不等式小结与复习

课 题：第二章 不等式小结与复习

一、知识目标:

理解不等式的性质及其证明．

掌握一元一次不等式组、一元二次不等式、简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法

二、能力目标:

1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理(不扩展到三个正数的算术

平均数不小于它们的几何平均数定理)，并会简单的证明．

2.掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式．

3.在复习一元一次不等式、一元一次不等式组、一元二次不等式、简单的分式不等式和

含绝对值不等式等的解法的基础上，掌握其他简单不等式的解法．

三、情感目标:

通过不等式的一些应用，理解在现实世界中的量之间，不等是普遍的、绝对的，相等则

是局部的、相对的，从而形成辩证唯物主义观点．

四、小结与复习过程:

1.比较两实数大小的方法——求差比较法：

比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，

实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

2.三个重要的结论(实数大小的性质)：

0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<．

例1:已知0x ≠，比较22(1)x +与12

4++x x 的大小.

分析：此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x 有一定的限制，应该在对差值正负

判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.

解：2242(1)(1)x x x +-++4242211x x x x =++---2x =，由0≠x 得20x >， 从而2242(1)1x x x +>++．

3.同向不等式，异向不等式概念：

同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.

例2:2232,5a a a a +><-是异向不等式，22

21,32a a a a +>+>是同向不等式.

4.不等式的性质：

定理1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <．

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性.在证

明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

定理2：若a b >，且b c >，则a c >．

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等

式的传递性.

定理3：若a b >，则a c b c +>+．

说明：(1)不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；

(2)定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小，采用的是求差比较法；

(3)定理3的逆命题也成立（可让学生自证）；

(4)不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.

理由是：根据定理3可得出：若a b c +>，则()()a b b c b ++->+-即a c b >-

定理3推论：若,,a b c d a c b d >>+>+且则．

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个

同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.

定理4．如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0

推论1：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >．

说明：（1）不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变；乘以同一个负数,不等号方向改变；

（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；

（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.

这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.

推论2：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且．

定理5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且．

例3:若a b <，比较1

a 与1

b 大小．

解（法一）：（1）若,a b 异号，则0a b <<， ∴1

10a b << ∴11

a b <．

（2）若,a b 同号，则0ab >，a b < ， ∴a

b

ab ab <， ∴1

1

a b >．

（法二）：∵1

1

b a

a b ab --=，又a b <，即0b a ->，

（1）若,a b 异号，则0ab <，∴110b a

a b ab --=<， ∴1

1

a b <；

（2）若,a b 同号，则0ab >，∴110b a a b ab --=>， ∴1

1

a b >．

5.基本不等式：

定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）．

说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =．

定理：如果b a ,是正数，那么ab b

a ≥+2（当且仅当

b a =时取“=”）

说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；

（2）我们称b a b

a ,2为+的算术平均数，称

b a ab ,为的几何平均数.

即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

例4:已知y x ,都是正数，求证：

①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；

②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241

s ．

证明：∵+∈R y x ,， ∴ xy y

x ≥+2，

①当xy p = (定值)时，p y

x ≥+2 ∴y x +p 2≥，

∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；