建筑力学与结构——压杆稳定

C
B
17
4 一端固定、另端铰支
Pc
r
Pcr
π 2 EI (2l)2
18
两端铰支 Fcr
一端固定一端自由
2EI
(l ) 2 Fcr
1 2EI
(2l ) 2
Fcr
2EI (l)2
欧拉 公式
2
长度普形系遍式数（长度因数）
l 相当长度
19
20
欧拉公式 的统一形式
Pcr
π 2 EI (μ l)2
i I D4 d 4 4 A 64 D2 d 2
D2 d 2 16mm 4
得

11.732103 16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI
l 2
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42 nst
3
AB杆满足稳定性要求
37
课题4 提高压杆稳 定性的措施
Fcr
1 12
6223
Pcr 2
π 2E Iy (μ yl2)2
π2E Iy (0.6l2)2
Pcr min{ Pcr1, Pcr2}
6 12
z 24
6 y 22
29
课题2 临界力和临 界应力
11
欧拉公式只适用于大柔度压杆 30
课题2 临界力和临 界应力
中小柔度杆临界应力计算
(大柔度杆) 欧拉公式 S P (中柔度杆)
13
课题2 临界力和临
界应力
例题1
解： 截面惯性矩
临界力
269103 N 269kN
14
课题2 临界力和临 界应力
15
l
1 Pc两r 端 铰2l2E支I Pc r A
C
B
2 一端固定一端铰支
C为拐点
Pcr
π 2 EI (0.7l)2
16
3 两端固定
Pcr
A
D
l
C，D为拐点
Pcr
π 2 EI (0.5l)2
应取最小的形心主惯性矩。
22
细长压杆失稳
23
易拉罐压缩失稳
24
例题 2： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
P P
P 因为 l1 l2 l3
又
Pcr
2EI
l 2
可知
Pcr1 Pcr2 Pcr3
a 1.3a
1.6a
(1)
(2)
(3)
(l)1 2a (l)2 1.3a
为压杆的长度系数; l 为相当长度。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
长度 l 。
2 l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度
21
Pcr
π 2 EI (μ l)2
为长度系数 l 为相当长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I
cr a b s
当 a s 时，经验直线公式
b
s
a
s
b
s (小柔度杆) cr s 31
课题2 临界力和临界
•压杆柔度
应 力l μ的四种取值情况 i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
P 比例极限
•临界应力
s
a
s
b
s 屈服极限
P
(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P s(中柔度
大柔度杆
Fcr
2EI ( l ) 2
中柔度杆 cr a b
42
课题4 提高压杆稳 定性的措施
选择合理的截面形状
43
改善杆端的约束情况及合理选用材料
1
P
2
P
0.5 P
*杆端约束刚性越强,压杆的长度系数越小,相应的柔度就越 低,临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,可使压 杆的稳定性得到提高.
4
课题1 压杆稳定的
概念
工程实例
5
课题1 压杆稳定的 概念
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 的平衡。失稳 屈曲
6
课题1 压杆稳定的 概念
7
课题2 临界力和临 界应力
11
8
9
10
11
12
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力
与轴线重合，材料均匀）
•线弹性，小变形
•两端为铰支座
单元8 压杆稳定
1、压杆稳定的概念 2、临界力和临界应力 3、压杆的稳定计算 4、提高压杆稳定性的措施
1
课题1 压杆稳定的 概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置 2
课题1 压杆稳定的 工程实例 概念
3
课题1 压杆稳定的 压杆的稳定性试验概念
cr a b 直线公式
s 杆()小柔度杆) cr s 强度问题
32
课题2 临界力和临 临界界应力应总力图
33
课题2 临界力和临 界应力
l
l i
Fcr cr A
34
课题3 压杆稳定计 算
F [F] Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数
n
Fcr F
nst
n
cr
PcBr C
2 EI
0.5a2
A
故取
Pcr
2 EI
0.7 a2
26
a
例题 4 由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰 支，z = 1，长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约
束情况接近 于两端固定 y = 0.6 ，长度为 l2 。求 Pcr。
2 EI ( l ) 2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
38
•减小压杆长度 l
39
•减小长度系数μ（增强约束）
40
•增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
41
•增大弹性模量 E（合理选择材料）
6 12
z 24
6 y 22
27
解：在xy平面内失稳时，z为中性轴
I
z
1 12
12
243
2
(1 12
22
63)
2(22 6 152)
Pcr1
π 2 E Iz (μ zl1)2
π 2 E Iz (1l1)2
6 12
z 24
6 y 22
28
在xz平面内失稳时，y为中性轴
I
y
1 12
(24123)
2
nst
35
课题3 压杆稳定计 算
n st
解： CD梁
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆 l
i
1
l 1.5 1.732m cos30
36
课题3 压杆稳定计 算
n st
FN 26.6kN
AB杆 l
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
(l)3 0.7 1.6a 1.12a 25
例题 3 已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能动 求：临界压力
a\2
P
解： lAB 0.7 a 0.7 a
c
lBC 1 0.5a 0.5a
B
Pcr AB
2 EI
( 0.7 a )2