建筑力学,第九章压杆稳定,武汉理工概述
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《建筑力学》第九章压杆稳定
cr 为临界应力的许用值，其值为：
（9－13）
cr
cr
K
（9－14）
式中 K 称为稳定安全系数。稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在
确定稳定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并 非理想的轴向压杆这一情况。比如，在制造过程中杆件不可避免地存在微小的弯曲(即存在 初曲率)；外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合(即存在初偏心)；还必需 考虑杆件的细长程度等等，这些都应在稳定安全系数中加以考虑。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
压杆的临界应力。
5、临界应力总图 综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，计算各自临界应力的方法也不相
同。当 ≥ p 时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式来计算；当 s < < p 时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用直线经验公式来计算； s 时，压杆为短
4 1 0.566 103 20
113
4
AC
lAC i
4 1 0.8 103 20
160
(3)由表 9－3 查得折减系数为：
AC 0.272
AB
0.536
(0.536
清华大学 材料力学第9章-压杆稳定
FPcr
π 2 EI
l 2
TSINGHUA UNIVERSITY
cr
FPcr A
p
其中σcr称为临界应力(critical stress)； σp为 材料的比例极限。
TSINGHUA UNIVERSITY
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
对于某一压杆，当分叉载荷FP尚未算出时，不能判 断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当临界 载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹性范 围，则还需采用超过比例极限的临界载荷计算公式。 这些都会给计算带来不便。
压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上 的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入 塑性状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。
粗短杆——长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈
曲，但将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
用长细比表示的细长杆临界应力公式
π 2 EI
cr
FPcr A
l 2 π 2 E
A
2
长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面
形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝ l
i
i I A
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条 件以及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
FP FP>FPcr :在扰动作用下， FPP 直线平衡构形转变为弯曲平
衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
刚性曲面
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
平衡路径及其分叉
TSINGHUA UNIVERSITY
第9章 压杆的稳定问题
《工程力学》压杆稳定
）
这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。
cr s
2
cr s
压杆的临界应力总图
σ cr cr s
cr a b
粗短杆
中粗杆
cr
2E 2
小柔度 中柔度
细长杆
强度失效 弹塑性稳 定问题
大柔度 弹性失稳
λ2
λ1
三类不同的压杆
细长杆— 发生弹性屈曲; 中长杆— 发生弹塑性屈曲; 粗短杆— 不发生屈曲，而发生 屈服;
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到 微小干扰，它将偏离其平衡 位置，而不再恢复原位；
临界平衡
物体处于平衡状态，受到干扰后 离开原来的平衡位置;
干扰撤掉后:
既不回到原来的平衡位置，也 不进一步离开；
而是停留在一个新的位置上平衡；
把物体在原来位置上和现在位置上所处的平衡状态 称为临界平衡
实际上不属稳定平衡。
l i
Fcr cr A
例1 ： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
P
P
P
a 1.3 a
1.6a
(1)
(2)
(3)
相当长度 (l)1 2a (l)2 1.3a
第9章 压杆稳定 课件
第9 章 压杆稳定
物体平衡的稳定性
随遇平衡 不稳定平衡
稳定平衡
第9 章 压杆稳定
压杆稳定性的几个概念
? 稳定失效：指构件在某种外力 （例如轴向压力）作用下，其 平衡形式发生突然转变。
? 稳定平衡状态 ：当承受的载荷 小于 某一确定值 Fcr 时，压杆保持直线 平衡状态。此时给杆加一 横向干扰 力，杆便发生微小弯曲，干扰力去 掉后，杆件将在平衡位置附近摆动， 最终恢复到原来的直线平衡位置。 这说明压杆原来的平衡状态是稳定 的。
对于细长杆件 ，受压 开始时轴线为直线，接着 被压弯，发生大的弯曲变 形，最后折断。
例：如图所示发动机 配气机构中的 挺杆，在推 动摇臂打开气阀时，受到 压力作用。
摇臂
气阀
挺杆
第9 章 压杆稳定
内燃机的 连杆
撑杆跳运动员用的 杆
第9 章 压杆稳定
勃兰登堡门 （BRANDENBURGER TOR ）： 它建于 1788年~1791年，一直是德国统一的象征。
第9 章 压杆稳定
失稳曲线
w ? A sin n? x
l
n=1
n=2
n=3
l
第9 章 压杆稳定
附：求二阶常系数齐次微分方程 y ??? p y ?? 的q 通? 解0
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ① 两个不相等的实 根r1，r2 通解
y ? C1e r1x ? C2e r2x ② 两个相等的实根 r1＝r2 通解
EI
d2y dx2
?
k
2y
?
0
第9 章 压杆稳定
x
Pcr
通解为：
d2y dx2
?
k
2y
第九章压杆稳定
A
y O
W
xy
1 6 4 = = = 80 i 0.3
L
zy面内，=2.0
x
z
2 6 4 zy = = = 160 i 0.3
L
②求折减系数
木杆 : = 80时, = 0.47 木杆 : = 160时, = 0.117
③求许用压力
cr =
1.临界应力和柔度 临界应力可用临界力Pcr 除以横截面面积A 来求得。
Pcr 2 EI 2 Ei 2 2 E cr = = = = 2 2 2 A ( l ) A ( l )
令
i=
I A
=
l
i
2Ε cr = 2
截面的惯性半径
柔度(长细比)
2.欧拉公式的适用范围
Pcr =
2 EI y
l 2
3.142 10 109 8 10-5 = = 161kN 1 7 2
2 E 3.142 10 109 cr = 2 = = 6.73MPa 1212
（2）计算最小刚度平面内的临界力及临界应力。
如图（b）,截面的惯性矩为
P P M0 x L
P
EIy=- M ( x)=- Py+M P 2 2 2 M 令:k = y + k y = k EI P x M y = c cos kx + d sin kx + M(x) P
边界条件为:
y = - ck sin kx + dk cos kx M M M M = cos kx + y k sin kx c=,d = 0 , y = P P P P kL=2n kL = 2n 并 kL = n
第九章_压杆稳定
第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。
9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。
材料力学第9章压杆稳定
F
cr
A
δ
v
B
F cr
y
F M(x) y cr
m
m
yB
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
F M(x) y cr
杆的挠曲线近似微分方程为
F cr
y
F M( x) y cr
m
m
F EIy" M( x) y y B cr
EIy" M x Fcr y
③ 当2（小柔度压杆）时，用轴向压缩公式计算
强度
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可
取 E=206GPa，p=200MPa，得
1 的大小取决于压杆的力 学性能。例如，对于Q235 钢，可取 E=206GPa， P=200MPa，得
2E
cr
2
1
E 31.4
p
右图称为欧拉临界应力曲 线。实线部分是欧拉公式 适用范围的曲线，虚线部 分无意义。
Fcr F
315 120
2.63
nw
压杆是稳定的
（3）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等
Pcr A cr
cr
2E 2
h=60
1 l
xy
Iz
A
0.5
l
1
xz
Iy
A
2
I l z 4 2
I l y
1
l1 l
I z 4I y
y
z
x
例9-5-3 两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环， P=180KN，l =2500mm，r=60mm，稳定安全系数 nw=2.5，计算钢管壁厚t 。
n
cr
A
δ
v
B
F cr
y
F M(x) y cr
m
m
yB
压杆任一 x 截面沿 y 方向的 位移为 y = f (x) 该截面的弯矩为
F M(x) y cr
杆的挠曲线近似微分方程为
F cr
y
F M( x) y cr
m
m
F EIy" M( x) y y B cr
EIy" M x Fcr y
③ 当2（小柔度压杆）时，用轴向压缩公式计算
强度
1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可
取 E=206GPa，p=200MPa，得
1 的大小取决于压杆的力 学性能。例如，对于Q235 钢，可取 E=206GPa， P=200MPa，得
2E
cr
2
1
E 31.4
p
右图称为欧拉临界应力曲 线。实线部分是欧拉公式 适用范围的曲线，虚线部 分无意义。
Fcr F
315 120
2.63
nw
压杆是稳定的
（3）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等
Pcr A cr
cr
2E 2
h=60
1 l
xy
Iz
A
0.5
l
1
xz
Iy
A
2
I l z 4 2
I l y
1
l1 l
I z 4I y
y
z
x
例9-5-3 两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环， P=180KN，l =2500mm，r=60mm，稳定安全系数 nw=2.5，计算钢管壁厚t 。
n
建筑力学9压杆稳定
— —截面对其弯曲中心的惯性半径 — —称为压杆的柔度或细长比
l
i 则式（9 8)可改写为
2E cr 2
(9 9)
14
式（9 - 9）称为计算细长压杆临界应力的欧拉公式
9.2.3 欧拉公式应用中的几个问题 （1）若杆端约束情况在各个方向均相同时，压 杆只可能再最小刚度（Imin)平面内失稳。 若杆端约束情况在各个方向不相同时，其 长度系数μ 在不同方向取值不同，则应取较 大的μ 值计算压杆的临界力。 （2）实际工程中压杆的 杆端约束是多样的 （如弹性支承），要根据实际情况定μ 。 （3)实际工程中，不可能有理想的中心受压、 均质、绝对直的杆，因此实际的临界应力比 公式（9-9）的理想值要小。
建筑力学
第九章 压杆稳定
教师：邹定祺
1
内容：压杆的稳定概念 压杆的稳定性的计算 重点：稳定性的概念 欧拉公式
2
9.1 压杆稳定性的概念 稳定性—构件保持其原有平衡状态的能力 9.1.1 稳定平衡与不稳定平衡
.干扰力 . . . . . 不稳定平衡 . . . 干扰力 干扰力
稳定平衡
随遇平衡
3
9.1.2 压杆稳定性概念
7
2008年1月我国南方遭受特大冰雪灾害。图为 高压电线塔被压垮。
8
2008年1月我国南方遭受特大冰雪灾害。图为 高压电线塔被压垮。电力工人正在抢修。
9
*临界力Fcr是判别压杆是否会失稳的重要指标。在材 料、尺寸、约束均已确定的前提下，压杆的临界力Fcr 是一个确定的值。不同的压杆，其临界力也不同。因 此，计算压杆临界力Fcr是压杆稳定性分析的重要内容。
20
2、减小相当长度或在压杆中间增加支座减小压 杆计算长度 3、增强杆端约束，即其长度系数μ 减小，增大 临界力，提高稳定性。 4、合理选择材料。因临界力与材料的弹性模量 E成正比，选用E大的材料，可以提高压杆的 稳定性。
第九章压杆稳定52000资料
6
§9. 2 两端铰支细长压杆的临界压力
两端铰支杆受压
力P作用
考察微弯平衡状态
x处截面的弯矩
M Pw
挠曲线近似微分
方程
d2 w d x2
M EI
I 为截面最小的惯性矩
d2 w d x2
Pw EI
w P w 0
EI
7
d2 w d x2
Pw EI
w P w 0 EI
x
x l 时， w 0, w 0 ; y
又 w Ak coskx Bk sin kx
mP
将边界条件代入通解
Bm 0
P
代入 w
Ak 0
18
通解为 w Asin kx B cos kx m P
又 w Ak coskx Bk sin kx
边界条件为:
非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）
12
2 一端固支一端滑动固支
（简称为两端固支）
拐点处弯矩为零。
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
材料力学
第九章 压杆稳定
2019年8月9日 1
第九章 压杆稳定
本章内容:
1 压杆稳定的概念
2 两端铰支细长压杆的临界压力
3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
4 欧拉公式的适用范围 经验公式
5 压杆的稳定校核
6 提高压杆稳定性的措施
§9. 2 两端铰支细长压杆的临界压力
两端铰支杆受压
力P作用
考察微弯平衡状态
x处截面的弯矩
M Pw
挠曲线近似微分
方程
d2 w d x2
M EI
I 为截面最小的惯性矩
d2 w d x2
Pw EI
w P w 0
EI
7
d2 w d x2
Pw EI
w P w 0 EI
x
x l 时， w 0, w 0 ; y
又 w Ak coskx Bk sin kx
mP
将边界条件代入通解
Bm 0
P
代入 w
Ak 0
18
通解为 w Asin kx B cos kx m P
又 w Ak coskx Bk sin kx
边界条件为:
非理想受压直杆
11
§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆 由两端铰支压杆的临界 压力公式
2EI
Pcr (2l)2
2 一端固支一端滑动固支 （简称为两端固支）
12
2 一端固支一端滑动固支
（简称为两端固支）
拐点处弯矩为零。
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
材料力学
第九章 压杆稳定
2019年8月9日 1
第九章 压杆稳定
本章内容:
1 压杆稳定的概念
2 两端铰支细长压杆的临界压力
3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
4 欧拉公式的适用范围 经验公式
5 压杆的稳定校核
6 提高压杆稳定性的措施
北大材料力学-第九章压杆稳定
有限元法
利用计算机仿真技术，建立压杆的有限元模型，通 过模拟压杆在不同受力状态下的响应，确定临界载 荷和失稳形式。
不同材料和截面形状的压杆稳定性
材料性质
不同材料的弹性模量、泊松比等 参数对压杆的稳定性有显著影响 。
截面形状
不同截面形状的压杆在相同外力 作用下的稳定性不同，例如圆形 截面、方形截面和工字形截面等 。
根据压杆的长度、截面尺寸和 材料属性等因素，通过欧拉公 式计算临界载荷，判断压杆是 否稳定。
经验公式
根据工程实践经验，总结出一 些经验公式，用于估算临界载 荷和稳定性。
试验法
通过试验测试压杆的临界载荷 和失稳形式，直接判断其稳定 性。
有限元分析
利用有限元分析软件模拟压杆 的受力状态和变形过程，评估 其稳定性。
02
压杆的临界载荷
欧拉公式
欧拉公式是计算等直压杆临界载荷的首要公式，它 表示压杆临界载荷与柔度之间的关系。
公式表达为：Fcr = π²EI/（μ²L₀），其中Fcr为临界载 荷，E为弹性模量，I为横截面惯性矩，μ为长度系数， L₀为压杆长度。
欧拉公式适用于细长等直压杆，当压杆长度与直径 之比大于或等于40时，才可视为细长杆。
当压杆受到周期性外力作用时， 会发生弯曲振动。
弯曲振动会导致压杆的应力波动， 从而影响其稳定性。
弯曲振动频率和振幅对压杆的稳 定性有重要影响，频率越高、振
幅越大，压杆越容易失稳。
弯曲振动对压杆稳定性的影响
弯曲振动会改变压杆 内部的应力分布，从 而影响其稳定性。
通过控制弯曲振动频 率和振幅，可以有效 提高压杆的稳定性。
优化结构设计
通过对压杆结构的合理设计， 如改变截面形状、增加支撑等 方式，提高压杆的稳定性。
利用计算机仿真技术，建立压杆的有限元模型，通 过模拟压杆在不同受力状态下的响应，确定临界载 荷和失稳形式。
不同材料和截面形状的压杆稳定性
材料性质
不同材料的弹性模量、泊松比等 参数对压杆的稳定性有显著影响 。
截面形状
不同截面形状的压杆在相同外力 作用下的稳定性不同，例如圆形 截面、方形截面和工字形截面等 。
根据压杆的长度、截面尺寸和 材料属性等因素，通过欧拉公 式计算临界载荷，判断压杆是 否稳定。
经验公式
根据工程实践经验，总结出一 些经验公式，用于估算临界载 荷和稳定性。
试验法
通过试验测试压杆的临界载荷 和失稳形式，直接判断其稳定 性。
有限元分析
利用有限元分析软件模拟压杆 的受力状态和变形过程，评估 其稳定性。
02
压杆的临界载荷
欧拉公式
欧拉公式是计算等直压杆临界载荷的首要公式，它 表示压杆临界载荷与柔度之间的关系。
公式表达为：Fcr = π²EI/（μ²L₀），其中Fcr为临界载 荷，E为弹性模量，I为横截面惯性矩，μ为长度系数， L₀为压杆长度。
欧拉公式适用于细长等直压杆，当压杆长度与直径 之比大于或等于40时，才可视为细长杆。
当压杆受到周期性外力作用时， 会发生弯曲振动。
弯曲振动会导致压杆的应力波动， 从而影响其稳定性。
弯曲振动频率和振幅对压杆的稳 定性有重要影响，频率越高、振
幅越大，压杆越容易失稳。
弯曲振动对压杆稳定性的影响
弯曲振动会改变压杆 内部的应力分布，从 而影响其稳定性。
通过控制弯曲振动频 率和振幅，可以有效 提高压杆的稳定性。
优化结构设计
通过对压杆结构的合理设计， 如改变截面形状、增加支撑等 方式，提高压杆的稳定性。
材料力学第9章压杆稳定
l
F B l C
1
2 l
i
200
A
2l
D
E F A 3 . 875 kN Ncr 2
2
2 E 99 .3 1 p
安全 n = F / F = 3.73 > n F 1 . 04 kN Ncr N st N
3 3 F l F l F l l F 2 l Fl N N N N l 3 EI 3 EI 3 EI GI EA p 3
dw 2 12 21 2 1 3 k ( lx x Cx D ) k( lx x C ) w 2 6 dx 2 12 x 0 , l w 0 D 0 , C l 3 1Fa 2 3 EI x 0 ,w 3 EIll Fcr al
1 4 1 cm I 1130 cm W 梁 梁 π 2 2 2 A D d 1178 mm 柱 4
4
3
4 3 5 ql F l F l N N 384 EI 48 EI EA
F 9 7 . 2 kN N
M/kNm
12.3
17.2
3 M 1 7 . 2 10 max s 1 22 MPa max n 1 . 9 梁 W 141
选择合理截面（I、i大） 改变约束条件（小） 各平面稳定性基本相同 合理选择材料（大柔度杆无效）
Fa M Fa 令： k 0 EIl F M / l Fa / l R 0
2
F
M Fa Fa x / l
a
l EI EI
M0 l
2 d w M Fa 2 ( l x ) k( lx ) 2 dx EIEIl
F B l C
1
2 l
i
200
A
2l
D
E F A 3 . 875 kN Ncr 2
2
2 E 99 .3 1 p
安全 n = F / F = 3.73 > n F 1 . 04 kN Ncr N st N
3 3 F l F l F l l F 2 l Fl N N N N l 3 EI 3 EI 3 EI GI EA p 3
dw 2 12 21 2 1 3 k ( lx x Cx D ) k( lx x C ) w 2 6 dx 2 12 x 0 , l w 0 D 0 , C l 3 1Fa 2 3 EI x 0 ,w 3 EIll Fcr al
1 4 1 cm I 1130 cm W 梁 梁 π 2 2 2 A D d 1178 mm 柱 4
4
3
4 3 5 ql F l F l N N 384 EI 48 EI EA
F 9 7 . 2 kN N
M/kNm
12.3
17.2
3 M 1 7 . 2 10 max s 1 22 MPa max n 1 . 9 梁 W 141
选择合理截面（I、i大） 改变约束条件（小） 各平面稳定性基本相同 合理选择材料（大柔度杆无效）
Fa M Fa 令： k 0 EIl F M / l Fa / l R 0
2
F
M Fa Fa x / l
a
l EI EI
M0 l
2 d w M Fa 2 ( l x ) k( lx ) 2 dx EIEIl
《材料力学》第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
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稳定平衡：
干扰平衡的外力消失后， 物体能自动恢复到原来的平 衡位置的平衡
即使干扰平衡的外力消 失后，物体仍继续向远离原 来平衡位置的方向继续运动 的平衡。 干扰平衡的外力消失后， 物体可在任意位置继续保持 平衡。
不稳定平衡：
随遇平衡：
显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状 态，称为临界平衡状态。
压杆稳定
压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ ）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。 （2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即 ，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。
5 4
Fcr
z 200 y
两端固定，长度系数μ=0.5
EIZ 3.14 1010 2.8810 Fcr N 2 2 ( l ) (0.5 8)
2 2 9 5
120
177103 N 177kN
压杆稳定
Fcr
Fcr
y
z 120 200 z y
200
120
比较计算结果可知 ，第一种情况的临界力 小，所以压杆失稳时将 在最大刚度平面内产生 弯曲。此例说明，当在 最小刚度平面与最大刚 度平面内支承情况不同 时，压杆不一定在最小 刚度平面内失稳，必须 经过具体计算后才能确 定。
2 EI y 3.142 10109 8 105 Fcr N 2 2 (l ) (1 8)
123103 N 123kN
200
120
z
压杆稳定
（2）计算最小刚度平面内的临界力。 由图16-4b,截面惯性矩为
2001203 IZ mm4 12 2.88107 mm4 2.8810 m
μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。
压杆稳定
两端铰支Fcr一端固定 源自端铰支Fcr两端固定
Fcr
一端固定 一端自由
Fcr
0.7l
0.5l
0.25l
l
l
0.3l
l
0.25l
l
μ=1
μ=0.7
μ=0.5
μ=2
压杆稳定
例1
一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长
l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。 解 查型钢表得 Iz=2370cm4，Iy=158cm4
杆的长度l 抗弯刚度EI
l越大
EI越大
抵抗变形的能力越小
抵抗变形的能力越强
容易失稳 不易失稳
Fcr越小 Fcr越大 Fcr越大
杆端支承
越牢固
越不容易发生弯曲变形
不易失稳
压杆稳定
临界力的欧拉公式
2 EI Fcr ( l ) 2
式中 E——材料的弹性模量； I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩； l——压杆的长度；
Fcr
y
z 120
8m
200
120
200
z
y
压杆稳定
解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr
（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
120 2003 Iy mm4 12 8 107 mm4 8 105 m 4
y
8m
两端铰支，长度系数μ=1
压杆稳定
三、压杆临界力Fcr
FP FP FP ＜ FPcr FP = FPcr
FP > FPcr
F F
F
F
F
FP
压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的 临界力Fcr。
l
FP
FP
FP
FP
稳定直线平衡状态
临界状态
不稳定平衡状态
压杆稳定
第二节
细长压杆的临界力
临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳 就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响 直杆弯曲变形的因素有关：
30mm
否保持其原来的直线平衡
状态的问题
F
F
压杆稳定 第十章
压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态 的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯 的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定， 简称为压杆失稳。
压杆稳定
压杆失稳的严重后果： 19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造 成200人遇难。 1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒 塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳 引起的。 1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐 因一个受压构件失稳而突然倒塌。
Fcr
2 EI
2
l 3 346103 N 346kN
2 200109 158108
2
N
由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。
压杆稳定
思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根 最不容易失稳。
压杆稳定
Fcr
例2 一矩形截面的 中心受压的细长木柱， 长l=8m，柱的支承情况， 在最大刚度平面内弯曲 时为两端铰支（图a）； 在最小刚度平面内弯曲 时为两端固定（图b）。 木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的 临界力。
第九章
压杆稳定
压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念 一、稳定问题的提出
两根相同材料（松木）制成的杆，
F
σb=20MPa；A＝10mm×30mm
短杆长：l＝30mm； 长杆长：l＝1000mm
F
30mm 1m
若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力 均应为： F= σb A=6kN
F
F
压杆稳定
压杆的破坏实验结果：
（1）短杆在压力增加到约
F
为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。 （2）长杆在压力增加到约4kN 时突然弯向一侧，继续增大压力， 弯曲迅速增大，杆随即折断。
F
30mm 1m
F
F
压杆稳定 第六章
结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏 性质完全不同 • 短压杆的破坏属于强
F
F
1m
度问题； • 长压杆的破坏则属于能
8m
压杆稳定
第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围 一、临界应力
Fcr 2 E I cr A ( l ) 2 A
I i2 A
cr
2 Ei 2 2 E 2 l 2 (l ) ( )
i
令 l i
2E cr 2
l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。
压杆稳定
研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般 都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有 任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突 然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大 的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等 设计中都必须考虑其稳定性要求。
压杆稳定
二、平衡状态的类型
干扰平衡的外力消失后， 物体能自动恢复到原来的平 衡位置的平衡
即使干扰平衡的外力消 失后，物体仍继续向远离原 来平衡位置的方向继续运动 的平衡。 干扰平衡的外力消失后， 物体可在任意位置继续保持 平衡。
不稳定平衡：
随遇平衡：
显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状 态，称为临界平衡状态。
压杆稳定
压杆的柔度λ
（1）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（μ ）、截面形状和尺寸（I、A、i）对临界应力的影响。 （2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即 ，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。
5 4
Fcr
z 200 y
两端固定，长度系数μ=0.5
EIZ 3.14 1010 2.8810 Fcr N 2 2 ( l ) (0.5 8)
2 2 9 5
120
177103 N 177kN
压杆稳定
Fcr
Fcr
y
z 120 200 z y
200
120
比较计算结果可知 ，第一种情况的临界力 小，所以压杆失稳时将 在最大刚度平面内产生 弯曲。此例说明，当在 最小刚度平面与最大刚 度平面内支承情况不同 时，压杆不一定在最小 刚度平面内失稳，必须 经过具体计算后才能确 定。
2 EI y 3.142 10109 8 105 Fcr N 2 2 (l ) (1 8)
123103 N 123kN
200
120
z
压杆稳定
（2）计算最小刚度平面内的临界力。 由图16-4b,截面惯性矩为
2001203 IZ mm4 12 2.88107 mm4 2.8810 m
μ——长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；
μl——压杆的计算长度。
压杆稳定
两端铰支Fcr一端固定 源自端铰支Fcr两端固定
Fcr
一端固定 一端自由
Fcr
0.7l
0.5l
0.25l
l
l
0.3l
l
0.25l
l
μ=1
μ=0.7
μ=0.5
μ=2
压杆稳定
例1
一根两端铰支的№20a工字钢细长压杆，长
l=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力。 解 查型钢表得 Iz=2370cm4，Iy=158cm4
杆的长度l 抗弯刚度EI
l越大
EI越大
抵抗变形的能力越小
抵抗变形的能力越强
容易失稳 不易失稳
Fcr越小 Fcr越大 Fcr越大
杆端支承
越牢固
越不容易发生弯曲变形
不易失稳
压杆稳定
临界力的欧拉公式
2 EI Fcr ( l ) 2
式中 E——材料的弹性模量； I——压杆横截面对形心轴的最小惯性矩； l——压杆的长度；
Fcr
y
z 120
8m
200
120
200
z
y
压杆稳定
解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承
情况不同，所以需分别计算。
Fcr
（1）计算最大刚度平面内的临界力
截面的惯性矩为
120 2003 Iy mm4 12 8 107 mm4 8 105 m 4
y
8m
两端铰支，长度系数μ=1
压杆稳定
三、压杆临界力Fcr
FP FP FP ＜ FPcr FP = FPcr
FP > FPcr
F F
F
F
F
FP
压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的 临界力Fcr。
l
FP
FP
FP
FP
稳定直线平衡状态
临界状态
不稳定平衡状态
压杆稳定
第二节
细长压杆的临界力
临界力的影响因素
临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳 就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响 直杆弯曲变形的因素有关：
30mm
否保持其原来的直线平衡
状态的问题
F
F
压杆稳定 第十章
压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态 的能力。
压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯 的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定， 简称为压杆失稳。
压杆稳定
压杆失稳的严重后果： 19世纪，瑞士的孟汗太因桥突然倒塌，造 成200人遇难。 1907年加拿大的魁北克桥在建造时突然倒 塌，其原因都是因为桥梁桁架中的受压杆失稳 引起的。 1909年12月汉堡一个60万m3的大型贮气罐 因一个受压构件失稳而突然倒塌。
Fcr
2 EI
2
l 3 346103 N 346kN
2 200109 158108
2
N
由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。
压杆稳定
思考
材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根 最不容易失稳。
压杆稳定
Fcr
例2 一矩形截面的 中心受压的细长木柱， 长l=8m，柱的支承情况， 在最大刚度平面内弯曲 时为两端铰支（图a）； 在最小刚度平面内弯曲 时为两端固定（图b）。 木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的 临界力。
第九章
压杆稳定
压杆稳定
第一节 压杆稳定的概念 一、稳定问题的提出
两根相同材料（松木）制成的杆，
F
σb=20MPa；A＝10mm×30mm
短杆长：l＝30mm； 长杆长：l＝1000mm
F
30mm 1m
若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载能力 均应为： F= σb A=6kN
F
F
压杆稳定
压杆的破坏实验结果：
（1）短杆在压力增加到约
F
为6kN时，因木纹出现裂纹而
破坏。 （2）长杆在压力增加到约4kN 时突然弯向一侧，继续增大压力， 弯曲迅速增大，杆随即折断。
F
30mm 1m
F
F
压杆稳定 第六章
结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏 性质完全不同 • 短压杆的破坏属于强
F
F
1m
度问题； • 长压杆的破坏则属于能
8m
压杆稳定
第三节 临界应力与欧拉公式的适用范围 一、临界应力
Fcr 2 E I cr A ( l ) 2 A
I i2 A
cr
2 Ei 2 2 E 2 l 2 (l ) ( )
i
令 l i
2E cr 2
l i —— 压杆的柔度（长细比），是无量纲的量。
压杆稳定
研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般 都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有 任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突 然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大 的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等 设计中都必须考虑其稳定性要求。
压杆稳定
二、平衡状态的类型