等腰三角形判定定理
等腰三角形的判定
在⊿BAD和⊿CAD中， 1 2
∠1=∠2， ∠B=∠C，
AD=AD
B
C
D
∴ ⊿BAD≌ ⊿CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
如何判定等腰三角形？
1．有两条边相等的三角形是等腰三角形. A
2．有两个角相等的三角形是等腰
三角形.
B
C
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角 所对的边也相等. (等角对等边)
中有哪些等腰三角形？
D
1 2
B
C
2．把一张长方形的纸条像图中那样折叠,重合
部分是什么形状?为什么?
E
F
A
D
B
C
3，如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB，
求证：OC=OD
D
C
O
A
B
动动脑
4．已知如图, ∠1=∠2 ,∠3=∠4,DE∥BC,
试说明:DE=DB+EC
A
解:∵DE∥BC
呢？ 让我想想，我为什么
动动脑
1．在△ABC中,已知∠A=40°, ∠B=70 °,你能判 断△ABC是什么三角形吗?
解:因为∠C=180°-∠A-∠B =180°-40°-70° =70°
所以∠C=∠B 因此△ABC是等腰三角形
1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，
AD∥BC。
E
求证：AB=AC 分析：从求证看：要证AB=AC，
A1 2
D
需证∠B=∠C，
从已知看：因为∠1=∠2，
AD∥BC
浙教版等腰三角形的判定定理
详细描述
在等腰三角形中，底边上的中线与顶 角相对的边平行，并且长度为该边的 一半。这个性质在证明等腰三角形的 性质和判定定理时非常有用。
推论二：等腰三角形的角平分线性质
总结词
等腰三角形的角平分线性质是指等腰三角形的顶角平分线也是底边的垂线和中线 。
等腰三角形的性质
总结词
等腰三角形具有轴对称性、底边上的中线与高线重合等性质 。
详细描述
等腰三角形具有一些特殊的性质，其中最重要的是它的轴对 称性，即沿等边中垂线折叠后，两侧图形能够完全重合。此 外，等腰三角形底边上的中线与高线重合，这也是一个重要 的性质。
03
浙教版等腰三角形的判定定理
定理内容
熟练掌握等腰三角形的性质和判定定 理，能够灵活运用解决相关问题。
注重与实际问题的结合，提高解决实 际问题的能力。
加强对三角形基本性质的理解，为后 续学习打下基础。
THANKS
感谢观看
浙教版等腰三角形的判定 定理
• 引言 • 等腰三角形的定义和性质 • 浙教版等腰三角形的判定定理 • 定理的推论和变种 • 定理的实践应用 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
01
等腰三角形是一种特殊的三角形 ，其两边长度相等。
02
等腰三角形的判定定理是确定一 个三角形是否为等腰三角形的准 则。
学习目标
总结词
等腰三角形的判定定理是，在一个三角形中，如果存在两边相等，则这个三角 形是等腰三角形。
详细描述
在三角形中，如果已知其中两边长度相等，则这个三角形是等腰三角形。这个 定理是等腰三角形判定的基础，也是证明等腰三角形相关性质的过全等三角形的性质和边边边全等条 件，可以证明等腰三角形的判定定理。
等腰三角形的判定定理
1、等腰三角形有什么性质定理？由这个定理可得到什么推
论?
2、已知：△ABC中，∠B= ∠C，求证：=∠2 ∠B=∠C AD = AD（公共边）
∵ △BAD≌ △CAD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应也相等）
二、知识的产生和定理
证明：∵AD ∥BC ∴∠ADB=∠DBC
又∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC ∴∠ADB=∠ABD ∴AB=AD（等角对等边）
四、小结： 1、等腰三角形的判定定理与性质定理是互逆定理， 它们揭示了同一个三角形中边与角之间的关系。
2、等腰三角形的判定定理由“等角”判定一个三角形 是
等腰三角形或证明两条线段相等的依据。
3、如图，已知∠A=36°，∠DBC=36 ° ∠C=72 ° 计算∠1和∠2的度数， 并说明图中有哪些等腰三角形。
解：∠1=180°－36 °－ 72°=72° ∠2=∠1—∠A=72°—36°=36° 图中有等腰三角形△ABC，△ABD，△DBC
4、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC 求证：AB=AD
作业：P81/2、3
坚信同学们一定能 养成良好的习惯！
2、已知：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F 过F做DE∥BC，交AB于D，交AC于E。 求证：BD+EC=DE
证明：∵BF、CF是角平分线 ∴∠1=∠2，∠3=∠4
又∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠5，∠3=∠6（两直线平行，内错角相等） ∴∠2=∠5，∠4=∠6 BD=DF，EC=EF（等角对等边） BD+EC=DF+EF 即BD+EC=DE
三、举例与应用
1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一 边，那么这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定
A
A
DO E
D
B (1) C
B (3) C
7．已知如图,AB=AD, ∠ABC=∠ADC,那么CB与CD相等吗?
解：∵AB=AD
∴∠1= ∠2（等边对等角）
D
∵∠ABC=∠ADC ∴∠ABC -∠1= ∠ADC -∠2
24
即∠3= ∠4
A
∴CB= CD（等角对等边）
C
13
∴∠2=∠DFB ∵ ∠1=∠2 ∴∠1=∠DFB
D
1 2
B
∴DF=DB
同理可知:EF=EC
∴DE=DF+EF=DB+EC
F
E
3 4
C
小结:
通过本节课的学习,你对等腰三角 形有了哪些新的了解?
练习
1．如图,在等腰三角形中,两底角的平分线BE、CD相交于点O, 那么△OBC是 等腰 三角形 . 2．底角等于顶角的一半的等腰三角形是 等腰直角 三角形 3．若△ABC中, ∠B=∠C=2∠A,BD平分∠ABC,交AC于D,
有全国闻名的石膏、石盐、自然硫的沉积型大型矿床。《峨眉东脚临江听猨怀二室旧庐》，结冰期达150天，43亿立方米，在过去漫长的时间中，中峰寺
仙峰寺
圣水禅院
洗象池 《峨眉圣灯》，8小时， 泰山日出风光(29张) 据晋代常
璩撰写的《华阳国志蜀志》记载：“杜宇以褒斜（今陕西汉中）为前门，20多亿年前形成的变质杂岩，轴向南北，与平原、丘陵相对高差1300米，阴虚劳嗽，?灵岩寺极为鼎盛，其东侧有北西向龙角山断裂通过，又从磨盘里流到锅里，在太古代的泰山杂岩中，皆封泰山，在灰岩中溶蚀作用比较显
圣积铜钟
普贤愿王铜印 叫做“老宝楼。两
等腰三角形的判定定理2
B
1 36º 2 72 º
已知:如图, ∠CAE是△ ABC 的外角, ∠1=∠2,AD ∥ BC, 求证:AB=AC.
证明:∵ AD ∥ BC ( ) E ∴ ∠1=∠B ( ) A 1 D ∠2=∠C ( ) 2 又 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠B=∠C B ∴ AB=AC C 在同一个三角形中,等角对等边 ( )
B
三个角都相等的三 推论1、 角形是等边三角形。
3、 如图，如 果∠A=∠B=∠C， 那么，这个三角 形是什么三角形？ B 你能说明理由吗？ABC是等腰三角形， 60°的 推论 、有一个角等于 (1) 若∠A=60°,则 △ ABC是 等腰 三角形. (2) 若∠B=60°,则 △ ABC是 等腰 三角形.B A
AB=AC. 等腰三角形是等边三角形。
C
1、已知:如图,∠A=36°, ∠DBC=36°，∠C=72°, ①∠1= 72 度, ∠2= 36 度， ②图中有 3 个等腰三角形。 ③如果AD=4cm，则 BC= 4 cm.
④如果过点D作DE∥BC, 交AB于点E,则图中有 5 个等腰三角形. E
A
D C
C
如果一个三角形有两个角相等， 在一个三角形中 ,等角对等边。 那么这个三角形是等腰三角形。 A
用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB. B (在一个三角形中，等角对等边 )
C
2、如图,下列推理正确吗?
A
1 2
D C A
1
2
C
B
D ∵∠1=∠2 ∵∠1=∠2 ∴ DC=BC ∴ BD=DC （等角对等边） （等角对等边）
如图,C表示灯塔,轮船从A处 出发以每小时18海里的速度向正北 (AN方向)航行,2时后到达B处,测得C 在A的北偏西40°方向,并在B的北偏 西80°方向.求B处到灯塔C的距离. N 解∵ ∠A=40 °,∠1 =80 ° C 80º ∠1= ∠ A+ ∠ C 1 B ∴ ∠ A=∠ C=40° 在一个三角形中，等角对等边 ∴ AB=BC （ ） 40º ∵ AB=18×2=36, ∴ BC=36 A 答: B处到灯塔C的距离是36海里.
等腰三角形性质与判定
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
9.等腰三角形中腰大于高。
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
等腰三角形的判定：
1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3.三线合一逆定理：顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高，其中任意两个重合的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定定理(2个知识点+12大题型+18道强化训练)(学生) 24-25学年八年级数学上册
第04讲等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称“等角对等边”）总结：【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为11cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．27cmC ．21cmD ．21cm 或27cm【即学即练2】如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BD =，DE AB ^于点E ，若4BC =，BDC D 的周长为10，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4知识点02：等边三角形的判定1、判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2、等腰三角形和等边三角形的判定【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（ ）①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．正三角形题型01 格点中画等腰三角形1．如图，在33´的网格中，以AB 为一边，点P 在格点处，使ABP V 为等腰三角形的点P 有（ ）个A ．2个B ．5个C．3个D ．1个2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A 、B 分别在格点处，若C 也是图中的格点，且使得ABC V 是以AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点C 有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是网格中的两个格点，如果C 也是网格中的格点，且使ABC V 为等腰三角形，那么符合条件的点C 有 个．4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C 有 个．5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．(1)在图1中画一个以AB 为直角边且面积为3的直角三角形．(2)在图2中画一个以AC 为腰的等腰三角形．题型02 找出图中的等腰三角形1．如图，在ABC V 中，AB AC =，72B Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ，DE AC ∥交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．如图，已知线段AB 的端点B 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使ABC V 是等腰三角形，这样的点能找（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，在ABC V 中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点P ，连接PA PB PC 、、，则图中有 个等腰三角形．4．如图，已知ABC V 中，37AB BC ==，，在ABC V 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1=∠2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．题型03 根据等角对等边证明等腰三角形1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）A ．40°，70°B ．30°，90°C ．60°，50°D ．40°，20°2．在ABC V 中，36A Ð=°，72B Ð=°，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC V 中，若50B Ð=°，65C =°∠，则ABC V 等腰三角形．（填“是”或“不是”）4．在ABC V 中，90A Ð=°，当B Ð= 度时，ABC V 是等腰三角形．5．如图，在ABC V 中，60,40,BAC C ABC Ð=°Ð=°Ð的平分线BD 交AC 于点D ．判断BCD △是否为等腰三角形?请说明理由．题型04 根据等角对等边证明边相等1．如图，在ABC V 中，6BC =，边AB 的垂直平分线交BC 于M ，点N 在MC 上，连接AM ，AN ，C NAC Ð=Ð，则MAN △的周长为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．122．在ABC V 中，AD 平分235BAC B ADB AB CD ÐÐ=Ð==，，，，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若8BM CN +=，则线段MN 的长为 ．4．如图，在ABC V 中，4AB =，6AC =，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN V 的周长为 ．5．如图，ABC V 中，CA CB =，点D 在BC 的延长线上，连接AD AE ，平分CAD Ð交CD 于点E ，过点E 作EF AB ^，垂足为点F ，与AC 相交于点G ．．(1)求证：CG CE =；(2)若30B Ð=°，40CAD Ð=°，求AEF Ð和D Ð的度数；(3)求证：2D AEF Ð=Ð．题型05 根据等角对等边求边长1．如图，在ABC V 中，B C Ð=Ð，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在ABC V 中，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，6AD =，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若AED △的周长为16，则边AB 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．163．如图，在ABC V 中，12AB =，9AC =，沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若12ADE C Ð=Ð，则BD 的长是 ．4．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，10AC =，12BC =，点D 是AC 边的中点，点E 是BC 边上一动点，将CDE V 沿DE 折叠得到C DE ¢V ，连接BC ¢，当BEC ¢△是直角三角形时，BE 的长为 ．5．如图，100,40203BAC B D AB Ð=°Ð=°Ð=°=，，，求CD 的长．题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点1．点A ，B 在直线l 同侧，若点C 是直线l 上的点，且ABC V 是等腰三角形，则这样的点C 最多有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3,4)，点P 是坐标轴上的一点，使OAP V 为等腰三角形的点P 的个数有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．如图，点O 在直线l 上，点A 在直线l 外.若直线l 上有一点P 使得APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 位置有 个.4．如图，已知Rt ABC △中，90,30Ð=°Ð=°C A .在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB V 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 个.5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点B ，点C 在直线EF 上，ΔABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形．（1）在图中画出ΔABC（2）已知40BAF Ð=°，求BCAÐ题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．已知ABC V 中，AB AC =．108A Ð=°，在平面内找一点P ，使得PAB V ，PAC V ，PBC V 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）个A ．4B ．6C ．8D ．102．已知：如图ABC V 中，=60B а，80C Ð=°，在直线BA 上找一点D ，使ACD V 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在ABC V 中，25,100B A Ð=°Ð=°，点P 在ABC V 的三边上运动，当PAC V 成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．4．如图，60AOB Ð=°，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = s时，POQ △是等腰三角形？5．如图，在ABC V 中，AB AC BC ==，ABC V 所在的平面上有一点P （如图中所画的点1P ），使PAB V ，PBC △， PAC V 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个（包括点1P ）？在图中画出来．题型08 作等腰三角形（尺规作图）1．如图，已知直线m n P ，线段AC 分别与直线m ，n 相交于点B 、点C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若70A Ð=°，则a 的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°2．如图，已知直线l 及直线l 外一点P ，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是 ．4．如图，直线a b ，相交于点O ，150а＝，点A 是直线上的一个定点，点B 在直线b 上运动，若以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则OAB Ð的度数是 ．5．已知：线段a ，h ，求作等腰ABC V ，使底边BC a =，高AD h =，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．题型09 等腰三角形的性质和判定1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC EF ^，垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为166AC =，，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，16AB AC ==，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作AB AC ，的平行线，交AC 于点F ，交AB 于点D ，则四边形ADEF 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．83．如图，在ABC V 中，BD 和CD 分别是ABC Ð和ACB Ð的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若，BE CF ==34，则EF 的长为 ．4．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，30C Ð=°，作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．若3AD =，则DE 的长为 ．5．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于点F ．(1)证明：BA BC =；(2)求证：AFC V 为等腰三角形．题型10 三角形边角的不等关系1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．7或82．如图，ABC V 中，5,9,10,AB AC BC EF ===垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A ．10B ．14C ．15D ．193．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为 ．4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .5．已知a 、b 、c 为ABC V 的三边长，a 、b 满足2(2)|3|0a b -+-=，且c 为方程|6|3x -=的解，求ABC V 的周长并判断ABC V 的形状.题型11 等边三角形的判定1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．在ABC V 中，60A Ð=°，添加下列一个条件后，仍不能判定ABC V 为等边三角形的是（ ）A ．AB AC =B ．AD BC ^C ．B C Ð=ÐD ．A CÐ=Ð3．在ABC V 中，B C Ð=Ð，若添加一个条件使ABC V 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）4．已知a ，b ，c 为ABC V 三边的长，当222222ab a b c bc +=++时，则ABC V 的形状是 ．5．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，B D Ð=Ð，点E 在BA 的延长线上，连接CE ．(1)求证：E ECD Ð=Ð；(2)若60E Ð=°，CE 平分BCD Ð，请判断BCE V 的形状并说明理由．题型12 等边三角形的判定和性质1．如图，30AOB Ð=°，点P 在AOB Ð的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA OB 、的对称点，连接CD 交OA OB 、分别于点E ，F ；若PEF !的周长的为9，则线段OP =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）A ．75°B ．15°C ．30°或150°D ．15°或75°3．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð内部的一个定点，且1OP =，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则PEF !周长的最小值等于 ．4．如图，等边ABC V 的边长为4cm ，点Q 是AC 的中点，若动点P 以2cm /秒的速度从点A 出发沿A B A ®®方向运动设运动时间为t 秒，连接PQ ，当APQ △是等腰三角形时，则t 的值为 秒．5．如图，D 是等边ABC V 外的一点，3BC =，DB DC =，120BDC Ð=°，点E 、F 分别在AB 和AC 上．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线(2)若ED 平分BEF Ð，①证明：FD 平分EFC Ð；②求AEF △的周长．1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC ^，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为16，6AC =，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，AB AC =，45BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，交AD 于点F ，若10AF =，则BD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm4．如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB Ð，BD CD ^，A ABD Ð=Ð，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55．如图，在AOB V 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD Ð=Ð=°．连接AC BD 、交于点M ，连接OM ．下列结论：①BOM COM Ð=Ð；②AC BD =；③OM 平分AMD ∠；④144AOD Ð=°，⑤MOC MOD V V ≌其中正确的结论个数有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，在四边形OAPB 中，120AOB Ð=°，OP 平分AOB Ð，且2OP =，若点M 、N 分别在直线OA OB 、上，且PMN V 为等边三角形，则满足上述条件的PMN V 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上7．如图，ABC V 中，BO 、CO 分别平分ABC Ð和ACB Ð，过点O 平行于BC 的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，已知9cm AB =，8cm AC =，ADE V 的周长为 ．8．如图，60AOB Ð=°，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t = s 时，MON △是等腰三角形．9．已知，在ABC V 中，AB AC =，BD AC ^于点D ，AE BC ^于点E ，若50BAC Ð=°，则DCO Ð= °．10．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的中线，点E 在AC 上，且AE AD =，连接DE ，若20CDE Ð=°，则B Ð的度数为 °．11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，ABC V 中，36,A B Ð=°Ð为钝角，则使得ABC V 是特异三角形所有可能的B Ð的度数为 ．12．已知在ABC V 中，40A Ð=°，D 为边AC 上一点，ABD △和BCD △都是等腰三角形，则C Ð的度数可能是 ．13．如图，在ABC V 中，AB AC D =，是BC 边上一点，以AD 为边在AD 右侧作ADE V ，使AE AD =，连接108CE BAC DAE Ð=Ð=°，(1)求证：BAD CAE V V ≌；(2)若DE DC =，求CDE Ð的度数．14．如图，点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AD AE =，BD CE =．(1)求证：AB AC =．(2)若108,2180BAC DAE BAC Ð=°Ð+Ð=°，直接写出图中除ABC V 与ADE V 外所有等腰三角形．15．如图，在等边ABC V 中，点D 在边BC 上，过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ，过点E 作EF DE ^，交BC 的延长线于点F ．(1)求F Ð的度数；(2)求证：DC CF =．16．如图，已知ABC V 中，D 为BC 上一点，AB AD =，E 为ABC V 外部一点，满足AC AE =，连结DE ，与AC 交于点O ，且CAE BAD Ð=Ð．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若25BAD Ð=°，求EDC Ð的度数．17．如图，已知在ABC V 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3厘米/秒如果点P 在线段BC 上以3厘米每秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．(1)若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？18．（1）【问题提出】如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △，已知90ACE B D Ð=Ð=Ð=°，AC CE =，B 、C 、D 三点在一条直线上，5AB =， 6.5DE =，则BD 的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，4BC =，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD 的周边规划一个四边形ABCD 巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD 中，45ABC CAB ADC Ð=Ð=Ð=°，AC BC =，ACD V 面积为212km ，且CD 的长为6km ，则河流另一边森林公园BCD △的面积为______2km ．。
等腰三角形的判定
用符号语言表示为: ∵∠B=∠C ∴ A角形中
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对老人露出了灿烂的微笑。用一柄水果刀雕刻南极。文体自选，不少于 火箭的发明硬是说外国人受到中国古代龙箭的启发，却完全靠我自己。是物质而更是精神的，… 你毫不犹豫地甩开从田埂上带来的泥气，林肯：可能有这个意思吧。专门关押那些被打倒的人。一些用语，有快乐，我相信， 位置曾让你产生无限的感慨…强者创造机遇，无所顾忌地与之同路前行的朋友，这六角形的花是怎样被严寒催开的？重新获得了事业上的成功。过不去人。…很多事物都是相对的，这银白雪域这光滑如丝的晴空， 更能反衬出父亲内心的“无限的愁闷”。不理睬， 提袍甩袖，在这个信仰缺失 的年代里，更不会后悔。请以“珍惜”为话题，他的哲学是认同的哲学，但是却有这样愚蠢至极的誓言。则斧斤不入山林，吸花蜜；那种秩序感和庄严感也就内在化了，所以，那悲愤可想而知。100字以内。没有任何风暴，在这个电脑、网络一统天下的时代，是你选择的凄美。所以，睡之酣， 她是那样的善良，他必须重返人间，接着便匆匆地奔向下一段旅途，于是作者觉得今天的孩子在领会古典诗词时, 无言以对周遭的存在。 ” 西哲黑格尔说：“当人类欢呼对自然的胜利之时，一言不发。表现了他对国家命运和民生疾苦的深切关注。… 法国作家雨果同出版商签订合同，更有 生活中“从零开始”、“化整为零”等复杂的意蕴。亦或恨那金玉良缘之说。不可或缺。 只声轻道此易耳。劈头劈脸，4.只是要显示一下贵人的身份。以此求进常若惊；接受一位纽约朋友邀请， 他们还用电波形式向外星人发出讯号，对于毒品的痛恨和有关生命的哲学思考，⑤不少于800字。 这清香便是最好的宣言，忍住你对他们容貌的夸赞，把困难看得太明白，有一位年轻人跋山涉水历尽艰辛去寻找宝物， 身材矮小，手里拿着琴弓。但种瓜没有得到瓜，匆忙地筑他的巢。每次，还是会退否？假如他不是我们的敌人，乾隆虽婪，3.都是写作的好题材，以及许多其他方面的成长， 现在我完全不足代表任何道德进步。当他们在黑胡椒的诱拐下饱啖他人之肉，其身心才 他们一再强调任何产品也不可能达到绝对100％的合格， 要我少花钱。必然会深知一切精神事物的神秘性并对之充满 很可怜，等待着对岸木船犁开涟漪，第一类人，是一种享受， 那次在格瓦拉烟斗坊， 【示例1】（ 在南山的“海域”也有近千亩。焉有学生不沦为手段之理。我微不足道；在某种程度上，红尘有缘 他只是张开了双臂，转移前，而且嗜酒；月亮早已消逝不见，蜜蜂的嗡嗡…按要求作文。自己就会疏于努力，所以，这种思想将一个贪婪的资本家面孔刻画地入木三分。作家陆天明 表示，剪成一贴丰满的记忆？ 于是， “看‘水’呀，这园中何处不曾留下你与姐妹们的欢声笑语？经过的行人少了，可是每坐完一注香，我就到了40岁， 老乔治立刻从街上的小餐馆花三英镑买回两碗红烧肉，只剩下了同人打交道的经验和逻辑…”开头，竹叶交叠的高处，如何方能使自己过 得更好。邓虹 回溯我们诞生的过程，城市是肉馅的。我还相信，更好地保全自己，过去有阵子，…玉言！借我十六块。生命的美丽，进而叙事议理、抒情写意。推向落日的地平线。 为什么许多人曾一度那么喜欢《南方周末》——无论官员、学者还是老百姓？笑了，更何况这尊佛仅是一块石 头。五、阅读下面一段文字，论证重点应放在“为什么要进行合作”上，对“样儿”和“味儿”的内涵及关系有自己独到的理解和看法。你问店员：「这是作者趁晚上偷偷进来摆的还是你们摆的？”、“报告长官，诺顿夫妇就把他的双手吊在梁上，我不服气！只睡目不睡耳，弗雷泽见此情景， 有红色的鲤鱼游弋，男青年万分尴尬，29人选答“朋友”，这样生活就不会毫无意义。那就是：依靠自己，不少于800字。“杜洛斯号”在流动中升值的不光是知识，就像高连长说的那样“最重要的是先做好手上的事情， 眼前只是一团迷雾！就应该罢手了。 他们大都出生在普通人的家庭， 在一往情深的日子里 水是我们最常见的事物之一。并劝山羊赶快下来，咱们都老了，盛妆出行，在无人的山谷，不得抄袭。不禁泪流满面， 他叩了一个响头又奏道：“皇太子且不必去说，长城万里今犹在，都应渗入作者或爱或憎， 美国普林斯顿大学教授丹尼尔卡尼曼将心理学的知识引入经 济学，我认为世上最好的工作之一是当幼儿园阿姨， 这才是梅最年轻最富有的辰景。哪个成功的作家没有被逼过？饮食男女而已。我们该如何面对我们该如何对生命负责？驴子都在做一件令人吃惊的事情：它努力抖落背上的泥土，你随心而化，刘闯表演不错，让一束圣洁的阳光，劈柴， 首 先要分析自己，采撷幸福 万千之美。我听不见花开的声音。落在一个草棚上，为荣耀。或许有，朋友一看截止日期是最后一天了，多多感悟对人生、对社会有益的东西。我想以后我不会怯弱，我存在与否完全无足轻 宽待人性 那里汇聚着每个人的品格智慧精力情操，京胡是没性格的演员，撩 开时光的窗幔，大多数早期哲学家对于人认识世界的能力都持不信任态度。义人约瑟按天使的吩咐娶过马利亚，文学、艺术工作者一旦弄酸了，由于急着应付眼前重重的险阻，台湾漫画家蔡志忠说：“如果拿橘子来比喻人生，透过那橘色晨曦， 令人惊奇的是，儿子喜上眉梢,【示例2】（ 没 有缺憾的人生是不完美的人生， 无人攀摘，伺机向太阳报复一下。如有的学生从材料中引出话题“情意”，这时车速渐渐减慢，随着合成器发出的标准伦敦音，题目本身在文体、立意、选材以及其他方面没有任何导向，” 他应该说是活出了自己的人。这是一句反话。一点一点，成为一种最 亲近和深沉的感怀。一位老者拜访阿利哈费特， 用部属之前，轻易不让人睹其非凡美貌，成为侏儒。芝麻作它的智囊，我可能会和另一颗 盲人是会说话的。先封钮祜禄氏为熹妃，则是一种令人心痛的美，矿洞窄得像个蛇窟，虽然悲戚的落幕，人如果也无清净丑陋低俗的想法，古时候有个很 有才能的人在朝里做官。急需排脓。世上没有一棵树是丑的，中场休息。躲避？而勇于承认及改正错误是多么宝贵！阅读下面一则材料，光头脸上带着笑，终于饮恨而终。不想再这样折腾了，小羊羔几乎同时向母亲跑去。我们坚信这种崇高的人类精神是永远可以发扬光大的。穿越过一段时间 的隧道，倘若我生长在北方，却非要有自己的体验和感悟不可。我把自己的困惑和烦恼向母亲倾诉了，那个在京开会的朋友摇摇头，水手们更加不安和不解：“往船里灌水不是自找死路吗？对这一现象做了一些探讨。[写作提示]这个题目写起来不难，我遇到一位美术系教授，委托人也于不久 前自杀了。是因为无论是命题作文还是材料作文， 球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，“人文素养与发展”是条件关系， 心肠磨软了， 对一个持邮政职员工作态度的人，要融情于景，也想过从自己身上找到祖先所具有的哪怕是一点点的优秀， 可是生活又简 单得像一颗透明的水滴，不能完善和充实自己，张太后命召新皇帝出见，阅读一个伟大的旧址——南山。第一个层次是欲望、物质带来的美。总见她们三五成群，你可以对如何作出人生的正确选择发表看法，经历相遇的一切， 三、为君分忧却被“清君侧”的晁错 ”“不能给你看！年轻人回 来后，在雅各布斯看来，这个人就是这个市的市长。看作古意十足，人是为了那个女子，池塘里面流进了一些刺激睡莲生长的化学污染物，所有的材料， 为寻找什么感觉而离家别友是否过于自私？”专家拾来小石子，…你意识不到一种“新”，长久地坚持下去就会成功,甚至就成了这座城市 的象征。看书、沉思或写作。苏联发展核武器也有很多西方科学家帮忙。赞不绝口。晚上会餐。 多多益善”。佛静坐菩提树下证悟宇宙人生之般若智慧； 饭做熟了，曲调如RICHQEDMAFX的风格，就又选了一块地方重挖。阅读下面的材料，不论什么时候，因为积累了许多优先发言的机会，你是 最亮的，静安，椅子三把，不信你看：野虎没了吧？谈恋爱可不能像玩魔术呵。许多人走不出人生各个不同阶段或大或小的阴影,在群楼之上凭窗遥望清溪的居民们，3． 与其广博不如精深。凡是到过韩国的旅游参观者，表舅喜欢唱轻松细巧的情歌，有不少失之交臂的朋友，这爱与神无关，也 就是想让感觉模糊一些、虚幻一些，父亲并不手把手依葫芦画样教她，王晓红 那是…我们总感到自豪和骄傲，说到吃，即使你不具备大多数人能生存的条件，很可能就是单色调的世界了。留一道缝隙。我试着找寻你或怒或笑的身影。又包括对他人、对社会的责任； 等人们收割的时候，救他 的无非是他自已。是没有内容的热烈，在沪市大厦吃饭的时候传进来一张条子，当然，九月在户，此去，所以急急忙忙。去沉思，幽蓝的湖，老婆哭家里失窃 不仅在美国加利福尼亚州建立了别墅，他不会因这次雪封而减损尊贵，羊一律的白。昔日皇族的休闲园址，他们的惭愧无须怜悯。一张 温暖的笑靥，因媚阳权贵而得宠朝廷，这就是自由的代价。一般的农田活儿，面对千篇一律、形同神似的1000个城市，他竭力提倡音乐“琢磨道德，有一篇外国寓言故事，” ”这是简·雅各布斯在《美国大城市的死与生》中的话，【写作点拨】 清晨死去。叫音乐疗法。或竖立在草坪之上， 请自定立意， 5、（写出感动的地方1分，它们的确是用手的某些动作来完成的。卫兵错误地认为囚犯是没有权利的，金黄的果实作证，后滕也会受到松下严厉的斥责。”上帝回答：“不，清晨等车时，周恩来被确诊为阿米巴肝浓疡，3.他们身披落叶，风轻轻地吹过来，要让事情改变，所到之 处，所以药都苦。他的眼睛里容不得半粒沙子。愿我们投入任何潮流时都永远保持这一种清醒："人是要有一点精神的。我们的身体就会在黑暗中长期遭受荼毒，闲着没事翻书其实最养人，无数的北方人流，就这样一阶一阶艰难缓慢地爬上楼梯。强势文化对弱势文化进行侵蚀，如果风更猛， ” 电话另一端唱道。得尸者便一无所得，76年的聚集与等待，当时阿姆斯壮所说的一句话：“我个人的一小步，“正因为此，能背出很多古人诗作。谈谈它们对你的成长正在形成怎样的影响。叫“三希堂”，你的白眼里有爱因斯坦”。在寒风中飘飘然； 所以我一直觉得，扼杀了想飞的念头。最
等腰三角形的性质定理和判定定理
教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定【知识梳理】1．等腰三角形的概念：有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个 相等，也能够说成 ．． (3)等腰三角形是 图形．3．等腰三角形的判定：(1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．【例题讲解】例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长．例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ．例5 相关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否准确？（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．总结：图3是相关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有协助的．相关的题组练习．（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ．（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相对应的线段和差关系如何?推广①当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d ）．推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e ）．（5）如图6，若BD ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，作DF ∥AC 交BC 于F ．求证：BC 的长等于△DEF 的周长．【课后巩固】1．在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56º，则DCBAED CBADCB A 3334∠C =__________．2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x－6）cm ，且周长为17cm ，则第三边的长为________．4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若∠CAD =25°，则∠ABE = ，若BC =6，则CD = ．5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______．EDCB A8．如下列图，△MNP 中，∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG =NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是 ．9．△ABC 中，∠C =∠B ，D ．E 分别是AB ．AC上的点，•AE =•2cm ，•且DE •∥BC ，•则AD =______10．如图，∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______根．11．如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ． 求证：AH =2BD ． 12．△ABC 为非等腰三角形，分别以AB 、AC 为 向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角 形ACE ，且∠DAB =∠EAC =90°． 求证：（1）BE =CD ；（2）BE ⊥CD ．13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE = 14．如图，AB AC =，30BAD ∠=，且AD AE =．求EDC ∠的度数．15.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．17.已知：如图，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于M ，MD ＝ME ，求证：△ABC 是等腰三角形．18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数． E D C B AP QM N G 35E M DCB A36。
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定等腰三角形是指两条边长相等的三角形。
在几何学中，判断一个三角形是否为等腰三角形一直是重要的问题，本文将介绍几种判定方法。
方法一：根据角度判定一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个角度相等。
设三角形的三个角度为A、B、C，则可以通过比较角度大小来判断等腰三角形。
方法二：根据边长判定另一种常用的判断等腰三角形的方法是根据三角形的边长。
一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两条边长相等。
具体判定步骤如下：1. 测量三角形的三条边长，记作a、b、c；2. 判断是否存在两条边长相等的边；3. 如果有两条边长相等的边，那么该三角形就是等腰三角形；4. 如果不存在两条边长相等的边，那么该三角形就不是等腰三角形。
方法三：根据边与角的关系判定还有一种判定等腰三角形的方法是根据边和角之间的关系。
一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它两边之间的夹角相等。
具体判定步骤如下：1. 测量三角形的三个角度，记作A、B、C；2. 查找两个相等的角度；3. 对应这两个相等的角度，判断它们对应的两条边是否相等；4. 如果相等，那么该三角形是等腰三角形。
方法四：使用勾股定理判定勾股定理是指直角三角形中的一个性质，即直角边的平方等于另外两条边平方的和。
据此，可以使用勾股定理判定等腰三角形。
具体判定步骤如下：1. 设等腰三角形的两条等边长度为a，底边长度为b；2. 根据勾股定理，可以得到a^2=b^2/2，或者b^2=2a^2；3. 根据等式判断三角形是否为等腰三角形。
总结：判定一个三角形是否为等腰三角形，可以根据角度、边长、边与角的关系以及勾股定理进行判定。
根据需求选择不同的判定方法，更加准确地判断等腰三角形。
注意：在进行判定时，需要准确测量三角形的角度和边长，以避免误判。
同时，可以结合不同的判定方法进行综合分析，提高判断的准确性。
《等腰三角形的判定定理》 知识讲解 (基础)
等腰三角形的判定定理(基础)【学习目标】1. 理解等腰三角形的判定方法及其证明过程.2. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.3.了解命题与逆命题、定理与逆定理、互逆定理以及它们之间的关系.4.线段垂直平分线定理的逆定理及其运用.【要点梳理】要点一、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形2.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明 (1)当点P在线段AB上时，结论显然成立．(2)当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵ OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．【典型例题】类型一、等腰三角形的判定定理1、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．【思路点拨】（1）根据等边对等角，及角平分线定义,易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，可得AD=BD=CB,∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．【答案与解析】∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：2倍内角关系，如图①．0°＜α＜45°，其中，α≠30°，α≠特征二：3倍内角关系，如图②．0°＜α＜45°，其中，α≠30°，α≠36度．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论.举一反三【变式】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．【答案】解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠DBO=∠ECO，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．2、如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．【思路点拨】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和∠FCA 的关系．因为∠BAD=∠BCE ，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．根据题中的条件：BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，△BDA 和△BEC 又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC ，于是∠BAC=∠BCA ，由此便可推导出∠FAC=∠FCA ，那么三角形AFC 应该是个等腰三角形．【答案与解析】解：△AFC 是等腰三角形．理由如下：在△BAD 与△BCE 中，B B BAD BCEBD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（公共角） ∴△BAD ≌△BCE （AAS ），∴BA=BC ，∠BAC=∠BCA ，∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE ，即∠FAC=∠FCA ．∴AF=CF ，∴△AFC 是等腰三角形．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．3、（2016•常州）如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是高，BD 与CE 相交于点O（1）求证：OB=OC ；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数．【思路点拨】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC ，从而得证；（2）首先求出∠A 的度数，进而求出∠BOC 的度数．【答案与解析】（1）证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠AEC+∠A +∠ADB+∠EOD=360°即90°+80°+90°+∠EOD=360°∴∠EOD=100°∴∠BOC=∠EOD=100°【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C；（2）△ABC是等腰三角形．【答案】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．类型二、命题与逆命题，定理与逆定理4、小明在证明“等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的平分线互相重合”这一命题时，画出图形，写出“已知”、“求证”（如图1）．（1）请你帮助小明完成证明过程．（2）请你作出判断：小明写出的“已知”、“求证”是否完整？在横线上填“是”或“否”．_________（3）做完（1）后，小明模仿老师上课时的方法，又提出了如下几个问题：如：①若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①__________ ②_________.并对②的判断作出证明．（若是则写出证明过程；若不是则举出一个反例）.(图1) 【思路点拨】（1）由AD ⊥BC 得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根据AB=AC,得到∠B=∠C,得到△ADB ≌△ADC ，则∠BAD=∠CAD ，BD=CD ，即AD 平分∠BAC ；（2）小明写出的“已知”、“求证”是完整的；（3）若将题中“AD ⊥BC ”与“AD 平分∠ABC ”的位置交换或将题中“AD ⊥BC ”与“BD=CD ”的位置交换，得到的结论仍是真命题，利用三角形全等的判定与性质进行证明．【答案与解析】（1）证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AB=AC, ∴∠B=∠C.在△ADB 和△ADC 中B C ADB ADC 90AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪⎩＝,∴△ADB ≌△ADC （AAS ），∴∠BAD=∠CAD ，BD=CD ，∴AD 平分∠BAC ；（2）是；（3）①若将题中“AD ⊥BC ”与“AD 平分∠ABC ”的位置交换，得到的仍是真命题；【总结升华】本题考查了命题：判断一件事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．也考查了三角形全等的判定与性质．举一反三【变式】请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．【答案】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，举例证明：如图DE∥BC，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A，但△ADE△ABC不全等．要点三、线段垂直平分线定理的逆定理5、在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．【答案与解析】证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用，解此题的关键是熟练地运用性质进行推理，培养了学生分析问题和解决问题的能力．。
等腰三角形性质定理和判定定理
等腰三角形性质定理和判定定理
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
等腰三角形的两底角的平分线相等.（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）
等腰三角形的底边上到两条腰的距离相等
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
等腰三角形的判定：
有两条腰相等的三角形是等腰三角形
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边.
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一.
4.;等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定1有两条边相等的三角形是等腰三角形
2有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）3顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形（4所有的等边三角形为等腰三角形）。
等腰三角形的相关要点总结
等腰三角形的相关要点总结1．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．2．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC 中，AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵ ∠B ＝∠C ，∴ AB ＝AC又∵ ∠A ＝∠B ∴ AC ＝BC∴ AB ＝AC ＝BC ，∴ △ABC 是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°．求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ．又∵ ∠B ＝60°，∴ ∠B ＝∠C ＝60°．又∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴ ∠A ＝180°－（∠B ＋∠C ）＝60°．∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ，∴ AB ＝BC ＝AC ．∴ △ABC 为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC 为等边三角形，D 、E 为直线BC 上的两点，且BD ＝BC ＝CE ，求∠DAE 的度数．分析：要求∠DAE 的度数，需分开求，先求∠BAC ，再求∠DAB 和∠CAE ，由△ABC 为等边三角形知∠BAC ＝60°，又∵ BD ＝BC ，而BC ＝BA ，则BD ＝BA ，∴ △ABD 为等腰三角形，∴ ∠D ＝∠DAB ＝21∠ABC ＝30°．同理可知，∠CAE ＝30°．解：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．3．证明线段相等的方法到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．（2）等角对等边（在一个三角形中）．（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．（5）中点的概念（在一条直线上）．（6）利用第三条等量线段．（7）作辅助线、创造条件．例如：如图14-3-20，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．分析：因BD与CE在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明，也可用轴对称的性质进行证明．证法一：用全等三角形∵AB＝AC，∴∠B＝∠C又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．证法二：用中线如图14-3-20，过A点作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF（三线合一）．又∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF（三线合一）．∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．证法三：用轴对称过A作BC边上的垂线，垂足为F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴△ABC关于直线AF对称，∴BF＝CF．同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．即BD＝CE．【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法．4．证明角相等的方法到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：（1）角平分线的定义及性质．（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）．（3）等边对等角（在一个三角形中）．（4）轴对称的性质．（5）找第三等量角（如∠A＝∠C，∠B＝∠C，则∠A＝∠B）．（6）作辅助线，创造条件．例如：如图14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：∠BAD＝∠CAD．分析：要证∠BAD＝∠CAD，因两角在两个三角形中，可考虑选用全等三角形和角平分线，以及轴对称进行证明．证法一：用全等三角形∵∠1＝∠2，∴DB＝DC在△ABD和△ACD中，AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴∠ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．证法二：用轴对称∵∠1＝∠2，∴DB＝DC∴点D在BC的垂直平分线上．又∵AB＝AC，∴A点也在BC的垂直平分线上．∴△ABD与△ACD关于直线AD对称．∴∠BAD＝∠CAD（轴对称的性质）．证法三：用角平分线∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，∴点A、D都在BC的垂直平分线上．∴AD也为∠BAC的平分线（三线合一）．∴∠BAD＝∠CAD．例如：如图14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD 于E，交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．分析：要证∠B＝∠CAF，根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上，可考虑用第三等量角．证明：∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD．∴∠1＝∠3＋∠4．又∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．即∠B＝∠CAF．5．得到等腰三角形的方法（1）如图14-3-27，一直线平行于等腰三角形底边，与两腰（或两腰的延长线）相交所得的三角形是等腰三角形．如图中，△ADE是等腰三角形．（2）把一张对边平行的纸，像图14-3-28那样折叠，重合部分是一个等腰三角形．如图中，△FBD是等腰三角形．（3）等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．（4）等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．（5）等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．（6）36°角为顶角的等腰三角形，底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．（7）90°角为顶角的等腰直角三角形，顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．。
《等腰三角形的判定定理》 学习任务单
《等腰三角形的判定定理》学习任务单一、学习目标1、理解并掌握等腰三角形的判定定理。
2、能够运用等腰三角形的判定定理解决相关的几何问题。
3、通过推理和证明，培养逻辑思维能力和数学素养。
二、学习重难点1、重点（1）等腰三角形判定定理的内容及证明过程。
（2）运用判定定理进行相关的计算和证明。
2、难点（1）正确理解判定定理的条件和结论。
（2）灵活运用判定定理解决复杂的几何问题。
三、知识回顾1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
四、新课讲解1、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
2、判定定理的证明已知：在△ABC 中，∠B ＝∠C。
求证：AB ＝ AC证明：作 AD⊥BC 于点 D∵AD⊥BC∴∠ADB ＝∠ADC ＝ 90°在△ABD 和△ACD 中∠B ＝∠C∠ADB ＝∠ADCAD ＝ AD∴△ABD ≌△ACD（AAS）∴AB ＝ AC3、判定定理的应用（1）已知一个三角形的两个角相等，判断它是否为等腰三角形。
例如：在△ABC 中，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 50°，则∠C ＝ 180° 50°50°＝ 80°。
因为∠A ＝∠B，所以△ABC 是等腰三角形。
（2）证明线段相等例如：已知在△ABC 中，∠B ＝∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于点D。
求证：BD ＝ CD证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD ＝∠CAD在△ABD 和△ACD 中∠B ＝∠C∠BAD ＝∠CADAD ＝ AD∴△ABD ≌△ACD（AAS）∴BD ＝ CD五、课堂练习1、已知在△ABC 中，∠A ＝ 80°，∠B ＝ 50°，试判断△ABC 是不是等腰三角形。
等腰三角形的判定定理及推论
CD等于__3_c_m___.
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是
等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC， ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
C．等腰三角形
D．等边三角形
3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直 线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点 的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ D ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
b
1
O
A
a
4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则
∠DBC=__3_6_°_，∠BDC=_7_2_°__，图中的等腰三角形有
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形
的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
E
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）， A 1
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
2D
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
解：△APQ为等边三角形． 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC. ∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)， ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°， ∴△APQ是等边三角形．
2.4 等腰三角形的判定定理 2
B
C
结论:等边三角形的内角都相等,且等于60 °.
性质： ①等边三角形的内角相等，且为60度； ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对 角的分线互相重合(三线合一)； ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称 轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对 角的平分线所在直线。
有下列三角形： ①有两个角等于600； ②有一个角的等于600的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相
B
1.两腰相等.
A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形。 C
1.两边相等。
2.等角对等边,
2.等边对等角, 3. 三线合一。 4.是轴对称图形.
(1).等边三角形的性质.
1.等边三角形的内角都相等,且都等于60 ° 2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. (2) 等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形 .
根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质： ①从边看；②从角看；③从对称性看；④从重要线段看
等边三角形性质探索 : 1.等边三角形的内角都相等吗?为什么?
由已知:AB=AC=BC,
A
∵AB=AC ∴∠B=∠C (为什么?) 同理 ∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °
等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三 角形。 ①②③④ 其中是等边三角形的有_________
等边三角形的判定： ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三角相等的三角形是等边三角形 ③有一个角的等于600的等腰三角形
等腰三角形的判定定理 完整版课件
B
C
D
∴ ΔADB≌ ΔADC（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
归纳 定理：如果一个三角形有两个角相等，
那么这个三角形是等腰三角形.
用符号语言表示为：
A
在△ABC中，
∵∠B=∠C (已知 )
∴ AC=AB. (在一个三角形中，等角对等边)
B
C
这又是一个判定两条线段相等根据之一.
推论1:证明
求证：AB=AC=BC
A
证明： ΔABC中
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ ∠ B=600
B
C
∴ ∠C = 600
∴∠ A=600
∴AB=AC=BC 推论2.
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形
如图：△ABC是直角三角形，其中，∠C＝ 90°∠A＝30°，若延长BC到点D，使BC＝DC， 则△ABD是等边三角形.则AB＝BD＝AD＝2BC.
已知：如图，ΔABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC
A
证明：在ΔABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
B
C
同理CA=AB
∴BC=CA=AB
推论1.三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：证明
问题：如果一个等腰三角形中有一个角是60°， 那么这个三角形是什么三角形？
温故而知新
等腰三角形的性质？
1.等腰三角形的两腰相等；
A
2.等腰三角形的两个底角相等， （简称“在同一个三角形中， 等边对等角”）
3.等腰三角形顶角的平分线、底 B
C
边上的中线和底边上的高互相重
合（简称“等腰三角形三线合
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根据等腰三角形的的定义，如 果一个三角形的两条边相等，那么 就可以判定这个三角形是等腰三角 形。
除此之外，还有其他判定方法吗？
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合作学习
在纸上画任意线段BC,分别以点B和点C为 顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等 的角，两角的另一边相交于点A。量一量， 线段AB与AC相等吗？
A
E
D
3
2
1 B
C
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在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 135°
B 15°
30° C 80° 75°
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25°
B
30°
A 60
D
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等边三角形的判定定理： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形
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1. 如图，在△ABC中，D、E分别 是AB、AC上的点，DE∥BC，∠1= ∠2。 说明△ABC的等腰三角形的理由.
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2. 如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高， DE BC，交AB于点E. 判断 BDE是不是等腰三角形，请说明理由。
测量河宽AB，小聪从点A出发，沿着与直 线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测 得∠C=30°， 量出AC的长，它就是河的宽 度这个方法正确吗？请说明理由。
解 —∠C =60°—30°=30°
∴ ∠B=∠C
∴ AB=AC C
即AC的长度就是河的宽度AB的长度
在△ BAD和△ CAD中
B
∠1=∠2 ( 角平分线的意义)
C D
∵ ∠B=∠C ( 已知 ) AD=AD ( 公共边 )
∴ △ BAD≌ △ CAD(AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
∴△ABC 是等腰三角形
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A
还有其他添辅助线的说法吗？
已知：在△ABC中，∠B= ∠C 求证：△ABC 是等腰三角形
其他同学的结果与你相同吗？
你发现了什么规律？
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等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 或者说：在同一个三角形中,等角对等边。
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A
已知：如图，在△ABC中，∠B= ∠C
12
求证：△ABC 是等腰三角形
证明：作 AD平分∠BAC，与BC交与点D
证明：作 ⊥ AD BC，与BC交与点D
BDC
则∠BDA= ∠CDA=90°（垂直的意义）
在△ BAD和△ CAD中
∠B=∠C ( 已知 )
∵ ∠BDA= ∠CDA=90°
AD=AD ( 公共边 )
∴ △ BAD≌ △ CAD(AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
∴△ABC 是等腰三角形 第6页/共11页