《建筑力学》第九章_压杆稳定
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《建筑力学》第九章压杆稳定
cr 为临界应力的许用值，其值为：
（9－13）
cr
cr
K
（9－14）
式中 K 称为稳定安全系数。稳定安全系数一般都大于强度计算时的安全系数，这是因为在
确定稳定安全系数时，除了应遵循确定安全系数的一般原则以外，还必须考虑实际压杆并 非理想的轴向压杆这一情况。比如，在制造过程中杆件不可避免地存在微小的弯曲(即存在 初曲率)；外力的作用线也不可能绝对准确地与杆件的轴线相重合(即存在初偏心)；还必需 考虑杆件的细长程度等等，这些都应在稳定安全系数中加以考虑。
d=20mm，材料的许用应力 =170MPa，已知 h=0.4m，作用力 F=15kN。试在计算平面内校核
二杆的稳定。
图 9-3
解：(1)计算各杆承受的压力 取结点 A 为研究对象，根据平衡条件列方程
x 0 FAB cos 450 FAC cos 300 0 Y 0 FAB sin 450 FAC sin 300 F 0
压杆的临界应力。
5、临界应力总图 综上所述，压杆按照其柔度的不同，可以分为三类，计算各自临界应力的方法也不相
同。当 ≥ p 时，压杆为细长杆(大柔度杆)，其临界应力用欧拉公式来计算；当 s < < p 时，压杆为中长杆(中柔度杆)，其临界应力用直线经验公式来计算； s 时，压杆为短
4 1 0.566 103 20
113
4
AC
lAC i
4 1 0.8 103 20
160
(3)由表 9－3 查得折减系数为：
AC 0.272
AB
0.536
(0.536
推荐-建筑力学电子教案压杆稳定 精品 精品
截面窄而高的梁，受外压的薄壁容器，都可能发生失 稳现象。
压杆受压力时弯曲的原因在于：
（1）杆本身不可能绝对地直；
（2）杆的材质不可能绝对地均匀；
F
（3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。 这些因素使压杆在外加压应力下除了发 生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲 变形。 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状 态下工作的。
可以用下列模型来说明稳定问题的关键：
在杆上施加一竖向力 F ，再施加一横向力 Q，使杆 发生转动。如果 F 不大，杆能保持平衡，且撤去 Q 后， 杆将恢复到其原来的直线状态。但当 F 大过一个临界值 时，撤去 Q ，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为稳 定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到 不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用 Fcr表示。而Fcr 只与系统本身的性质 l 、EI 有关。
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
Fcr
π
2 EI l2
I 是横截面最小 形心主惯性矩
此时杆的挠曲线方程可取 k l＝ ，代入式(c)得到为：
w Asinπ x l
注意到当 x=l/2 时 w= ，故有 A= 。从而挠曲线方程为 w sin π x
l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
(a)
在图a 所示微弯状态下，两 端铰支压杆任意 x 截面的挠度(侧 向位移)为 w，该截面上的弯矩为 M(x)=Fcrw (图b)。杆的挠曲线近 似微分方程为
EIw M x Fcrw (a)
(b)
令 k 2 Fcr ，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 EI
压杆受压力时弯曲的原因在于：
（1）杆本身不可能绝对地直；
（2）杆的材质不可能绝对地均匀；
F
（3）轴向压力不可能与杆轴线绝对重合。 这些因素使压杆在外加压应力下除了发 生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲 变形。 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状 态下工作的。
可以用下列模型来说明稳定问题的关键：
在杆上施加一竖向力 F ，再施加一横向力 Q，使杆 发生转动。如果 F 不大，杆能保持平衡，且撤去 Q 后， 杆将恢复到其原来的直线状态。但当 F 大过一个临界值 时，撤去 Q ，杆不再能恢复到原来的状态。前者称为稳 定平衡，后者称为不稳定平衡。这个从稳定平衡转变到 不稳定平衡的压力临界值称为临界力，用 Fcr表示。而Fcr 只与系统本身的性质 l 、EI 有关。
从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：
Fcr
π
2 EI l2
I 是横截面最小 形心主惯性矩
此时杆的挠曲线方程可取 k l＝ ，代入式(c)得到为：
w Asinπ x l
注意到当 x=l/2 时 w= ，故有 A= 。从而挠曲线方程为 w sin π x
l
可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。但是 是一个无法确 定的值。即不论 为任何微小值，上述平衡都可以维持， 好象压杆受 作用时可以在微弯状态下处于“随遇而安” 的平衡状态。事实上这种平衡状态是不成立的。 值无法
(a)
在图a 所示微弯状态下，两 端铰支压杆任意 x 截面的挠度(侧 向位移)为 w，该截面上的弯矩为 M(x)=Fcrw (图b)。杆的挠曲线近 似微分方程为
EIw M x Fcrw (a)
(b)
令 k 2 Fcr ，将挠曲线近似微分方程(a)改写成 EI
建筑力学第9章压杆稳定
• 压杆失稳时的压力比引起强度不足而破坏的压力要小得多，并且失稳 破坏是突然的，因此，对细长压杆必须进行稳定性计算。
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
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• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
• 为了说明压杆平衡状态的稳定性，我们取一根细长的直杆进行压缩试 验，如图９-１所示。
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第一节 压杆稳定的概念
• 压杆的平衡状态可以分为三种。图９-１（ａ）中，当压力P不太大时， 用一微小的横向力干扰它，压杆微弯，当横向力撤去后，压杆能自动 恢复原有的直线形状，这时压杆处于稳定的平衡状态。图９-１（ｂ） 中，当压力P增大到某一特定值Pｃｒ时，微小的横向干扰力撤去后， 压杆在微弯状态下维持新的平衡，这时压杆处于临界平衡状态，这个 特定值Pｃｒ叫作临界力。图９-１（ｃ）中，当压力P超过临界力Pｃｒ 后，干扰力作用下的微弯会越来越大直至压杆弯断，此时压杆丧失了 稳定性。
• σｃｒ＝π２E/λ２≤σＰ
• ■四、中长杆的临界应力计算———经验公式
• 当压杆的柔度小于λＰ时，称为中长杆或中柔度杆。中长杆的临界应 力σｃｒ大于材料的比例极限σＰ，此时欧拉公式不再适用。工程中对 这类压杆一般采用经验公式计算临界力或临界应力。常用的经验公式 有两种：直线公式和抛物线公式。
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• Pｃｒ＝π２EI/（μl）２（９-１） • 式中 • E———材料的弹性模量； • I———压杆横截面的最小惯性矩； • EI———压杆的抗弯刚度；
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第二节 临界力和临界应力
• l———压杆的实际长度； • μ———压杆的长度系数，见表９-１； • μl———压杆的计算长度。 • ■二、临界应力 • 在临界力作用下，细长压杆横截面上的平均压应力叫作压杆的临界应
• 从前面几节内容可知，影响压杆稳定性的主要因素有：压杆的截面形 状、长度、两端的约束条件以及材料的性质等。要提高压杆的稳定性 ，可采取以下四个措施。
第九章_压杆稳定
第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。
9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。
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F
b y
解：(a) 判断发生弯曲的方向。由于杆截面是矩形， 杆在不同方向弯曲的难易程度不同，如图：
l
h
z
y
因为
h z
b
Iy Iz
所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下，压杆最易在xz平面内发生弯曲
(b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆
1
(c) 计算临界压力。由欧拉公式
所以可用欧拉公式
d
A
1 d 2
4
4
l 4l 120
i
d
(b) 判别压杆的性质。
1
2 E 102 p
1
压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力。
(c) 计算临界应力。
Pcr
cr
A
2E 2
A
269 kN
(d) 当l1=0.75l时，计算压杆的柔度，判别压杆的性质。
0.75120 90
2
a s
解决压杆稳定问题的关键是确定其临界压力。
二。临界压力的欧拉公式
1 两端铰支压杆的临界压力
y
P
xv
l
v xP
P
M x
P
压杆距支座x处截面上的弯矩是
M Pv
代入挠曲线的近似微分方程
d 2v dx2
M EI
Pv EI
令： k 2 P
则有:
EI
d 2v k2v 0 dx 2
以上微分方程的通解是
z b
y
y
x z
h
解：(a) 求在xz平面内弯曲时的柔度。
iy
Iy A
1 hb3
12
hb
b 12
y
1l
9压杆稳定2
二、压杆的稳定性计算 例9-2 如图所示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆端作用轴 向压力F=40kN， l=3.6m，许用应力[]=10MPa。试校核该压杆的 稳定性。 解 1)计算压杆的柔度。 两端铰支压杆支承系数=1，较小的惯性半径为
iy Iy
120 hb 3 / 12 b mm 34.64mm A bh 12 2 3
1 l
iy 0.7 3.8 103 133 20
查型钢表，初选18号工字钢。压杆的柔度为
'1 0.349
（ 0.401- 0.349 ） (140 133 ） 0.3854 140 130
3）稳定性校核。 0.5 0.3854 2 0.443 [ ] 0.43 170MPa 73.1 MPa 2 2 F 250 103 3 MPa 70.27 MPa [ ] F 250 10 2 2 A 35 . 58 10 A2 mm 2 [ ] 0.443 170 选20a号工字钢，立柱的稳定性满足。 3.32 103 mm2 33.2 cm2 4）强度校核。查型钢表20a工字钢， 查型钢表，选20a工字钢。A2=35.58cm2 A=35.58cm2，腹板厚=7.5mm ，最小惯性半径imin=iy=2.12 cm，压杆的 F F l 0.7 3.8 103 A A'd 柔度为 2 125.5 250 103 iy 21.2 MPa 76.74 MPa [ ] 2 35.58 10 7.5 40 （ 0.466- 0.401 ） （ 130 125.5） '2 0.401 0.430 选20a号工字钢，稳定性和强度同时满足。 130 120
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第 10 章
压杆稳定
Stability of columns
一。稳定性概念
细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，会表现出与强度失效性质全然不同的失效现象， 即将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，简称失稳，又称为 屈曲失效。
内燃机配气机构中的挺杆
磨床液压装置的活塞杆
细长压杆随受力的改变，平衡的稳定性会发生改变，由稳定平衡转为不稳定平衡的 临界值称为压杆的临界压力或临界力；它是压杆保持稳定的直线平衡的最大值，或是 压杆保持微曲平衡的最小值。
b
经验公式: cr a b
其中，a，b是由杆件材料决定的常数
2）小柔度杆的临界应力
小柔度杆或短杆： λ < λ2 此时压杆属强度问题，临界应力就是屈服极限或强度极限，即
cr s
或
b
3） 临界应力总图
σ σcr=σs
σs σp
σcr=a-bλ σcr=π2E/λ2
O
λ2
λ1
可以明显地看出，短杆的临界应力与柔度λ无关，而中、长杆的临界应力则随柔度 λ的增加而减小。
例10-4图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F＝12kN，其
外径D＝45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模 量E=210 GPa， σp=200 MPa， σs=235 MPa，
1m A
1m B
F 解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象，由静力
1.减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承 载能力。 2. 改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地减小柔度，从而增大临界应力。 3. 选择合理的截面形状；可以在不增加截面面积的情况下，增加横截面的惯性矩I， 从而减小压杆柔度，起到提高压杆稳定性的作用。图10.10是起重臂合理截面。
压杆稳定
Stability of columns
一。稳定性概念
细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，会表现出与强度失效性质全然不同的失效现象， 即将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效，简称失稳，又称为 屈曲失效。
内燃机配气机构中的挺杆
磨床液压装置的活塞杆
细长压杆随受力的改变，平衡的稳定性会发生改变，由稳定平衡转为不稳定平衡的 临界值称为压杆的临界压力或临界力；它是压杆保持稳定的直线平衡的最大值，或是 压杆保持微曲平衡的最小值。
b
经验公式: cr a b
其中，a，b是由杆件材料决定的常数
2）小柔度杆的临界应力
小柔度杆或短杆： λ < λ2 此时压杆属强度问题，临界应力就是屈服极限或强度极限，即
cr s
或
b
3） 临界应力总图
σ σcr=σs
σs σp
σcr=a-bλ σcr=π2E/λ2
O
λ2
λ1
可以明显地看出，短杆的临界应力与柔度λ无关，而中、长杆的临界应力则随柔度 λ的增加而减小。
例10-4图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知载荷F＝12kN，其
外径D＝45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模 量E=210 GPa， σp=200 MPa， σs=235 MPa，
1m A
1m B
F 解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象，由静力
1.减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比，因此可以显著地提高压杆承 载能力。 2. 改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地减小柔度，从而增大临界应力。 3. 选择合理的截面形状；可以在不增加截面面积的情况下，增加横截面的惯性矩I， 从而减小压杆柔度，起到提高压杆稳定性的作用。图10.10是起重臂合理截面。
建筑力学9压杆稳定
— —截面对其弯曲中心的惯性半径 — —称为压杆的柔度或细长比
l
i 则式（9 8)可改写为
2E cr 2
(9 9)
14
式（9 - 9）称为计算细长压杆临界应力的欧拉公式
9.2.3 欧拉公式应用中的几个问题 （1）若杆端约束情况在各个方向均相同时，压 杆只可能再最小刚度（Imin)平面内失稳。 若杆端约束情况在各个方向不相同时，其 长度系数μ 在不同方向取值不同，则应取较 大的μ 值计算压杆的临界力。 （2）实际工程中压杆的 杆端约束是多样的 （如弹性支承），要根据实际情况定μ 。 （3)实际工程中，不可能有理想的中心受压、 均质、绝对直的杆，因此实际的临界应力比 公式（9-9）的理想值要小。
建筑力学
第九章 压杆稳定
教师：邹定祺
1
内容：压杆的稳定概念 压杆的稳定性的计算 重点：稳定性的概念 欧拉公式
2
9.1 压杆稳定性的概念 稳定性—构件保持其原有平衡状态的能力 9.1.1 稳定平衡与不稳定平衡
.干扰力 . . . . . 不稳定平衡 . . . 干扰力 干扰力
稳定平衡
随遇平衡
3
9.1.2 压杆稳定性概念
7
2008年1月我国南方遭受特大冰雪灾害。图为 高压电线塔被压垮。
8
2008年1月我国南方遭受特大冰雪灾害。图为 高压电线塔被压垮。电力工人正在抢修。
9
*临界力Fcr是判别压杆是否会失稳的重要指标。在材 料、尺寸、约束均已确定的前提下，压杆的临界力Fcr 是一个确定的值。不同的压杆，其临界力也不同。因 此，计算压杆临界力Fcr是压杆稳定性分析的重要内容。
20
2、减小相当长度或在压杆中间增加支座减小压 杆计算长度 3、增强杆端约束，即其长度系数μ 减小，增大 临界力，提高稳定性。 4、合理选择材料。因临界力与材料的弹性模量 E成正比，选用E大的材料，可以提高压杆的 稳定性。
《工程力学压杆稳定》课件
压杆的应用案例
建筑
机械
压杆广泛应用于建筑领域，提供 结构稳定和支撑。
在机械工程中，压杆用于连接零 部件和传递力量。
通过案例演示，加深对压杆稳定的理解和应用。
桥梁
桥梁结构中的压杆可以增加桥梁 的稳定性和承重能力。
压杆稳定的条件
压杆稳定是杆件不发生屈曲的状态，包括杆件的截面形状、材料性质、长度等因素。
压杆的计算方法
1
确定杆件的受力状态
根据杆件受力情况进行分析。
2
计算杆件的临界压力
使用适当的公式计算杆件的临界压力。
3
判断是否稳定
根据计算结果判断杆件是否稳定。
压杆稳定的公式有等弯曲时压杆稳定公式和弯矩影响时压杆稳定公式。
《工程力学压杆稳定》 PPT课件
以图文并茂的方式介绍《工程力学压杆稳定》，让你轻松学习压杆的定义、 分类、稳定条件、计算方法和应用案例。
目录
1. 压杆的定义和分类 3. 压杆的计算方法
2. 压杆稳定的条件 4. 压杆的应用案例
压杆的定义和分类
压杆是指受到力作用的细长构件，可分为圆杆、方杆、角杆等多个分类。
12 材料力学第九章 压杆稳定
令 L
i
即： cr
2E 2
i I A
26
说明：挠曲线的近似微分方程建立在胡克定律基础上，因此
只有材料在线弹性范围内工作时，即只有cr≤p时，欧拉公
式才能适用。
实验表明： 粗短压杆没有失稳现象； 中等长度的压杆失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界
力并不符合； 细长压杆失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。
式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔度的增大而增大。
稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一 般钢构件，其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安全系 数规定为1.5～2.2，甚至更大。
37
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。 注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因
或
2E p
E
p
p
28
二、中小柔度杆的临界应力计算
1. 直线型经验公式
①P<<S 时： crab c rabs
as
b
s
s P的杆为中柔度 界杆 应， 力其 用临 经验
②S< 时：
crs
S的杆为小柔度 界杆 应， 力其 为临 屈服
29
表9−2 一些常用材料的a、b、p、s值
材料
a (MPa) b (MPa)
固定，长度系数2=0.5，惯性半径
iy
Iy
h3b /12b 40
薄壁容器 失稳
浅拱失稳
17
§9–2 细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力: 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
工程力学2第九章压杆稳定的概念及三种平衡状态
02
临界载荷的概念
失稳与屈曲（Buckling)
补充知识： 求二阶常系数线性齐次方程通解
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
挠曲线近似微分方程
弯矩
令
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件： 若 则 （与假设矛盾） 所以
如图（b）,截面的惯性矩为
两端固定时长度系数
柔度为
7m
12cm
20cm
y
z
§9.5 压杆的稳定校核
应用经验公式计算其临界应力,查表得
则
临界压力为
木柱的临界压力
临界应力
§9.6 提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束）
增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 长度系数（无量纲） 相当长度（相当于两端铰支杆） 欧拉公式的普遍形式： 两端铰支 x y O
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
x
z
F
l1
F
例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。
F
FR
x
方程组的非零解条件：
具有非零解
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临界载荷的概念
失稳与屈曲（Buckling)
补充知识： 求二阶常系数线性齐次方程通解
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
挠曲线近似微分方程
弯矩
令
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件： 若 则 （与假设矛盾） 所以
如图（b）,截面的惯性矩为
两端固定时长度系数
柔度为
7m
12cm
20cm
y
z
§9.5 压杆的稳定校核
应用经验公式计算其临界应力,查表得
则
临界压力为
木柱的临界压力
临界应力
§9.6 提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束）
增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 长度系数（无量纲） 相当长度（相当于两端铰支杆） 欧拉公式的普遍形式： 两端铰支 x y O
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
x
z
F
l1
F
例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。
F
FR
x
方程组的非零解条件：
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提高压杆稳定性的措施
大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避免造成浪
费。
对于中、小柔度压杆，从计算临界应力的抛物线公式可以看出， 采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施 2．减小压杆的柔度
从压杆的临界应力总图得知，压杆的柔度= l 越小，其临界
i
应力越大，压杆的稳定性越好。为了减小柔度,可以采取如下措施。 （1）加强杆端约束
建筑力学
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性就是增大压杆的临界力或临界应力。可以从 影响临界力或临界应力的诸种因素出发,采取下列一些措施。
1.合理地选择材料
对于大柔度压杆，临界应力cr=
π 2E 2
，故采用E值较大的材料
能够增大其临界应力，也就能提高其稳定性。由于各种钢材的E值
使y = z 。
(a)
(b)
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施 应当注意，对于组合截面压杆要用缀板将其牢固地连成一个整
体，否则压杆将变成为几个单独分散的压杆，严重地降低稳定性。 对于组合截面压杆还要考虑其局部失稳的问题，应对其局部的稳定 性进行计算，包括局部稳定性的校核和由局部稳定条件确定缀板的 间距等，详见有关书籍，这里不再细述。
压杆的杆端约束两端固定，那末由欧拉公式可知其 临界力将变为原来的四倍。
目录
压杆稳定\提高压杆稳定性的措施
（2）减小杆的长度
杆长l越小，则柔度 越小。在工
程中，通常用增设中间支撑的方法来达 到减小杆长。例如两端铰支的细长压杆， 在杆中点处增设一个铰支座(如图)，则 其相当长度μl为原来的一半，而由欧拉 公式算得的临界应力或临界力却是原来 的四倍。当然增设支座也相应地增加了 工程造价，故设计时应综合加以考虑。
压杆的稳定计算
③ 确定该支架的许可荷载。
根据外力 F 与 BD 杆所承受压力之间的关系，只要考虑 AC 杆的平衡即可。
由 求得
M A 0,
FBD
l 2
F
3l 2
0
1 F 3 FBD
于是该支架能承受的最大荷载为
Fmax
1 3
FBDmax
1 47.0 103 3
15.7 103
N
最后确定该支架的许可荷载 [F] =15.7 kN。
3. 进行截面设计
已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力F，按照稳定条件计 算压杆所需的截面尺寸。由于在稳定条件式 (7-12) 中，折减系数 φ 是根据压杆的 柔度 λ 查表得到的，而在压杆的截面尺寸尚未确定之前，压杆的柔度 λ 不能确定， 所以也就不能确定折减系数 φ。因此，这类问题一般采用试算法。
为了计算方便，将临界应力的许用应力写成如下形式
cr
cr kst
(7-10)
式中：[σ] 为强度计算时的许用应力；φ 为折减系数，其值小于1。
由式(7-10) 可知，φ 值为
cr
kst
(7-11)
由式(7-11) 可知， 当[σ] 一定时，φ 取决于σcr 与kst。由于临界应力σcr值随 压杆的柔度而改变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以
【例7-2】如图7-5a 所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为 Q235 钢， 直径 d = 20 mm，材料的许用应力 [σ] = 170 MPa，已知 h = 0.4 m，作用力 F = 15 kN。 试校核两杆的稳定。
图7-5a 解：① 计算各杆承受的压力。 取结点 A 为研究对象，画受力分析图，如图7-5b 所示，根据平衡条件列方程