用十字相乘法因式分解导学案
因式分解——十字相乘法导学案
【学习目标】
（1）了解“二次三项式”的特征；
（2）理解“十字相乘”法的理论根据；
（3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。
【学习过程】
一 、温故知新
（1）请直接填写下列结果
（x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？
二、探求解决：（2）把x 2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项 (+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数 ---------- 十字交叉线
2x + x = 3x 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2) （3）按（2）中的方法把652
++x x 分解因式 。 三、例题分析：
例1 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x 顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
练习1： x 2-8x+15= ；
练习2： x 2+4x+3= ； x 2-2x-3= 。
小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 例２ 试将 -x 2-6x+16 分解因式
提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。
x x
12?
x ??7?
x 1
-
例3 用十字相乘法分解因式：
（1）2x 2-2x-12 （2） 12x 2-29x+15
提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。
四、巩固训练
1．把下列各式分解因式：
（1）1522--x x = ； (2) =-+1032x x 。
2．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3．=--3522x x (x －3) (__________)。
4 ．分解因式：
（1）22157x x ++； (2) 2384a a -+；
(3) 2576x x +- (4) 261110y y -- ５．把下列各式因式分解：
(1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2
(3)x 4-8x 2+16 （4）2ax 2+6ax+4a
6.先阅读学习，再求解问题：
材料：解方程：=-+1032x x 0。
解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0
∴x+5=0或 x-2=0
由x+5=0得x=-5
由x-2=0得x=2
∴x=-5或 x=2为原方程的解。
问题：解方程：x 2-2x=3。
因式分解--十字相乘法练习题
十字相乘法分解因式练习题 1. 如果))((2b x a x q px x ，那么p 等于() A.ab B.a ＋b C.－ab D.－(a ＋b) 2. 如果 305)(22x x b x b a x ，则b 为() A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 多项式a x x 32可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为( ) A.10和－2 B.－10和2 C.10和2 D.－10和－2 4. 不能用十字相乘法分解的是 () A.22x x B.x x x 310322C.242x x D.2 2865y xy x [5. 分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 () A. 20)(13)(22y x y x B.20)(13)22(2y x y x C.20)(13)(22y x y x D.20)(9)(22y x y x 6. 将下述多项式分解后，有相同因式 x －1的多项式有( ) ①672x x ；②1232x x ；③652x x ；④9542x x ；⑤823152x x ；⑥12 1124x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个7.10 32x x .8.6 52m m (m ＋a)(m ＋b).a ＝_____，b ＝__________. 9.3522x x (x －3)(). 10.2x ____22y (x －y)(__________). 11.1522x x =______________. 12. 当k ＝______时，多项式k x x 732有一个因式为__________. 13. 若x －y ＝6，3617 xy ，则代数式3 2232xy y x y x 的值为__________. 14. 把下列各式分解因式：
用十字相乘法因式分解导学案
因式分解——十字相乘法导学案 【学习目标】 （1）了解“二次三项式”的特征； （2）理解“十字相乘”法的理论根据； （3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。 【学习过程】 一 、温故知新 （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二、探求解决：（2）把x 2+3x+2分解因式 分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项 (+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数 ---------- 十字交叉线 2x + x = 3x 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2) （3）按（2）中的方法把652 ++x x 分解因式 。 三、例题分析： 例1 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x 顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。 练习1： x 2-8x+15= ； 练习2： x 2+4x+3= ； x 2-2x-3= 。 小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 例２ 试将 -x 2-6x+16 分解因式 提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。 x x 12? x ??7? x 1 -
例3 用十字相乘法分解因式： （1）2x 2-2x-12 （2） 12x 2-29x+15 提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。 四、巩固训练 1．把下列各式分解因式： （1）1522--x x = ； (2) =-+1032x x 。 2．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3．=--3522x x (x －3) (__________)。 4 ．分解因式： （1）22157x x ++； (2) 2384a a -+； (3) 2576x x +- (4) 261110y y -- ５．把下列各式因式分解： (1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2 (3)x 4-8x 2+16 （4）2ax 2+6ax+4a 6.先阅读学习，再求解问题： 材料：解方程：=-+1032x x 0。 解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0 ∴x+5=0或 x-2=0 由x+5=0得x=-5 由x-2=0得x=2 ∴x=-5或 x=2为原方程的解。 问题：解方程：x 2-2x=3。
十字相乘法因式分解-教学设计
教学设计方案 学校：闵行四中年级：七年级班级：六班 人 数： 30 日期：2015-11-26 学科：数学课题：十字相乘法因式分解课 时： 1 教师：萨如拉 教学目标确定的依据： 内容分析：因式分解在学生进一步学习一元二次方程、分式方程、无理方程中起着至关重要的作用，特别是在学生即将要进行的分式学习中更是举足轻重，如分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。可以说学生掌握因式分解的程度直接影响着学生对代数的进一步学习。因此前几节课中我们通过提取公式法、公式法分解因式的学习帮助学生了解了如何利用这些方法去将二次三项式降次并分解因式。但主要涉及的二次三项式都有着可以直接提取公因式或可以利用乘法公式逆应用来完成因式分解的特殊的一面。但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的 的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？对于学生来讲这将是一个难点。为了帮助学生克服这个难点，我们将研究思路从利用特殊的一次二项式乘一次二项式的公式——平方差公式和完全平方公式，回归到整式乘法一般法则的逆向思维中。为此我们将本节课的教学过程分为三个环节展开。第一环节是“初步感知与规律探究”。这一环节主要目的是帮助学生将研究思路从运用特殊的乘法公式转换到一般法则的理解和运用上，初步感知十字相乘法因式分解的意义。第二环节是“形成十字相乘法的概念”。这一环节的目的是帮助学生在“二拆一凑”中探究出十字相乘因式分解法。第三环节是“巩固练习与拓展延伸”。这一环节的目的是帮助学生通过相应的练习巩固理解十字相乘分解因式法，帮助学生梳理包括完全平方公式法在内的分解二次三项式 的基本路径，帮助学生形成解决 因式分解问题的基本思路。 学生分析：学生通过对因式分解概念的学习和提取公因式、公式法因式分解，已经
十字相乘法 导学案
十字相乘法分解因式 【学习目标】 1、能熟练地把形如的二次三项式因式分解。 2、通过课堂交流，培养合作学习能力，提高自己的表达能力。 3、通过对规律的探索，提升自己从特殊到一般，从具体到抽象的思维品质。【学习重点和难点】 重点：熟练地把形如的二次三项式因式分解 难点：在分解形如的二次三项式时能准确找到各个因式。 【课前导学】 1、计算： (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3) 2、问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢 (x + a)(x + b) = 反之可得：= 3、由此你能发现把形如x2+px+q二次三项式分解因式的方法吗 提示：⑴可从一次项系数和常数项找规律； ⑵可用具体的例子来说明。 【课堂研讨与展示】 一、交流展示 例1、分解因式: ⑴⑵x2-5x+6 ⑵⑷x2+2x-3
二、梳理归纳 1、独立思考下列问题（比一比，谁的语言简练准确，有更多发现，师点拨：由特殊到一般） （1）要将二次三项式因式分解，需要找到两个数a 和b ，使它们的 等于 ，并且验证它们的 等于 ，如果满足这两个条件就可以利用十字相乘法进行因式分解。 （2）所有形如 的二次三项式在有理数范围内都能分解因式吗请举例说明。 （3）因式分解的符号规律你能发现吗 当q>0，p>0时 当q>0，p<0 当q<0，p>0时 当q<0，p<0 三、综合延伸： 1、类比上述方法，把下列各式分解因式 （1）2 (xy)5xy+6 - （2）4220x x -- （3）()()2223320x x x x +++- 2、先填空,再分解[尽可能多的]（发散拓展）： 四、检测与反馈 （1）276x x -+ （2）2215x x +- （3）22421x xy y -- （4）4220x x -+ （5）222(2)11(2)24x x x x +-++ （6）3412a a a --+ 五、拓展 我们已经学会了二次项系数为1的一类二次三项式的分解因式，那么如果二次项系数不是1还能使用我们本节课学习的方法吗让我们深入思考一下~！ （1）2224x x --+ （2）232118x x -+ （3）243x x -- （4）226y y +-
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：
◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算：
（1） （2） （3） （4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一： 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条的整数的个数为（ ） 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式： ①、
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ； （2）2 265y xy x +-． 例2 把下列各式分解因式： （1）3522 --x x ；（2）3832 -+x x ．
例3 把下列各式分解因式： （1）9102 4 +-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ． 点悟：（1）把2 x 看作一整体，从而转化为关于2 x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35；
十字相乘法分解因式经典例题和练习
用十字相乘法分解因式 十字相乘法： 一．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 变式 1、22215a b ab -- 2、422318a b a b -- 例2把下列各式因式分解： ⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++ 变式 1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +- 例3把下列各式因式分解 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+ 变式 ⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----
二．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例4把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 练习： 1、.因式分解：1、6732-+x x 2、 3832-+x x 例5把下列各式因式分解： （1）422416654y y x x +-； （2） 633687b b a a --； 练习：234456a a a --； 422469374b a b a a +-． 例6把下列各式因式分解 2222-+--+y y x xy x 练习： 233222++-+-y y x xy x 变式：分解因式：22 2456x xy y x y +--+- 变式：. 若x y mx y 2256-++-能分解为两个一次因式的积，求m 的值
“十字相乘法”教学设计
十字相乘法教学设计 班级姓名组别代码评价 【使用说明与学法指导】 1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2.重点预习：十字相乘法教学设计 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质；【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 【探究案】 合作探究（一）：探索十字相乘法的原理 1.展开下列多项式，观察展开后的式子中一次项系数和常数项与展开前因式中的常数有何关系？ (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x －1) = = = = （５） (x + a)(x + b) = 2.看谁算得又快又准确？
(1) (x+2)(x+3) (2) (x+2)(x －3) (3) (x －2)(x+3) (4) (x －2)(x －3) = = = = 3．能否把62－－x x 和ab x b a x +++)2（分解成两个一次二项式相乘的形式？试一 试,。 引例：因式分解: x 2 + 4x + 3 将二次三项式x 2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x 2分解为x ·x ，常数项3 分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 试一试： 因式分解: x 2 － 2x －3 推广：ab x b a x +++ )2（= 归纳：十字相乘法定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 合作探究（二） 用十字相乘法分解下列因式 例1：将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= .
因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，
《整式的乘法与因式分解复习》导学案
第14章整式的乘法与因式分解复习导学案 【学习目标】 1、复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系. 2、通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用. 【重点难点】 重点：整式的乘除运算与因式分解 难点：灵活进行整式的乘除运算和多项式的因式分解. 一、知识梳理 1. 有关法则 ⑴幂的四个运算性质： (2)单项式乘以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相乘后，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式． ⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. ⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. ⑸单项式除以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． ⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 2. 有关公式： ⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：(a+b)(a－b)= a2- b2. ⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的再加上（或减去）这两数的平方，即： (a±b)2=a2±2 a b+ b2.
3. 有关概念 ⑴因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. ⑵提公因式法：把多项式各项的公因式提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即am bm cm ++=m (a ＋b ＋c ).提公因式法的实质是逆用乘法分配律. ⑶公式法：把乘法公式()()a b a b +-= a 2- b 2、2 ()a b ±= a 2±2 a b + b 2逆用，就得到分解因式的公式22a b -=(a +b )(a －b )，222a ab b ±+=(a ±b )2，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法. （4）十字相乘法：pq x q p x +++)(2 =(x +p )(x +q )。 注意：因式分解一般思路： 先看有无公因式，再看能否套公式：套用公式看项数，二项式，平方差，三项式，无定法，完全平方先比划前平方，后平方，还有两倍在中央，完全平方行不通再考虑pq 式 二、专题复习： 专题一 幂的运算性质 【例1】计算(1) (2a )3(b 3)2÷4a 3b 4 (2) (-2)2018 ×(0.5)2017 【配套训练】 1.下列计算不正确的是（ ） A. 2a 3 ÷a =2a 2 B. (-a 3)2=a 6 C. a 4 ·a 3=a 7 D. a 2 ·a 4=a 8 2.计算： 8100 ×0.5301； 专题二 整式的运算 【例2】先化简再求值：[(x -y )2+(x +y )(x -y )] ÷2x ,其中x =3, y =2 【配套训练】 (1)一个长方形的面积是a 2-2ab +a ,宽为a ,则长方形的长为 ； （2）(－3a －2b )(－3a +2b ) = （3）(－3a －2b )(3a +2b ) = （4）(－3a +2b )(3a +2b ) = 专题三 分解因式 【例3】判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a 2-4+3a =(a +2)(a -2)+3a ; (2)(a +2)(a -2)=a 2-4;
八年级数学下册《1.3.3 十字相乘法因式分解》导学案湘教版
八年级数学下册《1.3.3 十字相乘法因式分 解》导学案湘教版 1、3、3字相乘法因式分解学习目标：（1）了解“二次三项式”的特征；（2）理解“字相乘”法的理论根据；（3）会用“字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。 【重点难点】 重点：用“字相乘”法分解某些二次项系数为1的二次三项式。难点：二次项系数不是1的二次三项式的分解问题。 【学习过程】 一、温故知新１、因式分解与整式乘法的关系： ；２、已有的因式分解方法： ；３、把下列各式因式分解： (1) 3ax2+6ax+3a (2) (y2+x2)2-4x2y2 (3)x4-8x2+16 二、探索新知１、提出问题： 你能分解2ax2+6ax+4a吗？
２、探求解决：（1）请直接填写下列结果（x+2）（x+1） = ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1） = 。（2）把x2+3x+2分解因式分析∵ (+1) (+2) ＝＋2-------- 常数项 (+1) ＋ (+2) ＝+3-------- 一次项系数-------- 字交叉线2x + x =3x 解：x2+3x+2 = (x+1) (x+2)３、归纳概括：字相乘法定义： 。４、应用训练：例1 x2 +6x –7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项②交叉相乘，和相加③检验确定，横写因式-x +7x =6x顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。练习1： x2-8x+15= ；练习2： x2+4x+3= ； x2-2x-3= 。小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”例２试将6x+16 分解因式提示：当二次项系数为-1时，先提取-1，再进行分解。例3 用字相乘法分解因式：（1）2x2-2x-12 （2）12x2-29x+15提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。 三、课堂小结１、字相乘法：
新人教版 8年级上 数学--十字相乘法分解因式导学案--教案
十字相乘法进行因式分解 【学习目标】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 学习重点：理解十字相乘法的根据。 学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。 学习过程： 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般
规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型例题】
(完整版)十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 1、=++232 x x 2、=+-672 x x 3、=--2142 x x 4、=-+1522 x x 5 、 =++8624x x 6、=++-+3)(4)(2 b a b a 7、=+-22 23y xy x 9、=++342 x x 10、 =++1072a a 11、 =+-1272y y 12 =+-862q q 13、=-+202 x x 14 =-+1872m m 15、=--3652p p 16、=--822 t t 17、=--2024 x x 18、=-+8722 ax x a 19、=+-22 149b ab a 20、=++22 1811y xy x 21、=--2222 65x y x y x 22、=+--a a a 12423 23、=++101132 x x 24、=+-3722 x x 25、=--5762x x 26、=-+22 865y xy x 27、=++71522 x x 28、=+-4832 a a 29、=-+6752x x 30、=-+1023522 ab b a 31、=+-2222 10173y x abxy b a 32、=--22224 954y y x y x 33、=-+15442 n n 34、=-+3562 l l 35、=+-22 22110y xy x 36、=+-22 15228n mn m 一元二次方程的解法 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322=- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、 ()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x
十字相乘法解一元二次方程学案
补充：十字相乘法解一元二次方程（林） 第一部分：用十字相乘法因式分解 一、复习导入 1、计算 （1）(x+2)(x+1)=_____________________________________ （2）(x+2)(x-1)=_____________________________________ （3）(x-2)(x+1)= _____________________________________ （4）(x-2)(x-1)= _____________________________________ （5）（x+a ）(x+b)= _____________________________________ 2、观察以上结果回答： （1）x 2+3x +2=_____________________________________ (2)x 2+x -2=_____________________________________ (3)x 2-x -2=_____________________________________ (4)x 2-3x +2=_____________________________________ (5)2()=x a b x ab +++ _____________________________________ 也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数项q 可以分解成__________________________，并且一次项 系数p ___________________________时,我们就可以用上面的方法分解因式。 二、典例分析 例1：分解因式 （1）267x x +- （2）232x x ++ 利用十字交叉线来分解系数，把___________分解因式的方法叫做十字相乘法。“十字相乘法”是乘法公式(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 的反向运算，它适用于分解__________。 十字相乘法因式分解解题步骤 ① _____________________________________ 口诀： ② _____________________________________ ③ _____________________________________
十字相乘法分解因式
十字相乘法分解因式 同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？ 观察=，可知=。 这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。 下面举例具体说明怎样进行分解因式。 例1、因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8） 例2、因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） 例3、因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8） 例6、因式分解。 分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。 因为 -2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a 解：原式=[-2][ -12] =(a+1)(a-2)(a+3)(a-4) 从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了 因式分解的一点补充——十字相乘法 宜昌九中尤启平 教学目标 1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解； 2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。 难点：灵活运用十字相乘法因分解式。 教学过程设计 一、导入新课 前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).
14.3十字相乘法导学案
＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案备课时间 201（ 3 ）年（ 9 ）月（ 18 ）日 星期（ 三 ）学习时间201（ ）年（ ）月（ ）日 星期（ ） 学习目标 1.理解二次三项式的意义； 2.理解十字相乘法的根据； 3.能用十字相乘法分解二次三项式； 4.，难点是． 学习重点 掌握十字相乘法学习难点 首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法学具使用多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等 学习内容 学习活动 设计意图一、创设情境独立思考（课前20分钟） 1、阅读课本P 121～ 页，思考下列问题： （1）))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++你能理解吗？ （2）课本P121页最下面4道题你能独立解答吗？ 2、独立思考后我还有以下疑惑：二、答疑解惑我最棒（约8分钟） 甲： 乙： 丙： 丁：同伴互助答疑解惑 ＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案 学习活动设计意图
三、合作学习探索新知（约15分钟） 1、小组合作分析问题 2、小组合作答疑解惑 3、师生合作解决问题 【1】二次三项式 ◆多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项． 例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．◆在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． ◆在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式． ◆多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 【2】十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一 ＄14.3因式分解（十字相乘法）导学案 学习活动 设计意图 项系数p ，那么它就可以运用公式) )(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．
因式分解之十字相乘法专项练习题
因式分解之十字相乘法专项练习题 (1) a 2－7a+6； (2)8x 2+6x －35； (3)18x 2－21x+5； (4) 20－9y －20y 2； (5)2x 2+3x+1； (6)2y 2+y －6； (7)6x 2－13x+6； (8)3a 2－7a －6； (9)6x 2－11x+3； (10)4m 2+8m+3； (11)10x 2－21x+2； (12)8m 2－22m+15； (13)4n 2+4n －15； (14)6a 2+a －35； (15)5x 2－8x －13； (16)4x 2+15x+9； (17)15x 2+x －2； (18)6y 2+19y+10； (19) 2(a+b) 2+(a+b)(a －b)－6(a －b) 2； (20)7(x －1) 2+4(x －1)－20； 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x
4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x
十字相乘法因式分解练习题
十字相乘法因式分解练习题 一、选择题 1 ． 如 果 ) )((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2 ． 如 果 30 5)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4 ． 不 能 用 十 字 相 乘 法 分 解 的 是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x ___ ______． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__ ________，b ＝____ __ ____． 9．=--3522x x (x －3)(___ _______)． 10．+2x _ ___=-22y (x －y )(_____ _____)． 11．22____)(____(_____)+=++ a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(________ __)． 13．若x －y ＝6，36 17 =xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为_______ ___． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： 2522++x x 3832-+x x 20322--x x 6732-+x x 25562--x x 2352--x x 6724+-x x ； 36524--x x ；
2021年苏科版七年级数学下册第九章《因式分解之十字相乘法》导学案.doc
新苏科版七年级数学下册第九章《因式分解之十字相乘法》导学案 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 知识结构 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2 2 86y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22 +-ab ab ，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2 ++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般 规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式
))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2 ))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征 是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(8652 2 -+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．