高等代数答案
高等代数习题答案
《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3， 则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。
2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩） 是线其中7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。
（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。
（ ）9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。
（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。
（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分）1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。
（10）2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻，2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。
（11）3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。
（10） 四、计算题（每小题8分，共24分）⎫⎛-331AP 为对考试形式：闭卷 4、特征根是1，1，2，特征向量分别为()(),1,1,2,1,1,121-==αα 5、秩为 3二、是非题（每小题2分，共20分）1、（是 ）2、（是 ）3、（是 ）4、（否 ）5、（否 ）6、（否 ）7、（是 ） 8、（是 ） 9、（是 ） 10、（是 ）三、明证题（每小题××分，共31分）1、证明 设A 可逆，则1-A 存在，且1-A 也是V 的线性变换，（1） 若n A A A εεε,,,21 线性相关，则)(,),(),(12111n A A A A A A εεε--- ，(2)即n εεε,,,21 也线性相关，这与假设n εεε,,,21 是基矛盾，故n A A A εεε,,,21 线性无的一组存在即n A ε,是（10） 则() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
高等代数第6章习题参考答案
(N
L),故(M
N)
(M
L) M
(N
L),
于是M
(N
L) (M
N)
(M
L)。
若x M
U(N
I L），则x M
，x
N I L。
在前一情形Xx
M UN，
且X
M
UL，因而x
（M
U N）I（MU L）。
在后一情形，
故
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
1
系数多项式组成的空间,其中A=0
0
解1)Pn n的基是Eij}(i, j 1,2,..., n),且dim( Pn n) n2。
... ... ... 1 ...
2) i)
F11,..
令Fij
1
.., Fnn
.， 即aijaji1,其 余 元 素 均 为 零,则
.,F1n,F22,..
., F2n,.
n(n 1)维的。
2
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a,可经2线性
表出，即
.a (log2a)
2,所以此线性空间是
一维的，
且
2是它的一组基。
4)因为
1 3i
31,所以n
1,n ,n
3q
3q
1，
2
2
,n
3q
2
1
1
E,n
3q
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
（A+B）=A+B=-A-B=-（A+B），A+B仍是反对称矩阵。（KA）KA K（A） （KA），所以kA是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
高等代数第一章答案(多项式)
若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。
证法1： 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。
由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。
于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。
因()0≠x r ，故()()x h x p |/。
证明2：用反证法。
若()()x h x p |，即()()()()x m x l x p +|， 又()()x m x p |，故()()()()()x m x m x l x p -+|，即()()x l x p |，矛盾。
问：若()()()()x g x h x f x h |,|//， 则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。
答：不一定。
例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但()()()()x g x f x h +|。
例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ， 则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。
例 求m l ,， 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。
解法1：因()()3=∂x f ，()()2=∂x g ，故商()x q 满足()()1=∂x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323，l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。
高等代数答案
,
−
2 3
,
2 )T 3
对应于 λ2 = λ3 = 2 的线性无关特征向量为
正交化得
α2 = (−2,1, 0)T , α3 = (2, 0,1)T β2 = α2 = (−2,1, 0)T
(i = 1, 2,", n) ，即
g(ai ) + h(ai ) = 0 (i = 1, 2,", n) 可见多项式 g(x) + h(x) 有 n 个互异的根。但 ∂(g(x) + h(x)) < n ，这与多项式在任一数域中的根
的个数不超过多项式的次数的性质相矛盾，所以 f ( x) 在 Q 上不可约。
第六章高等代数练习及答案
一、填空题 1、在3F 中，计算()()()112,0,11,1,20,1,1____32;-+---+=1111,,326⎛⎫--- ⎪⎝⎭2、若1234,α,α,αα线性无关，则12233441,,α+α,α+αα+αα+α的极大无关组是 ；()12233441dim ,,L α+α,α+αα+αα+α＝ ；122334,α+α,α+αα+α；33、若向量α关于基123,,ααα的坐标为()123,,x x x 则α关于基1232,,ααα-的坐标为 ；在向量空间()2M F 中，向量a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于基1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，0010⎛⎫ ⎪⎝⎭，0100⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，0001⎛⎫⎪⎝⎭的坐标是 ；1231,,2x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭；(),,,a c b d 4、向量组()()()()12340,1,13,1,2α=1,1,1,, α=2,1,0, α=, α=的一个极大 无关组是 ；向量组1(1,1,0,0)α=，2(0,1,1,0)α=，3(1,0,1,0)α=，4(1,0,0,1)α=的极大无关组是 ；123α,α,α；1234,α,α,αα。
5、设0,a V a b R a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭则dim V = 2 ；06、设(){}11220nn V x x xx nx =+++= ，则dim V = n-1 ；7．由基123,,2ααα到基1232,,ααα-的过渡矩阵是 ；2000101002⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭8、设A 为n 阶方阵，且()()r A s s n =≠则齐次线性方程组AX=0的解空间的维数为 n-s ； 9、若1234,,,αααα线性无关，则123,,ααα线性 无关 ；10、 向量空间没有基；含一个向量的向量空间是 空间；二、解答题1、检验下列集合对所规定的运算是否构成所给数域上的线性空间： 1）设{},V a a b Q =+∈，对普通数的加法和乘法；是2）V 为定义在数域P 上的一切n 阶方阵，对数与矩阵的乘法及以下定义的加法：,,n n X Y P X Y XY YX ⨯∀∈⊕=-；不是3）(){},|,V x y x y P =∈，加法按普通矩阵相加，并定义数乘为：()()2111,,,0,x y P k P k ky αα∀=∈∈∙=：不是2、设,F F 是数域，若F F ⊂，问对数的加法与乘法，F 是否构成F 上线性空间？F 是否构成F 上线性空间？不是；是3、实数域对于数的加法和乘法构成实数域上线性空间，问有理数集是否为实数集的子空间？又R +是否R 的子空间？若实数域对于数的加法和乘法构成有理数域上线性空间，问有理数集是否为实数集的子空间？不是；是 4、判断正误，并说明为什么？1）如果12,,,r V ααα∈ ，则12,,,r ααα 是()12,,,r L ααα 的基；不一定 2）若12,,,n ααα 是n 维空间的一组生成元，则12,,,n ααα 一定是V 的基；不 3）若()12,,,r L ααα 中有某一向量关于12,,,r ααα 的表示法唯一，则()12,,,r L ααα 是r 维线性空间；是4）设()()(){}1,1,0,1,1,0,0,0,0S =--，则S 是3P 的子空了间；不5）任一线性空间都有基。
《高等代数课后答案》(邱著)
《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。
可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。
以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
高等代数习题答案
目录第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组 第四章 矩阵 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第八章 λ—矩阵第九章 欧氏空间第十章 双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。
证 因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY CY AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ΛΛ，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y ===Λ21,1,021=====++n p p y y y Λ则可得一线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++11002211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21Λ=使()0111000<--=----+++='p n AX X s sΛΛ， 即证存在0≠X ，使0<'A X X 。
13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。
证 因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ， 于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。
高等代数答案5
解
(1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一); (3) 不是(不满足向量空间定义中的(8)).
4. 在向量空间中，证明， (1) a(－α)=－aα=(－a) α ,
91
α2, α3}线性表示. 解 k1α1+k2α2+k3α3
92
k1, k2 , k3 ∈ F.
⎧ k1 + k 2 + k3 = 0 ⎪ 设 k1α1+k2α2+k3α3=0, 则有 ⎨ 2k2 + 2k3 = 0 , ⎪ 3k3 = 0 ⎩
习 题 五
1. 设 V 是数域 F 上向量空间，假如 V 至少含有一个非零向量α，问 V 中的向量是有限多还是无限多？有没有 n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间？ 解 无限多；不存在 n(n ≥ 2)个向量构成的向量空间(因为如果 F 上一 个向量空间 V 含有至少两个向量, 那么 V 至少含有一个非零向量α , 因此 V 中含有α , 2α , 3α , 4α , …,这无穷多个向量互不相等,因此 V 中必然含 有无穷多个向量). 2. 设 V 是数域 F 上的向量空间，V 中的元素称为向量，这里的 向量和平面解析几何中的向量 α ，空间解析几何中的向量 β 有什么 区别？ 解 这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项 式,矩阵等,不单纯指平面中的向量. 3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域 F 上的向量空间. （1）集合：全体 n 阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的 加法和数量乘法； （2）集合：实数域 F 上全体二维行向量；运算： ) (a1, b1) + (a2, b2)＝(a1＋a2, 0) ) k • (a1, b1)＝(ka1, 0) （3）集合：实数域上全体二维行向量；运算： ) (a1, b1) + (a2, b2)＝(a1＋a2, b1＋b2)
高等代数答案(王萼芳,石生明)
y 3 + (a 3 + 3ab − 3c) y 2 + (b3 − 3abc + 3c 2 ) y + c3 = 0
二 、 习题精解
1． 用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ： 1） f (x) = x3 − 3x 2 − x −1, g (x) = 3x 2 − 2x + 1 2） f (x) = x 4 − 2x + 5, g (x) = x 2 − x + 2
解
1）由带余除法，可得 q(x)
=
1x−
7 , r(x)
=
26 −
x−
2
39
99
2）同理可得 q(x) = x 2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
2） x 2 + mx +1 | x 4 + px 2 + q
综上所诉，当
⎧ m=0
⎨ ⎩
p
=
q
+
1
时，皆有
⎧ q =1
或
⎨ ⎩
p
+
m
2
=
高等代数知到章节答案智慧树2023年山东建筑大学
高等代数知到章节测试答案智慧树2023年最新山东建筑大学第一章测试1.能整除任意多项式的是（）。
参考答案:零次多项式2.若则。
（）参考答案:对3.如果，则是的（）重因式。
参考答案:各选项都不正确4.如果，则是的（）重根。
参考答案:5.如果有理数域上的多项式没有有理根，则一定是不可约多项式。
（）参考答案:错第二章测试1.（）。
参考答案:2.排列的逆序数为（）。
参考答案:3.行列式（）。
参考答案:4.行列式（）。
参考答案:5.行列式则（）。
参考答案:第三章测试1.线性方程组有解的必要条件是（）。
参考答案:2.已知有非零解，则的可能取值为（）参考答案:-2;13.设是矩阵，而且的行向量组线性无关，则( ).参考答案:线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关；4.是齐次方程组的基础解系，则此方程组的基础解系还可选为 ( ).参考答案:与等价的向量组；5.由个维向量构成的向量组的秩最大为（）.参考答案:.第四章测试1.设均为n阶矩阵，且，则下列结论成立的是（）参考答案:或；2.设，则。
（）参考答案:对3.如果，则（）。
参考答案:4.设均为n阶矩阵，则下列结论正确的是（）参考答案:。
5.如果n阶矩阵满足，则。
（）参考答案:错第五章测试1.二次型在复数域上的规范形是（）。
参考答案:2.下列哪个矩阵合同于单位矩阵（）。
参考答案:3.下列二次型为正定二次型的是（）。
参考答案:4.若二次型的正惯性指数为3，则（）。
参考答案:5.实二次型为正定的充要条件是（）。
参考答案:存在可逆矩阵，使得第六章测试1.设分别表示线性空间中全体上三角矩阵和全体下三角矩阵作成的子空间，则（）。
参考答案:2.由数域上所有的2行4列矩阵组成的线性空间，则与它同构的线性空间是（）。
参考答案:3.已知3维线性空间的一组向量为：，令，则（）。
参考答案:34.设是齐次线性方程组的解空间，则 ( )。
参考答案:25.已知的两组基分别为与，则由基到基的过渡矩阵是( ).参考答案:第七章测试1.设是数域上的维线性空间的线性变换,则下列结论错误的是（）。
高等代数第三章答案
第三章 线性方程组习题解答1.用消元法解下列方程组：⑴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++12343212231453543215432154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-33713344324324214324321x x x x x x x x x x x x x ⑷⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑸⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+++43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑹⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-++=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⑴对它的增广矩阵作初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00101000000000020*********1001001110000000000200212300101201001110007770005750212300104531213410215470213450212300104531111121311141311121112231104531即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+=-0022214235441x x x x x x x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--====+=k x x k x x k x 220153421 k 为任意常数 ⑵无解⑶0,6,3,84321===-=x x x x⑷任意43432431,,17201719,1713173x x x x x x x x -=-=⑸无解 ⑹651,671,651434241x x x x x x +=-=+=2.把向量β表成4321αααα，，，的线性组合：⑴()()()()()1,1-1-11-1,1-11-1-,1,11,1,1,111,2,14321，，，，，，，，，，=====ααααβ ⑵()()()()()1-1-1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,11,0,0,04321，，，，，，=====ααααβ 解：⑴令44332211ααααβk k k k +++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++,1,1,2,14321432143214321k k k k k k k k k k k k k k k k 解得,41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααβ--+=⑵仿上，可得31-ααβ=3.证明：如果向量组r ααα，，， 21线性无关，而βααα,21r ，，， 线性相关，则向量β可由r ααα，，， 21线性表出。
姚慕生,谢启鸿-高等代数学(第3版)答案(复旦绿皮书)
复旦大学高等代数教材第二章答案
部分习题答案引用自白皮书的例题或训练题．
2.1
(
)(
1. (1) 3 0 ; (2) 3
−3 1
0
() (
2. (1) 1 5 ; (2) −2
21
−2
2.2
√) (
3 2 ; (3) 1
−12
8
1 1
)
6 √
;
52
(4)
00
0 0
3
−
5 2
1 3 −3
)(
1.6
1.
(−1)N(n,n−1,n−2,··· ,1)
=
(−1)
n(n−1) 2
.
2. 请读者自行验证.
3. 由行列式的性质 8 及定理 1.6.1, |A| = |A′| =
∑
a1k1 a2k2 · · · ankn .
(k1,k2,··· ,kn)∈Sn
4. 例 1.10.
5. 例 1.9.
6. 例 1.11.
(In − A)(In + A + A2 + · · · + Am−1) = (In + A + A2 + · · · + Am−1)(In − A) = In.
7. 由于 B(A + B)−1A(A−1 + B−1) = In, 故 A−1 + B−1 奇异. 8. 由 A2 = In 可得 (A + In)(A − In) = O. 又 In + A 非异, 故 A − In = O, 即 A = In. 9. 由 A2 = A 可得 A2 − A − 2In = −2In, 即 (A + In)(A − 2In) = −2In, 故 A + In 非异. 10. 由 A2 − A − 3In = O 可得 (A + In)(A − 2In) = In, 故 A − 2In 非异.
高等代数习题参考答案
第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)在线性空间V 中，A ,其中 V 是一固定的向量;4) 在 P 3 中，A (X I ，X 2,X 3) (2X 15) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1)6) 在P[ X ]中，A f (X) f(X o )，其中X o P 是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间， A8)在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵.解1)当 0时,是;当 0时,不是。
2)当o 时，是；当 o 时，不是。
3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0),A (k )k A()。
4)是•因取(X 1,X 2,X 3),(y 1, y 2, y 3),有A()= A(X 1y 「X 2 y 2 ,X 3 y 3)= (2X 1 2y 1 X 2 y 2,X 2 y= (2X 1X 2, X 2 X 3,X 1) (2y 1=A+ A ,A (k ) A (kX 1, kX 2, kX 3)(2kx 1kx 2, kx 2=k A (), 3故A 是P 上的线性变换。
5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令u(x) f(x) g(x)则A ( f (x)g(x)) = A u(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=A f(x) + A (g(x)),再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)),故A 为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取 f (x)P[x], g(x) P[ x]则.A (f(x) g(x))=f(x 0) g(X 0 ) A ( f (x)) A (g(x)),2) 3) 在线性空间V 中，A 在 P 3 中,A(X l ，X 2,X 3)其中(X I 2,X 2V 是一固定的向量;2、X 3,X 3 )； X 2, X 2 X 3,X I ).X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2 y 3,y 1)(2kx 1kx 2, kx 2kx 3,kxjkx 3,kxjA(kf (x)) kf (x0) k A( f (x))。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
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第一章 多项式习题解答1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f9731929269791437134373132131232223232----+----+----+-x x x x x x xx x x x x x x 92926)(,9731)(--=-=x x r x x q .2）2)(,12)(24+-=+-=x x x g x x x f17525422225200222223232342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1m x m q x p m m x m x m qx p mx xmx x qpx x x mx x --++++--+++--++++-+)()1()1(01222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323.因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得)1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，即⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有)1)((2224++++=++mx x q ax x q px x.)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++=比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解：运用综合除法可得327109391362327117083918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--=.解:运用综合除法得:ii ii i i i 892521892421011121+----+------- 商为)25(22i ix x +--,余式为i 89+-.4.把)(x f 表成0x x -的方幂和，即表示成 +-+-+202010)()(x x c x x c c 的形式. 1）1,)(05==x x x f ； 2）;2,32)(024-=+-=x x x x f3）.1,73)1(2)(0234-=++-+-+=x i x x i ix x x f分析：假设)(x f 为n 次多项式，令])()()[()()()()(10021000202010--++-+-+=-++-+-+=n n nn x x c x x c c x x c x x c x x c x x c c x f0c 即为0x x -除)(x f 所得的余式，商为10021)()()(--++-+=n n x x c x x c c x q .类似可得1c 为0x x -除商)(x q 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.解：1）解法一：应用综合除法得.5110141110416311563143211143211111111111100000115)(x x f =1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345+-+-+-+-+-=x x x x x .解法二：把x 表示成1)1(+-x ，然后用二项式展开1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(]1)1[(234555+-+-+-+-+-=+-=x x x x x x x2）仿上可得812226122412210412112082422128442302012-----------------432)2()2(8)2(22)2(2411)(+++-+++-=x x x x x f .3）因为iii i i i i i i i i i i ii ii i i 2111510157104141173121-----------+-------+----.)()(2))(1()(5)57(73)1(2)(432234i x i x i i x i i x i ix x i ix x x f +++-++-+-+=++-+-+=5.求)(x f 与)(x g 的最大公因式1）1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f 解法一：方法二：利用因式分解),13)(1(143)(3234--+=---+=x x x x x x x x f ).1()1(1)(223-+=--+=x x x x x x g因此最大公因式为1+x . 解法二：运用辗转相除法得)(3438)(01122132)(1434343)(41432112321212314121)(3122123423422223231x q x x q x x x x x x x x r xx x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=---------=--+---+--=------++--++-=因此最大公因式为1+x .2）13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f . 解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）2564411627)(125627)(2565391649216491633323)(10310031004911916)(920910310132310323110391031)(13221232323423422223232--=--=+-+-+-+--=-++-+-+-++-+++--=+--++--+++-+-=x x q x x r x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x x x x x r x x x x xx x x x x x x q.1))(),((=x g x f3）.124624)(,110)(23424+++-=+-=x x x x x g x x x f )()()22(24)()(123x r x f x x x x f x g +=-+-=， ),()22)((241)122()22)(22()(21223x r x x r x x x x x x x f ++-=---+--=,)()122(22)(24122231x x r x x x x x x x r -=--=--=- 因此.122))(),((2--=x x x g x f6.求)(),(x v x u 使:))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+1）;22)(,242)(234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f8.证明：如果),(|)(),(|)(x g x d x f x d 且)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.证明：由)(|)(),(|)(x g x d x f x d 可知)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式.下证)(x f 与)(x g 的任意一个公因式是)(x d 的因式.由)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合可知，存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()()(x g x v x f x u x d +=.设)(x ϕ是)(x f 与)(x g 的任意一个公因式，则)(|)(),(|)(x g x x f x ϕϕ.故)()()()(|)(x g x v x f x u x +ϕ即).(|)(x d x ϕ因此)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.9.证明：)()(())(),(())()(),()((x h x h x g x f x h x g x h x f =的首项系数为1）. 证明：存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.所以有)()()()()()()())(),((x h x g x v x h x f x u x h x g x f +=.即)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个组合.显然有)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f )())(),((x h x g x f .从而)()(|)())(),((),()(|)())(),((x h x g x h x g x f x h x f x h x g x f .由第8题结果)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个最大公因式.又)(x h 是首项系数为1的，因此).())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f = 10.如果)(x f ，)(x g 不全为零，证明1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f .证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即.0))(),((≠x g x f 又存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.于是))(),(()()())(),(()()(1x g x f x g x v x g x f x f x u +=.因此1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f .11.如果)(x f ，)(x g 不全为零，且))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，那么1))(),((=x v x u .证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得.0))(),((≠x g x f 由))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+有.1))(),(()()())(),(()()(=+x g x f x g x v x g x f x f x u于是1))(),((=x v x u .12.证明：如果,1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 那么.1))()(),((=x h x g x f 证法一、由条件1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 可得存在多项式)(),(11x v x u ；)(),(22x v x u 使得1)()()()(11=+x g x v x f x u ，1)()()()(22=+x h x v x f x u .两式相乘得1)()()()()()]()()()()()()()()([21211221=+++x h x g x v x v x f x h x v x u x g x v x u x f x u x u .因此有.1))()(),((=x h x g x f证法二、反证法证明.显然.0))()(),((≠x h x g x f 若,1))()(),((≠x h x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)(x f 与)()(x h x g 的公因式.因此有)(|)(x f x p 且)()(|)(x h x g x p .由)(x p 的不可约性有)(|)(x g x p 或)(|)(x h x p .若)(|)(x g x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.若)(|)(x h x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x h 的一个公因式，与1))(),((=x h x f 相矛盾.因此1))()(),((≠x h x g x f 不成立，即有.1))()(),((=x h x g x f13.设)(),(),(),(,),(),(2121x g x g x g x f x f x f n m 都是多项式，而且).,,2,1;,,2,1(,1))(),((n j m i x g x f j i ===求证：1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .14.证明：如果,1))(),((=x g x f 那么.1))()(),()((=+x g x f x g x f 证明：方法一.由,1))(),((=x g x f 存在多项式)(),(x v x u 使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有,1)())()(())()()((,1))()()(()())()((111111=+-++=++-x g x v x u x g x f x u x g x f x v x f x v x u 因此有.1))()(),((,1))()(),((=+=+x g x f x g x g x f x f 由12题结果结论成立. 方法二：用反证法.若.1))()(),()((≠+x g x f x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)()(x h x g 与)()(x g x f +的公因式.即)()(|)(x h x g x p 且)()(|)(x g x f x p +.由)(x p 的不可约性及)()(|)(x h x g x p ，有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .若)(|)(x f x p ，又)()(|)(x g x f x p +，因此有)]())()([(|)(x f x g x f x p -+，即)(|)(x g x p ，也即)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.类似可得当)(|)(x g x p 时也与已知1))(),((=x g x f 矛盾.所以.1))()(),()((=+x g x f x g x f 15.求下列多项式的公共根：.12)(;122)(23423++++=+++=x x x x x g x x x x f解法一：利用因式分解可得);1)(1(122)(223+++=+++=x x x x x x x f ).1)(1(12)(22234+++=++++=x x x x x x x x g因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 解法二：运用辗转相除法求出)(x f 与)(x g 的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.),1(2)1)(()(2++--=x x x x f x g ).1)(1()(2+++=x x x x f因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 16.判别下列多项式有无重因式： 1）;84275)(2345-+-+-=x x x x x x f 解：,4421205)('234+-+-=x x x x x f运用辗转相除法可得.)2(44))('),((22-=+-=x x x x f x f 因此2-x 为)(x f 的三重因式.解法二：试根可得2为)(x f 的根)1()2()2()2()43)(2()(23232234++-=----=++--=x x x x x x x x x x x x f .因此2-x 为)(x f 的三重因式. 2）.344)(24--+=x x x x f解：).12(4484)('33-+=-+=x x x x x f1))('),((=x f x f .故)(x f 无重因式.17.求t 值使13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法一：要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f ..63)('2t x x x f +-=),12(33)(')3131(13)(23+-+-=-+-=x t x f x tx x x x f.415)41523)(12(63)('2++-+=+-=t x x t x x x f当,033=-t 即3=t 时 ),(|)(',)1(3363)('22x f x f x x x x f -=+-=2)1())('),((-=x x f x f ，因此1为)(x f 的三重根.当0415=+t ，即415-=t 时，21))('),((+=x x f x f ，21-为)(x f 的二重根.解法二：设b a x ab a x b a x b x a x x f 22232)2()2()()()(-+++-=--=. 因此有⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.1,2,3222b a t ab a b a 由第一个方程有a b 26-=，代人第三个方程有,0132,1)23(232=+-=-a a a a 即0)12()1(2=+-a a .因此有⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,1t b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=.415,4,21t b a即当3=t 时1为)(x f 的三重根；当415-=t 时，21-为)(x f 的二重根.18.求多项式q px x ++3有重根的条件. 19.如果,1|)1(242++-Bx Ax x 求.,B A解法一：利用整除判定方法，1|)1(242++-Bx Ax x 的充要条件是用2)1(-x 除124++Bx Ax ，余式为零.)31()42()32()1(12224B A x A B A B Ax Ax x Bx Ax --++++++-=++.因此有0)31()42(=--++B A x A B ，即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=--=+.2,1.031,042B A B A A B 解法二：要使1|)1(242++-Bx Ax x 成立，则1至少是124++Bx Ax 的二重根.因此1既是124++Bx Ax 的根，也是其导数的根.而Bx Ax Bx Ax 24)'1(324+=++.故有⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++.2,1.024,01B A B A B A 解法三：利用待定系数法.令Dx D C x D C A x A C Ax D Cx Ax x Bx Ax +-++-+-+=++-=++)2()2()2()()1(12342224因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=-.1,02,2,02D D C B D C A A C 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==.1,2,2,1D C B A 20.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令,!!21)(2n x x x x f n++++= 则,)!1(!21)('12-++++=-n x x x x f n因此有,!)(')(n x x f x f n +=从而有)!),('())('),((n x x f x f x f n =.!n x n因式只有)0(≠c c 及)1,0(n k c cx k ≤≤≠.而)1,0(n k c cx k ≤≤≠显然不是)('x f 的因式.因此有1)!),('())('),((==n x x f x f x f n.所以)(x f 没有重根.21.如果a 是)('''x f 的一个k 重根，证明a 是)()()](')('[2)(a f x f a f x f ax x g +-+-=的一个3+k 重根.证明：)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=).('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=显然有0)(")(')(===a g a g a g .由a 是)('''x f 的一个k 重根可得a 是)(''x g 的一个1+k 重根，设a 是)(x g 的s 重根，则3,12+=+=-k s k s .本题常见错误证法：证法一：由a 是)('''x f 的一个k 重根就得出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根，于是)(2)()()()](')('[2)(3x h a x a f x f a f x f a x x g k +-=+-+-=从而a 是)(x g 的3+k 重根.事实上，由a 是)('''x f 的一个k 重根推不出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根. 如3)()()()(23+-+-+-=+a x a x a x x f k ，则1)(2))(3()('2+-+-+=+a x a x k x f k ，2))(2)(3()(''1+-++=+k a x k k x f .a 既不是)(x f 的根，也不是)('x f 与)(''x f 的根.证法二：由)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=)('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=得出a 是)(''x g 的1+k 重根，直接得出a 是)(x g 的3+k 重根，缺了a 是)(x g 与)('x g 的根验证.22.证明：0x 是)(x f 的k 重根的充分必要条件是,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k证明：必要性.设0x 是)(x f 的k 重根，从而0x x -是)(x f 的k 重因式，从而是)('x f 的1-k 重因式，是)(''x f 的2-k 重因式，...，是)()1(x f k -的单因式，而不是)()(x f k 的因式.因此0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.故有,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k充分性.由,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而0)(0)(≠x f k 可知0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.因此0x 是)()1(x f k -的单根，是)()2(x f k -二重根，依此类推，是)(x f 的k 重根.23.举例说明断语“如果α是)('x f 的m 重根，那么α是)(x f 的1+m 重根”是不对的.解：例如2)()(1+-=+m x x f α，m x m x f ))(1()('α-+=.α是)('x f 的m 重根，但α不是)(x f 的根.24.证明：如果),(|)1(n x f x -那么)(|)1(n n x f x -.证明：由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 因此有),()1()(x h x x f -=从而有).()1()(n n n x h x x f -=即)(|)1(n n x f x -.证法二：要证)(|)1(n n x f x -，只要证1-n x 在复数域上的各个根都是)(n x f 的根.1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos-=+=n k nk i n k x k ππ由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 从而0)1()(==f x f nk .即,2sin 2cos nk i n k x k ππ+=1,,2,1,0-=n k 都是)(n x f 的根.因此有)(|)1(n n x f x -.25.证明：如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++，那么).(|)1(),(|)1(21x f x x f x --证明：要证)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --成立，只要证1是)(1x f 和)(2x f 的根.12++x x 的两个根为231,23121ii --=+-=εε.由)()(|)1(32312x xf x f x x +++可得)()1()()(23231x g x x x xf x f ++=+.于是,0)()1()()(,0)()1()()(2223222321112312131121=++=+=++=+εεεεεεεεεεεεg f f g f f即0)1(231)1(,0)1(231)1(2121=+-=--f if f i f .故有.0)1()1(21==f f 所以 )(|)1(),(|)1(21x f x x f x --.26.求多项式1-n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解. 解：1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos -=+=n k nk i n k k ππε故在复数范围内的分解式为)())()(1(112-----=-n n x x x x x εεε .在实数范围内，因k n k -=εε，)0(n k <<.当n 为奇数时，1-n x 的根中一个为实根，其余为虚根，其分解式为]1)([]1)(][1)()[1(12121222212++-++-++--=-+---x x x x x x x x n n n n nεεεεεε .当n 为偶数时，1-n x 的根中二个为实根，即,1±其余为虚根，其分解式为].1)([]1)(][1)()[1)(1(11212222212++-++-++-+-=-+---x x x x x x x x x n n n n n εεεεεε27.求下列多项式的有理根. 1）;1415623-+-x x x解：多项式可能的有理根为.14,7,2,1±±±±由系数取值可知，x 取负数时，多项式的值均为负的，故该多项式没有负根.检验得2为其根，进一步运用综合除法可得074114821415612-----即)74)(2(14156223+--=-+-x x x x x x ，显然742+-x x 没有有理根.因此1415623-+-x x x 仅有一个有理根2，且为单根.2）;157424---x x x解：多项式可能的有理根为.41,21,1±±±444222026242113121570421------------ 因此有)1()12()444()21(1574222224--+=--+=---x x x x x x x x x ，显然12--x x 没有有理根.因此21-为157424---x x x 的二重根.3）.3111462345----+x x x x x解：多项式可能的有理根为.3,1±±检验得1-为其根，进一步运用综合除法可得121363035113351138601138601311146111--------------故)3()1()12)(3()1(3111464222345-+=++-+=----+x x x x x x x x x x x .即1-为其四重跟，3为单根.28.下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）;12+x解：显然12+x 无有理根，又为二次的，故在有理数域上不可约. 2）;2128234++-x x x解：取素数2=p ，满足艾森斯坦判别法的条件，因此在有理数域上不可约. 3）;136++x x 解：令,1+=y x).(3918211561)1()1(1)(234563636y g y y y y y y y y x x x f =++++++=++++=++=取素数,3=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.4）p px x p ,1++为奇素数； 解：令1-=y x ，由p 为奇数可得1)1()1(1)(+-+-=++=y p y px x x f p p ).()(1222211y g p y p C y C y C yC y p p p p p p p p p =-++--+-=---- 由组合数定义)11(-≤≤p k C kp 均为整数，且12)1()1()1(⋅-+--= k k k p p p C k p，分子中有因子p ，分母个各数均小于p ，又p 为素数，因此约分时p 不会被约去，因此有kpC p |，取素数为p ，)(y g 满足艾森斯坦判别式条件，因此)(y g 在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约. 5）k kx x ,144++为整数. 解：令,1+=y x 则有).(2)1(4641)1(4)1(1423444y g y k y y y y k y kx x =+++++=++++=++取素数,2=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.。