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是让学生通过实际操作，掌握一元二次方程的基本概念，理解并掌握一元二次方程的解法，能够正确应用一元二次方程的求解方法，提高数学思维能力和解题能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下几个方面：1. 概念理解：学生需回顾一元二次方程的定义、特点及分类，理解方程的根、判别式等基本概念。
2. 开平方法解一元二次方程：通过实例演示和讲解，使学生掌握通过开平方法求解一元二次方程的步骤和方法。
3. 公式法解一元二次方程：介绍一元二次方程的求根公式，让学生掌握利用公式求解一元二次方程的技巧。
4. 实际问题应用：设计几个与一元二次方程相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决实际问题，加深对一元二次方程的理解。
5. 练习巩固：布置适量的练习题，包括选择题、填空题和解答题等，让学生通过练习巩固所学知识。
三、作业要求1. 学生需认真阅读教材，理解并掌握一元二次方程的基本概念和求解方法。
2. 在完成作业过程中，要独立思考，认真计算，注意步骤的完整性和准确性。
3. 对于实际问题应用部分，要结合实际情境，运用所学知识进行分析和解决。
4. 练习巩固部分需独立完成，如有疑问可向老师或同学请教。
5. 作业需按时完成，字迹工整，格式规范。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确性、步骤完整性、解题思路的清晰性以及字迹工整程度等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，需对每个学生的作业进行细致检查和评价，给出详细的批语和分数。
同时，可采取学生互评的方式，让学生互相学习和交流。
五、作业反馈1. 教师需在批改完作业后，针对学生在作业中出现的错误和不足，进行及时的讲解和指导。
2. 对于共性问题，可在课堂上进行集中讲解；对于个别问题，可通过个别辅导或面谈的方式解决。
3. 教师需根据学生的作业情况，调整教学计划和教学方法，以提高教学效果。
4. 学生需根据教师的反馈和建议，及时调整学习方法和策略，提高学习效果。
初中数学初二数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、善于思考的精神，增强学生克服困难的信心。
2.培养学生合作交流的意识，让学生在合作中学会倾听、表达和尊重他人。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，提高学生的数学素养。
4.引导学生体会数学在生活中的应用，感受数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。
初中数学初二数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的标准形式，掌握其基本性质。
2.学会使用直接开平方法求解一元二次方程，并掌握其适用条件。
3.学会使用配方法求解一元二次方程，理解其原理和步骤。
4.学会使用公式法求解一元二次方程，并熟练运用公式。
5.能够根据问题情境选择合适的解法求解一元二次方程，提高解决问题的能力。
（2）开展数学实践活动，让学生在实际操作中体验数学的乐趣和价值。
（3）鼓励学生参加数学竞赛、讲座等活动，拓宽学生的知识视野。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
（1）通过一个实际问题引入一元二次方程，如：一块正方形菜地的边长比它的面积多1，求这块菜地的边长。让学生尝试用已学过的知识解决问题，引导学生发现一元一次方程无法解答该问题。
2.难点：
（1）理解并掌握配方法的原理和步骤，特别是如何通过添加和减去同一个数使方程变形。
（2）熟练运用求根公式求解一元二次方程，并理解公式中各个参数的含义。
（3）在实际问题中，能够根据方程的特点选择合适的解法。
（二）教学设想
1.对于重点内容的教授：
（1）通过实际例题引入，让学生感受一元二次方程解法的必要性，激发学生的学习兴趣。
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》说课稿2
浙教版数学八年级下册2.2《一元二次方程的解法》说课稿2一. 教材分析《一元二次方程的解法》是浙教版数学八年级下册第2章第2节的内容。
本节课主要介绍一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法、配方法等。
这部分内容是整个初中数学的重要知识点，也是学生解决实际问题的重要工具。
在本节课中，学生将学习如何根据一元二次方程的特点选择合适的解法，从而解决问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程，他们可能还存在着一些模糊的认识，解题方法也不够熟练。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生理解一元二次方程的解法，并通过练习让学生熟练掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的解法，并能够熟练运用公式法、因式分解法、配方法等解一元二次方程。
2.过程与方法目标：学生通过自主学习、合作交流，培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与学习，增强对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：如何根据一元二次方程的特点选择合适的解法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题引入一元二次方程，激发学生的兴趣。
2.自主学习：学生自主探究一元二次方程的解法，总结解题步骤。
3.案例分析：通过几个典型的一元二次方程案例，引导学生理解不同解法的应用。
4.合作交流：学生分组讨论，分享解题方法，互相学习。
5.练习巩固：学生进行课堂练习，加深对一元二次方程解法的理解。
6.总结提升：教师引导学生总结一元二次方程解法的方法和技巧。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够引导学生理解和记忆一元二次方程的解法。
主要包括以下几个部分：1.一元二次方程的定义和标准形式。
2.公式法、因式分解法、配方法的解题步骤。
《17.1一元二次方程》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本节课的作业设计，使学生能够掌握一元二次方程的基本概念、定义及解题方法，并能灵活运用一元二次方程解决实际问题。
二、作业内容（一）基础知识练习1. 让学生掌握一元二次方程的定义和形式，能够正确识别一元二次方程。
2. 让学生熟悉一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。
3. 练习一元二次方程的根与系数的关系，理解判别式的作用和意义。
（二）应用题练习1. 结合实际问题，让学生学会将实际问题抽象为数学模型，即一元二次方程。
2. 练习利用一元二次方程解决诸如利润最大化、最短路径等实际问题。
3. 练习利用韦达定理解决有关根的问题，如两根的和与积的关系等。
（三）提高题挑战1. 设计一些较为复杂的一元二次方程问题，让学生进行思考和解决，以提高学生的思维能力和解题技巧。
2. 让学生尝试利用计算机或数学软件求解一元二次方程，了解现代科技在数学中的应用。
三、作业要求1. 学生在完成作业时，应注重基础知识的掌握和解题方法的运用，确保答案的准确性和完整性。
2. 学生在解答应用题时，应理解题意，将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。
3. 在完成提高题挑战时，学生应积极思考，尝试多种解题方法，提高自己的思维能力和解题技巧。
4. 学生应按时完成作业，并认真检查答案，确保无误后提交。
四、作业评价1. 教师将对学生的作业进行认真批改，评价学生的基础知识掌握情况、解题方法运用及答案的准确性。
2. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行表扬，并分享给学生们，以供大家学习借鉴。
3. 对于存在问题较多的作业，教师将进行个别辅导，帮助学生找出问题所在，并加以纠正。
五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，对课堂教学进行反思和调整，以更好地满足学生的学习需求。
2. 教师将与学生进行交流，了解学生在完成作业过程中遇到的问题和困难，并给予指导和帮助。
3. 学生对作业的反馈也将作为教师改进教学的重要依据，以便更好地提高教学质量。
《17.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生能够：1. 熟练掌握一元二次方程的标准形式；2. 理解一元二次方程的解法原理；3. 学会使用开平方法解一元二次方程；4. 培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
二、作业内容本节作业内容主要围绕一元二次方程的解法展开，具体包括以下方面：1. 练习题。
选取具有代表性的练习题，让学生在解题过程中熟悉一元二次方程的解法步骤和解题思路。
题目应涵盖不同类型的一元二次方程，如标准形式和非标准形式的方程，使学生能够全面掌握。
2. 开平方法讲解。
详细介绍开平方法的基本原理和操作步骤，使学生明白开平方法在解一元二次方程中的应用。
可以结合实例进行讲解，使学生更容易理解和掌握。
3. 开放性问题探讨。
设置一些与一元二次方程相关的开放性问题，引导学生进行思考和探讨。
例如，可以让学生探讨不同解法之间的优劣，或让学生自行设计一道一元二次方程的解题题目并解答。
这样不仅可以培养学生的创新思维，还可以加深学生对一元二次方程的理解。
4. 注意事项。
提醒学生在解题过程中注意的问题，如保证方程的标准形式、开平方的准确性等。
同时，还要注意培养学生的良好学习习惯，如独立完成作业、及时检查答案等。
三、作业要求本节作业要求学生：1. 独立完成作业，不得抄袭他人答案；2. 按照作业步骤和要求进行答题；3. 注重解题思路的梳理和总结；4. 及时检查答案并改正错误；5. 如有疑问或困难，可向老师或同学请教。
四、作业评价本节作业的评价标准包括：1. 正确性：答案是否正确，是否符合题目要求；2. 完整性：解题步骤是否完整，是否详细；3. 思路清晰度：解题思路是否清晰，是否有条理；4. 创新性：在解题过程中是否有新的想法或方法；5. 态度：是否独立完成作业，是否有良好的学习习惯。
五、作业反馈本节作业完成后，老师将对学生的作业进行批改和评价，并给予针对性的反馈和建议。
对于出现的问题和错误，老师将进行详细的讲解和指导，帮助学生改正错误并加深对一元二次方程的理解。
《17.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是让学生通过实际操作，掌握一元二次方程的基本概念，理解并掌握一元二次方程的解法，能够正确应用一元二次方程的求解方法解决实际问题。
同时，通过作业的完成，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
二、作业内容1. 基础知识巩固：要求学生复习一元二次方程的定义、形式及解的概念。
完成相关练习题，包括一元二次方程的标准形式、一元二次方程的根的判别式等。
2. 解法学习：学习并掌握一元二次方程的因式分解法。
学生需通过例题理解因式分解法的步骤和原理，并尝试自己解决类似问题。
3. 实践操作：设计一元二次方程的实际应用问题，如求解抛物线与x轴交点的坐标、利润问题中的一元二次方程等。
要求学生根据题目条件列出方程，并使用因式分解法求解。
4. 拓展提升：针对一些较复杂的一元二次方程问题，要求学生尝试使用配方法等其他解法进行求解，并比较不同解法的优劣。
三、作业要求1. 准时完成：作业需在规定时间内完成，培养学生的时间管理能力。
2. 独立思考：作业过程中需独立思考，尽量自己解决问题，不依赖他人。
3. 规范书写：作业书写需规范，步骤要清晰，答案要准确。
4. 错题反思：对于做错的题目，需进行反思，找出错误原因，并加以改正。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生作业的完成情况、解题思路、答案准确性等方面进行评价。
2. 评价方式：采用教师评价、同学互评、自评等多种方式进行评价。
3. 反馈方式：对每位学生的作业进行详细反馈，指出优点和不足，提出改进建议。
五、作业反馈1. 课堂讲解：教师需针对学生作业中普遍存在的问题进行课堂讲解，帮助学生解决问题。
2. 个别辅导：对个别学生存在的问题，教师需进行个别辅导，帮助学生找出问题原因并加以改正。
3. 家长沟通：与家长保持沟通，让家长了解孩子的学习情况，共同帮助孩子提高数学成绩。
六、总结本作业设计旨在通过实际操作，帮助学生掌握一元二次方程的解法，提高数学应用能力。
《2.1一元二次方程》作业设计方案-初中数学浙教版12八年级下册
《一元二次方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过一元二次方程的基础知识学习，使学生能够理解一元二次方程的概念、掌握其解法，并能灵活运用所学知识解决实际问题。
通过练习和思考，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
二、作业内容1. 概念理解：- 一元二次方程的定义及一般形式。
- 方程的根与解的概念。
2. 基本解法：- 完成配方法解一元二次方程的步骤练习。
- 通过因式分解法解一元二次方程的实例练习。
- 了解并练习公式法（如求根公式）解一元二次方程。
3. 实际应用：- 结合实际问题，设立一元二次方程模型，并求解。
- 练习利用一元二次方程解决生长、销售等实际问题。
4. 拓展提高：- 练习较复杂的一元二次方程题目，如含参数的方程、带有复杂条件的方程等。
- 对一元二次方程的根与系数的关系进行理解和应用。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 对于每个题目，需写出详细的解题步骤和答案。
3. 针对每个解法，需注明使用的方法（配方法、因式分解法或公式法等）。
4. 针对实际问题，需清晰表达问题的背景和所设的一元二次方程模型。
5. 拓展提高部分，需记录解题过程中遇到的困难和思考过程。
四、作业评价1. 教师将对每份作业进行批改，对正确性、完整性及解题思路进行评分。
2. 对学生的解题方法给予评价和建议，指出解题过程中的误区和需改进之处。
3. 对于表现优异的学生，将在课堂上进行表扬和经验分享。
五、作业反馈1. 教师将根据批改情况，在课堂上对共性问题进行讲解和指导。
2. 学生应根据教师的反馈，对自己的作业进行修正和反思。
3. 对未能掌握的知识点，学生应及时向教师请教或与同学讨论，以达成对知识的理解和掌握。
4. 教师将根据学生的作业情况，调整后续的教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。
通过以上的作业设计方案，使学生能够系统学习一元二次方程的基础知识和解法，同时通过实际应用和拓展提高，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
《2.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学浙教版12八年级下册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 加深学生对一元二次方程解法基础知识的理解和掌握。
2. 训练学生运用一元二次方程解法，解决实际问题。
3. 提高学生独立解决问题的能力，培养学生严谨的逻辑思维和创新能力。
二、作业内容作业内容主要围绕一元二次方程的解法展开，具体包括以下内容：1. 复习一元二次方程的基本形式和一元二次方程的根与系数的关系。
2. 掌握一元二次方程的四种解法：开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
学生需熟练掌握这四种解法的应用条件和操作步骤。
3. 通过具体的一元二次方程例题，将解法运用到实际问题中。
例如，结合生活实例或实际情景，构建一元二次方程模型，并运用所学解法求解。
4. 让学生自主选择一些题目进行练习，加强对一元二次方程解法的运用和掌握。
三、作业要求1. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 对于每个题目，学生需写出详细的解题步骤和答案，表达清晰，逻辑严谨。
3. 对于复杂的问题，学生可运用多种解法进行尝试，并比较不同解法的优劣。
4. 作业需在规定时间内完成，并按时提交。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的准确性、解题步骤的完整性、表达逻辑的严谨性等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，需对每道题目进行详细评阅，给出评分和改进意见。
同时，可采取学生互评的方式，让学生互相学习、互相借鉴。
3. 评价反馈：及时将评价结果反馈给学生，让学生了解自己的不足和需要改进的地方。
对于共性问题，可在课堂上进行讲解和指导。
五、作业反馈1. 针对学生在作业中出现的错误和不足，教师需进行详细讲解和指导，帮助学生纠正错误，巩固知识。
2. 对于学生的优秀作业和解题方法，可在课堂上进行展示和表扬，激励学生继续努力。
3. 根据作业完成情况和评价结果，调整后续的教学计划和作业设计，更好地满足学生的学习需求。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生在上一课时学习的一元二次方程的基本概念和一元二次方程的配方法解法，通过实际操作练习，使学生能够熟练掌握一元二次方程的解法，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
《17.2一元二次方程的解法》作业设计方案-初中数学沪科版12八年级下册
《一元二次方程的解法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元二次方程的解法第一课时，使学生能够掌握一元二次方程的基本概念，理解一元二次方程的标准形式及常数项的意义，学会因式分解法的解法，并通过实操练习能够运用因式分解法解决简单的一元二次方程问题。
二、作业内容作业内容分为四个部分：1. 理论知识回顾- 一元二次方程的定义及标准形式。
- 方程中各项的名称及意义。
- 因式分解法的基本步骤和原理。
2. 练习题- 基础题：通过简单的因式分解法解一元二次方程。
- 进阶题：通过因式分解法解决含有变量系数或常数项的一元二次方程。
- 拓展题：利用因式分解法解决实际问题中的一元二次方程问题。
3. 思考题- 探讨一元二次方程的解与系数的关系。
- 对比因式分解法与其他解一元二次方程的方法（如公式法）。
4. 作业笔记整理- 整理一元二次方程解法中遇到的知识点及重要结论。
- 总结使用因式分解法时的易错点和难点。
三、作业要求1. 独立完成：所有作业内容必须由学生独立完成，不抄袭他人作业或使用任何未经允许的资料。
2. 理解运用：理解因式分解法的原理，并能够熟练运用到实际问题的解决中。
3. 格式规范：所有作业必须书写工整，解题步骤清晰，结果正确无误。
4. 时间安排：学生应合理安排时间，确保在规定时间内完成作业。
四、作业评价作业评价将依据以下标准进行：- 理论知识的理解和掌握程度。
- 解法应用的准确性和解题步骤的清晰度。
- 独立完成的情况及是否出现抄袭现象。
- 作业格式的规范性及书写的工整度。
评价结果将作为学生成绩评定的一部分。
五、作业反馈作业完成后，教师将对学生的作业进行批改和点评，并及时反馈给学生。
对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和纠正；对于表现优秀的学生和典型错误，将在班级中进行表扬或指出，并给予相应的鼓励或指导建议。
同时，教师还将针对学生在解题过程中遇到的问题和困难，提供有效的解决方案和辅导方法，帮助学生更好地掌握一元二次方程的解法。
《2.3一元二次方程的应用》作业设计方案-初中数学浙教版12八年级下册
《一元二次方程的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过一元二次方程的实际应用，加深学生对一元二次方程的理解，掌握其解法，并能够灵活运用一元二次方程解决实际问题。
同时，通过作业的完成，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
二、作业内容1. 基础知识巩固：要求学生复习一元二次方程的定义、解法等基础知识，包括一元二次方程的标准形式、配方法、公式法等。
2. 实际问题分析：选取几个涉及一元二次方程的实际问题，如物理中的抛物线运动、经济中的商品销售问题等。
要求学生分析问题中的已知条件和未知量，建立一元二次方程模型。
3. 方程求解与检验：学生需运用所学的一元二次方程解法，求解上述实际问题中的方程，并对方程的解进行检验，确保其符合实际问题的背景。
4. 拓展练习：提供几道具有挑战性的题目，涉及一元二次方程的多种应用场景，如抛物线与直线的交点问题、多边形面积计算等。
三、作业要求1. 基础知识巩固部分要求学生熟练掌握，对每个知识点都有清晰的理解。
2. 实际问题分析部分要求学生独立思考，认真分析问题中的已知条件和未知量，准确建立一元二次方程模型。
3. 方程求解与检验部分要求学生严格按照解一元二次方程的步骤进行，对方程的解进行必要的检验。
4. 拓展练习部分鼓励学生挑战自我，尝试多种解题方法，拓展思维。
5. 作业书写规范，步骤清晰，解题过程完整。
四、作业评价1. 对学生的基础知识巩固部分进行评价，看其是否熟练掌握了一元二次方程的相关知识。
2. 对学生的实际问题分析部分进行评价，看其是否能够准确分析问题，建立一元二次方程模型。
3. 对学生的方程求解与检验部分进行评价，看其是否能够正确求解方程，并进行必要的检验。
4. 对学生的拓展练习部分进行评价，看其是否能够尝试多种解题方法，拓展思维。
五、作业反馈1. 教师将对每位学生的作业进行批改，指出其中的错误和不足，并给出改进意见。
2. 学生根据教师的反馈，对自己的作业进行反思和总结，找出自己的不足之处，加以改进。
八年级数学下册《20.2一元二次方程的解法(一)》教案 新人教版
20.2 一元二次方程解法（第1课时）教学目标1、 会用配方法推导一元二次方程求根公式，熟练地运用求根公式解一元二次方程。
2、 经历求根公式的推导过程，培养学生推理能力，发展分析问题、解决问题的能力，进一步体会分类讨论和化归的思想，认识到配方法是推导求根公式的关键。
教学重难点重点：一元二次方程的求根公式及求根公式的灵活运用时本课的重点。
难点：如何运用配方法推导出一元二次方程的求根公式。
教学进程1、 复习提出问题（1）用配方法解一元二次方程的一般步骤怎样？（2）用配方法解方程：03622=+-x x解：03622=+-x x 02332=+-x x 化二次项系数为1 2332-=-x x 移项（把常数项移到等号右边） 222)23(23)23(232+-=+⋅⋅-x x 配方 （43)232=-x 合并 2323±=-x 开方 2331+=x ， 2332-=x 写出方程的解 2、 合作交流，解读探究 活动1：关于x 的一元一次方程)0(0≠=+a b ax 的解是=x a b -，这里是用b a ,的代数式表示它的解，那么一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解是一个什么情况呢？交流：用含c b a ,,的代数式表示一元二次方程的解。
下面我们来解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 。
解： 02=++c bx ax02=++ac x a b x 变： 两边除以a ，化二次项系数为1 ac x a b x -=+2 移：常数项移到等号右边 +-=++a c a b x a b x 22)2(2)2(a b 配方 2)2(a b x +2244a ac b -= 合并 交流：对2244a ac b -进行讨论。
∵ 0≠a ，∴ 24a ＞0 当042≥-ac b 时，04422≥-a ac b 原方程有两个实数 aac b a b x 2422-±=+ 开方 ∴ aac b b x 242-±-= （)042≥-ac b 这就是一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的求根公式。
八年级数学下册 第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法(第2课时)作业设计 (新版)浙教版
2.2 一元二次方程的解法（第2课时）A 组 基础训练1. 方程（x-3）2=16的解是（ ）A. x 1=x 2=3B. x 1=-1，x 2=7C. x 1=1，x 2=-7D. x 1=-1，x 2=-7 2. 若x=2是方程3x 2-7=a 2的一个根，则a 的值为（ ）A ． 5 B. ±5 C. 5 D. ±53. （滨州中考）用配方法解一元二次方程x 2-6x-10=0时，下列变形中，正确的是（ ）A ．（x+3）2=1 B.（x-3）2=1 C.（x+3）2=19 D.（x-3）2=19 4. 下列解方程的结果正确的是（ ）A. x 2=-11，解得x=±11B.（x-1）2=4，解得x-1=2，所以x=3C. x 2=7，解得x=±7D. 25x 2=1，解得25x=±1，所以x=±251 5. 已知关于x 的一元二次方程（x+1）2-m=0有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A ． m ≥-43 B ． m ≥0 C ． m ≥1 D ． m ≥2 6. 将下列各式配方： （1）x 2-4x+（ ）=（x- ）2；（2）x 2+12x+（ ）=（x+ ）2；（3）x 2-23x+（ ）=（x- ）2； （4）x 2+22x+（ ）=（x+ ）2.7. 方程3（x-1）2=6的解为 .8. 王涛利用电脑设计了一个程序：当输入实数对（x ，y ）时，会得到一个新的实数x 2+y-1，例如输入（2，5）时，就会得到实数8（即22+5-1=8）. 若输入实数对（m ，2）时得到实数3，则m= .9. 关于x 的方程（x+h ）2+k=0（h ，k 均为常数）的解是x 1=-3，x 2=2，则方程（x+h-3）2+k=0的解是 .10. 用开平方法解下列方程：（1）9x 2-16=0；（2）-32（x-1）2=-3.11. 用配方法解方程：（1）x 2-4x-5=0；（2）-x 2+3x-2=0；（3）x 2＝22x+4.12． 已知y 1=2x 2+7x+3，y 2=x 2+5x+2，当x 取何值时，y 1=y 2？B 组 自主提高13． 对于任意实数x ，多项式x 2-6x+11的值是一个（ ）A ． 负数B ． 非正数C ． 正数D ． 无法确定 14． 已知x 2-4x+4+y 2+6y+9=0，则x-y 的值为 __ .15. 已知三个连续奇数的平方和是251，那么这三个数的积是多少？16.已知等腰三角形的底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个三角形的面积．参考答案1—5. BDDCB6. （1）4 2 （2）36 6 （3）169 43 （4）2 2 7. x=1±2 8. ±2 9. x 1=0，x 2=510. （1）移项，得9x2=16. 方程两边同除以9，得x 2=916. 解得x 1=34，x 2=-34. （2）将原方程整理，得（x-1）2=29. 两边开平方，得x-1=±29=±232. 移项，得x=1±232.即原方程的解为x 1=2232+，x 2=2232-. 11. （1）x 1=5，x 2=-1 （2）x 1=1，x 2=2 （3）x=2±612. x=-1. 13. C 14. 515. 设中间的数为x ，则另外两个数分别为x-2和x+2. 根据题意，得（x-2）2+x2+（x+2）2=251. 整理，得x 2=81. ∴x=±9. 当x=9时，x （x-2）（x+2）=693；当x=-9时，x （x-2）（x+2）=-693.16. 由x 2－9x ＋20＝0，解得x 1＝4，x 2＝5. ∵等腰三角形的底边长为8，且当x ＝4时，边长为4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴x ＝5. ∴高为3. ∴三角形的面积为12.。
数学八年级下册第2章一元二次方程 作业设计
2．1 一元二次方程1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＋1＝0B ．ax 2－x ＋2＝0C ．x(x ＋3)＝5D ．3x 2－2y ＋4＝02．已知方程(m －2)x |m|＋mx －8＝0是关于x 的一元二次方程，则( ) A ．m ＝±2 B ．m ＝2 C ．m ＝－2 D ．m ≠±23．把方程x(x ＋2)＝5(x －2)化成一般形式，则a ，b ，c 的值分别是( ) A ．1，－3，10 B ．1，7，－10 C ．1，－5，12 D ．1，3，2 4．已知一元二次方程x 2－4＝0，则下列关于该一元二次方程的说法正确的是( ) A ．不是一般形式 B ．没有一次项系数 C ．常数项是4 D ．二次项系数是1 5．若关于x 的一元二次方程ax 2＋b ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2 016－a －b 的值是( ) A ．2 019 B ．2 020 C ．2 021 D ．2 0226．若方程(a －3)x 2＋a ＋1x －2＝0是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥－1 B ．a ≠3 C ．a ＞3 D ．a ≥－1且a ≠37．已知a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝0，4a －2b ＋c ＝0，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解的情况为( )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝－1，x 2＝－2C ．方程的解与a ，b 的取值有关D ．方程的解与a ，b ，c 的取值有关 8．已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－29．关于x 的方程mx(x －1)＝nx(x ＋1)＋2化成一般形式后为x 2－x －2＝0，则m ，n 的值依次是( )A ．1，0B ．0，1C ．－1，0D ．0，－110．关于x 的方程mx 2－3x ＋2＝x 2－mx 是一元二次方程，则m 的取值范围是____________． 11．关于x 的一元二次方程2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x(x ＋1)化成一般形式后的二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m 的值为_______．12．若x ＝1是一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，则m 的值为____．13．若关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋5x ＋m 2－9＝0的常数项为0，则m 的值为____． 14．把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)2x(2x ＋1)＝x ＋3； (2)(7x －1)2＝6.15．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数，一次项系数及常数项．16．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数，一次项系数及常数项．17．有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，一个学童教他沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？设竹竿长为x尺，请根据这一问题列出方程并化简方程，不必求解．18．已知一个一元二次方程的二次项的系数为1，它的两个根是33和－23，求这个一元二次方程．参考答案1. C2. C3. A4. D5. C6. D7. B8. A9. A 10. m ≠1 11. －1 12. －3 13. －314. 解：(1) 一般形式：2x 2＋(2－1)x －3＝0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是2，2－1， －3.(2) 一般形式：49x 2－14x －5＝0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是49，－14，－5.15. 解：(1)当m ＝3时，此方程是一元一次方程，其解为x ＝56.(2)当m ≠±3时，此方程为一元二次方程，其二次项系数，一次项系数及常数项分别为m 2－9，m ＋3， －5.16. 解：x(x －1)＝182，一般形式为x 2－x －182＝0.17. 解：设竹竿长为x 尺，根据题意，得(x －4)2＋(x －2)2＝x 2，化简得x 2－12x ＋20＝0. 18. 解：设这个一元一次方程为x 2＋bx ＋c ＝0，将x 1＝33和x 2＝－23分别代入，解方程组得b ＝－3，c ＝－18，所以这个一元二次方程是x 2－3x －18＝0.2.2 一元二次方程的解法（第1课时）A组基础训练1. 已知AB=0，那么下列结论正确的是（）A. A=0B. A=B=0C. B=0D. A=0或B=02. （山西中考）一元二次方程x2+3x=0的解是（）A. x1=-3B. x1=0，x2=3C. x1=0，x2=-3D. x1=33. 用因式分解法解下列方程，正确的是（）A. （2x-2）（3x-4）=0，则2x-2=0，或3x-4=0B. （x+3）（x-1）=1，则x+3=0，或x-1=1C. （x-2）（x-3）=2×3，则x-2=2，或x-3=3D. x（x+2）=0，则x+2=04. 方程x-2=x（x-2）的解是（）A. x=0B. x1=0，x2=2C. x=2D. x1=1，x2=25. 方程（x-2）（x+3）=-6的两根分别为（）A. x=2B. x=-3C. x1=2，x2=－3D. x1=0，x2=-16. 若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是 .7. 请写出一个两根分别是1，-2的一元二次方程 .8. （德州中考）方程3x（x-1）=2（x-1）的根是 .9. 用因式分解法解方程：（1）x2-6x=0；（2）4y2-16=0；（3）x（x-2）=x-2；（4）9（x+1）2-16（x-2）2=0；（5）2x2-42x+4=0.10. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a※b=（a-1）2-b2. 根据这个规则，求方程（x+3）※5=0的解.11. 文文给明明出了一道解一元二次方程的题目如下：解方程（x-1）2=2（x-1）. 明明的求解过程为：解：方程两边同除以x-1，得x-1=2，第1步移项，得x=3，第2步∴方程的解是x1=x2=3.第3步文文说：你的求解过程的第1步就错了…（1）文文的说法对吗？请说明理由；（2）你会如何解这个方程？给出过程.12. 如果方程ax2-bx=0与方程ax2+b-12=0有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一根．B组自主提高13. 已知方程x2+px+q=0的两根分别为3或－4，则x2＋px+q可分解为 .14. 已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-7x+10=0的根，求△ABC的周长.15. 阅读下列材料：对于关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0），如果a+b+c=0，那么它的两个根分别为x 1= 1，x 2=ac. 证明：∵a+b+c=0，∴c=-a-b. 将c=-a-b 代入ax 2+bx+c=0，得ax 2+bx-a-b=0，即a （x 2-1）+ b （x-1）=0，∴（x-1）（ax+a+b ）=0，∴x 1=1，x 2=ac. （1）请利用上述结论，快速求解下列方程： ①5x 2-4x-1=0，x 1= ，x 2= ； ②5x 2+4x-9=0，x 1= ，x 2= ；（2）请写出两个一元二次方程，使它们都有一个根是1.参考答案1—5. DCADD6. -27. 答案不唯一. 如：（x-1）（x+2）=08. x 1=1，x 2=329. （1）x 1=0，x 2=6. （2）y 1=2，y 2=-2. （3）x 1=2，x 2=1. （4）x 1=75，x 2=11. （5）x 1=x 2=2. 10. x 1=3，x 2=-7.11. （1）文文的说法正确.只有当x-1≠0时，方程两边才能同除以x-1. （2）移项得（x-1）2-2（x-1）=0，（x-1）（x-1-2）=0，解得x 1=1，x 2=3. 12. a=1，b=3，另一个根分别是x=0，x=-3. 13. （x-3）（x+4）14. 将方程x2-7x+10=0的左边因式分解，得（x-2）（x-5）=0，故x 1=2，x 2=5. 因为2+3=5，则第三边长为5不合题意，应舍去，所以只取第三边的长为2，此时，△ABC 的周长为2+2+3=7. 15. （1）①1 -51 ②1 -59 （2）答案不唯一. 如：3x 2-2x-1=0和-2x 2-3x+5=02.2 一元二次方程的解法（第2课时）A 组 基础训练1. 方程（x-3）2=16的解是（ ）A. x 1=x 2=3B. x 1=-1，x 2=7C. x 1=1，x 2=-7D. x 1=-1，x 2=-72. 若x=2是方程3x 2-7=a 2的一个根，则a 的值为（ ）A ． 5 B. ±5 C. 5 D. ±53. （滨州中考）用配方法解一元二次方程x 2-6x-10=0时，下列变形中，正确的是（ ）A ．（x+3）2=1 B.（x-3）2=1 C.（x+3）2=19 D.（x-3）2=194. 下列解方程的结果正确的是（ ）A. x 2=-11，解得x=±11B.（x-1）2=4，解得x-1=2，所以x=3 C. x 2=7，解得x=±7D. 25x 2=1，解得25x=±1，所以x=±251 5. 已知关于x 的一元二次方程（x+1）2-m=0有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A ． m ≥-43B ． m ≥0C ． m ≥1D ． m ≥26. 将下列各式配方：（1）x 2-4x+（ ）=（x- ）2； （2）x 2+12x+（ ）=（x+ ）2； （3）x 2-23x+（ ）=（x- ）2； （4）x 2+22x+（ ）=（x+ ）2. 7. 方程3（x-1）2=6的解为 .8. 王涛利用电脑设计了一个程序：当输入实数对（x ，y ）时，会得到一个新的实数x 2+y-1，例如输入（2，5）时，就会得到实数8（即22+5-1=8）. 若输入实数对（m ，2）时得到实数3，则m= .9. 关于x 的方程（x+h ）2+k=0（h ，k 均为常数）的解是x 1=-3，x 2=2，则方程（x+h-3）2+k=0的解是 . 10. 用开平方法解下列方程： （1）9x 2-16=0； （2）-32（x-1）2=-3.11. 用配方法解方程： （1）x 2-4x-5=0；（2）-x2+3x-2=0；（3）x2＝22x+4.12．已知y1=2x2+7x+3，y2=x2+5x+2，当x取何值时，y1=y2？B组自主提高13．对于任意实数x，多项式x2-6x+11的值是一个（）A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定14．已知x2-4x+4+y2+6y+9=0，则x-y的值为 __ .15. 已知三个连续奇数的平方和是251，那么这三个数的积是多少？16.已知等腰三角形的底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个三角形的面积．参考答案1—5. BDDCB6. （1）4 2 （2）36 6 （3）169 43（4）2 2 7. x=1±2 8. ±2 9. x 1=0，x 2=510. （1）移项，得9x2=16. 方程两边同除以9，得x 2=916. 解得x 1=34，x 2=-34.（2）将原方程整理，得（x-1）2=29. 两边开平方，得x-1=±29=±232. 移项，得x=1±232. 即原方程的解为x 1=2232+，x 2=2232-. 11. （1）x 1=5，x 2=-1 （2）x 1=1，x 2=2 （3）x=2±612. x=-1. 13. C 14. 515. 设中间的数为x ，则另外两个数分别为x-2和x+2. 根据题意，得（x-2）2+x2+（x+2）2=251. 整理，得x 2=81. ∴x=±9. 当x=9时，x （x-2）（x+2）=693；当x=-9时，x （x-2）（x+2）=-693.16. 由x 2－9x ＋20＝0，解得x 1＝4，x 2＝5. ∵等腰三角形的底边长为8，且当x ＝4时，边长为4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴x ＝5. ∴高为3. ∴三角形的面积为12. 2.2 一元二次方程的解法（第3课时）A 组 基础训练1. 若x 2-6x+11=（x-m ）2+n ，则m ，n 的值分别是（ ）A. m=3，n=-2B. m=3，n=2C. m=-3，n=-2D. m=-3，n=22. 用配方法解方程2x 2-7x+5=0时，下列配方结果正确的是（ ）A. （x-47）2=169 B. （x-27）2=169 C. （x-47）2=829 D. （x-27）2=829 3. 若9x 2-（k+2）x+4是一个关于x 的完全平方式，则k 的值为（ ）A ．10B ．10或14C ．-10或14D ．10或-144. 用配方法解方程2x 2-21x-2=0，应先把它变形为（ ） A ．（x-31）2=98 B.（x-32）2=0 C.（x+31）2=98 D.（x-31）2=910 5． 无论m ，n 为何实数，代数式m2-4n+n2+6m+19的值（ ）A ．总不小于6B ．总不小于19C ．为任何实数D ．可能为负数6. 用配方法解方程2x 2+6x-5=0时，应变形为 .7. 代数式3x 2-6x 的值为-1，则x= .8． 若把y=2x 2-4x-1化为y=2（x+h ）2+k 的形式，则h= ，k= .9. 关于x的方程a（x+h）2+k=0（a，h，k均为常数，a≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程a （x+h-1)2+k=0的解是 .10. 用配方法解方程：（1）2x2-4x-6=0；（2）3x2-6x-1=0；（3）（泰安中考）6x2-x-12=0；（4）5x2-5x-5=0.11. 在实数范围内定义一种新运算“★”，其规则为a★b=ab+a+b. 根据这个规则，请你求方程x★（x+1）=11的解.12. 关于x的方程a2x2-2ax-3=0的一个解为3，求a的值及方程的另一个解．B组自主提高13. 对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是（）A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关14. 先阅读后解题.若m2+2m+n2-6n+10=0，求m和n的值.解：m2+2m+1+n2-6n+9=0，即（m+1）2+（n-3）2=0，∵（m+1）2≥0，（n-3）2≥0，∴（m+1）2=0,（n-3）2=0，∴m+1=0，n-3=0，∴m=-1，n=3.利用以上解法，解下列问题：已知x2+5y2-4xy+2y+1=0，求x和y的值.15. 在用配方法解一元二次方程4x2-12x-1=0时，李明同学的解题过程如下：解：方程4x2-12x-1=0可化成（2x）2-6×2x-1=0，移项，得（2x）2-6×2x=1.配方，得（2x）2-6×2x+9=1+9，即（2x-3）2=10.由此可得2x-3=±10.∴x1=2103+，x2=2103-.晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方. 你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？参考答案1—5. BADDA6. （x+23）2=419 7. 363+或363- 8. -1 -3 9. x 1=-2，x 2=3 10. （1）x 1=3，x 2=-1. （2）x=3323± （3）x 1=23，x 2=-34. （4）x=235± 11. 根据规则，由x ★（x+1）=11，得x （x+1）+x+（x+1）=11，即x 2+3x=10. 配方，得x 2+3x+（23)2=10+（23）2，即（x+23）2=449. ∴x+23=±449=±27，即x 1=-23+27=2，x 2=-23-27=-5. 12. a=1或a=-31，当a=1时，方程的另一个解为-1；当a=-31时，方程另一个解为-9. 13. A 14. ∵x 2+5y 2-4xy+2y+1=0，∴（x-2y ）2+（y+1）2=0，∴x-2y=0，y+1=0，x=-2，y=-1.15. 不同意晓强说法. 当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方.2.2 一元二次方程的解法（第4课时）A 组 基础训练1． 一元二次方程x 2-3x=1中，b 2-4ac 的值为（ ）A ． 5B ． 13C ． -13D ． -5 2. （扬州中考）一元二次方程x 2-7x-2=0的实数根的情况是（ ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 没有实数根D ． 不能确定3. 在解方程（2y-1）2=3（2y-1）时，最简便的方法是（ ）A. 开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法 4． 当4c>b 2时，方程x 2-bx+c=0的根的情况是（ ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 没有实数根D ． 无法确定5. （苏州中考）关于x 的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A ． 1 B. -1 C. 2 D. -26. 已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且方程a （1＋x2）＋2bx －c （1－x2）＝0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ． 等腰三角形B ． 等边三角形C ． 直角三角形D ． 任意三角形7. 在方程2x 2+1=52x 中，a= ，b= ，c= ，b 2-4ac= . 8. 用公式法求得方程x 2+x-1=0的根为 .9．（本溪中考）关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 .10. 用公式法解下列方程：（1）x 2-9x+7=0；（2）2x 2-6x-1=0；（3）25x 2+10x+1=0.11. 用适当的方法解方程：（1）916x 2=1；（2）x 2+2x=99；（3）3x2+1=4x.（4）（x+1）（x-2）=2-x.12. 已知关于x的方程（2a-1）x2-8x+6=0无实数根，求a的最小整数值．13.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=0. 即ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），这样我们可以在实数范围内分解因式. 例：分解因式2x2+2x-1.解：∵2x2+2x-1的根为x=4122±-即x1=231+-，x2=231--∴2x2+2x-1=2（x-231+-）（x-231--）=2（x-213-）（x+213+）试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2-5x+1.B组自主提高14．等腰△ABC的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为（）A ． 9B ． 10C ． 9或10D ． 8或10 15. 已知关于x 的方程x 2-（m+2）x+（2m-1）=0.（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.参考答案1—5. BADCA 6. C 7. 2 -52 1 42 8. x=251±- 9. k<2且k ≠1 10. 解：（1）x=2539± （2）x=2113± （3）x 1=x 2=-51 11. 解：（1）x=±43 （2）x 1=-11，x 2=9 （3）x 1=1，x 2=31 （4）x 1=-2，x 2=2 12. 解：a 的最小整数值为2.13. 解：∵3x 2-5x+1=0的根为x=6135±, ∴3x 2-5x+1=3（x-6135+）（x-6135-）. 14. B15. （1）证明：∵∆=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m 无论取何值， （m-2）2+4≥4，即∆＞0，∴关于x 的方程x 2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根.（2）根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得m=2. 将m=2代入原方程，得x 2-4x+3=0. 解得x 1=1，x 2=3. ∴方程的另一根为3. ①当该直角三角形的两直角边长分别是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为2231+=10，此时该直角三角形的周长为1+3+10=4+10；②当该直角三角形的一条直角边和斜边长分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为2213-=22，此时该直角三角形的周长为1+3+22=4+22. 2.3 一元二次方程的应用（第1课时）A 组 基础训练1. 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x ，则方程为（ ）A. x 2+（x-4）2=10（x-4）+x-4B. x 2+（x+4）2=10x+x-4-4 C. x 2+（x+4）2=10（x+4）+x-4 D. x 2+（x+4）2=10x+（x-4）-4 2. （杭州中考）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次，设参观人次的平均年增长率为x ，则（ ）A ．10.8（1+x ）=16.8B ．16.8（1-x ）=10.8C ．10.8（1+x ）2=16.8D ．10.8[（1+x ）+（1+x ）2]=16.8 3. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系. 每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元. 要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列方程（ ）A ．（3＋x ）（4-0.5x ）=15B ．（3＋x ）（4+0.5x ）=15C ．（4＋x ）（3-0.5x ）=15D ．（1＋x ）（4-0.5x ）=154. 一个小组有若干人，新年每人互送贺年卡片一张，已知全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）A ．12人B ．18人C ．9人D ．10人5. 一次足球比赛，每个球队都要与其他球队比赛一场，共赛36场. 设有x 个球队，则可以列方程为 .6. 为迎接世合赛，绍兴市政府加大了绿化的力度，从2月份开始到4月份，绿化面积增加了44%，则平均每个月的增长率为 .7. 从飞机上空投下的炸弹速度会越来越快，其下落的高度h （m ）与时间t （s ）间的公式为h=21at 2，若a 取近似值10m/s2，则从2000m 的空中投下的炸弹落至地面目标，大约需要的时间t 为 .8. 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元. 求3月份到5月份营业额的平均月增长率.9. 三年前，小明父亲的年龄恰好是小明年龄的平方，若今年他们父子的年龄和为36，求小明今年的年龄是多少？10. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？11. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个.（1）为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价可定为多少元？（2）商场采取涨价措施后，每月能盈利15 000元吗？为什么？（3）台灯的售价定为多少元时利润最大，最大利润多少？B 组 自主提高12. 平面上不重合的两点确定一条直线，不同的三点最多可确定3条直线． 若平面上不同的n 个点最多可确定21条直线，则n 的值为（ ）A ． 5B ． 6C ． 7D ． 813． 一个容器内盛满纯酒精20L ．第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样体积的溶液，再用水加满，这时容器内剩下纯酒精5L ．那么每次倒出液体多少升？14. “铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设. 渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时. （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加101m 小时，求m 的值.参考答案1—4. CCAC 5.2)1(-x x =36 6. 20% 7. 20s 8. 20% 9. 8岁 10. 解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人.由题意，得1+x+x （1+x ）=64. 解得x 1=7，x 2=-9（不合题意，舍去）.答：每轮传染中平均一个人传染了7个人. （2）7×64=448（人）. 答：第三轮又有448人被传染. 11. 解：（1）50元或80元.（2）不能，可从Δ＜0，方程无解说明. （3）当售价定为65元时，最大利润12 250元. 12. C13. 解：设每次倒出xL 液体.第一次倒出xL 酒精加满水后，酒精的浓度为2020x-. 第二次倒出xL 液体后，剩下浓度为2020x -的混合溶液，其中纯酒精为)20(2020x x--L ，加满水后，酒精浓度发生变化，但是其中含的纯酒精没有变，仍然是)20(2020x x--L. 由此可得：)20(2020x x--=5，解得x=10. 故每次倒出10L 液体.14. 解：（1）设原时速为xkm/h ，通车后里程为ykm ，则有：8（120+x ）=y ，（8+16）x=320+y ，解得x=80，y=1 600. 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1 600千米. （2）由题意可得出：（80+120）（1-m%）（8+101m ）=1600，解得：m 1=20，m 2=0（不合题意舍去）.答：m 的值为20.2.3 一元二次方程的应用（第2课时）A 组 基础训练1. （兰州中考）王叔叔从市场上买一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A. （80-x）（70-x）=3 000B. 80×70-4x2=3 000C. （80-2x）（70-2x）=3 000D. 80×70-4x2-（70+80）x=3 0002. （兰州中考）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=03. 如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm4.如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（）A．1 B．4 C．6 D．95. 已知两个连续偶数的积为168，则这两个连续偶数为．6. 如图，某校A距离笔直的公路l为3km，与该公路上某车站D的距离为5km. 现要在公路旁建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，则BC= .7. 如图，小亮、小明两人分别从正方形广场ABCD的顶点B，C两点同时出发，小明由C向D运动，小亮由B向C运动，小明的速度为0.1千米/分，小亮的速度为0.2千米/分，小亮到达C 点时，两人同时停止运动. 若正方形广场周长为4千米，问几分钟后两人相距510千米？8． 如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度． 如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm ，宽为15cm ，厚为1cm ，现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示． 求折叠进去的宽度.9. 在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，设运动时间为t. （1）问几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ （2）是否存在t ，使△PDQ 的面积等于26cm 2？B组自主提高10. 如图，有一段15m米长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.（1）怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？（2）长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由.11. 要在一块长16m、宽12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案：（1）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件持不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用解方程的方法说明理由；（2）你还有其他的设计方案吗？请在图2中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.参考答案1—4. CCBD5. 12，14或-12，-146.87km 7. 2分钟 8. 解：设折叠进去的宽度为xcm ，则（2x+15×2+1）（2x+21）=875，化简得x 2+26x-56=0，∴x=2或-28（负值舍去）.答：折叠进去的宽度为2cm.9. 解：（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2，∵AP=x ，QB=2x ，∴PB=6-x. ∴21×（6-x ）×2x=8，解得x 1=2，x 2=4. 答：2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8cm 2.（2）假设存在t 使得△PDQ 面积为26cm 2，则72-6t-t （6-t ）-3（12-2t ）=26，整理得，t 2-6t+10=0，∵∆=36-4×1×10=-4＜0，∴原方程无解，所以不存在t ，能够使△PDQ 的面积等于26cm 2.10. 解：（1）设CD=xm ，则DE=（32-2x ）m ，依题意得x （32-2x ）=126，整理得x 2-16x+63=0，解得x 1=9，x 2=7，当x 1=9时，32-2x=14，当x 2=7时，32-2x=18＞15（不合题意舍去），∴能围成一个长14m ，宽9m 的长方形场地. （2）设CD=ym ，则DE=（32-2y ）m ，依题意得y （32-2y ）=130，整理得y 2-16y+65=0，∆ =（-16）2-4×1×65=-4＜0，故方程没有实数根，∴长方形场地面积不能达到130m 2.11. 解：（1）不符合. 设小路宽度均为xm ，根据题意得（16-2x ）（12-2x ）=21×16×12. 解得x 1=2，x 2=12. 但x2=12不符合题意，应舍去，∴x=2. ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2m.（2）答案不唯一，如图.2.4 一元二次方程根与系数的关系一、选择题（每小题5分，20分）1．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）32．一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两根分别是x 1、x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－63．一元二次方程x 2＋x －2＝0的两根之积是( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．24．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0 二、填空题（每小题5分，20分）5、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =_____，这时方程的另一个根是____；若两根之和为－35 ，则m =_______，这时方程的两个根为_________________.6.阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．7.如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于_________8、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝_______。
八年级数学 一元二次方程课时作业
一元二次方程课时作业一元二次方程的解法知识考点：理解一元二次方程的概念及根的意义，掌握一元二次方程的基本解法，重点是配方法和公式法，并能根据方程特点，熟练地解一元二次方程。
一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。
第1课时作业：一元二次方程的概念与根班级： 姓名： 得分与小评： 【知识回顾】：1、一元二次方程的概念：含有 ，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程．注：（1）一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程．②它只含有一个未知数．③未知数的最高次数2；（2）在判断是否为一元二次方程时，需将方程化成一般形式．2、一元二次方程的一般形式：形如： 的方程叫一元二次方程的一般形式． 它的特征是：等式的左边是关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零．其中， 叫做二次项，叫做二次项系数； 叫做一次项， 叫做一次项系数； 叫做常数项．注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号．（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．（3）形如02=++c bx ax不一定是一元二次方程，有且只有当0≠a 时方程才是一元二次方程．3、一元二次方程的根：使方程左、右两边相等的 叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根．【课时作业】： 1、 在方程①4(1)(2)5x x -+=，②221x y +=，③25100x -=，④2280x x +=0=中， 是一元二次方程的为 ．（填序号）2、方程3(1)2(2)x x x -=+化成一般形式为 ．3、关于x 的方程06232=-+x x 中a 是 ；b 是 ；c 是 ．4、已知方程2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是 ．理由：5、若方程a (x －1)2=2x 2－2是关于x 的一元二次方程， 则a 的值是 ． 理由：6、若关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根为0，则k 的值为 ． 理由： 7、请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 8、下表是某同学求代数式x 2－x 的值的情况，2班级：姓名：得分与小评：【知识回顾】：1、平方差公式：x2－a2= ；完全平方公式：x2±2xa＋a2= ．2、平方根定义：一般的，如果一个数的平方等于a，即，那么这个数叫做a的平方根．a的平方根记为，读为根号a，a叫做．即：x= ．规定：0的平方根是．3、利用平方根的定义直接开方解一元二次方程：（1）解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程时，可得x= ，即x1= ，x2= ．（2）解形如(mx＋n)2=p（p≥0）的一元二次方程时，先解mx＋n=，在转化为两个：mx＋n=与mx＋n=的一元次方程，再求解这两个一元一次方程，可得x1= ，x2= ．（3）归纳总结再解对于方程x2=p时，①当p>0时，方程有的实数根，即x1= ，x2= ；②当p=0时，方程有的实数根，x1=x2= ；③当p<0，方程．再解对于方程(mx＋n)2=p时，①当p>0时，方程有的实数根，即x1= ，x2= ；②当p=0时，方程有的实数根，x1=x2= ；③当p<0，方程．【课时作业】：1、下列方程可用直接开平方法求解的是（）A．9x2=25 B．4x2－4x－3=0C．x2－3x=0 D．x2－2x－1=92、方程(x－2)2=9的解是（）A．x1=5，x2=－1 B．x1=－5，x2=1C．x1=11，x2=－7 D．x1=－11，x2=7 3、完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2－8=0；解：原方程化成，开平方，得，则x1= ，x2= ．(2)解方程：3(x－1)2－6=0．解：原方程化成，开平方，得，则x1= ，x2= ．4、x2－9=0，则x= ．5、方程2x2＋8=0的根为（）A．2 B．－2 C．±2 D．没有实数根6、用直接开平方法解下列方程：(1)x2－25=0；(2)4x2=1；(3)3(x＋1)2=31；(4)(3x＋2)2=25．7、下列方程能用直接开平方法求解的是（）A．5x2＋2=0 B．4x2－2x＋1=0C．(x－2)2=4 D．3x2＋4=28、方程100x2－1=0的解为（）A．x1=101，x2=101-B．x1=10，x2=－10C．x1=x2=101D．x1=x2=101-9、一元二次方程(x＋6)2=16可化为两个一元一次方程，班级： 姓名： 得分与小评： 【知识回顾】：1、完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2= ．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用．配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看作未知数x ， 则有x 2±2xb ＋b 2= ．3、配方法解一元二次方程的一般步骤：①现将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；⑤变形为(x ＋p )2=q 的形式， 如果q ≥0，方程的根是x = ；如果q ＜0，方程无实根．【课时作业】：1、下列各式是完全平方式的是（ ） A ．a 2＋7a ＋7 B ．m 2－4m －4 C ．x 2－12x ＋161D ．y 2－2y ＋2 2、若(2x －1)2=9，则2x －1=______， 所以 或 ． 所以x 1=______，x 2=______．3、解方程：2x 2－3x －2=0．为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x 2－3x=2；再把二次项系数化为1，得x 2－23x=1；然后配方， 得x 2－23x ＋(43)2=1＋(43)2；进一步得(x －43)2=1625，解得方程的两个根为 ．4、若x 2＋6x ＋m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．以上都不对 5、若方程x 2－mx ＋4=0的左边是一个完全平方式， 则m 等于（ ） A ．±2 B ．±4 C ．2 D ．46、用适当的数填空：(1)x 2－4x ＋______=(x －______)2； (2)m 2±______m ＋49=(m ±______)2． 7、用配方法解下列方程：(1)x 2－4x －2=0； (2)2x 2－4x －6=0； (3)32x 2＋31x －2=0； (4)x(x ＋4)=6x ＋12．8、若将方程x 2＋6x=7化为(x ＋m)2=16，则m= ． 理由：20班级： 姓名： 得分与小评： 【知识回顾】：1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的根的情况可以由根的判别式△= b 2－4ac 的值来判定： ①当△= b 2－4ac______0时，方程有两个不相等的实数根； ②当△= b 2－4ac______0时，方程有两个相等的实数根； ③当△= b 2－4ac______0时，方程没有实数根．当△≥0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为：aacb b x 242-±-=，这就是一元二次方程的求根公式． 注：公式法的步骤：①先把一元二次方程化为一般形式；②再把各系数分别代入判别式，判断△的值；③最后根据△的值评定，当△≥0时，用求根公式求出一元二次方程的根，当△＜0时，此一元二次 方程的无实数根．二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c ． 2、规律探究：因为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的判别式为ac b 42-，通常用“∆”来表示， 即：△= ，所以当a 与c 的符号是 时，一元二次方程必有两不相等的实数根．【课时作业】：1、一元二次方程x 2＋x ＋2=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正根 B ．有两个不相等的负根 C ．没有实数根 D ．有两个相等的实数根2、一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)，当b 2－4ac 0时，它的根为 ．3、一元二次方程a 2－4a －7=0的解为 ．4、一元二次方程x 2－4x ＋5=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根5、下列关于x 的方程有实数根的是（ ） A ．x 2－x ＋1=0 B ．x 2＋x ＋1=0 C ．(x －1)(x ＋2)=0 D ．(x －1)2＋1=0 6、一元二次方程x 2－2x ＋m=0总有实数根， 则m 应满足的条件是（ ） A ．m ＞1 B ．m=1 C ．m ＜1 D ．m≤17、方程x 2＋x －1=0的一个根是（ ） A ．1－5 B ．251-C ．－1＋5D ．251+- 8、用公式法解方程x 2－x －1=0的根为( ) A ．231± B ．231±-C ．251±D ．251±- 9、不解方程，判定下列一元二次方程根的情况：(2)1班级：姓名：得分与小评：【知识回顾】：1、因式分解的概念：把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式．在数学求根作图方面有很广泛的应用．2、因式分解解一元二次方程：就是利用因式分解的手段，求出一元二次方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．3、如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p= 或q= ．4、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积．（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程．（4）解这两个一元一次方程，它们的解，就是原方程的解．关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法、平方差公式法、完全平方公式、．5、归纳总结：选择适合的方法解一元二次方程的技巧首选直接开平方法解一元二次方程，直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程；其次选择因式分解法解一元二次方程，因式分解法要求方程右边必须是0，左边能分解因式（因式分解法常用方法有：提公式法、平方差公式法、完全平方公式、）；再选择公式法解一元二次方程，公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单；最后选择配方法解一元二次方程，配方法解时注意完全平方的构造．注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦．【课时作业】：1、方程x(x＋2)=0的根是（）A．x=2 B．x=0C．x1=0，x2=－2 D．x1=0，x2=22、方程(x－2)(x＋3)=0的解是（）A．x=2 B．x=－3C．x1=－2，x2=3 D．x1=2，x2=－3 3、一元二次方程x(x－2)=2－x的根是（）A．－1 B．2C．1和2 D．－1和24、方程3x(x＋1)=3x＋3的解为（）A．x=1 B．x=－1C．x1=0，x2=－1 D．x1=1，x2=－1 5、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）A．(2x－2)(3x－4)=0化为2x－2=0或3x－4=0B．(x＋3)(x－1)=1化为x＋3=0或x－1=1C．(x－2)(x－3)=2×3化为x－2=2或x－3=3D．x(x＋2)=0化为x＋2=06、用因式分解法解方程：(1)x(x－7)=0；(2)(x＋7)(x－7)=0．(3)x2－9=0；(4) x2－2x=0；班级： 姓名： 得分与小评： 【知识回顾】： 1、如果方程为02=++q px x 的两个实数根是21x x ，，则=+21x x ；=⋅21x x ．2、如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，则=+21x x ；=⋅21x x ． 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．3、归纳总结：一元二次方程的根与系数关系的应用若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21， ab x x =21， 根据一元二次方程的根与系数的关系，在求某些代数值常用以下的转化关系： （1）21212111x x x x x x +=+； （2）()2122122212x x x x x x -+=+； （3）()2212121))((a x x a x x a x a x +++⋅=++； （4）()212122121222121122x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+ （5）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+．【课时作业】：1、若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16的两个根， 则x 1＋x 2的值是（ ）A ．－10B ．10C ．－16D ．162、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1=0的两个实数根，则x 1x 2等于（ ） A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．43、已知方程x 2－5x ＋2=0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为（ ） A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．34、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x 2＋2x ＋1=0； (2)3x 2－2x －1=0；(3)2x 2＋3=7x 2＋x ； (4)5x －5=6x 2－4．5、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1=0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 1＋x 2； (2)x 1x 2；)=两根之和等于两根之积，则班级：姓名：得分与小评：【知识回顾】：1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审题：明确已知条件和未知条件，以及它们之间的关系；（2）找等量关系：明确题目中的等量关系；（3）设未知数：用字母代表未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；（4）列方程：根据等量关系列出方程；（5）解方程：选择适当的方法解方程；（6）检验：检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意；（7）作答：写出题目中要解决的问题．2、传播问题分为：病毒传播问题与树干问题．传播的第一轮和第二轮，可以抽象为一元二次方程的数学模型．3、传播问题的延伸：握手问题（单循环问题）与贺卡问题（双循环问题）．单循环问题公式：=循环数；双循环问题公式：=循环数．【课时作业】：1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？（注意：主干长出支干，主干不长出小分支，支干长出小分支）3、要组织一擦很能够篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排15场比赛．应邀请多少球队参加比赛？4、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有多少人？班级： 姓名： 得分与小评： 【知识回顾】：1、增长率、减少率问题：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（x ），变化的次数（n ），变化后的基数（b ），当两次增长时这四者之间的关系式为： ； 当两次减少时这四者之间的关系式为： ；当n 次增长或减少时这四者之间的关系式为：b x a n=±)1(．【课时作业】：1、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元．求该品牌手机平均每月降价的百分率为多少？（注意：要理解增长率或降低率问题中的数量关系）2、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的16万平方米．求这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为多少？3、某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A ．2002(1%)a +=148B ．2002(1%)a -=148C ．200(12%)a -=148D ．2002(1%)a -=1484、县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ） A ．2)1(x a + B ．2%)1(x a +C ．2%)1(x +D ．2%)(x a a +5、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为m 千克，•第二年的产量为 千克，第三年的产量为 千克，三年总产量为 千克．6、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为 ．7、某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33．1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率PDQDCB班级：姓名：得分与小评：【知识回顾】：1、几何问题分为：围栏问题与几何图形（道路、做水箱）问题，抓住图形的综合理解．要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验．2、行程问题：注意路程、时间、速度之间的关系．s= ；v= ；t= ．【课时作业】：1、如图，有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？2、一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容器．求这块铁皮的长和宽．3、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm．点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）．那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？4、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2．5、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为、如图，某小区规划在一个长30m、宽、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步班级：姓名：得分与小评：【知识回顾】：1、销售问题：基本关系：利润=售价－成本；利润=成本×利润率；售价＝标价×打折率．2、经济问题中的利润问题：如何选择最优方案，获得最大利润（同时注意减少库存、让顾客受惠等字样）．3、数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式．【课时作业】：1、一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）A．（1+25%）（1+70%）a元B．70%（1+25%）a元C．（1+25%）（1-70%）a元D．（1+25%+70%）a元2、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数．3、已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积．4、某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？5、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每一元二次方程课时作业降价0．1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？7、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫的定价为多少元？第11页，共11页。
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2.2 一元二次方程的解法（第1课时）
A组基础训练
1. 已知AB=0，那么下列结论正确的是（）
A. A=0
B. A=B=0
C. B=0
D. A=0或B=0
2. （山西中考）一元二次方程x2+3x=0的解是（）
A. x1=-3
B. x1=0，x2=3
C. x1=0，x2=-3
D. x1=3
3. 用因式分解法解下列方程，正确的是（）
A. （2x-2）（3x-4）=0，则2x-2=0，或3x-4=0
B. （x+3）（x-1）=1，则x+3=0，或x-1=1
C. （x-2）（x-3）=2×3，则x-2=2，或x-3=3
D. x（x+2）=0，则x+2=0
4. 方程x-2=x（x-2）的解是（）
A. x=0
B. x1=0，x2=2
C. x=2
D. x1=1，x2=2
5. 方程（x-2）（x+3）=-6的两根分别为（）
A. x=2
B. x=-3
C. x1=2，x2=－3
D. x1=0，x2=-1
6. 若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是 .
7. 请写出一个两根分别是1，-2的一元二次方程 .
8. （德州中考）方程3x（x-1）=2（x-1）的根是 .
9. 用因式分解法解方程：
（1）x2-6x=0；
（2）4y2-16=0；
（3）x（x-2）=x-2；
（4）9（x+1）2-16（x-2）2=0；
（5）2x2-42x+4=0.
10. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a※b=（a-1）2-b2. 根据这个规则，求方程（x+3）※5=0的解.
11. 文文给明明出了一道解一元二次方程的题目如下：
解方程（x-1）2=2（x-1）. 明明的求解过程为：
解：方程两边同除以x-1，得x-1=2，第1步
移项，得x=3，第2步
∴方程的解是x1=x2=3.第3步
文文说：你的求解过程的第1步就错了…
（1）文文的说法对吗？请说明理由；
（2）你会如何解这个方程？给出过程.
12. 如果方程ax2-bx=0与方程ax2+b-12=0有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一根．
B组自主提高
13. 已知方程x2+px+q=0的两根分别为3或－4，则x2＋px+q可分解为 .
14. 已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-7x+10=0的根，求△ABC的周长.
15. 阅读下列材料：
对于关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0），如果a+b+c=0，那么它的两个根分别为x 1= 1，x 2=a
c . 证明：∵a+b+c=0，∴c=-a-b. 将c=-a-b 代入ax 2+bx+c=0，得ax 2+bx-a-b=0，即a （x 2-1）+
b （x-1）=0，∴（x-1）（ax+a+b ）=0，∴x 1=1，x 2=
a
c . （1）请利用上述结论，快速求解下列方程：
①5x 2-4x-1=0，x 1= ，x 2= ；
②5x 2+4x-9=0，x 1= ，x 2= ；
（2）请写出两个一元二次方程，使它们都有一个根是1.
参考答案
1—5. DCADD
6. -2
7. 答案不唯一. 如：（x-1）（x+2）=0
8. x 1=1，x 2=3
2 9. （1）x 1=0，x 2=6. （2）y 1=2，y 2=-2. （3）x 1=2，x 2=1. （4）x 1=
75，x 2=11. （5）x 1=x 2=2. 10. x 1=3，x 2=-7.
11. （1）文文的说法正确.只有当x-1≠0时，方程两边才能同除以x-1.
（2）移项得（x-1）2-2（x-1）=0，（x-1）（x-1-2）=0，解得x 1=1，x 2=3.
12. a=1，b=3，另一个根分别是x=0，x=-3. 13. （x-3）（x+4）
14. 将方程x2-7x+10=0的左边因式分解，得（x-2）（x-5）=0，故x 1=2，x 2=5. 因为2+3=5，则第三边长为5不合题意，应舍去，所以只取第三边的长为2，此时，△ABC 的周长为2+2+3=7.
15. （1）①1 -
51 ②1 -59 （2）答案不唯一. 如：3x 2-2x-1=0和-2x 2-3x+5=0。