概率论第一章
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7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第34页
1.2.4 确定概率的古典方法
古典概型 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有 限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是 相等的，即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型。 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
第16页
1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性. 2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果. 3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合. 4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法， 则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
第21页
事件运算的图示
AB
AB
AB
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第22页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第23页
7 August 2013
R. Merton, (1944-)
第一章 随机事件与概率
第13页
第一章 随机事件与概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 随机事件及其运算 概率的定义及其确定方法 概率的性质 条件概率 独立性
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第14页
§1.1 随机事件及其运算
第一章 随机事件与概率
第1页
概率论
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第2页
参考书目（侧重于理论）
概率论基础（第二版），李贤平，高等教
育出版社，1997
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第3页
参考书目（侧重于计算）
概率论与数理统计，李贤平、沈崇圣，复
旦大学出版社，2003 概率论与数理统计（第三版），盛骤、谢 式千、潘承毅，高等教育出版社，2001 概率论与数理统计（第二版），王松桂， 科学出版社，2006
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第33页
1.2.3 确定概率的频率方法
随机试验可大量重复进行. 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， n( A) 称 f n ( A) 为事件A的频率. n 频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). 用频率的稳定值作为该事件的概率.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第4页
参考书目（通俗读物）
机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，
2000
黑天鹅：如何应对不可知的未来，塔勒布
（美），中信出版社，2008
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第5页
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的概 率都一样，都是1/2， 谁先能够连赢累计 达到6盘，就获得这笔赌金。 但是一个特 别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候 甲赢了5局， 乙赢了2局， 问这笔赌金应 该如何分配？
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第6页
金融的定义
在《新帕尔格雷夫货币金融大辞典》中由 美国著名经济学家和金融学家斯蒂芬· 罗 A· 斯所撰写的金融（finance）辞条对于金融 的定义是“以其不同的中心点和方法论而 成为经济学的一个分支，其中心点是资本 市场的运营、资本资产的供给和定价，其 方法论是使用相近的替代物给金融契约和 工具定价”，在该辞条中罗斯还对有效市 场、收益风险平衡、无套利原则和公司金 融这四个核心问题进行了讨论。
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第20页
1.1.6 事件的运算
• • • • 并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第30页
组 合
r n n! Pn r • 组合： Cn r r !(n r )! r !
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第31页
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第32页
加法原理
H. Markowitz (1927-) 《证券组合选择理论》
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第11页
资本资产定价模型（CAPM）
W. Sharpe (1934-)
7 August 2013
第一章 随机事件与概率 期权定价理论（OPT）
1973年，布莱克、
第12页
斯克尔斯和默顿用 数学方法给出了期 F. Black (1938-1995) 权定价公式，推动 了期权交易的发展， 期权交易很快成为 世界金融市场的主 M. Scholes, (1941-) 要内容，成为第二 次“华尔街革命”。
第18页
事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第19页
1.1.5 事件间的关系
包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第9页
有效市场假说（EMH）
法玛
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第10页
现代投资组合理论（MPT）： 第一次“华尔街革命”
上个世纪50年代初期，马科威茨
提出证券投资组合理论，第一次 明确地用数学工具给出了在一定 风险水平下按不同比例投资多种 证券收益可能最大的投资方法。
n
F .
第一章 随机事件与概率
第27页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. • 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. • 古典定义；几何定义.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第28页
1.2.1 概率的公理化定义
A
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第24页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有
1. Ai互不相容；
2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第25页
试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第36页
常见模型(1) —— 不返回抽样
N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. (口袋中有M 个白球， NM 个黑球)
从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格 品的概率为： M N M m n m n N, m M, nmNM. N n 此模型又称 超几何模型.
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • • • • • 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr n! r 选排列： Pn n(n 1)......(n r 1)
(n r )!
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第7页
概率论与金融理论
预期效用理论（EUT）
冯· 诺伊曼
摩根斯坦恩
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第8页
随机游走理论（RW）
1990年，诺贝尔经济学奖获得者默顿 (Miller Merton)在德国金融协会成立5周年 时，发表了题为《金融的历史》的演讲。 他对该理论进行了如下的评价：该理论尽 管没有获得诺贝尔经济学奖，但它的价值 足以引起诺贝尔委员会的重视。
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. • 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
• 随机现象的统计规律性：在大量重复试验中，
随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，
这种规律性称之为 统计规律性.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
集合论
空间 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第17页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必Βιβλιοθήκη Baidu事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第35页
1.2.5 确定概率的几何方法
几何概型
若 ① 可度量性。样本空间充满某个区域，
其度量(长度、面 积、体积)为S； ② 等可能性。落在中的任一子区域A的概 率，只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的 位臵无关
则事件A的概率为: P(A)= SA /S
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第37页
思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第38页
常见模型(2) —— 返回抽样
N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则 P A P( A ) i i i 1 i 1
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第29页
1.2.2 排列与组合公式
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第15页
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第26页
1.1.7 事件域
设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域 1. ΩF ; 2. 若 AF ，则 A F ;
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
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A
n 1
第一章 随机事件与概率
第34页
1.2.4 确定概率的古典方法
古典概型 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有 限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是 相等的，即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型。 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
第16页
1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性. 2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果. 3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合. 4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法， 则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
第21页
事件运算的图示
AB
AB
AB
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第一章 随机事件与概率
第22页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
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第一章 随机事件与概率
第23页
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R. Merton, (1944-)
第一章 随机事件与概率
第13页
第一章 随机事件与概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 随机事件及其运算 概率的定义及其确定方法 概率的性质 条件概率 独立性
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第一章 随机事件与概率
第14页
§1.1 随机事件及其运算
第一章 随机事件与概率
第1页
概率论
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第2页
参考书目（侧重于理论）
概率论基础（第二版），李贤平，高等教
育出版社，1997
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第3页
参考书目（侧重于计算）
概率论与数理统计，李贤平、沈崇圣，复
旦大学出版社，2003 概率论与数理统计（第三版），盛骤、谢 式千、潘承毅，高等教育出版社，2001 概率论与数理统计（第二版），王松桂， 科学出版社，2006
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第一章 随机事件与概率
第33页
1.2.3 确定概率的频率方法
随机试验可大量重复进行. 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数， n( A) 称 f n ( A) 为事件A的频率. n 频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). 用频率的稳定值作为该事件的概率.
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第一章 随机事件与概率
第4页
参考书目（通俗读物）
机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，
2000
黑天鹅：如何应对不可知的未来，塔勒布
（美），中信出版社，2008
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第5页
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的概 率都一样，都是1/2， 谁先能够连赢累计 达到6盘，就获得这笔赌金。 但是一个特 别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候 甲赢了5局， 乙赢了2局， 问这笔赌金应 该如何分配？
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第6页
金融的定义
在《新帕尔格雷夫货币金融大辞典》中由 美国著名经济学家和金融学家斯蒂芬· 罗 A· 斯所撰写的金融（finance）辞条对于金融 的定义是“以其不同的中心点和方法论而 成为经济学的一个分支，其中心点是资本 市场的运营、资本资产的供给和定价，其 方法论是使用相近的替代物给金融契约和 工具定价”，在该辞条中罗斯还对有效市 场、收益风险平衡、无套利原则和公司金 融这四个核心问题进行了讨论。
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第一章 随机事件与概率
第20页
1.1.6 事件的运算
• • • • 并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
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第一章 随机事件与概率
第30页
组 合
r n n! Pn r • 组合： Cn r r !(n r )! r !
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第一章 随机事件与概率
第31页
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
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第一章 随机事件与概率
第32页
加法原理
H. Markowitz (1927-) 《证券组合选择理论》
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第11页
资本资产定价模型（CAPM）
W. Sharpe (1934-)
7 August 2013
第一章 随机事件与概率 期权定价理论（OPT）
1973年，布莱克、
第12页
斯克尔斯和默顿用 数学方法给出了期 F. Black (1938-1995) 权定价公式，推动 了期权交易的发展， 期权交易很快成为 世界金融市场的主 M. Scholes, (1941-) 要内容，成为第二 次“华尔街革命”。
第18页
事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
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第一章 随机事件与概率
第19页
1.1.5 事件间的关系
包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.
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第一章 随机事件与概率
第9页
有效市场假说（EMH）
法玛
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第10页
现代投资组合理论（MPT）： 第一次“华尔街革命”
上个世纪50年代初期，马科威茨
提出证券投资组合理论，第一次 明确地用数学工具给出了在一定 风险水平下按不同比例投资多种 证券收益可能最大的投资方法。
n
F .
第一章 随机事件与概率
第27页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. • 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. • 古典定义；几何定义.
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第一章 随机事件与概率
第28页
1.2.1 概率的公理化定义
A
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第一章 随机事件与概率
第24页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有
1. Ai互不相容；
2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
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第一章 随机事件与概率
第25页
试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
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第一章 随机事件与概率
第36页
常见模型(1) —— 不返回抽样
N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. (口袋中有M 个白球， NM 个黑球)
从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格 品的概率为： M N M m n m n N, m M, nmNM. N n 此模型又称 超几何模型.
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • • • • • 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr n! r 选排列： Pn n(n 1)......(n r 1)
(n r )!
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第一章 随机事件与概率
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第一章 随机事件与概率
第7页
概率论与金融理论
预期效用理论（EUT）
冯· 诺伊曼
摩根斯坦恩
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第8页
随机游走理论（RW）
1990年，诺贝尔经济学奖获得者默顿 (Miller Merton)在德国金融协会成立5周年 时，发表了题为《金融的历史》的演讲。 他对该理论进行了如下的评价：该理论尽 管没有获得诺贝尔经济学奖，但它的价值 足以引起诺贝尔委员会的重视。
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. • 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
• 随机现象的统计规律性：在大量重复试验中，
随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，
这种规律性称之为 统计规律性.
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第一章 随机事件与概率
记号
Ω φ AB AB=φ AB AB AB
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一发生 A与B同时发生 A发生且B不发生 A不发生、对立事件
集合论
空间 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集
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第17页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必Βιβλιοθήκη Baidu事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
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第35页
1.2.5 确定概率的几何方法
几何概型
若 ① 可度量性。样本空间充满某个区域，
其度量(长度、面 积、体积)为S； ② 等可能性。落在中的任一子区域A的概 率，只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的 位臵无关
则事件A的概率为: P(A)= SA /S
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第37页
思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第38页
常见模型(2) —— 返回抽样
N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则 P A P( A ) i i i 1 i 1
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第一章 随机事件与概率
第29页
1.2.2 排列与组合公式
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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第一章 随机事件与概率
第26页
1.1.7 事件域
设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域 1. ΩF ; 2. 若 AF ，则 A F ;
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则
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A
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