十字交叉法

一、“十字交叉法”的涵义和解题要领

1．“十字交叉法”的数学推导

在由两种物质组成的混合物中，从定量方面来表达或描述时可能有如下几点：（1）它们的含量各占多少？（2）参加化学反应时各消耗多少质量？（3）它们间的质量比（或质量分数比、物质的量之比等）。

解答上述计算题的过程中，经常会发现有一类题因两种物质的内在关系存在一个平均值的数据，需要在运算中重点考虑。

例：元素X有两种核素ax和bx，近似平均相对原子质量为c，求ax和bx的质量比、质量分数比和物质的量比。（注：a> c >b）。

解：设ax、bx的物质的量比、或质量分数比为m/n。

从题意中可建立两个二元一次方程如下：

am+bn=c ① m+n=1 ②

∵m+n≠0 把①/②得:am+bn/m+n=c/1 1(am+bn)=c(m+n) am-cm=cn-bn

m(a-c)=n(c-b),则m/n=c-b/a-c,由此可得到如下图式:

ax m a c-b 甲方:A c-b 甲方份数

c 即 c

bx n b a-c 乙方:B a-c 乙方份数

人们把这种解题方法叫做“十字交叉法”，又叫混合规则或混合法则。

例如，为什么氯元素的相对原子质量为35.46，而不是整数呢？因为氯元素由35Cl（bX）和37Cl （ax）组成，求37Cl和35Cl的质量比、质量分数比和物质的量之比各多少？

解：37Cl / 35Cl=（35.46-35）/（37-35.46）=0.46/1.54（质量比）

两种同位素的质量分数比=0.46/（0.46+1.54）：1.54/（0.46+1.54）=0.23/0.77

两种同位素的物质的量比

=（0.46/37）/[（0.46/37）+（1.54/35）]：（1.54/35）/[（0.46/37）+（1.54/35）]=0.22/0.78

由上例可知要分清m/n属什么量之比，对m/n的涵义可归纳为：

二元混合物的两个组分（a、b）与相应的平均值（c），用十字交叉（差值）法所得的比值并不只代表该物质质量之比，也可代表物质的量之比等，主要是所取“基准量”的不同其基数值的含义也是不同的。


2、运用“十字交叉法”的要领是：

（1）首先要判断哪种计算题可用本法：二元混合物（a> c >b），且有平均值C的计算题；

（2）两物质所取的基准量m、n可相加；

（3）要有两物质的平均值，且平均值的单位要与两物质所表示的单位相同；

（4）m/n是所取的基准量之比。

二、 解题的思路和策略

“十字交叉法”可以广泛应用于很多题型的解题方法，可以迅速求得正确答案，现举例分类剖析“十字交叉法”快速解计算题的技巧。

（一） 求解元素、同位素、原子、电子等微粒间量的变化的试题。

例1．1999年高考题：已知自然界中铱有两种质量数分别为191和193的同位素，而铱的平均相对原子质量为192.22，这

两种同位素的原子个数比为（ ）。

（A）39：61 （B）61：39 （C）1：1 （D）39：11

解：按题意可知

193 1.22

192.22

191 0.78

∴191Ir: 193Ir=0.78:1.22=39:61

（二） 溶液的配制、稀释引起的量的变化有关的计算题

例2、用98%的浓H2SO4与10%的稀H2SO4配制成20%的H2SO4溶液，两溶液的质量比是（ ）。

（A） 10：78 （B）78：10 （C）10：98 （D）10：88

解：98 10

20 ∴选（A）

10 78

由上式可概括为：



C浓 m浓液量

C混液

C稀 m稀液量

分析：本题所取的基准量是每100份溶液，即溶液的质量，故得到的比值是浓H2SO4 与稀H2SO4的质量比，即取10份质量的浓H2SO4 与78份质量的稀H2SO4混合，即可配制得88份质量为20%的H2SO4溶液。

例3、用98%的浓H2SO4与H2O配成10%的稀H2SO4 ，浓H2SO4与H2O的质量比为（ ）。（A）10 : 78 （B）78 : 10 （C）10 : 98 （D）10 : 88

解：98 10

10 ∴选（D）

0 88

分析：每100g浓H2SO4含浓H2SO4为98g，每100g H2O含H2SO4 为0g，本题所取的基准量是浓H2SO4与水的质量，故解得的比例是浓H2SO4与水的质量比。

（三） 有两个平行反应发生的混合物的计算题。

运用本法的条件是：成分的量有加和性，且有一个中间量（即平均量）。

例4、11.2L乙烷和丁烷的混合气体完全燃烧,需O247.60L（同温同压），则混合气体中乙烷和丁烷的物质的量比为（ ）。

（A）1：3 （B）2：3 （C）2：1 （D）3：1

解：n（混烃）：n（O2）=11.2 ：47.6=1：4.25

而每摩尔C2H6耗O2 3.5mol，每摩尔C4H10耗O2 6.5mol。则得：

3.5 2.25

4.25 = ３／１ ∴选（D）

6.5 0.75

分析：同温同压下气体的物质的量比等于体积比，平均每摩气体耗O2 4.25mol，所取的基准量是两气体的物质的量，故所得的比值是两气体的物质的量比。

与此相类似的题有，1.5体积的乙烯和乙炔的混合气体，恰好能与相同状况下的2.7体积H2完全反应生成乙烷，则原混合气体中乙烯和乙炔的体积比为多少？（答案是：0.2：0.8=1：4）


例5：PH=2和PH =4的两瓶盐酸按一定的体积比混合，混合溶液的PH值为3，则两瓶盐酸的体积比为（ ）。（A）9：11 （B）1：1 （C）1：10 （D）1：2

解：PH =2 [H+]=1×10-2mol.L-1

PH =4 [H+]=1×10-4mol.L-1

PH =3 [H+]=1×10-3mol.L-1

1×10-2 9×10-4

1×10-3 ___________ =1/10 ∴ 选（C）

1×10-4 9×10-3

分析：两溶液均是稀

溶液，溶液的密度接近1g/cm3，基准量是溶液的体积，混合后总体积是两溶液的体积之和，即可相加，本题必须要将PH值转化为[H+]后进行计算，由于所取的基准量是1L溶液，即溶液的体积，故所得的比值是两溶液的体积比，若两溶液的密度相差太大，混合后溶液的总体积不是两溶液的体积之和，则不宜用“十字交叉法”，原因是m、n不可加性。

例6：用1L1.0mol.L-1NaOH溶液吸收0.8molCO2，所得溶液的CO32-和HCO3-的物质的量之比约为（ ）。（A）1：3 （B）2：1 （C）2：3 （D）3：2

解法一：Na2CO3 ~~~2 NaOH ~~~ CO2

1.6mol 0.8mol

NaHCO3 ~~~ NaOH ~~~ CO2

0.8mol 0.8mol

1.6 0.2

1 —— =1/3 ∴选（A）

0.8 0.6

分析：0.8mol CO2全部转化为Na2CO3需NaOH为1.6mol, 0.8mol CO2全部转化为Na2CO3需CO2为0.8mol,由于0.8mol CO2转化为Na2CO3 NaHCO3消耗了NaOH为1mol,所取得的基准量是CO2物质的量，得到的比值是生成CO32-与HCO3-所消耗的CO2的物质的量比，根据C原子守恒，即为Na2CO3 与NaHCO3的物质的量比。

解法二：Na2CO3 ~~~　2 NaOH ~~~ CO2

1mol 0.5mol

NaHCO3~~~ NaOH ~~~ CO2

1mol 1mol

0. 5 0.2

0.8 —— =2/3 2×1/2/3=1/3 ∴ 选（A）

1 0.3

分析：1mol NaOH全部转化为Na2CO3 需CO2为0.5mol, 1mol NaOH全部转化为NaHCO3 需CO2为1mol,所取的基准量是NaOH的物质的量,得到的比值是生成CO32-、HCO3-所耗NaOH的物质的量比，根据Na+守恒：

n（Na2CO3）=n（NaOH）×1/2 n（NaHCO3）=n（NaOH）

故：n（CO32-）：n（HCO3 - ）=2×1/2：3=1：3

例7：用足量的CO还原11.52gFeO和Fe2O3的混合物，产生的CO2通入足量的澄清石灰水中，得到18.8g沉淀，则混合物中FeO的质量分数为：

（A）25% （B）50% （C）60% （D）75%

解：FeO ∽ CO ∽ CO2 ∽ CaCO3

72 100

11.52 16g

Fe2O3 ∽ 3CO ∽ 3CO2 ∽ 3CaCO3

160 300

11.52 21.60g

16 2.8

18.8g —— =1/1

21.60 2.8

∴质量比为1:1，即质量分数各占50%。故选（B）

分析：所取的基准量是FeO 与Fe2O3 的质量，故所得的比值为FeO 与Fe2O3 的质量比。


例8：由CH4与C3H8组成的混合气体，充分燃烧后，只生成CO2和H2O，且n（CO2）：n（H2O）=2：3，则CH4与C3H8的体积比为（ ）。

（A）1：1 （B）1：2 （C）2：1 （D）1：3

解：每摩混合气体的C与H原子比为：

n（C）：n（H）=(1+3) : (4+8)=1 : 3

CH4：n（C）：n（H）=1：4

C3H8：变形为CH

8/3 n（C）：n（H）=1：8/3

CH4 4 1/3

3 —— =1/3

CH8/3 8/3 1

∵n（CH4）：n（CH8/3）=1：3（C原子之比）

∴n（CH4）：n（C3H8）=1：1；（物质的量之比和体积之比数值相同） 即选（A）。

分析：所得的基准量是每摩尔C原子，“十字交叉法”所得到的比值是两混合物中C原子的物质的量比。

例9 Li 2CO3和BaCO3的混合物与盐酸反应，所消耗盐酸的量与等质量的CaCO3和同浓度的盐酸反应所消耗的量相等。则混合物中Li2CO3和BaCO3的质量之比为

（A）5 : 7 （B）7 : 5 （C）3 : 5 （D）5 : 3

解：依题意，取摩尔质量为基准，可知MLi2CO?3=74g/mol，MBaCO3=197g/mol，MCaCO3=100，则可图解为：

nLi2CO3 74 97

100

mBaCO3 197 26

即nLi2CO3 : nBaCO3=97 : 26

故其质量比为：

WLi2CO3 : WBaCO3 =(97╳74) : (26╳197) = 7 : 5

答案是（ B ）

（四）“十字交叉法”逆向运用的解题方法。

这类题是用“十字交叉法”逆向推理运算，反求a1、a2或a （平均值）等的数值。

例10：由C4H6和C3H6组成的混合气体，此混合烃一体积充分燃烧后产生3.6体积CO2和3体积水（气态）。以上体积均为同温同压下测定。求混合物的组成比例。

解：按题意设以C原子参加反应的量的变化为基准，则a为C4H6，b为C3H6，参加燃烧的C原子＝3.6（体积或物质的量）。

可图解为：

4 0.6

3.6

3 0.4

则得C4H6 : C3H6 = 0.6 : 0.4

答此混合烃组成为C4H6占60％，C3H6占40％。

还有很多类型的计算题可用“十字交叉法”，在这里不再一一举例，关键是要掌握所取的基准量是什么，就得到什么的比值。就能正确地求解这类化学计算题（包括选择题和问答题等）。运用“十字交叉法”不但做到比较合理、快速、简单、准确解题，更重要的是通过在平时的学习与解题过程的不断训练，让学生理解、体会这种方法，从而进一步培养学生的学习兴趣，增强学生审题解答计算题的信心，以及提高学生的思维能力和解题技巧。



该文章转自[榆林教学资源网]：/tbfd/jtfffd/200910/7422_4.shtml
十字交叉法及在有机化学计算中的应用
(1)“十字交叉法”的数学理论基础

(2)“十字交叉法”在有机化学计算中的应用
①若a、b为两气体的相对分子质量，C为混合气体的平均相对分子质量，则x∶y为混合气体中两组成气体的体积比(或物质的量之比)
②若a、b为气体分子式中某原子的数目，c为混合气体平均分子式中某原子

数目，则x∶y为混合气体中两组分气体的体积比(或物质的量之比)。
(3)在有机化学的计算中，除“十字交叉法”外，还有代数法、差值数、守恒法、讨论法等等，必须灵活运用，具体问题具体解决。
2.确定有机物分子式的基本方法
确定烃及烃的衍生物的分子式的基本途径为：

【命题趋势分析】
求各类有机物分子式及判断它们的结构在有机化学中占有举足轻重的地位，贯穿在有机化学的各章节中，应通过练习熟练掌握。
核心知识

【基础知识精讲】
1.有机物分子式和结构式的确定

(1)利用上述关系解题的主要思路是：首先要判断有机物中所含元素的种类，然后依据题目所给条件确定有机物分子中各元素的原子数目，从而得到分子式，最后由有机物的性质分析判断其结构式。
(2)实验式是表示化合物分子所含各元素的原子数目最简单整数比的式子。求化合物的实验式即是求该化合物分子中各元素原子的数目(N)之比。
(3)烃的含氧衍生物完全燃烧的化学方程式为：

燃烧规律如下：
y>4-2z时，燃烧后，气体体积增大(100℃以上，下同)；
y＝4-2z时，燃烧前后气体体积不变；
y<4-2z时，燃烧后气体体积减少(不合理)。
上式中若z＝0，即为烃燃烧的规律。
2.由实验式确定分子式的方法
(1)通常方法：必须已知化合物的相对分子质量［Mr(A)］，根据实验式的相对分子质量［Mr(实)］，求得含n个实验式：n＝ ，即得分子式。
(2)特殊方法Ⅰ：某些特殊组成的实验式，在不知化合物相对分子质量时，也可根据组成特点确定其分子式。例如实验式为CH3的有机物，其分子式可表示为(CH3)n，仅当n＝2时，氢原子已达饱和，故其分子式为C2H6。同理，实验式为CH3O的有机物，当n＝2时，其分子式为C2H6O2。
(3)特殊方法Ⅱ：部分有机物的实验式中，氢原子已达到饱和，则该有机物的实验式即为分子式。例如实验式为CH4、CH3Cl、C2H6O、C4H10O3等有机物，其实验式即为分子式。
3.由分子式确定结构式的方法

(1)通过价键规律确定：某些有机物根据价键规律只存在一种结构，则直接可由分子式确定其结构式。例如C2H6，根据价键规律，只有一种结构：CH3—CH3；又如CH4O，根据价键规律，只有一种结构：CH3—OH。
(2)通过定性或定量实验确定：当一个分子式可能代表两种或两种以上具有不同结构的物质时，可利用该物质的特殊性质，通过定性或定量实验来确定其结构式。
【知识探究学习】
一、烃的衍生物分子式求解
根据烃的衍生物耗氧量与生成二氧化碳的体积关系，如何确立有机物的分子式是较难题，但如果找到内在本质，通过通式的确立来求解就会变得迎刃

而解了。
例1 某烃的含氧衍生物完全燃烧生成二氧化碳和水，已知同温同压下耗氧气与生成二氧化碳的体积比为1∶1，求符合该条件的分子量最小的有机物的分子式。
解析 因为含氧衍生物完全燃烧时，C元素最终变为CO2，即如含有1molC而生成CO2时，必耗1molO2，因为题中耗O2与生成CO2为1∶1，所以可把有机物中的H元素生成水时需的氧元素看成是来自于有机物本身。
故依题意，可设符合该条件的有机物的通式为：

讨论：当m＝1,n＝1时，分子式为 (甲醛)。
例2 由例1拓展，当同温同压下耗O2与生成CO2的体积比小于1∶1时，如为3∶4时，符合该条件的最简有机物分子式和结构简式。
解析 由例1中解析可知，由于消耗的氧小于产生CO2时所需要的氧，可知该衍生物中，除了H元素生成水时需要的氧来自于本身以外，C元素生成CO2需要的氧元素一部分亦来自于分子内。
故设该有机物的通式为： 有 ，
通式为：
讨论：当m＝1,n＝1时，分子式为 .
结构简式为：
例3 由例1拓展为：当耗O2与生成CO2的体积比为>1∶1，如为3∶2时，求符合该条件的最简有机物的分子式和结构简式。
解析 由于耗O2体积大于生成CO2的体积，即需要的O2除用于生成CO2外，还用于与分子内H元素反应生成H2O。
故可设该条件有机物的通式为：

得：
通式为：
讨论：当m＝1,n＝1时，分子式为：CH4O
结构简式为： 。
练习：(1)某烃的衍生物完全燃烧生成 和 ，当耗 与生成 的体积比为2∶3时，符合该条件的最简单有机物的分子式和结构简式(C＝C＝C为不稳定结构)
(2)当耗O2与生成CO2的体积比为4∶3时，求符合该条件的最简单的有机物分子式和结构简式。
答案：(1)分子式C3H4O4结构简式：
(2)分子式 结构简式为：CH3CH2CHO或CH2＝CH-CH2OH
二、从有机物分子式(或分子通式)判断有机物结构的规律
高中教材中所学的有机物，它们的分子通式与结构类别的对应关系如下面的框图
从框图对应关系可得出如下规律：有机物分子里的氢原子以烷烃(或饱和醇)为充分饱和结构(只含C—C、C—H、C—O等单键)的参照体。
①每少2个H，就可以有一个“C═C”或“C═O”或成一个单键碳环；
②每少4个H，就可以有一个“C≡C”；
③每少8个H，就可以有一个“苯环”。
烃的含氧衍生物中，氧原子数的多少并不影响以氢原子数为依据来判断有机结构特征。例如饱和多元醇(像乙二醇、丙三醇)都可以用通式 来表示，分子中只含各种单键。
例1 某芳香族化合物的分子式为 ，它与Na、NaOH、NaHCO3反应的物质的量之比依次为1∶3，1∶2，1∶1，且苯环上的一溴代物有4种，写出它可能的一种结构简式。
解析 首先应

从分子式入手，该化合物分子式离充分饱和结构还差10个H原子，每少8个H有一个苯环，该化合物应只有一个苯环，苯环的支链上还有一个“C＝C/或一个C＝O”。再由它与Na、NaOH、NaHCO3反应的关系可推出它的分子结构特征：一个苯环、一个羰基(C＝O)、一个醇羟基、一个酚羟基，而且苯环上应有4个氢原子可供溴原子取代，所以应为

典型例题

例1 1924年我国药物学家从中药麻黄中提取了麻黄素，并证明麻黄素具有平喘作用。将10.0g麻黄素完全燃烧可得26.67gCO2和8.18gH2O。测得麻黄素中含氮8.48%，它的实验式为CxHyNzOw，已知其实验式即为分子式，则麻黄素的分子式为_________。
解析 先求C、H、O的质量分数：
;


故
麻黄素的分子式为在此处键入公式。 。
评注 本题属于根据燃烧产物的质量、元素的质量分数确定实验式的一类题目。
例2 某0.16g饱和一元醇与足量的金属钠充分反应，产生56mL氢气(标准状况)。则该饱和一元醇的分子式为_________。
解析 饱和一元醇的通式为 ，该一元醇的摩尔质量为M(A)。


0.05
，解得：在此处键入公式。 。
该一元醇的相对分子质量为32，根据该一元醇的通式，有下列等式：
12n+2n+1+16+1＝32,n＝1，故分子式为 。
评注 本题属于运用有机物的通式计算确定分子式的一类题目。掌握各类有机物的通式很有必要：如饱和一卤代烃的通式为CnH2n+1X，饱和醇的通式为CnH2n+2Ox(x＝2时为二元醇，x＝3时为三元醇)。例3 燃烧2mol某有机物，生成4molCO2和6molH2O，同时测知消耗5molO2，推测该有机物的分子式为_________。
解析 设有机物的分子式为CxHyOz，根据题意可写出燃烧方程式：

根据质量守恒定律知：x＝2,y＝6,z＝2。
故该有机物的分子式为C2H6O2。
评注 本题属于根据燃烧方程式计算确定分子式的一类题目。