编制数学模拟题的过程与方法

编制数学模拟题的过程说明与常用方法介绍现在距中考满打满算不到3个月了，如何做好中考复习工作，各人有各自的想法，但进行模拟考试，好像必不可少，那么模拟卷从那里来？当然我们可以拿别人已经编制好的试卷来直接使用，而不管效果如何，但作为教师，尤其是一名毕业班教师，必须具备命题基本功.1、在扩充的内容中寻求新的生长点：2、对保留的内容确定新的标高；3、在原有命题模式上推出新的结构；4、以数学思想方法为核心设计新的情境；5、以能力考查为目标创造新的题型。

编制一份含金量高的试卷，从大的方面讲，需要我们把握课程标准、考试纲要上的要求，需要确定试卷的整体结构与各知识点的比重，要制作《考点知识双向细目表》等，这些说起来就比较长，做起来也比较麻烦，很耽误时间，我们往往不愿意去做.但我们注意到：多年来，我省中考数学试题，一直突出对四基的考查，注重考查学生的思维能力和发展潜能，题型结构稳定，因此，为了减少工作量，我们可以类比着近年我省中考试卷的模式和样板去把握总体结构来命题.下面我主要结合近几年编制模拟试卷的一些体会，介绍编制数学题常见方法和过程，供参考.一、命题过程说明命题不外乎改编陈题和原创新题.(一)一道陈题的改编过程习惯上把数学教科书中的例题、习题和其它各类书刊上已有的题目等称为陈题.改编陈题，实际上就是对原有题目进行加工、改造、深化.1.陈题原貌如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，作△ABC 的高CD ，作△CDB 的高DC 1，作△DC 1B 的高C 1D 1，……，就这样无限作下去，则图中阴影部分的面积之和为______.2.前期思考此题背景是相似三角形中的基本图形——母子三角形.通过解答不难发现本题主要考查含30度角的直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定和性质等，但已知部分和求解过程都涉及无限，解答中还需应用整体思想.若直接使用此题，学生可能不知从何处下笔而无法准确解答，从而就有得分率低，区分度不高，起不到考查目的的问题.因此我想：在原题题干不动的情况下，通过设计有梯度的几个问题，并将原问作为最后一问，使大部分同学能够解答前面的问题，并且通过解答前面的问题对求最后结论有一定的提示引导作用，使之成为入口宽、有梯度、有区分度的考题.因此，初步打算将试题改编为一道解答题，第一问不涉及无限，只考查对图形的认识----入口问题；第二问涉及到无限，并且第一问的解答对其有提示作用----铺垫问题；第三问即为求图中阴影部分的面积之和.3.编拟试题有了上面的想法，联系原题解答过程中的第一步，第一问可以有多种问法，比如：①求△ACD 的面积与△ABC 的面积比；②求△CDC 1的面积与△ABC 的面积比、……，但这两种问法都过于直白，而且对求阴影部分的面积之和没有直接的提示作用，如何解决这个问题，又是要我们考虑的问题，对，我们可以综合这两问，设置第一问为求△ACD 的面积与△CDC 1的面积比.考虑到数学语言的简洁性，可将第一问表述为：⑴若记△ACD 的面积为S △ACD ，△CDC 1的面积为S △CD C1，求S △ACD ︰S △CD C1；对于此问，只要学生对相似三角形中的基本图形有认识，会证△ACD ∽△CDC 1，并且能够运用相似三角形面积比等于相似比的平方等性质，都可以完整解答.注意到整个三角形被分成了无限个阴影三角形和无限个无影三角形，而第一问对无限没有涉及，学生要想求图中阴影部分的面积，仍有一定的难度，如何在第二问中来引导学生把握无限呢？对第二问可以是：①求无影三角形与阴影三角形的面积比；②求出阴影部分面积占整个三角形面积的比……，等.想一想不难发现，第二种问法与“求图中阴影部分的面积”大同小异，并不能体现梯度，所以将求无影三角形与阴影三角形的面积比作为第二问，并用简洁的数学语言表述如下：⑵若记图中阴影部分的面积为S 黑，剩余部分的面积为S 白，求S 白︰S 黑.要正确解答此问，只要运用类比方法得到无限组相邻的无影三角形与阴影三角形的面积比，再运用等比性质即可求出S 白︰S 黑.有了上面的入口问题和铺垫问题，将“求图中阴影部分的面积.”作为第⑶问就顺理成章了.4.最后定稿基于以上修改想法，编拟出的试题可定稿如下：如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，作△ABC 的高CD ，作△CDB 的高DC 1，作△DC 1B 的高C 1D 1，…，就这样无限作下去.(1)若记△ACD 的面积为S △ACD ，△CDC 1的面积为S △CD C1，求S △ACD ︰S △CD C1；(2)若记图中阴影部分的面积为S 黑，剩余部分的面积为S 白，求S 白︰S 黑.(3)求图中阴影部分的面积.反思：上面只对问题进行了改编，本题还可对题干作适当变动，比如将AC=2，修改为BC=.(二)一道原创题的命制过程从某种角度讲，原创数学试题的新颖性对考生是一种难度，但能真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况，而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志.2011年在给《数学周报》命制模拟题时，根据模拟题考点需要，需要命制一道考查函数知识的题，当然我可以找来一道中考题进行改编.但我想到了一句话，改变了我，使我有了进行原创的想法.1.素材说明我想到在刚工作时，遇到的一件事，说的是：某次数学考试，由于没有控制好试卷难度，使得考试成绩普遍偏低，我和同组老师交流时，一位老师开玩笑地给我提出一个方案：采用将每人分数先开方再乘以10的方法来记学生的成绩，这样就可保证考36分的人就达到及格(那时，满分为100分).大家可以发现，这个分数转换方法不仅可以提高学生的纪录成绩，还能保证0分转换后仍为0分,100分转换后仍为100分.其中蕴含着函数的单调性以及函数值域知识. 对，何不运用此素材编一道函数题呢？2.初拟试题素材有了，但要与初中函数联系编题，还有一定难度.因为直接设原分数为x ，转换后的分数为y ，列出的函数是x y 10=，它并不是初中学习过的函数.但注意到，将其两边平方，整理可得21001y x =，因此，如果将处理后的分数作为自变量，原分数作为应变量就可以将其编制成一到考查二次函数知识的应用题.有了上面的想法，考虑与函数的最值联系，经思考润色，试题初拟如下：某次数学考试，因试卷难度大而导致成绩普遍很差，老师为了提高学生的分数，采用将每人分数先开方再乘以10的方法.如36分的人计算方法是10×36=60，即经过这样处理后就达到及格分，比原来高了24分.请问多少分的人经过处理后加分最多？问题设置为“问多少分的人经过处理后加分最多”，主要是为求所列二次函数的最值时，可以相应考查配方或顶点坐标公式等知识.3.分析提升显然，这样的题是不能令人满意的，因为：第一、以分数转换为背景，有过于强调分数的嫌疑，与义务教育目标不符，应该避免；第二、安徽省中考数学分值是150分，而所命的题中，是100分，与现实不符；第三、学生解答此题，很容易将原分数作为自变量，而不知将处理后的分数作为自变量，也可能不会将增加的分数作为应变量，解答时可能无法下手.如何解决上述问题？对于第一条，因为本题立意是考查函数知识，所以不如直接将分数转换问题修改为数字转换问题，并将转换要求直接在题干中反映.如是，将题干修改为：现想将0～n的正数转换成比原数不小的新数，且0转换以后仍是0，n转换以后仍为n.对于第二条和第三条，可以通过设置问题串来解决.初拟的试题只设一问，也浪费的素材，可以通过增加问题，来发挥素材的价值.考虑原始素材和上面思考，第⑴问就直接用素材中的转换方法，让学生验证是否符合转换要求.这样可以帮助学生理解题干，同时为后面的问题作铺垫.如是，将第一问设置为：⑴若n=100，一位同学将原数先开方再乘以10的方法来确定新数，请你验证这种方法是否符合要求；第⑵问不能再用问题(1)的问法(若n=150，一位同学将原数先开方再乘以10的方法来确定新数，请你验证这种方法是否符合要求)，为了使问题串逐步推进，层次分明，有梯度，不如将第二问让学生设计一种符合要求的转换方法.如是，将第二问设置为：⑵若n=150，请你写出一种转换的方法，使转换后的新数也符合题目所给的转换要求.(不必证明)，此种问法，有一定的开放性，答案不唯一.初拟试题中的设问，没有给出变量，学生可能难以想到，为了降低难度，可将变量在题中给出.有此想法后将最后一问设置为：⑶一个爱动脑筋的同学发现：不同的正数经过⑴的方法处理后增加的数不一样多.若设经过⑴中的方法处理后的数为x，增加的数为y，写出y与x之间的函数关系式，并求出多大的数经过这种方法转换后增加最多？4.尘埃落定基于以上想法，编拟出的试题定稿如下：现想将0～n的正数转换成比原数不小的新数，且0转换以后仍是0，n转换以后仍为n.⑴若n=100，一位同学将原数先开方再乘以10的方法来确定新数，请你验证这种方法是否符合要求；⑵若n=150，请你写出一种转换的方法，使转换后的新数也符合题目所给的转换要求.(不必证明)⑶一个爱动脑筋的同学发现：不同的正数经过⑴的方法处理后增加的数不一样多.若设经过⑴中的方法处理后的数为x，增加的数为y，写出y与x之间的函数关系式，并求出多大的数经过这种方法转换后增加最多？以上是我对命制题目的回忆，由于有一定的时间间隔，加之我表达能力有限，不能完整反映命制过程.二、命题方法介绍下面分如何“改编陈题”，如何“新编原创”两个方面归纳常见的命题的方法.(一)改编陈题推陈出新如果每道试题都是原创题当然不错，但这对命题者的要求实在太高.而用陈题考查学生的水平，显然不能做到公平与公正，效度难以保证.因此对待陈题，尽量进行改编，加入新的元素使之有新意；注意针对性，使之符合新的评价理念.陈题的来源主要是教材中的习题、思考题，以及往年的中考题.它们是命题的“零投资”资源库.这些题都是经过专家多次打磨、筛选后的精品，自身蕴藏着丰富的潜在功能，有待我们把握立意，探其源，究其变，创造性使用这些资源，由此构选出大同小异或面目全非的新题.1.修改数据或变换背景“修改数据”就是保持原题的原文或原意，仅把有关数据进行更换，“变换背景”就是用等价的说法对背景稍做改动，它们是一种“偷梁换柱”式的做法. 通过改动数据或变换背景，使之更符合现在的情况.例1.电信局的维修工甲、乙两人要到40千米远的地方抢修线路．甲骑摩托车先行，乙开抢修车载着所需材料后出发．⑴若抢修车迟出发20分钟，抢修车的速度是摩托车的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的速度；⑵若摩托车的速度是45千米/小时，抢修车的速度是60千米/小时，且乙不能比甲晚到，则乙最多能比甲迟出发多长时间？本题改编自2009年厦门市中考题22题.原题是：供电局的电力维修工甲、乙两人要到45千米远的A地进行电力抢修．甲骑摩托车先行，t(t≥0)小时后乙开抢修车载着所需材料出发.⑴若3t (小时),抢修车的速度是摩托车的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的8速度；⑵若摩托车的速度是45千米/小时，抢修车的速度是60千米/小时，且乙不能比甲晚到则t的最大值是多少？改编时注意到原题中变量t可有可无，因此将原题中的变量t删去；其次修改抢修车迟出发的时间，使之更符合人们表达习惯，为了保持所求摩托车的速度仍和原题所求摩托车的速度相同，同时修改抢修地与出发地间的距离.例2.如图，⊙O的直径AB为8，弦CD⊥AB，垂足是E，∠B=22.5°，CD的长为( ).A.24 D.82 B.4 C.2原题：2014北京中考题第7题如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为( ).A.24 D.82 B.4 C.22.选用高中适合初中学生解答的问题现在，新课程对内容采取循环安排，在高中的数学中，常常包含着一些初中的内容.如果我们注意对高中数学或其他学科中的一些符合初中毕业生解答的习题进行变形、简化、特殊化、具体化，就可以编拟出用初中知识或方法来解决的数学问题，有的甚至可以直接选用.例3.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：⑴估计该校男生的人数；⑵估计该校学生身高在170～185cm之间的概率.这是一道综合考查统计与概率知识的问题，来源于2010陕西高考理科第19题.原题的第(Ⅰ)问即上述第⑴问，可以用初中所学统计中的样本估计总体的思想解答；原题的第(Ⅱ)问即上述第⑵问，可以用初中所学的概率知识解答.原题的第(Ⅲ)问如下：(Ⅲ)从样本中身高在165～180cm 之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180cm 之间的概率.解答需要排列组合知识，初中学生没有学过，所以选用时，将此问删去.例4.(2014课标全国Ⅰ文改编)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( ).A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥例5.（江西2014高三大联考改编）右图是某驾照培训机构仿照2008年北京申奥标志设计的路考的行使路线，即从A 点出发沿曲线段B →曲线段C →曲线段D ，最后到达E.某观察者站在M 点处观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，设观察者从点A 开始随车子运动变化的视角θ=∠AMP ，则下列图象中能表示θ与t 之间的函数关系的图象大致是( ).3.改变题型对题型进行切换，以吻合考查意图，此类问题一般是把解答题改为填空题、选择题或开放题等，进行切换时，往往需要考虑条件的必要性.例4.如图，抛物线a x x y +-=2522与x 轴正半轴交于A 、B 两点(A 在B的左边)，与y 轴正半轴交于C ，则B 点坐标可能是( ). A.(41，0) B.(4，0) C.(1，0) D.(33，0) 本题的原题是一道解答题：如图，抛物线a x x y +-=2522与x 轴正半轴交于A 、B 两点(A 在B 的左边)，与y 轴正半轴交于C ，且∠OCA=∠OBC ，求B 点坐标.解答原题可以得到B 点坐标是B(1，0).但解答过程涉及二次函数、相似三角形以及一元二次方程根与系数关系等知识.不但偏难，而且解答所涉及的知识点一元二次方程根与系数关系是的初中的选学内容，所以此题作为一道模拟题不合适.那么如何修改呢？ 进一步思考发现，此抛物线的对称轴是直线85 x ，如图.利用对称性知，原点O 关于对称轴的对称点的横坐标应为45，因此B 点的横坐标应介于85和45之间，于是，就有将其修改为选择题的想法，通过列出四个选项，使其中一个选项的坐标为(1，0)，另外三个选项的横坐标处于85～45之外，这样就避免了使用一元二次方程根与系数关系来解答的超标问题.同时删去题干中解答时不需要的条件∠OCA=∠OBC.为了使问题严密，将“则B 点坐标是”改为“则B 点坐标可能是”.4.更换条件或结论或具体化把数学题中的条件或结论变更、或将条件与结论交换(转换为原命题的逆命题)等方式，也可打造出新题.例5.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 在AB 上，作DE⊥AC 于E ，DF⊥BC 于F ，当D 从A 点向B 点移动的过程中，矩形DECF的最大面积是( ). A.247 B.57649 C.12 D.24 原题是：如图Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 在AB 上，作DE⊥AC 于E ，DF⊥BC 于F ，当D 从A 点向B 点移动的过程中，矩形DECF 的面积的变化情况是( ).A.逐渐变大B.逐渐变小C.先变大后变小D.先变小后变大 原题的结论是问矩形DECF 的面积的变化情况的，解答时无需动笔，只要根据经验即可判断出应选C.思维的含量比较低，如是随手将结论修改为求矩形DECF 的最大面积.本题还可修改为问“周长的变化情况是( )”.它们虽都是更换结论编题，但改为问周长的变化情况，答案就变成“B.逐渐变小”. 解答时如果不思考，易受面积变化情况的影响而选错.这样有利于打破学生思维定势，提高学生的思维层次.5.纵向增设梯度问题对有一定难度的题，为了低起点、高落点，通过增设有梯度的问题，兼顾各水平学生.也可对条件、结论甚至图形充分挖掘编题.例6.在平面直角坐标系中，有A(3，4)，B(4，3)两点.⑴现添加一个点C(1，0)，求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；⑵任意添加一点C ，是否经过A 、B 、C 三点都可以确定一条抛物线？如果不能，请给出一个点C的坐标，求经过这三点的函数解析式，并写出你添加的点的坐标.⑶A、B两点可能在一条双曲线上吗?如果能，请求出双曲线的解析式，如果不能，说明理由？本题的原题是：在平面直角坐标系中，有A(3，4)，B(4，3)两点.⑴再添加一点C，求出经过A、B、C三点的函数关系式；⑵反思第⑴小题，考虑有没有更简捷的解法？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由.原问题的设置有一定的开放性，问题设置的起点是防止思维定势，即一般都会想到经过A、B、C三点的二次函数，实际上题目并没有明确所求一定是二次函数.我在改编时，主要考虑做到目标明确，因此将其直接编制为考查初中所学的三种函数的问题.6.横向联系适当组合采用适当组合将几个相关的概念、运算、结论或图形等有机地组合起来可以构造新的命题，或把一个命题分解成几个相关命题以产生新命题.例7.已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′=16cm，BC=B′C′=10cm，∠A=∠A′=30°，如果△ABC和△A′B′C′不全等，则它们的面积之差是_____cm2.我们知道，满足“边边角”相等的两个三角形可能全等，也可能不全等，当满足“边边角”的两个三角形不全等时，这两个三角形的面积就相差一个等腰三角形的面积. 于是就编制出此题.例8.已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm.⑴分别取AD、AB、BC、CD的中点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，如图⑴，则四边形EFGH是菱形，求菱形EFGH的面积；⑵请你在图⑵和图⑶中分别画出一个菱形(不必证明).要求:面积比⑴中的菱形面积大，并计算所画菱形的面积.本题由以下两题组合改编而成.原题1：如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是菱形.原题2：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E、F分别是AD、BC上的点，四边形EBFD是菱形，求菱形的面积.原题1中的菱形面积等于矩形的一半. 原题2中的菱形面积大于矩形的一半.因此联系这两题就编出例11这道有一定思维含量，考查特殊四边形知识的问题.以上方法均立足于原有题，分类并非是逻辑分类，它们彼此融合.限于水平，归纳出上述六种改编数学题的方法.实际上改编题的方法应该很多，关键是注意变化，编出新意.(二)利用素材进行原创编拟原创题往往需要经过反复推敲才能完成，是一项创造性的劳动.需要编题者做一个有心人，处处留心，处处关注，要能抓住瞬间即逝的想法，并用数学的眼光，看待所见、所闻、所思，从中发现数学问题.并做到以一定的数学知识为背景，选择合适的题型，编制出数学题.1.从背景方面考虑进行原创我们可以从社会热点、日常生活提炼与数学有关的内容，将其作为命题的素材. 需要注意的是以现实为背景编制原创题时，所取的背景一定要真实，所给数据一定要准确.例1.前几年房价上涨过快、近期上涨放缓编制方程题例2.会徽图案的设计考查对称.各类会徽的设计往往可以看作一个精美的几何图形，其设计通常要用到旋转、平移、轴对称、中心对称、相似等一些图形变换的方式.命题时可以用会徽图案，考查对对称图形的认识.2.从知识方面考虑进行原创有时为了试卷的知识分布，需要考查某个知识点而编制相应的试题.例3.合肥市2014年第一季度实现生产总值1063.8亿元，用科学记数法表示应是______.本题以我市2014年第一季度生产总值为背景，为考察科学记数法而设计的.例4.如图所示，有一高脚杯，杯子的造形曲线为抛物线，其中N为顶点，AM=BM，今于杯内装水，若水面宽度AB=10cm时，水面高度MN=10cm；当水面宽度CD=6cm时，求水面高度NP为多少cm？这是为了考查二次函数知识，参照抛物线桥梁问题，编制的.3.从题型方面考虑进行原创数学题有各种各样的题型，除了一般所说得选择题、填空题、解答题外，还有一些其它的分类方法，如信息迁移题、图表信息题、阅读理解题、开放探索Array题、方案设计题、动手操作题等等.有时为了需要必须编制相应的题型，尤其是考纲中列举的新题型.例5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H分别是各边AB，BC，CD，DA的中点，由下列条件中的某一个就能推出四边形EFGH是菱形的是__________(把所有正确答案的序号都填写在横线上).⑴AC⊥BD；⑵AC=BD；⑶AD=BC；⑷∠ADC=∠BCD.安徽省考纲中从2007年新增了一类多选填空题(第14题5分)，本题是为配合此类题题而编制的.4.综合考虑进行原创综合多方面因素考虑，进行原创题的编制.对于大的解答题的编制，需要命题者要有敏锐的触角和洞察全局的思维.例6.(上面的案例2)本题是受近30年前的一句笑话的提示，结合现实，命制的考查代数式知识、函数基本知识(函数种变量对应关系、函数的单调性、函数值域)、二次函数知识的问题.从理论上讲，命题应该是有法可循的，这里所说的方法就是编题技巧.但要真正编出一道好题，常常是随着讨论、研究的深入而产生，需要经过反复琢磨、多次修改才能最后敲定.罗增儒教授在他的《数学解题学引论》中指出：“编拟数学题需要深厚的知识功底，良好的思维素质和熟练的编题技巧.有时候，创造一个问题比解决一个问题更困难”.这就告诉我们要不断学习，多思考，加强解题研究，掌握编题技巧，只有这样我们才能进行创新，命制出好题.2015.3.2913。