高中数学必修2空间立体几何大题(可编辑修改word版)

必修2 空间立体几何大题一．解答题（共18 小题）1.如图，在三棱锥V﹣ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=，O，M 分别为AB，VA 的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC 的体积．2.如图，三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC 的体积；（2）证明：在线段PC 上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．3.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4．过E，F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．4.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形，E，F 分别是BC，CC1 的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC 的体积．5.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1 的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．6.如题图，三棱锥P﹣ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．7.如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC 体积的最大值；8.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．9.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1= ，BB1=2 ，点E 和F 分别为BC 和A1C 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1 与平面BCB1 所成角的大小．10.如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N 分别是AC、AD 的中点，BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面BCD⊥平面ABC．1.如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，BF⊥AE，F 是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE 的体积．12.如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD 的体积．13.如图，已知三棱锥A﹣BPC 中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM 的体积．14.如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD 的体积．15.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R 分别在棱AA1、BB1、BC 上，Q 是BB1 中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR 的体积．16.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别是AB，BB1 的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE 的体积．17.如图甲，⊙O 的直径AB=2，圆上两点C，D 在直径AB 的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD 的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．18.如图：是直径为的半圆，O 为圆心，C 是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE 的体积．必修2 空间立体几何大题参考答案与试题解析一．解答题（共18 小题）1．（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=，O，M 分别为AB，VA 的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC 的体积．解答：（1）证明：∵O，M 分别为AB，VA 的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O 为AB 的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB= ，∵OC⊥平面VAB，∴V C﹣VAB= •S△VAB= ，∴V V﹣ABC=V C﹣VAB= ．点评：本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．中，在直角△BAN 2．（2015•安徽）如图，三棱锥 P ﹣ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1） 求三棱锥 P ﹣ABC 的体积；（2） 证明：在线段 PC 上存在点 M ，使得 AC ⊥BM ，并求的值．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．分析： （1）利用 V P ﹣ABC =•S △ABC •PA ，求三棱锥 P ﹣ABC 的体积；（2）过 B 作 BN ⊥AC ，垂足为 N ，过 N 作 MN ∥PA ，交 PA 于点 M ，连接 BM ，证明 AC ⊥ 平面 MBN ，可得 AC ⊥BM ，利用 MN ∥PA ，求的值． 解答： （1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得 S △ABC = =． 因为 PA ⊥平面 ABC ，PA=1，所以 V P ﹣ABC =•S △ABC •PA= ；（2）解：过 B 作 B N ⊥AC ，垂足为 N ，过 N 作 M N ∥PA ，交 P C 于点 M ，连接 B M ，由 PA ⊥平面 ABC ，知 PA ⊥AC ，所以 MN ⊥AC ，因为 BN ∩MN=N ，所以 AC ⊥平面MBN ． 因为 BM ⊂平面 MBN ，所以AC ⊥BM ． AN=AB •cos ∠BAC= ，从而 NC=AC ﹣AN=．由 MN ∥PA 得 = = ．点评：本题考查三棱锥P﹣ABC 的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．（2015•黑龙江）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4．过E，F 的平面α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a 把该长方体分成的两部分体积的比值．解答：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH 如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH 为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10 的直棱柱，所以其体积的比值为．点评：本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．（2015•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形，E，F 分别是BC，CC1 的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）取AB 的中点G，说明直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形，E 分别是BC 的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB 的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1= =，CF= ．三棱锥F﹣AEC 的体积：× = = ．点评：本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．5．（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1 的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E 为B1C 的中点，D 为AB1 的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，BCC1B1；又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1 是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．6．（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF∥BC．（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：开放型；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE，EF 都垂直，可证AB⊥平面PEF．（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC 可得△AFE≌△ABC，求得S△AFE=S△ABC，由AD=AE，可求S△AFD，从而求得四边形DFBC 的面积，由（Ⅰ）知PE 为四棱锥P﹣DFBC 的高，求得PE，由体积V P﹣DFBC=S DFBC•PE=7，即可解得线段BC 的长．解答：解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．因为∠ABC= ，EF∥BC，故AB⊥EF，从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE，EF 都垂直，所以AB⊥平面PEF．（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC 中，AB==，从而S△ABC= AB•BC= x ，AC⊥平面所以由 EF ∥BC 知，得△AFE ≌△ABC ，故=（）2=，即 S △AFE =S △ABC ，由 AD= AE ，S △AFD ==S △ABC = S △ABC = x，从而四边形 DFBC 的面积为：S DFBC =S △ABC ﹣S AFD =x．由（Ⅰ）知，PE ⊥平面 ABC ，所以 PE 为四棱锥 P ﹣DFBC 的高． 在直角△PEC 中，PE===2 ，故体积 V P ﹣DFBC =S DFBC •PE=x=7，x=x故得 x 4﹣36x 2+243=0，解得 x 2=9 或 x 2=27，由于 x ＞0，可得 x=3 或 x=3． 所以：BC=3 或 BC=3．点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．7．（2015•福建）如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A ，B 的点，PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO=OB=1， （Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证；AC ⊥平面 PDO ； （Ⅱ）求三棱锥 P ﹣ABC 体积的最大值； （Ⅲ）若 BC=，点 E 在线段 PB 上，求 CE+OE 的最小值．考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）由题意可证 AC ⊥DO ，又 PO ⊥AC ，即可证明 AC ⊥平面 PDO．﹣（Ⅱ）当CO⊥AB 时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC 面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC 的高PO=1，即可求得三棱锥P﹣ABC 体积的最大值．（Ⅲ）可求PB===PC，即有PB=PC=BC，由OP=OB，C′P=C′B，可证E 为PB 中点，从而可求OC′=OE+EC′==，从而得解．解答：解：（Ⅰ）在△AOC 中，因为OA=OC，D 为AC 的中点，所以AC⊥DO，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO⊥AC，因为DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当CO⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又AB=2，所以△ABC 面积的最大值为，又因为三棱锥P﹣ABC 的高PO=1，故三棱锥P﹣ABC 体积的最大值为：．（Ⅲ）在△POB 中，PO=OB=1，∠POB=90°，所以PB==，同理PC=，所以PB=PC=BC，在三棱锥P﹣ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC′P，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O，E，C′共线时，CE+OE 取得最小值，又因为OP=OB，C′P=C′B，所以OC′垂直平分PB，即E 为PB 中点．从而OC′=OE+EC′==．亦即CE+OE 的最小值为：．点评：本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．8．（2015•河北）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．考平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．点：专空间位置关系与距离．题：分（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；析：（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．解证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为菱形，答：∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD= ，∵AE⊥EC，△EBG 为直角三角形，∴BE= x，∵三棱锥E﹣ACD 的体积V= ==，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2× =12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC 中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC 为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC 的面积S==3，在等腰三角形EAD 中，过E 作EF⊥AD 于F，则AE= ，AF= =，则EF=，∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S== ，故该三棱锥的侧面积为3+2．点本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理评：以及体积公式．9．（2015•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E 和F 分别为BC 和A1C 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1 与平面BCB1 所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1 中点M 和B1C 中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N 即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC 中，∵E 和F 分别是BC 和A1C 的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E 为BC 中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1 中点M 和B1C 中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N 和E 分别为B1C 和BC 的中点，∴NE 平行且等于B1B，∴NE 平行且等于A1A，∴四边形A1AEN 是平行四边形，∴A1N 平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N 即为直线A1B1 与平面BCB1 所成角，在△ABC 中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB 且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1 中，A1B1==4，在RT△A1NB1 中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1 与平面BCB1 所成角的大小为30°点评：本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．10．（2015•醴陵市）如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N 分别是AC、AD 的中点，BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面BCD⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．解答：证明：（1）因为M，N 分别是AC，AD 的中点，所以MN∥CD．又MN⊄平面BCD 且CD⊂平面BCD，所以MN∥平面BCD；（2）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD．又CD⊥BC，AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．又CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ABC．点评：本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查空间直线和平面的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．11．（2015•葫芦岛一模）如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，BF⊥AE，F 是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE 的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，BF⊥AE 且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；（2）V F﹣BCE=V C﹣BEF= •S△BEF•CE= ••EF•BF•CE，即可求出三棱锥F﹣BCE 的体积．解答：（1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE⊂平面BEC，∴AB⊥CE∵BC 为圆的直径，∴BE⊥CE．∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B∴CE⊥平面ABE，∵BF⊂平面ABE，∴CE⊥BF，又BF⊥AE 且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，∵AC⊂平面AEC，∴BF⊥AC…（6 分）（2）解：在Rt△BEC 中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=，BC=2又∵ABCD 为正方形，∴AB=2，∴AE=，∴BF•AE=AB•BE，∴BF= ，∴EF=∴V F﹣BCE=V C﹣BEF= •S△BEF•CE= ••EF•BF•CE=••••1=…（12 分）点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥F﹣BCE 的体积的计算，属于中档题．12．（2015•商丘三模）如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；（Ⅱ）在平面BCEG 中，过G 作GN⊥CE 交BE 于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD 的体积．解答：（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…（3 分）又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（4 分）G 中，过G 作GN⊥CE 交BE 于M，连DM，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG 为平行四边形，∴AG∥DM…（6 分）∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（8 分）（Ⅲ）解：…（10 分）=…（12 分）点评：本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能（Ⅱ）证明：在平面BCE则由已知知；MG=MN，力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键．13．（2015•南昌模拟）如图，已知三棱锥A﹣BPC 中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）可由三角形的中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行．（2）先证明MD⊥底面BCD，进而可计算出体积．解答：（1）证明：∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，∴MD 为△PAB 的中位线，∴MD∥AP．而AP⊂平面PAC，MD⊄平面PAC，∴MD∥平面PAC．（2）解：∵△PMB 为正三角形，PD=DB，∴MD⊥PB．∵MD∥AP，AP⊥PC，∴MD⊥PC．又PC∩PB=P，∴MD⊥平面PBC．即MD 为三棱锥M﹣BCD 的高．由AB=20，∴MB=10，BD=5，∴MD=5．在Rt△PCB 中（因为AC⊥BC，所以PC⊥BC），由勾股定理得PC==2．于是S△BCD=S△BCP×== ．∴V 三棱锥D﹣BCM=V 三棱锥M﹣BCD= =10 ．点评：利用三角形的中位线定理证明线线平行是证明线面平行常用的方法之一．先证明线面垂直是求体积的关键．14．（2015•沈阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由已知得PD∥OE，取AD 中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥P﹣EAD 的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O 是BD 中点，∴E 是PB 中点．取AD 中点H，连结BH，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．∴= = ．VP-ABD-VE-ABD）（还可以用点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15．（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R 分别在棱AA1、BB1、BC 上，Q是BB1 中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得AB⊥平面B1BCC1，从而PQ⊥平面B1BCC1，进而C1Q⊥PQ，又C1Q⊥QR，由此能证明C1Q⊥平面PQR．（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，△B1C1Q∽△BQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．解答：（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 是正四棱柱，∴AB⊥平面B1BCC1，又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B1BCC1，∴C1Q⊥PQ，又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，∴C1Q⊥平面PQR．（2）解：∵B 1C1= ，，∴B1Q=1，∴BQ=1，∵Q 是BB1中点，C1Q⊥QR，∴∠B1C1Q=∠BQR，∠C1B1Q=∠QBR，∴△B1C1Q∽△BQR，∴BR= ，∴QR= ，∵C1Q、QR、QP 两两垂直，∴四面体C1PQR 的体积V=．点评：本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．16．（2015•凯里市校级模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别是AB，BB1 的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结AC1 交A1C 于点F，连结DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）由已知得AA1⊥CD，CD⊥AB，从而CD⊥平面ABB1A1．由此能求出三菱锥C﹣A1DE的体积．解答：（1）证明：连结AC1 交A1C 于点F，则F 为AC1中点又D 是AB 中点，连结DF，则BC1∥DF．因为DF⊂平面A1CD，BC1 不包含于平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）解：因为ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D 为AB 的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A 1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D．所以三菱锥C﹣A1DE 的体积为：==1．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（2015•东城区一模）如图甲，⊙O 的直径AB=2，圆上两点C，D 在直径AB 的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．=，．根据图乙解答下列各题： （Ⅰ）求证：CB ⊥DE ；（Ⅱ）求三棱锥 C ﹣BOD 的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点 G ，使得 FG ∥平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．分析： （Ⅰ）利用等边三角形的性质可得DE ⊥AO ，再利用面面垂直的性质定理即可得到DE ⊥平面 ABC ，进而得出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 DE ⊥平面 ABC ，利用转换底面的方法，即可求三棱锥的体积；（Ⅲ）存在，G 为劣弧的中点．连接 OG ，OF ，FG ，通过证明平面 OFG ∥平面 ACD ，即可得到结论．解答： （Ⅰ）证明：在△AOD 中，∵，OA=OD ，∴△AOD 为正三角形，又∵E 为 OA 的中点，∴DE ⊥AO …（1 分）∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB ， ∴DE ⊥平面 ABC ． …（3 分） 又 CB ⊂平面 ABC ，∴CB ⊥DE ． …5 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 DE ⊥平面 ABC ，∴DE 为三棱锥 D ﹣BOC 的高．∵D 为圆周上一点，且 AB 为直径，∴ ， 在△ABD 中，由 AD ⊥BD ， ，AB=2，得 AD=1，．…（6 分）∵∴= …（8 分）（Ⅲ）解：存在满足题意的点 G ，G 为劣弧的中点．…（9 分） 证明如下：连接 OG ，OF ，FG ，易知 OG ⊥BD ，又 AD ⊥BD ∴OG ∥AD ， ∵OG ⊄平面 ACD ，∴OG ∥平面 ACD ． …（10 分） 在△ABC 中，O ，F 分别为 AB ，BC 的中点，∴OF ∥AC ，OF ⊄平面 ACD ，∴OF ∥平面 ACD ，…（11 分）∵OG∩OF=O，∴平面OFG∥平面ACD．又FG⊂平面OFG，∴FG∥平面ACD．…（12 分）点评：本题考查线线、线面、面面关系，考查线线垂直的判定、面面垂直的性质、线面平行的判定及几何体高与体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及分析探究问题和解决问题的能力．18．（2015•威海模拟）如图：是直径为的半圆，O 为圆心，C 是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，，E 为FD 的中点，Q 为BE 的中点，R 为FC 上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：面BCE⊥面CDF；（Ⅱ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BCE 的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明BD⊥DF，DF⊥BC，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面CFD，然后证明面BCE⊥面CDF．（Ⅱ）连接OQ，通过证明RQ∥OM，然后证明QR∥平面BCD．（Ⅲ）利用v F﹣BCE=v F﹣BCD﹣v E﹣BCD 求解几何体的体积即可．解答：（本小题满分12 分）证明：（Ⅰ）∵DF=2，，，∴BF2=BD2+DF2，∴BD⊥DF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1 分）又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）∴DF⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面CFD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3 分）∵BC⊂面BCE∴面BCE⊥面CDF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）（Ⅱ）连接OQ，在面CFD 内过R 点做RM⊥CD，∵O，Q 为中点，∴OQ∥DF，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5 分）∵DF⊥CD∴RM∥FD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）又FR=3RC，∴，∴，∵E 为FD 的中点，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7 分）∴OQ∥RM，且OQ=RM∴OQRM 为平行四边形，∵RQ∥OM﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）又RQ⊄平面BCD，OM⊂平面BCD，∴QR∥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9 分）（Ⅲ）∵，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD 中有，，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）（或求VB-FCE 1/3*1/2*FE*CD*BC）点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用直线与平面平行的判定定理以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力．。