天体力学课件

质点的角动量定理

质点动量变化等于合外力冲量。类比之， 质点角动量也有类似变化规律：
L=r×p 其对时间的变化率为： dL d r × p dr dp = = ×p+r× dt dt dr dt =v×p+r×F 因为 v x p= v x mv=0 dL ∴ =r×F=M dt dL M= dt
•由于地外行星公转速度较地球公 转速度慢，所以行星位置由合向 西方照方向运动。 •合及附近时，由于与太阳同升同 落，无法看到。 •从合向西，行星会在日出前出现 在东方低空。升起时间逐日提前， 可观测时间逐日增加。 •从冲向东，行星会在日落后出现 在西方低空。升起时间逐日延后， 可观测时间逐日减少。 •冲时，行星半夜上中天，可见时 间最长，是最好的观测地外行星 的时机。 •由于行星运行轨道不是正圆，所 以每次冲时地球与行星距离不同。 行星与地球最近时称“大冲”。
万有引力定律的意义

万有引力定律的发现，是17世纪自然科 学最伟大的成果之一。它把地面上物体运 动的规律和天体运动的规律统一了起来， 对以后物理学和天文学的发展具有深远的 影响。它第一次解释了（自然界中四种相 互作用之一，其余三种为强核力、弱核力、 电磁力）一种基本相互作用的规律，在人 类认识自然的历史上树立了一座里程碑。
万有引力定律
F=GMm/r2



其中G为万有引力常数（ 以Nm2/kg2 为单位） M为一天体质量，m为另一天体质量，r为两天体距离。 G的数值 牛顿在推出万有引力定律的同时，并没能得出引力常 量G的具体值。G的数值于1789年卡文迪许利用他所 发明的扭秤得出。卡文迪许的扭秤试验，不仅以实践 证明了万有引力定律，同时也让此定律有了更广泛的 使用价值。 卡文迪许测出的G=6.7x10-11 Nm2/kg2 ，与现在的公认值G=6.67x10-11 Nm2/kg2 极为接近；直到1969年G的测量精度还保持在卡文迪 许的水平上。
小常识
中国古代称金星为太白金星，晨星时称启 明星，昏星时称长庚星。 金星最亮可达-4.5等，比全天最亮星天狼 星（alf CMa, -1.47等）亮16倍。 地内行星运行过程中会有盈亏变化，如同 月相。上合为盈，下合为亏，东西大距则 为半圆。

地内行星的视运动规律： 上合——（顺行）——东大距——（顺行）——留——（逆行）——下 合——（逆行）——留——（顺行）——西大距——（顺行）——上合
定义：内行星两次下合的时间间隔或者外行 星两次合或两次冲的时间间隔。
1/S=1/T-1/E 1/S=1/E-1/T
思考： 已知E为地球公 转周期，T为行 星公转周期，指 明上述两公式何 为地内行星会合 周期，何为地外 行星会合周期并 证明结论。
日食
月食
月偏食与半影月食
日月食发生的条件： 地月距离/地日距离=月球直径/太阳直径
地外行星的视运动规律： 合——（顺行）——西方照——（顺行）——留—— （逆行）——冲——（逆行）——留——（顺行）—— 东方照——（顺行）——合 位置规律：合——西方照——冲——东方照——合 顺逆行规律：顺行（包含合）——留——逆行（包含 冲）——留——顺行（包含合）
逆行速度分析
行星凌日
大距的时候，太阳、行星与 地球所成的夹角有何关系？
•由于地内行星公转速度较地球公转速度 快，所以行星位置由上合向东大距方向 运动。 •上、下合及附近时，由于与太阳同升同 落，无法看到。 由于 •从上合向东，行星会在日落后出现在西 方低空，此时称之昏星。 •从下合向西，行星会在日出前出现在东 方低空，此时称之晨星。 •东西大距时，行星与太阳角距最大，可 见时间最长，高度最高，是最好的观测 时机。 •由于行星运行轨道不是正圆，所以每次 大距角距会不同。
位置规律：上合——东大距——下合——西大距——上合 顺逆行规律：顺行（包含上合）——留——逆行（包含下合）——留—— 顺行（包含上合）
几个特殊位置： 合：太阳与行星黄经相等，行星离地 球最远。 冲：太阳与行星黄经相差180度，行 星离地球最近。 东方照：太阳与行星角距相差90度， 行星位于太阳东侧。 西大距：太阳与行星角距相差90度， 行星位于太阳西侧。 留：顺行与逆行的转折点 注意：此时的东西指观测者视角下的 东西。

开普勒第二定律 开普勒第二定律，也称面积定律：在相等 时间内，太阳和运动中的行星的连线（向 量半径）所扫过的面积都是相等的。 这 一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动 量守恒。用公式表示为：SAB=SCD=SEK

开普勒第三定律 开普勒第三定律，也称调和定律，也称周期 定律：是指绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行 的所有行星，其椭圆轨道半长轴的立方与周 期的平方之比是一个常量。这里，a是行星公 转轨道半长轴，T是行星公转周期，K是常数， 其大小只与中心天体的质量有关。常用于椭 圆轨道的计算。即：T2/a3=K 4π2 K= GM 取圆轨道行星进行 推导：



保守力
质点从起始点移动到终结点，受到作用力， 且该作用力对质点所做的功不因为路径的 不同而改变，则称此力为保守力 (Conservative Force)。假若一个物理系 统里，所有的作用里都是保守力，则称此 系统为保守系统。 万有引力是保守力，自然，一个星团，也 就是一个保守力系统。

2 2 2 r 1 2 GMm R 1 a
=−
GMm 2a
活力公式：v = GM( − )
小问题：由能量守恒定律推导活力公式。
三种宇宙速度
环绕速度：v1 = 逃逸速度：v2 = 超越速度：v3 =
证明：
GM R
= =
gR = 7.9km/s 2gR = 11.2km/s

高斯引力常数




高斯引力常数 高斯引力常数是高斯引入的以太阳系为单位的引力常 数，其好处是不需要准确地知道在常用单位（如公制 单位）下的太阳系的尺度或是太阳和行星的质量，就 可以精确地描述行星的运动。 高斯使用下列的单位： 长度（A）：天文单位（地球绕太阳公转的平均轨道 半径）。 时间（D）：平太阳日（相对于太阳，地球绕轴自转 的平均周期）。 质量（S）：太阳质量。 由开普勒第三定律使用于地球的运动，他推导出他的 引力常数： k = 0.01720209895 A3/2 S−1/2 D−1.

行星凌日的应用
哈雷,在 用金星凌日求(算)出了日地距离。后者 开普勒太空望远镜（不是开普勒 式望远镜）运用行星凌日法寻 找地外行星（研究凌日光变曲线）。 补充：开普勒太空望远镜由美国国家航空航天局 设计，使用NASA发展的太空光度计，预计将花 3.5年的时间，在绕行太阳的轨道上，观测天鹅 座和天琴座10万颗恒星的光度，检测是否有行 星凌星的现象（以凌日的方法检测行星）。
极坐标（用一个角度和一个距离 描述一点在平面内的位置）
椭圆的极坐标方程： r=a（1-e² ）/（1-ecosθ） （e为椭圆的离心率=c/a）

开普勒三定律
开普勒第一定律 开普勒第一定律，也称椭圆定律；也称轨 道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道 环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点 中。
天体力学

系统介绍： 牛顿第二定律与天体力学的结合 万有引力定律 开普勒三大定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 特殊关系 相关物理概念
牛顿第二定律
F=ma 动量：P=mv 冲量：I=∆p=∆mv 对于圆周运动有如下公式：

2 mv F = mω2 r = r 2 v a = ω2 r = r ω为角速度，以（rad/s）为单位 ∆θ ω= ∆t
不管是质点还是质心系，只要合外力距为零， 角动量即守恒。此时L=常矢量。 在天体系统中，多有心力系统，有心力在以 恒星为参考点时无力距，所以天体系统角动 量守恒。（此处多指太阳系，星团等。关于 观测到仙女座大星系角动量不守恒，会在第 7讲张林枫的宇宙学中暗物质部分介绍）


能量守恒公式及活力公式
能量守恒公式： mv −
根据M = Mdt=dL
dL dt t
∴
0
Mdt = L − L′
t
来自百度文库
我们称 Mdt
0
为冲量距。 类比质点，质点系的角动量定理可由相似方法得到，在此 不作证明，结论为：M外 =
dL dt
冲量距为
t M dt 0 外
此处 M 外 为合外力力矩。
角动量守恒定理

当M=0时，即 dL/dt=0时，角动量不随时间 变化而变化，此时我们称角动量守恒。
动量定理： F=∆p/∆t
（角度变化的速率）
一点几何知识
椭圆的第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数2a（大于这两 定点之间的距离）的点M的集合（或轨迹）叫椭圆。 即：│PF1│+│PF2│=2a 其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│F1F2│=2c<2a叫做椭 圆的焦距。P 为椭圆的动点。 长轴为 2a； 短轴为 2b。 定义：e=c/a e称为离心率

一点常识
水星凌日平均每100年发生13次，最近一 次已发生的是在2006年11月9日3h12min 至8h10min(UT+8)。最近一次将发生在 2016年5月9日，但我国适逢半夜无法观 测。 金星凌日每两次为一组，两次间隔8年， 两组间隔100多年。最近一组是2004年6 月8日和2012年6月6日。不过下一组就要 2117年12月11日。
当地内行星，即水 星与金星发生下合 时恰好在黄道面附 近，并与太阳圆面 重合人们会看到行 星以黑点的形式通 过日面，这就是行 星凌日。

几点注意事项
行星凌日时，由于圆面非常小，无法用肉 眼观测，必须借助望远镜观测。 由于其他行星公转平面与地球不同，所以 不是每次下合都能见到凌日现象。
引力势能及推导
势能是一个相对量，与选取的参考点有关。此处以两质点 系为例， 以其中一质点为参考点， 选取无穷远为零势能处。 那么，由于势能的减少等于保守力做功，引力势能体现为 如下形式：
GMm Ep=− r
其中 r 为两质点距离。 虽然式中带有 r，但势能无方向性，在质点系中处理问题 时可直接数值叠加。 推倒如下：

万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上 和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。它为实际的 天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测 资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学 史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用 万有引力定律取得重大成就的例子。 利用万有引力公式，开普勒第三定律等还可以计算 太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。 牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现 象。 他依据万有引力定律和其他力学定律，对地球两极 呈扁平形状的原因和地轴复杂的运动，也成功的做 了说明。推翻了古代人类认为的神之引力。
行星相对于恒星和月亮的运动
星星与恒星或月亮黄经相同时即为合。 例如：土星合角宿一，木星和月。 黄道附近5 颗亮星为：毕宿五，轩辕十四， 角宿一，心宿二，北河三。

补充：月掩星，例如月掩金星，月掩心宿 二等，是指月亮将星体完全遮挡。此类天 象实属罕见，因为要考虑到白道、黄道等 多重因素。
能量守恒定律
在天体或天体系中，往往只存在引力作用。 引力为保守力，因此机械能是守恒的（质 点间不发生物质交换）。 对于运动的天体有如下方程： Ep+Ek=E

1 GMm 2 mv + − =E 2 r
也就是机械能守恒。
角动量及角动量守恒定律
力矩 M=r x F 在一参考系内，当以质点以某一参考点运动时， 除动量发生变化外，质点与参考点的距离和方 位也在发生变化。为描述此种变化，利用位矢 及位矢的变化方向来表征。仿照力矩，我们引 入动量矩，来描述质点相对参考点的运动。 动量矩，也称角动量，表示为： L=r×p L = rmv sin θ 方向满足右手螺旋定则。
讨论的问题：行星相对于太阳及恒星的相对运动
几个特殊位置： 上合：太阳与行星黄经相等，太阳离 地球较近。 下合：太阳与行星黄经相等，行星离 地球较近。 东大距：太阳与行星角距最大的位置， 行星位于太阳东侧。 西大距：太阳与行星角距最大的位置， 行星位于太阳西侧。 留：顺行与逆行的转折点 注意：此时的东西指观测者视角下的 东西。