一元二次方程各节知识点及典型例题

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(完整版)一元二次方程知识点和经典例题

一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。

一元二次方程知识点总结&练习

一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

一元二次方程知识点总结及相关练习题

一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。

它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。

2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。

3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。

这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。

韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

在题目中，XXX定理是很常用的。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。

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人教版九年级数学-一元二次方程全章知识点专题复习(含答案)

一元二次方程全章知识点专题复习【课标要点】1. 理解一元二次方程定义；2. 会解一元二次方程；3. 会根据根的判别式24b ac -判断一元二次方程的根的情况； 4. 会列一元二次方程解决实际问题.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩解法根的判别式一元二次方程二次三项式的分解因式根与系数的关系实际应用问题第1讲一元二次方程的概念【知识要点】1、一元二次方程的一般形式：200),,,ax bx c a a b c ++=≠（其中是常数. 2、在一般式中，当b ＝0时，则有220c 00ax c ax bx +=+=或当＝时，则有，这两种情况都是一元二次方程.【典型例题】例1判断下列关于x 的方程是不是一元二次方程.22222222213;(2)50;(3)235;(5)2(3)21;511(6)33;(7)2;(8)()10;(9)40:1(10)0.(0)x x x xy x x x x x x x x abx a b x x x x px qx m p =-=--==-=+++=-=+++=-+=+++=≠（）分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程，方程（3）含有两个未知数，方程（4）的左边不是整式，方程（5）经整理候，得－6x ＝1，方程（8）中未确定ab≠0，因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.例2方程25)(3)(3)50.m m m x m x ---+-+=（（1） m 为何值时，此方程为一元二次方程？（2） m 为何值时，此方程为一元一次方程？分析：形如0nax bx c ++=的方程，当n ＝2且a≠0时为一元二次方程；当a ＝0时且b≠0时为一元二次方程.解：（1）当m －2＝2时，m ＝4，这时5)(3)0.m m --≠（当m ＝4时，此方程为一元二次方程.（2）5)(3)0,20,2m 30m m m m --=->-≠当（为自然数，且－时，方程为一元一次方程.由5)(3)0m 5m 3m m m --=≠（得＝或＝，又因为3，∴当m ＝5时，此方程为一元一次方程.例3 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用了新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2填，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还应再增加多少米？（只需列出方程，并整理成一般一元二次方程形式.）分析：根据题意本题有两个关系式：一是计划每天加固的长度比原计划增加了20米，而是实际完成工程任务所需时间比原计划缩短2天，由时间关系列出方程.解：设现在计划每天加固河堤x 米，则原来计划每天加固河堤（x －20）米.根据题意德22402240220x x-=-，整理，得 22022400x x --=【知识运用】一、选择题1．一元二次方程得一般形式是（）A.20x bx c ++= `B.20ax bx c ++=C. 20()ax bx c a o ++== D.以上都不对 2．下列方程为一元二次方程的有（）A.21102x x-+= B. 252ax bx c +=C.()219x -=D.x+y=03.关于x 的方程232232(m n m x mx m x nx px q +=+-+≠其中），经化简整理，化为200)ax bx c a ++=≠（的形式后，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A.m －n ，p ，qB. m －n ，－p ，qC.m －n ，－p ，－qD.m －n ，p ，－q4．将一元二次方程21x 2x 302-+=－的二次项系数变为正整数，且使方程的根不变的是（）A. 2x 2x 30+=－ B. 2x x 60+=－4C 2x x 60=－4－D 2x x 60-=+4二、填空题5．方程24x 0=是_____元______次方程，二次项系数是______，一次项系数是____，常数项是_______.6.当m__________时，方程2m-1)x 21)x 0m m -+=（－(不是关于x 的一元二次方程；当m___________时，上述方程才是关于x 的一元二次方程；7.若方程22x 3x 1k x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是_________; 三、解答题 8．若方程1(3)x230k k x --+-=是关于x 的一元二次方程，求k 的值.9．若关于x 的一元二次方程22(a-1)x +x+a 10-=的一个根是0，求a 的值.10．某大学改善校园环境，计划在一块长80米，宽60米的矩形场地中央建一矩形网球场，网球场占地面积为3500平方米，四周为宽度相等的步行道，求步行道的宽度，根据题意列出泛称，并将其化为一般形式.第2讲配方法【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：将方程化成()2b(0)x a b +=≥的形式，则x＝0)a b -±≥.2、配方法解一元二次方程：利用公式222a 2()ab b a b ±+=±，把一元二次方程转化为2()(0)x a b b +=≥，再利用直接开平方法解方程.【典型例题】例1 用配方法解关于x 的一元二次方程： x 0px q ++=2分析：配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决，该题是一种字母系数的一元二次方程，故可按上述步骤进行求解，先将其整理成一般形式，二次项系数化为1.因二次项系数为1，所以移项得2x x p q +=-，方程两边配方，然后利用完全平方公式，直接开平方法解出方程.解：22221212x ,x (),244qx ,244q p 400,4x (2)p 40x 23p 40px q p p px q p p p q x pq x q +=-++=-+--->>---<222222移项，得配方，得整理，得（+）＝（1）当时，方程两边直接开平方，得当＝时，＝＝；（）当时,原方程无实数解.例2 用配方法解方程（1）2x 6x 50+-=；（2）24x 7x 20-+=分析：方程经过移项，配方后变为形如2().ax b c +=的方程解：（1）（2）移项，得24x 7x 2-=-化二次项系数为1，例3 试证：不论x 为何实数，多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 分析：比较两个代数式大小通常用做差的方法. 解：∴多项式424224124x x x x ----的值总大于的值. 【知识运用】一、选择题1．已知代数式2224x 228x 5x x +-+-的值为3，则代数式的值为（） A.5B. －5C. 5或－5D.02．将二次三项式22x 4x 6-+进行配方，正确的结果是（）A.24-2（x-1） B.24+2（x-1）C.22-2（x-2）D. 22+2（x-2） 3．方程2(1)9x +=的解是（） A.2x =B. 4x =-C. 122,4x x ==-D. 122,4x x =-=221265,6959,314333x x x x x x x +=++=+=∴+=∴=-+=--2移项，得配方，得即（x ＋）2222127717x ()()48287177x x 864877x x 88x x x -+=-+-∴-∴--∴得即（）＝，＝＝＝4242424222224242(241)(24)23(21)2(1)2x (1)20(241)(24)0x x x x x x x x x x x x x x -----=-+=-++=-+-+>----->对于任何实数，总有即4.已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，则代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（） A.4 B.3C. 2D. 1二、填空题5．224___9(___3)x -+=-6．将二次三项式2x 2x 2--进行配方，其结果等于__________.7.已知m 是方程2x x 20--=的一个根，则代数式2m m -的值等于______. 三、解答题8．用配方法解下列方程2(1)2360;x x --= 221(2)20;33y y --=2(3)0.40.81;x x -= 2(4)1)0;y y ++=9.用配方法证明21074x x -+-的值恒小于0.10.来自信息产业部的统计数字显示，2019年1月至4月份我国手机产量为4000万台，相当于2018年全年手机产量的80％，预计到2020年年底收机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率.第3讲公式法【知识要点】1．公式法：一般地，对于一元二次方程221200),b 4ac 0x ax bx c a ++=≠≥，（当－时， 2．2b 4ac 0≥V 当=－，方程可用公式法求解；当2b 4ac 0<V 当=－时，方程无解.【典型例题】例1 用公式法解下列方程21x 100-+=（） 2(2)221x x +=(3)(1)(1)x x +-=分析：首先把每个方程化成一般式，确定a 、b 、c 的值，在2b 4ac 0≥－的前提下，代入求根公式求出方程的根.解：2221222212(2)2210,2,2,1,424?2?(1122(3)10,1,2,1,44?1?(2(4)x x a b c b ac x x x a b c b ac x x +-====--=-±∴=⨯-+-∴===--===-=--=-±∴==⨯∴==Q 移项，得-1)=12>0,-2x=22原方程可化为（-1)=12>0,-（x=222221210,1,1,1,414?1?(x x a b c b ac x x +-====--=-∴=∴===Q 将原方程可化为-1)=5>0,x例2 阅读下面一段材料，并解答问题.22(1)1,4,10,4(411080,(212x x a b c b ac x ==-=-=-⨯⨯>--∴===⨯∴=Q 1=2－＝22220(0)40,4200(0,,,)ax bx c a x b ac b ac b x aa ax bx c a abc ++=≠=-≥--∆=≠∆≥++=≠ 我们知道由一元二次方程运用配方法得其求根公式由平方根的意义知:当时即负数,没有平方根,故代数式就决定了方程根的情况,称它为一元二次方程根的判别式,用记号“”表示,故公式符合条件且0,方可用于求实数根.此外,若均为整数应当222121242,(1)10,:4,?,,?:,b ac b a k x x k x k x x x x k ∆=-∆--+++==∆≥注意当是完全平方时,方程根为有理根;当是完全平方且(是的整数倍时方程的根为整数根. 根据上面得出的结论,请你解答下列问题: 已知关于的方程试求 ⑴为何值时方程有两个实数根 ⑵若方程的两个实数根满足则为何值分析根据上面材料分析当0时方程有实数根,从而确定k 的取值,对[]1222121121212121.:(1),1)4(1)043230.2(2)0,,0,2k-3=0,35k=,0,240,010,10,,x x k k k k x x x x x x x x x x x k k x =∆≥+-+≥-≥∴≥=≥=∆===><-=+=∴+==-∆≥Q 1于⑵中需分类讨论解方程有实数根故0,即-( 化简得时方程有两个实数根由①当时此时即符合要求.②当x 时即与相矛盾故舍去k=-13综上可知:当k=时有22x = 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如右图),由于地形限制,三级水库处理池的长、宽都不能超过16米,如果池的外围墙建造单价为每米 400元,中间两条间隔墙单价为每米300元,池底建造单价为每平方米80元.(池墙的厚度忽略不计)(1) 当三级污水处理池的总造价为47200元时,求池长x;(2) 如果规定总造价越低就越合算那么根据题目提供的信息以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.分析：可根据三级污水处理池的总造价为47200元列方程.ADBC隔墙隔墙x21212400400:(1)400(2)3002008047200,4007008002008047200,393500,14,25,,14,25,2516(,)10014,16.7x x xx xx x x x x x ⨯++⨯+⨯=⨯++⨯=-+=====><∴ 解由题意得即有化简得解得经检验都是原方程的根但米米不符合题意舍去当池长为米时池宽为米米符合题意当三级污水处理池的总造价为47200(2)1612.5164007008001620080463004720016<⨯⨯++⨯=<∴元时,池长为14米.当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算. 当池长为米时,池宽为米米,故池长为16米符合题意,这时总造价为当以47200元为总造价修建三级污水处理池时,不是最合算.【知识应用】一、选择题22222401)53200,0,0,x x k k m x x m m m n x mx n n m n --=-++-+=++=≠+1.方程2有两个相等的实数根,则的值为( )A.-1 B.-2 C.1 D.22.若一元二次方程(的常数项为则为( )A.1 B.2 C.1或2 D.53.若是方程的根则的值为( )1A. B.1 C.222235020,______.6.610_______.7.x x x mx m x x x --=++=--=1- D.-124.不解方程,判断方程2的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定二、填空题5.已知的一个根则方程的另一个根是_____,的值是方程3的两根之和是方程22230530______.x x x --=++=与方程2的公共解是三、解答题,28.已知直角三角形的一条直角边比另一条直角边长2cm,且面积为24cm 求直角三角形的周长.21)(4)240,10,.k x k x k k k +++-+=+≠9.已知方程(有零根其中求的值2210.2)0,a a x ax b x a --++=要使(是关于的一元二次方程求的取值范围.第4讲分解因式法【知识要点】112212121212a xb a x b b b a a x x a a ++≠=-=- 1. 分解因式法:把一个一元一次方:程整理为:()()=0的(0)的形式，方程的解为：；；. 2.注意(1)方程一边一定化为0；（2）常用的方法：①提公因式法；②运用公式法③十字相乘法.【典型例题】260;x x -=例1 用因式分解法解下列方程. (1):(1),,(2),(5)(5),,.x x --分析方程的右边是零左边可以用提公因式法分解方程不要去掉括号更不要两边同时除以或要先移项使方程右边为零212212:60,(6)0,060,0, 6.(2)3(5)2(5)0,(5)[3(5)2]0,(5)(133)0,501330,135,.3x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=∴=-=∴==---=---=--=∴-=-=∴==解(1)即或原方程可变形为即或 2(2)3(5)2(5)x x -=-例2 用公式法因式分解式解下列方程.2222(4)(43)(2)49(3)16(6)x x x x -=--=+ (1)3221222(1)(2)(1)(4)(43)0[(4)(43)][(4)(43)]0(77)(1)0,770101, 1.(2)7(3)][4(6)]0,7(3)4(6)][7(3)4(x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴-+----=∴---=∴-=--=∴==---+=-++--分析:方程先移项再利用因式分解法来解,方程移项后也能因式分解.解:移项,得333或原方程化为[ [126)]0,(113)(345)0,3,15.11x x x x +=+-=∴=-=化简为,1).x x x x +-例3 为解决新疆农牧民出行难的问题今年是新疆投资公路建设力度最大、最多的一年，某公路修筑队接受了改建农村公路96千米的任务，为了尽量减少施工带来的交通不便，实际施工时每天比计划多修1千米，结果提前16天完成任务，问原计划每天修多少千米？分析：如果把修路队原来计划每天修（千米），则实际每天修路是(千米,工作任务可根据工作时间=列方程工作效率解:设原计划每天修路千米,由题意得962129616160(3)(2)03(),2:x x x x x x x =++-=∴+-=∴=-= 化简整理得舍去答原计划每天修2千米.【知识运用】1212121212121200550505244552A. B.4C.,4D.,4225(1)(2)034,A B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -======-==--======+-===-一、选择题1.一元二次方（5）＝0的两个根为（）A.，B.，C.，D.，2.方程（）＝5（）的根为（）3.方程的根是，则这个方程为（）.-1,2 .12C D 34,A.(3)(4)0B.(3)(4)0C.(3)(4)0D.(3)(4)0x x x x x x x x x x ==--+=+-=++=--=1,-2 .0,-1,2 .0,1,-24.已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（）22225123,_____.4_____,.5147.235(23)201(21);(2)(5)59.,3,x x x x x x x x x x y x x x +-+=-=+-++++=-=-=2二、填空题:5.若与的值相等则6.当时代数式的值为零用分解因式法解方程:2()的解是_____.三、解答题8.用适当的方法解方程.1(1)2有一个直角三角形它的边长恰是个连续整数这个三角形的三边长是多少?10.有一个两位数,它的十位数字和个位数字的和是5,把这个两位数的十位数字和个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为736,求原来的两位数.第5讲一元二次方程【知识要点】 1、黄金分割：如,图若点C 把线段分成两条线段AB 和BC ，且满足AC BCAB AC=则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.2、列方程解应用题的基本步骤可归纳为：审（审题）；设（设未知数）；列（列方程）解（解方程）；答（答案）.3、列方程解应用题的关键是找出存在的相等关系【典型例题】例1 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x ，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x ），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x ）2.解：设平均月增长率为x ，由题意得400（1＋10％）（1＋x ）2＝633.6 整理得：（1＋x ）2＝633.61 1.2440x ∴+=± 0.2x ∴= 所以平均月增长率为20％.例2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？分析：这类问题的特点是挖蕖所占用土地面积只与挖蕖的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起，那ABC么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x ）米，宽为（64－4x ）米.解：设水渠应挖x 米宽，以题意，得（162－2x ）（64－4x ）＝9600化简，297960x x -+=解得11x =,296x =（舍去）答：水渠应挖1米宽. 【知识运用】一、选择题1．某商店十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率是( ) A ．20% B ．.12％ C ．22％ D.10％2．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2,则原来的正方形铁皮的面积是（）A. 9cm 2B.68cm 2C. 8cm 2D. 64cm 23．有一个两位数，它的数字和等于14，交换数字位置后，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是（）A ．68 B.86 C.－68 D.－864．随着通讯市场竞争日益激烈，某通讯公司的收集市话收费标准按原标准每分钟降低了a 院后，再次下降25％，现在的收费标准是每分钟b 元，则原收费标准是每分钟（） A. 5(1)4b -元 B. 5()4b a +元 C. 3()4b a +元 D 4()3b a +元. 二、填空题5．三个连续偶数，较小的两个数的平方和等于较大的数的平方，则这三个数为________. 6．一个两位数，它的数字之和为9，如果十位数字为a ，那么这个两位数是________;b 把这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，则这个数与原数的差为________. 7.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元，那么平均每年降低成本的百分率是_____. 三、解答题8．某工厂计划用两个月把产量提高21％，如果每月比上个月提高的百分数相同，求这个百分数.9．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支出1000元用来购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行.若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.10．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.第1讲一、1．C 2.C 3.D 4.D 二、5．一、二，4，0，0 6.m=1,m ≠1 7.222a ab b --三、8.根据题意的1230k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩①②由①得k －1=－2解得k=3或k=－1,由②得k ≠3,所以k=－19.由于方程的解使方程的左右两边相等，故将方程的解代入原方程后得到关于a 得方程，求出a 得值，但是需要满足原一元二次方程的二次项系数不为零，故只取a=－1. 10．设步行道的宽度为x 米，根据题意得（80－2x ）.(60－2x)=3500整理，得方程的一般形式为703250x -+=2x 第2讲一、1．A 2.B 3.C 4.B二、5．12x,2x ；6.2(1)3x --；7.22m m -=三、8．121233(1)(2)2,31342x y y y y ±±==-==-=--2（）x=29．2711110)002040x --<原式配方得－（ 2210740,10740x x x x +-=+-即－故－的值恒小于 10．设这两年手机产量平均每年的增长率为x ，根据题意得2124000212(1)980040%,8055x x x +====-解得％（舍去）第3讲一、1．B 2..B 3.D 4.A 二、5．24-- 6.2 7.x=－1三、8．设直角三角形的较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为（x+2）cm.根据题意得：2001)0(4)02402x x k k k k =∴=+⨯++⨯-+=∴=Q 方程有零根即将代入方程得，（2121(2)24248026,8()2810x x x x x x x +=∴+-===-∴+=∴∴解得不符合题意舍去较长直角边为直角三角形的周长为6＋8＋10＝24（cm ）9． 10．要使方程是x 的一元二次方程，则由一元二次方程的定义.有220,2,1a a a a x --≠∴≠≠-且时该方程时关于的一元二次方程第4讲一、1．C 2.A 3.C 4.C 二、5.－ 1或4 6.x ＝－27.260,y y x +-==三、8.（1）y＝12±（2）121x x 5==- 9. 3，4，5 10. 32，23第5讲一、1．C 2.A 3.B 4.D 二、5. 7,6,8 6.9a+9,81－18a 7.10%三、8.设每月提高的百分率为x,原产量为a ，以题意得a(1+x)2=a(1+21%)220(1) 1.210.110% 2.1(10a x x ≠∴+====-∴Q 1解得x 舍去）为％9.设此种存款的年利率为x ，由题意得：【2000（1＋x ）－1000】(1+x)=1320 所以年利率为10％10．设此种商品的售价为x 元，商品所赚利润s 最大.2210.(20010)2040020(10)20000.5102000.x s x x x s x x s -=-⨯=-+∴=--+∴=当时，取最大值。

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)

完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。

2x^2+11x-2=0B。

ax^2+bx+c=DC。

2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。

例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。

针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。

3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。

m=n=2B。

m=2.n=1C。

n=2.m=1D。

m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。

根的概念可用于求代数式的值。

典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。

一元二次方程知识点总结和例题

知识框架知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。

一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x （4）因式分解法一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆一元二次方程根与系数的关系abx x -=+21，a c x x =21。

例题：6、已知关于x 的一元二次方程220x kx +-= 的一个解与方程131x x +=-的解相同。

（1）求k 的值；（2）求方程220x kx +-=的另一个解。

7、设12,x x 是关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根，121,1x x ++是关于x 的一元二次方程20x qx p ++=的两个根，则,p q 的值分别等于多少？知识点.一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x =（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3）公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =()240b ac -≥；（4）因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。

一元二次方程知识点总结及习题

【基础知识巩固】知识点1. 一元二次方程概念只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

1、判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x 2-x-3=0. (2)4y -y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x -3=0. (7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2-x4+6=0. (10)3x 2=4x-3.2、判断下列方程是否为一元二次方程：)0(0).7(0).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x xx x x x ==+++-=-=+-===+3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）（A ）()()23121x x +=+ （B ）21120x x +-=（C ）20ax bx c ++= （D ）2221x x x +=+4、下列方程中，不是一元二次方程的是（）（A ）2x 2+7=0 （B ）2x 2+23x+1=0（C ）5x 2+x 1+4=0 （D ）3x 2+(1+x) +1=05、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（）（A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于26、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a 。

7、已知关于x 的方程()2220m m x x m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程；（2） m 为何值时方程为一元二次方程。

知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

《一元二次方程》知识梳理及经典例题

《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c)，x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

类型四、公式法⑴条件：(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式：x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。

.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

考点五、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②Δ≥0时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用：整体代入求值。

《一元二次方程》各节知识点及典型例题

第二章一元二次方程第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中ax 2是，a 是，bx 是，b 是，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a 为何值时，关于x 的方程（a-1）x |a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（）A ．-1B ．0C ．-1D ．-1或1例2、已知多项式ax 2-bx+c ，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b 的值（2）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2-（k+1）x-2=0（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x 2= -1B. 2x （x-1）+1=2x 2C. x 2+3x=2x D. ax 2+bx+c-0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m-1)x-1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值 6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b --的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4、分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为。

★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。

类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ；（2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

《一元二次方程》各节知识点及典型例题

其中ax2是，a是，bx是，b是，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩固练习1、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. x 2= -1B. 2x （x-1）+1=2x 2C. x 2+3x=2xD. ax 2+bx+c-0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m-1)x-1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b a b--的值【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。

一元二次方程知识总结及习题

一元二次方程的定义与解法知识点一一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2。

同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）x x 2752=；（2）()()832=+-x x ；（3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。

一元二次方程知识点总结及习题

.【基础知识巩固】知识点 1. 一元二次方程概念只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程。

1、判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x 2 -x-3=0. (2) y -y 2 =0. (3) t 2 =0. (4) x 3 -x 2 =1. (5) x 2 -2y-1=0.1 -3=0. 4(9)3x 2 - 4(6) (7) x23x =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1) 2 .+6=0.x 2x(10)3x 2 = x -3.42、判断下列方程是否为一元二次方程：(1).x2x 1(2).x2 1(3).x1x(4).x23x 2 y0(5).x2 3 (x 1)( x2)(6).ax2bx c 0mx20( m为不等于的常数)(7). 03、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（）（ A） 3 x22 x 1（ B）1 11x22 0x（ C） ax 2bx c 0 （ D） x22x x2 14、下列方程中，不是一元二次方程的是（）（ A） 2x2+7=0 （ B） 2x2+2 3 x+1=0（ C） 5x2+ 1 +4=0 （ D） 3x2+(1+x) +1=0x5、若关于 x 的方程 a( x－ 1) 2=2x2－ 2 是一元二次方程，则 a 的值是（）（A）2 （B）－ 2 （C） 0 （ D）不等于 26、已知关于 x 的方程m 1 x2n2 3 x p 0 ，当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a 。

7、已知关于 x 的方程m 2 x m2 2 x m 0 ：（1） m为何值时方程为一元一次方程；（2） m为何值时方程为一元二次方程。

知识点二 . 一元二次方程的一般形式..一元二次方程的一般形式是： ax 2bx c 0 a 0 ，其中 ax 2是二次项， a 叫二次项系数；bx 是一次项， b叫一次项系数， c 是常数项。