天体力学二体问题的解
第一章-二体问题PPT课件
rd2r dt2
=rr3
r
rdv=d(rv) 0 dt dt
hrvconst
34
34
3.2 二体问题的解析解
二体问题角动量是常数
开普勒第二定理
角动量在极坐标下的表示
vd dr trirrd d itrrirrd d tiθ
hrvr2 ddt iz
面积化率
dA 1 r2 d
dt 2 dt
35
35
3.2 二体问题的解析解
d 2rcm dt2
0
内力不改变系统的质心
19
19
2.3 二体相对运动方程
Gm1m2 r2
r2
r1 r
m1 dd2tr21
Gm1m2 r2
r1r2 r
m2 dd2tr22
- G (m 1 r 2m 2)(r2rr1)d2(r d2 t2 r1)
d2r=G(m1m2)rr
dt2
r2 r r3
20
20
14
14
1.4 教程和参考书
1、航天器轨道动力学，赵钧编著，哈工大出版社，2011 2、航天器轨道动力学与控制，杨嘉摨主编，宇航出版社， 1995（注：国内航天器领域经典专著） 3、Fundamentals of Astrodynamics and Applications(Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：国外 经典教材） 4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：MIT教材）
物理规律的研究：牛顿定理和万有引力定理
第二章二体问题资料
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
三、二体问题与人卫正常轨道
二体问题
研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问 题 摄动力
除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力
人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道: 地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用
人卫正常轨道的特点: 运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置
第二章 二体问题
本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述， 以及二体问题的运动方程和方程的解。 重点： 1.二体问题的定义； 2.卫星运动的轨道参数； 3.二体问题基本运动方程； 4.二体问题基本运动方程的解。 难点： 1．怎样理解二体问题基本运动方程； 2．怎样得到二体问题基本运动方程的解。
开普勒第三定律
开普勒第三定律也适用于部分电荷在点电场中运动的情况。因为库仑力与万有引力均遵循“平方反比”规律， 通过类比可知，带电粒子在电场中的椭圆运动也遵循开普勒第三定律。
先构造一个匀速圆周运动的模Fra bibliotek，根据牛顿第二运动定律和库仑定律计算圆周运动周期，再将粒子由静止开 始的直线加速运动当做一个无限“扁”的椭圆运动，用开普勒第三定律计算粒子运动时间。
开普勒第三定律为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。
定律定义
开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长 轴的立方与周期的平方之比是一个常量 。
常见表述：绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（ a³）跟它的公转周期的二次方（T²）的比 值都相等，即， （其中M为中心天体质量，k为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量 ，G为引力常量， 其 2 0 0 6 年 国 际 推 荐 数 值 为 G = 6 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ N · m ²/ k g ²） 不 确 定 度 为 0 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ m ³k g ⁻ ¹ s ⁻ ² 。
用开普勒第三定律解决二体问题时，可将两个质点在相互作用下的运动，可约化为一个质点相对另一个质点 的相对运动，质点的质量需改用约化质量，即，其中，为两质点的质量。
开普勒第三定律也可以表示为：
引入天体质量后可表示为：
其中，为两个相应的行星质量，，为两个相应行星围绕同一恒星运动的周期，，为两个行星围绕同一恒星运 动的平均轨道半径。 通过拓展形式，可以根据绕同一行星的两星体轨道半径估测星体质量，或根据星体质量估 测运行轨道。
由运动总能量，得，则运动周期为 即 其中，，，和是方程的根，它们是椭圆运动的两个转折点，a为轨道半径，G为引力常量，M为中心天体的质 量。
二体问题
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
能量积分 1 r ⋅r − µ = C. C 是常数，所以可以取任意时刻的值
2
r
不妨取近点时刻：
r = a (1− e), r = 0
r
=
rer
+ rθeθ
=
h r
eθ
C
=
1 2
a2
h2
(1− e)2
−
µ
a (1− e)
=
−
µ 2a
C 仅与 a, µ 有关
3nd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比
(2.1.1) T 2 = ka3
k对所有的行星而言是同一常数
1
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律在太阳系内的体现.
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律的应用. 两个天体 m, m′ 围绕中心天体M 运动, 那么
在椭圆运动中真近点角 f 可以用 M 或 E 代替,在采用 M 时,M 中只含有 a, t, 而 E, f 中则含有 a, e, t, 并且 M 对时间的导数在二体运动中是常数.
2
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler方程的数值解法
E − esin E = M
这是一个超越方程
不动点迭代法 :
引入辅助量 F :
r = a (e cosh F −1)
代入积分，得到：
ν (t −τ ) = esinh F − F
这是双曲运动的Kepler方程.
( ) eF + e−F
cosh F =
, 双曲余弦函数
2
( ) eF − e−F
第3章二体问题
r
r01
r02
r1
r2
比较（3.10）式和（3.3）式，有
r1
m2 m1 m2
r
r2
m1 m1 m2
r
体系相对运动动能为
（3.10） （3.11） （3.12）
T
1 2
m1r12
1 2
m 2 r22
1 2
m1
(
m2 m1 m2
r)2
1 2
m2
(
m1 m1 m
2
r)2
1 2
m1m2 m1 m2
相互作用势只和粒子的相对距离r有关而和相对方向无关，即
V
(
i
)
(r )
V
(r
)
，称为中心势场。这是最重要的一类两体相互作用势。
本节讨论在中心势场 V (r) 中粒子的运动问题。
3.2.1 单粒子在中心势场中的运动
（1）运动特征和规律 • 受中心力作用
粒子在中心势场中受中心力作用
F V
( V r
1 3 rm r
其中 rm 2ma / L2 为轨道曲线极值点，于是稳定条件A>0变为
r 3rm
即在距离力心远处轨道是稳定的，在近处（包括在 r rm 处作圆周运动
）是不稳定的。
③
V kr 2 ，这时
A 1 2m (2kr) 2m r 4 (2k)1 6mk r 4 0
L2
L2
e 1 2EL2 ma 2
（3.26）
r P
1 e cos
（3.27）
上式为以坐标原点为焦点的圆锥曲线方程，式中P为半通径，e为偏心率。
• E < 0时，e < 1，为椭圆；
理论力学 两体问题
双星系统的研究有助于理解恒星的形成和演化过程，以及宇宙中的星系形成。
行星与卫星系统是一个行星和一个或多个卫星组成的系统，卫星绕着行星旋转，受到行星的万有引力作用。
行星与卫星的运动规律也是由万有引力定律和运动定律来描述，通过求解微分方程可以得出它们的轨道和运动规律。
理论力学 两体问题
目录
两体问题的基本概念 两体问题的动力学模型 两体问题的运动学模型 两体问题的经典问题 两体问题的数值模拟方法 两体问题的应用领域
01
CHAPTER
两体问题的基本概念
两体问题是指两个质点在万有引力或库仑力等作用下的运动问题。
两个质点在相互之间的力作用下，同时受到其他力的作用，这些力满足牛顿第三定律。
卫星轨道设计
卫星轨道设计是航天工程中的重要环节，而两体问题提供了卫星绕地球或其他天体运动的基本规律，为轨道设计提供了理论基础。
月球和火星探测
月球和火星探测任务中，两体问题用于研究探测器的轨道运动、着陆和巡视等任务。
航天工程
1
2
3
地球自转和极移是地球物理学研究的重要内容，两体问题提供了地球自转和极移的理论基础。
行星与卫星系统的研究有助于了解地球的气候变化、地质构造、天体演化等自然现象。
01
02
03
行星与卫星系统
哈雷彗星的轨道问题主要是研究其轨道的稳定性、变化规律以及与其他天体的相互作用。
哈雷彗星轨道问题的研究有助于了解太阳系的演化历史和天体的动力学行为。
哈雷彗星是太阳系中的一颗周期性彗星，其轨道非常长，大约需要76年才能绕行一周。
哈雷彗星轨道问题
天 体 力 学
天体力学天体力学是天文学和力学之间的交叉学科，是天文学中较早形成的一个分支学科，它主要应用力学规律来研究天体的运动和形状。
天体力学以往所涉及的天体主要是太阳系内的天体，五十年代以后也包括人造天体和一些成员不多(几个到几百个)的恒星系统。
天体的力学运动是指天体质量中心在空间轨道的移动和绕质量中心的转动(自转)。
对日月和行星则是要确定它们的轨道，编制星历表，计算质量并根据它们的自传确定天体的形状等等。
天体力学以数学为主要研究手段，至于天体的形状，主要是根据流体或弹性体在内部引力和自转离心力作用下的平衡形状及其变化规律。
天体内部和天体相互之间的万有引力是决定天体运动和形状的主要因素，天体力学目前仍以万有引力定律为基础。
虽然已发现万有引力定律与某些观测事实发生矛盾(如水星近日点进动问题)，而用爱因斯坦的广义相对论却能对这些事实作出更好的解释，但对天体力学的绝大多数课题来说，相对论效应并不明显。
因此，在天体力学中只是对于某些特殊问题才需要应用广义相对论和其他引力理论。
天体力学的发展历史远在公元前一、二千年，中国和其他文明古国就开始用太阳、月亮和大行星等天体的视运动来确定年、月和季节，为农业服务。
随着观测精度的不断提高，观测资料的不断积累，人们开始研究这些天体的真运动，从而预报它们未来的位置和天象，更好地为农业、航海事业等服务。
历史上出现过各种太阳、月球和大行星运动的假说，但直到1543年哥白尼提出日心体系后，才有反映太阳系的真运动的模型。
而开普勒根据第谷多年的行星观测资料，于1609～1619年间先后提出了著名的行星运动三大定律；开普勒定律深刻地描述了行星运动，至今仍有重要作用。
他还提出著名的开普勒方程，对行星轨道要柔下了定义。
从此可以预报行星(以及月球)更准确的位置，形成理论天文学，这是天体力学的前身。
到这时为止，人们对天体(指太阳、月球和大行星)的真运动仅处于描述阶段，未能深究行星运动的力学原因。
早在中世纪末期，达·芬奇就提出了不少力学概念，人们开始认识到力的作用。
非天文专业《天体力学》课程建设与教学方法研究
文章编号： １ ６ ７ ４ — ９ ３ ２ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ５ — ０ ０ ５ ８ — ０ ２
、
引言
天体力学是应用力学规律研究天体的运动和形状的一 门学科 ， 是天文学的一个分支， 同时又与数学和物理学的关 系密切 。 天体力学诞生于１ ６ ８ ７ 年， 但作为学科名称是拉普拉
２０１４ 年 １ 月 第 ５期
教 育 教 学 论 坛
ＥＤ ＵＣ Ａ ＴＩ ＯＮ Ｔ ＥＡ ＣＨ Ｉ Ｎ Ｇ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ｊ ａ ｎ． ２ Ｏ１ ４
Ｎ Ｏ． ５
非天文专业《 天体力学》 课程建设与教学方法研究
汪海洪 ， 罗
（ 武汉 大学
佳， 钟
波， 邹 贤才
武汉 ４ ３ ０ ０ ７ ９ ）
教学 内容与 教材 、教学 方法 和考 核等 方 面对非 天文 专业 天 体力学课程建设进行探讨 ， 以供同行参考。 二、 教 学 目标
的逻辑思维能力 ； （ ３ ） 指导学生将天体力学基本理论应用于 实际天体 ， 利用案例介绍天体力学在本专业 中的应用 ， 培养 学生 独立 分析与 解决 问题 的能力 。 三、 教 学 内容 与教 材 人造天体的出现与电子计算机的广泛应用 ，极大扩展 了天体力学的内容和应用范围，但是非天文专业天体力学 课程不可能也没必要涉及天体力学的所有 内容。结合专业 特点和需求 ， 选择的教学内容以经典天体力学的核心内容 为主， 即二体问题和摄动理论。 考虑到非天文专业大学生的 实际， 教学内容侧重于基本概念和基础理论 ， 并辅 以所需的 数学 和物 理学 基础 知识 。 表１ 列 出 了具 体教 学 内容 和课 时 安 排。第１ 章绪论对课程进行概述 ， 简要介绍天体力学的研究 内容和发展历史。第２ ～ ３ 章是针对非天文专业学生缺乏相 应 基础 而安 排 的数 学 、物理 和天 文学方 面 的基 础知 识 。第 ４ ～ ６ 章是经典天体力学的主要内容， 也是课程学习的重点。 第７ 章 是多 体 问题 ， 重点 介绍 三体 问题 。 第８ 章 主要 以地球 为 例介绍天体的形状与 自转理论。 教学内容由浅到深、 由易到 难 逐渐 递进 ， 便 于学 生理解 吸 收 。 国内天体力学的教材较少 ，而且由于出版时间较早现 已经没有再版， 如《 天体力学引论 、 《 天体力学基础》 删 。近 年来 ， 也鲜 有 天体力 学方 面 的书籍 出版 。 时 间最近 的天体 力 学 书籍 是２ ０ ０ ８ 年 出版 的《 现代 天体力 学导 论 》 ， 但是 该 书专 业性较强 ，主要介绍现代天体力学的内容和代表性研究成 果， 不适合作为非天文学专业本科生的教材。 为了满足课程 教学的需要 ， 课程组在２ ０ ０ ６ 年就结合国内外资料编写了《 天 体力学》 讲义 ， 内容覆盖了所需的基础知识和天体力学基本 理论 ， 并 添加 在本 专业 的一些 实 际应用 案例 。 经过 多年 的不 断更新和完善 ， 讲义基本具备了出版教材的条件。
物理学三体问题
物理学三体问题“物理学三体问题”是指在牛顿力学的框架下研究三个天体彼此之间的相互作用及其运动轨迹的问题。
虽然这个问题已经有几百年的历史，但它依然是天体力学中最具挑战性的问题之一，也是天体力学和混沌理论的重要研究内容之一。
下面将分步骤阐述“物理学三体问题”的相关内容。
一、物理学三体问题的基本概念和模型1. 什么是“物理学三体问题”物理学三体问题指的是在牛顿力学的框架下，研究三个天体之间的相互作用和运动轨迹的问题。
在这个问题中，三个天体的质量、速度、位置等参数都是关键要素。
2. 三体的数学模型对于物理学三体问题，可以使用数学模型进行分析。
具体而言，可以使用牛顿运动定律和万有引力定律，构建三个天体的运动方程，并通过求解这些方程，得到它们的运动轨迹。
二、物理学三体问题的解法1. 阿贝尔解法阿贝尔解法是指通过一系列变换，将物理学三体问题转化为两个二体问题的解法。
这个方法可以大大降低问题的难度，但是仍然需要复杂的计算。
2. 重心系统重心系统是指将三个天体看作一个整体来分析的方法。
当三个天体的质量相等时，这个系统可以简化为一个二体问题。
但是在实际应用中，天体的质量一般不可能完全相等。
3. 近似方法近似方法是指对物理学三体问题的近似解法。
通过对问题进行适当的简化和假设，可以得到比较精确的解析解。
但是近似方法的适用条件比较苛刻，需要对问题进行有效的简化和假设。
三、应用与研究1. 宇宙飞行器的轨道设计对于宇宙飞行器的轨道设计中，物理学三体问题是一个非常重要的因素。
通过对三体问题的分析和计算，可以确定飞行器的出发时间、出发位置、到达位置、转移轨道等关键参数，保证飞行器可以准确地到达目标地点。
2. 天体物理学研究天体物理学研究中，物理学三体问题是一个重要的研究方向。
对于宇宙中的三体系统，需要进行精细的数值计算和模拟，以确定它们的运动轨迹和相互作用模式。
这对于我们深入了解宇宙中三体系统的形成和演化规律具有重要的意义。
总之，“物理学三体问题”是一个很复杂的问题，但也是一个非常具有挑战性的问题。
关于二体问题经相对论修正后的解
关于二体问题经相对论修正后的解释
二体问题是物理学中描述两个物体之间的相互作用的一个经典问题。
在相对论的帮助下，它得以有效地解释。
根据相对论，空间时间是不独立的，而是相互结合在一起的，受到物体的质量和运动影响，因此，两个物体之间的相互作用也会受到这些影响。
通过相对论修正后，二体问题的解释主要集中在两方面：一是引入新的力学参数——引力波，使得两个物体之间的相互作用可以有效地描述；二是将物体的质量和运动影响考虑在内，从而改变一般相对论的力学表达式，使得在多物体情况下可以更准确地计算力度和作用范围。
天文学新概论-考试-2015
A
B
C
D
14 欧阳修的“月上柳梢头，人约黄昏后”根据月相可以推出当时的日期是什么时候？
A、 农历初一前后 B、 农历初七前后 C、 农历十五前后 D、 农历二十五前后
A
B
C
D
15 地球上已被命名的物种有（）种
A、 4.5万 B、 50万 C、 120万 D、 170万
A
B
C
D
43 黑体辐射实验是谁做的？
A、 爱因斯坦 B、 薛定谔 C、 费米 D、 普朗克
A
B
C
D
44 定轨问题是计算星历表的：
A、 正问题 B、 逆问题 C、 无关 D、 以上均不是
A
B
C
D
45 在13.82秒，宇宙温度为（）开
/exam/test/testStart?courseId=2539685&classId=160750&tId=7144&id=339782&p=1
/exam/test/testStart?courseId=2539685&classId=160750&tId=7144&id=339782&p=1
9/13
15-6-4
A
B
C
D
二、 判断题 （题数：50，共 50分）
1 目前已经观测到裸奇点。
天文学新概论-考试-河北科技师范学院
20 金星凌日相隔8年为一组，是因为太阳、地球和金星三体运动的结果。
15-6-4 河北科技师范学院
测试中
天文学新概论-考试-河北科技师范学院
《天文学新概论》期末考试
多体问题
多体问题many-body problem天体力学和一般力学的基本问题之一，又称为N体问题[1]，N表示任意正整数。
它研究N个质点相互之间在万有引力作用下的运动规律，对其中每个质点的质量和初始位置、初始速度都不加任何限制。
牛顿早就提出了这个问题。
作为研究天体系统的运动的一种力学模型，N个质点就代表N个天体，每个质点所受到的作用力就是它们之间的万有引力。
因此，这也是一种特殊的质点系统动力学，并已成为一般力学（理论力学）的专门分支。
对于一些特殊形状的天体，不能作为质点看待时，则须另行研究。
三百年来，大量的研究成果使多体问题成为天体力学中各个分支的共同基础，同时多体问题又有自己独立的研究课题。
主要研究课题可分为两类：一类是特殊的多体问题，另一类是共同性问题。
多体问题是一个十分复杂的理论问题，也是天体力学各个分支学科的共同基础课题。
当N＝2时，即为二体问题，已完全解决。
N＝3即成为著名的三体问题，除一些特殊的限制性三体问题可以得出特解外，一般三体问题仍是悬而未决的难题。
对于N＞3的N体问题，根本无法求出分析解。
现在主要是采用数值方法和定性方法来进行研究。
特别是随着电子计算机的广泛使用，数值方法更成为研究N体问题的主要手段。
多体问题的数学公式天体力学中的普遍情况下的多体问题是一组已知初始值的常微分方程组：即已知初始值<IMG class=tex alt=" q_j(0), \quad\dot q_j(0), j=1,\ldots,n " src="http://u /math/b/2/2/b2246468e589cc73bcf0d892580b4b0d.png">（当j 不等于k 时，<IMG class=tex alt=" q_j(0) \neq q_k(0) " src="http://upload.wiki /math/e/d/f/edfd838a2a7b581c2a306f2af71a76e8.png">），解出这个二阶常微分方程组<IMG class=tex alt=" m_j \ddot q_j = \gamma \sum\limits_{k\neq j }^{n} \ frac{m_j m_k(q_j-q_k)}{|q_j-q_k|^3}, j=1,\ldots,n \qquad \qquad \qquad (1) " sr c="/math/9/e/d/9ed55288bbfef5e60e460159499163bf.p ng">其中<IMG class=tex alt=" m_1,m_2,\ldots m_n " src="http://upload.wikime /math/9/d/8/9d8c04a60c9b0a362055ed29890b16e9.png">是代表n个质点质量的常量。
第2章二体问题
• 其余各种力则仅仅使卫星略微偏离正常轨道。我们将这种 偏离值称为轨道摄动，把这些小作用力称为摄动力。
道上的位置的一整套方法及其有关理论称为人造卫星正常 轨道理论。 • 显然人卫正常轨道只是真实轨道的一种近似。研究人卫正 常轨道的意义在于： • 1.人卫真实轨道＝人卫正常轨道＋轨道摄动。因而它是研 究人卫真实轨道的基础。 • 2常.由轨于道地是球真引实力轨（道1）的对很卫好星的的近运似动。起当决精定度性要作求用不，高因时而可正用 来替代真实轨道，以进行定性讨论和卫星预报等工作。
式中n1为整个系统中作用力的个数，n2为系统中的天体个数。
但遗憾的是到目前为止除了最简单的二体问题以外其它微分方程
组皆无法从数学上严格求解。因而我们也不得不沿用天体力学中
所惯用的方法将人造卫星的轨道运动人为地分成两个部分分别进
行处理。
3
（一）作用在卫星上的外力
从表2-1可以看出，作用在卫星上的力很复杂，除了地球的万有引力
科，是卫星大地测量的重要理论基础。人造卫星 入轨进入自动飞行阶段后，也和自然天体一样在 万有引力（及其它力）的作用下遵循牛顿运动定 律在轨道上运动。因而同样可以用研究天体运动 的一般理论—天体力学来研究其运动规律。但是 和自然天体相比，人造卫星的运动又有其特殊性， 主要表现为：
1
• 1.人造卫星离地球较近，因而不能像研究行星运动时那样 把地球当作一个质点，而必须考虑复杂的地球引力（通常 用高阶次的球谐函数来表示）对卫星运动的影响。
• 2.人造卫星所受到的作用力远较自然天体复杂。除了受到 其它天体的万有引力外还会受到大气阻力，太阳光压力等 多种力的作用。这些力中不但有保守力还有耗散力。
天体测量法探测系外行星
天体测量法探测系外行星∗许伟维;廖新浩;周永宏;许雪晴【摘要】As we known, the exoplanets are mostly detected by the methods of radial velocity and transit, only one is found by the astrometric method. As the data of the gaia to be released, astrometry will become one of the most important method for detecting exoplanets gradually. Based on the position sequence of stars, this paper discusses the calculation of the equations of dynamics conditions involved in solving the mass and the orbit parameters of the planet. Due to the deficiency of the available theory (orbital element method), we put forward a new method (coordinate velocity method). The differential correction formulae of the two methods are presented, as well as the necessary simulation. In addition, the method established in this paper can be applied to the multi-planet system easily.%在目前已发现的系外行星中，绝大多数是由视向速度法和凌星法探测得到的，天体测量法仅发现了1颗。
《天体力学基础》课程教学大纲
《天体力学基础》课程中英文简介课程编码：TF课程中文名称：天体力学基础课程英文名称：The Fundamentals of Celestial Mechanics总学时：40 学分：2.5课程简介：《天体力学基础》是空间科学与技术专业的一门专业基础课程，本课程主要讲授天体的运动和形状方面的知识，主要包括二体问题，受摄二体问题，N体问题等内容。
通过教学使学生掌握二体问题、受摄二体问题、三体问题的基本概念、原理及其特性，掌握天体运动的方程建立的方法，认识三体问题与二体问题及其解法的区别。
初步掌握N体问题的基本运动方程、圆形限制性三体问题定性理论和摄动理论及其摄动方程的推导方法，使学生能利用常数变易法解摄动问题。
Course Description：《The Fundamentals of Celestial Mechanics》is a basic course for the discipline of Space Science & Technology. This course mainly introduces Celestial Mechanics that deals with the mechanical motion and shape of celestial objects, including the 2-body problem , 2-body problem with perturbation and N-body problem. The student will be taught to master the essential concept, principal and characteristic of 2-body problem , 2-body problem with perturbation and 3-body problem, as well as the method to derive the motion equation of celestial objects. Furthermore, the difference between 2-body problem and 3-body problem will be realized by the student during the education. The motion equation of n-body problem, the theory of circle restricted 3-bdoy problem and the derivation method of perturb equation could be mastered by the students priliminarily. In this way, the student can use the method of constant variation to solve perturbation problem.《天体力学基础》课程教学大纲课程编码： TF课程名称：天体力学基础课程英文名称：The Fundamentals of Celestial Mechanics总学时：40 讲课学时：40学分：2.5开课单位：航天工程系授课对象：空间科学与技术专业本科生开课学期：3春先修课程：理论力学基础天文学主要教材及参考书：《天体力学基础讲义》自编；《天体力学基础讲义》南京大学周济林编著《天体力学基础讲义》武汉大学汪海洪编著《天体力学基础讲义》南京大学周礼勇编著《The Foundations of Celestial Mechanics》 George W. Collins, 2004 by the Pachart Foundation dba Pachart Publishing House and reprinted by permission 《轨道力学》（美）Howard D.Curtis 著周建华等译科学出版社 2009《天体力学方法》刘林南京大学出版社 1998一、课程教学目的《天体力学基础》是空间科学与技术专业的一门专业基础课程，是作为将来从事空间应用领域工作的学生应该掌握的一门专业知识。
二体问题
面积积分与开普勒第二定律的关系
开普勒第二定律
椭圆向径在相等时间内扫过的面积相同
h r 2u 1 t A rr 2
旋转矩阵
8
3/21/2013
轨道积分
r 3 r , 与h 叉乘 r
r h 3 r h r 3 r r r r
16
3/21/2013
过近拱点时间的积分—抛物线轨道
e 1
dt p3 df
1 cos f 2
tan
f 1 3 f tan 2 3 (t ) 2 3 2 p
巴克方程（Berker）或抛物 线情况的开普勒方程
过近拱点时间的积分—双曲线轨道
e 1
tan f 1 e H tanh 2 1 e 2
为积分常矢量
h r e r r
轨道积分
ex e ey ez
h) h r hh 0 (r
轨道坐标系
h） （r h （r h re h ) e h r
a b c a c b a b c
r r r r r h 3 r r r 2 d r = 3 [r r (rr ) r ] r dt r
二体问题
太阳系中，太阳和大行星的扁率都很小，接近 于球体，而且它们之间的距离比各自的尺寸大 得多，因此，太阳和大行星之间相互吸引可近 似为质点之间的吸引； 太阳系中的小天体（小行星和流星），形状不 规则，但是它们相对于太阳和大行星的距离来 说都很小，也可当作质点处理； 彗星弥散度很大，但是大部分质量高度集中在 慧核； 与太阳相比，行星质量小得多，最大的木星质 量也只有太阳质量的1/1000。
航天器开普勒轨道和非开普勒轨道的定义_分类及控制
第35卷 第4期2009年8月空间控制技术与应用Aer os pace Contr ol and App licati on航天器开普勒轨道和非开普勒轨道的定义、分类及控制3孙承启1,2(11北京控制工程研究所,北京100190;2.空间智能控制技术国家级重点实验室,北京100190)摘 要:给出了航天器开普勒轨道(K O)和非开普勒轨道(NK O)的来源、定义、分类和特点,阐明了K O和NK O之间的关系,介绍了相关的轨道控制与轨道确定、制导与导航的涵义.关键词:开普勒轨道;非开普勒轨道;轨道分类;轨道控制;轨道确定中图分类号:V412.41 文献标识码:A文章编号:167421579(2009)0420001205Spacecraft Kepler i a n O rb its and Non2Kepler i a n O rb its:D ef i n iti on,C l a ssi f i ca ti on and Con trolS UN Chengqi1,2(1.B eijing Institute of Control Engineering,B eijing100190,China;2.N ationa l L aboratory of Space Intelligent Control,B eijing100190,China)Abstract:This paper describes s pacecraft’s Kep lerian orbits(K O)and non2Kep lerian orbits(NK O) including their origins,definiti ons,classificati ons and characteristics,exp lains the relati onshi p bet w een the K O and the NK O,and intr oduces briefly s ome issues related t o orbit contr ol and orbit deter m inati on, guidance and navigati on.Keywords:Kep lerian orbits;non2Kep lerian orbits;classificati on of orbits;orbit contr ol;orbit deter m inati on 3本文是作者在2008年8月30—31日国家863计划“空间非开普勒轨道动力学与控制专题讨论会”上报告的基础上修改而成的. 收稿日期:2009203216作者简介:孙承启(1943—),男,浙江人,研究员,研究方向为航天器制导、导航与控制,空间交会对接(e2mail: sunchengqi@s ). 人类科学认识天体运动是从哥白尼(1473—1543)开始的,开普勒(1571—1630)根据前人的天文观测资料总结出了行星绕太阳运动的三大定律,被后人称为开普勒三定律.开普勒和伽利略(1564—1642)之后,牛顿(1642—1727)提出了万有引力定律和物体运动的三大定律(后人称之为牛顿三定律),以此为基础的牛顿力学是天体力学的基础,也是航天动力学的基础.开普勒定律给出了行星(也适用于航天器)轨道运动规律的运动学描述,牛顿力学则是对这种轨道运动规律给出了动力学意义下的解释.开普勒定律可以用牛顿力学得到严格证明.从哥白尼的日心地动说的提出到牛顿力学的建立是人类认识宇宙的第一次飞跃[1].二体问题是天体力学中的一个基本问题,它是・1・空间控制技术与应用35卷指可视为质点的两个天体在相互间唯一的万有引力作用下的运动规律问题.二体问题可以用牛顿万有引力定律和牛顿运动定律来描述并得到完全解决.开普勒三定律是二体问题的解.在二体问题的假设条件下,进一步假设主天体的质量远远大于次天体(或航天器)的质量,且认为主天体是惯性固定的,就成了限制性二体问题[2].航天器轨道是指航天器在天体引力和其它外力作用下其质心运动的轨迹.由于受到天体中心引力以外的其它外力的作用,航天器的轨道运动实际上并不严格遵循二体问题的解,这发生在航天器受到地球非球形及质量分布不均匀、大气阻力、太阳光压、其它天体的引力等自然环境摄动力作用的情况,也发生在航天器受到其主动产生的控制力作用的情况.这些情况下航天器的轨道不再是严格的有时甚至根本不是理想的开普勒轨道了,于是提出了非开普勒轨道问题.本文打算从轨道动力学和轨道控制的角度给出航天器开普勒轨道(K O)和非开普勒轨道(NK O)的定义和分类,把航天器开普勒轨道分为理想K O和视同K O两大类,把航天器非开普勒轨道分为非本质NK O和本质NK O两大类,这两类NK O中又有自然(被动)的和人为(主动)的两种情况,重点介绍本质NK O的分类及典型例子.本文最后简要介绍与航天器轨道密切相关的轨道控制和轨道确定问题,给出了航天器制导和导航的含义.除非特别说明,本文所说的航天器轨道是指航天器相对于天体的运行轨道,而不是指两个航天器之间的相对轨道.1 开普勒轨道1.1 开普勒轨道的名词来源作为一个名词术语,开普勒轨道来自开普勒三定律,起源于对行星绕太阳的运动规律———行星轨道问题的研究.“开普勒轨道”这个名词是开普勒以后的人提出来的,并把开普勒轨道扩展到二体问题的解.开普勒轨道的英文名词是Kep lerian orbits,本文把它缩写为K O.由于航天器的轨道运动也符合开普勒三定律,因此名词“开普勒轨道”同样适用于航天器.本文所说开普勒轨道大多数情况是指航天器开普勒轨道.1.2 开普勒轨道的定义开普勒轨道定义1:符合开普勒三定律的天体或航天器的运行轨道.开普勒轨道定义2:由二体问题的解得到的天体或航天器的运行轨道.所以,开普勒轨道也称为二体问题轨道.符合上述定义的开普勒轨道也称为理想的开普勒轨道. 1.3 开普勒轨道的分类和特点开普勒轨道的分类见图1.图1中的“视同”是“可以把它看作”的意思.视同K O的特点如图1所示.图1 开普勒轨道的分类图航天器的开普勒轨道可由如下二体问题基本方程解得:¨r+μrr3=0(1) 上述方程描述在惯性坐标系中航天器相对于天体的轨道运动.式(1)中的r是从天体(质量记为m1)到航天器(m2)的位置矢量,μ=G(m1+m2)是二体系统的引力常数,G是万有引力常数.由于m1µm2,可以只考虑m1对m2的引力,这种情况可把航天器开普勒轨道看成是限制性二体问题的解,即看成是在惯性固定天体中心引力场中的运动(有心力运动)轨迹.由式(1)可以解得航天器的轨道方程r=p1+e cosθ(2) 开普勒轨道可以用开普勒轨道六要素(简称轨道要素,也称轨道根数)来表示.必须指出,航天器开普勒轨道是在一定假设下的理想轨道.人造地球卫星出现以后,仅仅按照开普勒三定律和利用二体问题不可能准确预报卫星的位置,于是提出了航天器轨道摄动问题和摄动轨道这个名词,后来出现了非开普勒轨道这个名词.2 航天器非开普勒轨道2.1 非开普勒轨道的名词来源通过初步检索,non2Kep lerian orbits这个名词1980年出现在Baxter的文章中[3].本文把非开普勒轨道缩写为NK O.本文所说的NK O主要指航天器的NK O.・2・第4期孙承启:航天器开普勒轨道和非开普勒轨道的定义、分类及控制2.2 非开普勒轨道的定义非开普勒轨道定义1:不符合开普勒三定律的航天器的运行轨道.非开普勒轨道定义2:不符合二体问题解的航天器的运行轨道.2.3 非开普勒轨道的分类和特点在引起航天器开普勒轨道变化(摄动或偏离或根本不符)的原因中,有些对航天器轨道的影响较小,可当作摄动来处理,有些影响较大而必须另作处理.从影响程度上可以把非开普勒轨道分为非本质NK O和本质NK O两大类,从影响源上可分为自然(或被动)NK O和人为(或主动)NK O两种.本文采用以第一种分类为主的分类法.2.3.1 非本质NK O非本质NK O多半是由于空间环境干扰和某些人为因素造成的.空间环境摄动力虽小,但长期作用会形成NK O.航天器发动机的漏气(产生的推力很小)及姿态控制推力器的非力偶方式工作也会引起轨道摄动.还有一些发生在航天器遭到流星或空间碎片的撞击和发动机的脉冲工作情况.当这种瞬时干扰结束后,航天器将以干扰消失时刻的轨道继续运行下去.因此非本质NK O也可以说是由于干扰力或干扰力的影响远小于主天体对航天器的引力的影响而造成的.有些非本质NK O是很有用的.比如利用地球形状摄动可以获得太阳同步轨道、临界倾角(i= 6314°)轨道等.2.3.2 本质NK O对于作用在航天器上的自然环境力或控制力对航天器轨道的影响已不能当成摄动来处理的情况,航天器就运行在本质NK O上了.由自然环境引起的本质NK O的典型例子是航天器再入大气层后的飞行轨道和三体问题轨道.深空探测需要研究三体问题或多体问题.按照上述定义,深空探测器在三体问题中的轨道属于本质NK O,尽管它可以用干扰二体问题来处理.所谓三体问题是指研究3个可视为质点的天体在万有引力相互作用下的运动规律问题.三体问题是天体力学中的一个基本问题,可以用牛顿力学来处理.一般的三体问题没有解析解.但是对深空探测器而言,可以简化为限制性三体问题来研究.以日地系统为例,限制性三体问题有5个特解,称之为平动点或拉格朗日点(简记为L点).在这5个点处航天器相对于原点在日地公共质心上的旋转坐标系的相对加速度等于0,即引力加速度和离心力加速度相平衡.处于某些平动点附近轨道上运行的航天器有着特殊的应用价值,比如我国计划中的夸父卫星A在日2地之间的L1点(距离地球115×106km)的晕轨道(过L1点垂直于日地连线的平面附近绕L1点的运行轨道)上运行,对空间风暴、极光和空间天气进行探测和研究[4].2.3.3 航天器的人为本质NK O航天器的人为本质NK O是指航天器在经常性的或连续的控制力作用下的运行轨道.可以分为受控本质NK O和乱控本质NK O.乱控本质NK O是指在航天器控制系统或推进系统出现故障的情况,航天器在不符合要求的持续推力作用下的飞行轨道.下面列举一些航天器的受控本质NK O:1)进入或返回再入行星大气层后的受控飞行轨道,特别是有升力控制的再入段轨道;2)空间拦截或空间交会的末制导段轨道;3)行星软着陆制动段轨道;4)沿V(目标航天器飞行速度)方向或沿R(目标航天器地心矢量)方向直线靠拢时的轨道;5)对目标航天器作任意方位绕飞时的轨道;6)在目标航天器轨道平面外作相对位置保持时的轨道;7)保持在目标航天器R方向某个位置上的轨道;8)各种连续推力作用下的转移轨道;9)复杂形状编队飞行时的轨道;10)复杂形状星座保持时的轨道;11)太阳帆的飞行轨道;12)气动辅助变轨段轨道.综上所述,可以用图2来描述航天器非开普勒轨道的分类.3 开普勒轨道与非开普勒轨道的关系1)航天器开普勒轨道是航天器非开普勒轨道的近似,近似程度依具体情况而异.2)航天器开普勒轨道是对非开普勒轨道理想化的结果.3)在某些简化条件或允许条件下,非开普勒轨道可以用开普勒轨道要素来表示.a.对于长期受到小摄动作用的航天器轨道可以用密切轨道(瞬时开普勒轨道)来描述,或在一段不长的时间内可以用开普勒轨道来描述.・3・空间控制技术与应用35卷图2 非开普勒轨道的分类图 b.在短时强干扰或脉冲干扰作用前和结束后,可以用开普勒轨道来描述.c.在航天器轨道设计时,把开普勒轨道作为标称轨道或参考轨道来使用.当主要摄动模型已知时,把考虑摄动后的理论计算轨道(视同开普勒轨道)作为标称轨道或参考轨道来使用.4)牛顿力学是研究开普勒轨道和非开普勒轨道的共同基础.4 航天器的轨道控制航天器轨道控制就是通过利用或主动对航天器施加外力改变航天器质心运动的轨迹,使其沿要求的轨道到达预定目标(目标轨道或目标位置),一般包括轨道机动和轨道保持两种情况.有时把未施加控制力的轨道称为自由轨道.在不同参考坐标系中,航天器轨道的形态是不同的.以改变在惯性坐标系中的轨道形态为目的的轨道控制称为绝对轨道控制,以改变在航天器相对(动)坐标系中的轨道形态为目的的轨道控制称为相对轨道控制.轨道控制过程中的绝对轨道都是非开普勒轨道.对航天器主动施加外力(通常是在给定方向施加一定时间的有限推力,有些情况施加变推力)的结果是航天器飞行速度(轨道运动速度)的大小和方向发生变化.变轨前后速度矢量改变量的模即速度增量的大小是轨道控制所付出的能量代价的间接度量.短时间施加的推力可视为脉冲推力,n次脉冲推力控制的结果形成了一个由n+1段自由轨道相连的非本质NK O.但是如果施加推力的时间很长,则控制的结果是形成一段本质NK O.轨道控制通常是先针对给定的航天任务选择或设计一条标称轨道(也称参考轨道或目标轨道).这条参考轨道通常是按简化模型用标称参数值计算出来的理论轨道,它可以是K O,也可以是NK O.轨道控制系统按照事先设计好的控制规律在一个或几个时刻开启轨控发动机进行变轨,使航天器到达目标轨道或保持在标称轨道上.为到达空间预定位置或区域所进行的轨道控制称为制导.例如轨道拦截和交会对接任务中的末制导,航天器返回地面过程中的再入制导,运载火箭把航天器送入预定入轨点的制导等.现代航天器的制导系统通常是一个反馈控制系统.闭路制导系统把实测轨道与参考轨道进行比较,按照事先设计好的制导规律,控制航天器的飞行轨迹,消除误差,使其沿参考轨道飞行,最终到达目标点.这种情况下的参考轨道可以事先设计好并装订在星载计算机中,也可以由星载计算机按给定模型实时计算.轨道控制系统的主要性能指标是精度、时间和所消耗的能量或推进剂量.轨道控制或制导的精度主要取决于轨道确定或导航的精度和控制或制导的方法误差.轨道控制过程的时间主要取决于标准轨道的选择、轨道控制规律和执行机构的性能.轨道控制所消耗的推进剂量(正比于各次变轨速度增量绝对值之和,也称特征速度)主要取决于轨道控制规律和发动机的比冲.如果设计参考轨道时所用的动力学模型与实际轨道相差大,那么为迫使航天器沿・4・第4期孙承启:航天器开普勒轨道和非开普勒轨道的定义、分类及控制参考轨道飞行所消耗的推进剂就多.设计者要对上述性能指标进行权衡与折衷,并希望实现自然作用与人为控制作用的最佳结合———和谐控制.下面举3个轨道控制的例子.(1)从月球返回地球的跳跃式再入控制[5]低升阻比探月飞行器返回地球时,飞行器将以接近第二宇宙速度的高速再入地球大气层.如果要求返回起始于绕月轨道上的任意点和任意时刻,并保证最终能安全地着陆到地面指定区域,就要求飞行器有很长的纵向航程控制能力.由于飞行器的升阻比较小,所以必须采取跳跃式再入方式,即飞行器先再入大气层,然后跃升到大气层外,最后再一次进入大气层并着陆.再入制导系统必须能够提供可供跳跃的再入轨迹(即参考轨道)并进行精确制导.轨迹规划即制定参考轨道的任务是由星载计算机在轨(实时)计算出一条由当前点至第二次再入段终点(着陆器降落伞的开伞点)的可行的跳跃式再入轨迹和合适的倾侧角(称指令倾侧角).参考轨道设计的基本要求是满足从当前点到开伞点的航程要求,并保证过载不超过限定值.制导律设计的基本要求是通过跟踪指令倾侧角,保证飞行器沿该参考轨道飞行并有足够的鲁棒性.该探月飞行器的返回再入制导系统是一个闭路制导系统.从首次再入点开始到最终着陆的整个飞行过程除了中间有一小段是在大气层外的K O外,其余部分都是本质NK O.(2)交会对接最后停靠段的相对轨道控制如果在航天飞机与空间站交会对接最后停靠段要求航天飞机自下而上地靠拢空间站,则可以沿R(空间站的地心矢量)方向和V(空间站的轨道速度矢量)方向连续地对航天飞机施加推力,其中V方向的推力用于减小航天飞机与空间站沿V 方向的相对速度,R方向的推力用于减小二者之间的高度差,采用这种相对制导策略可以实现航天飞机沿R方向向空间站匀速直线靠拢,在停靠过程中航天飞机绕地球飞行的轨道(绝对轨道)是一个本质NK O.(3)星际航行的轨道控制如前所述,星际航行轨道涉及到三体问题.三体问题是一个非线性动态系统,其运动具有混沌现象.星际航行中的轨道转移可以应用混沌运动理论中的不变流形(有稳定流形和不稳定流形两种)的概念.利用不变流形可以大大减小轨道转移的推进剂消耗量.太阳系中的许多条不变流形组成了一个轨道网络.由于沿此网络中的管道表面飞行所消耗的能量极小,所以常称之为星际高速公路(I PS, inter p lanetary superhigh way).航天器可沿稳定流形接近天体,沿不稳定流形飞离天体.如果要使宇宙飞船从行星A飞向行星B,可以先让宇宙飞船沿稳定流形管道转移到行星A的一个晕轨道上,然后沿行星A晕轨道的一个不稳定流形管道上飞行,再在适当的时候让宇宙飞船切换到行星B的一个稳定流形管道上,宇宙飞船接着沿此管道到达行星B的一个晕轨道上,最后再转移到绕行星B的近星轨道上.由于宇宙飞船在整个飞行过程中很大一部分是沿不变流形管道飞行的,所以只需消耗非常少的推进剂.需要指出,航天器轨道控制通常需要姿态控制相配合.这种情况下,姿态控制系统的任务是将航天器的姿态或推力发生器(比如发动机、太阳帆等)的指向调整到并稳定在轨道控制所要求的数值上;或者在轨道控制力作用期间,使航天器的姿态或推力发生器的指向按轨道控制或制导给出的规律变化.有时需要考虑轨道控制与姿态控制作用的相互耦合对航天器轨道运动和姿态运动的影响.5 航天器的轨道确定航天器的轨道确定就是对轨道测量数据进行处理,给出航天器在给定时刻的位置和速度或者轨道要素.测量数据可以由地面站对航天器运动轨迹进行测量得到,也可以由装载在航天器上的测量设备提供.通过对这些测量数据的处理和计算可以获得航天器的轨道参数.轨道控制需要知道航天器现时的轨道参数,闭路制导需要航天器实时确定它自己的位置和速度,有时姿态确定也需要知道航天器的轨道参数.我们把为轨道控制或制导所进行的轨道确定称为导航.完全利用航天器上的测量设备和计算装置而不依赖于地面设备支持的导航称为自主导航.轨道动力学模型对轨道确定的精度有很大影响.在星上轨道计算或导航任务中,应在星载计算机的能力范围内尽量使用精度较高的轨道动力学模型———NK O模型,例如采用包含地球非球形摄动的J2项的轨道动力学方程,在相对导航滤波器设计中考虑航天器发动机工作时推力的影响.航天任务常常需要地面站给出航天器轨道参数的(下转第47页)・5・第4期党 蓉等:基于BANK编译模式在扩大单片机程序存储空间中的应用研究1.4 修改编译选项编译选项的修改与使用的编译器有关.本用例使用了Keil C51编译器,结合硬件的具体设计情况,在L51_BANK.A5l文件中修改如下两处配置代码,其他不变.1)设置?B_NBANKS为2;2)设置BANK S W I TCH采用单片机P1.4口操作.另外,还需要在编译选项中设置BANK区的起始和终止地址.2 设计验证通过对资源的分析和拷机试验验证了硬件设计和软件结构规划的正确性以及采用BANK编译模式编译后跨BANK区切换的可行性.由于在进行BANK区间切换操作时,会占用4个字节的堆栈空间,并且公用变量、常量必须放在COMMON区等缘故,所以本文采用仿真器对程序运行过程中的压栈情况、公用变量及常量进行了单步跟踪及分析,结果表明堆栈空间满足要求,公用变量及常量不存在冲突,数据传递正确.对软硬件进行了3h的连续拷机试验,试验结果表明程序运行正常.3 结 论本文利用Keil C51的BANK编译模式进行软硬件联合设计,解决了MCS251系列单片机对最大64K B程序空间的限制问题,可供类似应用参考.参 考 文 献[1] 徐爱钧,彭秀华.Keil Cx51V7.0单片机高级语言编程与μV isi on2应用实践[M].北京:电子工业出版社,2006:1472605[2] Keil Elektr onik G mbH and Keil Soft w are I nc.A51macr o assembler and utilities f or8051and variants[M].[S.l.]Keil Elektr onik G mbH and Keil Soft w areI nc,2001:2932304[3] Keil Elektr onik G mbH and Keil S oft w are I nc.GS51gettingstarted withμV isi on2[M].[S.l.]Keil Elektr onik G mbHand Keil S oft w are I nc,2001:67268[4] 孙涵芳,徐爱卿.MCS251系列单片机原理及应用[M].北京:北京航天航空大学出版社,1994:1482158[5] 周敬利,卓越.MCS251程序空间扩展原理及编译器优化[J].计算机工程,2003,29(8):1832185[6] 任克强,胡中栋.一种扩展MCS251单片机程序存储器地址空间的方法[J].南方冶金学院学报,2002,23(9):38240[7] 黄晴.基于C51的BANK编译器应用[J].机电工程技术,2005,34(8):79280(上接第5页)预报值,这种情况应尽量选用高精度的NK O模型,采用喷气姿态控制的低轨道卫星的轨道预报需要考虑小推力姿态控制发动机工作累积冲量引起的轨道摄动.6 结束语本文从开普勒三定律和牛顿力学出发,阐述了航天器的轨道问题,给出了航天器开普勒轨道和非开普勒轨道的定义、分类和特点.本文将开普勒轨道分为理想K O和视同K O两大类,将非开普勒轨道分为非本质NK O和本质NK O两大类,它们都有自然的和人为的两种情况,列举了许多受控本质NK O 的典型例子,还介绍了相关的轨道控制与轨道确定、制导与导航问题.参 考 文 献[1] 张钰哲,戴文赛,李珩,等.中国大百科全书:天文学[M].北京:中国大百科全书出版社,1980:127[2] Bong W.Space vehicle dyna m ics and contr ol[M].Rest on:A I A A I nc,1998[3] Baxter B E.Kep lerian rep resentati on of a non2Kep lerianorbit[J].Journal of Guidance and Contr ol,1980,3(2):1512153[4] 胡少春,刘一武,孙承启.星际高速公路技术及其在夸父计划中的应用[J].空间控制技术与应用,2008,34(6):12217[5] 陆平,朱亮,敬忠良,等.探月返回跳跃式再入制导[C].全国第十三届空间及运动体控制技术学术会议,湖北宜昌,2008年7月・74・。
平面4N体问题的扭转正多边形套周期解
平面4N体问题的扭转正多边形套周期解苏霞【摘要】研究平面4N体问题的扭转正多边形套周期解.如果这些天体分别位于3个同心圆上,并且形成正N边形与正2N边形的的多边形套,那么平面4N体问题存在周期解的充分必要条件是同一个圆上的质点的质量相等.【期刊名称】《淮阴工学院学报》【年(卷),期】2010(019)003【总页数】7页(P5-11)【关键词】4N-体问题;周期解;循环矩阵;正多边形套【作者】苏霞【作者单位】淮阴工学院,数理学院,江苏,淮安,223003【正文语种】中文【中图分类】O1570 引言天体力学是一门古老的学科，是天文学的一个重要分支，但又同数学和力学有着千丝万缕的联系。
天体力学是天文学和力学之间的交叉学科，它运用力学规律来研究天体的运动和形状。
天体内部和天体相互之间的万有引力是决定天体运动和形状的主要因素，它以万有引力定律为基础。
虽然已发现万有引力定律与某些观测事实发生矛盾，而用爱因斯坦的广义相对论却能对这些事实作出更好的解释，但对天体力学的绝大多数课题来说，相对论效应并不明显。
因此，在天体力学中只是对于某些特殊问题才需要应用广义相对论和其他引力理论。
天体力学以数学为研究手段。
它的研究内容包括二体问题、三体问题、多体问题、摄动理论、天体形状和自转理论，以及有关天体运动的定性理论和数值方法。
天体力学还和天体测量学、星系力学、天体动力演化论、天体物理学等密切相关。
多体问题又叫N体问题，是研究N个质点在万有引力作用下的运动。
在N=2时为二体问题，这个问题是天体力学的基本问题之一，已得到完全解决。
在N=3时为三体问题，这个问题难度较高，多年来进展甚慢，仍未得到解决，正用分析方法、数值方法和定性方法进行研究。
还有许多人致力于一些特殊问题的研究，如三体问题的积分、限制性三体问题等。
对于其他多体问题，主要研究运动的一般特性。
在现代天体力学的研究中，多体问题是一个重要领域，这是天体力学同一般力学和应用数学之间的共同研究领域。
第二章二体问题
偏心率e
这两个参数确定了开普勒椭圆的形状和大小。 升交点赤经Ω:即地球赤道面上升交点与春分点之间 的地心夹角。 轨道倾角I:即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹 角。这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球 体之间的相对定向。
近地点角距ω:即在轨道平面上，升交点与近地点之间的 地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。
非球形对称的作用力、日月引力、大气阻力、光辐射压力 以及地球潮汐力等。摄动力使卫星的运动产生一些小的附 加变化而偏离理想轨道，同时偏离量的大小也随时间而改 变。
在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动，相 应的卫星轨道称为受摄轨道。
第七页，课件共有39页
❖ 地球引力 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心力
第三十九页，课件共有39页
开普勒（Johannes Kepler） 国籍:
德国 生卒日期:
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就:
发现了行星运动三定律
第十五页，课件共有39页
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律
卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。
此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由
研究内容除定轨外，还包括轨道设计、卫星回收等 问题
第六页，课件共有39页
二、作用在卫星上的外力
为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于卫 星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是假设 地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中心）， 称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和特征，由 此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是分析卫星实 际轨道的基础。另一类是摄动力或非中心力，包括地球
第十八页，课件共有39页
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
天体力学二体问题的解内容提要本文简单介绍了天体力学次级学科内容，发展简史，及其在人类文明发展的历史地位。
天体力学认为二体问题已经解决，这是一个认识误区。
文章详细地叙述了二体问题的传统解法，按照《伯力克物理教程》第一卷《力学》第九章中高级课题所讲述的方法，导出二体问题与时间有关的解。
探讨了二体问题方程式。
天体力学二体问题传统解，致使许多自然现象困惑难解。
走出天体力学认识的误区，一大批物理批疑难问题豁然开朗。
附件用10个专题文章尝试解解释有关物理疑难问题目录1 天体力学简介1.1 天体力学次级学科内容1.2 天体力学发展简史1.3 天体力学历史地位2 天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念2.2 二体问题常规解2.3天体力学认识中的误区3二体问题与时间相关的解3.1 天体引力场的时空结构3.2二体问题与时间相关的解3.3二体问题与时间有关的解附件1 哈勃定律的理论解释2 太阳系天体距离和周期的规律性3 水星近日点的进动4 月球长期加速运动5 古生物化石的年轮和月轮6 河外天体光谱红移7 天体形态与微观结构的联系8 太阳常数理论计算9 物理黑洞10地球能量、温度和辐射1 天体力学简介1.1 天体力学次级学科天体力学是研究天体的运动和形状的学科。
天体力学可分为六个次级学科：①多体问题，又称做N体问题，或称摄动理论。
研究N个质点在万有引力作用下的动力学问题，其中只有二体问题已彻底解决。
②数值方法。
采用数值计算的方法来求解天体的运动方程并讨论解的收敛性、稳定性及计算方法的改进等问题。
③定性方法。
探讨天体运动轨道的宏观图像、运动区域和轨道特征。
④天文动力学。
又称为星际航行动力学，主要是研究各种人造天体的运动规律。
⑤历书天文学。
根据天体运动理论和轨道要素编制各种天体的历表和计算各种天象。
⑥天体的形状和自转理论。
主要研究各种物态组成的天体的自转平衡形态、稳定性及自转轴的变化规律。
历史渊源1.2 天体力学发展简史丹麦天文学家第谷（B. Tycho ，1546～1601）在16世纪对行星绕日运行作了长期的观测，记录了大量准确可靠的天文数据资料。
德国天文学家，数学家开普勒(Kepler，Johannes,1571～1630)根据第谷多年的行星观测资料于1609年－1619年先后提出了行星运动三大定律，还提出了著名的开普勒方程，对行星轨道要素下了定义。
从此可以预报行星（以及月球）更准确的位置，形成理论天文学，揭开了天体力学的序幕；英国著名的物理学家牛顿（I.Newton，1643～1727），英国科学家胡克（R. Hook ）和荷兰物理学家惠更斯(C. Huygens）都曾根据开普勒定律推测行星和太阳间存在和距离二次方成反比的引力，为此胡克和牛顿还通过信，因此，对定律的首创权有过争议。
1687 年 7 月 Newton名著《自然哲学的数学原理》问世，提出绝对时空观念，牛顿动力学三定律和万有引力定律，建立经典力学理论基础。
瑞士数学家欧拉（Euler，Léonhard，1707～1783）是第一个较完整的月球运动理论的创立者，法国数学家达朗贝尔（d'Alembert，Jean le Rond，1717～1783）的《动力学》是力学方面的一部奠基性著作，书中包括后来以他的名字命名的达朗贝尔原理，根据这个原理建立起把动力学问题化为静力学问题来处理的一般方法。
他运用这个方法研究了天体力学中的三体问题，并把它推广到流体动力学中法国数学家拉格朗日（Lagrange，Joseph-Louis，1736～1813）在《分析力学》一书中，运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了，拉格朗日是大行星运动理论的创始人。
法国数学家，天文学家拉普拉斯(Laplace，Pierre-Simon，1749～1827)是天体力学集大成者。
他的五卷十六册巨著《天体力学》成为经典天体力学的代表作。
在这部著作中，他对大行星和月球的运动都提出了较完整的理论，而且对周期彗星和木星的卫星也提出了相应的运动理论。
同时，他还对天体形状的理论基础－流体自转时的平衡形状理论作了详细论述。
法国数学家勒让德（Legendre，Adrien-Marie，1752～1833）在天文学的研究中，引进了著名的“勒让德多项式”，发现了它的许多性质。
德国数学家，天文学家，物理学家高斯（Gauss，Carl Friedrich ，1777～1855）创立三次观测决定小行星轨道的计算方法，1809年发表其计算方法。
此后，几乎都用这个方法推算小行星轨道。
在星历表计算中，他引进一组辅助量（又称为高斯常数），使求日心赤道直角坐标计算大大简化。
法国数学家泊松（Poisson，Siméon-Denis，1781～1840）对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。
“泊松方程”是经典引力理论的分析形式。
德国数学家雅可比(Jacobi，Carl Gustav Jacob ，1804～1851)和英国数学家、物理学家哈密顿（Hamilton，William Rowan 1805～1865）对分析力学的建立做出了重要贡献。
1846年，根据法国天文学家勒威耶（Le Verrier，Urbain Jean Joseph，1811～1877）和英国天文学家亚当斯(Adams，John Couch，1819～1892)的计算，发现了海王星。
这是经典天体力学的伟大成果，也是自然科学理论预见性的重要验证。
此后，大行星和月球运动理论益臻完善。
成为编算天文年历中各天体历表的根据。
法国数学家庞加莱（Poincar é，Jules-Henri ，1854～1912），又译彭加勒庞加莱，庞加莱在1892－1899年出版的三卷本《天体力学新方法》是这个时期的代表作。
数值方法最早可追溯到高斯的工作方法。
十九世纪末形成的科威耳方法和亚当斯方法，至今仍为天体力学的基本数值方法（见天体力学数值方法），但在电子计算机出现以前应用不广。
二十世纪五十年代以后，由于人造天体的出现和电子计算机的广泛应用，天体力学进入一个新时期。
研究又增加了各种类型的人造天体，以及成员不多的恒星系统。
在研究方法中，数值方法有迅速的发展，不仅用于解决实际问题，而且物理学 同定性方法和分析方法也有相应发展，以适应观测精度日益提高的要求。
1.3 天体力学历史地位天体力学是人类文明史上伟大的丰碑，也是人类历史上第一个走出地球的科学理论，以 足够精确的计算结果预言了天体前后几百年、几千年甚至几万年的运动，经受了无数的新的观测考验。
天体力学对人类社会的进步起了巨大的推动作用。
2 天体力学传统观念2.1 牛顿绝对时空观念Newton 时空观念一般称为经典时空观念，又称为绝对时空观念，Newton 曾经对这个时空观念详细描述：1、 绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地、与任何其他外界事物无关地流逝着，它又可以名之为‘延续性’；相对的、表观的和通常的的时间是延续性的一种可感觉的、外部的（无论是精确的或是不相等的）通过运动来进行的量度我们通常就用诸如小时、日、月、年等这种量度以代替真正的时间。
2、 绝对的空间，就其本性而言，是与任何外界事物无关而永远是相同的和不动的。
相对空间是绝对空间的可动部分或者量度。
我们的感官通过绝对空间对其他物体的位置而确定了它，弁且通常把它当作不动的空间看待。
如相对地球而言的地下，大气或天体等空间就是这样确定的。
绝对空间和相对空间，在形状上和大小上都相同，但在数字上并不总是保持一样。
因为，例如当地球运动时，一个相对地球总是保持不变的大气空间，将一个时间是大气流入的绝对空间的一个部分，而在另一时间将是绝对空间的另一个部分，所以从绝对的意义来了解，它总是在不断变化的。
” （摘自H ·S 塞耶编《牛顿自然哲学著作选》第十九页至二十页）Newton 时空观念为经典力学的运动参照系建立提供了哲学的、物理的理论依据。
按照Newton 时空观念，一个无限延伸的三维钢架和一个均匀流逝的运动构成了一个运 动参照系，一个刚性的尺和一个稳频的钟可以分别对空间和时间进行度量。
在三维钢架上的空的空间构成三维 Euclid 空间直角坐标系坐标x α (I=1, 2, 3), 时间t 作为参变量, x α作为时间t 的函数x α（t ） 。
如果有另一个参照系K '以速度v 相对K 运动，K '中的相应的空间坐标为'x α，'t ，则'x α，'t 和x α，t 之间变换由下述的Galilao 时空变换公式决定： 'x x v t ααα=- (2.1)t t =' (2.2)上式中v α是v 沿x α方向的分量，在变换中，位矢r 的平方2r 是不变量，即：22'2r x x αααα== (2.3) 按照惯例，上式重复下标表示求和。
2.2 二体问题传统解二体问题是各类天体真实运动的第一次近似结果，也是研究天体在有心力场的引力作用下的运动。
根据牛顿绝对时空观念、牛顿动力学基本定律和牛顿万有引力定律，运动方程具有如下形式 d m dt=v F (2.4） 上式中，m 表示天体质量，v 表示天体运动速度，F 表示太阳和天体之间的引力， t 表示时间。
在解方程（2.4）时，二体问题采用了下述的逻辑推理：第一、 选择质心参照系描述二体运动，以折合质量Mm M mμ=+代替天体质量m ， 折合质量也称约化质量，约化质量既小于M ，也小于m ，主要由两者中质量较小者决定；第二、引进势函数描述质点与球形物体之间作用力，势函数对空间坐标的偏导数正比于质点所受总引力的相应分力。
把中心天体看成是质量密度均匀分布的球体，以φ表示势函数，则φ等于G r μφ=-，单位质量体元受的作用力为m φ=-∇F ，这样，方程(2.4)可以写成如下形式 d dtφ=-∇v (2.5） 按照上述逻辑形式，行星对太阳运动，就像是在以太阳为中心的惯性参照系中运动一样，只是要用约化质量代替行星质量。
在太阳系黄道面上选择极坐标系，以太阳的质量中心为极坐标系的原点，r 表示矢径（描述天体相对太阳的位置），r 表示矢径的长度，θ表示矢径的角度，则方程（2.4）有如下形式2()m r r F θ-= (2.6） 2(2)()0m d m r r r r dt θθθ+==(2.7） 令2r h θ= ，沿径r 方向和沿θ方向的两个方程分别为 22G r r r μθ-=-(2.8） 10dh r dt= (2.9） 上式中h 为单位质量的角动量，h 为一个积分常数，2mr mh θ⋅=即天体单位质量的动量矩守恒。