高考第6课函数的单调性
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
函数的单调性教案
函数的单调性教案教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数3x y =的图象进行了删除，教学中始终以23+=x y 、2x y =、xy 1=等函数为例子进行讨论研究 教学过程： 一、复习引入：⒈ 复习：按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数xy =3x y =的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =如图2.⒉ 引入：从函数2x y =的图象（图1）看到：图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大， 相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0），得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数. 函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 的)(1x f >)(2x f ，但显然此特定位置上，虽然使得图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f . ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -,由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性. 解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 四、练习：1：课本P59练习：1，2答案：)(x f 的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；)(x f 在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.)(x g 的单调区间有[-π,-2π]，[-2π,2π]，[2π, π]；)(x g 在区间[-π,-2π]，[2π，π]上是减函数，在区间[-2π，2π]上是增函数. 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2判断函数23)(+-=x x f 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(-31x +2)-(-32x +2)=3(2x -1x ),又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴23)(+-=x x f 在R 上是减函数. 3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -,由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？ 答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 ⑴ 判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由. ⑵ 课本P60练习：4.解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.第4（1）题⑵设1x ,2x ∈(0,+∞)，且1x <2x ， )=(21x +1)-(22x +1)=∵)(1x f －21x -22x =(1x +2x ) (1x -2x )∵0<1x <2x ,∴1x +2x >0，1x -2x ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f ， ∴)(x f =2x +1在(0,+∞)上是增函数.五、小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.六、课后作业：课本第60习题2.3：1，2，3补充：⑴)(x f =41252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 是以(25,41-)为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-∞,25]与[25,+ ∞);它在(-∞,25]上是减函数，在[25,+ ∞)上是增函数.证明：设1x <2x ≤25,则 )(1x f －)(2x f =21x -22x -5(1x -2x )=(1x +2x -5) (1x -2x ) ∵1x <2x 25≤,∴1x +2x <5，1x -2x <0， ∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f .. ∴)(x f =2x -5x +6在(-∞,25]上是减函数.类似地，可以证明)(x f 在[25,+∞)上是增函数. ⑵)(x f =-2x +9的图象是以(0,9)为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是(-∞,0]与[0,+∞)，它在(-∞,0]上是增函数，在[0,+∞)上是减函数.证明：设1x <2x ≤0,则)(1x f －)(2x f =-21x +22x =(1x +2x ) (2x -1x ) ∵1x <2x ≤0,∴1x +2x <0，2x -1x >0， ∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f .∴)(x f =9-2x 在(-∞,0]上是增函数.类似地，可以证明)(x f 在[0,+∞)上是减函数. 七、板书设计（略） 八、课后记：。
函数的单调性
课题：函数的单调性（一）一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．教学环节教学过程设计意图问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为宿迁市2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？连续提出三个相关联的问题，包括问题3这样让人警觉的反例，使学生在解决问题的过程中，形成对函数单调性的认识．从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．定义形成通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性．师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如：区间内，任意，当1x<2x时，都有)(1xf<)(2xf．仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义．教师介绍单调性和单调区间的定义．函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体现以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y 随x 的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．《函数的单调性》说课稿(二)各位专家：您好！我叫，今天我说课的课题是“”，下面我从教材分析、教法设计、学法设计、学情分析、教学程序、板书设计和评价设计等七个方面向各位阐述我对本节课的构思与设计。
函数单调性教案
函数单调性教案中的这种变化规律，可以用数学中的函数来描述。
引导学生思考函数与实际生活的联系。
二)函数单调性的概念和判断方法讲解函数单调性的概念和判断方法，引导学生观察图像，数形结合，发现图像上升或下降时函数值的变化规律，推广到一般函数，得出增减函数定义。
学生归纳出判断的方法及步骤并进行简单的应用。
三)函数单调性的证明通过对函数单调性的定义进行探究，引导学生进行推理论证，提高学生的推理论证能力。
四)课后练布置课后练，让学生巩固所学知识，体现层次性，照顾各层次的同学。
通过实际生活中的例子引导学生理解函数的概念，讲解函数单调性的概念和判断方法，引导学生观察图像，数形结合，发现图像上升或下降时函数值的变化规律，推广到一般函数，得出增减函数定义。
通过对函数单调性的定义进行探究，引导学生进行推理论证，提高学生的推理论证能力。
布置课后练，让学生巩固所学知识。
中处处都有数学，因为数学是一门广泛应用于各个领域的学科。
其中，气温变化也蕴含着丰富的数学知识，例如函数的单调性。
函数的单调性指的是在一个区间范围内，函数上升或下降的趋势。
观察函数图像和变量的变化可以帮助我们理解函数的单调性。
上节课的作业中，我们观察了三个函数图像，可以看出它们的变化趋势。
例如，从4点到7点，7点到14点温度是升高的；从点到4点，14点到24点温度是下降的。
通过这样的观察，我们可以感受到生活中处处都蕴含着数学，激发学生的研究热情。
除了观察函数图像，我们还可以通过增减函数的概念来判断函数的单调性。
增减函数是指函数在某个区间内的导数为正或负。
通过这种方法，我们可以更清楚地表述函数的单调性。
需要注意的是，函数的单调性具有局部性，必须在一个区间范围内进行观察和判断。
因此，无论是从图像上还是从变量上，我们都需要借助函数图像来观察和判断函数的单调性。
学中随机选择m个同学回答）。
函数的单调性与增减性是密切相关的，通常我们把具有单调性的函数称为增函数或减函数。
高考第6课函数的单调性
第6课函数的单调性【自主学习】第6课函数的单调性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是.(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数；④若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数.【答案】②③【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析.2.(必修1P55习题8改编)函数f (x )=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .【答案】342⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】函数f (x )的定义域是(-1，4)，令u (x )=-x 2+3x+4，则u (x )=23--2x ⎛⎫⎪⎝⎭+254的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.因为e >1，所以函数f (x )的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(必修1P44习题4改编)已知函数y=f (x )是定义在R 上的单调减函数，则满足f (2-a 2)<f (a )的实数a 的取值范围为 . 【答案】(-2，1)【解析】由于f (x )在R 上是单调减函数，所以由f (2-a 2)<f (a )，可得2-a 2>a ，解得-2<a<1.4.(必修1P44习题2改编)若函数f (x )=x 2-mx+3在[2，+∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-∞，4]【解析】依题意得2m≤2，解得m ≤4.1.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.2.复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法；(2)函数的图象法；(3)导函数法.【要点导学】要点导学各个击破函数单调性的判断与证明例1 (2015·南京一中)已知函数f (x )=-xx a (x ≠a ). (1)若a=-2，求证：f (x )在(-∞，-2)上单调递增；(2)若a>0且f (x )在(1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.【思维引导】用定义证明函数单调性：设元取值，作差变形，确定符号，得出结论；利用导数证明函数单调性：求导函数，确定符号，得出结论.【解答】(1)任取x 1<x 2<-2，则f (x 1)-f (x 2)=112x x +-222x x +=12122(-)(2)(2)x x x x ++.因为(x 1+2)(x 2+2)>0，x 1-x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(-∞，-2)上单调递增. (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=11-x x a -22-x x a =2112(-)(-)(-)a x x x a x a .因为a>0，x 2-x 1>0，所以要使f (x 1)-f (x 2)>0， 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是(0，1].【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；(5)导数法.利用定义法的关键是对f (x 1)-f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式 已知函数f (x )=x+1x ，求证：函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数. 【解答】在区间(0，1]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2.则f (x 1)-f (x 2)=111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(x 1-x 2)+2112-x x x x =121212(-)(-1)x x x x x x ， 因为x 1<x 2，所以x 1-x 2<0， 又因为0<x 1<x 2≤1， 所以x 1x 2>0，x 1x 2-1<0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数.结合函数单调性求参数范围例2 若函数f (x )=-11ax x +在区间(-∞，-1)上是减函数，求实数a 的取值范围. 【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.【解答】f (x )=-11ax x +=a-11a x ++，设x 1<x 2<-1，则f (x 1)-f (x 2)=11-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭-21-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=211a x ++-111a x ++=1221(1)(-)(1)(1)a x x x x +++. 又函数f (x )在(-∞，-1)上是减函数， 所以f (x 1)-f (x 2)>0， 由于x 1<x 2<-1，所以x 1-x 2<0，x 1+1<0，x 2+1<0， 所以a+1<0，即a<-1.故实数a 的取值范围是(-∞，-1).【精要点评】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解.需要注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式(1)如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f(2)的取值范围为.(2)已知函数f(x)=21-212-1xx a xa a x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩，，，，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为.【答案】(1)[7，+∞)(2)(1，2]【解析】(1)由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11，所以求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.二次函数f(x)在区间112⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，由于其图象开口向上，于是-12a≤12，解得a≤2，故f(2)≥-2×2+11=7，即f(2)的取值范围是[7，+∞).(2)由题意，得12+12a-2≤0，且a>1，解得1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-23，且当x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.【思维引导】(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证.(2)用函数的单调性即可求最值.【解答】(1)方法一：因为函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x，得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2，则x1-x2>0，f(x)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).1因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2).因此函数f(x)在R上是减函数.方法二：设x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x)=f(x1-x2).2因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在R上为减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[-3，3]上也是减函数，所以f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2，所以函数在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2.【精要点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2，在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小，或比较12()()f xf x与1的大小.有时根据需要，需作适当地变形，如x1=x2·12xx或x 1=x2+x1-x2等；利用函数单调性可以求函数最值.变式已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.【解答】(1)设x1<x2，所以x2-x1>0，因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2-x1)>1.又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1，所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数.(2)因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1，f(3)=4⇒f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2，所以f(a2+a-5)<2=f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2+a-5<1⇒-3<a<2，即不等式的解集是(-3，2).1.(2014·南通中学)已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】因为f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，所以x<-1或x>1.2.(2015·海安中学)已知函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】11 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】因为函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在区间(-∞，+∞)上是减函数，那么在每一段上都是递减的，可知3a-1<0，0<a<1，且3a-1+4a≥0，所以实数a的取值范围是1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(2014·苏锡常镇调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点，则实数k的值为.【答案】1 4【解析】令y=f(x2)+f(k-x)=0，得f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又f(x)是R上的单调函数，故原命题等价于方程x2=x-k有唯一解，由Δ=0，得k=1 4.4.(2015·陕西卷改编)设f(x)=ln x，0<a<b，若p=f，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭，r=12[f(a)+f(b)]，有下列关系式：①q=r<p；②q=r>p；③p=r<q；④p=r>q，其中正确的是.(填序号)【答案】③【解析】p=f(ab)=ln ab=12ln ab，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭=ln2a b+，r=12[f(a)+f(b)]=12 ln ab.因为2a b+>ab，且f(x)=ln x在(0，+∞)上是单调增函数，所以f 2a b+⎛⎫⎪⎝⎭>f(ab)，所以q>p=r.5.(2015·盐城中学)已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，求实数m的取值范围.【解答】因为f(x)在(-2，2)上是减函数，所以由f(m-1)-f(1-2m)>0，得f(m-1)>f(1-2m)，所以-2-12-21-22-11-2mmm m<<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，即-1313-2223mmm⎧⎪<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪⎩，，，解得-12<m<23，所以实数m的取值范围是12-23⎛⎫⎪⎝⎭，.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第11~12页.【检测与评估】第6课函数的单调性一、填空题1.(2014·郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数，那么满足f(x)<f(2x-3)的x的取值范围是.2.若函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞，1]上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则实数a的值是.3.函数y=-(x-3)|x|的单调增区间是.4.若函数f(x)=12axx++在区间(-2，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是.5.若函数f(x)=x-[1，4]上单调递增，则实数a的最大值为.6.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3，+∞)，则实数a的值为.7.(2014·成都外国语学校)已知函数f(x)=1000-10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g(x)=x2f(x-1)，那么函数g(x)的单调减区间是.8.(2015·福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m，+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于.二、解答题9.试讨论函数f (x )=2-1ax x ，x ∈(-1，1)的单调性(其中a ≠0).10.已知函数f (x )=log a (3x 2-2ax )在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，求实数a 的取值范围.11.已知函数f (x )=22x x ax ++，x ∈[1，+∞).(1)当a =12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，+∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a ，b ∈R ，有f (a +b )=f (a )·f (b ). (1)求f (0)的值；(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0； (3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1，求x 的取值范围.【检测与评估答案】第6课函数的单调性1.(3，+∞)【解析】依题意得，不等式f(x)<f(2x-3)等价于x<2x-3，解得x>3，即x的取值范围是(3，+∞).2.5【解析】依题意可得对称轴为x=-1 22a⨯=1，所以a=5.3.32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】y=-(x-3)|x|=22-30-30.x x xx x x⎧+>⎨≤⎩，，，作出该函数的图象如图所示，观察图象知单调增区间为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(第3题)4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=1112axx++-2212axx++=1221122-2-(2)(2)ax x ax xx x+++=1212(-)(2-1)(2)(2)x x ax x++>0，由x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，知2a-1>0，所以a> 12.5.2 【解析】令x =t ，所以t ∈[1，2]，即f (t )=t 2-at ，因为f (x )在[1，4]上单调递增，所以2a≤1，即a ≤2，所以a 的最大值为2.6.-6 【解析】容易作出函数f (x )的图象(图略)，可知函数f (x )在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，又已知函数f (x )的单调增区间是[3，+∞)，所以-2a=3，解得a=-6.7.[0，1) 【解析】由条件知g (x )=22101-1x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，其图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第7题)8.1 【解析】由f (1+x )=f (1-x )，得函数f (x )关于直线x=1对称，故a=1，则f (x )=2|x-1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，+∞)上单调递增，故m ≥1，所以实数m 的最小值等于1.9.方法一：任取x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2，则f (x 2)-f (x 1)=222-1ax x -121-1ax x =12122221(-)(1)(-1)(-1)a x x x x x x +.因为-1<x1<x2<1，所以|x1|<1，|x2|<1，x1-x2<0，21x-1<0，22x-1<0，|x1x2|<1，即-1<x1x2<1，所以x1x2+1>0.因此，当a>0时，f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，此时函数为减函数；当a<0时，f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，此时函数为增函数.方法二：f'(x)=-222(1)(-1)a xx+，x∈(-1，1)，所以当a>0时，f'(x)<0，此时函数为减函数；当a<0时，f'(x)>0，此时函数为增函数.10.当0<a<1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则2132113-2022aa⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯⋅>⎪⎪⎝⎭⎩，，解得0<a<3 4.当a>1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则21331-20aa⎧≥⎪⎨⎪⨯>⎩，，无解.综上，实数a的取值范围是34⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)当a=12时，f(x)=x+12x+2.因为f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，所以f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为f(1)=7 2.(2)方法一：在区间[1，+∞)上，f(x)=22x x ax++>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设函数y=x2+2x+a，因为y=(x+1)2+a-1在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y min=3+a，当且仅当y min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>-3.方法二：f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)单调递增，所以当x=1时，f(x)min=3+a.当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，所以a>-3. 综上，实数a的取值范围为(-3，+∞).12.(1)令a=b=0，则f(0)=f(0)·f(0)，又f(0)≠0，解得f(0)=1.(2)当x<0时，-x>0，所以f(0)=f(x)·f(-x)=1，因为x>0时，f(x)>1>0，所以f(-x)=1()f x>0.又f(0)=1>0，所以对任意的x∈R时，恒有f(x)>0.(3)设x1<x2，则x2-x1>0，所以f(x2-x1)>1，所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1)>f(x1)，即f(x)在R上是增函数.(4)由f(x)·f(2x-x2)>1，可得f(x+2x-x2)>1，即f(3x-x2)>f(0).由(3)知f(x)在R上是增函数，所以3x-x2>0，所以0<x<3. 即x的取值范围是(0，3).。
2021届高考数学(理)考点复习：函数的单调性与最值(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f(x1)－f (x2)x1－x2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞)．1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 2．（2018·北京卷）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立， 但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．1y x=B ．y lnx =C ．sin y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，y lnx =，为指数函数，在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于C ，sin y x =，为正弦函数，在(0,)+∞上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，12()2x x y -==，是指数函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；故选B ．2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+D ．(1)||y x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，222(1)1y x x x =+=+-，其值域为[1-，)+∞，不符合题意； 对于B ，12x y +=，其值域为(0,)+∞，不符合题意；对于C ，31y x =+，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意； 对于D ，22,0(1)||,0x x x y x x x x x ⎧-=-=⎨-+<⎩，在区间1(0,)2上为减函数，不符合题意；故选C ．3．（2016•安庆三模）若函数2()||2f x x a x =++，x R ∈在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．11[3-，3]- B ．[6-，4]- C ．[3-，22]- D ．[4-，3]-【答案】B【解析】2()||2f x x a x =++，22()()||2||2()f x x a x x a x f x -=-+-+=++=，()f x ∴为实数集上的偶函数，由2()||2f x x a x =++在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，知()f x 在[3，)+∞上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴函数22(0)y x ax x =++>的对称轴[2,3]2a x =-∈，得[6a ∈-，4]-．故选B ．4．（2016•天津二模）若221,0()(1)(1),0axax x f x a a e x ⎧+=≠⎨-<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．2]B ．[2,1)[2,)--+∞C ．(,2]2]-∞⋃D ．2(0,)[2,)3+∞【答案】C【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得22a0x 时，21y ax =+是增函数，0a ∴>又0x <时，2(1)ax a e -是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：12a <②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得2a -或2a．0x 时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时，2(1)ax a e -是减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：2a - 综上所述，得(,2]2]a ∈-∞⋃故选C ．5．（2020春•天津期末）下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()||f x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C ，1()f x x=-为反比例函数，在(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于D ，()||f x x =-，当0x >时，()f x x =-，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 故选C ．6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在(0,2)上是增函数的是( ) A ．2y x =- B ．12y x =-C ．21()2x y -=D ．12log (2)y x =-【答案】D【解析】对于A ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于B ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于C ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于D ，函数在(0,2)递增，符合题意； 故选D ．7．（2020春•郑州期末）函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,1)-【答案】A【解析】函数2()2(0)f x x lnx x =->的导数为 2()2f x x x'=-， 令()0f x '<，解得01x <<． 即有单调减区间为(0,1)． 故选A ．8．（2020•北京模拟）下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【答案】C【解析】A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选C ．9．（2019春•武邑县校级期中）函数()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A ．02a < B ．04a <C ．4aD ．4a【答案】D【解析】根据题意，函数()af x x x=+，其导数222()1a x a f x x x -'=-=， 若()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，则22()0x a f x x -'=在(2,)+∞上恒成立，则有2a x 在(2,)+∞上恒成立， 必有4a ， 故选D ．10．（2019秋•东海县期中）函数1()f x x=的单调减区间是( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-， 分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数， 当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数； 综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞； 故选D ．11．（2019秋•钟祥市校级期中）函数||1y x =-的单调递减区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】当0x 时，||11y x x =-=-，此时函数为增函数， 当0x <时，||11y x x =-=--，此时函数为减函数， 即函数的单调递减区间为(,0)-∞， 故选B ．12．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．2||y x = B ．1y x =C ．1()2x y =D ．2y x x =-【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2,02||2,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩，在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于B ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意； 对于C ，1()2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于D ，2y x x =-，为二次函数，在1(0,)2上单调递减，不符合题意；故选A ．13．（2019秋•赫章县期中）下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是( ) A ．2()3f x x x =-- B ．()14x f x =+ C ．()(2)f x lg x =+ D ．()|21|f x x =-+【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意； 对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩，在1(1,)2--上为增函数，不符合题意；故选A ．14．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数21()2x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是( ) A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,2)-∞-和(2-．)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数213()222x f x x x +-==+++，其导数23()(2)f x x '=+， 易得在区间(,2)-∞-和(2,)-+∞上，()0f x '>， 即函数()f x 在区间(,2)-∞-和(2-．)+∞为增函数， 故选D ．15．（2019春•温州期中）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则( ) A ．12m >B ．12m <C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数， 则有210m -<，解可得12m <， 故选B ．16．（2019•湖南模拟）定义在R 的函数3()f x x m =-+与函数32()()g x f x x x kx =++-在[1-，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2，)+∞C ．[2-，2]D ．(-∞，2][2-，)+∞【答案】B【解析】根据题意，函数3()f x x m =-+，其定义域为R ，则R 上()f x 为减函数，322()()g x f x x x kx x kx m =++-=-+在[1-，1]上为减函数， 必有12kx =，解可得2k ， 即k 的取值范围为[2，)+∞； 故选B ．17．（2019秋•金台区期中）函数221()2x x y -+=的单调递增区间是( )A ．[1-，)+∞B ．(-∞，1]-C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]【答案】C【解析】令22t x x =-+， 则1()2t y =，由22t x x =-+的对称轴为1x =，可得函数t 在(,1)-∞递增，[1，)+∞递减， 而1()2t y =在R 上递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得函数221()2x x y -+=的单调递增区间是[1，)+∞，故选C ．18．（2019秋•天津期中）函数254y x x =-+( ) A ．5[,)2+∞B ．5[,4)2C ．[4，)+∞D ．5[1,),[4,)2+∞【答案】C【解析】令2540x x -+， 解得：4x 或1x ，而函数254y x x =-+的对称轴是：52x =， 由复合函数同增异减的原则，故函数254y x x =-+[4，)+∞， 故选C ．19．（2019秋•项城市校级月考）下列函数中，在区间(0,1)上是递增函数的是( ) A ．|1|y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A【解析】A ．(0,1)x ∈时，|1|1y x x =+=+，∴该函数在(0,1)上是递增函数，；所以该选项正确B ．3y x =-是一次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误；C ．1y x=是反比例函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误； D ．24y x =-+是二次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误．故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）函数()2f x lnx x =-的定义域为___________；单调递减区间是___________．【答案】(0,)+∞；1(2，)+∞【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞；112()2xf x x x-'=-=， 令()0f x '<，得12x >， ∴函数的单调递减区间为1(2，)+∞．故答案为：(0,)+∞；单调递减区间为1(2，)+∞．21．（2019•西湖区校级模拟）函数42y x x=+的单调递增区间为___________，值域为___________． 【答案】(,2)-∞和(2，)+∞，(-∞，42][42-，)+∞ 【解析】24()20f x x '=->，解得2x >或2x <-函数42y x x=+的单调递增区间为(,2)-∞和(2，)+∞，单调递减区间为[2-0)，(02]，即函数在2x =-(2)42f -=-，在2x =处有极小值(2)42f = 所以函数的值域为(-∞，42][42-，)+∞．故答案为：(,2)-∞和(2)+∞，(-∞，42][42-，)+∞．22．（2018•浙江模拟）已知函数已知函数222,2()1,2x x x f x log x x ⎧-+⎪=⎨->⎪⎩，则(f f （4）)___________；函数()f x 的单调递减区间是___________．【答案】1，[1，2]【解析】f （4）2log 411=-=； (f f ∴（4）)f =（1）21211=-+⨯=；2x 时，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =；()f x ∴在[1，2]上单调递减； ()f x ∴的单调递减区间为[1，2]．故答案为：1，[1，2]．23．（2017•河东区一模）已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】[3,3]-【解析】由题意知，32()1f x x ax x =-+--， 则2()321f x x ax '=-+-，32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数， 2()3210f x x ax ∴'=-+-在R 上恒成立， 则△2(2)4(3)(1)0a =-⨯-⨯-，解得33a-，∴实数a 的取值范围是[3,3]-，故答案为：[3,3]．24．（2016•永康市模拟）设函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，若(f f （1）)4a =，则实数a =___________，函数()f x 的单调增区间为___________． 【答案】2，(0,)+∞【解析】函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，可得f （1）2=，(f f （1）)f =（2）424a a =+=， 解得2a =；21,1()22,1x x x f x x x ⎧+=⎨+>⎩的增区间为(0,1)[1，)+∞(0,)=+∞．故答案为：2，(0,)+∞25．（2019秋•徐汇区校级期中）函数2()2f x x x =-+的单调递增区间为___________． 【答案】(-∞，1]【解析】根据题意，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，是开口向下的二次函数，其对称轴为1x =， 故()f x 的单调递增区间为(-∞，1]；故答案为：(-∞，1]．26．（2019秋•香坊区校级月考）函数224y x x =--+的值域是___________，单调递增区间是___________．【答案】[0，2]；[2，4]【解析】根据题意，函数224y x x =-+设24t x x =-+，必有240t x x =-+，解可得04x ， 必有04t ，则2042x x -+，则有02y ，即函数的值域为[0，2]；又由24t x x =-+，必在区间[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则函数()f x 的递增区间为[2，4]；故答案为：[0，2]；[2，4]．27．（2019春•江阴市期中）已知2()(2)2f x x m x =-++在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】0m 或4m【解析】根据题意，2()(2)2f x x m x =-++为二次函数，其对称轴为22m x +=， 若()f x 在[1，3]上是单调函数，则有212m +或232m +， 解可得0m 或4m ，即m 的取值范围为0m 或4m ； 故答案为：0m 或4m ．28．（2018秋•驻马店期末）已知()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数，则不等式2()(2)2x xf e f --的解集是___________．【答案】[2，6]【解析】根据题意，()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数， 则22()(2)2122x x x xf e f e ---⇒--，解可得：26x ，即不等式的解集为[2，6]； 故答案为：[2，6]．29．（2019秋•秦州区校级月考）已知函数|1|1()()2x f x -=，则()f x 的单调递增区间是___________．【答案】(,1)-∞【解析】1|1|11()11()()2221x x x x f x x ---⎧⎪==⎨⎪<⎩；()f x ∴在(,1)-∞上单调递增；即()f x 的单调递增区间为(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．30．（2019秋•思明区校级期中）函数()|2|f x x x =-的单调减区间为___________． 【答案】[1，2]【解析】当2x >时，2()2f x x x =-， 当2x 时，2()2f x x x =-+，这样就得到一个分段函数222,2()2,2x x x f x x x x ⎧->=⎨-+⎩．2()2f x x x =-的对称轴为：1x =，开口向上，2x >时是增函数； 2()2f x x x =-+，开口向下，对称轴为1x =， 则1x <时函数是增函数，12x <<时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1，2]． 故答案为：[1，2]．31．（2018秋•定远县期末）若函数()|2|(4)f x x x =--在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】2152a【解析】函数(2)(4)(2)()|2|(4)(2)(4)(2)x x x f x x x x x x --⎧=--=⎨--<⎩ ∴函数的增区间为(,2)-∞和(3,)+∞，减区间是(2,3)．在区间(5,41)a a +上单调递减，(5a ∴，41)(2a +⊆，3)，得25413a a ⎧⎨+⎩，解之得2152a故答案为：2152a．32．（2019•西湖区校级模拟）已知函数22();[1,)x x af x x x++=∈+∞（1）若12a =，求函数()f x 的最小值．（2）求函数()f x 的单调区间． 【解析】（1）1()22f x x x=++，在区间2[)+∞上单调递增，所以()f x 在[1，)+∞上是增函数， 所以7[()](1)2min f x f ==（2）22()2,[1,)x x a af x x x x x++==++∈+∞当0a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当0a >时，()f x 在)a 上递减，在(,)a +∞递增，所以 ①1,01a a <时，()f x 在[1，)+∞上是增函数；②当1a >时，()f x 在a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数； 综上所述，当1a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当1a >时，()f x 在)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数． 33．（2019秋•秦淮区校级期中）（1）求函数()1f x x x =-+ （2）求函数212log (21)y x x =-++的单调区间．【解析】（11(0)x t t +=，则21x t =-， 所以21(0)y t t t =--，因为抛物线21y t t =--开口向上，对称轴为直线12t =， 所以当12t =时，y 取得最小值为54-，无最大值，所以函数()f x 的值域为5[,)4-+∞．（2）设221t x x =-++．令2210x x -++>，解得1212x <+ 所以函数212log (21)y x x =-++的定义域为(12，12)，2(1)2t x =--+，对称轴方程为1x =，221t x x ∴=-++在(12，1)上为单调增函数，而在(1,12)+上为单调减函数，因为12log y t =为单调减函数，∴函数212log (21)y x x =-++的单调增区间为(1,12)+，单调减区间为(12，1)．34．（2018秋•合肥期末）已知函数1()22x x f x =-． （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )f x f <（1）． 【解析】（1）1()22(2)()2x x x x f x f x --=-=--=-，则函数()f x 是奇函数， 则当0x 时，设120x x <，则2112121212121122()()22222222x x x x x x x x x x f x f x --=--+=-+121212221(22)22x x x x x x -=-，120x x <，12122x x ∴<，即12220x x -<，12221x x >，则12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 则()f x 在[0，)+∞上是增函数， ()f x 是R 上的奇函数， ()f x ∴在R 上是增函数．（2）()f x 在R 上是增函数，∴不等式2(log )f x f <（1）等价为不等式2log 1x <，即02x <<．即不等式的解集为(0,2)．。
第6节 函数的单调性(2)
练习：已知函数 y=f（x）的一个减区间是（2，6），则可以断定函数 y=f（2﹣x）
的（ ）
A．一个减区间是（4，8） B．一个减区间是（0，4）
C．一个增区间是（﹣4，0） D．一个增区间是（0，4）
解：y=f（x）的一个减区间是（2，6）， 令 t=2﹣x，2＜t＜6， ∴2＜2﹣x＜6， ∴﹣4＜x＜0， 根据复合函数的单调性可知当﹣4＜x＜0，y=f（2﹣x）为增函数， 故选：C．
2.若函数 f（x）=|x﹣a|的单调递减区间是（﹣∞，4]，则实数 a 的值为
．
解：当 x≥a 时，f（x）=x﹣a，此时函数为增函数，
当 x≤a 时，f（x）=﹣（x﹣a）=﹣x+a，此时函数为减函数，
则函数的单调递减区间为（﹣∞，a]，
∵函数 f（x）=|x﹣a|的单调递减区间是（﹣∞，4]，
练习：设函数 f（x）=
减区间为
．
，g（x）=x2f（x﹣1），则函数 g（x）的单调递Leabharlann 解：；∴；
∴g（x）的单调递减区间为[0，1）． 故答案为：[0，1）．
典例分析：
例 4：函数 f（x）在区间（﹣2，3）上是增函数，则 y=（ f x+4）的递增区间是（ ）
A．（2，7） B．（﹣2，3）
化简为：
y=x2﹣2x+1，开口向上，对称轴 x=1，所以 x 在（0，1）是减区间，x 在（1，+ ∞）是增区间； y=x2+2x+1，开口向上，对称轴 x=﹣1，所以 x 在（﹣1，0）是增区间，x 在（﹣ ∞，﹣1）是减区间； 所以：y=x2﹣2|x|+1 的单调递减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）． 故选 D．
第二章 函数
高中数学 函数的单调性与最值
专题 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值 (1)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(×)(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(6)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(×)考点一求函数的单调性(区间)A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A(2)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．答案：(－∞，0)(3)判断并证明函数f(x)＝axx2－1(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性．（二次除以一次的处理；拓展一次除以一次）[方法引航]判断函数单调性的方法(1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.(2)利用复合函数关系：简称“同增异减”.(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.(4)性质法：增函数与减函数的加减问题。
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x C．y＝ln x D．y＝|x|选B.2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞选B.3．已知a ＞0，函数f (x )＝x ＋ax (x ＞0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（掌握对勾函数；明确对勾函数的特征）考点二 利用函数的单调性求最值[例2] (1)函数f (x )＝2x x ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．答案：43，1(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________. 答案：251．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12 f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.考点三 函数单调性的应用[例3] （1）已知11122x y⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不等关系一定成立的是（ ）A ．22x y <B ．22log log x y <C ．33x y > D ．cos cos x y <(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2[方法引航] (1)利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.(2)已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：①任意子区间上也是单调的；②注意衔接点的取值.1.在本例(2)中，若f (x )不变且a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.解不等式f (4a 2－2a －5)＜f (a ＋2)．f (4a 2－2a －5)＜f (a ＋2)的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，74.2.定义在R 上的函数()f x =25,1,, 1.x ax x a x x---≤>⎧⎨⎩ 对任意12xx ≠都有，1212()[()()]0x x f x f x -->成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [－3,－2]B. [－3,0)C.(－∞,－2]D. (－∞,0)[易错警示]定义域的请求——求函数单调区间先求我1．函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则．[典例1] 函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间为________．[答案] [2，＋∞)[警示] 求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“并集符号”合并联结． 2．利用函数单调性解不等式时也要先求定义域．[典例2] 已知，定义在[－2,3]上的函数f (x )是减函数，则满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是________． [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3[警示] 这类不等式应等价于：单调性和定义域构成的不等式组．[高考真题体验]1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x选项D 符合题意．2．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 故选A.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x 2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3 D ．f (x )＝2－x故选A. 4．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．答案：25．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减解析：选C.2．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) x 的取值范围是x ＞1或x ＜0.3．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) 4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞－14 B ．a ≥－14 C ．－14≤a ＜0 D ．－14≤a ≤0综上所述得－14≤a ≤0.5．函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3选C.6．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是________．答案：(－1,0)∪(0,1)7．y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________．答案：(－∞，－1]，[0,1]8．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________． 答案：(－∞，1]9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值． g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t ＜1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t ＞2).(2)画出g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8. 10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证（判断）f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．B 组 能力突破1．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＞f (2) B ．f (a ＋1)＜f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定选A.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，0) C ．(0,2) D ．(－2,0)选A.3．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.（函数背景是什么？） (1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵[2,9]⊆(0，＋∞)，∴f (x )在[2,9]上为减函数f (x )min ＝f (9)．由题意可知f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋f (x 2)，∴f (9)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＋f (3)＝2f (3)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.专题 函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√)(5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√)(6)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (7)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (8)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1](1)A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D(2)下列函数中为偶函数的是()A．y＝1x B．y＝lg|x|C．y＝(x－1)2D．y＝2x答案：B(3)函数f(x)＝3－x2＋x2－3，则()A．不具有奇偶性B．只是奇函数C．只是偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案：D[方法引航]判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x 1＋x；(2)f(x)＝lg 1－x1＋x.（其它底数）（其它变形形式）原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1) 答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2019)＝________.答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，求f (－2 017)＋f (2 019)的值．f (－2 017)＋f (2 019)＝2.拓展延伸：已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：选B.考点三 函数奇偶性的综合应用[例3] (1)若函数f (x )＝2x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案：C （注重多种解法） (2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. ①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0. 解：①a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x2，经检验适合题意．②证明：（略）f (x )在(－1,1)上为增函数． ③0＜t ＜12.3.设奇函数()f x 在(0，＋∞)上为增函数，且)1(f ＝0，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)(4)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) 满足不等式f＜0的x 的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析] 第一步：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立． (赋值法)：令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0.令x ＋y ＝0，∴y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )． ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．第二步：∵f (x )在x ∈[－1,0]上为增函数，又f (x )为奇函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数． 第三步：由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2) ⇒f (x ＋4)＝f (x )，(代换法)∴周期T ＝4，即f (x )为周期函数．第四步：f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )．(代换法) 又∵f (x )为奇函数，∴f (2－x )＝f (x )，∴关于x ＝1对称．第五步：由f (x )在[0,1]上为增函数，又关于x ＝1对称， ∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)．(赋值法) [答案] ①②③④[回顾反思] 此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数选C.2．已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D3．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案：15．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x解析：选B.2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．y ＝2|x | B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 解析：选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 解析：选A.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)B 组 能力突破1．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( ) A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：选D.4．定义在R上的函数f(x)，对任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2 016)＝2 016，则f(2 028)＝________.解析：∵x∈R，f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2)－f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f(x)，则函数f(x)是以12为周期的函数．又∵f(2 016)＝2 016，∴f(2 028)＝f(2 028－12)＝f(2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．专题二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质y＝(1)二次函数的图象和性质R ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(4)当n＞0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)考点一二次函数解析式________.答案：x2＋2x[方法引航]根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案：－2x2＋4考点二 二次函数图象和性质[例2] (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；解：(1) f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解； (3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f (x )的最小值． 当a ≥4时，f (x )min ＝19－8a . 当－6≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2. 当a ＜－6时，f (x )min ＝39＋12a .2．若本例已知条件不变，f(x )＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a 的取值范围．解：要使f (x )＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－a )＜0－4≤－a ≤6f (－4)≥0f (6)≥0即⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＜0，－6≤a ≤4，19－8a ≥0，36＋12a ≥0.解得，－134≤a ＜－3或3＜a ≤198.3．若本例中f (x )＞0在x ∈(0,6]上恒成立，求a 的取值范围． 解：x 2＋2ax ＋3＞0，在x ∈(0,6]上恒成立， 即2a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 在x ∈(0,6]上恒成立，只需求u ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ，x ∈(0,6]的最大值．∵x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时，取等号． ∴u max ＝－23， ∴2a ＞－23，∴a ＞－ 3.综合运用：已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) 注重巧解 A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3}解析：选D.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )答案：C(2)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2 D ．3答案：B (3)已知f (x )＝，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f (a )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b )答案：C[方法引航] (1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图 象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B.2．若，则实数a 的取值范围是________．（陷阱） 解析：不等式等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32. 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32[规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决．[典例] (本题满分12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的范围； (3)若f (x )＝0的两根都在[0,1]内，求a 的范围．[规范解答] (1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .2分 ⅰ.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .4分ⅱ.当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 6分③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎨⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，∴a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1a ≥－1恒成立，∴a ≥1.10分 (3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a (a ≠0)， 0∈[0,1]，∴0<2a ≤1，∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0.第二层：开口方向a>0和a<0.第三层：对称轴x＝1a与区间[0,1]的位置关系，左、内、右．(2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知则()A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：选A.2．(2015·高考山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a解析：选C.3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1x B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|解析：选C.4．设函数则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．答案：(－∞，8]5．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．答案：4课时规范训练 A 组 基础演练1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.13B.12C.23D.43解析：选A.2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.5．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2 B ．－2＜a ＜2 C ．a ＞2或a ＜－2 D ．1＜a ＜3解析：选C.6．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a . 结合图象有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f (5)＞0，∴0＜a ≤14.答案：0＜a ≤147．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，ac －4＝0.答案：a ＞0，ac ＝48．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 8，＋∞，所以m 8≤2，即m ≤16.答案：(－∞，16]9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0. 所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2. 所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－(k －2)24.由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．B 组 能力突破1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：选B.由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B.由函数图象知，a ＜0，与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac .对称轴x ＝－b2a ＝－1，∴2a －b ＝0.当x ＝－1时，对应最大值，f (－1)＝a －b ＋c ＞0. ∵b ＝2a ，a ＜0，∴5a ＜2a ，即5a ＜b . 3．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5. 答案：(3,5)5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *，式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n ＝a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；②负分数指数幂： (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质R4.(1)na n与(na)n都等于a(n∈N*)．(×)(2)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(3)函数y＝a x2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(×)(4)当x＞0时，y＝a x＞1.(×)(5)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．(×)考点一指数幂的运算解：[方法引航]指数幂的化简方法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1．化简－(－1)0的结果为()（易错）A．－9B．7C．－10 D．9解析：选B.－(－1)0＝－1＝8－1＝7.考点二指数函数图象及应用命题点1.指数函数图象的变换2.指数函数图象的应用[例2](1)函数x b的是()A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0答案：D(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[方法引航](1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B.f (x )＝2|x －1|的图象是由y ＝2|x |的图象向右平移一个单位得到，故选B. 2．(2017·河北衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]考点三 指数函数的性质 [例3] (1)(2017·天津模拟)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2答案：D (2)不等式2－x2＋2x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 答案：{x |－1＜x ＜4} (3)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3①若f (x )有最大值3，求a 的值； ②若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解：①令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.②由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.[方法引航] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.(2)解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(3)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1．若本例(1)中的三个数变为y 1＝，y 2＝，y 3＝，则大小关系如何．解析：构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得y 2＜y 3，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故，即y 1＞y 3，∴y 1＞y 3＞y 2.答案：D2．在本例(3)中，若a ＝－1，求f (x )的单调区间． 解：当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． 3．在本例(3)中，若a ＝1，求使f (x )＝1的x 的解． 解析：当a ＝1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－4x ＋3＝1∴x 2－4x ＋3＝0，∴x ＝1或x ＝3. 答案：1或3[方法探究]整体换元法，巧化指数式指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．一、根据整体化为同指数[典例1] 计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________． [答案]3＋ 2二、根据整体化为同底数[典例2] 若67x ＝27,603y ＝81，则3x －4y ＝________.期末考试第一题 [解析] ∵67x ＝27,603y ＝81，[答案] －2三、根据整体构造代数式 [典例3] 已知a 2－3a ＋1＝0，则＝________.[解析] ∵a 2－3a ＋1＝0，∵a ≠0，∴a ＋1a ＝3.[答案]5四、根据整体构造常数a x ·a －x ＝1 [典例4] 化简4x4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝________.[答案] 1 五、根据整体换元[典例5] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．[解析] 因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57. 故所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57[高考真题体验]1．已知则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜a 解析：选B.3．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析：选B.5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________. 答案：－326．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________． 答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C.2．在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选A4．函数y ＝2x －2－x 是( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 解析：选A.5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x ＞0)，e x (x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选C.6．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知0＜2－a ＜1，解得1＜a ＜2. 答案：(1,2)7．计算：＝________.答案：28．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案：(1，＋∞)9．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解：令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)． ①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上为增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.10．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56.B 组 能力突破1．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x ＞7是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，611 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 解析：选B.3．已知f (x )＝9x －13x ＋1，且f (a )＝3，则f (－a )的值为________．结论： 答案：－1 4．设函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a ＞0，a ≠1)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m∈R满足f(m)＞f(m2＋2m－2)，求m的范围．解：(1)当a＞1时，a2－1＞0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a －x为增函数．所以f(x)为增函数．当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x 为减函数．所以f(x)为增函数．故当a＞0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(2)由(1)知函数f(x)在R上单调递增．∴由f(m)＞f(m2＋2m－2)得m＞m2＋2m－2，即m2＋m－2＜0，(m＋2)(m－1)＜0，∴－2＜m＜1.故m的范围为(－2,1)．对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log m a M n＝nm log a M.(2)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a N＝N(a＞0且a≠1)．(3)对数的重要公式：①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3．对数函数的图象与性质(1)定义域：(0，＋∞)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．5．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN＞0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.(×)(2)函数y＝ln 1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)其它底数呢？(3)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)．(√)(4)log2x2＝2log2x.(×)(5)当x＞1时，log a x＞0.(×)(6)当x＞1时，若log a x＞log b x，则a＜b.(×)考点一 对数式的运算[例1] (1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( ) A.94 B.54 C.103 D.43答案：D(2) 2lg 2－lg 125的值为( ) （略） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B[方法引航] (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案：102．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72 解析：选A.。
函数的单调性(精品讲义)
都江堰校区 （数学） 辅导讲义任课教师: 岳老师 Tel:课题函数的单调性基础盘查一 函数的单调性1．判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性( ) (2)函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”( ) (4)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)( )(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)( ) 2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________．3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则k 的取值范围是________． 基础盘查二 函数的最值4．判断正误(1)所有的单调函数都有最值( ) (2)函数y ＝1x 在[1,3]上的最小值为13( )5．(人教A 版教材例题改编)已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________．【答案】1．(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×；2．[2,4]；3．⎝⎛⎭⎫－∞，－12；4．(1)× (2)√；5．2考点一 函数单调性的判断[必备知识1]：单调性的定义设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有： (1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数． [必备知识2]：确定单调性的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．[典题例析]【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)， 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的单调区间[必备知识2]：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致[典题例析]【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f (x )在(－∞，0]上是减函数， 在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方 的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间． 【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数． ∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．考点三 函数单调性的应用[必备知识3]复合函数单调性的判断利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最大值f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，则函数y ＝f (x )，x ∈[a ，c ]在x ＝b 处有最小值f (b )．【多角探明】函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值【例5】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．【解析】当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.角度二：比较函数值或自变量的大小【例6】设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )【解析】选D 由a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34，得a 2＋1>a ，又∵f (x )是R 上的减函数，∴f (a 2＋1)<f (a )． 【例7】(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解析】选B ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c . 角度三：解函数不等式【例8】f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)【解析】选B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值【例9】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎭⎫138，2【解析】选B 由题意可知，函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138 .[类题通法]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.一、选择题1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f (－3)>f (5)；④y ＝1x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)【解析】选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13【解析】选B 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，又13<12<23<1，∴f ⎝⎛⎭⎫13＞f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23. 4．(创新题)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( )A ．最小值是0，最大值是4B ．最小值是－4，最大值是0C ．最小值是－4，最大值是4D ．没有最大值也没有最小值 【解析】选C y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x ≥3)－2x ＋2 (－1≤x <3)4 (x <－1)作出图象可求．6．(2015·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负【解析】选C 由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0. ∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0. 由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C. 二、填空题7．已知函数f (x )为R 上的减函数，若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________． 【解析】由题意知f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)；则⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1，且x ≠0.故－1<x <1且x ≠0. 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________． 【解析】函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ， 画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．10．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________．【解析】f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2⇒⎩⎨⎧2a 2－1＞0，a ≥1⇒a ≥1.答案 [1，＋∞)三、解答题11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．【解】(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．【证明】(1)设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.13．函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.【解】(1)设x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．。
高三函数的单调性(高职)
函数的单调性1.函数单调性的判断方法：（1）图像法：增函数 减函数图像呈上升趋势． 图像呈下降趋势例1：已知正比例函数y =（k+1)x 在定义域内是增函数，求k 取值范围．课堂练习：1.设函数y=(k+1)x+b 在R 上是增函数则（ ）A.k ≥-1 Ｂ.k ≤-1 Ｃ.k>-1 Ｄ．K<-12．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有 （ ） A. 21>k B. 21<k C. 21->k D. 21-<k3.函数y=-2x+1在定义域R 内是（ ）A 、减函数B 、增函数C 、非增非减函数D 、既增又减函数例2：函数y=1x-2 的单调区间是（ ）A 、RB 、（-∞，0）C 、（-∞，2），（2，+∞）D 、（-∞，2）⋃（2，+∞）课堂练习：函数13+=x y 的单调区间是（ ） A 、R B 、（-∞，-1）C 、（-∞，-1）⋃（1，+∞）D 、（-∞，-1），（-1，+∞）例3：讨论下列函数的单调性。
(1)y=x 2+2x+5; (2)y=9-2x-x 2.课堂练习：讨论下列函数的单调性。
（1）5422--=x x y ； （2）322++-=x x y例4：求函数245x x y --=的单调递增区间？课堂练习：求函数22--=x x y 的单调递减区间？例5：函数),2[,32)(2+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ． [－8，+∞）B ．[8，+∞）C ．（－∞，－ 8]D ．（－∞，8]课堂练习：若函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范（）A.3-≤aB.3-≥aC.5≤aD.3≥a1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x < 时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
函数的单调性(公开课课件)
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
格单调的。
函数单调性的扩展
05
多变量函数的单调性
01 02
定义
对于多变量函数，如果函数在某个区域内的任意两点x1和x2，当x1<x2 时，函数值f(x1)<=f(x2)，则称函数在此区间内单调递增；反之，则称 函数在此区间内单调递减。
判断方法
通过求导数或求偏导数，判断函数的增减性。
03
应用
在经济学、物理学等领域中，多变量函数的单调性有着广泛的应用。
严格单调函数的反例
总结词
非严格单调函数
详细描述
严格单调函数在其整个定义域内单调递增或递减，没有拐点或水平切线。反例可以是通 过构造一个有拐点或水平切线的函数来证明。例如，函数$f(x) = x^3 + x$在$(-infty, +infty)$内是严格单调递增的，但如果在某点处添加一个水平切线，则该函数不再是严
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性讲义
第2节 单调性问题5/32基础知识诊断 回顾教材 务实基础【知识梳理】考点1 单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数． 2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．考点2 讨论单调区间问题 类型一 不含参数单调性讨论第一步：求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； 第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；第三步：求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；第四步：未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； 第五步：正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；第六步：一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． 第七步：借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 第八步：综上所述得圆满．类型二 含参数单调性讨论第一步：求导化简定义域 (化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；第二步：变号保留定号去 (变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；第三步：恒正恒负先讨论 (变号部分因为参数的取值恒正恒负)； 第四步：然后再求有效根；第五步: 根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； 第六步：导数图像定区间(作图原理同穿针引线法解高次不等式)； 第七步：综上所述得圆满．基础知识诊断 回顾教材 务实基础 考点一 单调性基础问题1.求单调区间【例1】（2020•南岗期末）函数21()9ln 2f x x x =-的单调递减区间是( ) A ．(03)，B ．(3)-∞，C ．(3)+∞，D ．(33)-，2.根据单调区间求参数范围【例2】（2021•宁德期末）已知函数12)(++=x ax x f ，若函数)(x f 在区间)0[∞+，上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0≥a B ．2≥a C ．2<a D ．2≤a【例3】（2021•呼和浩特月考）若函数123)(23++-=x x a x x f 区间]321[，上不单调，则实数a 的取值范围 是（ ） A ．)252(，B ．)252[，C ．)3102(，D ．)3102[，【解题总结】以上是单调问题常见题型三剑客，即求单调、已知单调求参范围、已知不单调求参范围，这里要注意一个细节，即是否取等．【训练1】（2021•太原期末）函数()xxf x e =的单调递增区间是( ) A ．(1]-∞-， B ．(1]-∞，C ．[1)-+∞，D ．[1，)+∞【训练2】（2020•全国Ⅰ理）已知函数2()x f x e ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；【训练3】（2020•兴庆期末）若函数()ln mf x x x=-在[1，3]上为增函数，则m 的取值范围为( ) A ．(-∞，1]-B ．[3-，)+∞C ．[1-，)+∞D ．(-∞，3]-【训练4】（2020•梅州期末）若函数()21af x x x =++在区间[0，)+∞上单调递增，实数a 的取值范围是( )A ．0a ≥B ．2a ≥C ．2a <D ．2a ≤考点二 讨论单调区间问题1.不含参数单调性讨论【例4】(2020•新课标Ⅰ)已知函数)2()(+-=x a e x f x ． (1)当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；【例5】(2020•新课标Ⅰ)已知函数x ax e x f x -+=2)( (1)当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；【拓展提升】(2020•新课标Ⅰ)已知函数1ln 2)(+=x x f ．（1）设0>a ，讨论函数ax a f x f x g --=)()()(的单调性．【解题总结】1．关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2．需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段． 3．利用草稿图像辅助说明．【训练1】(2020•新课标Ⅰ) 已知函数x x x f 2sin sin )(2=．(1)讨论)(x f 在区间)0(π，的单调性;【训练2】(2019•新课标Ⅰ)已知函数11ln )(-+-=x x x x f (1)讨论)(x f 的单调性；【训练3】(2014•新课标Ⅰ)已知函数x e e x f x x 2)(--=-． (1)讨论)(x f 的单调性；2.含参数单调性讨论情形一 变号函数为一次函数【例7】(2019•重庆模考)已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈++=． (1)讨论函数)(x f 的单调性；情形二 变号函数为准一次函数【例8】(2019•广东二模)已知函数()21x f x ae x =+-．(其中常数 71828.2=e ，是自然对数的底数．) (1)讨论函数)(x f 的单调性；【训练4】(2020•广西联考)已知函数x a x x f ln 1)(--=， (1)求函数)(x f 的极值．【训练5】(2020•重庆二模)已知函数x b x a x f +=ln )((其中2≤a 且0≠a )，且)(x f 的一个极值点为ex 1=． (1)求函数)(x f 的单调区间；情形三 变号函数为二次函数型知识点讲解：变号函数为二次函数时，变号函数为0的方程一般有两个不同实数根1x ，2x (无根情况下二次函数恒正或恒负，只有一根时情况类似，故不作为讨论重点)，理论上要分12x x >，12x x <进行讨论； 若函数()f x 有定义域限制，则方程往往会涉及根的分布问题，需要结合定义域对根的分布进行分类讨论． 可因式分解【例9】(2017•新课标Ⅰ)已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+++=． (1)讨论函数)(x f 的单调性;不可因式分解型【例10】(2014•山东) 设函数11ln )(+-+=x x x a x f ，其中a 为常数． （1）若0=a ，求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程; （2）讨论)(x f 的单调区间．【训练6】(2019•新课标Ⅰ)已知函数b ax x x f +-=232)(． （1）讨论)(x f 的单调性；【训练7】(2020•新课标Ⅰ) 已知函数23)(k kx x x f +-=．（1）讨论)(x f 的单调性;【训练8】(2020•马鞍山二模) 已知函数x e ae x f x x +-=-)()0(>a （1）讨论)(x f 的单调性；情形四 变号函数为准二次函数型【例11】(2017•新课标Ⅰ) 已知函数x a a e e x f x x 2)()(--=． （1）讨论)(x f 的单调性．【解题总结】1．二次型结构2ax bx c ++，当且仅当0a =时，变号函数为一次函数．此种情况是最特殊的，故应最先讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解．2．对于不可以因式分解的二次型结构2ax bx c ++，我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负． 3．注意定义域以及根的大小关系．考点三 零点比大小破解双参范围（拓展提升）1．()kx b f x 恒成立，求bk的最值和取值范围； 2．()kx bf x 恒成立，求bk的最值和取值范围． 如图3-3-1所示，通常的方法是构造函数()()g x f x kx ，则min()g x b 时，从而达到解决此类型的目的，这种解答方法适合解答题，但此类型题目出现在选填压轴题的几率更大，常规思路由于计算量大，对一道客观题来说没必要，故需要采纳一些高观点低运算的方法，此类型可以利用数形结合的思想，如图3-3-2所示，通常()yf x 是一个凹函数(()0)f x ，如()kx bf x 意味着()yf x 与ykx b 相切时即恒成立，(0)bk，是直线和x 轴的交点，记为2(0)x ，，将()y f x 的唯一零点1x 求出，满足12bx x k即可．图3-3-1 图3-3-2 图3-3-3 图3-3-4 同理，在比较()kx bf x 时，也是一类型转化，此时()yf x 为凸函数(()0)f x ，也将图3-3-3的方案转化为图3-3-4，构造12bx x k；四个图中的虚线直线是不可能满足题目要求的，此方法叫零点比大小． 【例12】（2021•成都期末）设k b R ，，不等式1ln kx b x 在(0)，上恒成立，则bk的最小值是（ ） A ．2e B ．1eC ．21eD ．e【例13】（2021•镇海月考）不等式42(4)x e x ax b a b R a 、，对任意实数x 恒成立，则44b a 的最大值为（ ） A ．ln2 B ．1ln2C ．2ln2D ．22ln2【跟踪训练13】（2021•浙江月考）已知a b R ，，若1x e ax b 对任意实数x 恒成立恒成立，则1b a a的取值范围为_______．【跟踪训练14】（2020•武汉二模）函数()ln f x x ，()()2g x a e x b ．不等式()()f x g x 在(0)x ，恒成立，则ba的最小值是（）A．12eB．1eC．e D．e。
高三数学函数的单调性
变3 已知定义 R在上的函数y=f(x)满足
f(-x)=f(x)，它在上是(0,+∞)增函数， 且f(x)<0试讨论F(x)
=1/f(x)在(-∞,0)上的单调性
例5：已知f(x)是定义在(0，＋∞)上 的增函数，f(x)＞0，且f(2)=1，指 出g(x)=f(x)+1/f(x)(x>0)单调区间， 并证明你的结论。
练习2：已知f(x)是定义域R，且在(0， ＋∞)上的增函数，对于任意实数x,y 都满足f(xy)=f(x)+f(y)。
(1)求证：f(x/y)＝f(x)－f(y). (2)求f(1)的值；
(4)判断f(x)的奇偶性
(3)若f(3)=1,解不等式f(x)－f(x-1)>2。
；
/ 防裂贴
一次式：直线看端点
变：设函数 y=x2+(t-2)x-t+1,t在 区间[-2,2）上变动时，y恒为正 值，试求x 的取值范围。
例2、函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区 间(-∞，4］上是减函数，则a的取 值范围是（ ） A.a≥－3 C.a≤5 B.a≤－3 D.a≥3
若函数
f(x)＝(m－1)x2+mx+3(x∈R)是 偶函数，则f(x)的单调增区间是＿ ＿。
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
05《函数的单调性》
一、常见函数的单调性： ①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0) ③y=k/x x x ④y=a ⑤y=loga √ ⑥y=sinx ⑦y=cosx ⑧y=tanx
√ 重要函数： 3 ⑨y=x ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
第06讲 函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像 1、定义法用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设D x x ∈21,，且12x x <；②作差，求)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：3、导数判断法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数()f x '，若()f x 在区间(,)a b 内，总有()0(()0)f x f x ''><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）.4、图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间D ，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间D 是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数. 二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像 1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少.2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:先求函数的定义域D ，然后求导()f x '，再解不等式()()0f x '>< ,分别和D 求交集，得函数的递增（减）区间 .4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数xy 1=、x y =和3x y =；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数2x y =.2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数⨯增函数不一定是增函数，函数x y =和函数3x y =都是增函数，但是它们的乘积函数4x y =不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题.5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数()y f x =的增区间为(1,2),(3,5).不要写成(1,2)(3,5).【方法讲评】【例1】证明函数()(0)f x x a x=+>在区间)+∞是增函数.【反馈检测1】讨论函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上的单调性.【例2】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【反馈检测2】已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n +>+.（1）解不等式1()(1)2f x f x +<-（2）若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【例3】已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围.【反馈检测3】已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (1)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.【例4】 设函数()sin cos 1f x x x x =-++，02x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值.【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点,A B 及CD 的中点P 处，已知20AB km =,10CB km = ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且,A B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,AO BO OP ，设排污管道的总长为y km ． （1）按下列要求写出函数关系式：①设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km ) ，将y 表示成x 的函数关系式．（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【反馈检测5】函数()f x 的导函数'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若(ln 2)2f =，则满足不等式()xf x e >的x 的范围是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x >D ．0ln 2x <<CBPOAD【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<（D ）b c a <<方法三 复合函数分析法 使用情景 较简单的复合函数.解题步骤先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.【例5】【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【反馈检测7】 已知函数22()sin 3sin sin()2cos 2f x wx wx wx wx π=+++ (0)x R w ∈>，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π. (1) 求w ；(2)(2)若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及单调递减区间．方法四 图像法使用情景 函数的图像比较容易画出.解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.【例6】求函数2()||f x x x =-+的单调区间.【反馈检测8】 已知函数),1()(0)(-=≥x x x f x R x f 时上的偶函数，当是定义在 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x f =2，求x 的值； （3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间.精品二轮第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案【反馈检测1答案】当12a >时，原函数是增函数；当12a <时，原函数是减函数.【反馈检测2答案】（1）104x ≤≤；（2）022t t t =≥≤-或或 【反馈检测2详细解析】212121212121()()(1)1,()()()()()()f x f x x x f x f x f x f x x x x x +->>-∴-=+-=--设1>212121212121()()()()()00()()f x f x f x f x x x x x x x x x +-+-=->->+-+-由已知得21111211()()0()(1)111024112x f x f x f x f x x x x x⎧-≤+≤⎪⎪∴->∴+<-∴-≤-≤∴≤<⎨⎪⎪+<-⎩函数在定义域内单调递增。
(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳
设函数 y＝ f(x)在某区间 D 内可导．如果 f ′x（)>0，则 f (x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′x（)<0，则 f(x)在区间 D 内为减函数． 注意： (补充 ) （ 1）若使得 f ′x（)=0 的 x 的值只有有限个，
一、知识梳理 《名师一号》 P15 注意：
研究函数单调性必须 先求函数的定义域， 函数的单调区间是 定义域的子集 单调区间 不能并 ！
知识点一 函数的单调性 1. 单调函数的定义
1
2.单调性、单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数 ，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f (x)的单 调区间 .
法一：定义法
设－ 1<x1<x2，
ax1 ax2 则 f(x1)－f (x2)＝x1＋ 1－ x2＋1
ax1 x2＋ 1 － ax2 x1＋ 1
＝
x1＋1 x2＋ 1
a x1－x2
＝ x1＋ 1
x2＋ 1
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0， x1＋1>0，x2＋ 1>0.
6
∴当 a>0 时， f(x1)－ f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递增． 同理当 a<0 时， f (x1)－f (x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递减．
[答案 ] C [解析 ] f ′x（)＝3x2－6a， 若 a≤０，则 f ′x（) ≥０，∴ f(x)单调增，排除 A ； 若 a>0，则由 f ′x（)＝0 得 x＝ ± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a 时，f ′x（)>0，f(x)单调增，当－ 2a<x < 2a时，f (x)单调减， ∴f (x)的单调减区间为 (－ 2a， 2a)，从而 2a＝2， ∴a＝ 2.
函数的单调性课堂评价
《函数的单调性》点评刘老师为我们上了一节愉快生动的数学课，本节课的优点主要有以下几个方面1.课堂导入比较精彩刘老师通过本市一昼夜的气温变化曲线图和艾宾浩斯记忆遗忘曲线图，形象的给出了函数图像的变化特点，使学生对抽象的数学问题，有了进一步的认识，使学生认识到数学来源于生活，数学是有用的，从而调动了学生的学习兴趣和学习热情，同时对学生的学习方式方法也起到了一定的指导作用。
2.体现了新课程教学理念本节课的教学过程中，教法灵活，学法愉快，充分体现了学生的主体作用，通过学生的积极参与，表现出了学生自主学习，合作学习，探究学习的新课程教学理念。
教师的及时点拨与讲解，也体现了教师的引领作用和主导作用。
3.知识落实到位在教学过程中，学生从认识函数图像的上升与下降开始开始，到函数单调性概念的形成，有自学，有探究，有合作，有生成，有讲解，有应用，有总结，有升华，真正使学生从感性到感悟，达到了落实知识的目的，也渗透了对学生数学思维能力的培养,夯实了基础，同时也完成了既定的教学目标。
4.突出了数学思想方法区间内有很多自变量x的值和与其对应的y值，怎样体现函数值y随着自变量x的增多而增大或减小的现象，体现了由无限到有限的思维过程。
通过函数图像上升下降的特点，转化成任意两个自变量之间的关系，体现出了数形结合的数学思想。
由函数图像的上升与下降的特点，体现在两个变x和y的关系上，到区间内任意两个自变量的关系，体现了划归与转化的数学思想。
5.教学过程设计合理整个教学过程设计流畅，先由生活中的实例开始，再到学生已经得到认知的函数图像，再到函数单调性概念的形成，最后到函数单调性的应用，由浅入深，循序渐进，使学生从感性认识，到理性认识，再到知识的升华，符合学生的认识规律。
同时，现代化的教学手段的辅助教学，形成了教学的完美统一，体现了课堂教学的高效性。
6.难点突破的手段得当对于区间自变量的任意性这个难点的突破，刘冰老师设计了三个层次，第一个层次是探究二，第二个层次是练习3，第三个层次是例题的学生板演及其纠正过程，从直观感知，到数量刻画，再到严格定义，三个层次逐步提高，循序渐进，数形结合，达到了分散难点，突破难点的目的。
函数的单调性
4.3 合作交流，突破难点
1 合作探究一
通过对上题的理解，师生 共同总结出单调增函数的 定义。同桌相互讨论，仿 照单调增函数定义给出单 调减函数定义
2 合作探究二
小组内合作，画出函数 f(x)=x+1 的图像，判断它 的单调性，并加以证明。
3 合作探究三
通过对探究二的回答，小组 内整理出定义证明函数单调 性的步骤，老师加以补充和 说明
练习3:证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数
练习4:证明函数f(x)=－2x+1在R上是减函数
4.5 知识归纳，课堂小结 学生回顾，进行总结
1 ，单调增函数的定 义，单调减函数的 定义
2 ，判断函数单调性 的方法
3，用定义证明函 数单调性的步骤
4.6 布置作业，当堂达标 针对学情差异，我设计了分层训练，有掌握知识的必做题， 也有开发思维的选做题，为学有余力的同学创造了提升空 间。当堂完成作业，符合新课改的同时，也锻炼了学生的 做题速度 必做题：练习A第2,3
________
2，观察函数 f(x)=x2，回答以下问题
①在区间 ____ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ②在区间 ________ 上，f(x)的值随 着x的增大而________ 如果在y轴右侧部分取两个点 （x1，y1）（x2，y2），当x1＜x2， y1与y2的大小关系如何？是不是在 定义域内任取两个点都有这个规律 呢？ 如何用数学符号语言来描述这个 规律？ 类似分析图像在y轴的左侧部分
四 教学过程
4.1 创设情境，导入新课
通过PPT展示某市某一天二 十四个小时的气温折线图， 请学生观察折线图，并指 出，随着时间的推移，温 度如何变化
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第6课 函数的单调性
【自主学习】
第6课 函数的单调性
(本课时对应学生用书第 页
)
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1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是 .(填序号)
①若定义在R 上的函数f (x )满足f (2)>f (1)，则函数f (x )是R 上的单调增函数； ②若定义在R 上的函数f (x )满足f (2)>f (1)，则函数f (x )在R 上不是单调减函数；
③若定义在R 上的函数f (x )在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R 上是单调增函数；
④若定义在R 上的函数f (x )在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R 上是单调增函数.
【答案】②③
【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析.
2.(必修1P55习题8改编)函数f (x )=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 . 【答案】342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，。