2020届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟考试数学试题(解析版)
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (Word 含解析)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（ ） A ．M ∩N B ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．y ＝﹣x 2+1B ．y =1xC ．y ＝2﹣xD ．y ＝lnx3．方程log 2x +x ＝2的解所在的区间为（ ） A ．（0.5，1）B ．（1，1.5）C ．（1.5，2）D ．（2，2.5）4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π45．已知函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y ＝sin （ωx +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．−π46．在△ABC 中，“A ＞π3”是“cos A ＜12”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（ ） A ．95B ．185C ．65D ．2458．已知双曲线x 2−y 2m =1与抛物线y 2＝8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．√3x ±y =0D ．x ±√3y =09．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，E为CD的中点，则AB→⋅AE→的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．i是虚数单位，则21+i=．11．函数f（x）＝x2e x的单调减区间是．12．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为．13．（2√x−√x）6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．14．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数h（x）＝f（x）﹣g （x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”．若f(x)=13x3+m与g(x)=12x2+2x在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝4，C＝2B．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin(2B−π4)的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面MNC；（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角M﹣NC﹣D的余弦值．18．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且右焦点到直线x ﹣y +2＝0的距离为2√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ⋅k BD =−b 2a 2，证明：四边形ABCD 的面积为定值．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是公比大于0的等比数列，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ={2，n 为奇数−2a n b n，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．已知函数f （x ）＝x 2+2x +alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当t ≥1时，不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩NC．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【分析】根据元素之间的关系进行求解即可．解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，∴M∩N＝{5}，（∁U M）∩N＝{1，2}，M∩（∁U N）＝{3，4}，（∁U M）∩（∁U N）＝∅，故选：B．2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+1B．y=1x C．y＝2﹣x D．y＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣x2+1，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=1x，为反比函数，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于C，y＝2﹣x＝（12）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝lnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．3．方程log2x+x＝2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）【分析】判断f（x）＝log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．解：设f（x）＝log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．∵f（1）＝0+1﹣2＝﹣1＜0，f （1.5）＝log 21.5﹣0.5＝log 21.5﹣log 2√2＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f （x ）的零点在（1，1.5）区间 内 ∴方程log 2x +x ＝2的解所在的区间为（1，1.5） 故选：B ．4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，由此能求出该圆柱的体积．解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，∴该圆柱的体积：V ＝Sh =π×(√32)2×1=3π4．故选：B ．5．已知函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y ＝sin （ωx +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．−π4【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性的应用求出结果．解：函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω＝2，现将y ＝sin （2x +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个g （x ）＝sin （2x +π4+φ）为偶函数，则φ+π4=kπ+π2（k ∈Z ），整理得φ＝k π+π4（k ∈Z ），当k＝0时，φ=π4．故选：B．6．在△ABC中，“A＞π3”是“cos A＜12”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的取值范围进行判断即可．解：在三角形内0＜A＜π，由cos A＜12，则π3＜A＜π，则“A＞π3”是“cos A＜12”的充要条件，故选：C．7．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（）A．95B．185C．65D．245【分析】一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，由此能求出一次摸奖中奖的概率P．ξ的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3）．由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，∴p=C31C21C52=35．ξ的所有可能取值为0、1、2、3，则P（ξ＝0）＝（25）3=8125，P（ξ＝1）=C31⋅(25)2⋅(35)1=36125，P（ξ＝2）=C32⋅(25)1⋅(35)2=54125，P（ξ＝3）＝（35）3=27125．∴ξ的分布列为：ξ0 1 23P8125361255412527125∴E ξ＝0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95． 故选：A ．8．已知双曲线x 2−y 2m=1与抛物线y 2＝8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．√3x ±y =0D ．x ±√3y =0【分析】根据抛物线y 2＝8x 上的点P 满足|PF |＝5，可得P （3，±2√6），代入双曲线方程算出m 的值，即可得到双曲线的a 、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程． 解：∵点P 在抛物线y 2＝8x 上，|PF |＝5，∴P （x 0，y 0）满足x 0+p 2=5，得x 0＝5−p2=5﹣2＝3 因此y 02＝8x 0＝24，得y 0＝±2√6∴点P （3，±2√6）在双曲线x 2−y 2m=1上可得9−24m=1，解之得m ＝3 ∴双曲线标准方程为x 2−y 23=1，得a ＝1，b =√3，渐近线方程为y ＝±bx a，即y ＝±√3x故选：C ．9．如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠DAB ＝60°，E 为CD 的中点，则AB →⋅AE →的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】利用平面向量的加法运算可知，AE →=AD →+12AB →，代入AB →⋅AE →，并结合数量积的运算即可得解．解：∵菱形ABCD ，∴AD ＝AB ＝1，AB →⋅AE →=AB →⋅(AD →+DE →)=AB →⋅(AD →+12AB →)=AB →⋅AD →+12|AB →|2=1×1×cos60°+12×1=1．故选：A ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．i 是虚数单位，则21+i= 1﹣i ．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式． 解：∵21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1﹣i ，∴21+i=1﹣i ，故答案为：1﹣i11．函数f （x ）＝x 2e x 的单调减区间是 （﹣2，0） ．【分析】先求出函数的导数，令导数小于零，解得x 的范围，就可得到函数的单调减区间．解：函数f （x ）＝x 2e x 的导数为y ′＝2xe x +x 2e x ＝xe x （x +2）， 令y ′＜0，解得﹣2＜x ＜0，故函数的单调减区间是 （﹣2，0）， 故答案为 （﹣2，0）．12．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0所截得的弦长为 2√3 ．【分析】先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长． 解：设弦长为l ；过原点且倾斜角为60°的直线为y =√3x整理圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，圆心为（0，2），半径r ＝2 圆心到直线的距离为|2+0|2=1，则l2=√4−1=√3；∴弦长l ＝2√3 故答案为：2√313．（2√x −√x）6的二项展开式中的常数项为 ﹣160 （用数字作答）．【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r ，将r 的值代入通项求出展开式的常数项． 解：（2√x 1√x ）6展开式的通项为T r +1＝C 6r •（2√x ）6﹣r •（1√x）r ＝（﹣1）r •C 6r •26﹣r •x 3﹣r ，令3﹣r ＝0，可得r ＝3，其常数项为T 4＝（﹣1）r •C 6r •26﹣r ＝﹣160；故答案为﹣160．14．若4x +4y ＝1，则x +y 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．【分析】由4x +4y ＝1，得（2x ）2+（2y ）2＝1，利用三角代换设2x ＝sin α，2y ＝cos α，所以2x+y =12sin2α，再利用三角函数的范围，即可求出x +y 的范围． 解：∵4x +4y ＝1，∴（2x ）2+（2y ）2＝1， 设2x ＝sin α，2y ＝cos α，∴2x ⋅2y =2x+y =sinα⋅cosα=12sin2α ≤12，∴0＜2x+y ≤12， ∴x +y ≤﹣1，∴x +y 的取值范围是：（﹣∞，﹣1]， 故答案为：（﹣∞，﹣1]．15．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f （x ）与g （x ）在[a ，b ]上是“关联函数”．若f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0，3]上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是 [32，103） ．【分析】由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y ＝m 与k （x ）=−13x 3+12x 2+2在[0，3]上有两个交点；作函数的图象求解．解：∵f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0，3]上是“关联函数”，由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点； 即y ＝m 与k （x ）=−13x 3+12x 2+2在[0，3]上有两个交点；∵k ′（x ）＝﹣x 2+x +2＝﹣（x +1）（x ﹣2）； ∴k （x ）在[0，2]上递增，在[2，3]上递减； 且k （0）＝0，k （2）=103，k （3）=32； 故实数m 的取值范围是：[32，103）．故答案为：[32，103）．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝4，C ＝2B ． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2B −π4)的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得c ＝2b cos B ，结合已知可求cos B 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB =√53，利用二倍角公式可求sin2B ，cos2B的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算求解sin （2B −π4）的值． 解：（Ⅰ）因为C ＝2B ， 所以sin C ＝sin2B ， 可得sin C ＝2sin B cos B ， 可得c ＝2b cos B ， 因为b ＝3，c ＝4， 所以cosB =23．（Ⅱ）由cosB =23，可得sinB =√53，因为sin2B =2sinBcosB =4√59，cos2B ＝cos 2B ﹣sin 2B =−19，故sin （2B −π4）＝sin2B cos π4−cos2B sinπ4=4√10+√218． 17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ＝2AD ，PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点． （Ⅰ）证明：PA ∥平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M ﹣NC ﹣D 的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明MN ∥PA ，然后证明PA ∥平面MNC ．（Ⅱ）以点D ﹣xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），求出平面MNC 的法向量，设直线PB 与平面MNC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可． （Ⅲ）求出平面NCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：因为PN ＝ND ，DM ＝MA ，所以MN ∥PA ， 且PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则PA ∥平面MNC ． （Ⅱ）解：因为PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，且AD ∩CD ＝D ， 所以PD ⊥平面ABCD ，则以点D ﹣xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），设AD ＝2，可得A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），N （0，0，2），M （1，0，0），P （0，0，4）．向量PB →=(2，2，−4)，NC →=(0，2，−2)，MN →=(−1，0，2)．设n →=(x ，y ，z)为平面MNC 的法向量， 则{NC →⋅n →=0MN →⋅n →=0即{2y −2z =0−x +2z =0， 不妨令y ＝1，可得n →=(2，1，1)为MNC 平面的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 于是有sinα=cos〈n →⋅PB →〉=n →⋅PB→|n →|⋅|PB →|=16． （Ⅲ）解：因为AD →=(1，0，0)为平面NCD 的法向量， 所以cos〈DA →⋅n →〉=DA →⋅n→|DA →|⋅|n →|=√63．18．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且右焦点到直线x ﹣y +2＝0的距离为2√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ⋅k BD =−b2a2，证明：四边形ABCD 的面积为定值．【分析】（Ⅰ）求出右焦点（c ，0）c ＞0，到直线x ﹣y +2＝0的距离解得c ＝2，利用离心率，求出a ，然后求解b ，即可得到椭圆方程． （Ⅱ）设l AB ：y ＝kx +m 代入x 28+y 24=1，利用韦达定理，通过k AC ⋅k BD=−b2a2，结合S ABCD ＝4S △AOB ，转化求解即可． 解：（Ⅰ）因为右焦点（c ，0）c ＞0，到直线x ﹣y +2＝0的距离为d =√2=2√2， 解得c ＝2，e =√22=c a ，a 2＝b 2+c 2，a =2√2，b =2，所以x 28+y 24=1．（Ⅱ）证明：设l AB ：y ＝kx +m ，代入x 28+y 24=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0， 则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1⋅x 2=2m 2−81+2k2，因为k AC ⋅k BD=−b2a2，得x 1•x 2＝﹣2y 1•y 2，即x 1•x 2＝﹣2（kx 1+m ）（kx 2+m ）， 解得m 2＝4k 2+2， 因为S ABCD ＝4S △AOB ， 且S △AOB =12|AB|d ，又|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，d =√1+k，整理得S △AOB=12|m|√16k 2m 2(1+2k 2)2−8(m 2−4)1+2k 2=2√2， 所以S ABCD =4⋅2√2=8√2为定值．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是公比大于0的等比数列，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ={2，n 为奇数−2a n bn，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）c n ={2，n 为奇数2n−12n−1，n 为偶数．对n 分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ＞0，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7．∴a 1＝﹣1，b 1＝2，﹣1+2d +2q ＝﹣1，3×（﹣1）+3d +2×2×q 2＝7， 解得d ＝﹣2，q ＝2．∴a n ＝﹣1﹣2（n ﹣1）＝1﹣2n ，b n ＝2n ． （2）c n ={2，n 为奇数2n−12n−1，n 为偶数．①n ＝2k （k ∈一、选择题*）时，数列{c n }的前n 项和T n ＝T 2k ＝（c 1+c 3+…+c 2k ﹣1）+（c 2+c 4+…+c 2k ） ＝2k +（32+723+⋯+4k−122k−1），令A k =32+723+⋯+4k−122k−1， ∴14A k =323+725+⋯+4k−522k−1+4k−122k+1，∴34A k =32+4(123+125+⋯+122k−1)−4k−122k+1=32+4×18(1−14k−1)1−14−4k−122k+1， 可得A k =269−12k+139×22k−1． ∴T n ＝T 2k ＝2k +269−12k+139×22k−1． ②n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，数列{c n }的前n 项和T n ＝T 2k ﹣2+a 2k ﹣1＝2（k ﹣1）+269−12(k−1)+139×22(k−1)−1+2＝2k +269−12k+19×22k−3． ∴T n ={2k +269−12k+139×22k−1，n =2k 2k +269−12k+19×22k−3，n =2k −1，k ∈N *． 20．已知函数f （x ）＝x 2+2x +alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当t ≥1时，不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由f （x ）＝x 2+2x +alnx （a ∈R ），知f′(x)=2x 2+2x+a x，设g （x ）＝2x 2+2x +a ，由函数f （x ）在区间（0，1）上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围． （2）不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3可化为2t 2﹣4t +2≥alnt 2﹣aln （2t ﹣1），即2t 2﹣alnt 2≥2（2t ﹣1）﹣aln （2t ﹣1），令h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1），要使上式成立，只需要h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1）是增函数即可，从而可求实数a 的取值范围． 解：（1）函数f （x ）的定义域是（0，+∞） ∵f （x ）＝x 2+2x +alnx∴f′(x)=2x 2+2x+a x（x ＞0），设g （x ）＝2x 2+2x +a ，则g （x ）=(x +12)2−12+a ，∵函数f （x ）在区间（0，1）上为单调函数， ∴g （0）≥0，或g （1）≤0， ∴a ≥0，或2+2+a ≤0，∴实数a 的取值范围是{a |a ≥0，或a ≤﹣4}．（2）不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3可化为2t 2﹣4t +2≥alnt 2﹣aln （2t ﹣1） ∴2t 2﹣alnt 2≥2（2t ﹣1）﹣aln （2t ﹣1）令h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1），则问题可化为h （t 2）≥h （2t ﹣1） ∵t ≥1，∴t 2≥2t ﹣1要使上式成立，只需要h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1）是增函数即可即h ′（x ）＝2−ax ≥在[1，+∞）上恒成立，即a ≤2x 在[1，+∞）上恒成立，故a ≤2 ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020年天津红桥区高三一模数学试卷
2020年天津红桥区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1.已知全集，集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）．A. B. C. D.3.已知，，，则（ ）．A. B. C. D.4.设，则“”是“”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必条件5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了分到分之间的名学生的成绩，并根据这名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（ ）．频率组距总成绩分A.B.C.D.6.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）．A.B.C.D.7.设为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为（ ）．A.B.C.D.8.已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）．A.B.C.D.9.已知，，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）．A.，B.，C.，D.，二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10.已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是 ．11.在的展开式中，的系数等于 ．12.一个袋中装着标有数字，，，，的小球各个，从中任意摸取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，则取出的个小球中数字最大的为的概率是 ．13.曲线在点处的切线方程为 ．14.已知，，，则的最小值是 ．15.已知向量，满足，，且已知向量，的夹角为，，则的最小值是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题15分，共75分）（1）（2）16.在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．求的值．求的值．（1）（2）17.已知数列是各项均为正数的等比数列（），，且成等差数列．求数列的通项公式．设，为数列的前项和，记，证明：．（1）（2）18.已知椭圆的离心率为，且过点．求椭圆的方程．设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．【答案】解析:由题意，，，∴，∵，∴．解析:∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故选：．（1）（2）19.已知数列的前项和为，且满足．求数列的通项公式．证明：．（1）（2）20.已知函数，为实数，且．当时，求的单调区间和极值．求函数在区间上的值域．（其中为自然对数的底数）A 1.C 2.D 3.B4.解析:，解得：．，解得：．∴“”是“”的必要而不充分条件．故选．解析:由题意，，解得，∴成绩在内的学生人数为．故选．解析:由题，得，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，所以函数的最小正周期，则，所以，当时，，所以是函数的一条对称轴，故选：．解析:如图，由题意，B 5.D 6.A 7.知以为直径的圆的方程为①，将记为②式，①②得，则以为直径的圆与圆将的相交弦所在直线的方程为，所以．由，得，整理得，即，解得，故选．解析:由，得，∵，∴，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，则．故选．解析:方法一：原题可转化为与，有三个交点.当时，，且，则（1）当时，如图与不可能有三个交点（实际上有一个），排除，．D 8.C 9.yxO（2）当时，函数和的图象如下图所示．欲使两个函数由三个交点，则必有．yxO(3)当时，函数和的图象如下图所示．欲使两个函数由三个交点，则必有．yxO(4)当时，函数和的图象如下图所示．不可能有三个交点（实际上有一个），排除．yxO综上所述，则，．方法二：记，当时，，最多有个零点．当时，，，若，则，即，∴，∴函数在上单调递增，∴在上最多有个零点，故在上最多有个零点，不合题意，故，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故有个零点的条件为，所以，对照选项．故选．10.解析:因为，由题意的实部为，所以，解得．故本题正确答案为．11.解析:的展开式中，通项公式，当，即时，．12.解析:由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字，另外两个数字从，，里面选和②有两个数字，另外一个数字从，，里面选，由此即可得到本题答案．满足题目要求的情况可以分成大类：①有一个数字，另外两个数字从，里面选，一共有种情况；②有两个数字，另外一个数字从，，里面选，一共有种情况，又从中任意摸取个小球，有种情况，所以取出的个小球中数字最大的为的概率．故答案为：．13.解析:曲线的导数，则，故在点处的切线方程为：．14.解析:因为，，，等式两边同除以得，所以．当且仅当时取等号．故答案为：．15.解析:如图所示，（1）（2）设，，，由题，得，，，，，，又，所以，则点在以为直径的圆上，取的中点为，则，设以为直径的圆与线段的交点为，则的最小值是，因为，又，所以的最小值是．故答案为：．解析:在中，有正弦定理，即．∵，，∴，解得，∴由余弦定理得，∴．∵，∴为锐角，∴由，知，（1）．（2）．16.（1）（2）（1）∴，，∴．解析:因为数列是各项均为正数的等比数列（），，可设公比为，，又成等差数列，所以，即，解得或（舍去），则，，故，．，，，则，因为，所以，即．解析:由题意可得，即，，将点代入方程组，即，解得，（1），．（2）证明见解析．17.（1）．（2）．18.（2）（1）（2）所以椭圆的方程为：．由（）知，，设直线，则直线，联立，整理得，，所以，联立，整理得，设，，则，，所以，所以．解析:由题，得当时，，得；当时，，整理，得，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，．由（）知，，故，故得证．（1），．（2）证明见解析．19.（1）（2）解析:当时，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值，没有极小值；函数的增区间为，减区间为．，当时，，在上单调递增，即函数的值域为，当时，，在上单调递减，即函数的值域为；当时，易得时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，最小值为，中最小的，①当时，，最小值；②当，，最小值；综上，当时，函数的值域为，当时，函数的值域，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为．（1）函数的增区间为，减区间为；极大值，没有极小值．（2）当时，函数的值域为，当时，函数的值域，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为．20.。
天津市红桥区高三下学期数学一模试卷附解析
高三下学期数学一模试卷一、单项选择题1.集合，，那么〔〕A. B. C. D. {2}2.“ 成立〞是“ 成立〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y= 的图象大致是〔〕A. B. C. D.4.某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照，，，，，，分组，整理得到如下频率分布直方图，那么成绩在内的学生人数为〔〕A. 200B. 240C. 360D. 2805.〔2021新课标全国I理科〕?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?〞其意思为:“在屋内墙角处堆放米〔如图，米堆为一个圆锥的四分之一〕，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有〔〕A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛6.函数在区间内单调递增，且，假设，，，那么、、的大小关系为〔〕A. B. C. D.7.抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，假设双曲线的一条渐近线与直线平行，那么实数的值是〔〕A. B. C. D.8.函数，，给出以下四个命题：①函数的最小正周期为；②函数的最大值为1；③函数在上单调递增；④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．其中正确命题的个数是〔〕A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.函数，，假设关于x的方程恰有三个不相等的实数解，那么m的取值范围是〔〕A. B.C. D.二、填空题10.i是虚数单位，那么复数________.11.的展开式中，项的系数为________.12.直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，那么实数________．A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为，B队中3人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否互不影响，假设事件M表示“A队得2分〞，事件N表示“B队得1分〞，那么________.14. ，，且，那么最小值为________．15.在等腰梯形中, ,动点和分别在线段和上,且, 那么的最小值为________.三、解答题16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足〔1〕求角B的大小；〔2〕假设，求的值；〔3〕假设，，求边a的值.17.如下列图，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面.〔1〕求证：平面；〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点〔均异于点〕，问：直线与的斜率之和是否为定值？假设是，求出此定值；假设否，说明理由．19.数列的前n项和满足：，.〔1〕求数列的前3项，，；〔2〕求证：数列是等比数列：〔3〕求数列的前n项和.20.函数，.〔1〕假设，求曲线在点处的切线方程；〔2〕当时，求函数的单调区间和极值；〔3〕假设对于任意，都有成立，求实数m的取值范围.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】据题意，所以。
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 设集合U ={1,2，3，4，5}，M ={1,2，3}，N ={2,5}，则M ∩(∁U N)等于( )A. {2}B. {2,3}C. {3}D. {1,3}2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( )A. y =1xB. y =x 2C. y =2|x|D. y =cosx 3. 函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在区间( )A. (1,2)B. (2,3)C. (0,12)D. (12,1) 4. 已知圆锥的底面半径为2，高为4.一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时该圆柱的体积为( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π 5. 将函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于( )A. 5B. 6C. 7D. 8 6. “x >π6”是“sinx >12”的( )A. 充分不必要条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件7. 已知某口袋中有3个白球和n 个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是ξ，若E(ξ)=3，则D(ξ)= ( )A. 1B. 12C. 32D. 2 8. 已知双曲线x 2a 2−y 23=1，(a >0)的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线是( ) A. y =±12x B. y =±√3x C. y =±√33x D. y =±√32x 9. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAC =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2 B. 4−2√3 C. −2 D. 4+2√3二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 设i 为虚数单位，则复数2i 1−i 的虚部为______．11. 函数f(x)=xe x−2−2的单调减区间为__________．12. 设倾斜角为60°的直线l 过点(1,0)且与圆C ：x 2+y 2−4x =0相交，则圆C 的半径为______；圆心到直线l 的距离是______；直线l 被圆截得的弦长为______．13. (√x −2√x 3)5的展开式中的常数项是______(用数字作答)． 14. 已知函数f (x )=sinxcosx ，则f (−1)+f (1)=________．15. 函数f(x)=3x −16在[2,5]上有________个零点．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，已知AB =2，AC =3，A =60°．(1)求BC 的长；(2)求sin2C 的值．17. 如图，四棱锥A −BCDE 中，AE ⊥底面BCDE ，底面BCDE 是直角梯形，BE//CD ，∠BED =90°，AD =CD =2BE =2．(1)若F 为AD 的中点，证明：EF//平面ABC ；(2)若直线AB与底面BCDE所成角为45°，求二面角B−AC−D的正弦值．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过P(0,√32b)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于点M，N.当k=0时，四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为2516π的圆上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若|PM|⋅|PN|=37|MN|，求直线l的方程．19.已知数列{a n}为等差数列，且32，3，a4，a10成等比数列．(Ⅰ)求a n；(Ⅱ)求数列{2a n(a n+n)}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=ln(x+a)−x，a∈R．(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；x2>1恒成立，求实数a的取值范围．(2)若x≥1时，不等式e f(x)+a2-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∁U N={1,3，4}，则M∩(∁U N)={1,3}，故选：D．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：解：A．y=1x是奇函数，∴该选项错误；B.y=x2在(0,1)上单调递增，∴该选项错误；C.y=2|x|在(0,1)上单调递增，∴该选项错误；D.y=cosx为偶函数，在(0,1)上单调递减，∴该选项正确．故选：D．可判断y=1x为奇函数，从而得出A错误，y=x2和y=2|x|在(0,1)上都单调递增，从而得出B，C都错误，从而选D．考查奇函数、偶函数的定义及判断方法，二次函数、指数函数以及余弦函数的单调性．3.答案：A解析：本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．根据函数零点的判定定理即可得到结论．解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且函数f(x)单调递增，∵f(1)=log21−1=−1<0，f(2)=log22−12=1−12=12>0，∴在(1,2)内函数f(x)存在零点，故选：A4.答案：B解析：本题考查了圆柱的的侧面积与体积，属于中档题，根据相似可得AO1=2r，再由圆柱侧面积为4π可得r和h，即可得出圆柱的体积．解：圆锥的轴截面如图所示，设圆柱底面半径为r，0<r<2.由题意可知△AO1D∽△AO2C，则有AO1O1D=AO2O2C=2，所以AO1=2r，则圆柱的高ℎ=4−2r，其侧面积S=2πr(4−2r)=4π(−r2+2r)=4π，解得r=1.当r=1时，ℎ= 2，所以该圆柱的体积V=πr2ℎ=2π．故选B．5.答案：D解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得ω的可能取值．解：由题意可知：函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移π2个单位，可得：f(x+π2)=sin[ω(x+π2)+φ]=sin(ωx+π2ω+φ)，与原图象重合，即φ=π2ω+φ+2kπ，k∈Z，解得：ω=−4k ，k ∈Z ，当k =−2时，ω=8，故选：D ．6.答案：D解析：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．解：sinx >12，解得π6+2kπ<x <5π6+2kπ,k ∈Z ，x >π6时，sinx ∈[−1,1]∴“x >π6”是“sinx >12”的既不充分也不必要条件．故选D ． 7.答案：A解析：本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望与方差计算，属于中档题．求出ξ的分布列，代入数学期望公式计算n ，再代入方差公式计算方差．解：ξ的可能取值为2，4，且P(ξ=2)=33+n ，P(ξ=4)=n 3+n ，∴Eξ=2×33+n+4×n 3+n =3，解得n =3． ∴P(ξ=2)=12，P(ξ=4)=12， ∴Dξ=(2−3)2×12+(4−3)2×12=1．故选A ． 8.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质以及双曲线、抛物线的标准方程，注意求出抛物线的焦点坐标．根据题意，求出抛物线的焦点坐标，则可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a 的值，即可得双曲线的标准方程，由双曲线渐近线方程计算可得答案．解：根据题意，抛物线的方程为：y 2=8x ，其焦点坐标为(2,0)，若双曲线x 2a 2−y 23=1的一焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则双曲线的焦点坐标为(±2,0)，则有3+a 2=4，解可得a =1，故其渐近线方程为：y =±√3x ；故选B ．9.答案：A解析：解：∵在菱形ABCD 中，边长为2，∠BAC =60°，∴AC =BC =2，∠ACB =60°，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=2×2×12=2， 故选：A ．根据菱形的性质和向量的数量积公式计算即可本题考查了菱形的性质和向量的数量积公式，属于基础题10.答案：1解析：解：∵2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ，∴此复数的虚部是1；故答案为：1．对所给的复数分子、分母同乘以1+i ，利用i 2=−1进行化简，整理出实部和虚部．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值． 11.答案：(−∞,−1)解析：本题考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．解：由题意可得f′(x)=e x−2+xe x−2=e x−2(1+x)，当x ∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,−1)上单调递减．故答案为(−∞,−1)．12.答案：2 √32√13解析：解：整理圆的方程为(x −2)2+y 2=4，圆心为(2,0)，半径r =2，倾斜角为60°的直线l 过点(1,0)，方程为y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0，圆心到直线l 的距离是d =√33+1=√32， ∴直线l 被圆截得的弦长为2√4−34=√13， 故答案为：2，√32，√13． 先整理圆的方程求得圆心坐标和半径，再根据题意求得直线的方程，利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了基本的计算的能力和数形结合的思想的应用． 13.答案：−80解析：解：(√x √x 3)5的二项展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(√x)5−r ⋅(−1)r ⋅(√x 3)r =(−2)r ⋅C 5r ⋅x 15−5r6，令15−5r =0，解得r =3，故展开式中的常数项为−80．故答案为：−80．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 14.答案：0解析：本题考查了函数的概念及函数的定义域与值域，三角函数二倍角公式，属于基础题．解：∵f(x)=sin (x )cos (x )=12sin (2x )，∴f(−1)+f(1)=12sin (−2)+12sin (2)=0，故答案为0．15.答案：0解析：本题考查函数零点与方程根的关系，由已知求出3x−16=0的解即可求解．解：因为3x−16=0的解x=163>5，所以函数f(x)=3x−16在[2,5]上有0个零点．故答案为0．16.答案：解：(1)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=4+9−2×2×3×12=7，因为BC>0，所以BC=√7．(2)由余弦定理可得：，则．因此sin2C=2sinCcosC=2×√217×2√77=4√37．解析：本题考查余弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．(1)直接利用余弦定理求解即可．(2)利用余弦定理求出C的余弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．17.答案：解：(1)取AC中点G，连接BG，FG，则FG=//12CD．∵BE=//12CD，∴BE=//FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF//BG，∵EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)已知AE ⊥底面BCDE ，且BE ，DE ⊂底面BCDE ，所以AE ⊥BE ，AE ⊥DE ，又∠BED =90°，由已知可得∠ABE 即为直线AB 与底面BCDE 所成角，∴∠ABE =45°，AE =1，DE =√3， 建立如图所示空间直角坐标系E −xyz ，则A(1,0，0)，D(0,√3,0)，B(0,0，1)，C(0,√3,2)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 设平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +z =0−x +√3y +2z =0, 取m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,√3)，同理平面ADC 的法向量为n ⃗ =(√3,1,0)，，∴二面角B −AC −D 的正弦值为√427．解析：本题考查线面平行的判定，利用空间向量求二面角．(1)取AC 中点G ，连接BG ，FG ，证明四边形BEFG 为平行四边形，则EF//BG ，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)由已知可得∠ABE 即为直线AB 与底面BCDE 所成角，建立空间直角坐标系E −xyz ，写出相关点的坐标，得到相关的向量，求出平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ ，平面ADC 的法向量n ⃗ ，则，即可得到二面角B −AC −D 的正弦值．18.答案：解：(Ⅰ)当k =0时，直线l//x 轴，又四边形MNF1F2恰在以MF1为直径，面积为2516π的圆上，∴四边形MNF1F2为矩形，且|MF1|=52．∴点M的坐标为(c,b2a)．又b2a =√32b，∴ba =√32．设a=2k,b=√3k，则c=k．在Rt△MF1F2中，|MF2|=32k，|F1F2|=2k，∴|MF1|=52k=52，∴k=1．∴a=2,b=√3，∴椭圆C的方程为x24+y23=1．(Ⅱ)将l：y=kx+32与椭圆方程联立得(3+4k2)x2+12kx−3=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，得x1+x2=−12k3+4k2，x1x2=−33+4k2．故|PM|⋅|PN|=√1+k2⋅|x1−0|⋅√1+k2⋅|x2−0|=(1+k2)|x1x2|=3+3k23+4k2．又|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√192k2+363+4k2，∴3+3k23+4k2=37⋅√1+k2⋅√192k2+363+4k2，即7√1+k2=√192k2+36，解得k=±√1111，∴直线l 的方程为y =±√1111x +32．解析：(Ⅰ)当k =0时，直线l//x 轴，推出点M 的坐标为(c,b 2a)，设a =2k,b =√3k ，则c =k ．|MF 1|=52k =52，求出a ，b 然后求解椭圆C 的方程． (Ⅱ)将l ：y =kx +32与椭圆方程联立得(3+4k 2)x 2+12kx −3=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，利用韦达定理以及弦长公式，通过|PM|⋅|PN|=37|MN|，求出k ，即可求解直线l 的方程．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力． 19.答案：解：(Ⅰ)∵32，3，a 4，a 10成等比数列．∴公比为332=2．∴a 4=32×22=6，a 10=32×23=12． 设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+3d =6a 1+9d =12，解得{a 1=3d =1， 于是a n =3+(n −1)=n +2；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2an (a n +n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2， 于是S n =(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2，=n 2n+4．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由32，3，a 4，a 10成等比数列．可得公比为2.再利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2a n (a n +n)=2(n+2)(2n+2)=1n+1−1n+2，利用“裂项求和”即可得出． 20.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x>2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x≥1时，x+a>0恒成立，故a>−1，①，不等式e f(x)+a2x2>1恒成立，即a2x2+x+ae x−1>0对任意的x≥1恒成立，设g(x)=a2x2+x+ae−1，x≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a≤0时，g(2)=a(2+1e2)−1+2e2<0，不合题意，a>0时，要使x≥1时，不等式e f(x)+a2x2>1恒成立，只需g(1)=a(12+1e)−1+1e>0，即a>2(e−1)e+2，a>2(e−1)e+2时，ae x x−x+1−a=a(e x x−1)+1−x>2(e−1)e+2(e x x−1)+1−x，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x−1)+1−x，x≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x+2(e−1)e+2e x−1，x≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x−x+1−a>0，②，由①②得：a>2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为a2x2+x+ae−1>0对任意的x≥1恒成立，设g(x)=a2x2+x+ae−1，x≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．。
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4，5}，集合{3M =，4，5}，{1N =，2，5}，则集合{1，2}可以表示为( )A ．M N IB ．()U M N I ðC ．()U M N I ðD ．()()U U M N I 痧2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．21y x =-+B ．1y x=C ．2x y -=D ．y lnx =3．（5分）方程2log 2x x +=的解所在的区间为( ) A ．(0.5,1)B ．(1,1.5)C ．(1.5,2)D ．(2,2.5)4．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．πB ．34πC ．2π D ．4π 5．（5分）已知函数sin()y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2π，现将sin()y x ωϕ=+的图象向左平移8π个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π-6．（5分）在△A BC 中，“3A π>”是“1cos 2A <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为( ) A ．95B ．185C ．65D ．2458．（5分）已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若||5PF =，则双曲线的渐近线方程为( )A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．0x ±=9．（5分）如图所示，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=︒，E 为CD 的中点，则AB AEu u u r u u u rg的值是( )A ．1B ．1-C ．2D ．2-二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．（5分）i 是虚数单位，则21i=+ ． 11．（5分）函数2()x f x x e =的单调减区间是 ．12．（5分）过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 ． 13．（5分）6(2x x的二项展开式中的常数项为 （用数字作答）． 14．（5分）若441x y +=，则x y +的取值范围是 ．15．（5分）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，]b 上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[a ，]b 上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[a ，]b 上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[0，3]上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4c =，2C B =． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)4B π-的值．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD CD ⊥，PD AD ⊥，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点． （Ⅰ）证明：//PA 平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M NC D --的余弦值．18．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且右焦点到直线20x y -+=的距离为22 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BD b k k a=-g ，证明：四边形ABCD 的面积为定值．19．（15分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且1122b a =-=，321a b +=-，3327S b +=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2,2,n n nn a n b ⎧⎪=-⎨⎪⎩为奇数为偶数ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．20．（15分）已知函数2()2f x x x alnx =++．（1）若函数()f x 在区间(0,1)上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1t …时，不等式(21)2()3f t f t --…恒成立，求实数a 的取值范围．。
2020届天津市高三高考全真模拟(一)数学试题(解析版)
根据函数的性质排除选项是解题关键.
7．设 a 0.30.6 ， b 0.60.3 ， c 0.30.3 ，则 a，b，c 的大小关系为（
）
A． b a c
【答案】B
B． a c b
C． b c a
D． c b a
【解析】根据指数函数的单调性得出 0.30.6 0.30.3 ，而根据幂函数的单调性得出
A． AE
B． AC
C． DC
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D． BC
【答案】A
【解析】利用 AB, DC 是相等向量及 E 为中点可得正确的选项．
【详解】
因为 1 AB AD AD DE AE ，故选 A． 2
【点睛】 本题考查向量的加法及向量的线性运算，属于容易题． 4．下列命题中错误的是（ ）
2020 届天津市高三高考全真模拟（一）数学试题
一、单选题
1．已知全集U R ，集合 A {x | 2 x 3} , B {y | y 2x1, x 0} ，则 A U B
（）
A．{x | 2 x 0} C．{x | 0 x 1}
2
【答案】B
B．{x | 2 x 1} 2
点睛：抓住两个边界：当直线 1 与 OP 垂直时，弦长|AB|最小；当直线 1 过圆心 O 时，
弦长|AB|最大，从而定出了弦长的变化范围，又弦长为整数，故中间只有一种情况，结
合圆的对称性，不难发现此时有两种情况.
9．已知函数 f (x) 1 m cos 2x (m 2)sin x ，其中1 m 2 ，若函数 f x 的最大值
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定理和化简整理能力，属于中档题．
13． (x 1)7 (x 1)3 的展开式中 x 的系数是__________． 【答案】 4
12020届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟试卷数学试卷(解析版)
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共9小题）1.设集合为实数集，，，则A. B. C. D.2.下列函数中，在区间上单调递减的是A. B. C. x D.3.已知，，，则A. B. C. D.4.设，则““是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必条件5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为A. 800B. 1000C. 1200D. 16006.已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是A. B. C. D.7.设F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P、Q两点．若，则C的离心率为A. B. C. 2 D.8.已知数列满足，且，则数列的通项公式为A. B. C. D.9.设a，，函数若函数恰有3个零点，则A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（本大题共6小题）10.已知复数，其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数a的值是______．11.在的展开式中，x的系数等于______．12.一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是______．13.曲线在点处的切线方程为______．14.已知，，，则的最小值是______．15.已知向量，满足，，且已知向量，的夹角为，，则的最小值是______．三、解答题（本大题共5小题）16.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，．Ⅰ求b的值；Ⅱ求的值．17.已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，为数列的前n项和，记，证明：．18.已知椭圆C：的离心率为，且过点Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设Q是椭圆C上且不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过右焦点F作OQ 的平行线交椭圆于M、N两个不同的点，求的值．19.已知数列的前n项和为，且满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ证明：．20.已知函数，a为实数，且．Ⅰ当时，求的单调区间和极值；Ⅱ求函数在区间上的值域其中e为自然对数的底数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合为实数集，，，则，所以．故选：A．根据补集与交集的定义，计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：在区间上单调递增；在区间上单调递减增；在区间上单调递减；在区间上单调递增．故选：C．结合指数函数，对数函数，幂函数的单调性分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．3.【答案】D【解析】解：，，，，，，，故选：D．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.【答案】B【解析】解：，解得：．，解得：．““是“”的必要不充分条件．故选：B．分别解出不等式，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，，解得，成绩在内的学生人数为，故选：B．根据频率之和为1先求出a的值，再结合频率求出频数．本题主要考查频率分布直方图及其应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，函数的最小正周期为，即，解得，，令，解得，当时，，即函数的一条对称轴为．故选：D．先化简函数得，结合题意可得，即，再令，即可求得对称轴方程，由此得解．本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查化简求解能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法．由题意画出图形，先求出PQ，再由列式求C的离心率．【解答】解：如图，由题意，把代入，得，再由，得，即，，解得．故选A．8.【答案】D【解析】解：由，得，，，则数列是以4为首项，以4为公比的等比数列，，则．故选：D．由数列递推式构造等比数列，求其通项公式后可得数列的通项公式．本题考查了数列递推式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，是中档题．9.【答案】C【解析】解：当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在上有2个零点，如右图：且，解得，，．，故选：C．当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．10.【答案】2【解析】解：为纯虚数，，即．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11.【答案】7【解析】解：二项式的展开式的通项为；令解得，二项式的展开式中x的系数为，故答案为：7．先求出二项式的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．本题主要考查二项式定理的应用，重点考查二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.【答案】【解析】解：一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，基本事件总数，取出的3个小球中数字最大的为4包含的基本事件个数：，取出的3个小球中数字最大的为4的概率是．故答案为：．基本事件总数，取出的3个小球中数字最大的为4包含的基本事件个数，由此能求出取出的3个小球中数字最大的为4的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：，，切线方程为．即：故答案为：．先对原函数求导，然后将代入导数求出切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程．本题考查了利用导数求切线的基本思路，属于基础题，注意最后直线方程化成一般式．注意计算的准确性．14.【答案】【解析】解：因为，，等式两边同除以5xy得所以．当且仅当时取等号．故答案为：．等式两边同除以5xy，然后将得到的式子与相乘，展开后再利用基本不等式求最值即可．本题考查了基本不等式的应用，需要先变形构造，再用基本不等式求最值，有一定的技巧性．本题属于较易的中档题．15.【答案】【解析】解：建立如图坐标系；则，，设；则，；；；；整理得：；即点C在以为圆心，为半径的圆上；的最小值是：；故答案为：．根据题意，建坐标系，求出点的坐标，求出的表达式，分析可得点C在以为圆心，为半径的圆上；进而求得其最小值．本题考查向量数量积的计算，关键是转化后利用几何意义解决问题．16.【答案】解：因为，由正弦定理可得，，因为，故，即，由余弦定理可得，，解可得，．因为，所以，，，则．【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理即可求解；结合二倍角公式可求sin2B，cos2B，然后结合两角差的余弦公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及二倍角公式，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．17.【答案】解：Ⅰ数列是各项均为正数的等比数列，，设公比为q，，，，成等差数列，可得，即，解得负值舍去，则，；Ⅱ证明：，，，则，由数列在递增，可得，且，可得．【解析】Ⅰ等比数列的公比设为q，，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；Ⅱ运用对数的运算性质可得，由等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和可得，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，以及等差数列的求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力、推理能力，属于中档题．18.【答案】解：Ⅰ由题可得，即，，将点代入方程得，即，解得，所以椭圆C的方程为：；Ⅱ由Ⅰ知，设直线OQ：，则直线MN：，联立，整理得，所以，联立，整理得设，，则，，所以，所以．【解析】Ⅰ由题知，，求出a，b即可得到椭圆方程．Ⅱ设直线OQ：，则直线MN：与椭圆联立，求出OQ，MN，然后求解比值即可．本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】Ⅰ解：由题意，当时，，解得．当时，，整理，得．数列是以1为首项，2为公比的等比数列．，．Ⅱ证明：由Ⅰ知，．故．故得证．【解析】本题第Ⅰ题主要考查利用公式可发现数列是以1为首项，2为公比的等比数列，即可计算出数列的通项公式；第Ⅱ题先根据第Ⅰ题计算出数列的通项公式，然后根据等比数列的求和公式进行计算，再运用放缩法证明不等式．本题主要考查数列由递推公式求通项公式，等比数列求和以及数列与不等式的综合问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，放缩法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20.【答案】解：当时，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值，没有极小值；函数的递增区间，递减区间，，当时，，在上单调递增，即函数的值域；当时，，在上单调递减，即函数的值域；当时，易得时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，最小值为，中最小的，当时，，最小值；当，，最小值；综上，时，函数的值域，当时，函数的值域，当时，函数的值域．【解析】把代入后对函数求导，然后结合导数可函数的单调区间及极值；Ⅱ先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的正负，可求函数的单调性，进而可求最值．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，及函数的最值求解，体现了分类讨论思想的应用．。
2020届天津市红桥区高考数学一模试题
2020届天津市红桥区高考数学一模试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩NC．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+1B．C．y＝2﹣x D．y＝lnx3．（5分）方程log2x+x＝2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）4．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．5．（5分）已知函数y＝sin（ωx+φ）的两条相邻的对称轴的间距为，现将y＝sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0D．6．（5分）在△ABC中，“A＞”是“cos A＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线与抛物线y2＝8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．D．9．（5分）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，E为CD的中点，则的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．（5分）i是虚数单位，则＝．11．（5分）函数f（x）＝x2e x的单调减区间是．12．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为．13．（5分）（）6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．14．（5分）若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”．若与在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝4，C＝2B．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求的值．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD 为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面MNC；（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角M﹣NC﹣D的余弦值．18．（15分）已知椭圆的离心率，且右焦点到直线x﹣y+2＝0的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若，证明：四边形ABCD的面积为定值．19．（15分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是公比大于0的等比数列，且b1＝﹣2a1＝2，a3+b2＝﹣1，S3+2b3＝7．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．20．（15分）已知函数f（x）＝x2+2x+alnx．（1）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．。
天津市红桥区2020届高三第一次模拟考试数学试题及参考答案
高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！ 参考公式：柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式 Sh V 31=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．球的体积公式 334R V π=球 ，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷 注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为(A) MN (B) N M C U )((C) )(N C M U (D) )()(N C M C U U （2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是(A) 12+-=x y (B) 1y x=(C) 2xy -= (D) ln y x = （3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5 (C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A) π (B)4π(C)2π (D) 43π （5）已知函数()ϕω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为 (A)3π4 (B) π4(C) 0 (D) π4-（6）在ABC △中，“π3A >”是“1cos 2A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为(A)59 (B) 518(C) 56 (D) 524（8）已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为(A) 20x y ±= (B) 20x y ±=0y ±=(D) 0x ±=（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是BCDEA(A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2-二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 是虚数单位，则21i=+______. （11）函数xe x xf ⋅=2)(单调减区间是______.（12）过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. （13）6)12(xx -的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答） （14）若441x y+=，则x y +的取值范围是______.（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=. （Ⅰ）求B cos 的值； （Ⅱ）求)42sin(π-B 的值．（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AD PD 2=,CD PD ⊥,AD PD ⊥,底面ABCD 为正方形，N M ,分别为PD AD ,的中点.（Ⅰ）证明：PA //平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D NC M --的余弦值.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22ab k k BD AC -=⋅，证明：四边形ABCD 的面积为定值.CD MP（19）（本小题满分51分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n b a n c nn n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．（20）（本小题满分51分）已知函数x a x x x f ln 2)(2++=.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学 参考答案二、填空题 每题5分10. i -1 11. ()0,2-或[](][)0,2,0,2,0,2--- 12. 13. 160- 14. (],1-∞- 15. 31023⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 三、解答题16.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）因为B C 2=，所以B C 2sin sin =，..........1分B BC cos sin 2sin =，..................3分 B b c cos 2=，................................5分且3b =，4=c ， 所以32cos =B . ..........................7分因为954cos sin 22sin ==B B B ..................................9分 91sin cos 2cos 22-=-=B B B .......................................11分故4sin2cos 4cos2sin )42sin(πππB B B -=-...............13分182104+=。
【附加15套高考模拟】 天津市2020年红桥区高三年级模拟考试(一)理科数学试题含答案
降雨量
[100，200）
[200，300）
[300，400）
[400，500）
亩产量
500
700
600
400
18．（12 分）已知函数 f (x) | x 2 | | 2x 1| .求不等式 f (x) 3 的解集；若不等式 f (x) ax 的解集为 空集，求实数 a 的取值范围.
19．（12 分）按国家规定，某型号运营汽车的使用年限为 8 年．某二手汽车交易市场对 2018 年成交的该
2．如图，网格纸中小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．32 B．20 C．10 D．8
3．已知圆 C ： x2 y2 4x 3 0 ，则圆 C 关于直线 y x 4 的对称圆的方程是（ ）
A． (x 4)2 ( y 6)2 1
B． (x 6)2 ( y 4)2 1
位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
假设每年的降雨天气相互独立，求 S 镇未来三年里至少有两年的降雨
量不超过 350mm 的概率；在 S 镇承包了 20 亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总 利润为 31.1 万元．而乙品种水果的亩产量 m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品 种水果的单位利润为 32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使 利润 ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；
1,2 以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 2 3 ；两人滑雪时间都不会超过 3 小时.求甲、乙两人所付滑雪费
用相同的概率；设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望 E ．
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷(附答案详解)
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={3,4,5}，N ={1,2,5}，则集合{1,2}可以表示为( )A. M ∩NB. (∁U M)∩NC. M ∩(∁U N)D. (∁U M)∩(∁U N)2. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =−x 2+1B. y =1xC. y =2−xD. y =lnx 3. 方程log 2x +x =2的解所在的区间为( )A. (0.5,1)B. (1,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.5)4. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A. πB. 3π4C. π2D. π4 5. 已知函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y =sin(ωx +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( ) A. 3π4 B. π4C. 0D. −π4 6. 在△ABC 中，“A >π3”是“cosA <12”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，则ξ的期望为( )A. 95B. 185C. 65D. 245 8. 已知双曲线x 2−y 2m =1与抛物线y 2=8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为( )A. x ±2y =0B. 2x ±y =0C. √3x ±y =0D. x ±√3y =09. 如图所示，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，E 为CD 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( )A. 1B. −1C. 2D. −2二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10.i是虚数单位，则21+i=______．11.函数f(x)=x2e x的单调减区间是______．12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2−4y=0所截得的弦长为______ ．13.(2√x−1√x)6的二项展开式中的常数项为______ (用数字作答)．14.若4x+4y=1，则x+y的取值范围是______．15.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”.若f(x)=1 3x3+m与g(x)=12x2+2x在[0,3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=4，C=2B．(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)求sin(2B−π4)的值．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．(Ⅰ)证明：PA//平面MNC；(Ⅱ)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；(Ⅲ)求二面角M−NC−D的余弦值．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，且右焦点到直线x−y+2=0的距离为2√2．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若k AC⋅k BD=−b2a2，证明：四边形ABCD的面积为定值．19.已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是公比大于0的等比数列，且b1=−2a1=2，a3+b2=−1，S3+2b3=7．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令c n={2,n为奇数−2a nb n,n为偶数，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=x2+2x+alnx．(1)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)当t≥1时，不等式f(2t−1)≥2f(t)−3恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵M={3,4,5}，N={1,2,5}，∴M∩N={5}，(∁U M)∩N={1,2}，M∩(∁U N)={3,4}，(∁U M)∩(∁U N)=⌀，故选：B根据元素之间的关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=−x2+1，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；，为反比函数，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意；对于B，y=1x)x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=2−x=(12对于D，y=lnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设f(x)=log2x+x−2，在(0,+∞)上单调递增．∵f(1)=0+1−2=−1<0，f(1.5)=log21.5−0.5=log21.5−log2√2>0∴根据函数的零点存在性定理得出：f(x)的零点在(1,1.5)区间内∴方程log2x+x=2的解所在的区间为(1,1.5)判断f(x)=log 2x +x −2，在(0,+∞)上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f(1)⋅f(1.5)<0，可得出f(x)的零点在(1,1.5)区间内，即可得出答案．本题考查了函数的单调性，函数零点的判断，方程解所在的区间，属于中档题，但是难度不大，常规题目．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，属于基础题．根据题意，可得该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：如图所示：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32， ∴该圆柱的体积：V =π×(√32)2×1=3π4．故选B ．5.【答案】B【解析】解：函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2， 现将y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x +π4+φ)为偶函数，则φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k ∈Z)，当k =0时，φ=π4．直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：在三角形内0<A <π，由cosA <12，则π3<A <π，则“A >π3”是“cosA <12”的充要条件，故选：C根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的取值范围进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的定义是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，由此能求出一次摸奖中奖的概率p.ξ的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3).由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：一次摸球中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，∴p =C 31C 21C 52=35． ξ的所有可能取值为0、1、2、3，则P(ξ=0)=(25)3=8125，P(ξ=1)=C 31⋅(25)2⋅(35)1=36125，P(ξ=2)=C 32⋅(25)1⋅(35)2=54125，P(ξ=3)=(35)3=27125．∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95． 故选：A ．8.【答案】C【解析】解：∵点P 在抛物线y 2=8x 上，|PF|=5，∴P(x 0,y 0)满足x 0+p 2=5，得x 0=5−p 2=5−2=3因此y 02=8x 0=24，得y 0=±2√6 ∴点P(3,±2√6)在双曲线x 2−y 2m=1上 可得9−24m =1，解之得m =3∴双曲线标准方程为x 2−y 23=1，得a =1，b =√3，渐近线方程为y =±bxa ，即y =±√3x故选：C 根据抛物线y 2=8x 上的点P 满足|PF|=5，可得P(3,±2√6)，代入双曲线方程算出m 的值，即可得到双曲线的a 、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．本题给出双曲线与抛物线交于点P ，在已知抛物线的焦半径PF 长的情况下，求双曲线的渐近线，考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：∵菱形ABCD ，∴AD =AB =1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×1×cos60°+12×1=1． 故选：A ．利用平面向量的加法运算可知，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并结合数量积的运算即可得解．本题考查平面向量的加法和数量积运算，考查学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】1−i【解析】解：∵21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i ，∴21+i =1−i ，故答案为：1−i先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式．本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要一定要得分的题目．11.【答案】(−2,0)【解析】解：函数f(x)=x 2e x 的导数为y′=2xe x +x 2e x =xe x (x +2)，令y′<0，解得−2<x <0，故函数的单调减区间是(−2,0)，故答案为(−2,0)．先求出函数的导数，令导数小于零，解得x 的范围，就可得到函数的单调减区间． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．12.【答案】2√3【解析】解：设弦长为l ；过原点且倾斜角为60°的直线为y =√3x整理圆的方程为x 2+(y −2)2=4，圆心为(0,2)，半径r =2圆心到直线的距离为|2+0|2=1， 则l 2=√4−1=√3；∴弦长l =2√3故答案为：2√3先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了基本的计算的能力和数形结合的思想的应用．13.【答案】−160【解析】【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，将r 的值代入通项求出展开式的常数项．本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题．【解答】解：(2√x√x )6展开式的通项为T r+1=C6r⋅(2√x)6−r⋅√x)r=(−1)r⋅C6r⋅26−r⋅x3−r，令3−r=0，可得r=3，其常数项为T4=(−1)r⋅C6r⋅26−r=−160；故答案为−160．14.【答案】(−∞,−1]【解析】解：∵4x+4y=1，∴(2x)2+(2y)2=1，设2x=sinα，2y=cosα，∴2x⋅2y=2x+y=sinα⋅cosα=12sin2α≤12，∴0<2x+y≤12，∴x+y≤−1，∴x+y的取值范围是：(−∞,−1]，故答案为：(−∞,−1]．由4x+4y=1，得(2x)2+(2y)2=1，利用三角代换设2x=sinα，2y=cosα，所以2x+y=12sin2α，再利用三角函数的范围，即可求出x+y的范围．本题主要考查了三角代换求范围，是中档题．15.【答案】[32,103) 【解析】解：∵f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0,3]上是“关联函数”，由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y =m 与k(x)=−13x 3+12x 2+2在[0,3]上有两个交点；∵k′(x)=−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)；∴k(x)在[0,2]上递增，在[2,3]上递减；且k(0)=0，k(2)=103，k(3)=32； 故实数m 的取值范围是：[32,103).故答案为：[32,103).由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y =m 与k(x)=−13x 3+12x 2+2在[0,3]上有两个交点；作函数的图象求解．本题考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)因为C =2B ，所以sinC =sin2B ，可得sinC =2sinBcosB ，可得c =2bcosB ，因为b =3，c =4，所以cosB =23．(Ⅱ)由cosB =23，可得sinB =√53， 因为sin2B =2sinBcosB =4√59， cos2B =cos 2B −sin 2B =−19，故sin(2B −π4)=sin2Bcos π4−cos2Bsin π4=4√10+√218．【解析】(Ⅰ)由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得c =2bcosB ，结合已知可求cosB 的值．(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求sinB =√53，利用二倍角公式可求sin2B ，cos2B 的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算求解sin(2B −π4)的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)证明：因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点，所以MN//PA ，又PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则PA//平面MNC ．(Ⅱ)解：因为PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，且AD ∩CD =D ，所以PD ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，则以点D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz(如图)，设AD =2，可得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，N(0,0,2)，M(1,0,0)，P(0,0,4)．向量PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−4)，NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)． 设n⃗ =(x,y,z)为平面MNC 的法向量， 则{NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0即{2y −2z =0−x +2z =0， 不妨令y =1，可得n⃗ =(2,1,1)为MNC 平面的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α，于是有sinα=|cos⟨n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n ⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=16． (Ⅲ)解：因为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)为平面NCD 的法向量，所以cos⟨m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63． 由图观察可知二面角M −NC −D 的平面角为锐角，则二面角M−NC−D的余弦值为√63．【解析】【试题解析】本题考查直线与平面所成角、二面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)证明MN//PA，然后证明PA//平面MNC．(Ⅱ)以点D为原点建立空间直角坐标系，求出平面MNC的法向量，设直线PB与平面MNC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可．(Ⅲ)求出平面NCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．18.【答案】解：(Ⅰ)因为右焦点(c,0)c>0，到直线x−y+2=0的距离为d=√2=2√2，解得c=2，e=√22=ca，a2=b2+c2，a=2√2,b=2，所以x28+y24=1．(Ⅱ)证明：设l AB：y=kx+m，代入x28+y24=1，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−8=0，则x1+x2=−4km1+2k2，x1⋅x2=2m2−81+2k2，因为k AC⋅k BD=−b2a2，得x1⋅x2=−2y1⋅y2，即x1⋅x2=−2(kx1+m)(kx2+m)，解得m2=4k2+2，因为S ABCD=4S△AOB，且S△AOB=12|AB|d，又|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2，d=√1+k2，整理得S△AOB=12|m|√16k2m2(1+2k2)2−8(m2−4)1+2k2=2√2，所以S ABCD=4⋅2√2=8√2为定值．【解析】(Ⅰ)求出右焦点(c,0)c>0，到直线x−y+2=0的距离解得c=2，利用离心率，求出a，然后求解b，即可得到椭圆方程．(Ⅱ)设l AB ：y =kx +m 代入x 28+y 24=1，利用韦达定理，通过k AC ⋅k BD =−b 2a 2，结合S ABCD =4S △AOB ，转化求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q >0， 且b 1=−2a 1=2，a 3+b 2=−1，S 3+2b 3=7．∴a 1=−1，b 1=2，−1+2d +2q =−1，3×(−1)+3d +2×2×q 2=7， 解得d =−2，q =2．∴a n =−1−2(n −1)=1−2n ，b n =2n ．(2)c n ={2,n 为奇数2n−12n−1,n 为偶数． ①n =2k(k ∈N ∗)时，数列{c n }的前n 项和T n =T 2k =(c 1+c 3+⋯+c 2k−1)+(c 2+c 4+⋯+c 2k )=2k +(32+723+⋯+4k−122k−1)， 令A k =32+723+⋯+4k−122k−1，∴14A k =323+725+⋯+4k−522k−1+4k−122k+1， ∴34A k =32+4(123+125+⋯+122k−1)−4k−122k+1=32+4×18(1−14k−1)1−14−4k−122k+1，可得A k =269−12k+139×22k−1．∴T n =T 2k =2k +269−12k+139×22k−1．②n =2k −1(k ∈N ∗)时，数列{c n }的前n 项和T n =T 2k−2+a 2k−1=2(k −1)+269−12(k−1)+139×22(k−1)−1+2=2k +269−12k+19×22k−3． ∴T n ={2k +269−12k+139×22k−1,n =2k 2k +269−12k+19×22k−3,n =2k −1，k ∈N ∗．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q >0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．(2)c n ={2,n 为奇数2n−12n−1,n 为偶数.对n 分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)∵f(x)=x 2+2x +alnx∴f′(x)=2x 2+2x+a x (x >0)，设g(x)=2x 2+2x +a ，则g(x)=(x +12)2−12+a ，∵函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数，∴g(0)≥0，或g(1)≤0，∴a ≥0，或2+2+a ≤0，∴实数a 的取值范围是{a|a ≥0，或a ≤−4}．(2)不等式f(2t −1)≥2f(t)−3可化为2t 2−4t +2≥alnt 2−aln(2t −1)∴2t 2−alnt 2≥2(2t −1)−aln(2t −1)令ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)，则问题可化为ℎ(t 2)≥ℎ(2t −1)∵t ≥1，∴t 2≥2t −1要使上式成立，只需要ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)是增函数即可即ℎ′(x)=2−a x ≥在[1,+∞)上恒成立，即a ≤2x 在[1,+∞)上恒成立，故a ≤2 ∴实数a 的取值范围是(−∞,2]．【解析】(1)由f(x)=x 2+2x +alnx(a ∈R)，知f′(x)=2x 2+2x+a x ，设g(x)=2x 2+2x +a ，由函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围．(2)不等式f(2t −1)≥2f(t)−3可化为2t 2−4t +2≥alnt 2−aln(2t −1)，即2t 2−alnt 2≥2(2t −1)−aln(2t −1)，令ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)，要使上式成立，只需要ℎ(x)=2x −alnx(x ≥1)是增函数即可，从而可求实数a 的取值范围．本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，有综合性．。
2020届天津市红桥区高三第一次模拟考试数学试题
绝密★启用前红桥区2020届高三第一次模拟考试数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 参考公式：柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式 Sh V 31=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 球的体积公式 334R V π=球 ，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 (A) M N I (B) N M C U I )((C) )(N C M U I (D) )()(N C M C U U I（2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是(A) 12+-=x y (B) 1y x =(C) 2x y -= (D) ln y x =（3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5(C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A) π (B) 4π (C) 2π (D) 43π （5）已知函数()ϕω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为 (A)3π4 (B) π4 (C) 0 (D) π4-（6）在ABC △中，“π3A >”是“1cos 2A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为 (A)59 (B) 518 (C) 56 (D) 524（8）已知双曲线221y x m -=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为(A) 20x y ±= (B) 20x y ±=0y ±=(D) 0x ±=（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=o，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅u u u r u u u r 的值是(A) 1 (B) 1-BC D E A(C) 2 (D) 2-二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．（10）若i 是虚数单位，则21i =+______. （11）函数x e x x f ⋅=2)(单调减区间是______.（12）过原点且倾斜角为60o 的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______.（13）6)12(xx -的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答） （14）若441x y +=，则x y +的取值范围是______.（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=.（Ⅰ）求B cos 的值；（Ⅱ）求)42sin(π-B 的值．（17）（本小题满分15分）（18）（本小题满分51分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22ab k k BDAC -=⋅， 证明：四边形ABCD 的面积为定值.A B（19）（本小题满分51分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且 2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n b a n c nn n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．（20）（本小题满分51分）已知函数x a x x x f ln 2)(2++=. （Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．。
2020届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟考试数学试题(解析版)
2020届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟考试数学试题一、单选题1．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U AC B =（ ）A ．{}1|0x x <<B ．{}|01x x <≤C ．{}|1x x ≥D ．{}|0x x >【答案】A【解析】根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ⋂. 【详解】集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}1U C B x x =<所以{}{}{}0101U A C B x x x x x x ⋂=⋂<=<< 故选:A 【点睛】本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x = B ．2xy =C ．12log y = xD ．1y x=-【答案】C【解析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x =-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减.故选：C 【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题. 3．已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】根据与中间值0，1的大小关系，即可得到本题答案.【详解】因为1021122ln ln 1,log 5log 10,01e ee π->=<=<<=，所以a c b >>. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比较大小，属基础题. 4．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件【答案】B【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x，又由2x x <，得01x <<，因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<，所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B【解析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数. 【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.6．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D【解析】由题，得()3cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.7．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A B ．C ．2D ．【答案】A【解析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 8．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D ．【考点】数列的通项公式．9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->【答案】C【解析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.二、填空题10．已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是__． 【答案】2【解析】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案. 【详解】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，又复数z 为纯虚数， 所以20a -=，解得2a =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题. 11．在8的展开式中，x 的系数等于__．【答案】7【解析】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，即可得到本题答案. 【详解】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，得x 的系数338172C ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：7 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.12．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__． 【答案】310【解析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案. 【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有1226C C 种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有2126C C 种情况，又从中任意摸取3个小球，有310C 种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率12212626310310C C C C P C +==. 故答案为：310【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力. 13．已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是__．1． 【解析】因为1132(2)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】由35x y xy +=，得135y x+=，所以1131612(2)5(51555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x =，取等号.1+ 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力. 14．已知向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且已知向量a ，b 的夹角为60︒，()()0a c b c --=，则||c 的最小值是__．【解析】求||c 的最小值可以转化为求以AB 为直径的圆到点O 的最小距离，由此即可得到本题答案.【详解】如图所示，设,,OA a OB b OC c ===， 由题，得,||2,||3,,,23cos6033AOB OA OB CA a c CB b c a b π︒∠====-=-⋅=⨯⨯=，又()()0a c b c -⋅-=，所以CA CB ⊥，则点C 在以AB 为直径的圆上， 取AB 的中点为M ，则1()2OM OA OB =+， 设以AB 为直径的圆与线段OM 的交点为E ，则||c 的最小值是||OE ， 因为22211119||()24239422OM OA OB OA OA OB OB =+=+⋅+=+⨯+=又2212cos 604922372AB OA OB OA OB ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以||c 的最小值是1197||2OE OM ME OM AB -=-=-=197- 【点睛】本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.三、解答题15．曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为__． 【答案】10x y -+=【解析】对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程. 【详解】因为2(1)x y x e =+，所以()221xy x x e =++'，从而切线的斜率1k =， 所以切线方程为11(0)y x -=-，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+= 【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos(2)6B π-的值．【答案】（Ⅰ）b = 【解析】（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c ，然后由余弦定理可求得边b ； （Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案. 【详解】（Ⅰ）因为sin 3sin b A c B =， 由正弦定理可得，3ab bc =， 又3a =，所以1c =，所以根据余弦定理得，229136b +-=，解得，b =（Ⅱ）因为2cos 3B =，所以sin B =21cos22cos 19B B =-=-，sin 22sin cos B B B ==则111cos(2)sin 2()6292B B B π-=+=-+=． 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.17．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n nT S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <．【答案】（Ⅰ）2nn a =，*n N ∈；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得本题答案； （Ⅱ）化简求得n b ，然后求得1nS ，再用裂项相消法求n T ，即可得到本题答案. 【详解】（Ⅰ）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列()*n N∈，12a=，可设公比为q ，0q >，又1322,,3a a a 成等差数列，所以312223a a a =+，即222432q q ⨯=+⨯， 解得2q或12q =-（舍去），则112n nn a a q -==，*n N ∈；（Ⅱ）证明：22log log 2nn n b a n ===，1(1)2n S n n =+，12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则12311111111112(1)2(1)22311n n T S S S S n n n =+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 因为11012n <≤+，所以112121n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭即12n T ≤<. 【点睛】本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1,)2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2|MN ||OQ |的值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）由题，得2c e a ==，221123a b +=，解方程组，即可得到本题答案； （Ⅱ）设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =+，联立22142x myx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222222224444||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得2244||2m MN m +==+，由此即可得到本题答案. 【详解】（Ⅰ）由题可得2c e a ==，即2212c a =，2212b a =，将点⎛ ⎝⎭代入方程得221123a b +=，即22131a a +=，解得24a =， 所以椭圆C 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F设直线:OQ x my =，则直线:MN x my =+，联立22142x myx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22242Q m x m =+，2242Q y m =+ 所以222222224444||222Q Qm m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22220m y ++-=，设()()1122,,,M x y N x y，则1212222,22y y y y m m +=-=-++，所以2244 ||2m MNm+==+，所以2222244||2144||2mMN mmOQm++==++．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.19．已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足21(*)n nS a n N=-∈．（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）证明：21143nk ka=<∑．【答案】（Ⅰ）12nna，*n N∈．（Ⅱ）见解析【解析】（1）由11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩，分1n=和2n≥两种情况，即可求得数列{}n a的通项公式；（2）由题，得121211111()(2)44nn nna---===，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案. 【详解】（Ⅰ）解：由题，得当1n=时，11121a S a==-，得11a=；当2n时，112121n n n n na S S a a--=-=--+，整理，得12n na a-=．∴数列{}n a是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n nna--∴==，n*∈N；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，121211111()(2)44nn nna---===，故22221121111nk k na a a a==++⋯+∑1211111()()()444n-=+++⋯+11()4114n-=- 4414()3343n =-<． 故得证． 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n 项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力. 20．已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．【答案】（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间(0,1)，递减区间(1,)+∞，（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由11()1xf x x x-'=-=，令()0f x '>，得增区间为()0,1，令()0f x '<，得减区间为(1,)+∞，所以有极大值(1)0f =，无极小值； （Ⅱ）由11()ax f x a x x -'=-=，分10a e <，1a ≥和11a e<<三种情况，考虑函数()f x 在区间[1,]e 上的值域，即可得到本题答案. 【详解】()I 当1a =时，()1f x lnx x =-+，11()1xf x x x-'=-=， 当01x <<时，()'0f x >，函数单调递增，当1x >时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =时，函数取得极大值(1)0f =，没有极小值； 函数的增区间为()0,1，减区间为(1,)+∞， 11()()axII f x a x x-'=-=， 当10ae<时，()0f x '，()f x 在[1,]e 上单调递增，(1)()()f f x f e ≤≤即函数的值域为[0,1]a ae +-；当1a ≥时，()0f x '，()f x 在[1,]e 上单调递减， ()()(1)f e f x f ≤≤即函数的值域为[1,0]a ae +-；当11a e <<时，易得1[1,)x a ∈时，()'0f x >，()f x 在[1,]e 上单调递增，1,x e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 在[1,]e 上单调递减， 故当1x a=时，函数取得最大值1()1f lna a a =--+，最小值为(1)0f =，()1f e a ae =+-中最小的，()i 当111a e e <-时，()(1)f e f ≥，最小值(1)0f =；()ii 当111a e <<-，()(1)f e f <，最小值()1f e a ae =+-； 综上，当10ae<时，函数的值域为[0,1]a ae +-， 当111a e e <-时，函数的值域[0,ln 1]a a --+， 当111a e <<-时，函数的值域为[1,ln 1]a ae a a +---+， 当1a ≥时，函数的值域为[1,0]a ae +-. 【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.。
天津市红桥区2020届高三高考一模数学试题 Word版含解析
高三数学第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝{1,2,3,4,5}, 集合M ＝{3,4,5}，N ＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示( )A. M ∩NB. (∁U M )∩NC. M ∩(∁U N )D. (∁U M )∩(∁U N )【答案】B 【解析】因为∁U M ＝{1,2}，所以(∁U M )∩N ＝{1,2}.故集合{1,2}可以表示为(∁U M )∩N . 故选B2.下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A. 21y x =-+ B. 1y x=C. 2x y -=D. ln y x =【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的基本性质可判断A 选项；利用反比例函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数的基本性质可判断C 选项；利用对数函数的基本性质可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，函数21y x =-+为偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减；对于B 选项，函数1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减； 对于C 选项，函数2xy -=为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减； 对于D 选项，函数ln y x =为非奇非偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增. 故选：B.【点睛】本题考查基本初等函数奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题. 3.方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A. (0.5,1)B. (1,1.5)C. (1.5,2)D. (2,2.5)【答案】B 【解析】 【分析】令2()log 2f x x x =+-，由函数单调递增及(1)0,(1.5)0f f <>即可得解. 【详解】令2()log 2f x x x =+-，易知此函数为增函数， 由(1)01210,f =+-=-<2222313(1.5)log 1.5 1.52log log log 0222f =+-=-=->. 所以2()log 2f x x x =+-在(1,1.5)上有唯一零点，即方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,1.5).故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.4.（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径2r ==，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π4V r h ==⨯⨯=⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 5.已知函数()sin y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2π，现将()sin y x ωϕ=+的图象向左平移8π个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为（ ） A.34π B.4π C. 0 D. 4π-【答案】B 【解析】 【分析】求出函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期，可求出ω的值，然后求出变换后所得函数的解析式，根据函数的奇偶性可得出关于ϕ的等式，由此可得出结果. 【详解】由于函数()sin y x ωϕ=+的两条相邻的对称轴的间距为2π，该函数的最小正周期为π，22πωπ∴==，则()sin 2y x ϕ=+，将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移8π个单位后，得到函数()sin 2sin 284f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于函数()y f x =为偶函数，则()42k k Z ππϕπ+=+∈，可得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B.【点睛】本题考查利用图象变换求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 6.在C ∆AB 中，“3πA >”是“1cos 2A <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：在C ∆AB 中，由1cos 2A <得：3πA >，因为“3πA >”⇒“1cos 2A <”，“3πA >”⇐“1cos 2A <”，所以“3πA >”是“1cos 2A <”的充要条件，故选C ．考点：1、三角函数的性质；2、充分条件与必要条件．7.已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（ ）A. 95B.185 C. 65D. 245【答案】A 【解析】 【分析】计算出每次摸球中中奖的概率p ，可知()3,B p ξ，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】由题意可知，每次摸球中中奖的概率223225315C C p C +=-=，则33,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，ξ的期望为39355E ξ=⨯=.【点睛】本题考查二项分布期望值的计算，确定随机变量满足二项分布是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.8.已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为,P F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 20x y ±=B. 20x y ±=C.30x y ±= D.30x y ±=【答案】C 【解析】由抛物线定义得2224253,24313P P P x x y m m+=⇒==⇒-=⇒=，因此双曲线的渐近线方程为220,303y x x y -=±=，选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得0||2pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．9.如图所示，在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】A 【解析】用AB 、AD 表示向量AE ，然后利用平面向量数量积的运算性质可计算出AB AE ⋅的值. 【详解】E 为CD 的中点，且ABCD 为菱形，则12AE AD DE AB AD =+=+， 22111cos 60222AB AE AB AB AD AB AB AD AB AB AD ⎛⎫∴⋅=⋅+=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭221111122=⨯+⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查了平面向量数量积运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10.i 是虚数单位，则21i=+__________． 【答案】1i - 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即得答案. 【详解】()()()()()22121212111112i i i i i i i i ---====-++--. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 11.函数()2xf x x e =⋅单调减区间是____________．【答案】()2,0-（或[]2,0-、(]2,0-、[)2,0-中的一个均可） 【解析】 分析】解不等式()0f x '<可得函数()y f x =的单调递减区间.【详解】函数()2xf x x e =⋅的定义域为R ，且()()22xf x x x e '=+，令()0f x '<，得220x x +<，解得20x -<<.所以，函数()2xf x x e =⋅单调减区间是()2,0-或[]2,0-、(]2,0-、[)2,0-.故答案为：()2,0-（或[]2,0-、(]2,0-、[)2,0-中的一个均可）.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时需要注意函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.12.过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. 【答案】2【解析】直线方程为3y x =， 圆方程为22(2)4x y -+=， 圆心(2,0)到直线的距离2233(3)1d ==+，弦长2222432l r d =-=-=．点睛：处理圆的弦长问题方法有二：其一，联立方程，结合根与系数关系由弦长公式求弦长，其二，通常利用垂径定理由勾股定理来求弦长.13.62x x ⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】-160 【解析】【详解】由6662166(2(1)(2)()rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-. 考点：二项式定理.14.若441x y +=，则x y +的取值范围是____________． 【答案】(],1-∞-【解析】 【分析】利用基本不等式可求得x y +的取值范围.【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，同时也考查了指数的运算，考查计算能力，属于基础题.15.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[],a b 上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[],a b 上是“关联函数”．若()313f x x m =+与()2122g x x x =+在[]0,3上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】310,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】令()()f x g x =得3211232m x x x =-++，设函数()3211232h x x x x =-++，则直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，利用导数分析函数()y h x =的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数m 的取值范围. 【详解】令()()f x g x =得3211232m x x x =-++，设函数()3211232h x x x x =-++， 则直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，()()()2221h x x x x x '=-++=--+，令()0h x '=，可得()20,3x =∈，列表如下：x[)0,22(]2,3()h x '+-()h x极大值103()00h =，()332h =，如下图所示：由上图可知，当31023m ≤<时，直线y m =与函数()y h x =在区间[]0,3上的图象有两个交点，因此，实数m 的取值范围是310,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：310,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，4c =，2C B =． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 24B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）23；（Ⅱ）410218+． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角正弦公式、正弦定理边角互化思想可求得cos B 的值；（Ⅱ）由同角三角函数的基本关系求得sin B 的值，再结合二倍角公式和两角差的正弦公式可求得sin 24B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【详解】（Ⅰ）因为2C B =，所以sin sin 2C B =，sin 2sin cos C B B =，则2cos c b B =， 且3b =，4c =，所以2cos 3B =； （Ⅱ）2cos 3B =，则25sin 1cos B B =-=， 因为45sin 22sin cos B B B ==，221cos 2cos sin 9B B B =-=-，故4102sin 2sin 2cos cos 2sin 44418B B B πππ+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角求值，考查了正弦定理、二倍角与差角正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD CD ⊥，PD AD ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点．（Ⅰ）证明：//PA 平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M NC D --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）16；（Ⅲ）3． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由中位线的性质得出//PA MN ，再由线面平行的判定定理可证得//PA 平面MNC ； （Ⅱ）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MNC 的一个法向量，利用空间向量法可求出直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面CDN 的一个法向量，利用空间向量法可求得二面角M NC D --的余弦值． 【详解】（Ⅰ）因为PN ND =，DM MA =，所以//MN PA ， 且PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则//PA 平面MNC ； （Ⅱ）因为PD CD ⊥，PD AD ⊥，且ADCD D =，所以PD ⊥平面ABCD ，则以点D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -（如图），设2AD =，可得()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2N 、()1,0,0M 、()0,0,4P ． 向量()2,2,4PB =-，()0,2,2NC =-，()1,0,2MN =-.设(),,n x y z =为平面MNC 的法向量，则00NC n MN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020y z x z -=⎧⎨-+=⎩，不妨令1y =，可得()2,1,1n =为平面MNC 的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 于是有1sin cos ,66n PB n PB n PBα⋅=<>===⋅，因此，直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16；（Ⅲ）因为()1,0,0m =为平面NCD 的法向量，所以6cos ,m n m n m n ⋅<>==⋅， 由图形可知，二面角M NC D --6. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解线面角和二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率22e =，且右焦点到直线20x y -+=的距离为22（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，若22AC BD b k k a⋅=-，证明：四边形ABCD 的面积为定值．【答案】（Ⅰ）22184x y +=；（Ⅱ）详见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据题意求得c 的值，再由离心率可求得a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由22AC BDb k k a⋅=-可得出2242m k =+，再利用三角形的面积公式化简计算得出四边形ABCD 的面积为定值.【详解】（Ⅰ）因为右焦点(),0c 到直线20x y -+=的距离为d ==解得2c =，22ce a==，222ab c =+，a ∴=2b =， 因此，椭圆的方程为22184x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214280k x kmx m +++-=，则122412km x x k +=-+，21222812m x x k -⋅=+，因为22AC BDb k k a⋅=-，得12122x x y y =-，即()()12122x x kx m kx m =-++，所以，()()22121221220k x x km x x m ++++=，即2222448021k m m k --=+，解得2242m k =+，1AB===，原点到直线AB 的距离为d ==，因为4ABCDAOB SS =△，且1122AOBSAB d =⋅==，所以4ABCDS=⋅=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.19.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且1122b a =-=，321a b +=-，3327S b +=.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令2{2n nnn c a n b =-为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和为n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-+，2nn b =；（Ⅱ）()()213567992{26613992n n n n n n T n n n 为奇数为偶数--++-⨯=++-⨯【解析】【详解】（Ⅰ）根据题意设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，且0q >，由32331{27a b S b +=-+=，，解得2q ，2d =-，，则数列{}n a 和{}n b 的通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-+，2nn b =，则12,{21,2n n n c n n -=-为奇数为偶数当n 为偶数时，奇数项和偶数项各有2n项， ∴()()()13512424.........n n n n T c c c c c c c n c c c -=++++++++=++++. 令246...n n H c c c c =++++，利用错位相减法可得126613992n n n H -+=-⨯ 故n 为偶数时，126613992n n n T n -+=+-⨯， 当(3n n ≥）为奇数时，1n -为偶数，()1222667356712992992n n n n n n n T T a n n ---++=+=+--+=+-⨯⨯， 试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，且0q >， 由题易知，11a =-，12b =，由32331{27a b S b +=-+=，得20{4310d q q d +=+=，解得2q（54q =-舍去），此时2d =-，∴21n a n =-+，2nn b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-+，2nn b =，∴12{212n n n c n n --为奇数为偶数，当n 为偶数时，奇数项和偶数项各有2n项， ∴()()()13512424.........n n n n T c c c c c c c n c c c -=++++++++=++++. 令246...n n H c c c c =++++， ∴353137112521 (22222)n n n n n H ----=+++++， 35311372521 (42222)n n n n n H ----=++++， 以上两式相减得，351113113344421444121 (42222222)222n n n n n n n H -+-+--⎛⎫=+++++=+++-- ⎪⎝⎭， 2112141211361312266214nn nn n +⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭-+⎣⎦=--=-⨯-.126613992n n n H -+=-⨯ 故n 为偶数时，126613992n n n T n -+=+-⨯， 当(3n n ≥）为奇数时，1n -为偶数，()1222667356712992992n n n n n n n T T a n n ---++=+=+--+=+-⨯⨯， 经验证，1n =也适合上式，综上得()()213567992{26613992n n n n n n T n n n 为奇数为偶数--++-⨯=++-⨯点睛：本题考查等差数列、等比数列的通项的求法，以及数列求和错位相减法，分类讨论思想等.属中档题.解题时注意分类标准，做到不重不漏. 20.已知函数2()2ln .f x x x a x =++(Ⅰ)若函数()(0,1)f x 在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当t 1时，不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(,4][0,)-∞-⋃+∞ （2）(,2]-∞ 【解析】解：（Ⅰ）函数()(0,)f x +∞的定义域是， ………………1分222()22a x x af x x x x+=+='++， …………3分 因为函数()f x 在区间（0，1）上为单调函数所以只需()0()0f x f x ''≥≤或在区间（0，1）上恒成立，即22(22)(22)a x x a x x ≥-+≤-+或在区间（0，1）上恒成立，…………5分 解得0,4;a a ≥≤-或故实数a 的取值范围是(,4][0,)-∞-⋃+∞…………7分 （Ⅱ）不等式(21)2()3f t f t -≥- 可化为22242ln ln(21)t t a t a t -+≥--即222ln 2(21)ln(21)t a t t a t -≥---…………10分 记()2ln (1)g x x a x x =-≥，要使上式成立只须()2ln (1)g x x a x x =-≥是增函数即可 …………12分 即'()20ag x x=-≥在[1,)+∞上恒成立，即2a x ≤在[1,)+∞上恒成立，故2a ≤， 实数a 的取值范围是(,2]-∞． ………………14分。
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1．（5分）设集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…，则(U A B =I ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <„C ．{|1}x x …D ．{|0}x x >2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-3．（5分）已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．（5分）设x R ∈，则“|1|2x -< “是“2x x <”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件5．（5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为( )A ．800B ．1000C ．1200D ．16006．（5分）已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是( ) A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=7．（5分）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若||||PQ OF =，则C 的离心率为( ) ABC ．2D8．（5分）已知数列{}n a 满足13a =，且*143()n n a a n N +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为()A ．2121n -+B ．2121n --C ．221n +D ．221n -9．（5分）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．（5分）已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是 ． 11．（5分）在8的展开式中，x 的系数等于 ．12．（5分）一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是 ． 13．（5分）曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为 ．14．（5分）已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是 ．15．（5分）已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||3b =r ，且已知向量a r，b r 的夹角为60︒，()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的最小值是 ．三、解答题：本大题共5个小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求cos(2)6B π-的值．17．（15分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n nT S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <…．18．（15分）已知椭圆2222:(0)x y C l a b a b +=>>，且过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2||||MN OQ 的值． 19．（15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：21143nk ka =<∑． 20．（15分）已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．2020年天津市红桥区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共9题，每小题5分，共45分.1．（5分）设集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…，则(U A B =I ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <„C ．{|1}x x …D ．{|0}x x >【解答】解：集合(U R R =为实数集），{|0}A x x =>，{|1}B x x =…， 则{|1}U B x x =<ð， 所以{|01}U A B x x =<<I ð． 故选：A ．2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-【解答】解：12y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 2x y =在区间(0,)+∞上单调递减增；1log 2y x =在区间(0,)+∞上单调递减；1y x =-在区间(0,)+∞上单调递增．故选：C ．3．（5分）已知a ln π=，12log 5b =，12c e -=，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【解答】解：1ln lne π>=Q ，1a ∴>， Q 1122510log log <=，0b ∴<，Q 10201ee -<<=，01c ∴<<，a cb ∴>>，故选：D ．。
天津市红桥区2020届高三第一次模拟考试试题 数学【含答案】
天津市红桥区2020届高三第一次模拟考试试题数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为(A) MN (B) N M C U )((C) )(N C M U (D) )()(N C M C U U （2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是(A) 12+-=x y (B) 1y x=(C) 2x y -= (D) ln y x = （3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5 (C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A) π (B)4π(C)2π (D) 43π （5）已知函数()ϕω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()ϕω+=x y sin 的图像向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值为 (A)3π4 (B) π4(C) 0 (D) π4-（6）在ABC △中，“π3A >”是“1cos 2A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为(A)59 (B) 518(C) 56 (D) 524（8）已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为(A) 20x y ±= (B) 20x y ±= 30x y ±= (D) 30x ±=（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是BCDEA(A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2-二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 是虚数单位，则21i=+______. （11）函数xe x xf ⋅=2)(单调减区间是______.（12）过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为______. （13）6)12(xx -的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答） （14）若441x y +=，则x y +的取值范围是______.（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21()22g x x x =+在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分15分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=. （Ⅰ）求B cos 的值； （Ⅱ）求)42sin(π-B 的值．（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，AD PD 2=,CD PD ⊥,AD PD ⊥,底面ABCD 为正方形，N M ,分别为PD AD ,的中点.（Ⅰ）证明：PA //平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D NC M --的余弦值.（18）（本小题满分51分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率22=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22ab k k BD AC -=⋅，证明：四边形ABCD 的面积为定值.（19）（本小题满分51分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且 2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数，为奇数n b a n c nn n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．（20）（本小题满分51分）已知函数x a x x x f ln 2)(2++=.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．高三数学 参考答案一、选择题 每题5分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案BBBDBCACA二、填空题 每题5分10. i -1 11. ()0,2-或[](][)0,2,0,2,0,2--- 12. 313. 160- 14. (],1-∞- 15. 31023⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 三、解答题16.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）因为B C 2=，所以B C 2sin sin =，..........1分B BC cos sin 2sin =，..................3分 B b c cos 2=，................................5分且3b =，4=c ， 所以32cos =B . ..........................7分 （Ⅱ）由35sin =B .............................8分 因为954cos sin 22sin ==B B B ..................................9分 91sin cos 2cos 22-=-=B B B .......................................11分故4sin2cos 4cos 2sin )42sin(πππB B B -=-...............13分182104+=。
高三数学第一次模拟考试试题红桥一模,理A试题
高三数学(理)本套试卷分第I 卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试用时l20分钟。
第I 卷1至2页，第II 卷3至6页。
答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考号填写上在答题卡上，并在规定的指定正确位置粘贴考试用条形码。
答题时，必须将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。
祝各位考生考试顺利! 参考公式：● 假如事件A ，B 互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)．● 假如事件A ，B 互相HY ，那么P(A·B)=P(A)P(B)．● 假如在1次试验中某事件A 发生的概率是p ，那么在n 次HY 重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是1k k n kn n P (k )C p (p )-=-．● 柱体体积公式：V =sh ，其中S 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 锥体体积公式：13V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 球体外表积公式：S =4πR 2，其中R 表示球体的半径． ● 球体体积公式：343V R π=，其中R 表示球体的半径． 第I 卷 考前须知：1．每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷一共8题，一共40分。
一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． (1)i 是虚数单位，计算1111i ii i-+++-= (A)-2i (B)0 (C)1 (D)2i(2)命题p ：2220x R,x ax a ∃∈+++≤，假设命题p 是假命题，那么实数a 的取值范围是(A)(-2，1) (B)[-1，2] (C)(-1，2) (D)(0，2](3)设变量x ，y 满足约束条件22242x y ,x y ,y ,+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，那么目的函数z =-x -y 的取值范围是(A)[-4，0] (B)[-8，-2] (C)[-4，-2] (D)[-4，-1] (4)执行如图的程序框图，输入x =-2，h =1，那么输出的各个数的和等于 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)以抛物线220y x =的焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程为(A)(x -5)2+y 2=4 (B)(x +5)2+y 2=4 (C)(x -10)2+y 2=64 (D)(x -5)2+y 2=16(6)设f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0，l]时，12f (x )x =，那么32f ()，1110f ()，138f ()由小到大的排列顺序是 (A) 138f ()<32f ()<1110f ()(B) 32f ()<138f ()<1110f ()(C) 1110f ()<32f ()<138f ()(D) 138f ()<1110f ()<32f ()(7)等腰直角三角形ACB 中∠C=90o，CA=CB=a ， 点P 在AB 上，且01AP AB()λλ=≤≤，那么CA CP 的最大值为(A)a (B)a 2a(8)f (x )是定义在[-l ，l]上的奇函数，满足f (1)=1，且当a ，b ∈[-l ，l]，a+b≠0，有f (a )f (b )a b++>0·假设f (x )≤m 2-2am+1(m ≠0)，对所有的x ∈[-l ，1]，a ∈[-l ，l]恒成立，实数m 的取值范围是(A)(-2，2) (B)(-2，0)或者(0，2)(C)(-∞，-2]或者[2，+∞) (D)(-2，-1)或者(1，2) 第II 卷 考前须知：用黑色墨水的钢笔或者签字笔将答案写在答题卡上．二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分．(9)某班同学利用国庆节进展社会理论，对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进展了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．假设生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族〞否那么称为“非低碳族〞，得到如右统计表，但由于不小心表中字母表示的局部数据丧失，现知道被调查的人中低碳族占65％，那么40岁及其以上人群中，低碳族占该局部人数的频率为 。
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集合U R , A x | x 0, B x | x 1
所以 CU B x x 1 所以 ACU B x x 0x x 1 x 0 x 1
故选:A 【点睛】 本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
2．下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递减的是（ ）
1
A． y x 2
到函数的解析式，又因为当 x 时， 2x π π ，由此即可得到本题答案.
3
62
【详解】
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由题，得 f (x)
3
sin
x
cos
x
2
sin
x
6
，
因为 y f (x) 的图象与直线 y 2 的两个相邻交点的距离等于 ，
所以函数 y f (x) 的最小正周期T ，则 2 2 ， T
32
32
y x2 (a 1)x ，
当 a 1 0 ，即 a 1时， y 0 ， y f (x) ax b 在[0 ， ) 上递增，
y f (x) ax b 最多一个零点．不合题意；
当 a 1 0 ，即 a 1时，令 y 0 得 x [a 1 ，) ，函数递增，令 y 0 得 x[0 ，
2020 届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟考试数学试 题
一、单选题
1．设集合U R（ R 为实数集），A x | x 0 ，B x | x 1 ，则 A CU B （ ）
A．x | 0 x 1 B．x | 0 x 1 C．x | x 1
D．x | x 0
【答案】A
【解析】根据集合交集与补集运算,即可求得 A CU B .
【答案】 2 6 1． 5
【解析】因为
x
2
y
1 5
1 y
3 x
(
x
2
y)
，展开后利用基本不等式，即可得到本题答
案.
【详解】
由 x 3y 5xy ，得 1 3 5 ， yx
所以
x
2y
1 5
1 y
3 x
(x
2y)
1 5
5
x y
6y x
1 (5 5
2
x 6y ) 2 6 1，当 yx 5
32
32
利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
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【详解】
当 x 0 时， y f (x) ax b x ax b (1 a)x b 0 ，得 x b ； 1 a
y f (x) ax b 最多一个零点；
当 x 0 时，
y f (x) ax b 1 x3 1 (a 1)x2 ax ax b 1 x3 1 (a 1)x2 b ，
且仅当 x 6 y ，取等号.
故答案为： 2 6 1 5
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.
14．已知向量 a ， b 满足| a | 2 ，| b | 3 ，且已知向量 a ， b 的夹角为 60 ，
(a c) (b c) 0 ，则 | c | 的最小值是__．
又 PQ | OF | c ，| PA | c , PA 为以 OF 为直径的圆的半径， 2
A为圆心| OA | c ． 2
P
c 2
,
c 2
，又
P
点在圆
x2
y2
a2
上，
c2
c2
a2 ，即 c2
a2,
44
2
e2
c2 a2
2．
e 2 ，故选 A．
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【点睛】 本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几 何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲 线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
种情况，又从中任意摸取 3 个小球，有 C130 种情况，所以取出的 3 个小球中数字最大的
为4
的概率 P
C21C62 C22C61 C130
3 10
.
故答案为： 3 10
【点睛】
本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力.
13．已知 x 0 ， y 0， x 3y 5xy ，则 x 2y 的最小值是__．
故选 C ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及 a, b 两个参数，故按“一元化”想法，
逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
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二、填空题
10．已知复数 z (a 2i)(1 i) ，其中 i 为虚数单位，若复数 z 为纯虚数，则实数 a 的值
【解析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字 4，另外两个数字从 1，2，3
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里面选和②有两个数字 4，另外一个数字从 1，2，3 里面选，由此即可得到本题答案. 【详解】 满足题目要求的情况可以分成 2 大类：①有一个数字 4，另外两个数字从 1，2，3 里面
选，一共有 C21C62 种情况；②有两个数字 4，另外一个数字从 1，2，3 里面选，一共有 C22C61
a 1) ，函数递减；函数最多有 2 个零点；
根据题意函数 y f (x) ax b 恰有 3 个零点 函数 y f (x) ax b 在 (, 0) 上
有一个零点，在[0 ， ) 上有 2 个零点， 如图：
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0
b 1 a
0
且
1 3
(a
1)3
1 2
(a
1)(a
1)2
b
0
，
解得 b 0，1 a 0 ， 0 b 1 (a 1)3,a 1 ． 6
是__． 【答案】2
【解析】由题，得 z (a 2i)(1 i) a 2 (a 2)i ，然后根据纯虚数的定义，即可
得到本题答案. 【详解】
由题，得 z (a 2i)(1 i) a 2 (a 2)i ，又复数 z 为纯虚数，
所以 a 2 0，解得 a 2 .
故答案为：2 【点睛】 本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.
11．在 ( x 1 )8 的展开式中， x 的系数等于__． 2x
【答案】7
【解析】由题，得 Tr1
C8r
1 x2
8r
1 2
1
x2
r
C8r
1
r
2
x4r
，令 r
3，即可得到本
题答案.
【详解】
由题，得 Tr1
C8r
1 x2
8r
1 2
1
x2
r
C8r
1
r
2
x4r
所以
f
(x)
2 sin
2x
6
，
当 x 时， 2x π π ，
3
62
所以
x
3
是函数
f
(x)
2 sin
2x
6
的一条对称轴，
故选：D 【点睛】 本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
7．设 F 为双曲线 C： x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直
径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
【答案】A 【解析】准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 关系，可求 双曲线的离心率．
【详解】
设 PQ 与 x 轴交于点 A ，由对称性可知 PQ x 轴，
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A．800 【答案】B
B．1000
C．1200
D．1600
【解析】由图可列方程算得 a，然后求出成绩在[250,350] 内的频率，最后根据频数=
总数×频率可以求得成绩在[250,350] 内的学生人数.
【详解】
由频率和为 1，得 (0.002 0.004 2a 0.002)50 1 ，解得 a 0.006 ，
【答案】C
B． y 2x
C． y log1 x 2
D． y 1 x
【解析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.
【详解】
因为函数
y
1
x2,
y
2x 和
y
1 x
在 (0, ) 递增，而
y
log 1
2
x
在 (0, ) 递减.
故选：C
【点睛】
本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.
3．已知
a
2
所以 a c b.
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比较大小，属基础题.
4．设 x R ，则“| x 1| 2 “是“ x2 x ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必条件
【答案】B
【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.
，
令
r
3 ，得
x
的系数
C83
1 2
3
7
.
故答案为：7
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属基础题. 12．一个袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从中任意摸取 3 个小球，每 个小球被取出的可能性相等，则取出的 3 个小球中数字最大的为 4 的概率是__．