初三数学知识竞赛题
九年级数学竞赛试题(满分100)
九年级数学竞赛试题（满分100）姓名： 班级： 成绩：一、选择题（''4832⨯=，每道题目只有一个正确选项） 1.若||0a a +=，则化简22(1)a a -+的结果为（ ） A.1 B.-1 C.21a - D.12a -2.若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A.-13B.-9C.6D.03.若三角形三边的长均能使代数式2918x x -+的值为0，则此三角形的周长是（ ）A.9或18B.12或15C.9或15或18D.9或12或15或184.已知2210m n mn m n +++-+=，则11m n+的值等于（ ）A.-1B.0C.1D.25.若实数,a b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（ ）A.2a ≤-B.4a ≥C.2a ≤-或4a ≥D.24a -≤≤6.如果方程210(0)x px p ++=>有实数根且它的两根之差是1，那么p 的值为（ ）A.2B.4C.3D.57.设512a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.28.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒,20A ∠=︒，将ACB 绕点C 按逆时针方向旋转角α到'''A B C 的位置，其中'A ,'B 分别是,A B 的对应点，B 在''A B 上，'CA 交AB 于D ，则BDC ∠的度数为（ ）A.40︒B.45︒C.50︒D.60︒二、填空题（''4416⨯=，填写你认为最完美的答案）9.已知非零实数,a b 满足2|24||2|(3)42a ba b a -+++-+=，则a b +等于 .10.已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则x y z ++= .11.已知关于x 的方程2210x px ++=的两个实数根，一个小于1，另一个大于1，则实数p 的取值范围是 .12.已知方程210090x x a -+=有两个质数根，则常数a = . 三、解答题（3大题，共'48，解答题需要详细的解题过程） 13. 1)（6分）化简：2323++-2)（6分）已知方程2220132014201210x x -⨯-=的较大根是r ，方程22013201410x x -+=的较小根为s ，求r s -的值.14.已知关于x 的方程220x kx k n -++=有两个不相等的实数根12,x x ，且21212(2)8(2)150x x x x +-++=，请问： （1）（4分）求证：0n <；（2）（6分）试用k 的代数式表示1x ； （3）（6分）当3n =-时，求k 的值.15.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF BD⊥交BC于F，连结DF，G为DF中点，连接,EG CG.（1）（6分）求证：EG CG=；（2）（10分）将BEF绕点B逆时针旋转45︒，如图二所示，取DF中点G，连接,EG CG，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）（4分）将图一中BEF绕B点旋转任意角度，如图三所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察，你还能得出什么结论？（只写结论，不需要证明）图一图二图三。
九年级数学百题知识竞赛
九年级数学百题知识竞赛亲爱的同学：欢迎你参加考试！答卷时，请注意以下几点：1. 全卷共两部分，其中选择题60题，填空题40题，共100小题，满分100分，考试时间120 分钟；2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成，请将答案写在答题卷相应的位置，写在试题卷上无效。
3. 答题时应注意答题技巧，合理分配好答题时间，仔细审题，相信你一定会有出色的表现！（Ⅰ）选择题部分1． 下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．2和－2B ．2和12 C ．2和12- D ．12和2 2．-7的倒数是（ ）A ．7B ．-7C ．-71D ．71 3．下列四个运算中，结果最小的是（ ）A.()12-+-B. ()12--C. ()12⨯-D. ()12÷- 4．下列计算正确的是（ ）A ．－3×2=－6B ．－3－1=0C ．(－3)2=6 D ．2－1=2 5．当x=－1时，代数式x 25-的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．－2 6. 3的平方根是（ ）A ．9B ．3-C 3D ．37. 计算：(a 2)3=（ ）A ．a5B ．a6C ．a8D ．3a 28. 一个数的绝对值等于3，这个数是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．139. 化简：2(3)-=（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．910. 在2013年度“梦想中国”的评选活动中，预计观众使用手机或登陆网站参与评选投票将达到31600000人次，用科学记数法表示应记为（ ）6106.31⨯ Ｂ．71016.3⨯ Ｃ．810316.0⨯ Ｄ．81016.3⨯ 11．若分式25x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠5B ．x ≠-5C ．x >5D ．x >-512. 把代数式x 2－4x ＋4分解因式，下列结果中正确的是（ ）A ． (x ＋2) (x －2)B ．(x ＋2)2C ．(x －4)2D ．(x －2)213．方程132+=x x 的解为（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-114. 若关于x ，y 的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为( )A ．43-B ．43C ．34D ．34- 15．把不等式组1010x x +>⎧⎨-⎩，≤的解集表示在数轴上，正确的是（ ）16．如果关于x 的不等式1)1(+>+a x a 的解集为1<x ，那么a 的取值范围是（ ）A.0>aB.0<aC.1->aD.1-<a17．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为（ ）A ．8.5%B ．9%C ．9.5%D ．10%18．某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，•每天可多加工10个，一共用5天完成了任务，若改进操作方法后每天加工x 个零件，•所列方程正确的是（ ）．8090809080908090.5.5.5.510101010A B C D x x x xx x x x+=+=+=+=--++. 19．一次函数y=－2x+4图象与y 轴的交点坐标是（ ）A ．(0, 4)B ． (4, 0)C ．(2, 0)D ．(0, 2 )21．抛物线y=2(x ﹣1)2﹣3的对称轴是直线（ ） A ． x=2 B ．x=1 C ．x=﹣1 D ．x=﹣3 22．二次函数3)1(212+--=x y 有( ) A ．1B ．m -1C ．2D ．m24．如图，直线y =kx +b 经过点A (-1，-2)和点B (-2，0)，直线y =2x 过点A ，则不等式、2x <kx +b <0的解集为（ ）A ．x <-2B ．-2<x <-1C ．-2<x <0D ．-1<x <0第23题图1-1A ．1-1B ．1-1C ．1-1D ．25．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则点A(ac，bc)在（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限26. 如图，直线PQ∥MN，C是MN上一点，CE交PQ于A， CF交PQ于B，且∠ECF=90°，若∠FBQ=50°，则∠ECM为( )A．60° B．50° C．40° D．30°27. 如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C．若∠A=40°，∠B′=110°，则∠BCA′的度数是( )A．110° B．80° C．40° D．30°第25题图第26题图第27题图第28题图28. 如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝140°，∠D＝120°，则∠C的度数为（）A． 100° B． 120° C．140° D．90°29. 下列各图中，不是中心对称图形的是（）A B C D30．下列五种图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等边三角形。
初中数学趣味知识竞赛试题
数学趣味知识竞赛1、小林今年10岁，爸爸的年龄是他的3倍还多6岁。
再过几年，爸爸的年龄正好是小林的3倍。
〔〕A 2年B 3年C 4年D 5年2、今天是星期二，问：再过36天是星期几" 〔〕A.1B.2C.3D.43、一张方桌子，据去一个角后台面的的形状是〔〕A 三角形B 五边形C四边形D前面三种情况都有可能4、一个三角形有两个内角分别为80度和50度，那么这个三角形是〔〕A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定5、三个点，可以画出多少条直线？〔〕A 1条B 2条C 3条D 1条或3条6、圆周率 是一个无理数，小数点后的第五位上的数字是什么？〔〕A 9B 6C 5D 27、"火警" 号码是：〔〕A 110B 119 C120 D 1228、王教师最近搬进了教师宿舍大楼。
一天，王教师站在阳台上，往下看，下面有３个阳台，住上看，上面有５个阳台。
教师宿舍大楼共有几层呢？〔〕A、7层B、8层C、9层D、10层9、小明哥哥在南京大学上学，今年1月18日寒假开场，3月1日开学，他的寒假有天" 〔 〕A 40天B 41天C 41天D 41天或42天10、3个人吃3个苹果要3分钟，100个人吃100个苹果要分钟．〔 〕A 、1 分钟B 、3分钟C 、30分钟D 、100分钟11、在平面直角坐标系中，点(12)A ，与点B (12)--，是关于( )对称 〔 〕A ．X 轴对称B ．Y 轴对称C ．原点对称D ．根本是不对称的12、：0.=ba 那么以下说法正确的选项是〔 〕 A 、0=a B 、0=b C 、0,0==b a D 、中至少一个等于零b a ,13、绝对值为本身的数是什么？〔 〕A 、-1B 、1C 、0D 、非负数14、小王有100元钱，第一天花了全部的1/4，第二天又花了剩下的1/5，还剩余多少钱" 〔 〕A.25B.60C.15D.3515、在一次晚会上，主持人举起第一个牌，上面有1个三角形，举起第2个牌子，上面有4个三角形，举起第3个牌子，上面有9个三角形，按这一规律开展，请估计第四个牌子中有多少个三角形？〔 〕A 、20个B 、16个C 、15个D 、12个16、6根火柴棒，最多可以围成多少个三角形？〔 〕A、5个B、4个C、3个D、2个17、19名战士要过一条河，现有一只小船，最多坐4人。
初三数学竟赛试题及答案
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -13. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 54. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 任意数6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-18. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 一个数的立方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -110. 一个数的平方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______。
12. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。
13. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
14. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。
15. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算：(3+2√2)(3-2√2)。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
18. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，求第三边的长度。
19. 一个圆的面积是π，求这个圆的半径。
20. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
九上数学竞赛试题及答案
九上数学竞赛试题及答案九年级上学期数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. √2C. 0.33333D. π2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是？A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的立方根等于它本身，这个数可能是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都是4. 一个二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式是？A. b² - 4acB. b² + 4acC. a² + b² + c²D. a² - b² - c²5. 以下哪个代数式不是同类项？A. x³ + 2xB. 5x² - 3xC. 2x² - 3xD. x² + 5x二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果一个数的平方等于81，那么这个数是________。
7. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是________或________。
9. 一个多项式P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6，P(1)的值是________。
10. 如果一个圆的半径是r，那么它的面积是________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求它的体积。
解：长方体的体积公式是V = abc，所以体积为abc。
12. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
证明：设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，a² + b² = c²。
可以通过构造一个边长为a+b的正方形，将其分割成两个直角三角形和一个边长为c的正方形，从而证明a² +b² = c²。
初三数学竞赛试题及参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解． 故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）． 4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
初中数学学科知识竞赛试卷
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 7B. 8C. 9D. 102. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，那么∠B的度数是：A. 60°B. 30°C. 45°D. 90°3. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 矩形B. 三角形C. 梯形D. 五边形4. 已知a、b、c是等差数列的连续三项，且a+c=16，b=8，那么a的值是：A. 4B. 6C. 8D. 105. 下列哪个方程的解集为全体实数？A. x^2+1=0B. x^2-1=0C. x^2+1=2D. x^2-1=26. 下列哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^4D. y=x^57. 已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，那么下列哪个结论是正确的？A. OA=OCB. OB=ODC. OA=OBD. OC=OD8. 下列哪个数是等比数列的公比？A. 2B. 1/2C. 3D. 1/39. 下列哪个图形是中心对称图形？A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 五边形10. 已知等差数列的前三项分别是a、b、c，且a+c=2b，那么公差d的值是：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题2分，共20分）11. 1的平方根是______，3的立方根是______。
12. 若一个数的平方等于4，则这个数是______。
13. 在直角三角形中，若一个锐角的正弦值等于1/2，则这个锐角的度数是______。
14. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为15cm，则这个三角形的面积是______cm^2。
15. 已知等差数列的前三项分别是1、4、7，那么这个数列的公差是______。
16. 若一个函数的定义域是R，值域是[0,2]，则这个函数的图像可能是______。
17. 在平行四边形ABCD中，若对角线AC和BD的交点O是它们的黄金分割点，则下列哪个结论是正确的？A. OA=OBB. OB=OCC. OA=OCD. OA+OB=OC18. 已知等比数列的前三项分别是1、3、9，那么这个数列的公比是______。
初中数学竞赛试题及答案pdf
初中数学竞赛试题及答案pdf一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方等于9，这个数是？A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不是答案：C3. 计算下列算式的结果：(2x + 3)(2x - 3) = ?A. 4x^2 - 6x + 6B. 4x^2 - 9C. 4x^2 + 6x - 9D. 4x^2 + 9答案：B4. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边之间的夹角为90度，那么这个三角形的周长是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：D5. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A6. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C7. 以下哪个是完全平方数？A. 36B. 49C. 64D. 81答案：C8. 一个数的立方等于-8，这个数是？A. -2B. 2C. -2或2D. 以上都不是答案：A9. 计算下列算式的结果：(a + b)^2 = ?A. a^2 + 2ab + b^2B. a^2 - 2ab + b^2C. a^2 + b^2D. a^2 - b^2答案：A10. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
答案：412. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的第5项是______。
答案：1713. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是______厘米。
答案：2214. 如果一个数除以3余2，除以5余1，那么这个数可能是______（写出一个符合条件的数即可）。
答案：1115. 一个直角三角形的两直角边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的斜边长是______厘米。
初三数学百题竞赛试题及答案
初三数学百题竞赛试题一、选择题（每小题2分) 1. 已知,则的值为（ ）（A)3 (B ）4 （C)5 (D ）6 2．下列计算正确的是( ） A ． B ． C ． D ．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正三角形 D ．矩形 4．已知，相似比为3,且的周长为18，则的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．54 5．如果x ＝4是一元二次方程的一个根,则常数a 的值是( ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±46．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 上一个动点(C 点不与A 、B 重合）,CD ⊥AB,AD 、CD 分别交⊙O 于E 、F ，则与AB •AC 相等的一定是（ ）A ． AE •ADB ． AE •EDC ．CF •CD D ．CF •FD 7．计算的结果是( ）A ．4B ．C ．错误!D ．8．下列函数中，自变量的取值范围是的函数是（ ) A ． B ． C ． D ．9．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（ ）A ．5B ．7C ．D ．10．如图，是某工件的三视图，其中圆的半径为10，等腰三角形的高为30，则此工件的侧面积是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．将二次函数的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．12．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80,90，75，75，80,80．下列表述错误．．的是（ ）Ａ．众数是80 Ｂ．中位数是75 Ｃ．平均数是80 Ｄ．极差是1513．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能．．．是( ）A ．B ．C ．D ．OD A B C 正 视 图左 视 图俯 视图14．如图所示，有一张一个角为的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一角是锐角的菱形D．正方形15．如图，已知中,，，是高和的交点,则线段的长度为（)A．B．4 C．D．516．在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．17．如果,下列不等式中错误．．的是( ）A．B．C．D．18．在中,,若，则的值是( )A．B．2 C．D．19．将一张边长为30cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x cm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当取下面哪个数值时，长方体的体积最大（）A．7 B．6 C．5 D．420．如图，直线与轴，轴分别相交于两点，为上一点，且，则（)A．1 B．2 C．3 D．421．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，，则使的的取值范围是（）A．B．或C．D．或22．若不等式组有实数解，则实数的取值范围是（)A．B．C．D．23．如图，每个小正方形边长均为1部分)与左图中相似的是（）24．已知x，y,z都是实数,且，则（）A．只有最大值B．只有最小值C又有最小值25．如图，在等腰三角形中，,若的最小值为2，则的周长是（）A．B．C．D．26．中，，，，两等圆，外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．27．若，则的值为（）A．12 B．6 C．3 D．028．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为49每月的平均增长率为，则可列方程为（）A．B．C．AB CDCBAEHA．B．C．D．29．如图,为的直径，交于点，交于点，，．现给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（)A．①②B．②③C．②④D．③④30．如图，已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形上底、下底以及腰均相切,切点分别是．若半圆的半径为2,梯形的腰为5，则该梯形的周长是（)A．B．10 C．12 D．1431．下列命题正确的是( ）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形32．如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°,则拉线AC的长为() A．米B．米C．6·cos52°米D．米33．如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且那么等于(）A．1 ：9 B．1 : 3C．1 : 8 D．1 ：234．如图，在中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE,则下列结论不正确．．．的是( ）A．B．C．四边形AECD是等腰梯形D．35．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的,其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多．．有（)A．4个B．5个C．6个D．7个36．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）37．已知下列命题:①若，则；②当时，若，则；相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ）A．1个B．2个C．3个D．4个38．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，那么的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．639．如图是光明中学乒乓球队队员年龄分布的条形图．这些年龄的众数、中位数依次分别是( ）A．B．C．B俯视图主视图A ．15，15B ．15，15。
2023年初三数学竞赛试卷
九年级数学竞赛考试卷考号姓名一、选择题（每题3分, 共24分）每题只有一种答案是对旳旳, 请在答题卡上对应题目旳答题区域内作答, 答对旳得4分, 答错、不答或答案超过一种旳一律得0分.1. 下列计算对旳旳是（）A. B. C. D.2．用配措施解一元二次方程, 下列配方对旳旳是（）A. B. C. D.3.如图，用放大镜将图形放大，应当属于.. ）A. 相似变换B. 平移变换C. 对称变换D. 旋转变换4.在抛掷一枚均匀硬币旳试验中，假如没有硬币，则下列可作试验替代物旳是....）A.一颗骰子B.一种啤酒瓶盖.C.两张扑克牌（一张黑桃, 一张红桃.. D.一颗图钉5．如图, 在平面直角坐标系中, 已知点, 点,则=cos（）∠OABA. B. C. D.6．如图, 在□中, , , 是对角线上旳任意一点, 过点作∥ , 与□旳两条边分别交于点, ．设, , 则下面能大体反应与之间关系旳图像为（）B. C. D.A. B. C. D.7.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D.已知AC= , BC=2, 那么sin∠ACD＝（）A. B. C. D.8.已知函数y=x2-2x-2旳图象如图所示，根据其中提供旳信息，可求得使y≥1成立旳x旳取值范围是...）A. -1≤x≤3B. -3≤x≤1C. x≥-3D. x≤-1或x≥3二、填空题（每题3分, 共36分）在答题卡上对应题目旳答题区域内作答。
9. 化简: ；10. 一元二次方程旳二次项系数、一次项系数、常数项旳和为；11. 要使式子故意义, 旳取值范围是；12．某一种“爱心小组”有3名女生和2名男生, 现从中任选1人去参与学校组织旳“献爱心”志愿者活动, 则选中女生旳概率为____________；13. 顺次连结等腰梯形各边旳中点所得旳四边形是____________；14. 如图, 在坡度为1:2旳山坡上种树, 规定株距（相邻两树间旳水平距离）是米, 斜坡上相邻两树间旳坡面距离是米；15. 设是方程旳两个实数根, 则旳值为___________；16. 已知: 如图, 旳面积为, 中位线, 则边上旳高为；17. 在一次初三学生数学交流会上, 每两名学生握手一次, 记录共握手253次。
年初三数学竞赛试题及答案
年初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1003. 一个数的60%加上它的40%等于这个数的：A. 100%B. 80%C. 60%D. 40%4. 下列哪个分数是最接近1的？A. 1/2B. 3/4C. 4/5D. 9/105. 一个数除以3的商是15，这个数是多少？A. 45B. 54C. 60D. 406. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 167. 一个班级有21个男生和9个女生，男生人数占全班的百分比是多少？A. 70%B. 75%C. 80%D. 85%8. 一本书的价格是35元，如果打8折，那么现价是多少元？A. 28B. 30C. 35D. 429. 一个数的1/3加上它的1/4等于7/12，这个数是多少？A. 12B. 3C. 4D. 910. 一个长方体的长是15cm，宽是10cm，如果高增加5cm，体积将增加多少立方厘米？A. 750B. 500C. 375D. 250二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的1/2与它的1/3的和是5/6，这个数是_________。
12. 一本书的原价是x元，打7折后售价为0.7x元，如果售价是21元，那么原价是_________元。
13. 一个长方形的长是14cm，宽是长的1/2，这个长方形的面积是_________平方厘米。
14. 一个数的3倍加上这个数的2倍等于36，这个数是_________。
15. 一个数的75%是45，那么这个数的50%是_________。
三、解答题（共两题，每题25分）16. 一个长方体的长、宽、高分别是12cm、10cm和8cm，求这个长方体的表面积和体积。
初三数学竞赛试题(含答案)
初三数学竞赛试题(含答案)8个时，即第4个数)称为（）。
A)中位数(B)平均数(C)众数(D)极差11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AE、BF，交于点G，则△ABG的面积是（）。
A)1/4(ABCD)(B)1/6(ABCD)(C)1/8(ABCD)(D)1/12(ABCD)12．已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=1/2在区间(0,1)内至少有（）个实根。
A)0(B)1(C)2(D)313．如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC上一点，且AF平分△ABC的周长，则△ABC的面积是（）。
A)4S△ADE(B)2S△ADE(C)S△ADE(D)S△ABC14．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且AE=CF，则△DEF的面积是（）。
A)1/4AB2(B)1/6AB2(C)1/8AB2(D)1/12AB2三、解答题：（共有3个小题，每小题20分，满分60分）15．已知函数f(x)=x3-3x2+2x+1，g(x)=f(x)-2x+3，h(x)=g(x)-2x+3，求h(x)的最高项系数。
16．如图，ABCD是一个正方形，O是BD上一点，且OD=2BD，连接AC、CO，交于点E，求△ABE的面积。
17．如图，在长方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC 上，且AE=CF，连接EF，交AC于点G，求证：△ADG与△CDF的面积相等。
解：根据题意，可以得到以下方程组：begin{cases}frac{6-2a}{5}=y \\3a-4<x<6-2aend{cases}$要使方程组的解是一对异号的数，只需 $y3$ 或 $a3$ 时，$x$ 的取值范围为 $3a-40$，即 $0<x<6-2a$。
因此，答案为$\boxed{\frac{3}{2}<a<3}$。
初中数学知识竞赛真题试卷
1. 已知一个等差数列的前三项分别为1、3、5，则这个数列的公差是：A. 2B. 3C. 4D. 52. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是：A. （2，-3）B. （-2，-3）C. （3，-2）D. （-3，2）3. 若一个等腰三角形的底边长为10，腰长为8，则该三角形的周长是：A. 24B. 26C. 28D. 304. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°5. 若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），则下列哪个选项正确：A. a>0，b<0，c>0B. a<0，b>0，c<0C. a>0，b>0，c>0D. a<0，b<0，c<06. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1和x2，则x1+x2的值是：A. 5B. -5C. 6D. -67. 在平行四边形ABCD中，若AB=CD，AD=BC，则下列哪个选项正确：A. AB=ADB. AB=BCC. AD=BCD. AB=CD8. 若函数y=2x+1在x=2时的函数值是5，则该函数在x=3时的函数值是：A. 6B. 7C. 8D. 99. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点（2，3）和（-1，-2），则下列哪个选项正确：A. k=1，b=1B. k=1，b=-1C. k=-1，b=1D. k=-1，b=-110. 若一个正方形的周长是16，则它的面积是：A. 8B. 16C. 24D. 3211. 已知一个等差数列的首项是2，公差是3，则第10项是______。
12. 若一个等腰直角三角形的斜边长是5，则它的两个直角边的长度分别是______。
13. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是______。
初三数学竞赛试题及答案
初三数学竞赛试题及答案一、选择题1. 已知平面内一直线L的倾斜角为α，斜率为k，若点A(-1,2)在L 上，则直线L的方程为：A. y-2 = k(x+1)B. y+2 = k(x-1)C. y-2 = k(x-1)D. y+2 = k(x+1)答案：A2. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c 是一个减函数，那么a, b, c的关系是：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c < 0C. a < 0, b < 0, c < 0D. a < 0, b > 0, c > 0答案：D3. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，末项为an，且an =3a1，若a4 = 7，则d的值是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 在ΔABC中，∠A=60°，AC=2AB，则∠B的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°答案：D5. 若直角三角形的两直角边分别为3和4，求斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题1. 已知ABC是一个等边三角形，AB的边长为5，则三角形ABC 的面积为______。
答案：(25√3)/42. 若一组数据中50%的数据小于等于10，25%的数据大于15，中位数为12，则这组数据的总个数为______。
答案：83. 若甲数是乙数的8倍，且甲数减去乙数等于30，则甲数的绝对值为______。
答案：404. 已知某数的60%等于120，这个数是______。
答案：2005. 若甲数是乙数的1/5，乙数是丙数的1/3，则甲数与丙数之和的三倍为______。
答案：28三、解答题1. 一条细长导线的电阻率R为ρ，长度为l，截面积为A。
如果将导线的长度翻倍，截面积减半，则新的导线的电阻率是多少？答：R2. 已知函数f(x)满足f(x+1) = 2f(x) - 1，且f(2) = 3，求f(5)的值。
数学知识竞赛试题及答案
数学知识竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. -16C. 8D. 22. 如果一个圆的半径是5，那么它的周长是多少？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π3. 以下哪个数是无理数？A. 3.14B. 根号2C. 0.333...D. 1/34. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个数的立方根是2，这个数是多少？A. 8B. 4C. 6D. 26. 以下哪个选项是正确的等式？A. 2 + 3 = 5B. 2 * 3 = 6C. 2 - 3 = 5D. 2 / 3 = 0.57. 一个数的倒数是1/5，这个数是多少？A. 5B. 1/5C. 5/1D. 1/48. 以下哪个选项是正确的因式分解？A. x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)B. x^2 + 1 = (x + 1)(x - 1)C. x^2 - 1 = x(x - 1)D. x^2 + 1 = x(x + 1)9. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是多少？A. 5B. -5C. 5或-5D. 010. 以下哪个选项是正确的不等式？A. 2 < 3B. 5 > 3C. 3 ≤ 3D. 4 ≥ 5二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方是16，这个数可能是______或______。
12. 一个数的立方是-8，这个数是______。
13. 一个数的平方根是2.5，这个数是______。
14. 一个数的倒数是2，这个数是______。
15. 如果一个圆的直径是14，那么它的半径是______。
16. 直角三角形的斜边长是13，一条直角边是5，另一条直角边是______。
17. 一个数的立方根是-3，这个数是______。
18. 一个数的绝对值是-3，这个数是______。
初中数学课外知识竞赛题库
初中数学课外知识竞赛题库题一：矩阵运算已知矩阵A = [2 1 -3; 0 -4 2; 1 0 -1]，B = [5 -2; 3 1; -1 6]，计算以下运算：1. A + B2. A - B3. A * B4. 2A - 3B题二：代数方程解方程组：1. 3x + 4y = 82x - 5y = 112. 2(x + y) = 3(xy - 1)3. 2x^2 + 5x + 3 = 0题三：几何问题1. 如图所示，四边形ABCD中，AB = BC = CD，∠DAB = ∠CBA = 95°，求∠ADC的度数。
（在文章插入一个示意图，标明AB、BC、CD及∠DAB和∠CBA）2. 圆的直径为10cm，求圆的周长和面积。
题四：比例与百分数1. 甲车和乙车从A地同时出发，乙车走的速度是甲车的4/5，如果甲车用了3小时到达B地，那么乙车用了多长时间到达？2. 将0.8扩大25%得到的数是多少？题五：概率与统计1. 一个骰子牛津掷两次，求得到两次结果均为奇数的概率。
2. 某班级有60人，对他们在一个月内玩电子游戏的时间进行调查，得到的数据如下：0-1小时：20人1-2小时：15人2-3小时：10人3小时以上：15人请画出班级玩电子游戏时间的统计图。
题六：函数与方程1. 有一个函数f(x) = 3x + 2，求f(4)的值。
2. 已知方程x^2 + 2x - 8 = 0，求方程的根。
题七：数列与级数1. 一个等差数列的首项为a，公差为d，已知前n项和为Sn = n(2a+ (n-1)d)，求这个数列的第50项。
题八：空间几何1. 已知四面体ABCD，其中AB = 5cm，AC = 6cm，AD = 7cm，BC = 8cm，CD = 12cm，求四面体的体积。
（在文章插入一个示意图，标明ABCD及各边长度）题九：函数图像1. 函数y = 3x^2 - 4x - 2的图像是什么样子？题十：利息问题1. 本金10000元，年利率5%，存款5年，计算得到的利息是多少？以上是初中数学课外知识竞赛题库的一部分，供参赛选手进行复习和练习。
初三数学竞赛题集
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b b c ==，，则a bb c++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB=BC=4-CD＝，则AD 边的长为（ ）． （A）（B ）64（C ）64+ （D ）622+ 解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE，CF＝DF ＝，于是 EF ＝4．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）． （A ）（2010，2） （B ）（2010，2-） （C ）（2012，2-） （D ）（0，2）解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ． 解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ①()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．解：11133y x =-+如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ． 由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．（第8题于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+．9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AEAD= ． 解：215- 见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n nm m +-=，解得12n m =，或12n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF nAD BC FC m ====12， 即AEAD=12． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ． 解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，，（第9题）因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证：tan EFPAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EF AHBC AP =， 从而 EF PDBC AP=， 所以 tan PD EFPAD AP BC ∠==. …………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线ky x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x =上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=.设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫⎪⎝⎭，故()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）．因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩， …………（10分）（2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以2=BOCO. 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)（第12题）是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点. （ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点． 所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分） （1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩，…………（10分）（2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数. 当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分） 另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n .由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++，所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61.综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）。
全国初三数学竞赛试题含答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）22．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A）12 （B（C ）1 （D ）2 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）36134．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）325．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB 的值为 ． 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．14．n个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．答案1.【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2.【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即 11a a a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得a =3.【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4.【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故 S △ABC ＝12×8×4＝16. 5.【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.57≈．于是 显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 6.【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+． 7.解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 13=. 8.【答】 10． 解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9.． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以7CE ==． 10.【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．11.解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k +=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分 所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分12.解：设2,y m =22(90)x k -=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即 ()()7701149k m k m -+=⨯=⨯． ……………10分 则有 701,49077; 1.k m k m k m km +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩ 解得 1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩ 故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）. ………………20分13.解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅． 同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分 又因为tan AD BE ACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14.解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-． 于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分（第13题）。