分析力学

《分析力学》简介
The Brief Introduction of Analytical Mechanics
一．分析力学与经典力学
分析力学是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达，它通过用广义坐标为描述质点系的变数，运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。

分析力学是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系，其基本原理同牛顿运动三定律之间可以互相推出。

经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（也称为“牛顿力学”）。

拉格朗日，哈密顿，雅可比等人使用广义坐标和变分法，建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。

同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。

很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。

分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。

分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。

分析力学是经典物理学的基础之一，也是整个力学的基础之一。

它广泛用于结构分析、机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于连续介质力学和相对论力学。

二．发展历程
从十八世纪开始，在力学发展史上又出现了与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系，即分析力学。

1788 年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作。

分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上。

两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。

1760～1761 年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。

分析力学的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析。

为了避免未知理想约束力的出现，分析力学的一种方法是在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，导出了比矢量力学一般方法程式化更为明显的动力学方程－拉格朗日第一类方程。

分析力学的另一种方法是从独立坐标出发，利用纯数学分析方法，将用独立坐标描述的动力学方程用统一的原理与公式进行表达，克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点。

这种统一的方程即拉格朗日第二类方程。

上述工作均由拉格朗日(grange)于1788年奠定的。

以拉格朗日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学。

1834年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈密顿原理，从而建立了哈密顿力学。

对于一个动力学系统，尽管建立该系统的拉格朗日第二类方程或哈密顿正则方程不依赖于技巧，但它的数学推导过程相当繁琐，因此用来建立自由度比较多的系统动力学方程相当困难，并且容易出错。

利用拉格朗日第一类方程解决系统的动力学问题，与矢量动力学的一般方法一样，尽管建立方程比较容易，但其求解规模很大。

正是由于这个原因，在力学发展史上因拉格朗日第一类方程并不比矢量动力学一般方法优越，而被搁置一边。

随着近代计算技术的发展，解决具有程式化特征的数学问题，规模再大也能迎刃而解。

故解决动力学问题的拉格朗日第一类方程又引起广泛的注意。

可以说如今在解决复杂动力学问题成功的计算机辅助分析软件中，均采用拉格朗日第一类方程与加速度约束方程作为系统的动力学模型。

三．主要内容
分析力学有拉格朗日力学和哈密顿力学两种形式。

前者以拉格朗日量刻划力学系统，运动方程称为拉格朗日方程，后者以哈密顿量刻划力学系统，运动方程为哈密顿正则方程。

基本形式的拉格朗日方程：
()1,2,d T T
Q s dt q q αα
α
α⎛⎫∂∂-
== ⎪∂∂⎝⎭
其中q α为广义速度，
T
q α
∂∂为广义动量，Q α为广义力 保守系的拉格朗日方程：
()01,2,d L L
s dt q q α
α
α⎛⎫∂∂-
== ⎪∂∂⎝⎭
哈密顿正则方程：
()
1,2,H
p s q H q
p ααα
α
α∂⎧=-=⎪∂⎪⎨
∂⎪=-⎪∂⎩
通常称(),1,2,
p q s ααα=为正则变量，并用它们代表由广义坐标和广义动量所组成
的2s 维相空间中的一个相点。

分析力学研究的主要内容是：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。

分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。

它的优点是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。

从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。

在量子力学未建立以前，物理学家曾用分析力学研究微观现象的力学问题。

从1923年起，量子力学开始建立并逐步完善，才在微观现象的研究领域中取代了分析力学。

但是，掌握分析力学的一些基本知识有助于学好量子力学。

例如用分析力学知识求出汉密尔顿函数，再化成汉密尔顿算符，又自汉密尔顿-雅可比方程化成波动力学的基本方程——薛定谔方程等。

爱因斯坦提出相对论时，也曾把分析力学的一些方法应用于研究速度接近光速的相对论力学。

四．基本原理
分析力学的基本原理主要是虚功原理和达朗贝尔原理，而前者是分析静力学的基础；前后两者结合，便可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程。

研究对象是质点系。

质点系可视为一切宏观物体组成的力学系统的理想模型。

例如刚体、弹性体、流体等以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由 1到无穷。

又如太阳系可看作自由质点系。

研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学同分析力学密切相关，在方法上互相促进。

分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，运动微分方程组的阶数随之降低，更易于求解。

1.约束
完整约束：几何约束和可积分的微分约束称为完整约束； 稳定约束 (),,0f x y z = 不稳定约束 (),,,0f x y z t = 非完整约束：不可积分的微分约束称为非完整约束
(),,0f x y z ≤ (),,,0f x y z t ≤
2.广义坐标
若n 个质点的体系受k 个几何约束
(),,,0f x y z t = ()1,2,...k α=
此时，独立坐标数为3n-k 个，它的自由度为3n-k=s ，其位置可用s 个独立参数表示:
()()()
111222,,...,,,...,,,...,i i s i i s i i s x x q q q t y y q q q t z z q q q t ⎫
=⎪⎪
=⎬⎪
=⎪
⎭
()1,2,...,,3i n s n =<
或()12,,...,i i s r r q q q t
=()1,2,...,,3i n s n =<
s 个独立参数就叫做广义坐标 3.虚功原理
实位移 d r d x i d y j d z k x d t i y d t j
=++=++ 虚位移
i r x i y j
z k δδδδ=++ 实位移和虚位移的区别: 在任意的t 时刻，虚位移可不止一个，在稳定约束条件下，实位移是虚位移中的一个，当对于不稳定约束，它们并不一致。

虚功原理：受理想约束的力学体系的平衡充要条件是所有主动力的虚功之和等于零。

()1
1
0n n
F i i ix i iy i iz i i i W F r F x F y F z δδδδδ====++=∑∑ （1）
虚功原理的广义坐标表示：设12,,...s q q q 为系统的一组广义坐标s=3n-k ，则可以将各质点坐
标表示为：()
12,,...,i i s r r q q q t =
由虚位移定义对上式进行登时变分运算来确定第i 个质点的虚位移
1s
i
i r r q q ααα
δδ=∂=∂∑
（2） 其中q αδ（α=1,2…,n ）为广义坐标q α的变分，称为广义虚位移 代入虚功原理式（1）中得到
1110n
n
s i F i i i i i r W F r F q q αααδδδ===⎡⎤
⎛⎫∂===⎢⎥ ⎪∂⎝⎭⎣⎦
∑∑∑
令1n
i i i ix iy iz
i x y z Q F F F q q q αααα=⎛⎫
∂∂∂=
++ ⎪∂∂∂⎝⎭
∑ 111
0s
n s
i i i r W F q Q q q ααααααδδδ===⎛⎫
∂=== ⎪∂⎝⎭∑∑∑ （3）
其中Q q ααδ具有功的量纲，所以称Q α为与广义坐标q α相对应的广义力。

广义力的量纲由它所对应的广义坐标而定。

由于广义坐标的独立性，q αδ可以任意取值，因此若式（3）成立，必须有
12...0s Q Q Q ====
上式说明，质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于0，这就是广义坐标表示的质
点系的平衡条件。

4.动力学普遍方程
考虑n 个质点组成的系统，设第i 个质点的质量为i m ，矢径为i r ，加速度r ，其上作用有主动力i F ，约束力Ni F 。

令Ii i F mr =-，为第i 个质点的惯性力，则由达朗贝尔原理，作用在整个质点系上的主动力，约束力和惯性力系应用组成平衡力系，若系统只受理想约束作用，则由虚位移原理
()
()
1
1
0n
n
i
Ni
Ii i i i i i F F
F r F m r r δδ==++=-=∑∑
写成解析表达式
()()()1
[]0n
ix
i i i iy i i i iz i i i i F
m x x F m y y F m z z δδδ=-+-+-=∑ （4）
上式表明：在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所做的功的和等于零。

上式称为动力学普遍方程。

4.拉格朗日方程
有动力学普遍方程（4） 将（2）式代入得到
(
)
1
10n
s
i
i i i
i r F m r q q ααα
δ==∂-=∂∑∑ 进一步化简得到
110s
n
i i i i i i r r F m r q q q ααααδ==⎛⎫
∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭
∑∑ 可写为
()1
0s
Q P q αααα
δ=-=∑ （5） 其中 1n
i i i r Q F q αα=∂=∂∑ 1
n
i
i i
i r P m r q αα=∂=∂∑ 将P α进一步化简得到11n
n i i i i
i i i i r r d P m r m r dt q q ααα==⎛⎫⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
∑∑ 由动能2
1
12s i i T m r α==∑
则d T T
P dt q q ααα
∂∂=
-
∂∂代入（5）得到 10s d T T Q q dt q q αααα
αδ=⎛⎫
∂∂-+= ⎪∂∂⎝⎭
∑ 从而得出基本形式的拉格朗日方程
()1,2,d T T
Q s dt q q ααα
α⎛⎫∂∂-
== ⎪∂∂⎝⎭ （6）
五．意义
分析力学便于处理更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形。

分析力学能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，因而便于阐述力学的普遍原理。

分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力），因此分析力学的方法便于推广，对于物理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用。

分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。

质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。

又如太阳系可看作自由质点系，星体间的相互作用是万有引力，研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学，同分析力学密切相关，在方法上互相促进；工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。

例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。

故分析力学在物理学，天体研究以及工程应用中都有一定的应用价值。