不等式小结与复习

课 题：第二章 不等式小结与复习一、知识目标:理解不等式的性质及其证明．掌握一元一次不等式组、一元二次不等式、简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法二、能力目标:1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理(不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理)，并会简单的证明．2.掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式．3.在复习一元一次不等式、一元一次不等式组、一元二次不等式、简单的分式不等式和含绝对值不等式等的解法的基础上，掌握其他简单不等式的解法．三、情感目标:通过不等式的一些应用，理解在现实世界中的量之间，不等是普遍的、绝对的，相等则是局部的、相对的，从而形成辩证唯物主义观点．四、小结与复习过程:1.比较两实数大小的方法——求差比较法：比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.2.三个重要的结论(实数大小的性质)：0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<．例1:已知0x ≠，比较22(1)x +与124++x x 的大小.分析：此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x 有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.解：2242(1)(1)x x x +-++4242211x x x x =++---2x =，由0≠x 得20x >， 从而2242(1)1x x x +>++．3.同向不等式，异向不等式概念：同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例2:2232,5a a a a +><-是异向不等式，2221,32a a a a +>+>是同向不等式.4.不等式的性质：定理1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <．说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.定理2：若a b >，且b c >，则a c >．说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性.定理3：若a b >，则a c b c +>+．说明：(1)不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；(2)定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小，采用的是求差比较法；(3)定理3的逆命题也成立（可让学生自证）；(4)不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.理由是：根据定理3可得出：若a b c +>，则()()a b b c b ++->+-即a c b >-定理3推论：若,,a b c d a c b d >>+>+且则．说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.定理4．如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <．推论1：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >．说明：（1）不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变；乘以同一个负数,不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且．定理5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且．例3:若a b <，比较1a 与1b 大小．解（法一）：（1）若,a b 异号，则0a b <<， ∴110a b << ∴11a b <．（2）若,a b 同号，则0ab >，a b < ， ∴abab ab <， ∴11a b >．（法二）：∵11b aa b ab --=，又a b <，即0b a ->，（1）若,a b 异号，则0ab <，∴110b aa b ab --=<， ∴11a b <；（2）若,a b 同号，则0ab >，∴110b a a b ab --=>， ∴11a b >．5.基本不等式：定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）．说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =．定理：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；（2）我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数.即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.例4:已知y x ,都是正数，求证：①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ．证明：∵+∈R y x ,， ∴ xy yx ≥+2，①当xy p = (定值)时，p yx ≥+2 ∴y x +p 2≥，∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤ ∴241s xy ≤， ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有2max 41)(s xy =． 说明：①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；②用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.例5:（1）若0>x ，则x 为何值时xx 1+有最小值，最小值为多少？ （2）若0<x ，则x 为何值时xx 1+有最大值，最大值为多少？解：(1)∵0>x ,∴01>x ,∴x x 1+2=≥,当且仅当x x 1=即1=x 时2)1(min =+x x . (2)∵0<x ,∴-x>0,-01>x ,∴)1(x x -+-2≥,当且仅当x x 1=即1-=x 时2)1(min =+-xx . ∴x<0时,xx 1+2-≤. 例6:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为34800m ,深为3m ,如果池底每21m 的造价为150元,池壁每21m 的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少？解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得：48004800150120(2323)33l x x =⨯+⨯+⨯⨯1600240000720()x x=++240000720240000720240297600≥+⨯=+⨯⨯= 当1600,40,297600x x l x==有最小值即时． 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 6.不等式证明（1）比较法:比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论.例7:求证：233x x +>． 证：∵2(3)3x x +-=043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ，∴233x x +>． 例8:已知,a b 都是正数，并且a b ≠，求证：552332a b a b a b +>+ 证：552332()()a b a b a b +-+=532523()()a a b b a b -+-322322()()a a b b b a =-+-2233()()a b a b =--222()()()a b a b a ab b =+-++∵,a b 都是正数，∴220,0a b a ab b +>++>,又∵a b ≠，∴2()0a b +>，∴222()()()0a b a b a ab b +-++>，即：552332a b a b a b +>+．（2）综合法:利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法.说明：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.例9:已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222证明：∵c b a ,,为两两不相等的实数，∴ab b a 222>+，222b c bc +>，ca a c 222>+， 以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++,所以，ca bc ab c b a ++>++222． 例10:设,,a b c R ∈，（1）求证：)(2222b a b a +≥+； （2）求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．证：(1)∵2222222()()()0242a b a b a b a b +++++=≥≥， ∴2|2|222b a b a b a +≥+≥+， ∴)(2222b a b a +≥+． (2)由(1)知)(2222b a b a +≥+,同理:)(2222c b c b +≥+, )(2222a c a c +≥+, 三式相加得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．（3）分析法:证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.说明：（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程.例11:设0,0x y >>，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+．证一：（分析法）证明原不等式不等式即证：233322)()(y x y x +>+，即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++，即：3322222)(3y x y x y x >+，∵0,0x y >>， ∴只需证：xy y x 3222>+，又∵0,0x y >>， ∴ xy xy y x 32222>≥+成立，∴ 31332122)()(y x y x +>+． 证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+2333366)(2y x y x y x +=++>． ∵0,0x y >>， ∴31332122)()(y x y x +>+．7.不等式的解法举例:(1)一次不等式组的解法:先分别解各个不等式,再求各不等式解集的交集,即得不等式组的解集.例12:解不等式组1021137263x x x x++⎧⎨+>+⎩≤. 解:不等式102113x x ++≤的解为{1}x x -≥;不等式7263x x +>+的解为{1}x x <.所以,原不等式组解集为{1}x x -≥ {1}x x <={11}x x -<≤,区间表示为[1,1)-.(2)绝对值不等式的解法:当0a >时,|()|f x a ≤()a f x a ⇔-≤≤;|()|f x a ≥()f x a ⇔≥或()f x a -≤. 例13:若|3|2x -≥，则x ∈___________________;若|23|2x +≤,则x ∈__________________;(3)一元二次不等式的解法:主要有图像法、因式分解法(转化为不等式组)、配方法(转化为绝对值不等式)、区间分析法等.例14:解不等式28150x x -+>方法一:(图像法) 28150x x -+= 的两根是3,5 2815y x x ∴=-+的大致图像如右图所示:28150x x ∴-+>的解集是(,3)(5,)-∞+∞ .方法二:(因式分解法)将28150x x -+>左边因式分解得(3)(5)0x x -->,它等价于不等式组3050x x ->⎧⎨->⎩①或3050x x -<⎧⎨-<⎩②,解不等式组①得解集是(5,)+∞,解不等式组②得解集是(,3)-∞,28150x x ∴-+>的解集是(,3)(5,)-∞+∞ .方法三:(配方法)将28150x x -+>配方得2(4)1x ->,两边开方得41x ->,解这个绝对值不等式得原不等式的解集是(,3)(5,)-∞+∞ .方法四:(区间分析法)28150x x -+> 等价于(3)(5)0x x -->,又3,5把数轴分为三个区间(如右图所示)在区间(,3)-∞上,3x -与5x -的值都为负;在区间(3,5)上,3x -为正,5x -为负;在区间(5,)+∞上,3x -与5x -的值都为正;28150x x ∴-+>的解集是(,3)(5,)-∞+∞ .(4)分式不等式的解法:主要有转化为一次不等式(组)法和区间分析法.例15:解不等式305x x ->- 方法一:(转化为一次不等式(组)法)它等价于不等式组3050x x ->⎧⎨->⎩①或3050x x -<⎧⎨-<⎩②,解不等式组①得解集是(5,)+∞,解不等式组②得解集是(,3)-∞,所以,原不等式的解集是(,3)(5,)-∞+∞ .方法二:(区间分析法)在数轴上标出使分子3x -=0和分母5x -=0的两个根,考察使3x -和5x -同号的区间,就得到原不等式的解集是(,3)(5,)-∞+∞ . 说明：（1）在某一区间内,一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号;而区间的分界线就是各因式的根;上述的区间分析法,几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式;（2）区间分析法,分解因式后,必须使各括号内x 的系数为正.（3）若分式不等式有等号，则解集中应包括分子的根，但不包括分母的根.五、作业:一课一练上的测试题(P23),课本上的复习题2(P33).。