2015年考研数学二答案解析

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2015年考研数学二真题与答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2015年考研数学二真题及答案

2
㌠
㌠
因此在正交变换 t ㌠
1 1
下的标准二次型为 2y12
y22 + y 2
综上所述，本题正确答案是 A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次
型为标准形。
二、填空题：(9~1 )小题，每小题 4 分，共 24 分。
㌠ ‹浔
h2
(9)设
㌠
+
h则
2
㌠
㌠1
【答案】48
【解析】由参数式求导法
h ㌠ ሺ + 1݊2 +
对积分得
h ㌠ ሺ + 1݊2 + − 1 + ψሺy݊
又 h ㌠ 2 + 2 ，所以ψ y ㌠
所以 h ㌠ ሺ + 1݊2 + − 1
于是 h ㌠ ሺ2 + 2݊ ,
h ㌠ ሺ + 2 + 2 + 2݊ ,
h =2
令 h ㌠， h ㌠得驻点(0,-1)，所以
A= h 1 ㌠ 1
㌠ ሺ ݊的可疑拐点是
㌠的点及 ሺ ݊不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A 点两侧 ሺ ݊恒正，对应的点
不是㌠的拐点。
拐点，B 点两侧
异号，对应的点就是㌠
虽然f 不存在，但点 x ㌠两侧f ሺx݊异号，因而ሺ hfሺ ݊݊ 是 y ㌠
f x 的拐点。
综上所述，本题正确答案是 C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹
2015 年考研数学二真题
一、选择题：（1~8 小题,每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

2015年考研数学二真题及标准答案

2015年考研数学二真题一、选择题:（１~8小题,每小题4分，共3２分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

) (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C ）∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在（－∞,+∞)内(A)连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选Ｂ。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 （Ｂ)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时,lim x→0x α−1cos1x β=0， lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学真题答案(数二 )

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰【答案】(D)【考点】反常积分的收敛性【难易度】★★ 【详解】（A）2+∞==+∞⎰，发散，（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散（C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散（D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛 2、函数20sin ()lim(1)x tt tf x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】(B)【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】当0x ≠时，22sin sin 0sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t x x tt x tt t ttf x e xx→→+=+=3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【考点】导数的定义、连续的定义【难易度】★★★【详解】100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x x ααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ->4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C【考点】拐点的定义【难易度】★★★【详解】由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 5、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv ==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12【答案】(C)【考点】链式求导法则【难易度】★★【详解】法一：,y u x y v x =+=，所以,11u uvx y v v ==++所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2）（1）式对y 求导得，12f f y u x v∂∂+=-∂∂（3）由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y =围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4πθ=由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】线性方程组【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解⇔R(A)=R(A,b)<31212a a d d ⇔====或且或.8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型【难易度】★★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则【答案】48【考点】复合函数的求导法则【难易度】★★【详解】2222333(1)11dy dy dt t t dx dx dtt +===++， 22222212(1)12(1)11d dy d y t t dt dx t t dx dx t ⎛⎫⎪+⎝⎭===++，因此，212121448t d y dx==⋅⋅=.10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =【答案】2(1)(ln 2)n n n --【考点】高阶导数；莱布尼兹公式：()()0()()nn kn k k n k uv C u v -==∑ 【难易度】★★ 【详解】()()()2()2n n x fx x =⋅()(0)n f ⇒()()(2)222(1)222(ln 2)2n x x n n x x n n C x --==-''==⋅⋅⋅2(1)(ln2)n n n -=-.11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导【难易度】★★ 【详解】2220()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰1(1)()2(1)(1)2(1)5(1)2f t dt f f f ϕϕ'=+=+=⇒=⎰.12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 【答案】【考点】【难易度】★★【详解】微分方程的通解是212x x y c e c e -=+则12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=，121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+.13、若函数(,)z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导法则【难易度】★★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导23(31)0x y zz zeyz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--.14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =【答案】21【考点】矩阵的特征值【难易度】★★【详解】A 的特征值为2，-2,1，又由于2B A A E =-+，因此矩阵B 的特征值为3,7,1，因此矩阵B 的行列式的值为21三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。

2015考研数学二真题及答案

2015考研数学二真题及答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x +∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰. (2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos010lim lim cos x x x x f x x xαβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos 1sin f x x x x x xααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+ ()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0(B) 1 (C) 2(D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个。

2015年考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题与答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2 (B)∫lnxx+∞2dx(C)∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin tx−1)=e x lim t→0sint t=e x(x≠0),f(x)在x=0处无定义，且limx→0f(x)=limx→0e x=1,所以 x=0是f(x)的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f(x)={xαcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,β>0).若f′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x)={αxα−1cos 1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有 f+′(0)=limx→0+f(x)−f(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，f−′(0)=0于是，f′(0)存在⟺α>1，此时f′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学真题及答案解析(数二)

1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f (r cos θ , r sin θ )dr （D） ∫ dθ ∫
1
π 3 π 4
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
1 1 1 1 (7)．设矩阵 A= 1 2 a ，b= d ,若集合 Ω= {1, 2} ，则线性方程组 Ax = b 有无穷多个解的 1 4 a 2 d2
（1）式对 x 求导得，解得
∂f ∂f = 0， ∂u u =1 ∂v
v =1
u =1 v =1
=−
1 2
（6）选 B 由 y = x 得， θ = 由y=
π 4
3 x 得， θ =
2
π 3
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
由 2 xy = 1 得， 2r cos θ sin θ = 1, r =
D
（A）
∫ ∫
π 2 π 4
dθ ∫ sin12θ f (r cos θ , r sin θ )dr （B） ∫π2 dθ ∫
2 sin 2θ 4
1
π
1 sin 2θ 1 2sin 2θ 1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
（C）
π 3 π 4
dθ ∫
(0) =
∫
x2
0
xf (t ) dt , 若 ϕ (1) = 1 ， ϕ ' (1) = 5 ，则 f (1) =
（12）设函数 y = y ( x ) 是微分方程 y '' + y ' − 2 y = 0 的解，且在 x = 0 处 y ( x) 取值 3，则 y ( x) = （13）若函数 z = z ( x, y ) 由方程 e

2015年考研数学二真题和答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015考研数学二真题及解析

2015年考研数学二真题及解析一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1) 下列反常积分收敛的是(A)2x +∞⎰(B)2ln d xx x +∞⎰(C)21d ln x x x+∞⎰(D) 2d x x xe +∞⎰【答】应选(D). 【解】因d (1)xxx x x e e -=-+⎰,则2222(1)3lim d (1)3x x x x x e e x e e xx e+∞----→++∞∞=-+=-+=⎰,故选(D).(2) 函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内 (A) 连续 (B) 有可去间断点(C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答】应选(B).【解】显然0x =时,()f x 无定义,故()f x 有间断点.又在0x ≠时,有222000sin sin sin ln lim(1)limln(1)lim()x tt t t tx t x tx xt x t x f x eeee →→→++⋅====(0x ≠),因此0x =是()f x 的可去间断点,故选(B).11,0p p a >>,1,1,1p p a >>收敛发散;,0,0kλλ>收敛;11p p <,10111d p p p x x <⎛⎫⎧⎨ ⎪⎩⎝⎭⎰收敛发散.(3) 设函数1cos ,0()(0,0)0,0x x f x xx αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪⎩,若()f x '在0x =处连续,则 (A) 1αβ-> (B) 01αβ<- (C) 2αβ-> (D) 02αβ<- 【答】应选(A).【解】因()f x '在0x =处连续,故()f x 在0x =处可导,于是有(0)(0)f f +-''=,即001cos000limlim x x x x x x αβ+-→→--=,亦即101lim cos 0x x x αβ+-→=,因此10α->.又因为()f x '在0x =处连续,所以0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→'''==,即0lim ()x f x +→'1111lim(cos sin )0x x x x xααβββαβ+---→=+=.由此可见10αβ-->.故选(A). (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,其中二阶导数()f x ''的图形如图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为( )(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3 【答】应选(C).【解】拐点须出现在二阶导数为零的点处或二阶导数不存在的点处,且在该点的左右两侧二阶导数异号.于是由的图形可见,曲线存在两个拐点.故应选(C).(5) 设函数(,)f u v 满足22(,)y f x y x y x +=-,则11u v f u ==∂∂与11u v f v ==∂∂依次是(A) 1,02 (B) 10,2(C) 1,02- (D) 10,2- 【答】应选(D).【解】方法一:(代入法) 令u x y =+,y v x =,则1u x v =+,1uv y v=+,从而22(,)y f x y x y x +=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.于是2(1)1f u v u v ∂-=∂+,222(1)f u v v ∂=-∂+,110u v f u ==∂=∂,1112u v f v ==∂=-∂.故选(D). 方法二:(全微分形式不变性) 将(,)f u v 分别对x ,y 求偏导,得f f u f vx u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂, f f u f v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂, 由于u x y =+,yv x=,故上述两式化为 21()f f f y x u v x∂∂∂=⋅+⋅-∂∂∂, 11()f f f y u v x∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂, 又由于22f x y =-,可得2f x x ∂=∂,2fy x ∂=-∂, 已知1u x y ==+,1y v x ==,可得12x =,12y =, 则可将前述式子化为1(2)f fu v ∂∂=+-∂∂, 12f fu v∂∂-=+∂∂, 联立两式可解得110u v f u ==∂=∂,1112u v f v ==∂=-∂.故选(D). (6) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,y =围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则(,)d d Df x y x y =⎰⎰(A)13sin 2142sin 2d (cos ,sin )d f r r r r πθπθθθθ⎰⎰(B) 34d (cos ,sin )d f r r r r ππθθθ⎰(C)13sin 2142sin 2d (cos ,sin )d f r r r πθπθθθθ⎰⎰(D)34d (cos ,sin )d f r r rππθθθ⎰【答】应选(B).【解】通过画出D 的图形,可见(,)d d Df x y x y =⎰⎰34(cos ,sin )d d f r r r r ππθθθ⎰,故应选(B).(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ,若集合{1,2}Ω=,则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答】应选(D).【解】因=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为()()r r =A A <3,而22111111111201111400(1)(2)(1)(2)a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A,于是有1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选(D).(8) 设二次型或123(,,)f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232y y y +-,其中123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e ,则123(,,)f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为(A) 2221232y y y -+(B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y --(D) 2221232y y y ++【答】应选(A). 【解】方法一:由题意, f 的标准型中平方项的系数2,1,-1是二次型的矩阵A 的特征值,矩阵P中列向量123,,e e e 分别是A 属于特征值2,1,-1的特征向量,于是,矩阵Q 中列向量132,,-e e e 分别是A 属于特征值2,-1,1的特征向量.又由P 为正交矩阵易见, Q也是正交矩阵,因此f 在正交变换=x Qy 下的标准形为2221232y y y -+.故选(A).方法二:因在正交变换=x Py 下,有222123()2T T T f y y y ===+-x Ax y P AP y .故200010001T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P AP .而100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭Q P PC ,于是有200()010001T T T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ C P AP C ,因此在正交变换=x Qy 下,有222123()2T T T f y y y ===-+x Ax y Q AQ y .故选(A).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 已知3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩,则221d d t yx == . 【答】应填48.【解】因2222d d 33d 3(1)d 1d d 1yy t t t x xt t +===++, 222222d d d[3(1t )]d()d()d d d d d 12(1)d(arctant)d d d d d y y t y x x t t t x x t xt+====+, 故221d 48d t y x ==. (10) 函数2()2xf x x =⋅在0x =处的n 阶导数()(0)n f= .【答】应填2(1)(ln 2)n n n --.【解】据莱布尼兹公式有()2122()2(ln 2)22(ln 2)22(ln 2)n x n x n x n n n f x x C x C -=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,故()2220(0)22(ln 2)(1)(ln 2)n x n n n x f C n n --==⋅⋅⋅=-.(11) 设()f x 连续,()()d xx xf t t ϕ=⎰,若(1)1ϕ=,(1)5ϕ'=,则(1)f = .【答】应填2.【解】因为()f x 连续,所以()x ϕ可导,且2220()()d 2()x x f t t x f x ϕ'=+⎰;又因为10(1)()d 1f t t ϕ==⎰,1(1)()2(1)5f t dt f ϕ'=+=⎰,故(1)2f =.(12) 函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解,且在0x =处取得极值3,则()y x = .【答】应填22x x e e -+.【解】依题意,有(0)3y =,(0)0y '=.又由特征方程220λλ+-=解得11λ=,22λ=-.所以微分方程的通解为:212x x y C e C e -=+.将(0)3y =,(0)0y '=代入,可得12C =,21C =.于是()y x =22x x e e -+.(13) 若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定,则(0,0)d z = .【答】应填12d d 33x y --. 【解】易见当0x =,0y =时,有0z =.又对方程两边求偏导可得2323(3)x y z x y z z e xy yz e x++++∂+=--∂,2323()2x y z x y z z e xy xz e y ++++∂+=--∂.将(0,0,0)点的值代入,即有(0,0)13z x ∂=-∂,(0,0)23zy ∂=-∂.因此(0,0)d z =12d d 33x y --. (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,-2,1, 2=-+B A A E 其中E 为3阶单位阵,则行列式=|B | .【答】应填21.【解】因A 的所有特征值为2,-2,1,故B 的所有特征值为3,7,1,因此=|B |21.三、解答题：（15～23小题，共94分.）(15) （本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.【解】方法一: 因0lim ()lim[1(sin cos )]11x x af x b x x x a x→→'=+++=++, 20lim ()lim30x x g x kx →→'==,故当10a +≠时, 00()()limlim ()()x x f x f x g x g x →→'==∞'.与题设矛盾. 于是有10a +=,即1a =-. 又2lim ()lim[(2cos sin )]212(1)x x af x b x x x a b b x →→''=-+-=-+=++, 00lim ()lim60x x g x kx →→''==.故同理可知120b +=,即12b =-. 由于3002(3sin cos )()1(1)lim lim ()633x x ab x x x f x a x g x x k k→→-+'''+===-''',且0()lim 1()x f x g x →=,所以113k -=,即13k =-. 方法二:由于233ln(1)()23x x x x x +=-++,33sin ()6x x x x =-+.所以3323()ln(1)sin []()23x x f x x a x bx x x a x bx x =+++=+-+++233(1)()()23a aa xb x x x =++-++.因()f x 与()g x 在0x →时等价,故10023a a b a k ⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩,解得1a =-,12b =-,13k =-.(16) （本题满分10分）设0A >,D 是由曲线段sin (0)2y A x xπ=及直线0y =,2x π=所围成的平面区域, 1V ,2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转所成旋转体的体积.若12V V =,求A 的值.【解】2222222101cos 2sin d d 24x A V A x x Ax πππππ-===⎰⎰. 由0A >,可得22202sin d 2dcos V xA x x A x x ππππ==-⎰⎰,2202(cos cos d )2A x x x x A ππππ=--=⎰因为12V V =,即2224A A ππ=,所以8A π=.(17) （本题满分10分）已知函数(,)f x y 满足(,)2(1)x xyf x y y e ''=+,(,0)(1)x x f x x e '=+,2(0,)2x f y y y '=+,求(,)f x y 的极值.【解】由(,)2(1)x xyf x y y e ''=+,得2(1)()x x f y e x ϕ'=++. 因为(,0)(1)xx f x x e '=+,所以()(1)x x e x x e ϕ+=+,得()x x xe ϕ=,从而2(,)(1)x xx f x y y e xe '=++.对x 积分得2(,)(1)(1)()x x f x y y e x e y ψ=++-+.因为2(0,)2f y y y =+,所以()0y ψ=,从而2(,)(2)xf x y x y y e =++.于是(,)(22)x y f x y y e '=+,2(,)(22)x xxf x y x y y e ''=+++,(,)2x yy f x y e ''=. 令(,)0x f x y '=,得驻点(0,1)-.所以(0,1)1xxA f ''=-=,(0,1)0yyB f ''=-=,(0,1)2yyC f ''=-=.由于20AC B ->,0A >所以极小值为(0,1)1f -=-. (18) （本题满分10 分）计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰,其中{}222(,)|2,D x y x y y x =+.【解】因为区域D 关于y 轴对称,所以d d Dxy x y ⎰⎰.2()d d d d DDx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰21202d d xx y =⎰12202)d x x x =⎰ 114022d x x x x =-⎰⎰,令x t =,则1224400014sin cos d (1cos 4)d 28xx t t t t t πππ==-=⎰⎰⎰,又1401d 5x x =⎰,所以2()d d 45Dx x y x y π+=-⎰⎰.(19) （本题满分10分）已知函数21()x f x t t =+⎰⎰,求()f x 零点的个数.【解】()2(2f x x '==-()0f x '=,得驻点为12x =. 当12x <时, ()0f x '<,()f x 单调减少;当12x >时, ()0f x '>,()f x 单调增加;因为(1)0f =,所以()f x 在1(,)2+∞存在唯一零点.又1()(1)02f f <=,lim ()x f x →-∞=+∞,所以()f x 在1(,)2-∞存在唯一零点.综上可知,有且仅有2个零点.(20) （本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却, 30min 后该物体温度降至30C ︒,若要将该物体的温度继续降至21C ︒,还需冷却多长时间?【解】设该物体在t 时刻的温度为()(C)T t ︒,由题意得(20)dTk T dt=--,其中k 为比例系数, 0k >. 解得()20ktT t Ce -=+.将初始条件(0)120T =代入上式,解得100C =.故()10020ktT t e -=+.将30t =,30T =代入上式得ln1030k =,所以10020kt T e -=+. 令21T =,得60t =.因此要降至21C ︒,还需要603030(min)-=.(21) （本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有2阶导数, ()0f a =,()0f x '>,()0f x ''>.设b a >,曲线()f x 在点(,())b f b 处的切线与x 轴的交点是0(,0)x ,证明:0a x b <<.【解】曲线在()y f x =点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-,解得切线与x 轴交点的横坐标0()()f b x b f b =-'. 由于()0f x '>.故()f x 单调递增.由b a >可知()()0f b f a >=. 又()0f b '>,故()0()f b f b >',即有0x b <. 由拉格朗日中值定理得()()()()()f b f b f a f b a ξ'=-=-,a b ξ<<. 因为()0f x ''>,所以()f x '单调递增,从而()()f f b ξ''<,()()()f b b a f b '<-. 由此可知00x a ->,即0x a >.综上0a x b <<.(22) （本题满分11分）设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 且3=A O .(Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ,E 为3阶单位矩阵,求X .【解】(Ⅰ)由于3=A O ,所以31011001a a a a=-==A ,于是0a =.(Ⅱ)由于22--+=X XA AX AXA E ,所以2()()--=E A X E A E .由(Ⅰ)知110111011-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭E A ,2001010102⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭E A ,, 因为-E A ,2-E A 均可逆,所以121211201312()()111010111110100211-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X E A E A .2015考研数学二真题及解析(23) （本题满分11分）设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B .(Ⅰ) 求,a b 的值;(Ⅱ) 求可逆矩阵P ,使1-P AP 为对角矩阵.【解】(Ⅰ)由于矩阵A 与矩阵B 相似,所以()()tr tr =A B ,=A B . 于是32a b +=+,23a b -=,解得4a =,5b =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 023133124-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,120050031-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B .又由于矩阵A 与矩阵B 相似,所以2(1)(5)λλλλ-=-=--E A E B .故A 的特征值121λλ==,35λ=. 当121λλ==时,解方程组()0-=E A x ,得线性无关的特征向量为 1(2,1,0)T =ξ,2(3,0,1)T =-ξ.当35λ=时,解方程组(5)0-=E A x ,得特征向量为3(1,1,1)T =--ξ.令123231(,,)101011--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ξξξ,则1100010005-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ,故P 为所求可逆矩阵.。

2015年考研数学二真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A)∫√x 2(B)∫lnx x +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫x e x +∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时，lim x→0x α−1cos 1x β=0， lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学(二)真题及答案详解【完整清晰版】

2 0 0 且 P AP 0 1 0 . 0 0 1
T
1 0 0 由已知可得 Q P 0 0 1 PC 0 1 0 2 0 0 T T T 故 Q AQ C ( P AP)C 0 1 0 0 0 1
为( )
2 2 2 (B) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (D) 2 y1 y2 y3
2 2 2 (A) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (C) 2 y1 y2 y3
【答案】(A)
2 2 2 【解析】由 x Py ，故 f xT Ax yT ( PT AP) y 2 y1 . y2 y3
2 2
2 f 2u (1 v) f 2u 2 u uv u (1 v) , .故， f (u, v) u 1 v v (1 v) 2 1 v 1 v 1 v
因而
f u
u 1 v 1
0,
f v
得： 1 0 ，答f ( x) 在 , 内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线
y f ( x) 的拐点的个数为(
(A) 0 (B)
) (D)
1
(C)
2
3
【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个. (5) 设函数 f u, v 满足 f x y, x 2 y 2 ，则 u x 与
1 1 1 【解析】 ( A, b) 1 2 a 1 4 a 2
1 1 1 1 a 1 d 1 0 1 d2 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2) ， 1 d

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015-数二真题、标准答案及解析

2015年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列反常积分收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln x dx x +∞⎰ （C ）21ln dx x x +∞⎰ （D ）2x x dx e +∞⎰【详解】21p dx x +∞⎰当且仅当1p >时才收敛，所以（A）2+∞⎰是发散的；（B ）22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞⎰是发散的；（C ）221ln ln ln dx x x x+∞+∞==+∞⎰是发散的；事实上，对于（D ）22213()|x xx dx x e e e+∞−+∞−=−+=⎰，应该选（D ）． 2．函数21sin ()lim x tt t f x x →⎛⎫=+⎪⎝⎭在(,)−∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点（D ）有无穷间断点【详解】220010sin limsin ()lim ,t x t x tx x tt t f x ee x x →⋅→⎛⎫=+==≠ ⎪⎝⎭函数在0x =处没有定义，而01lim ()lim xx x f x e →→==，所以应该选（B ）．3．设函数 100000cos ,(),(,),x x f x xx αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ−> （B ）01αβ<−≤ （C ）2αβ−> （D ）02αβ<−≤【详解】当0x >时，1111()cossin f x x x x xααβββαβ−−−'=+，当0x <时，0()f x '=， 10011000cos(),()lim lim cos x x x x f f x x xαβαβ++−−+→→''===要使函数在0x =处可导，必须满足101αα−>⇒>；当1α>时，1111000cos sin ,(),x xx f x x xx ααβββαβ−−−⎧+>⎪'=⎨⎪≤⎩显然要使()f x '在0x =处连续，必须满足1010ααβ−>⎧⎨−−>⎩，应该选（A ）4．设函数()f x 在(,)−∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)−∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）5．设函数(,)f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则1111|,|u u v v f f u v ====∂∂∂∂依次为（）（Ａ）102, （Ｂ）102, （Ｃ）102,− （Ｄ）102,−【详解】设x y uy v x+=⎧⎪⎨=⎪⎩，则当11,u v ==时，12x y ==．由多元复合函数的求导法则有111121221111122212||||||||u u v x y x y v u u v x y x y v fy fx u x v f fy u x v ================∂∂⎧−=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=−⎪∂∂⎩可解得1111102|,|.u u v v f f u v ====∂∂==−∂∂所以应该选（D ） 6．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)D f x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）． 7．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→−−→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d −−=−−=同时成立，当然应该选（D ）．8．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +−，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =−，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y −+ （B ）2221232y y y +−（C ）2221232y y y −− （D ） 2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，100001010TT Q P ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭211T T T Tf x Ax y PAPy y y ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪−⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101TT Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设33arctan x t y t t=⎧⎨=+⎩，则212|t d y dx == ．【详解】221331,dx dy t dt t dt ==++，2231()dydy dt t dxdx dt ==+ 22222261212111()()d y t t t t dx t +⋅==++，21248|.t d y dx ==10．函数22()xf x x =在0x =处的n 阶导数0()()n f = ．【详解】222()()(ln )x k x k =，所以由莱布尼兹公式可知221220222222222()()()(())()()(ln )()(ln )(ln )nn k k x n k x n x n x n n n k f x C x x n x C −−−===++⨯∑ 所以2012()()()(ln ).n n fn n −=−11．设函数()f x 连续，20()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ．【详解】22()()()x x x xf t dt x f t dt ϕ==⎰⎰，22202()()()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰所以1101121512()(),()()()()f t dt f t dt f f ϕϕ'==+=⇒=⎰⎰．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+−=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ．【详解】20y y y '''+−=的通解为212xx y C eC e −=+，由条件0x =处()y x 取极值3可知1221212312220,,()x x C C C C y x e e C C −+=⎧⇒===+⎨−+=⎩ 13．若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则00(,)|dz = ．【详解】当00,x y ==时，，0z =设231(,,)x y zF x y z e xyz ++=+−，则23232323,,,x y z x y z x y z x y z F e yz F e xz F e xy ++++++=+=+=+在点000(,,)处，1233,y x z z F F z z x F y F ∂∂=−=−=−=−∂∂，所以001233(,)|dz dx dy =−− 14．设三阶矩阵A 的特征值为221,,−，2B A A E =−+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ．【详解】矩阵B 的三个特征值分别为371,,，所以21.B = 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+−+++−+=++−+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪−+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =−=−=−16．（本题满分10分）设0A >，D 是由曲线弧02sin ()y A x x π=≤≤及直线02,y x π==所围成的平面区域，12,V V 分别表示D 绕,x y 旋转一周所围成的旋转体的体积，若12V V =，求A 的值．【详解】平面区域D 绕坐标轴旋转一周形成的旋转体的体积分别为：22222104sin V A xdx A πππ==⎰；22022sin V xA xdx A πππ==⎰；由于12V V =，所以8.A π=17．（本题满分10分）已知(,)f x y 满足21(,)(),xxy f x y y e ''=+01(,)(),xx f x x e '=+202(,)f y y y =+，求(,)f x y 的极值．【详解】由于21(,)(),xxy f x y y e ''=+所以211(,)()()xx f x y y e C x '=++由于01(,)(),xx f x x e '=+则111()()()x x xe C x x e C x xe +=+⇒=所以21(,)()xxx f x y y e xe '=++2211(,)()()()x x f x y y e x e C y =++−+由条件202(,)f y y y =+，可得20()C y = 从而可得211(,)()()xxf x y y e x e =++− 下面求函数的极值：解方程组210210(,)()(,)()x x xx y f x y y e xe f x y y e ⎧'=++=⎪⎨'=+=⎪⎩得函数的驻点01(,)−．2112(,)()(),(,)x x x xx yy f x y y e x e f x y e ''''=+++=，21(,)()x xyf x y y e ''=+ 在01(,)−处，01100120010(,),(,),(,)xxyy xy A f C f B f ''''''=−=>=−=>=−=，由于200,AC B A −>>，所以(,)f x y 在01(,)−处取得极小值011(,).f −=− 18．（本题满分10分）计算二重积分()dxdy Dx x y −⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y xy y x =+≤≥【详解】由对称性可知0dxdy Dxy =⎰⎰，22()dxdy dxdy dxdy dxdy DDDDx x y x xy x −=−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112220114022244002202221124225522545)()(sin cos )(sin )sin x dx x dy x x dxxx dx t tdt tdt udu ππππ===−=−=−=−=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰19．（本题满分10分）已知21()x f x =+⎰⎰，求()f x 的零点个数．【详解】显然函数的定义域为(,)x ∈−∞+∞．110()f −∞=+>⎰⎰当0x >时，令2t u =，则21112x xudu ==⎰⎰⎰21121()(x x xf x t =+=−⎰⎰⎰1210()(f t +∞+∞=−>⎰函数()f x的导数：21()(f x x '=− 令0()f x '=，得函数唯一驻点12x =．当12x <时，0()f x '<，函数是单调减少的；当12x >时，0()f x '>，函数是单调增加的；所以函数()f x 在12x =取到最小值，且12112102(f t ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭⎰所以函数存在两个零点，分别位于1122(,),,⎛⎫−∞+∞⎪⎝⎭． 20．（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒，物体在20C ︒恒温介质中冷却，30分钟后该物体的温度降到30C ︒．若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却多长时间？【详解】设物体在t 时刻时的温度为()y t ，则由题意可知20()(())y t y t λ'=−，满足0120()y =，3030()y =解方程得通解为20()ty t Ce λ=+．由初始条件0120()y =确定100C =，由3030()y =确定1030ln λ=−．也就是物体在t 时刻时的温度为103020100ln ()t y t e−=+．令21()y t =解得60t =，也就是若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却30分钟． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有二阶导数，000(),(),()f a f x f x '''=>>．设b a >，曲线()y f x =在点(,())b f b 的切线与x 轴的交点是00(,)x ，证明：0.a x b <<【详解】曲线在点(,())b f b 的切线方程为()()()y f b f b x b '−=−令0y =得切线与坐标轴的交点为0(),()f b b f b ⎛⎫−⎪'⎝⎭，也就是0()()f b x b f b =−'．由于00(),(),f a f x '=>所以00()()(),()f b f b f a f b '>>>，可得0.x b < 下面只需要证明()()f b b a f b −>'，等价于0()()()bf b f b af b ''−−>．令()()()()g x xf x f x af x ''=−−，则()g x 在[,)a +∞上可导，且0()g a =，0()()(),(,)g x x a f x x a '''=−>∈+∞，所以()g x 在[,)a +∞上单调增加，所以0()()g b g a >=也就是0()()()bf b f b af b ''−−>，()()f b b a f b −>'．所以0.a x b << 22．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E −−−=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ．【详解】（１）先计算Ａ的行列式：23100111110101a a aA a aa a a−=−=−=，由于30,A =所以0A =，可得0a =，010101010A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭（２）由条件22X XA AX AXA E −−−=，可知2()()E A X E A E −−=所以1212121()()(()())()X E A E A E A E A E A A −−−−=−−=−−=−−由于010101010A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，2101000101A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，2011111112E A A −⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭，112121011312111111112211()()()X E A E A E A A −−−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−=−−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭23．（本题满分11分）设矩阵02313312A a −⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭相似于矩阵12000031B b −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP −为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨−==⎩⎩．（2）由212050150031()()E B λλλλλλ−−=−=−−=−−，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ=== 解方程组0()E A x −=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x −=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ−⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123231 101 011,, Pξξξ−−⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，则1100010005.P AP−⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭令()。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题答案完整版

2015年考研数学二真题答案（完整版）（1）选D （A ）2212dx x x+∞+∞==+∞⎰，发散（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散（C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散（D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛（2）选B当0x ≠时，22sin sin00sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t xx t t x t t t t t f x e x x→→+=+= （3）选A100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x xααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ-> （4）选C由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 （5）选D法一：,yu x y v x=+=所以,11u uvx y v v ==++ 所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v fu ==∂=∂，1112u v f v ==∂=-∂法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2）（1）式对y 求导得，12f fy u x v∂∂+=-∂∂（3）由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v fu ==∂=∂，1112u v f v ==∂=-∂ （6）选B 由y x =得，4πθ=由3y x =得，3πθ=由21xy =得，212cos sin 1,sin 2r r θθθ==由41xy =得，214cos sin 1,2sin 2r r θθθ==所以1sin 23142sin 2(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）解析：[]()()()()2211111111,120111140012121212A b ad a d a d a a d d Ax b a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦=↔↔====有无穷多解R(A)=R(A,b)<3或且或，故选（D ）（8）()()12322211231321222123,,,,22,1,,,,121,12-+A P e e e x Py y y y P AP Q e e e Q AQ x Qy y y y --==⎡⎤⎢⎥+-==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=设二次型对应的矩阵为二次型在正交变换下的标准型为则若则故在正交变换下的标准型为：，故选（A ）。

2015年考研数学二真题及解析

2015年考研数学二真题及解析2015年的考研数学二试卷是考生们备考的重点之一，本文将为大家提供2015年考研数学二真题及解析，帮助大家更好地理解和掌握考试内容，并提高备考效果。

一、选择题部分1. 已知函数f(x)在区间[-π, π]上连续，若f(-π/4)=-1，f(π/4)=3，且f(x+π)=f(x)，则函数f(x)在区间[0, π]上的最小值是（）。

A. -1B. 0C. 1D. 2解析：首先我们可以根据已知条件得出f(x)是一个关于x的周期函数，它的周期是2π。

那么在[0, π]区间上，我们可以通过作图的方法来求出f(x)的最小值。

根据已知条件，我们可以得出f(0)=1，f(π/4)=3，f(π/2)=1，f(π)=3。

由于f(x)是一个关于x的周期函数，所以在[0, π]之外的区间上的函数值与区间内的值是相等的。

综上所述，函数f(x)在区间[0, π]上的最小值是1。

因此，答案选C. 1。

2. 在某乘积国家，每一笔买卖交易的总金额都必须是并且只能是一种货币的整数倍。

如果一种货币的币值是整数，并且该国所有货币的币值的乘积是2000，则可以推断出该国最多有（）种不同的货币。

A. 3B. 4C. 5D. 6解析：根据题目条件，我们可以得到该国货币的币值只可能是20、20、20和50。

因此，该国最多有4种不同的货币。

因此，答案选B. 4。

二、计算题部分1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+1，求a1+a2+...+a2015的值。

解析：首先我们可以列出前几项数列：a1=2，a2=5，a3=11，a4=23，a5=47......可以观察到数列{an}的通项公式为an=3 · 2^(n-1) - 1。

所以，a1+a2+...+a2015 = (3 · 2^0 - 1) + (3 · 2^1 - 1) + ... + (3 · 2^2014 - 1)= 3(2^0 + 2^1 + ... + 2^2014) - 2015= 3(2^2015 - 1) - 2015。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

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2
V1
2 Asin x dx
0
V2
2 2 x Asin xdx
0
V1 V2
2
2 Asin x dx 0 2 x Asin xdx
2 Asin2 xdx 2x sin xdx 0
得
A
1 2
sin
2x
2
2 x cos
x
sin
x
2
0
得： A 8
（ 17 ）已知函数
u2 (1 v) v 1
f 2u(1 v) ， f u2
u
1 v (
2 1)2
f 0 ， f 1
u u1
v u1 2
v 1
v 1
法二： f (x y, x ) x y2 （ f 2x （2） u x2 v
（1）式对 y 求导得， 1 f 2y u x v
（3）
由 u 1,v 1，得 x y 1 ，代入（2）（3） 2
解得 f 0 ， f 1
u u1
v u1 2
v 1
v 1
（6）选 B 由 y x 得，
4 由 y 3x 得，
3
由 2xy 1得， 2 2 cos sin 1, r
1 sin 2
由 4xy 1得， 4 2 cos sin 1, r
又 f (x) 0 f (b ) 0，
f (b 0 f (b
x0 b
f (b f (b
b.
下证： x0
a ，即证明： b
f (b f (b
成立.
L
f (x) 在[a,b]上二阶可导， f (b) f (a) f ( )(b a) (a,b)
f (b) f ()(b a) .
( E
A)
1
2
3
0
0
0
1 2 3 0 0 0
2 3
特征向量1
1
,
2
0
，
0
1
5 2 3 1 2 3 1 0 1
当3
5, (E
A)
1
2
3
1
2
1
0
1
1
1 2 1 5 2 3 0 0 0
1
则特征向量3
1 ,
1
2 3 1
1 0 0
所以P
(1,2
,3
0 1
(1) 0 f (t)dt 2 f (1) 5
1
(1) 0 f (t)dt 1
f (1) 2
12.
通解是 y c1e2x c e
y(0) 3 c1 c 3 y(0) 0 2c1 c 0 c1 1, 2 y e2 2ex
13.
dz z dx dy, x y 0 z 0 x
f ( x,
y)满足
f '' xy
(
x,
y)
2(
y
1)e x
，
f
' x
(
x,
0)
(
x
1)ex
，
f (0, y) 2y ，求 f (x, y) 的极值。题干缺条件，无正解。
18. D 关于 y 轴对称， xy 关于 x 为奇函数，
(x2 xy)d x2d 2 x2d （ D 为 D 在第 1 象限的部分）
x
sin
1
由 lim f (x) f (0) 0 ，得 1 0 ， 1 x0
（4）选 C 由图易知，拐点为原点和与 x 正半轴的交点，所以拐点数为 2
（5）选 D
法一： u x y,v y x
所以 x u , uv v 1
所以
f
(u, v)
u2 (v 1)2
u2v2 (v 1)
（15）
f (x) x a ln(1 x) bx sin x
x
a x
x2 2
x3 3
x3
bx
x
x3 3!
x3
1
a
x
a 2
b
x2
a 3
x3
x3
f (x)与g(x) kx3是等价无穷小
1+a 0
a b 0
a k 3
a 1
1 2
1
16．解：
由题意得：
所以f
(t
)
20
100
10
t 30
令f (t) 21,解得 t 60
所以物体温度继续降至21 C，还需冷却30分钟。
（21）
y f (x) 在 (b, f (b)) 处的切线方程为： y f (b) f (b)(x b)
交点 (x0,0) (
f (b ,0) f (b
f (x) 0 ， f (a) 0 f ( b) f ( a) ，0 即 f (b) 0
f (x) 0 ， f (x) 单调递增， f () f (b)
f (b) f ()(b a) f (b)(b a) ， b a f (b ， f (b
a x0 b .
22
a1 0 解：(1) A3 0,|A| 0.则 1 a 1 0,解得a 0
01 a
(2)(E A) X (E A2 ) E, 故X (E A)1(E A2 )1
dx
收敛
（2）选 B
当
x
0
时，
f
(x)= lim(1
sin
t
x2
)t
lim(1 sin
x sin t x
) sin t x t
ex
t 0
x
（3）选 A
f (0)= lim f (x) f (0) lim
x0
1
cos
1 x
存在
所以 1 0 ，且 f (0)=0
f (x)= x1 cos x
1 1 0
2 1 1
E
A
1
1
1
,
(E
A)1
1
1
1
0 1 1
1 1 0
0 0 1
2 0 1
(E
A2 )
0
1
0
,
(
E
A2
)1
0
1
0
1 0 2
1 0 0
3 1 2 X (E A) 1(E A )1 1 1 1
2 1 1
23.
0 2 3
1 2 0
解:由A
1
3
3
相似于B
0
b
0
1 2 a
0 3 1
0 3 a 1 b 1
则
0 1
2 3
3 1 3 0
2 b
0 ,
0
1 2 a 0 3 1
解得，a 4,b 5
fA () | E A | 1 3 3 ( 1)2 ( 5) 0 1 2 4
当1 2 1,
1 2 3 1 2 3
1
2sin 2
1
所以
f (x, y)dxdy
3
d
sin 2 1
f (r cos, r sin )rdr
D
4
2sin 2
（7）解析：
1 1 1 1 1 1
1
1
A,b 1 2 a
d
0
1
a 1
d 1
1 4 a2 d
0 0 a 1a 2 d 1d 2
Ax b有无穷多解 R(A)=R(A,b)<3
x
1
f ' (x) 1 x2 2x 1 x2 1 x2 2x 1
令f ' (x) 0
x 1 2
x
1 时， 2
f '(x) 0
x
1 时， 2
f '(x) 0
f (1)为极小值 2
f (1) 2
1 1 2
1
1 t 2 dt 4 1
1 tdt
1 4 1
1
1 tdt 1
两边对 x 求导
ex2y z (3 1) yz xy z 0 x
代入 x 0, y 0
z
1
x |x0 3
两边对 y 求导
ex2y z (3 z 2) xz xy 0 y
代入 x 0, y 0
z y
|y0
2 3
dz
|(0,0)
1 3
dx
dy
（14）
A的特征值为2，-2,1，又由于B A2 A E, 所以B的特征值为3,7,1，故 21。
)
1
0
1
,
得P 1
AP
0
1
0
0 1 1
0 0 5
a 1或a 2且d 1或d 2，故选（D）
（8）
设二次型对应的矩阵为A, P e1, e2, e3 ,二次型在正交变换x Py下的标准型为
2
2 y12
y22
y32 ,则P1AP
1
, 若Q e1, e3, e2 ,则
1
2 Q1AQ
1
1
故在正交变换x Qy下的标准型为：2 y12 -y22 +y32，故选（A）。
2015 年新东方版考研数学二答案
（1）选 D
（A）
1 dx 2
x ，发散
2x
2
（B） ln xdx 1 (ln x)2 ，发散
2x
2
2
（C） 1 dx ln ln x ，发散
2 x ln x
2
（D）当 x 足够大时， x ex
1
2
，
2
1 x2
dx
收敛，
2