中考数学专题练习旋转(,精选资料)

合集下载

【精选试卷】福州中考数学专项练习经典练习(含答案解析) (2)

一、选择题1．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（）A．10B．5C．22D．32．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=35米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A．5米B．6米C．8米D．（3+5）米3．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．23π﹣23B．13π﹣3C．43π﹣23D．43π﹣34．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C ．D ．5．如图，P 为平行四边形ABCD 的边AD 上的一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，1S ，2S ．若S=3，则12S S +的值为（）A ．24B ．12C ．6D ．36．下列计算正确的是（） A ．()3473=a ba b B ．()232482--=--b a bab bC ．32242⋅+⋅=a a a a aD ．22(5)25-=-a a7．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm ），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（）A ．212cmB ．()212πcm +C ．26πcmD ．28πcm8．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A ．1B ．23C ．22D ．529．已知直线y ＝kx ﹣2经过点（3，1），则这条直线还经过下面哪个点（） A ．（2，0）B ．（0，2）C ．（1，3）D ．（3，﹣1）10．分式方程()()31112x x x x -=--+的解为（）A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．无解11．将一块直角三角板ABC 按如图方式放置，其中∠ABC ＝30°，A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m ∥n( )A ．∠2＝20°B ．∠2＝30°C ．∠2＝45°D ．∠2＝50°12．若点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且x 1＝﹣x 2，则（） A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1＝﹣y 213．如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA 为（）A ．50°B ．20°C ．60°D ．70°14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（）A．14cm B．4cm C．15cm D．3cm15．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．19B．16C．13D．2316．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞32B．x＜32C．x＞3D．x＜317．通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．18．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是() A．B．C．D．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosB的值为（）A 15B．14C15D41720．如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是()A．24B．16C．413D．2321．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°22．下列四个实数中，比1-小的数是（）A．2-B．0 C．1 D．223．如图的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B 点，甲虫沿大半圆弧ACB路线爬行，乙虫沿小半圆弧ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，则下列结论正确的是 ( )A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B点 D．无法确定24．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（）A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣525．点 P（m + 3，m + 1）在x轴上，则P点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，﹣4）C．（4，0）D．（2，0）26．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是( )A．③④B．②③C．①④D．①②③27．若一组数据2，3，，5，7的众数为7，则这组数据的中位数为( )A．2 B．3 C．5 D．728．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个29．黄金分割数512-是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算5﹣1的值（） A ．在1.1和1.2之间 B ．在1.2和1.3之间 C ．在1.3和1.4之间D ．在1.4和1.5之间30．已知实数a ，b ，若a ＞b ，则下列结论错误的是 A ．a-7＞b-7B ．6+a ＞b+6C ．55a b ＞D ．-3a ＞-3b二、填空题31．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．32．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为____cm 2． 33．当m =____________时,解分式方程533x mx x-=--会出现增根． 34．已知一组数据6，x ，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是_____． 35．计算：82-=_______________．36．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为_____．37．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.38．甲、乙两人在1200米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y （米）表示甲、乙两人之间的距离，x （秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y 与x 函数关系，那么，乙到达终点后_____秒与甲相遇．39．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是_____．40．如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为．41．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22ky x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．42．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.43．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是_____． 44．如图，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒，顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x=>与()50y x x-=<的图象上，则tan BAO ∠的值为_____．45．分解因式：x 3﹣4xy 2=_____．46．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y=2x的图像上，则菱形的面积为_______．47．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y =kx的图象上，则k 的值为________.48．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.3600.3870.4040.4010.3990.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）． 49．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．50．一列数123,,,a a a ……n a ，其中1231211111,,,,111n n a a a a a a a -=-===---，则1232014a a a a ++++=__________.51．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为_____．52．如图，△ABC 的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan ∠BAC =_____________．53．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，AC 与OB 交于点D （8，4），反比例函数y=的图象经过点D ．若将菱形OABC 向左平移n 个单位，使点C落在该反比例函数图象上，则n 的值为___．54．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 55．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______． 56．如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止，设点 R 运动的路程为 x ，△MNR 的面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，则矩形 MNPQ 的面积是________．57．在一个不透明的口袋中，装有A ，B ，C ，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是___． 58．分式方程32x x 2--+22x-=1的解为________.59．在一次班级数学测试中，65分为及格分数线，全班的总平均分为66分，而所有成绩及格的学生的平均分为72分，所有成绩不及格的学生的平均分为58分，为了减少不及格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上了5分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均分变为75分，所有成绩不及格的学生的平均分变为59分，已知该班学生人数大于15人少于30人，该班共有_____位学生．60．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．C4．A5．B6．C7．C8．C9．A10．D11．D12．D13．D14．A15．C16．B17．A18．B19．A20．C21．C22．A23．C24．C25．D26．C27．C28．A29．B30．D二、填空题31．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=232．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD33．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根且使分式方程的分母为0的未知数的值详解：分式方程可化为：x-5=-m由分母可知分式方程的增根是3当x=3时3-5=-m解得m=2故答案为：234．4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5再根据中位数的定义进行求解即可得【详解】∵数据6x3351的众数是3和5∴x=5则这组数据为133556∴这组数据的中位数为=4故答案为：4【点睛】本题主35．【解析】【分析】先把化简为2再合并同类二次根式即可得解【详解】2-=故答案为【点睛】本题考查了二次根式的运算正确对二次根式进行化简是关键36．6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线∴BE=CE∵△EDC的周长为24∴ED+DC+EC=24①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC37．0【解析】【分析】先提公因式得ab（a+b）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数38．30【解析】【分析】由图象可以V甲＝9030＝3m/sV追＝90120-30＝1m/s故V乙＝1+3＝4m/s由此可求得乙走完全程所用的时间为：12004＝300s则可以求得此时乙与甲的距离即可求出39．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果从中找到积为大于-4小于2的结果数根据概率公式计算可得【详解】列表如下：-2-112-22-2-4-12-1-21-2-40．12﹣4【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示：连接ACBD交于点E连接DFFMMNDN∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°180°270°后形成的图形∠BAD=60°AB=241．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为∴的面积为∴∴故答案为8【点睛】本题考查反比42．2000【解析】【分析】设这种商品的进价是x元根据提价之后打八折售价为2240元列方程解答即可【详解】设这种商品的进价是x元由题意得(1+40)x×08＝2240解得：x＝2000故答案为：200043．【解析】【分析】根据一次函数时图象经过第二三四象限可得即可求解；【详解】经过第二三四象限∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数与对函数图象的影响是解题的关键44．【解析】【分析】过作轴过作轴于于是得到根据反比例函数的性质得到根据相似三角形的性质得到求得根据三角函数的定义即可得到结论【详解】过作轴过作轴于则∵顶点分别在反比例函数与的图象上∴∵∴∴∴∴∴∴故答案45．x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x再利用平方差公式分解即可详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y）故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式46．4【解析】【分析】【详解】解：连接AC交OB于D∵四边形OABC是菱形∴AC⊥OB∵点A在反比例函数y=的图象上∴△AOD的面积=×2=1∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=4故答案为：447．-6【解析】因为四边形OABC是菱形所以对角线互相垂直平分则点A和点C关于y轴对称点C在反比例函数上设点C的坐标为(x)则点A的坐标为(－x)点B的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等48．4【解析】【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率据此求解【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在04附近故摸到白球的频率估计值为04；故答案为：04【点睛】本题考查了利用频率49．7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出ab的值再根据三角形的任意两边之和大于第三边两边之差小于第三边求出c的取值范围再根据c是奇数求出c的值【详解】∵ab满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0∴a﹣750．【解析】【分析】分别求得a1a2a3…找出数字循环的规律进一步利用规律解决问题【详解】解：…由此可以看出三个数字一循环2014÷3=671…1则a1+a2+a3+…+a2014=671×（-1++251．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上∴AC=A′C∴△A′AC是等边三角形∴∠ACA52．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函53．【解析】试题分析根据菱形的性质得出CD=ADBC∥OA根据D（84）和反比例函数的图象经过点D求出k=32C点的纵坐标是2×4=8求出C的坐标即可得出答案∵四边形ABCO是菱形∴CD=ADBC∥OA54．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程通过解关于m的方程求得m的值即可【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=55．4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式其中1≤|a|＜10n为整数确定n的值时要看把原数变成a时小数点移动了多少位n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞10时n是正56．20【解析】【分析】根据图象横坐标的变化问题可解【详解】由图象可知x=4时点R 到达Px=9时点R到Q点则PN=4QP=5∴矩形MNPQ的面积是20【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题考查了动点到达57．【解析】【分析】【详解】试题分析：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）==故答案为考点：列表法与树状图法；概率公式58．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分59．28【解析】【分析】设加分前及格人数为x人不及格人数为y人原来不及格加分为及格的人数为n人所以72x+58y=66(x+y)75(x+n)+59(y-n)=(66+5)(x+y)用n分别表示xy得到60．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．【详解】如图所示，路径一：AB22211（）22；=++=路径二：AB22=++=（）．21110＜，∴蚂蚁爬行的最短路程为22．∵2210故选C．【点睛】本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．2．A【解析】试题分析：根据CD：AD=1:2，AC=35米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：BD=22AB AD-=8米，则BC=BD－CD=8－3=5米.考点：直角三角形的勾股定理3．C解析：C【解析】分析：连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC 的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案．详解：连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：22213-=，3∵sin∠COD=32 CDOC=，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=12B×AC=12×2×33S扇形AOC=2120243603ππ⨯⨯=，则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=423 3π-故选C．点睛：本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12 a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=2360n rπ，有一定的难度．4．A 解析：A【分析】【详解】∵正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m ＜0，∴二次函数y=mx 2+m 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴，综上所述，符合题意的只有A 选项，故选A.5．B解析：B【解析】【分析】【详解】过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，∴S △PDC =S △CQP ，S △ABP =S △QPB ，∵EF 为△PCB 的中位线，∴EF ∥BC ，EF=12BC ， ∴△PEF ∽△PBC ，且相似比为1：2，∴S △PEF ：S △PBC =1：4，S △PEF =3，∴S △PBC =S △CQP +S △QPB =S △PDC +S △ABP =12S S +=12．故选B ．6．C解析：C【解析】【分析】根据幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式对各选项逐一计算即可得答案.【详解】A.43123()a b a b =，故该选项计算错误，B.()232482b a b ab b --=-+，故该选项计算错误， C.32242⋅+⋅=a a a a a ，故该选项计算正确，D.22(5)1025a a a -=-+，故该选项计算错误，故选B.【点睛】本题考查幂的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项的运算法则及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键.7．C解析：C【解析】【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．【详解】先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2＝1cm ，高是3cm ．所以该几何体的侧面积为2π×1×3＝6π（cm 2）．故选C ．【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．8．C解析：C【解析】分析：延长GH 交AD 于点P ，先证△APH ≌△FGH 得AP=GF=1，GH=PH=12PG ，再利用勾股定理求得PG=2，从而得出答案．详解：如图，延长GH 交AD 于点P ，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD ∥GF ，∴∠GFH=∠PAH ，又∵H 是AF 的中点，∴AH=FH ，在△APH 和△FGH 中，∵PAH GFH AH FHAHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=12 PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=12PG=122，故选：C．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．9．A解析：A【解析】【分析】把点（3，1）代入直线y＝kx﹣2，得出k值，然后逐个点代入，找出满足条件的答案．【详解】把点（3，1）代入直线y＝kx﹣2，得1＝3k﹣2，解得k＝1，∴y＝x﹣2，把（2，0），（0，2），（1，3），（3，﹣1）代入y＝x﹣2中，只有（2，0）满足条件．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，熟悉一次函数图象上点的特点是解此题的关键．10．D解析：D【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．故选D．点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．11．D解析：D【解析】【分析】根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，即可得出结论．【详解】∵直线EF ∥GH ，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．D解析：D【解析】由题意得：1212k k y y x x ==-=- ，故选D. 13．D解析：D【解析】题解析：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACD =90°-∠DCB =90°-20°=70°，∴∠DBA =∠ACD =70°．故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14．A解析：A【解析】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D 的边长为x ，则22222(65)(5)10x +++=，x =（负值已舍），故选A15．C解析：C【解析】【分析】画出树状图即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝13；故选：C．【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.16．B解析：B【解析】【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y=0求出x值，从而找出点B的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝32，∴点B（32，0）．观察函数图象，发现：当x＜32时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜32．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．17．A【解析】【分析】作线段BC 的垂直平分线可得线段BC 的中点．【详解】作线段BC 的垂直平分线可得线段BC 的中点．由此可知：选项A 符合条件，故选A ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．18．B解析：B【解析】【分析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A 、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A 选项不合题意；B 、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B 选项与题意相符；C 、球的左视图与主视图都是圆，故C 选项不合题意；D 、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.19．A解析：A【解析】∵在Rt △ABC 中,∠C =90°，AB =4，AC =1，∴BC ，则cos B =BC AB =4，故选A 20．C解析：C【解析】【分析】由菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，AC=6，BD=4，即可得AC ⊥BD ，求得OA 与OB 的长，然后利用勾股定理，求得AB 的长，继而求得答案．∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，∴AC⊥BD，OA=12AC=3，OB=12BD=2，AB=BC=CD=AD，∴在Rt△AOB中，∴菱形的周长为故选C．21．C解析：C【解析】【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：3605=72°．故选C．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．22．A解析：A【解析】试题分析：A．﹣2＜﹣1，故正确；B．0＞﹣1，故本选项错误；C．1＞﹣1，故本选项错误；D．2＞﹣1，故本选项错误；故选A．考点：有理数大小比较．23．C解析：C1 2π(AA1+A1A2+A2A3+A3B)=12π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点。

2023年九年级中考数学一轮专题练习图形的平移、折叠和旋转(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转5一、单选题（本大题共12小题）1. （重庆市2022年）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（） A ． B ．C ．D ．2. （浙江省台州市2022年）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（）A ．(40,)a -B ．(40,)a -C ．(40,)a --D ．(,40)a - 3. （浙江省嘉兴市2022年）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿对角线BD 方向平移1cm 得到正方形A B C D ''''，形成一个“方胜”图案，则点D ，B ′之间的距离为（）A ．1cmB ．2cmC ．－1)cmD ．(2－1)cm4. （浙江省杭州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在1M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()21M-，()31,4M，4112,2M⎛⎫⎪⎝⎭四个点中，直线PB经过的点是（）A．1M B．2M C．3M D．4M5. （四川省德阳市2022年）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6. （四川省广安市2022年）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）A．2 B．C．1.5 D7. （黑龙江省省龙东地区2022年）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8. （北京市2022年）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．59. （福建省2022年）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C '''，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（）A ．96B ．C ．192D ． 10. （广东省2022年）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（）A ．()3,1B ．()1,1-C ．()1,3D ．()1,1- 11. （广西百色市2022年）如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2），将△ABC 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B 的对应点B ′的坐标为（）A ．（3，-3）B ．（3，3）C ．（－1，1）D ．（－1，3） 12. （浙江省金华市2022年）如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 为AD 中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A B A E '''，，与BC 相交于点G ，B A ''的延长线过点C ．若23BF GC =，则AD AB的值为（）A ．B ．C ．207D ．83二、填空题（本大题共6小题）13. （浙江省丽水市2022年）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是(，则A 点的坐标是．14. （浙江省台州市2022年）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为2cm．15. （山东省潍坊市2022年）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75︒，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B''的坐标为．16. （浙江省台州市2022年）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B 重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．17. （浙江省丽水市2022年）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是 cm ．18. （山东省潍坊市2022年）小莹按照如图所示的步骤折叠A 4纸，折完后，发现折痕AB ′与A 4纸的长边AB 恰好重合，那么A 4纸的长AB 与宽AD 的比值为．三、解答题（本大题共9小题）19. （浙江省丽水市2022年）如图，将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．20. （浙江省丽水市2022年）如图，在66⨯的方格纸中，点A ，B ，C 均在格点上，试按要求画出相应格点图形．ABCDEF(1)如图1，作一条线段，使它是AB 向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB 和AC 是它的两条边；(3)如图3，作一个与ABC 相似的三角形，相似比不等于1．21. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 22. （四川省广安市2022年）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）23. （黑龙江省2022年）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O的位置；（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C124. （黑龙江省齐齐哈尔市2022年）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE=；(3)当AB=m , BC=n时．GHCE=．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC （如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．25. （黑龙江省省龙东地区2022年）ABC和ADE都是等边三角形．(1)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA PB PC+=（或PA PC PB+=）成立；请证明．(2)将ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．26. （北京市2022年）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM = (2)O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P 为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）27. （河南省2022年）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM ，BM ．根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30°的角：．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．参考答案1. 【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，故B错误；C.是轴对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，故D错误．故选：C．2. 【答案】B【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，∵飞机E的坐标为(40，a)，∴飞机D的坐标为(-40，a)，故选：B．3. 【答案】D【分析】-′求解即可．先求出BD，再根据平移性质求得BB'=1cm，然后由BD BB【详解】解：由题意，BD=，由平移性质得BB'=1cm，∴点D，B′之间的距离为DB'=BD BB-′=（1）cm，故选：D．4. 【答案】B【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y+2中可解答．【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，2+2设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线PB 的解析式为：y =x +2，当y =0+2=0，x∴点M 1（-0）不在直线PB 上，当x y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y =+2，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上．故选：B ．5. 【答案】A【分析】根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可．轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合．【详解】A 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；故选：A ．6. 【答案】A【分析】取AB 中点G 点，根据菱形的性质可知E 点、G 点关于对角线AC 对称，即有PE =PG ，则当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，再证明四边形AGFD 是平行四边形，即可求得FG =AD ．【详解】解：取AB 中点G 点，连接PG ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，且边长为2，∴AD =DC =AB =BC =2，∵E 点、G 点分别为AD 、AB 的中点，∴根据菱形的性质可知点E 、点G 关于对角线AC 轴对称，∴PE =PG ，∴PE +PF =PG +PF ，即可知当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，且为线段FG ，如下图，G 、P 、F 三点共线，连接FG ，∵F 点是DC 中点，G 点为AB 中点，∴， 1122DF DC AB AG ===∵在菱形ABCD 中，，∴，∴四边形AGFD 是平行四边形，∴FG =AD =2，故PE +PF 的最小值为2，故选：A ．7. 【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴不符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；∵不是轴对称图形，是中心对称图形∴符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；故选C ．8. 【答案】D【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解∶如图，DC AB ∥DF AG ∥一共有5条对称轴．故选：D9. 【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC A ''的面积为sin602sin60AA AC AB AA ⋅'︒︒⋅'=，即可求解．【详解】解：依题意ACC A ''为平行四边形，∵90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，12AA '=．2AC AB ∴=∴平行四边形ACC A ''的面积=sin602sin60AA AC AB AA ''⋅︒=︒⋅2812=⨯⨯=故选B10. 【答案】A【分析】把点()1,1的横坐标加2，纵坐标不变，得到()3,1，就是平移后的对应点的坐标．【详解】解：点()1,1向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为()3,1．故选A ．11. 【答案】D【分析】根据图形的平移性质求解．【详解】解：根据图形平移的性质，B ′（1-2，2+1），即B ′（-1，3）；故选：D ．12. 【答案】A【分析】令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，易证CGA CFB ''△∽△，得出CG A G CF B F'='，进而得出y =3x ，则AE =4x ，AD =8x ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，根据勾股定理得出EH =，最后求出AD AB的值．【详解】解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，又四边形ABCD 为矩形，∴∠A =∠B =∠D =∠BCD =90°，AD =BC ，∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，∴AB =EH ，ED =CH ， ∵23BF GC =， ∴令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，则CF =3x +y ，2B F x '=，，由题意，得==90CA G CB F ''︒∠∠，又GCA '∠为公共角，∴CGA CFB ''△∽△， ∴CG A GCF B F '='，则53232x yx x y x-=+，整理，得()()30x y x y +-=，解得x =-y （舍去），y =3x ，∴AD =BC =5x +y =8x ，EG =3x ，HG =x ，在Rt △EGH 中EH 2+HG 2=EG 2，则EH 2+x 2=(3x )2，解得EH=， EH=-(舍)，∴AB=，∴ADAB ==．故选：A ．13.【答案】3A【分析】 52x y A G -'=如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，证明,BOE AON 可得,,A O B 三点共线，可得,A B 关于O 对称，从而可得答案．【详解】解：如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，∴ 三个正六边形，O 为原点，,120,BM MO OH AH BMO OHA,BMO OHA ≌,OB OA 11209030,18012030,2MOE BMO MOB60,90,BOE BEO同理：120303060,906030,AON OAN,BOE AON,,A O B ∴三点共线，,A B ∴关于O 对称，3,3.A故答案为：3.A14. 【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A ′B ′C ′=S △ABC ，BC =B ′C ′，BC ∥B ′C ′，∴四边形B ′C ′CB 为平行四边形，∵BB ′⊥BC ，∴四边形B ′C ′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A ′B ′C ′+S 矩形B ′C ′CB -S △ABC=S 矩形B ′C ′CB=4×2=8(cm 2)．故答案为：8．15.【答案】(1)【分析】连接OB ，OB '由题意可得∠BOB '=75°，可得出∠COB '=30°，可求出B '的坐标，即可得出点B ''的坐标．【详解】解：如图：连接OB ，OB '，作B M '⊥y 轴∵ABCO 是正方形，OA =2∴∠COB =45°，OB=∵绕原点O 逆时针旋转75︒∴∠BOB '=75°∴∠COB '=30°∵=OB =∴，∴∵沿y 轴方向向上平移1个单位长度∴故答案为：16. 【答案】6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF的长；【详解】解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3， OB 'MB 'MO =B '(B ''(1)(1)在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB， ∴EF =3当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC sin60°∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG =6-3故答案为：36-317. 【答案】3【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．18. 1【分析】判定△AB ′D ′是等腰直角三角形，即可得出AB ′=AD ，再根据AB ′= AB ，再计算即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠B =∠DAB =90°，由操作一可知：∠DAB ′=∠D ′AB ′=45°，∠AD ′B ′=∠D =90°，AD =AD ′，∴△AB ′D ′是等腰直角三角形，∴AD =AD ′= B ′D ′，由勾股定理得AB ′=，又由操作二可知：AB ′=AB ，∴=AB ，∴AB AD=， ∴A 4纸的长AB 与宽AD：1．故答案为：：1．19. 【答案】(1)证明见解析 (2)163cm 【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =x ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CDPDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴PDE CDF △≌△（ASA ）；(2)如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴3GF =,设AE =x ，∴EP =x ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+，解得，76x =， ∴BC =BG +GC = 77163663++=cm ． 20. 【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】（1）分别确定A ，B 平移后的对应点C ，D ，从而可得答案；（2）确定线段AB ，AC 关于直线BC 对称的线段即可；（3）分别计算ABC 的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定DEF 的三边长度，再画出DEF 即可．(1)解：如图，线段CD 即为所求作的线段，(2)如图，四边形ABDC 是所求作的轴对称图形，(3)如图，如图，DEF 即为所求作的三角形，由勾股定理可得：221310,2,ABAC 而2,BC = 同理：2226210,22,DF DE 而4,EF 1,2AB AC BC DF DE EF .ABC DFE ∽21. 【答案】(1)见解析；()15,3A -(2)见解析；()22,4A(3)点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．(1)解：如图所示△A 1B 1C 1即为所求，()15,3A -；(2)如图所示△A 2B 2C 2即为所求，；(3)∵ ∴点旋转到点所经过的路径长为． 22. 【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画出图形即可 ()22,4A 115AC 1A 2A 90π55π1802⨯=【详解】解：如下图所示：23. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；【分析】（1）连接对应点B 、F ，对应点C 、E ，其交点即为旋转中心的位置；（2）利用网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可；（3）根据网格结构的特点作出即可．【详解】解：（1）如图所示，连接BF ，CE 交于点O ，点O 即为所求．（2）如图所示，△A 1B 1C 1为所求；（3）如图所示，点M 即为所求．理由：连接11,B M C M ，根据题意得：111111A B AC B M C M ====∴四边形111A B MC 菱形，∴A 1M 平分∠B 1A 1C 1．24. 【答案】(1)12GH CE =，证明见解析 (2)13GH CE = (3)2GH m CE n =(4)【分析】（1）先证明△ABF ≌△CBE ，得AF =CE ，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可；（2）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，得到AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可；（3）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，用含m 、n 的代数式表达出AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可；（4）过M 作MH ⊥AB 于H ，根据折叠性质得∠C =∠MPN ，根据角平分线证明出∠C =∠PMH ，设CM =PM =x ，HM =y ，根据三角函数定义找到x 、y 之间的关系，再利用△AHM ∽△ABC ，得到CM BC H AM A =，代入解方程即可． (1) 解：12GH CE =，理由如下： ∵AB =BC ，四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC =∠CBE =90°，∵E 、F 为BC ，AB 中点，∴BE =BF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF =CE ，∵H 为DF 中点，G 为AD 中点，∴GH =12AF ， ∴12GH CE =． (2) 解：13GH CE =，连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =1，BE =12BC =32， ∴，由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =2:3，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =， ∴．故答案为：． (3)解：，连接AF ，如图所示，23AB BF BC BE ==12AF 13GH CE =132GH m CE n=由题意知，BF ==，BE ==， ∴，由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =m ：n ，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =， ∴．故答案为：． (4)解：过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示，由折叠知，CM =PM ，∠C =∠MPN ，12AB 2m 12BC 2n AB BF m BC BE n==12AF 2GH m CE n =2mn∵PM 平分∠APN ，∴∠APM =∠MPN ，∴∠C =∠APM ，∵AB =2，BC =3，∴AC设CM =PM =x ，HM =y ，由知，，即，∵HM ∥BC ，∴△AHM ∽△ABC ，∴，即，， ∴，解得：x，故答案为：． 25. 【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析(3)图③结论：PA PB PC +=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，sin sin C APM ∠=∠AB HM AC PM =y x =y =C M BC H AM A =3y =3y =3=∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形， ∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AC =AB ，CP =BF ，∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF ∠=∠，AF AP =， ∴CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠， ∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC BAE DAE BAE ∠+∠=∠+∠，∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP ∠=∠，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF ∠+∠=∠+∠，∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．26. 【答案】(1)见解析(2)42t -【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；②延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ≅，得到12TA TO OA ==，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出12NT ON OT OM =-==；（2）连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，则()()max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS -=+--=．(1)解：①点Q 如下图所示．∵点(1,1)M ，∴点(2,0)P -向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'， ∴()'1,1P -，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，()2,2N ，∴点Q 的横坐标为：()2215⨯--=，纵坐标为：2213⨯-=，∴点()5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，∵ //AQ OP ，∴AQT OPT ∠=∠，在ΔAQT 与ΔOPT ∠中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ΔΔAQT OPT AAS ≅， ∴12TA TO OA ==， ∵ ()3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，∴OA ==OMON =∴12TO OA ==∴NT ON OT =-= ∴12NT OM =； (2)解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，∵(,)M a b ，点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，∴'1PP OM ==，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，∴'NP NQ =，又∵OP OS =，∴OM ∥ST ，∴NM 为Δ'P QT 的中位线，∴//NM QT ，1=2NM QT ， ∵1NM OM ON t =-=-，∴222TQ NM t ==-，∴()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS -<<+，结合题意，max PQ PS QS =+，min PQ PS QS =-，∴()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -．27. 【答案】(1)BME ∠或ABP ∠或PBM ∠或MBC ∠(2)①15，15；②MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析 (3)4011AP =cm 或24cm 13【分析】（1）根据折叠的性质，得12BE BM =，结合矩形的性质得30BME ∠=︒，进而可得30ABP PBM MBC ∠=∠=∠=︒；（2）根据折叠的性质，可证()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆，即可求解；（3）由（2）可得QM QC =，分两种情况：当点Q 在点F 的下方时，当点Q 在点F 的上方时，设AP PM x ==，分别表示出PD ，DQ ，PQ ，由勾股定理即可求解．(1) 解：12AE BE AB AB BM ===， 12BE BM =∴ 90BEM ∠=︒∵30BME ∠=︒∴60MBE ∠=︒∴ABP PBM ∠=∠∵30ABP PBM MBC ∠=∠=∠=︒∴(2)∵四边形ABCD 是正方形∴AB =BC ，∠A =∠ABC =∠C =90°由折叠性质得：AB =BM ，∠PMB =∠BMQ =∠A =90°∴BM =BC①BM BC BQ BQ ==∵，∴()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆MBQ CBQ ∠=∠∴30MBC15MBQ CBQ ∠=∠=︒∴②BM BC BQ BQ ==∵，()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆∴MBQ CBQ ∠=∠∴(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，1cm 4cm 8cm FQ DF FC AB ====∵，，8413(cm)QC CD DF FQ =--=--=∴，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm) 由（2）可知，QM QC =设8AP PM x PD x ===-，，222PD DQ PQ +=∴，即()()222853x x -+=+ 解得：4011x =∴40cm 11AP =；当当点Q 在点F 的上方时，如图，1cm 4cm 8cm FQ DF FC AB ====∵，， 5QC =∴cm ，DQ =3cm ，由（2）可知，QM QC =设8AP PM x PD x ===-，，222PD DQ PQ +=∴，即()()222835x x -+=+ 解得：2413x =∴24cm 13AP =．。

中考数学压轴题旋转问题精选解析

中考数学压轴题旋转问题精选解析(一)例1如图，已知A、B是线段MN上的两点，4=MN，1=MA，1>MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？解析：例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．CA B NM（第1题）解析：（1）①当四边形EDBC 是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，根据三角形的外角性质，得α=∠EDB -∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC 是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC 是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC 是平行四边形．在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD 中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=B C ．又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形E DBC 是菱形．例3（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13．（2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．。

中考数学《旋转》专题练习含答案解析

旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB ﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=45度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE 绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。

【专项】中考数学复习几何旋转解答题专题练习(含解析)

中考数学复习几何旋转解答题专题练习1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合，点F是边AC中点．（1）求证：△CFD≌△ABC；（2）连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A 的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．3．如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD 与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为；∠AOB度数为；（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．（1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；（2）如图②，当α＝60°时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明．5．如图，在△ABC中，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．6．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．8．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．9．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CC'A的度数．10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，且B′，C′两点分别与B，C两点对应，延长BC与B′C′边交于点E，求∠CEC′的度数．11．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上．（1）若∠DAC＝50°，则∠ABE＝度；（2）求证：BE⊥BC；（3）若点D是BC的中点，AC＝2，求BE的值．12．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE 绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC 于点M．（1）求证：BE＝FM；（2）求BE的长度．13．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，CQ，求证：AP＝CQ．14．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．15．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC，DE相交于点P．（1）求证：△ADB是等边三角形；（2）直接写出∠APD的度数．16．已知：如图1，∠AOB＝30°，∠BOC＝∠AOC．（1）求∠AOC的度数；（2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动，设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，试求t的值；（3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON 平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）17．将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45°得图2，A1C与AB交于点P1，A1B1与BC 交于点Q，求证：CP1＝CQ；（2）在图2中，若AP1＝2，求CQ的长．18．如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．19．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．20．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB1，记旋转角为α，连接BB1，过点D 作DE垂直于直线BB1，垂足为点E，连接DB1，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB1的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，将△ADC绕点A按顺时针旋转到△AEF（A，B，E在同一直线上），连接CF，求CF的大小．22．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的长；（2）当EC＝时，求∠AEB的度数．23．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度数．24．如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE、CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，连接DE、PM、PN、MN．（1）观察猜想：图①中△PMN是三角形（填“等腰”或“等边”）；（2）探究证明：如图②，△ADE绕点A按逆时针方向旋转，其他条件不变，则△PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．25．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：CG＝BH．26．如图，等边三角形ABC的外部有一点P，且∠BP A＝30°，将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，连接BQ．（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）若AP＝4，BP＝3，求P，C两点之间的距离．27．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．28．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为．29．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．30．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．31．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝36°，∠ABC ＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0＜α＜180°），在旋转过程中：（1）如图2，当∠α＝时，DE∥BC，当∠α＝时，DE⊥BC；（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①此时∠α的度数范围是；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由．③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．32．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE ＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．操作发现：（1）在旋转过程中，当α为度时，AD∥BC，当α为度时，AD⊥BC；（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；拓展应用：当0°＜α＜45°时，连接BD，利用图3探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小变化情况，并说明理由．33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．34．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．参考答案1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合，点F是边AC中点．（1）求证：△CFD≌△ABC；（2）连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，∴CF＝AC，∵∠BCA＝30°，∴BA＝AC，∠A＝60°，∴AB＝CF，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠DCE，在△CFD和△ABC中，，∴△CFD≌△ABC（SAS）；（2）延长BF交CE于点G，由（1）得，FC＝BF，∴∠BCF＝∠FBC＝30°，∵∠BCE＝60°，∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，∵∠DEC＝∠ABC＝90°∴∠BGE＝∠DEC，∴BF∥ED，∵BF＝AC＝AB，AB＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A 的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，∴∠BAF＝∠BF A＝（180°﹣50°）＝65°；（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，∴AF＝＝＝4．3．如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD 与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为AE＝BD；∠AOB度数为60°；（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣（∠BAO+∠CBO+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AOB＝60°，故答案为：AE＝BD，60°；（2）成立．证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，又∵∠ANO＝∠BNC，∴180°﹣∠CAE﹣∠ANO＝180°﹣∠CBD﹣∠BNC，∴∠AOB＝∠ACB＝60°．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．（1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；（2）如图②，当α＝60°时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∴∠CAD＝∠CDA＝＝75°，又∵∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）∠FBC＝30°时，四边形BFDE为平行四边形，∴∠FBC＝∠ACB＝30°，∴∠ABF＝∠A＝60°，∴BF＝CF＝AF，∴△ABF是等边三角形，∴BF＝AB，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴DE＝AB，△BCE是等边三角形，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠BEC＝60°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBC＝30°，∴∠DEB+∠EBF＝180°，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．5．如图，在△ABC中，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．【解答】解：∵由旋转的性质可知AD＝AB＝，∴∠B＝∠BDA＝45°．∴∠DAB＝90°．∴DB＝＝2．∴CD＝BC﹣DB＝3﹣2＝1，故DC的长为1．6．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBB'＝∠AB'B＝75°，由旋转的性质得：CB＝CB'，∴∠CB'B＝∠CBB'＝75°，∴∠BCB'＝180°﹣75°﹣75°＝30°，即旋转角α为30°；作B'E⊥BC于E，如图所示：则AB＝B'E＝CB'＝2．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．【解答】解：由旋转可知：∠EBA＝∠CBA＝32°，AB＝EB，∴∠EAB＝∠AEB＝（180°﹣32°）＝74°．8．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．9．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CC'A的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠BAC＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，∴AC′＝AC，∴∠CC′A＝∠ACC′＝70°，10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，且B′，C′两点分别与B，C两点对应，延长BC与B′C′边交于点E，求∠CEC′的度数．【解答】解：设BE与AB′交于F，∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，∴∠B′＝∠B，∠BAB′＝30°，∵∠AFB＝∠B′FE，∴∠BEB′＝∠BAB′＝30°，∴∠CEC′＝180°﹣∠BEB′＝150°．11．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上．（1）若∠DAC＝50°，则∠ABE＝65度；（2）求证：BE⊥BC；（3）若点D是BC的中点，AC＝2，求BE的值．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AB＝AE，∠DAE＝∠CAB，∴∠AEB＝∠ABE，∠EAB＝∠CAD＝50°，∴∠ABE＝＝65°，故答案为：65；（2）证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝x，∴∠DAC＝180°﹣2x，由旋转的性质得∠EAB＝∠DAC＝180°﹣2x，AE＝AB，∴∠EBA＝，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣x，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝x+（90°﹣x）＝90°，即BE⊥BC；（3）由旋转的性质得AD＝AC＝2，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴BD＝DC＝AD＝2，∴BC＝4，∵DE＝BC＝4，∴BE＝＝2．12．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE 绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC 于点M．（1）求证：BE＝FM；（2）求BE的长度．【解答】（1）证明：∵将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，∴AE＝AF，∠EAF＝∠CAB＝45°，∴∠F AC＝∠EAB，在△ABE和△AMF中，∴△ABE≌△AMF（AAS），∴BE＝FM；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝4，∠ACD＝45°，∵将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，∴AM＝AB＝4，∴CM＝4﹣4，∵FM⊥AC，∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠CFM，∴FM＝CM＝4﹣4，∴BE＝4﹣4．13．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，CQ，求证：AP＝CQ．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°，∴∠PBQ＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBQ，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP＝CQ．14．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．【解答】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，∴△BFC≌△BEA，∴BE＝BF＝1，∠EBF＝∠ABC＝90°，∠AEB＝∠BFC，∵，BC2＝22＝4，∴BF2+FC2＝BC2，∴∠BFC＝90°＝∠AEB，∴∠AEB+∠EBF＝180°，∴AE∥BF；（2）解：AE2+AF2＝2BF2，理由如下：∵AC是正方形ABCD的角平分线，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∴∠EAF＝45°+45°＝90°，∴AE2+AF2＝EF2，∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，∴BE＝BF，∠EBF＝90°，∴2BF2＝EF2，∴AE2+AF2＝2BF2．15．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC，DE相交于点P．（1）求证：△ADB是等边三角形；（2）直接写出∠APD的度数60°．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∴△ADB是等边三角形；（2）如图：∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD＝∠BDE+∠E，由（1）知△ADB是等边三角形，∴∠BDE+∠E＝∠ABD＝60°，∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴∠BDE＝∠BAP，∴∠BAP+∠E＝60°，∴∠APD＝∠BAP+∠E＝60°；故答案为：60°．16．已知：如图1，∠AOB＝30°，∠BOC＝∠AOC．（1）求∠AOC的度数；（2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动，设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，试求t的值；（3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON 平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）【解答】解：（1）∠BOC＝∠AOC，∠BOC+∠AOB＝∠AOC，∴∠AOB＝∠AOC，∵∠AOB＝30°，∴∠AOC＝120°；（2）由（1）知，∠AOC＝120°，∠BOC＝90°，①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，由OP，OQ的运动可知，∠AOP＝10°t，∠BOQ＝6°t，OP，OQ相遇前，如图2（1），∠AOQ＝∠AOP+∠POQ＝∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°＝30°+6°t，解得t＝5，OP，OQ相遇后，如图2（2），∠AOP＝∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t＝30°+6°t+10°，解得t＝10；②OP顺时针旋转时，∠COP＝10°t﹣120°，∠BOQ＝6°t，OP，OQ相遇前，如图（3），∠BOC＝∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t+10°，解得t＝12.5，OP，OQ相遇后，如图（4），∠BOC＝∠COP+∠BOQ﹣∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t ﹣10°，解得t＝13.75，综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ＝10°．（3）由（1）知∠AOC＝120°，根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，如图3（1），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝∠AOC＝60°；②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，如图3（2），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM﹣∠PON＝∠AOP﹣∠COP＝∠AOC＝60°；③∠CON＝180°前，如图3（3），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝（360°﹣∠AOC）＝120°；④OP与OQ重合前，如图3（4），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠PON﹣∠POM＝∠COP+∠AOP＝∠AOC＝60°；综上，∠MON的度数为60°或120°．17．将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45°得图2，A1C与AB交于点P1，A1B1与BC 交于点Q，求证：CP1＝CQ；（2）在图2中，若AP1＝2，求CQ的长．【解答】（1）证明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；又B1C＝BC，∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），∴CQ＝CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A＝30°，∴P1D＝AP1；∵∠P1CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP1＝P1D＝AP1；又AP1＝2，CQ＝CP1，∴CQ＝．18．如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．【解答】证明：∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，∴AO＝CO，∴∠A＝∠ACO，∵AB∥DE，∴∠A+∠E＝180°，又∵∠ACO+∠BCO＝180°，∴∠BCO＝∠E．19．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．【解答】解：（1）由图①知，∠ADB＝∠DBC＝37°，如图②，连接BD，则BD＝DG，∴∠DGB＝∠DBG＝37°，∴∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，∴旋转角为：53°﹣37°＝16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：过点G作GK∥BM，交DE于K，∵四边形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END（ASA），∴EN＝DK，∵GK∥ML，KL∥GM，∴四边形KLMG是平行四边形，∴GM＝KL，∴DL＝EN+GM．20．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB1，记旋转角为α，连接BB1，过点D 作DE垂直于直线BB1，垂足为点E，连接DB1，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB1的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝α＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形；连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴∠BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴＝＝，故答案为：等腰直角三角形，；（3）（1）中的两个结论仍然成立．理由如下：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣﹣（90°﹣）＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形；∴＝，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴＝＝，21．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，将△ADC绕点A按顺时针旋转到△AEF（A，B，E在同一直线上），连接CF，求CF的大小．【解答】解：∵AD＝8，AB＝6，∠D＝90°，∴AC＝＝＝10，∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，∴∠EAF＝∠DAC，AF＝AC＝10，∴∠EAF+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，∴∠F AC＝∠BAD，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠F AC＝90°，∴△F AC是等腰直角三角形，∴CF＝AC＝10．22．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的长；（2）当EC＝时，求∠AEB的度数．【解答】解：（1）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴△ABE≌△CBF，∴BE＝BF＝，AE＝CF＝1，∠EBF＝90°，∠AEB＝∠BFC，∴△BEF为等腰直角三角形，∴EF＝BE＝2；（2）在△CEF中，CE＝，CF＝1，EF＝2，∵CF2+EF2＝12+22＝5，CE2＝5，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．23．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，∴∠ABC＝∠DBE＝40°，∴∠ABD＝∠CBE＝100°，又∵BA＝BC，∴AB＝BC＝BD＝BE，在△ABD与△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE，∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°．∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝140°，∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝140°，∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝40°．24．如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE、CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，连接DE、PM、PN、MN．（1）观察猜想：图①中△PMN是等边三角形（填“等腰”或“等边”）；（2）探究证明：如图②，△ADE绕点A按逆时针方向旋转，其他条件不变，则△PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝CE，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．25．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：CG＝BH．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠BCH，∵∠D＝90°，BH⊥AC，∴∠D＝∠BHC，由旋转得，CE＝CB，CD＝CG，在△EDC和△CHB中，，∴△EDC≌△CHB（AAS），∴BH＝CD＝CG．26．如图，等边三角形ABC的外部有一点P，且∠BP A＝30°，将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，连接BQ．（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）若AP＝4，BP＝3，求P，C两点之间的距离．【解答】解：（1）设CQ与AP交于D点，AB与CQ交于E点，∵将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，∴AP＝CQ，∠ADC＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAP＝∠BCQ，在△ABP与△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ（SAS），（2）连接PQ，PC，由△ABP≌△CBQ得：PB＝BQ，∠PBA＝∠CBQ，∠BP A＝∠BQC＝30°，QC＝AP＝4，∴∠QBP＝∠ABC＝60°，∴△PBQ为等边三角形，∴∠PQB＝60°，PQ＝BQ＝3，∴∠PQC＝∠PQB+∠BQC＝60°+30°＝90°，∴PC2＝PQ2+QC2，∴PC＝＝＝5．27．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴BD＝＝．∴BD的长为．28．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为2．【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，29．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵△A1BC1是由△ABC绕顶点B逆时针旋转而得，∴∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，AB＝A1B，在△BCF和△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D（ASA）；（2）解：四边形A1BCE是菱形．∵△ABC是等腰三角形，∠C＝50°，∴∠A＝∠C1＝∠C＝50°，又∵△BCF≌△BA1D，∴∠CBF＝∠A1BD＝50°，∴∠C1＝∠CBF，∠A＝∠A1BD，∴A1E∥BC，A1B∥EC，即四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．30．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．【解答】（1）解：P A＝DC，理由如下：如图1中，∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，∴PB＝PD，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，∴△ABC，△PBD是等边三角形，∴∠ABC＝∠PBD＝60°，∴∠PBA＝∠DBC，在△PBA和△DBC中，，∴△PBA≌△DBC（SAS），∴P A＝DC；（2）解：CD＝P A；理由如下：如图2中，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，∴BC＝2BA•cos30°＝BA，BD＝2BP•cos30°＝BP，∴，∵∠ABC＝∠PBD＝30°，∴∠ABP＝∠CBD，∴△CBD∽△ABP，∴＝，∴CD＝P A．31．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝36°，∠ABC ＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0＜α＜180°），在旋转过程中：（1）如图2，当∠α＝4°时，DE∥BC，当∠α＝94°时，DE⊥BC；（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①此时∠α的度数范围是49°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由．③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．【解答】解：（1）当DE∥BC时，如图（1），∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B＝40°，∵∠FDE＝36°，∴∠α＝∠EDA﹣∠FDE＝40°﹣36°＝4°，∴∠α＝4°时，DE∥BC．当DE⊥BC时，如图（2），∵DE⊥BC，∴∠BGD＝90°，∵∠B＝40°，∠GDA是△GDB的一个外角，∴∠GDA＝∠B+∠BGD＝40°+90°＝130°，∵∠EDF＝36°，∴∠α＝∠GDA﹣∠FDE＝130°﹣36°＝94°，∴∠α＝94°时，DE⊥BC．故答案为：4°；94°．（2）①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝40°+45°＝85°，当ED经过点C时，∠α＝∠ADC﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，当FD经过点C时，∠α＝∠ADC＝85°，∴顶点C在△DEF内部时，49°＜α＜85°．∠1与∠2度数的和不发生变化，理由如下：延长DC至点H，∵∠NCH、∠MCH分别是△NCD和△MCD的外角，∴∠NCH＝∠2+∠NDC，∠MCH＝∠1+∠MDC，∴∠NCH+∠MCH＝∠2+∠1+∠NDC+∠MDC，∴∠NCM＝∠1+∠2+∠NDM，∵∠NCM＝∠ACB＝90°，∠NDM＝∠FDE＝36°，∴90°＝∠1+∠2+36°，∴∠1+∠2＝54°．③∵∠ABC＝40°，∠ACB﹣90°，∴∠A＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵∠ADF是△MBD的外角∴∠α＝∠ABC+∠1＝40°+∠1，∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝54°，∴54°﹣∠1≥2∠1，∴∠1≤18°，∴α≤58°，又∵49°＜α＜85°，∴49°＜α≤58°．32．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE ＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．操作发现：（1）在旋转过程中，当α为15度时，AD∥BC，当α为105度时，AD⊥BC；（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；拓展应用：当0°＜α＜45°时，连接BD，利用图3探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小变化情况，并说明理由．【解答】解：（1）如图（1），记DE与AC的交点为点F，DE与BC的交点为点G，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠CAE＝15°，即α＝15°，如图（2），记AD与BC的交点为F，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠DAC＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠CAE＝∠DAC+∠EAD＝60°+45°＝105°，即α＝105°，故答案为：15，105．（2）①当AD∥BC时，如图1所示，由（1）得，α＝15°；②当DE∥BC时，如图2所示，由（1）得，AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，∵∠ADE＝90°，∴DE∥BC，∴α＝105°；③当DE∥AB时，如图3所示，α＝45°；④当DE∥AC时，如图4所示，α＝∠EAD+∠BAC＝45°+90°＝135°；⑤∠EAC+∠C＝180°，∵∠C＝30°，∴∠EAC＝150°，即α＝150°；综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°.拓展应用：当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°，保持不变，理由如下：如图6，设BD分别交AC、AE于点M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°，∵∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC，∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，∵∠C＝30°，∠E＝45°，∴∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°．33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°．（2）四边形CDEF是菱形，理由如下：如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE，∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，∴∠DBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC，∵BD＝BD，BE＝BC，∴△DBE≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠BCD＝90°，∴CD＝BD，ED＝BD，∵F为BD的中点，∴CF＝BD，EF＝BD，∴CD＝ED＝CF＝EF，∴四边形CDEF是菱形．34．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠ACO＝∠BCO+∠ACO，即∠DCO＝∠ACB，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（2）AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：由（1）知∠ODC＝60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴AD⊥OD；（3）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．。

【精选试卷】青岛中考数学专项练习复习题(答案解析) (2)

一、选择题1．如图，直线l 1∥l 2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l 1上，两直角边分别与直线l 1、l 2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（）A ．25°B ．75°C ．65°D ．55°2．某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（）A ．15.5，15.5B ．15.5，15C ．15，15.5D ．15，153．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，若AC ＝8，BD ＝6，则菱形的周长为（）A ．40B ．30C ．28D ．204．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．5．已知直线//m n ，将一块含30角的直角三角板ABC 按如图方式放置（30ABC ∠=︒），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若140∠=︒，则2∠的度数为（）A．10︒B．20︒C．30D．40︒6．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )A．10°B．15°C．18°D．30°7．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（）A．甲B．乙C．丙D．一样8．某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（）A．8%B．9%C．10%D．11%9．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 10．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1C．1，2D．1，2，311．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1B．23C．22D512．如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°, BD平分∠ABC ,P点是BD的中点,若AD=6, 则CP的长为( )A ．3.5B ．3C ．4D ．4.513．分式方程()()31112x x x x -=--+的解为（）A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．无解14．如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（）A ．B ．C ．D ．15．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（） A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁16．菱形不具备的性质是（）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形 17．如图抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＜0；③2a +b ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．418．如图，在热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，热气球C 的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（）A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(31)+米19．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点的坐标为（）A ．(,)a b --B ．(,1)a b ---C ．(,1)a b --+D ．(,2)a b --+20．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°21．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．22．预计到2025年，中国5G 用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（） A ．94.610⨯B ．74610⨯C ．84.610⨯D ．90.4610⨯23．若直线1l 经过点()0,4，直线2l 经过点()3,2，且1l 与2l 关于x 轴对称，则1l 与2l 的交点坐标为（） A ．()6,0- B ．()6,0 C ．()2,0- D ．()2,024．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h 与时间t 的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（）A ．B ．C ．D ．25．方程21(2)304m x mx ---+=有两个实数根，则m 的取值范围（） A ．52m >B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥D ．3m ≤且2m ≠ 26．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm ）是：180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186cm 的队员换下场上身高为192cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（） A ．平均数变小，方差变小 B ．平均数变小，方差变大 C ．平均数变大，方差变小D ．平均数变大，方差变大27．如图，AB ∥CD ，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD 的度数等于（）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40° 28．估6√3−√27的值应在（）A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间29．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A ．B ．C ．D ．30．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是（）A．B．C．D．二、填空题31．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数kyx 在第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为_____．32．如图，反比例函数y=kx的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．33．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 .34．已知（a-4）（a-2）=3，则（a-4）2+（a-2）2的值为__________．35．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用2,a a次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物乙车共运270吨，现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为___________ 元.(按每吨运费20元计算)36．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是． 37．正六边形的边长为8cm ，则它的面积为____cm 2． 38．计算：82-=_______________． 39．使分式x 2−1x+1的值为0，这时x=_____．40．已知扇形AOB 的半径为4cm ，圆心角∠AOB 的度数为90°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为________cm41．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，则AF 的最小值为_______42．对于有理数a 、b ，定义一种新运算，规定a ☆b ＝a 2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝_____． 43．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在水平地面L 的影长BC 为5米，落在斜坡上的部分影长CD 为4米．测得斜CD 的坡度i ＝1：√3．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC ＝80°，则旗杆AB 的高度_____．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2，√3＝1.732）44．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22ky x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．45．已知62x =，那么222x x -的值是_____．46．如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为．47．如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF －S △BEF =_________．48．如果a 是不为1的有理数,我们把11a-称为a 的差倒数如：2的差倒数是1112=--,-1的差倒数是111(1)2=--，已知14a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推,则 2019a =___________ ．49．如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO ，若∠A=30°，则劣弧BC 的长为 cm ．50．一列数123,,,a a a ……n a ，其中1231211111,,,,111n n a a a a a a a -=-===---，则1232014a a a a ++++=__________.51．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.52．中国的陆地面积约为9 600 000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为．53．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y =kx的图象上，则k 的值为________.54．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36387201940091997040008“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）． 55．若一个数的平方等于5，则这个数等于_____．56．如图所示，过正五边形ABCDE 的顶点B 作一条射线与其内角EAB ∠的角平分线相交于点P ，且60ABP ∠=︒，则APB ∠=_____度．57．计算：21(1)211x x x x ÷-+++＝________．58．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______． 59．分式方程32x x 2--+22x-=1的解为________. 60．如图，点A 在双曲线y=4x上，点B 在双曲线y=kx （k≠0）上，AB ∥x 轴，过点A 作AD⊥x 轴于D ．连接OB ，与AD 相交于点C ，若AC=2CD ，则k 的值为____．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．D4．D5．B6．B7．C8．C9．D10．A11．C12．B13．D14．C15．D16．B17．B18．D19．D20．C21．B22．C23．D24．D25．B26．A27．D28．C29．B30．A二、填空题31．【解析】【分析】设D（x2）则E（x+21）由反比例函数经过点DE列出关于x的方程求得x的值即可得出答案【详解】解：设D（x2）则E（x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D点E∴2x＝x+232．-3【解析】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积在得到矩形PDOE面积应用反比例函数比例系数k的意义即可详解：过点P做PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD又∵BD⊥x轴∴33．3或32【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时有两种情况：①当点B′落在矩形内部时如答图1所示连结AC先利用勾股定理计算出AC=5根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°而当△CEB′为直角三角34．10【解析】【分析】试题分析：把（a﹣4）和（a﹣2）看成一个整体利用完全平方公式求解【详解】（a﹣4）2+（a﹣2）2=（a﹣4）2+（a﹣2）2-2（a﹣4）（a﹣2）+2（a﹣4）（a﹣2）=35．【解析】【分析】根据甲乙两车单独运这批货物分别用2a次a次能运完甲的效率应该为乙的效率应该为那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据若甲丙两车合运相同次数运完这批货物时甲车共运了180吨；若乙丙两车合36．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角37．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCOD过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角形∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD38．【解析】【分析】先把化简为2再合并同类二次根式即可得解【详解】2-=故答案为【点睛】本题考查了二次根式的运算正确对二次根式进行化简是关键39．1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程x2-1x+1＝0然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0解之得x=1经检验可知x=1是分式方程的解答案为1考点：分式方程的解法40．1【解析】试题分析：根据圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式可设圆锥的底面圆的半径为rcm根据题意得2πr=解得r=1故答案为：1点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面41．【解析】试题分析：如图设AF的中点为D那么DA=DE=DF所以AF的最小值取决于DE 的最小值如图当DE⊥BC时DE最小设DA=DE=m此时DB=m由AB=DA+DB得m+m=10解得m=此时AF=242．1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1故答案为1点睛：此题考查有理数的混合运算掌握规定的运算方法是解决问题的关键43．2m【解析】【分析】延长AD交BC的延长线于点E作DF⊥CE于点F解直角三角形求出EFCF即可解决问题【详解】延长AD交BC的延长线于点E作DF⊥CE于点F在△DCF中∵CD＝4mDF：CF＝1：344．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为∴的面积为∴∴故答案为8【点睛】本题考查反比45．4【解析】【分析】将所给等式变形为然后两边分别平方利用完全平方公式即可求出答案【详解】∵∴∴∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式注意正确46．12﹣4【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示：连接ACBD交于点E连接DFFMMNDN∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°180°270°后形成的图形∠BAD=60°AB=247．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=248．【解析】【分析】利用规定的运算方法分别算得a1a2a3a4…找出运算结果的循环规律利用规律解决问题【详解】∵a1=4a2=a3=a4=…数列以4−三个数依次不断循环∵2019÷3=673∴a201949．【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB从而求出∠BOA的度数利用弦BC∥AO及OB=OC可得出∠BOC的度数代入弧长公式即可得出∵直线AB是⊙O的切线∴OB⊥AB（切线的性质）又∵∠A=30°∴∠B50．【解析】【分析】分别求得a1a2a3…找出数字循环的规律进一步利用规律解决问题【详解】解：…由此可以看出三个数字一循环2014÷3=671…1则a1+a2+a3+…+a2014=671×（-1++251．0【解析】【分析】先提公因式得ab（a+b）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数52．6×106【解析】【分析】【详解】将9600000用科学记数法表示为96×106故答案为96×10653．-6【解析】因为四边形OABC是菱形所以对角线互相垂直平分则点A和点C关于y轴对称点C在反比例函数上设点C的坐标为(x)则点A的坐标为(－x)点B的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等54．4【解析】【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率据此求解【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在04附近故摸到白球的频率估计值为04；故答案为：04【点睛】本题考查了利用频率55．【解析】【分析】根据平方根的定义即可求解【详解】若一个数的平方等于5则这个数等于：故答案为：【点睛】此题主要考查平方根的定义解题的关键是熟知平方根的性质56．66【解析】【分析】首先根据正五边形的性质得到度然后根据角平分线的定义得到度再利用三角形内角和定理得到的度数【详解】解：∵五边形为正五边形∴度∵是的角平分线∴度∵∴故答案为：66【点睛】本题考查了多57．【解析】【分析】先对括号内分式的通分并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到÷；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算然后约分即可得到化简后的结果【详解】原式=÷=·=故答案为【点睛58．4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式其中1≤|a|＜10n为整数确定n的值时要看把原数变成a时小数点移动了多少位n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞10时n是正59．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分60．12【解析】【详解】解：设点A的坐标为（a）则点B的坐标为（）∵AB∥x轴AC=2CD∴∠BAC=∠ODC∵∠ACB=∠DCO∴△ACB∽△DCO∴∵OD=a则AB=2a∴点B的横坐标是3a∴3a=2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】依据∠1＝25°，∠BAC ＝90°，即可得到∠3＝65°，再根据平行线的性质，即可得到∠2＝∠3＝65°．【详解】如图，∵∠1＝25°，∠BAC ＝90°，∴∠3＝180°-90°-25°=65°，∵l 1∥l 2，∴∠2＝∠3＝65°，故选C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，运用两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】【详解】根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：132146158163172181268321⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++++=15岁，该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，故选D ．3．D解析：D【解析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求出菱形ABCD的周长．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD，∴AB＝√AO2+BO2＝5，∴菱形的周长为4×5＝20．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等和对角线互相垂直且平分的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的正方形.故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．B解析：B【解析】【分析】根据平行线的性质判断即可得出结论.【详解】m n，解：直线//+︒，∴∠+∠∠+∠=ABC BAC21180∠，90ABC=︒30∠=︒，BAC∠=︒，140︒︒︒，︒︒=∴∠=---218030904020故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.6．B解析：B【解析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选B.【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.7．C解析：C【解析】试题分析：设商品原价为x，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案．解：设商品原价为x，甲超市的售价为：x（1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x；乙超市售价为：x（1﹣15%）2=0.7225x；丙超市售价为：x（1﹣30%）=70%x=0.7x；故到丙超市合算．故选C．考点：列代数式．8．C解析：C【解析】【分析】设月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：240000（1+x）2=290400，解得：x1=0.1=10%，x2=-0.21（舍去），故选C.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．9．D解析：D【解析】【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选D．10．A解析：A【解析】【分析】【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k，由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，解得k≤43，由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，所以k的取值范围为k≤43且k≠0，即k的非负整数值为1，故选A．11．C解析：C【解析】分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=12PG，再利用勾股定理求得PG=2，从而得出答案．详解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵PAH GFH AH FHAHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=12 PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=12PG=122，故选：C．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．12．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴BD＝AD＝6，∵在Rt△BCD中，P点是BD的中点，∴CP＝12BD＝3．故选B．13．D解析：D【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．故选D．点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．14．C解析：C【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案．【详解】主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线，画法正确的是：．故选C．【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是找准主视图所看的方向．15．D解析：D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x -÷--=2221·1x x x x x ---=() 2212·1xx xx x----=()()221·1x x xx x----=()2xx --=2xx-，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键. 16．B解析：B【解析】【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案.【详解】菱形的四条边相等，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，菱形对角线垂直但不一定相等，故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．17．B解析：B【解析】【分析】由图像可知a ＞0，对称轴x=-2b a=1，即2a +b =0，c ＜0，根据抛物线的对称性得x=-1时y=0，抛物线与x 轴有2个交点，故△＝b 2﹣4ac ＞0，由此即可判断.【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，所以①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∵x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b +c ＝0，所以②错误；∵b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，所以③错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，所以④正确．故选B ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义. 18．D解析：D【解析】【分析】在热气球C 处测得地面B 点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt △ACD 中求出AD 的长，据此即可求出AB 的长．【详解】∵在热气球C 处测得地面B 点的俯角分别为45°，∴BD ＝CD ＝100米，∵在热气球C 处测得地面A 点的俯角分别为30°，∴AC ＝2×100＝200米，∴AD∴AB ＝AD +BD ＝100（故选D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19．D解析：D【解析】试题分析：根据题意，点A 、A′关于点C 对称，设点A 的坐标是（x ，y ），则0122a xb y ++==，，解得2x a y b =-=-+，，∴点A 的坐标是(2)a b --+，．故选D ．考点：坐标与图形变化-旋转．20．C解析：C【解析】【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD =∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC =∠B′AC ，∴∠BAC =∠ACD =∠B′AC =12∠1=22° ∴∠B =180°-∠2-∠BAC =180°-44°-22°=114°；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC 的度数是解决问题的关键．21．B解析：B【解析】【分析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.22．C解析：C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】460 000 000=4.6×108．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．23．D解析：D【解析】【分析】根据1l与2l关于x轴对称，可知2l必经过(0，-4)，1l必经过点(3，-2)，然后根据待定系数法分别求出1l、2l的解析式后，再联立解方程组即可求得1l与2l的交点坐标.【详解】∵直线1l经过点（0，4），2l经过点（3，2），且1l与2l关于x轴对称，∴直线1l经过点（3，﹣2），2l经过点（0，﹣4），设直线1l的解析式y＝kx+b，把（0，4）和（3，﹣2）代入直线1l的解析式y＝kx+b，则4342 bk=⎧⎨+=-⎩，解得：24k b =-⎧⎨=⎩，故直线1l 的解析式为：y ＝﹣2x +4，设l 2的解析式为y=mx+n ，把（0，﹣4）和（3，2）代入直线2l 的解析式y=mx+n ，则324m n n +=⎧⎨=-⎩，解得m 2n 4=⎧⎨=-⎩， ∴直线2l 的解析式为：y ＝2x ﹣4，联立2424y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得：20x y =⎧⎨=⎩ 即1l 与2l 的交点坐标为（2，0）．故选D ．【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式即两直线的交点坐标问题，熟练应用相关知识解题是关键.24．D解析：D【解析】【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.【点睛】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．25．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到20m -≠，30m -≥，(()214204m ∆=--⨯≥，然后解不等式组即可．【详解】解：根据题意得 20m -≠，30m -≥，(()214204m ∆=--⨯≥，解得m ≤52且m ≠2．故选B ．26．A解析：A【解析】分析：根据平均数的计算公式进行计算即可,根据方差公式先分别计算出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答案.详解：换人前6名队员身高的平均数为x =1801841881901921946+++++=188，方差为S 2=()()()()()()22222211801881841881881881901881921881941886⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦=683；换人后6名队员身高的平均数为x =1801841881901861946+++++=187，方差为S 2=()()()()()()22222211801871841871881871901871861871941876⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦=593∵188＞187，683＞593， ∴平均数变小，方差变小，故选：A.点睛：本题考查了平均数与方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n[（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立. 27．D解析：D【解析】【分析】【详解】∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．28．C解析：C【解析】【分析】先化简后利用√3的范围进行估计解答即可．【详解】6√3−√27=6√3-3√3=3√3，∵1.7<√3<2，∴5<3√3<6，即5<6√3−√27<6，故选C．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．29．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．30．A解析：A【解析】从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近，故选A．二、填空题31．【解析】【分析】设D（x2）则E（x+21）由反比例函数经过点DE列出关于x的方程求得x的值即可得出答案【详解】解：设D（x2）则E（x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经。

资料分享：精选70道中考数学压轴题(含答案),可下载打印!

资料分享：精选70道中考数学压轴题（含答案），可下载打
印！
离2017中考也就一年的时间了，在这一年的时间里，除了学习新知识，我们也还是需要一定量的刷题来巩固旧知识，所谓温故而知新。

这里整理了70道中考数学压轴题，还含有详细的答案解析，大家有需要的可以下载下来练习。

总共有70道题，请原谅小编无法一张张截图贴出来，完整版的是pdf文件，大家可以直接进行下载然后打印出来，进行练习测试都是可以的，中考将近，多点练习题型是学习提高的最佳方法了。

小编已经分享到百度网盘上了，各位老师和家长以及学生可以搜索添加关注下中小学教师帮。

在公众号里面回复“中考”就可以对应下载啦。

中考数学复习重难点与压轴题专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型(重点突围)(原卷版)

专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一全等三角形旋转模型】 (1)【考向二全等三角形一线三等角模型】 (6)【直击中考】【考向一全等三角形旋转模型】例题：（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图①，在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD AE =．则CE BD =．现将ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为()0180αα︒<<︒．如图②，连接CE ，BD ．(1)如图②，请直接写出CE 与BD 的数量关系．(2)将ADE 旋转至如图③所示位置时，请判断CE 与BD 的数量关系和位置关系，并加以证明．(3)在旋转的过程中，当BCD △的面积最大时，α=______．（直接写出答案即可）【变式训练】一、选择题1．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC '，若90CC D '∠=︒，2CC '=，则线段BC '的长度为（）A ．2B ．52C ．6D ．52．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直角EPF ∠的顶点P 是BC的中点，将EPF ∠绕顶点P 旋转，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ．下列四个结论：①AE CF =；②PEF 是等腰直角三角形；③EF AP =；④12ABC AEPF S S =四边形△．在EPF ∠旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④3．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 是CD 边上一点（不与点D 重合）．点P 为DE 上一动点，PE PD <，将DPF ∠绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA 于H ，G 两点，有下列结论：①DH DE =；②DP DG =；③2DG DF DP +=；④DP DE DH DC ⋅=⋅，其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 二、填空题4．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 为等腰三角形，5OA AB ==，点B到x 轴的距离为4，若将OAB 绕点O 逆时针旋转90︒，得到OA B ''△，则点B '的坐标为__________．5．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，DOE 的直角顶点O 在边BC 的中点处，其中90,45A DOE B ∠=∠=︒∠=︒，60D ∠=︒，DOE 绕点O 自由旋转，且OD ，OE 分别交AB ，AC 于点M ，N ，当4AN =，2NC =时，MN 的长为______．6．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，BC =2AB ，点P 为边AD 上的一个动点，线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP '，连接PP ' ，CP '．当点P ' 落在边BC 上时，∠PP 'C 的度数为________；当线段CP ' 的长度最小时，∠PP 'C 的度数为________三、解答题7．（2022·山东日照·校考二模）在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接DB ，DC ．(1)如图1，当60α=︒时，①求证：PA DC =；②求DCP ∠的度数；(2)如图2，当120α=︒时，请直接写出PA 和DC 的数量关系．(3)当120α=︒时，若6AB =，31BP =，请直接写出点D 到CP 的距离为8．（2022·河北保定·校考一模）如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝102cm ，D 为AB边上一点，tan ∠ACD ＝15，点P 由C 点出发，以2cm /s 的速度向终点B 运动，连接PD ，将PD 绕点D 逆时针旋转90°，得到线段DQ ，连接PQ ．(1)填空：BC ＝，BD ＝；(2)点P 运动几秒，DQ 最短；(3)如图2，当Q 点运动到直线AB 下方时，连接BQ ，若S △BDQ ＝8，求tan ∠BDQ ；(4)在点P 运动过程中，若∠BPQ ＝15°，请直接写出BP 的长．9．（2022秋·九年级单元测试）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG （其中BD >2CE ），直线BG 与DE 交于点H ．(1)如图1，当点G 在CD 上时，请直接写出线段BG 与DE 的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG 绕点C 旋转一周．①如图2，当点E 在直线CD 右侧时，求证：2BH DH CH -=；②当∠DEC ＝45°时，若AB ＝3，CE ＝1，请直接写出线段DH 的长．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 与DEF 中，90ACB EDF ∠=∠=︒，,BC AC ED FD ==，点D 在AB 上．(1)如图1，若点F 在AC 的延长线上，连接AE ，探究线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若点D 与点A 重合，且32AC =，4DE =，将DEF 绕点D 旋转，连接BF ，点G 为BF 的中点，连接CG ，在旋转的过程中，求32CG BG +的最小值； (3)如图3，若点D 为AB 的中点，连接BF 、CE 交于点M ，CE 交AB 于点N ，且::7:9:10BC DE ME ＝，请直接写出ND CN 的值．11．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践问题情境在图1所示的直角三角形纸片ABC 中，O 是斜边AB 的中点．数学老师让同学们将ABC 绕中点O 做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．解决问题（1）“实践小组”的同学们将ABC 以点O 为中心按逆时针旋转，当点A 的对应点A '与C 重合时，BC 与它的对应边B C ''交于点D ．他们发现：OD B C '⊥．请你帮助他们写出证明过程．数学思考（2）在图2的基础上，“实践小组”的同学们继续将ABC 以点O 为中心进行逆时针旋转，当AB 的对应边A B AB ''⊥时，设A B ''与BC 交于点F ，B C ''与AB 交于点E ．他们认为ED FD AC +=．他们的认识是否正确？请说明理由．再探发现（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图3中连接OD ，他们认为DF ，DE 与OD 也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）【考向二全等三角形一线三等角模型】例题：（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：(1)如图2，Rt ABC △中，90，ACB CB CA ∠=︒=，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌．(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90，，CAD AC AD ∠=︒=，23DBA DAB AB ∠=∠=，求点C 到AB 边的距离．(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若，10，6DEF B AB BE ∠=∠==，求EF DE 的值．【变式训练】一、选择题1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92 二、解答题2．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．(1)若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．(2)在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．3．（2022秋·云南昭通·八年级校考期末）在ABC 中，90o ACB AC BC ∠＝，＝，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ACD CEB ≌；②DE AD BE ＝＋．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE -＝；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE AD BE 、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，在ABC 中，AB AC =，D A E ，，三点都在直线m 上，且9DE cm BDA AEC BAC =∠=∠=∠，．(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为 ___________，CE 与AD 的数量关系为 ___________；(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以cm /s x 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为s t （）．是否存在x ，使得ABD △与EAC 全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．5．（2022秋·八年级课时练习）【问题解决】（1）已知∠ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．如图①，当∠BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC <180°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC =BC ，∠ACB =90°，点C 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（1，2），请求出点A 的坐标．。

中考数学专题练习旋转50题

旋转50题一、选择题：1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D2.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50° B．60° C．40° D．30°3.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )4.下列图案中，可以看做是中心对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.在平面直角坐标系中，点P（﹣20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为（）A.33B.﹣33C.﹣7D.77.下列各点中关于原点对称的两个点是（）A．（﹣5，0）和（0，5）B．（2，﹣1）和（1，﹣2）C．（5，0）和（0，﹣5）D．（﹣2，﹣1）和（2，1）8.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，则∠EAB的度数为（）A．20° B．25° C．28° D．30°9.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）10.如图,△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A.4，30°B.2，60°C.1，30°D.3，60°11.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）12.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.13.下列四个说法，其中说法正确的个数是（）①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心;②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度;③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等;④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化A.1个B.2个C.3个D.4个14.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕C点顺时针方向旋转90°后，A点的坐标为（）A.（，0）B.（0，7）C.（，1）D.（7，0）15.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6 C．2 D．316.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为（）A．B．C． D．π17.在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是918.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是( )A. B. C.－1D.19.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为（）A. B. +1 C. +1 D. +120.如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°，则CF长为( )A.2B.3C.D.二、填空题：21.请写出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的平面图形，你所写的平面图形名称是．（写一个即可）22.如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标O（0，0）、A（3，4）、B（5，2）．将△OAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A1的坐标是．23.在图形的平移、旋转、轴对称变换中，其相同的性质是．24..如图，直线y=-x＋4与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO/B/，则点B′的坐标是．25.如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠AA′B′＝20°，则∠B的度数为__ __.(导学号 02052551)26.如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是________．27.如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′= ．28.点A （a ，3）与点B （﹣4，b ）关于原点对称，则a+b= ．29.P 是等边△ABC 内部一点,∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比是5：6：7,将△ABP 逆时针旋转，使得AB 与AC 重合，则以PA 、PB 、PC 的长为边的三角形的三个角∠PCQ ：∠QPC ：∠PQC= ．30.△ABC 绕着A 点旋转后得到△AB ′C ′，若∠BAC ′=130°，∠BAC=80°，则旋转角等于31.如图,已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC.若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF= ．32.如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D 在边BC 上，BD=2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0<m<180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m= ．33.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为 .34.如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K.若正方形ABCD 边长为，则AK=__ __．A DEPBC35.如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC=,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM ，则BM 的长是．36.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转一定角度后得到△A ′B ′C ．若点A ′恰好落在BC 的延长线上，则点B ′到BA ′的距离为．37.如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=2，若AC=AD 且∠ACD=60°，则对角线BD 的长最大值为．38.如图，O 是等边△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，下列结论：①△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O ′的距离为4；③∠AOB=150°；④四边形AOBO ′的面积为6＋3；⑤S △AOC ＋S △AOB =6＋43.其中正确的结论是_ _．39.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．40.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（1.5，0），B（0，2），则点B2016的坐标为．三、解答题：41.如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．42.△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，直线l经过点（-1，0），并且与y轴平行．（1）①将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1；②求出由点C运动到点C1所经过的路径的长．（2）①△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，画出△A2B2C2，并写出△A2B2C2三个顶点的坐标；②观察△ABC与△A2B2C2对应点坐标之间的关系，写出直角坐标系中任意一点P（a，b）关于直线l的对称点的坐标：．43.如图，正方形ABCD 中,点F 在边BC 上，E 在边BA 的延长线上.（1）若DCF △按顺时针方向旋转后恰好与DAE △重合.则旋转中心是点；最少旋转了度；（2）在（1）的条件下，若3,2AE BF ==,求四边形BFDE 的面积.44.（1）如图1，点P 是正方形ABCD 内的一点，把△ABP 绕点B 顺时针方向旋转，使点A 与点C 重合，点P 的对应点是Q ．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC 的度数．（2）点P 是等边三角形ABC 内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA 的度数．DC FB E A45.探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD 重合，则能证得EF=BE+DF，请写出推理过程；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（2）拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE长．46.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=ɑ(0°<ɑ<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求ɑ的值．47.如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′.（1）求点O与O′的距离；（2）证明：∠AOB=150°；（3）求四边形AOBO′的面积．（4）直接写出△AOC与△AOB的面积和48.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现:①当α=0°时，AE:BD= ；②当α=180°时，AE:BD= ．（2）拓展探究:试判断：当0°≤α＜360°时，AE:BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决:当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．49.在平面直角坐标系中,O为原点,点A（4,0），点B（0,3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′,点A，O旋转后的对应点为A′,O′,记旋转角为α．（Ⅰ）如图①,若α=90°,求AA′的长；（Ⅱ）如图②,若α=120°,求点O′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,边OA上的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+BP′取得最小值时,求点P′的坐标（直接写出结果即可）50.给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为．（填写序号即可）①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为60°的菱形．（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∠DCB=30°，连接AD，DC，CE．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：四边形ABCD是勾股四边形．参考答案1.D2.A3.C4.B5.A6.D7.D8.D9.B10B11.C12.A13.C14.D15.D16.B17.B18.D19.B．20.A21.答案为：圆．22.答案为：（-4，3）．23.解：在图形的平移、旋转、轴对称变换中，其相同的性质是图形的形状、大小不变，只改变图形的位置．24.答案为： (7，3)25.答案为：65°26.答案为：(0，1)27.答案为：22°28.答案为：a+b=1．29.答案为：3：4：2．30.答案为：50°或210°．31.答案为：_5_32.答案为：70°或120°．33.答案为：34.答案为：2－35.答案为：1+．36.答案为：4.8．37.解：如图，在AB的右侧作等边三角形△ABK，连接DK．∵AD=AC，AK=AB，∠DAC=∠KAB，∴∠DAK=∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB，∴DK=BC=2，∵DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5．38.正确的结论为：①②③⑤.39.解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ=AP=6，∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，∴∠CAP=∠BAQ，在△APC和△ABQ中，，∴△APC≌△ABQ，∴PC=QB=10，在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，而64+36=100，∴PB2+PQ2=BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．故答案为24+9．40.答案为：（6048，2）．41.解：（1）在△ABC中，∵AC=1，AB=x，BC=3﹣x．∴，解得1＜x＜2．（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，无解．②若AB为斜边，则x2=（3﹣x）2+1，解得，满足1＜x＜2．③若BC为斜边，则（3﹣x）2=1+x2，解得，满足1＜x＜2．∴或．42.（1）①画图正确②OC=点C运动到点C1所经过的路径的长==（2）①画图正确△A2B2C2三个顶点的坐标为A2（-5，6），B2（-3，1），C2（-6，3）②P（a，b）关于直线l的对称点的坐标为（-a-2，b）43.44.解：（1）连接PQ．由旋转可知：，QC=PA=3．又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．故∠BQC=90°+45°=135°．（2）将此时点P的对应点是点P′．由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，又∵P′B=PB=5，∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．45.【解答】（1）①解：如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；②解：∠B+∠D=180°，理由是：把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C、D、G在一条直线上，和①知求法类似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案为：∠B+∠D=180°；（2）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC===4，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中∴△FAD≌△EAD，∴DF=DE，设DE=x，则DF=x，∵BC=1，∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，x2=（3﹣x）2+12，解得：x=，即DE=．46.(1)30°-0.5α.(2)△ABE为等边三角形．证明：连接AD、CD、ED.∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC=BD，∠DBC=60°. ∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°－∠DBE=∠EBC=30°－0.5α.又∵BD=CD，∠DBC=60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD=CD.又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD=∠CAD=0.5∠BAC=0.5α.∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°－(30°－0.5α)－150°=0.5α.∴∠BAD=∠BEC.在△ABD与△EBC中，△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB=BE.又∵∠ABE=60°，∴△ABE为等边三角形．(3)∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°-60°=90°.∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形．∴CD=CE=BC.∵∠BCE=150°，∴∠EBC=15°.又∵∠EBC=30°－0.5α=15°，∴α=30°47.解：（1）∵等边△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。

2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习——图形的平移、折叠和旋转1一、单选题（本大题共10小题）1. （湖南省永州市2022年）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（）①②③④A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2. （湖南省湘西州2022年）下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3. （湖南省益阳市2022年）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4. （2022年西藏）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，连接DB'．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则ADB'∠的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°5. （2022年西藏）下列图形中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 6. （黑龙江省大庆市2022年）如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在E 处．若156∠=︒，242∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．108︒B ．109︒C ．110︒D ．111︒7. （广东省河源市2021）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A ． B ． C ． D ． 8. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．9. （江苏省无锡市2022年）雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）A ．扇形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．矩形10. （江苏省扬州市2022年）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（）AFE DFC △△DA BDE ∠CDF BAD ∠=∠A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（本大题共6小题）11. （湖南省湘西州2022年）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m ﹣2）关于原点对称，则m＝_____．12. （湖南省益阳市2022年）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝13AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是_____．13. （湖北省仙桃2021）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab= ．14. （湖南省永州市2022年）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点.若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为______．15. （辽宁省盘锦市2022年）如图，四边形ABCD为矩形，3AB AD==，点E为边BC上一点，将DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD 于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则FG的长是．16. （黑龙江省大庆市2022年）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边,AB BC 上的两个动点，且正方形ABCD 的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M ，N ．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为．三、解答题（本大题共7小题）17. （湖南省湘潭市2022年）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()4,0B -，()2,2C -．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒后得到111A B C △．BEF ,DE DF AC 2,3AE CF ==4EF =180EFN EMN ∠+∠=︒2,3AM CN ==4MN =2,3MN BE AM==4EF=(1)请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标：1A ，1B ，1C(2)求点B 旋转到点1B 的弧长．18. （江苏省无锡市2022年）如图，已知四边形ABCD 为矩形AB =4BC =，点E 在BC 上，CE AE =，将△ABC 沿AC 翻折到△AFC ，连接EF ．(1)求EF 的长；(2)求sin ∠CEF 的值．19. （江苏省常州市2022年）如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<≤︒n n 到OA '，那么点A '的位置可以用(),︒a n 表示．(1)按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A '的位置可以表示为；(2)在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74︒表示，连接A A '、A B '．求证：A A A B ''=．20. （吉林省2022年）图①，图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A ，B ，C 均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．(1)在图①中，找一格点D ，使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是轴对称图形；(2)在图②中，找一格点E ，使以点A ，B ，C ，E 为顶点的四边形是中心对称图形． 21. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，线段AB 绕点A 逆时针旋转至AD （AD 不与AC 重合），旋转角记为α，DAC ∠的平分线AE 与射线BD 相交于点E ，连接EC ．(1)如图①，当20α=︒时，AEB ∠的度数是；(2)如图②，当090α︒<<︒时，求证：2BD CE +=；(3)当0180,2AE CE α︒<<︒=时，请直接写出BD ED的值． 22. （湖北省荆州市2022年）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点O 是边AB 上一个动点（不与点A 重合），连接OD ，将△OAD 沿OD 折叠，得到△OED ；再以O 为圆心，OA 的长为半径作半圆，交射线AB 于G ，连接AE 并延长交射线BC 于F ，连接EG ，设OA ＝x ．(1)求证：DE 是半圆O 的切线；(2)当点E 落在BD 上时，求x 的值；(3)当点E 落在BD 下方时，设△AGE 与△AFB 面积的比值为y ，确定y 与x 之间的函数关系式；(4)直接写出．．．．：当半圆O 与△BCD 的边有两个交点时，x 的取值范围． 23. （江西省2022年）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处，并绕点O 逆时针旋转，探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，重叠部分的面积为；当OF 与BC 垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积1S 与S 的关系为；(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处，在旋转过程中，,OE OP 分别与正方形的边相交于点M ，N ．①如图2，当BM CN =时，试判断重叠部分OMN 的形状，并说明理由；②如图3，当CM CN =时，求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处，该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=），将GOH ∠绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S ，请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），（参考数据：sin15tan152︒=︒=︒=参考答案1. 【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义判断即可；【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；∴是中心对称图形的是：①②③；故选：A．【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．2. 【答案】C【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3. 【答案】B【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC ＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正确；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝1（180°﹣50°）＝65°．2∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC ＝AC ′，∠CAC ′＝50°，∴∠ACC ′＝12（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB ′＝∠ACC ′．故④正确．∴①②④这三个结论正确．故选：B ．【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4. 【答案】C【分析】由翻折的性质知∠BAE =B AE '∠=50°，AB '=AB ，再由菱形的性质得∠BAD =120°，AB '=AD ，最后利用三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠C =120°，∴∠BAD =∠C =120°，AB =AD ，∵将△ABE 沿直线AE 翻折，使点B 落在B '上，∴∠BAE =B AE '∠=50°，AB '=AB ，∴BAB ∠'=100°，AB '=AD ，∴DAB '∠=20°，∴AB D '∠=ADB '∠=（180°-20°）÷2=80°，故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出DAB '∠=20°是解题的关键． 5. 【答案】B【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A ，C ，D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6. 【答案】C【分析】先根据平行四边形的性质，得出AB CD ，根据平行线的性质，得出156ABE ∠=∠=︒，根据折叠得出1282ABD ABE ∠=∠=︒，根据三角形内角和得出∠A 的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ，156ABE ∴∠=∠=︒，根据折叠可知，ABD EBD ∠=∠， ∴11562822ABD ABE ∠=∠=⨯︒=︒， 242∠=︒，∴1802110A ABD ∠=︒-∠-∠=︒，故C 正确．故选：C ．7. 【答案】D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，即可求解．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．【详解】解：A 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．8. 【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：D ．9. 【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．10. 【答案】D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到，∴，，，，故①正确；，，，，，∴DA平分BDE∠，故②正确；ADE ABC≌，BAC DAE∴∠=∠，，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故③正确故选D11. 【答案】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【详解】解：根据、两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，，，故答案为：3-．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．12. 【答案】4【分析】由正方形边长为3，可求AC＝，则AA′＝AC，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为3，ABC A ADEADE ABC≌E C∴∠=∠AFE DFC∠=∠∴AFE DFC△△ADE ABC≌AB AD∴=ABD ADB∴∠=∠ADE ABC∠=∠ADB ADE∴∠=∠BAD CAE∴∠=∠3-P Q25m∴-=-3m∴=-13∴AC＝，∴AA′＝13 AC∴A′C＝2由题意可得重叠部分是正方形，∴重叠部分的正方形的边长为，∴S重叠部分＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．13. 【答案】12【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出a和b的值，从而求出结论．【详解】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a=-6，b=-2∴ab=12故答案为：12．14. 【答案】()2,2-【分析】根据题意作出旋转后的图形，然后读出坐标系中点的坐标即可．【详解】解：线段OA绕原点O顺时针旋转90°后的位置如图所示，∴旋转后的点A的坐标为（2，-2），故答案为：（2，-2）．【点睛】题目主要考查图形的旋转，点的坐标，理解题意，作出旋转后的图形读出点的坐标是解题关键．15. 【分析】过点E 作EM GH ⊥于点M ，根据题意可得四边形HEDG 是平行四边形，证明HE FE =，等面积法求得ME ，勾股定理求得HM ，可得HF 的长，进而即可求解．【详解】①如图，过点E 作EM GH ⊥于点M ，DE GH ∥，AD BC ∥∴四边形HEDG 是平行四边形113HE GD AD ∴=== 折叠 ∴FED CED ∠=∠90MED ∠=︒即90FEM FED ∠+∠=︒90CED HEM ∴∠+∠=︒HEM FEM ∴∠=∠90,EMF EMH ME ME ∠=∠=︒=HEM FEM ∴≌HM MF ∴=，1EF HE ==1EF EC ∴==四边形ABCD 是矩形90,C DC AB ∴∠=︒==Rt EDC 中，DE =GH DE ∴==ME HG ⊥，HG DE ∥ 1122DEF DEC S ME DE S DC EC ∴=⨯==⨯DC EC ME DE ⨯∴===Rt HME中，HM =2FG HG HF HG HM ∴=-=-==②如图，当113AG AD ==时，同理可得312HE GD AD AG ==-=-=，2EC EF HE ===，DE ∴=DC EC ME DE ⨯∴==RtHME中，HM ===2FG HF HG HM HG ∴=-=-=故答案为：16. 【答案】②【分析】根据已知条件可得，即可判断①，进而推出，导角可得②正确，作于点，连接，证明是直角三角形，勾股定理验证③，证明，即可判断④求解．【详解】解：∵正方形的周长是周长的2倍，∴，，①若，则，故①不正确；如图，在的延长线上取点，使得，=+EF AE FC 45EDF ∠=︒DG EF ⊥G ,GM GN GMN 30BEF MNG ∠=∠=︒ABCD BEF BE BF EF AB BC ++=+∴=+EF AE FC 2,3AE CF ==5EF =BA H AH CF =四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，即，故②正确；如图，作于点，连接，则，，，，同理可得，ABCD 90DAH DAE DCF ∴∠=∠=∠=︒AD CD =ADH CDF ∴≌CDF ADH ∴∠=∠HD DF =H DFC ∠=∠EF AE CF AE AH EH =+=+=DE DE =DHE DFE ∴≌()SSS HDE FDE ∴∠=∠H EFD ∠=∠HED FED ∠=∠90CDF ADF ADH ADF HDF ∠+∠=∠+∠=∠=︒45EDF HDE ∴∠=∠=︒H DFC DFE ∠=∠=∠45EMN HED EAM DEF ∠=∠+∠=︒+∠41805DE EFN EMN F DF EDF DEF C DFC ∴∠+∠=∠+∠︒+∠=∠+∠=+︒180EFN EMN ∠+∠=︒DG EF ⊥G ,GM GN 90DGE DAE ∠=∠=︒AED GED ∠=∠DE DE =AED GED ∴≌GDF CDF ≌，关于对称轴，关于对称，,GM AM GN CN ∴==，45,45EGM EAM NGF NCF ∠=∠=︒∠=∠=︒，180454590MGN ∴∠=︒-︒-︒=︒，是直角三角形，③若，，，故③不正确，，若，即，，，，又CFN EFN ∠=∠，AME CFN ∴∠=∠，22AEM CFN ∴∠=∠，即AMG CFG ∠=∠，GMN BFE ∴∠=∠，30BEF MNG ∴∠=∠=︒，cos cos cos30BE BEF GNM EF ∴∠==∠=︒= 3BE =，EF ∴== 故④不正确．故答案为：②．17. 【答案】(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）(2)2π【分析】（1）将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标即为点A ，B ，C 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果．（2）由图知点B 旋转到点1B 的弧长所对的圆心角是90º，OB =4，根据弧长公式即可计算求出．(1),AG DG CF ADE GDE GDF CDF ∴==∠=∠∠=∠，,A G ∴DE ,C G DF GMN ∴2,3AM CN ==∴2,3GM GN ==4MN ∴≠MG AM =2,3MN BE AM==sin MNG ∠=12MG MN =30MNG ∴∠=︒180EFN EMN ∠+∠=︒180EMN AME ∠+∠=︒解：将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标即为点A ，B ，C 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A 1（1，1）；B 1（0，4）；C 1（2，2）(2)解：由图知点B 旋转到点1B 的弧长所对的圆心角是90度，OB =4，∴点B 旋转到点1B 的弧长=904180π⨯⨯=2π 18. 【答案】(2)【分析】(1)先由Rt ABE ∆可求得AE 的长度，再由角度关系可得90FAE ∠=，即可求得EF 的长;(2)过F 作FM CE ⊥于M ，利用勾股定理列方程，即可求出EM 的长度，同时求出FM 的长度，得出答案.(1)设BE x =，则4EC x =-，∴4AE EC x ==-，在Rt ABE ∆中，222AB BE AE +=，∴(()2224x x +=-， ∴1x =，∴1BE =，3AE CE ==，∵AE EC =，∴12∠=∠，∵90ABC ∠=，∴902CAB ∠=-∠，∴901CAB ∠=-∠，由折叠可知，∴，∴，∴，在中，.FAC BAC ∆≅∆901FAC CAB ∠=∠=-∠AF AB ==190FAC ∠+∠=90FAE ∠=Rt FAE ∆EF =(2)过F 作FM ⊥BC 于M ，∴∠FME =∠FMC =90°，设EM =a ,则EC =3-a ，在中，，在中，，∴，∴， ∴， ∴， ∴， ∴19. 【答案】(1)(3,37°)Rt FME222FM FE EM =-Rt FMC 222FM FC MC =-2222FE EM FC MC -=-()222243a a -=--53a =53EM =FM sin FM CEF EF ∠===(2)见解析【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），即可由全等三角形的性质，得出结论．(1)解：由题意，得A ′(a ,n °)， ∵a=3,n=37，∴A′(3,37°)，故答案为：(3,37°)； (2)证明：如图，∵()3,37A '︒，B (3,74°)，∴∠AOA ′=37°，∠AOB =74°，OA = OB =3，∴∠A ′OB =∠AOB -∠AOA ′=74°-37°=37°，∵OA ′=OA ′，∴△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），∴A ′A =A ′B ．20. 【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）以所在直线为对称轴，找出点的对称点即为点，再顺次连接点即可得；（2）根据点平移至点的方式，将点进行平移即可得点，再顺次连接点即可得．(1)解：如图①，四边形ABCD 是轴对称图形．AC B D ,,,A B C D B A C E ,,,A B C E(2)解：先将点B 向左平移2格，再向上平移1个可得到点A ，则将点C 按照同样的平移方式可得到点E ，如图②，平行四边形ABCE 是中心对称图形．21. 【答案】(1)45︒(2)见解析(3)2或2【分析】（1）根据旋转的性质可知AB AD =，当20α=︒时可根据等腰三角形的性质计算ADB ∠的角度，再由90BAC ∠=︒，AE 是DAC ∠的平分线可知35DAE ∠=︒，由三角形外角的性质，通过AEB ADB DAE ∠=∠-∠即可得出答案；（2）延长DB 到F ，使BF CE =，连接AF ，先证明ADE ACE △≌△，可推导DEA CEA ∠=∠、ADE ACE ∠=∠、DE CE ∠=，再由已知条件及等腰三角形的性质推导45DEA CEA ∠=∠=︒，然后证明ABF ACE ≌△△，推导90=︒∠FAE ，在Rt AFE 中，由三角函数可计算EF ，即可证明2BD CE +=；（3）分两种情况讨论：①当090α︒<<︒时，借助（2）可知2)BD CE =，再求BD ED的值即可；②当90180α︒≤<︒时，在线段BD 上取点F ，使得BF CE =，结合（2）中ADE ACE △≌△，可知DE CE =、ADE ACE ∠=∠，易证明ABF ACE ≌△△，可推导BAF CAE ∠=∠、AE AF =、90EAF ∠=︒， 45AEF AFE ∠=∠=︒，在Rt AFE 中，由三角函数可计算EF =，即可推导2)BD CE =，再求BD ED 的值即可． (1)解：由旋转可知，AB AD =，当20α=︒时，可知180180208022ABD ADB α︒-︒-︒∠=∠===︒， ∵90BAC ∠=︒，AE 是DAC ∠的平分线，∴90203522BAC DAE α∠-︒-︒∠===︒， ∴803545AEB ADB DAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：45︒；(2)证明：延长DB 到F ，使BF CE =，连接AF ．∵AB AC =，AD AB =，∴AD AC =，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∵AE AE =，∴ADE ACE △≌△，∴DEA CEA ∠=∠，ADE ACE ∠=∠，DE CE ∠=，∵AB AD =，∴ABD ADB ∠=∠，∵180ADE ADB ∠+∠=︒，∴180ACE ABD ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴360()3601809090BEC ACE ABD BAC ∠=︒-∠+∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵DEA CEA ∠=∠ ∴190452DEA CEA ∠=∠=⨯︒=︒， ∵180ABF ABD ∠+∠=︒，180ACE ABD ∠+∠=︒，∴ABF ACE ∠=∠，∵AB AC =，BF CE =，∴ABF ACE ≌△△，∴AF AE =，45AFB AEC ∠=∠=︒，∴180180454590FAE AFB DEA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，在Rt AFE 中，90=︒∠FAE ， ∵cos AE AEF EF ∠=，∴cos cos 45AE AE EF AEF ===∠︒，∵2EF BF BD DE CE BD CE BD CE =++=++=+，∴2BD CE +=；(3)①当090α︒<<︒时，由（2）可知，DE CE =，2BD CE +，∴2BD CE =-，当2AE CE =时，可知222)BD CE CE CE =-=，∴2BD ED ===； ②当90180α︒≤<︒时，如下图，在线段BD 上取点F ，使得BF CE =，由（2）可知，ADE ACE △≌△，∴DE CE =，ADE ACE ∠=∠，∵AB AC =，∴ABF ADE =∠∠，∴ABF ACE ∠=∠，∵BF CE =，∴()ABF ACE SAS △≌△，∴BAF CAE ∠=∠，AE AF =，∴90EAF CAF CAE CAF BAF BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴180452EAF AEF AFE ︒-∠∠=∠==︒，在Rt AFE 中，cos AE AEF EF ∠=，∴cos cos 45AE AE EF AEF ===∠︒，∴2BD BF EF DE CE CE CE =++=++，当2AE CE =时，可知222)BD CE CE CE =+=，∴2BD ED ==．综上所述，当0180,2AE CE α︒<<︒=时，2BD ED =或2BD ED=． 22. 【答案】(1)见详解(2)32(3)2293(0)4362x y x x =<<+ (4)332x <≤或2548x <≤ 【分析】（1）根据切线的判定定理求解即可；（2）如图，在Rt OEB ∆，根据勾股定理列方程求解即可；（3）先证DAO AEG ∆∆∽，求出AE ，然后证明AEG ABF ∆∆∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解；（4）结合图形，分情况讨论即可求出x 的取值范围．(1)证明：在矩形ABCD 中，90DAB ∠=︒，△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，90OED DAB ∴∠=∠=︒，即OE DE ⊥，∴ DE 是半圆O 的切线；(2) 解：△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，3,DE AD OA OE x ∴====，4OB AB OA x ∴=-=-，在Rt DAB ∆中，5DB =，532EB DB DE ∴=-=-=，在Rt OEB ∆中，222OE EB OB +=，()22224x x ∴+=-，解得32x =，答：x 的值为32．(3)解：在Rt DAO ∆中，DO△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，AE OD ∴⊥，AG 是O 的直径，90AEG ∴∠=︒，即AE EG ⊥，OD EG ∴∥，90DAO AEG ∠=∠=︒AOD EGA ∴∠=∠，DAO AEG ∴∆∆∽，DO DA AG AE∴= ，3,AE AE ==， 90,AEG ABC EAG BAF ∠=∠=︒∠=∠，AEG ABF ∴∆∆∽，2AGEAFB S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即()222949x y x ==+ ⎪ ⎪⎝⎭， 229436x y x ∴=+ （302x <<）(4)解：由（2）知，当E 在DB 上时， 32x =，如图，当点E 在DC 上时， 3x = ，∴当332x <≤时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点；当半圆O 经过点C 时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点，连接OC ，在Rt OBC ∆中，4,,3OB x OC x BC =-==，222OB BC OC +=，()22243x x ∴-+= ，解得258x =， ∴当2548x ≤≤时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点；综上所述，当半圆O 与△BCD 的边有两个交点时，x 的取值范围为：332x <≤或2548x <≤． 23. 【答案】(1)1,1， (2)①OMN 是等边三角形，理由见解析；1 (3)tan ,1tan 4522αα⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，OE 与OC 重合，此时重叠部分的面积=△OBC 的面积=14正方形ABCD 的面积=1；当OF 与BC 垂直时，OE ⊥BC ，重叠部分的面积=14正方形ABCD 的面积=1；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积S 1与S 的关系为S 1=14S ．利用全等三角形的性质证明即可；（2）①结论：△OMN 是等边三角形．证明OM =ON ，可得结论；②如图3中，连接OC ，过点O 作OJ ⊥BC 于点J ．证明△OCM ≌△OCN （SAS ），推出∠COM =∠CON =30°，解直角三角形求出OJ ，即可解决问题；（3）如图4-1中，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，当BM =CN 时，△OMN 的面积最小，即S 2最小．如图4-2中，当CM =CN 时，S 2最大．分别求解即可．(1)如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，OE 与OC 重合，此时重叠部分的面积=△OBC 的面积=14正方形ABCD 的面积=1；当OF 与BC 垂直时，OE ⊥BC ，重叠部分的面积=14正方形ABCD 的面积=1；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积S 1与S 的关系为S 1=14S ．114S S =理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD，∴S1=14 S．故答案为：1，1，S1=14 S．(2)①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ•tan15°=2∴CM=CJ-MJ=1-（2-，∴S四边形OMCN=2×12×CM×OJ=．(3)如图4，将HOG∠沿翻折得到，则，此时则当在上时，比四边形的面积小，设，则当最大时，最小，，即时，最大，此时垂直平分，即，则OM ON=如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q，OM ON=，OQ MN⊥∴BM=CN∴当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan2α=tan2α，∴MN=2MQ=2tan2α，∴S2=S△OMN=12×MN×OQ=tan2α．如图6中，同理可得，当CM=CN时，S2最大．OH HOG'∠MON M ON'≌,M N BC 2S NOM C',=M C a CN b'=MNMS'2SMNMS'211222a bab+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭M C NC'=MNMS'OC M N'ON OM'=,,OC OC OCN OCM CN CM =∠=∠=则△COM ≌△CON ，∴∠COM =2α， ∵∠COQ =45°，∴∠MOQ =45°-2α， QM =OQ •tan （45°-2α）=tan （45°-2α）， ∴MC =CQ -MQ =1-tan （45°-2α）， ∴S 2=2S △CMO =2×12×CM ×OQ =1-tan （45°-2α）．。

(完整)中考数学压轴题精选含答案

一、解答题1．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，CD ＝2m （m ＞2），P 为CD 中点，以P 为圆心，CP 为半径作半圆P ，交线段AC 于点E ，交线段AD 于点F ．（1）当E 为CA 中点时，①求证：E 是弧CF 的中点．②求此时m 的值．（2）连结PF ，若PF 平行△ABC 的某一边时求出满足条件的m 值．（3）连结PE ，将PE 绕着点E 顺时针旋转90°得到EP '，连结AP '，当AP '⊥AC 时，求此时CE 的长．2．如图1，在菱形ABCD 中，∠D ＝120°，AB ＝8，点M 从A 开始，以每秒1个单位的速度向点B 运动；点N 从C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，过点N 作NQ ⊥DC ，交AC 于点Q ．（1）当t ＝2时，求线段NQ 的长；（2）设△AMQ 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围；（3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使得△AMQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++，与y 轴交于点A 与x 轴交于点E 、B ．且点()0,5A ，()5,0B ，点P 为抛物线上的一动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，若点P 在AC 的上方，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，连接PA ，PC ，当245AOE APCD S S ∆=四边形时，求点P 坐标；（3）设抛物线的对称轴与AB 交于点M ，点Q 在直线AB 上，当以点M 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，OA =1，OB =OC =3．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D 为第一象限抛物线上一动点，连接DC ，DB ，BC ，设点D 的横坐标为m ，△BCD 的面积为S ，求S 的最大值；（3）如图2，点P (0，n )是线段OC 上一点(不与点O 、C 重合)，连接PB ，将线段PB 以点P 为中心，旋转90°得到线段PQ ，是否存在n 的值，使点Q 落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n 的值，若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBOC 的面积最大．求出点P 的坐标．（2）点M 为抛物线上一动点，x 轴上是否存在一点Q ，使点B 、C 、M 、Q 的顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线经过()30A -,，()1,0B ，52,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点，其对称轴交x 轴于点H ，一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点C ，与抛物线交于另一点D （点D 在点C 的左边），与抛物线的对称轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点F ，使得点A 、B 、E 、F 构成的四边形是平行四边形，如果存在，求出点F 的坐标，若不存在请说明理由（3）设∠CEH=α，∠EAH =β，当αβ>时，直接写出k 的取值范围7．如图1，直线l 1：y ＝kx 与直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 相交于点A （4，3），直线l 2：y ＝﹣12x ＋b 与x 轴交于点B ，点E 为线段AB 上一动点，过点E 作EF ∥y 轴交直线l 1于点F ，连接BF ．（1）求k、b的值；（2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M．①求线段OM的长；②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙是△ABC的外接圆，连接BO并延长交边AC于点D．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，延长BH交⊙O于点G，连接OC，CG，OC交BG于点F，求证：BF＝2HG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AD＝2，CD＝3，求线段BF的长．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+154x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB 相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒10个单位长度的速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧做正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为（不必写出t的取值范围）．11．在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)和点B(c，d)．给出如下定义：以AB为边，作等边三角形ABC，按照逆时针方向排列A，B，C三个顶点，则称等边三角形ABC为点A，B的逆序等边三角形．例如，当1,0,3,0a b c d=-===时，点A，B的逆序等边三角形ABC如图①所示．(1)已知点A(-1，0)，B(3，0)，则点C的坐标为___；请在图①中画出点C，B的逆序等边三角形CBD，点D的坐标为___．(2)图②中，点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，求点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围．(3)图③中，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，点B在以N(3，0)为圆心2为半径的圆上，且点B的纵坐标0d>，点A，B的逆序等边三角形ABC如图③所示．若点C 恰好落在直线y x t=+上，直接写出t的取值范围．12．已知：如图1，一次函数y＝mx＋5m的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝－23x的图像交于点C，点C的横坐标为－3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC＝2S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD＝∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规．．．．．作图找到点P的位置； (保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．)②求点P的坐标．13．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A′B′，则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．（1）如图，线段CD，EF，GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），①若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y＝x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为12≤yM136≤，求S．（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN＝1，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积．（4）已知点M，N是在以（2，013MN2=MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围．14．△ABC为等边三角形，AB=4，AD⊥BC于点D，点E为AD的中点．(1)如图1，将AE绕点A顺时针旋转60°至AF，连接EF交AB于点G，求证：G为EF中点．(2)如图2，在（1）的条件下，将△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为α，连接BE，H为BE的中点，连接DH，GH．当30°＜α＜120°时，猜想∠DHG的大小是否为定值，并证明你的结论．(3)在△AEF绕点A顺时针旋转过程中，H为BE的中点，连接CH，问线段CH何时取得最大值，请说明理由，并直接写出此时△ADH的面积．15．在ABC中，AB AC=，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．(1)如图1，若90BAC∠=︒，，，求点B到AE的距离；(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，12BC=，将ABD△沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点P作PM x⊥轴，垂足为I，交圆N于点M，点P在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣34x2＋bx＋c经过点A和点B．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点D （﹣2，﹣1）在直线BC 上，点E 为y 轴右侧抛物线上一点，连接BE 、AE ，DE ，若S △BDE ＝4S △ABE ，求E 点坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，P 为射线DB 上一点，作PQ ⊥直线DE 于点Q ，连接AP ，AQ ，PQ ，若△APQ 为直角三角形，请直接写出P 点坐标．18．如图1，点A ，点B 的坐标分别（a ，0），（0，b ），且b ＝+4，将线段BA 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BC ．(1)直接写出a ＝，b ＝，点C 的坐标为；(2)如图2，作CD ⊥x 轴于点D ，点M 是BD 的中点，点N 在△OBD 内部，ON ⊥DN ，求2+ON ＝DN ．(3)如图3，点P 是第二象限内的一个动点，若∠OPB ＝90°，求线段CP 的最大值．19．如图1，已知抛物线)(3343y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，(1)写出A 、B 、C 三点的坐标．(2)若点P 为OBC 内一点，求OP BP CP ++的最小值．(3)如图2，点Q 为对称轴左侧抛物线上一动点，点()4,0D ，直线DQ 分别与y 轴、直线AC 交于E 、F 两点，当CEF △为等腰三角形时，请直接写出CE 的长．20．已知等边△ABC ，M 在边BC 上，MN ⊥AC 于N ，交AB 于点P ．（1）求证：BP ＝BM ；（2）若MC ＝2BM ，求证：MP ＝MN ．（3）若E ，F 分别在AB 、AC 上，且△MEF 为等边三角形，当MEF ABC S S ∆∆的值最小时，BM BC＝．【参考答案】**科目模拟测试一、解答题 1．（1）①见解析；②5m =；（2）m 的值为25或6；（3）25CE =【解析】【分析】（1）①连接DE ，证明ADC ∆是等腰三角形，根据“三线合一”的性质可得ADE CDE ∠=∠，证得EC EF =，从而可得结论；②根据勾股定理得到AC 45=，由E 为AC 中点得EC 25=，再证明DEC CBA ，由相似三角形的性质列出比例式，求出m 的值即可；（2）分PF //AC 和PF //BC 两种情况求解即可；（3）设CE =x ，作PG ⊥AC ，则2x GE =，45AE x =- 证明PGE EAP '≅得AP GE '=，再证明AP EBAC '，列比例式求出x 的值即可．【详解】解：（1）如图，连接DE∵CD 是圆P 的直径，∴∠DEC =90°，即DE ⊥AC∵E 为CA 中点∴AE =CE∴AD =CD∴ADE CDE ∠=∠∴EC EF =∴E 是CF 的中点；②在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝8，∴22224845AC AB BC +=+∵E 是AC 的中点∴11452522EC AC ==⨯= ∵AB //CD ，90B ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒∴90DCB∠=︒，即90DCE BCA∠+∠=︒∵90CDE DCE∠+∠=︒∴CDE BCA∠=∠又90B DEC∠=∠=︒∴DEC CBA∆∆∽∴CE DCAB AC=，即252=445m解得，5m=；（2）分两种情况：①当PF//AC时，如图，则有PDF CDA∆∆∴PF PDAC CD=，即245PF mm=∴25=PF∴25m=②当PF//BC时，如图，过点A作AH⊥DC，垂足为H，则四边形AHCB是矩形，∴AH//BC，HC=AB=4，AH=BC=8∴PF//AH∵90DCB∠=︒∴90FPD∠=︒∴45PDF PFD∠=∠=︒∴45HAD HDA∠=∠=︒∴DH=AH，即248m-=解得，6m=综上，m的值为256；（3）过点P 作PG AC ⊥于点G ，如图，∵PE =PC ∴1,2GE CE EPG CPG =∠=∠ ∵90PEP '∠=︒∴90P EA PEG '∠+∠=︒又90PEG GPE ∠+∠=︒∴P EA EPG '∠=∠又90P AE PGE '∠=∠=︒，PE P E '=∴P AE EPG '∆≅∆∴AP GE '=设CE x =，则45,2x AE x GE AP '=== ∵90,90BCA DCA GPC PCH ∠+∠=︒∠+∠=︒∴GPC BCA ∠=∠∴EPG BCP ∠=∠∴P EA BCA '∠=∠又90P AE B '∠=∠=︒∴AP E BAC '∆∆ ∴AP AB AE BC '=42825x = ∴5x =25CE =【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的基本概念，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键．2．（143；（2）S =()()22330434348t t t ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩＜；（3）存在，当t =247s 或（32-163）s或163s时，△AMQ为等腰三角形．【解析】【分析】（1）首先求得CN的长，在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长；（2）当0≤t≤4时，N在CD上，首先求得CQ，则AQ长即可求得，再根据△CAB=30°，AM=t，据此即可求得△AMQ的长；当4＜t≤8时，利用相似求得AQ的长，进而求得△AMQ的面积，得到函数解析式；（3）分三种情形讨论求解即可．【详解】解：（1）当t=2时，CN=2×2=4，∵在△ACD中，AD=DC，∴∠DCA=1801202︒-︒=30°，在直角△CNQ中，NQ=CN•tan30°=4×33=433；（2）由题意得，AM=t，当0≤t≤4时，CN=2t，∵∠D=120°，AB=CD=8，∴∠DCA=30°，连接BD，与AC相交于点定O，过点Q作QG⊥AB于点G，∴OC=CD•cos30︒3AC3∴在Rt△CNQ中，NQ23t，CQ43t，∴AQ=AC-CQ343，QG=12AQ，∴S=12AM• QG =233t+，当4＜t≤8时，延长QN，交AB于G，交CD延长线于H，如图：ND =2t -8，∠HDN =60°，∴HD =12ND =t -4， ∴CH =t -4+8=t +4，∴CQ =23cos303CH =︒(t +4)， ∴AQ =AC -CQ =83-233(t +4)，QG =12AQ ， S =12•AM • QG 234363t t =-+．综上，S =()()223230433434863t t t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜；（3）①当0＜t ≤4时，只有MA =MQ 符合条件，过点M 作ME ⊥AC 于点E ，则AE =EQ =AM •cos30︒=32t ， ∴AQ =3t ，由（2）知AQ 343， 3433，解得t =247； ②当4＜t ≤8时，由（2）知AQ 323t +4)，AQ =AM 时，)4t +=t ，解得tAQ =MQ 时，AM ，t )4t ⎤+⎥⎦，解得t =163．综上所述，当t =247s 或（s 或163s 时，△AMQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了菱形的性质以及三角函数，正确进行分请情况进行讨论是关键．3．（1）245y x x =-++；（2）1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -【解析】【分析】（1）直接将(0,5)A ，(5,0)B 代入2y x bx c =-++，求解即可；（2）先求出AB 的解析式，设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+，用t 表示出PD ，最后利用245AOE APCD S S ∆=四边形求出结果；（3）分三种情况讨论解答：①当EM 为平行四边形的对角线时；②当EP 为对角线时；③当EQ 为对角线时．【详解】（1）将点(0,5)A ，(5,0)B 分别代入2y x bx c =-++得25505b c c -++=⎧⎨=⎩， 45b c =⎧∴⎨=⎩， ∴二次函数的解析式为245y x x =-++；（2）//AC x 轴，点()0,5A ，∴当5y =时，2455x x -++=，10x ∴=，24x =，()4,5C ∴，4AC ∴=，设直线AB 的解析式为y mx n =+，将(0,5)A ，(5,0)B 分别代入得505n m n =⎧⎨=+⎩，解得：1m =-，5n =∴直线AB 的解析式为5y x =-+；设点P 的横坐标为t ，则()2,45P t t t -++，(,5)D t t -+()2245(5)5PD t t t t t ∴=-++--+=-+，4AC =，()22114521022APCD S AC PD t t t t ∴=⨯=⨯⨯-+=-+四边形函数245y x x =-++，当0y =时，有2450x x -++=，11x ∴=-，25x =，(1,0)E ∴-，1OE ∴=，又5OA =，11515222AOE S OE OA ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=， 245AOE APCD S S ∆=四边形， 22452101252t t ∴-+=⨯=，解得：12t =，23t =，∴点1(2,9)P ，2(3,8)P ；（3）∵2(2)9y x =--+，∴当x =2时，y =-2+5=3，∴M (2,3),设P (m ，2(2)9m --+，(,5)Q n n -+，而E (-1，0)，①当EM 为平行四边形的对角线时，(平行四边形的对角线互相平分)得：21222(2)950322m n m n +-+⎧=⎪⎪⎨--+-++⎪=⎪⎩，解得121261,52m m n n ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ (舍)， ∴点Q 的坐标为（-5,10）；②当EP 为对角线时，212220(2)93522m m m n -++⎧=⎪⎪⎨--+-+⎪=⎪⎩，解得121223,10m m n n ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， ∴点Q 的坐标为（-1,6）或（0,5）；③当EQ 为对角线时，21222053(2)922n m n m -++⎧=⎪⎪⎨-+--+⎪=⎪⎩，解得121261,92m m n n ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍），点Q 的坐标为（9,-4），综上所得：1(9,4)Q -，2(0,5)Q ，3(1,6)Q -，4(5,10)Q -．【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是分类思想的运用．4．（1）2y x 2x 3=-++；（2）278；（3）存在，n =1或n 3+33- 【解析】【分析】（1）通过待定系数法求解函数解析式即可；（2）作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，根据12S DE OB =⋅求得S 关于m 的解析式，根据二次函数的性质求解即可；（3）过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N ，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：(1)设函数关系式为2y ax bx c =++由题意，得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)∴(1)(3)y a x x =+-把C (0，3)代入得，1a =-∴2y x 2x 3=-++(2)作DF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E设直线BC 关系式为y =kx ＋b ，代入(3，0)，(0，3)得k =－1，b =3，∴y =－x ＋3∵点D 的横坐标为m ，则DF =223m m -++，EF =－m ＋3∴DE =23m m -+22133327(3)()22228S DE OB m m m =⋅=-+=--+ ∵302-<，∴S 的最大值是278(3)过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N∴1290Q MP Q NP BOP ∠=∠=∠=︒∵1190Q PM PQ M ∠+∠=︒，190Q PM BPO ∠+∠=︒，∴1PQ M BPO ∠=∠又∵1BP PQ =，∴1Q PM PBO △≌△∴1MQ OP n ==，3MP OB ==，∴1()3Q n n +，代入抛物线，得2323n n n +=-++解得11n =，20n =(舍去)同理，2PN Q PBO ≌，∴2Q (－n ，n －3)代入抛物线，得2323n n n =-+－－解得13+33n -=2333n --=舍去) 综上，存在n 的值，n =1或n 3+33-【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质．5．（1）315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）Q 1（-5,0），Q 2（-1,0），Q 3 ()720，，Q 4)720，．【解析】【分析】（1）分别求出点B 、C 的坐标，连接PB ，PC ，PO ，设点P 坐标为()2,23m m m --+，四边形PBOC 的面积为S ，根据=BOP COP S S S +△△得到S 关于m 的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；（2）分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论，分别求出点M 的坐标，根据平行四边形的性质即可求出点Q 的坐标．【详解】解：（1）把0x =代入223y x x =--+得y =3， ∴点C 坐标为（0,3）；把y =0代入223y x x =--+得2x 2x 30--+=，解得123,1x x =-=， ∵点B 在x 轴负半轴上， ∴点B 坐标为（-3,0）；如图1，连接PB ，PC ，PO ，∵点P 在第二象限抛物线223y x x =--+上，∴设点P 坐标为()2,23m m m --+（-3＜m ＜0），设四边形PBOC 的面积为S ， ∴=BOP COP S S S +△△2211232m m OB O m C =--++ ()()2332223m m m +=+--- 2399222m m =--+， ∵302-＜，∴当322b m a =-=-时，S 有最大值，此时，215234m m --+=， ∴当点P 坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭时，四边形PBOC 的面积最大；（2）存在，如图2，分点M 在x 轴上方或点M 在x 轴下方两种情况讨论． ①当点M 在x 轴上方时，点M 与点C 纵坐标相等，∴2233x x --+=，解得122,0x x =-=， ∴CM 1=2，∵四边形BQCM 1是平行四边形， ∴CM =BQ =2，∴满足条件的点Q 有两个，分别是Q 1（-5,0），Q 2（-1,0）； ②当点M 在x 轴下方时，点M 与点C 纵坐标互为相反数， ∴2233x x --+=-，解得1271,71x x =--=-，∴点M 2坐标为()713---，，点M 3坐标为()713--，，由平行四边形的性质得点B 向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点C ，∴点M 2向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点Q 3，点M 3向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点Q 4，∴Q 3的坐标为()720-+，，Q 4的坐标为()720+，；综上所述，满足条件的点Q 的坐标有四个，分别是Q 1（-5,0），Q 2（-1,0），Q 3()720-+，，Q 4()720+，．【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，解决第（1）步，关键是理解函数图象上点的坐标特点，将四边形分割为两个三角形，分别表示出三角形面积，得到函数解析式，并利用二次函数性质求解；解决第（2）步关键是理解平行四边形的性质，利用分类讨论思想求解，注意要充分考虑各种情况，不要漏解．6．（1）y ＝12x 2＋x −32；（2）（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）−12＜k ＜56且k≠0或56＜k＜43【解析】【分析】（1）把A（−3，0），B（1，0），52,2C⎛⎫⎪⎝⎭代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可；（2）把C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，分两种情况：①若AB为平行四边形的边时，②若AB为平行四边形的对角线时，得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；（3）分两种情况：①当E点在x轴上方时，②E点在x轴下方时，根据当α＝β时，列方程，可求出k的值，进而求出k的取值范围．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线经过A（−3，0），B（1，0），C（2，52）三点，∴9305 422a b ca b ca b c⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩，∴12132abc⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x−32；（2）如图1所示，将C点坐标代入直线CD，得2k＋b＝52，当x＝−1时，y＝−k＋b，即E（−1，−k＋b）．①若AB为平行四边形的边时，则F（-1+4，−k＋b）或F（-1-4，−k＋b），即：F（3，−k ＋b ）或F （-5，−k ＋b ），把F （3，−k ＋b ）代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6，把F （-5，−k ＋b ），代入y ＝12x 2＋x −32，得−k ＋b =6，又∵2k ＋b ＝52， ∴k =76-，b =296∴F （3，6）或（-5，6）；②若AB 为平行四边形的对角线时，则F 和E 关于x 轴对称， ∴F （−1，k -b ）， ∴k -b =-2，又∵2k ＋b ＝52， ∴k =16，b =136，∴F （−1，-2），综上所述：F 的坐标为（3，6）或（-5，6）或（−1，-2）；（3）如图2所示，①当E 点在x 轴上方时，如图2所示，当α＝β时，∵∠EHA ＝90°， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠AEH =∠EGH ， ∵∠AHF =∠FHG =90°， ∴AHF FHG ∽， ∴AE AHEG EH=， ∵A （−3，0），E （−1，−k ＋b ），G （bk-，0），∴()()2222221k bk bbk bk+-+=-+⎛⎫-++-+⎪⎝⎭，∴k2−bk−2＝0，联立方程220522k bkk b⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得k＝−12（k＝43舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的度数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程522k bk b⎧+⎪⎨⎪-+⎩＝＝，解得5656kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此当−12＜k＜56且k≠0时，α＞β；②E点在x轴下方时，如图4所示，当α＝β时，∵∠EHA＝90°，∴∠AEC＝90°，根据①可得此时k＝43（k＝−12舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的度数越来越大，因此当56＜k ＜43时，α＞β．综上所述可得，当α＞β时，k 取值范围为−12＜k ＜56且k ≠0或56＜k ＜43．【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数和相似三角形的判定和性质的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想方法是解题的关键．7．（1）34k =，5b =；（2）①OM =5；②()3,6N 或724,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）分别将将(4,3)A 代入y kx =和12y x b =-+中，求解即可；（2）①设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,证明△AFD ≌△EFD ，得到AD =ED ，利用中点坐标公式求得点D 坐标，用待定系数法求得直线FD 的函数表达式，令0y =,即可求得点M 的坐标，从而求得OM ；②点N 在直线l 1的上方，当△OFN 和△OFM 全等时，满足题意的点N 有两个，分别画出相关的图形，分类讨论求解即可．【详解】解：（1）∵直线l 1：y kx =和直线l 2：12y x b =-+相交于点A∴将(4,3)A 代入y kx =中，得：43k = 解得：34k =∴将(4,3)A 代入12y x b =-+中，得：1432b -⨯+=解得：5b =∴3,54k b == （2）① 设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D ,如下图：∵34k =，5b = ∴直线l 1的函数表达式为34y x =，直线l 2的函数表达式为152y x =-+∵(4,3)A ∴22345OA +设直线AB 与y 轴交与点C ，与FM 交于点D 则()0,5C ∴5OC = ∴5OA OC == ∴∠OCA =∠OAC ∵//FE y 轴 ∴∠OCA =∠FEA 又∵∠OAC =∠FAE ∴∠FAE =∠FEA ∴FA =FE又∵FM 是∠OFE 的角平分线 ∴∠AFM =∠EFM 又∵FD =FD ∴△AFD ≌△EFD ∴AD =ED ∴点D 为AE 的中点 ∵//FE y 轴∴点F 和点E 的横坐标相同将8x =代入152y x =-+中，得1y =∴()8,1E ∵(4,3)A ，()8,1E ∴()6,2D设线段FM 所在的直线函数表达式为()0y ax b a =+≠将()()8,6,6,2F D 代入y ax b =+中，得：8662k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：210k b =⎧⎨=-⎩∴线段FM 所在的直线函数表达式为210y x =- 令0y =，得2100x -= 解得：5x = ∴()5,0M ∴OM =5② 当,OFN FOM 全等时，有两种情况，情况一，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴∠OFN =∠FOM ，FN =OM ,ON =FM ∴//FN OM ∵OM =5 ∴FN =5,8F x =∴853N x =-=,6N F y y == ∴()3,6N情况二，当△OMF 和△ONF 关于直线l 1对称时，如下图所示：∵OFN FOM ≅△△∴ON =OM =5，∠NOF =∠MOF ∵OP =OP ∴△NOP ≌△MOP ∴PN =PM ∵()8,6F∴10OF 又∵1122OMFF SOM y OF PM =⋅=⋅ ∴F OM y OF PM ⋅=⋅ ∴56==310PM ⨯∴MN =2PM =6，OP 4 ∵1122OMN N S MN OP OM y =⋅=⋅△ ∴642455N y ⨯==∴75N x ==∴724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，满足题意点有两个，分别是：()3,6N 或724,55N ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数表达式，三角形全等的性质和证明，两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点，牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键．8．（1）y 14=-x 2+x +3；y 12=x +1；（2）△PAD 的面积的最大值为274，P （1，154）；（3）点Q 的坐标为（0，133）或（0，﹣9）【解析】【分析】（1）由A （﹣2，0）、B （6，0）设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣6），把D （4，3）的代入解析式解方程即可，再利用待定系数法求解一次函数的解析式；（2）如图1中，过点P 作PT y ∥轴交AD 于点T ．设P （m ，14- m 2+m +3），则T（m，12m+1），再利用面积列函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值即可；（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，再求解直线DT的解析式为y13=-x133+，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），求解直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，从而可得答案．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在抛物线上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a14 =-，∴抛物线的解析式为y14=-（x+2）（x﹣6）14=-x2+x+3，∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），则2043k mk m-+=⎧⎨+=⎩，解得，121km⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l的解析式为y12=x+1；（2）如图1中，过点P作PT y∥轴交AD于点T．设P（m，14-m2+m+3），则T（m，12m+1）．∵S△PAD12=•（xD﹣xA）•PT＝3PT，∴PT的值最大值时，△PAD的面积最大，∵PT14=-m2+m+312-m﹣114=-m212+m+214=-（m﹣1）294+，∵14-<0，抛物线开口向下，∴m＝1时，PT的值最大，最大值为94，此时△PAD的面积的最大值为274，P（1，154）．（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，过D作DM x⊥轴于,M过T作TN x轴于,N90,,TNA AMD TAD AD AT90,TAN ATN TAN DAM,ATN DAM,ATN DAM≌6,3,235,TN AM AN DM ON∴T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直线DT的解析式为y13=-x133+，∴Q（0，133），作点T关于AD的对称点T'，同理可得T'（1，﹣6），则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，133）或（0，﹣9）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．二次函数综合题中面积问题的解题通法:（1）直角坐标系中图形面积的求法，以“S三角形=12×水平底×铅直高”为基础求解.（2）图形面积的数量关系：①找出所求图形的顶点，其中动点的坐标根据函数关系式用含未知数的代数式表示出来；②结合图形作辅助线，并将关键线段的长度用含未知数的代数式表示出来；③利用面积公式用含未知数的代数式表示出图形的面积；④列方程求解.（3）图形面积的最值,解题思路跟（1）中的前三步相同，然后利用函数的增减性求解.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）15714BF=．【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论，（2）利用直角三角形两锐角互余、圆周角定理进行导角，得出MCG△和△FCG是等腰三角形，得出BM=MC=FG=CG，MH=HG，进而由BF=BM+MH-FH=FG-FH+HG，得出结论；（3）过O点作OP⊥AC，由垂径定理得出12PD=，再由52ABOADOS AB BOS AD OD===和平行线分线段成比例定理求出7724DH DP==，由勾股定理进而可求BH，再利用相似三角形对应边成比例求出HG，即可得BF长．【详解】解：（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB=AC，∴AB AC=，∵AE过圆心O，∴AE BC⊥，BE EC=，∴∠BAC=2∠BAE，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAE，∴∠BAC=2∠ABD；（2）如解图（2），连接OA并延长AO交BC于E，AE交BF于M，连接MC，设2BACα∠=，则ABD BAE EACα∠=∠=∠=∵AE =EC ，AE ⊥BC ，∴BM =MC ，∴∠MBC =∠MCB ，∵BG ⊥AC ，AE ⊥BC ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∠HBC +∠ACE =90°，∴EAC HBC MCB α∠=∠=∠=，∴2CMG MBC MCB α∠=∠+∠=，∵BC BC =，∴2G BAC α∠=∠=，∴∠G =∠CMG ，∴CG =CM =BM ，∵AC ⊥BG ，∴MH =HG ，∵OA =OC ，∴ACO EAC α∠=∠=∴9090CFG ACO α∠=︒-∠=︒-，∵180FCG CFG G ∠=︒-∠-∠，即180(90)290FCG ααα∠=︒-︒--=︒-，∴FCG CFG ∠=∠，∴FG =CG ，∴BM =MC =FG =CG ，又∵MH =HG ，∴BF =BM +MH -FH =FG -FH +HG ，∴BF =2HG ．（3）过O 点作OP ⊥AC ，如解图（3）∵AO 是∠BAC 的角平分线，∴点O 到AB 、AC 的距离相等， ∴ABO ADO SAB BO S AD OD==， ∵AD =2，CD =3，∴AB =AC =5， ∴5=2BO OD ，即：2=7OD BD ， ∵OP ⊥AC ，∴52AP PC ==，12PD =， ∵BH AC ⊥， ∴OP //BH ，∴27DP OP OD DH BH BD ===， ∴7724DH DP ==， ∴154AH AD DH =+=，5-4HC DC DH ==，∵在Rt ABH中，BH == ∵BAH G ∠=∠，AHB GHC ∠=∠， ∴AHB GHC △△，∴AH BH HG CH = 即：AH HC BHHG =， 51544=⨯， ∴HG =，由（2）得BF =2HG ，∴BF = 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，涉及了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等、直角三角形的两锐角相等找出图中角之间的关系，从而利用相似或勾股定理解题．10．（1）291515404y x x =+-，y ＝﹣34x ﹣15；（2）面积最大值225，C （﹣10，﹣30）；（3）S ＝﹣2553t +160t ﹣240．【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 即可求出抛物线的函数表达式；设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，然后利用待定系数法将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 即可求出直线AB 的函数表达式；（2）作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15），根据题意表示出CF 的长度，进而表示出ABC S ∆，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）作AN ⊥OD 于N ，AD 与FG 交于点I ，首先根据题意求出OC 的解析式，然后联立33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩求出点D 的坐标，然后求出AD OD =，利用等腰三角形三线合一性质求出ON 的长度，进而利用勾股定理求出AN 的长度，表示出S △AON ，然后证明出△GFI ∽△OGH ∽△ANO ，利用相似三角形的性质表示出S △IJF ＝803（t ﹣3）2，S △GOH ＝253t ，最后利用面积之间的关系即可求出S 与t 之间的函数关系式．【详解】解：（1）由题意得，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入抛物线y ＝ax 2+154x +c 得， 21515(20)(20)04c a c =-⎧⎪⎨-+⨯-+=⎪⎩， ∴15940c a =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴291515404y x x =+-，设AB 的函数表达式是y ＝kx +b ，将点A （﹣20，0），B （0，﹣15）代入y ＝kx +b 得，∴15200b k b =-⎧⎨-+=⎩， ∴1534b k =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴y ＝﹣34x ﹣15；（2）如图1，作CE ⊥OA 于E ，交AB 于F ，设C （a ，940a 2+154a ﹣15），F （a ，﹣34a ﹣15）， ∴FC ＝（﹣315)4a -﹣（2940a +154a ﹣15）＝﹣2940a ﹣92a ， ∴ABC S ∆＝12CF •AO ＝12（﹣2940a ﹣92a ）×20＝﹣94（a +10）2+225， ∴当a ＝﹣10时，ABC S ∆＝225，当a ＝﹣10时，y ＝29(10)40⨯-+()15104⨯-﹣15＝﹣30， ∴C （﹣10，﹣30）；（3）如图2，作AN ⊥OD 于N ，∵C （﹣10，﹣30），∴OC 的解析式是：y ＝3x ，由33154y x y x =⎧⎪⎨=--⎪⎩得， 412x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣4，﹣12），∵A （﹣20，0），OD 22412+10∴AD ()2220412-++=20，∴AD OD=，又∵AN⊥OD，∴ON＝12OD=AN=S△AON＝1160 22AN ON=⨯=，∵OE，OD＝，∴DE＝，∴JE＝3（），∴FJ＝EF﹣JEt﹣3（t）＝（t﹣3），∵OG AN FJ∥∥，∴GOH OAN DAN AJF∠=∠=∠=∠，又∵90G ANO F∠=∠=∠=︒，∴△GFI∽△OGH∽△ANO，∴IJFAONSS∆∆＝（FJAN）2＝2，GOHAONSS∆∆＝（OGAN）2）2，∴S△IJF＝803（t﹣3）2，S△GOH＝253t，∴S＝S正方形OEFG﹣S△IJF﹣S△GOH＝10t2﹣53t2﹣803（t﹣3）2＝﹣2553t+160t﹣240，故答案是：S＝﹣2553t+160t﹣240．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数与一次函数综合问题，相似三角形的性质和判定，二次函数中最大面积问题等知识，解题的关键是正确分析题目中的条件，设出点的坐标，根据相似三角形的性质以及勾股定理表示出相应的线段和面积．11．(1)(1,，图见解析(2)1322Cx-≤≤1122t<≤【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，勾股定理求解即可；（2）根据题意以MB为边作等边三角形MM B'，以M'为圆心1为半径作M'，根据线段中点坐标公式求解即可；（3）在（2）的基础上，先求得最小值，再确定2个圆心，第1个是A 点运动点C 对应的圆心P '，第2个是点B 的运动时点C 轨迹的对应的圆心P ，进而根据线段和最大，当,,P P Q '共线时候，t 最大，根据（2）的方法求解即可．(1)过点C 作CE x ⊥轴于点E ，作出点C ，B 的逆序等边三角形CBD ，如图1，()()1,03,0A B -,，ABC 是等边三角形()1131222AE BE AB ∴===--=，33CE AE ==()1,0E ∴，(1,3C ,ABC BCD 是等边三角形∴60DCB ABC ∠=∠=︒，AB AC BC CD BD ====,CD AB CD AB ∴=∥(5,23D ∴ 故答案为：(1,23，(5,23(2)如图2，以MB 为边作等边三角形MM B '，以M '为圆心1为半径作M '，点B (3，0)，点A 在以点M (-2，0)为圆心1为半径的圆上， ∴点A ，B 的逆序等边三角形ABC 的顶点C 在M '23122M x '-+∴== M '的半径为1∴111122C x -≤≤+ 即1322C x -≤≤(3)如图3，设N 与x 轴交于点G ，以GM 为边向上作等边三角形MGH ，以点H 为圆心1为半径，作H ，设直线y x =为1l ，y x t =+为2l ，过点H 作1HJ l ⊥，交x 轴于点J ，交1l 于点S ，交2l 于点L ，过点H ，作HI x ⊥轴于点I ，设2l 与x 轴的交点为T ，则OT t =根据题意，当C 点在第二象限时，能找到t 的最小值，根据定义可知，B 点与G 点重合时，A 点在M 上运动，则C 点在H 上运动，当2l 与H 相切时，t 最小， ()2,0M -,()3,0N ，M 的半径为1，N 的半径为2， 2,321OM OG ∴==-=3MG ∴=33HI ∴=1322MI MG == 1,02I ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 1332H ⎛∴- ⎝⎭1l 与x 轴的夹角为45°，1HJ l ⊥，HI x ⊥轴， HIJ ∴是等腰直角三角形 HI IJ ∴=HJ ∴===12OI =12OJ ∴1,02J ⎫∴⎪⎪⎝⎭1LJ HJ HL ∴=-=12l l ∥ LTJ ∴是等腰直角三角形1TJ ∴===⎝3122OJ =1122TO TJ JO ⎫=-==⎪⎪⎝⎭即t 12， B 的纵坐标0d >，则12t > 如图4，作,M N 的逆序等边三角形MNP '，以P '为圆心，1为半径作P '，则1PP AM '==，连接,AM PP ',ANP MNP '是等边三角形，,,60AN NP MN NP ANP MNP ''∴==∠=∠=︒PNP ANM '∴∠=∠PP N AMN '≌∴当,,P P Q '共线时候，t 最大以P 为圆心，2为半径作半圆P ，当直线y x t =+与半圆P 相切时，设切点为Q ，当C 点与Q 点重合时，即可取得t 的最大值，最大值即为T O '的长，()()2,0,3,0M N - ∴1532P ⎛' ⎝⎭过点P '作P P x '''⊥轴于点P ''，如图，。

2020-2021九年级中考数学初中数学旋转解答题压轴题提高专题练习附答案

2020-2021九年级中考数学初中数学旋转解答题压轴题提高专题练习附答案一、旋转1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。

（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。

【答案】（1）1302α︒-（2）见解析（3）30α=︒ 【解析】解：（1）1302α︒-。

（2）△ABE 为等边三角形。

证明如下：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，∴BC=BD ，∠DBC=60°。

又∵∠ABE=60°，∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。

在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。

∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。

∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。

∴BEC BAD ∠=∠。

在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ，∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。

∴AB=BE 。

∴△ABE 为等边三角形。

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。

又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。

∴DC=CE=BC 。

∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。

而1EBC 30152α∠=︒-=︒。

∴30α=︒。

初三中考数学压轴题精选100题(含答案)

初三中考数学压轴题精选100题（含答案）一、中考压轴题1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．2．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．3．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2＝2160解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）＝2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．6．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．（1）求证：△POD≌△ABO；（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．【解答】（1）证明：连接PB，∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，∵P A＝PB，∴△P AB是等边三角形，∴AB＝P A，∠BAO＝60°，∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，在△POD和△ABO中，∴△POD≌△ABO（ASA）；（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO＝∠AOB，∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，∴∠PDO＝30°，∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，∴点P的坐标为：（﹣，0）∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+3．【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．7．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA 中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）2＝（2﹣）（2+n），就可求得m与n关系．【解答】解：（1）两个三角形全等．∵△AOB、△CBD都是等边三角形，∴OBA＝∠CBD＝60°，∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD；∵OB＝AB，BC＝BD，△OBC≌△ABD；（2）点E位置不变．∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，或∠AEO＝30°，得AE＝2，∴OE＝∴点E的坐标为（0，）；（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，AE＝＝2，（）2＝（2﹣）（2+n）即2n2+n﹣2m﹣mn＝0解得m＝．【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．8．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林面积年平均增长率为x，依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．9．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．（1）试求口袋里绿球的个数；（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．（2）红一红二黄绿红一红二，红一黄，红一绿，红一红二红一，红二黄，红一绿，红二黄红一，黄红二，黄绿，黄绿红一，绿红二，绿黄，绿故，P（两次都摸到红球）＝．【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．11．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A 类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w A+w B﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，设直线AB解析式为：y＝kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y＝﹣x+14；②当x≥8时，y＝6．所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y＝；（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x2+7x+48；当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x∴w＝w A+w B﹣3×20＝（5x）+（108﹣6x）﹣60＝﹣x+48．∴w关于x的函数关系式为：w＝．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．①当2≤x＜8时，w A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x2+7x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，此时m＝，m﹣x＝；②当x≥8时，w A＝6x﹣x＝5x；w B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12∴w＝w A+w B﹣3×m＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m＝﹣x+3m﹣12．将3m＝x+60代入得：w＝48∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．12．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【解答】解：（1）连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．∵CE是直径，∴∠CDE＝90°．∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，∴∠ABP′＝∠C′．∵P′E是直径，∴∠EAP′＝90°，∴∠AP′E+∠E＝90°．又∠ABP′＝∠E，∴∠AP′E+∠C′＝90°，即CD与PO1的位置关系是互相垂直；（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．13．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．14．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2×•EO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．15．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120．∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当0≤x≤20时y＝80x，∴k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝20时，y最大＝1600；当20≤x≤220时y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840．∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．16．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；（2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．【解答】解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OF A＝90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝∴的长＝＝π．（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1＝∠DMN＝60°∴∠EM1N1＝120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O＝∠EM1N1＝60°在Rt△EM1O中，EM1＝＝＝1∴DM1＝AD﹣AE﹣EM1＝+5﹣﹣1＝4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK＝DM1×sin∠DM1K＝4×sin∠60°＝2即d＝2，∴当d＝2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心O时，记为M2N2，点D到M2N2的距离d＝DK+OR＝2+＝3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．（1）求证：AP＝AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO＝DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP＝∠ADO＝90°，从而得证；（3）设C0＝3k，AC＝8k，表示出AE＝CO＝3k，AO＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出PE＝4k，BC＝BD＝10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k＝1然后在Rt △BDO中，利用勾股定理列式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，又∵∠CBO＝∠ABP，∴∠BOC＝∠APB，∵∠BOC＝∠AOP，∴∠AOP＝∠APB，∴AP＝AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO＝∠ABP，∴CO＝DO，∵AE＝OC，∴AE＝OD，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠P AE+∠OAD＝90°，∴∠AOD＝∠P AE，在△AOD和△P AE中，，∴△AOD≌△P AE（SAS），∴∠AEP＝∠ADO＝90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE＝OC＝3k，∵AE＝AC，∴AC＝8k，∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，∴OA＝OE+AE＝5k．由（1）可知，AP＝AO＝5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．在Rt△AOD中，AD＝＝＝4k．∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k＝1，∵AB＝10，PE＝AD，∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO＝＝＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k＝1是解题的关键．20．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．。

2023年中考数学专题练习：反比例函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题练习--反比例函数与一次函数的综合1．如图， A B 、两点的坐标分别为 ()()2,0,0,3- ，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转90°得到线段BC ，过点 C 作 CD OB ⊥ ，垂足为 D ，反比例函数 ky x=的图象经过点 C .（1）直接写出点 C 的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点 P 在反比例函数 ky x=的图象上，当 PCD 的面积为3时，求点 P 的坐标. 2．如图，四边形ABCD 是矩形，点A 在第四象限y 1＝﹣ 2x 的图象上，点B 在第一象限y 2＝ kx 的图象上，AB 交x 轴于点E ，点C 与点D 在y 轴上，AD ＝ 32 ，S 矩形OCBE ＝ 32S 矩形ODAE .（1）求点B 的坐标.（2）若点P 在x 轴上，S △BPE ＝3，求直线BP 的解析式.3．如图，直线y=2x+4与反比例函数y=kx的图象相交于A （﹣3，a ）和B 两点（1）求k 的值；（2）直线y=m （m ＞0）与直线AB 相交于点M ，与反比例函数的图象相交于点N ．若MN=4，求m 的值；（3）直接写出不等式65x - ＞x 的解集． 4．如图，直线y=3x 与双曲线y= kx（k≠0，且x ＞0）交于点A ，点A 的横坐标是1．（1）求点A 的坐标及双曲线的解析式；（2）点B 是双曲线上一点，且点B 的纵坐标是1，连接OB ，AB ，求△AOB 的面积．5．如图，点A （m ，6）、B （n ，1）在反比例函数图象上，AD△x 轴于点D ，BC△x 轴于点C ，DC=5．（1）求m 、n 的值并写出该反比例函数的解析式．（2）点E 在线段CD 上，S △ABE =10，求点E 的坐标．6．如图，在矩形OABC 中，OA=3，OC=2，F 是AB 上的一个动点（F 不与A ，B 重合），过点F 的反比例函数kyx=（k ＞0）的图象与BC 边交于点E ．（1）当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；（2）当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？7．如图6，正比例函数 2y x = 的图象与反比例函数 ky x=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC △x 轴于点C ，连接BC ，若△ABC 面积为2.（1）求k 的值；（2）在x 轴上是否存在点D ，使△ABD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.8．如图，在平面直角坐标系中，直线EF 交x ，y 轴子点F ，E ，交反比例函数 ky x=（x ＞0）图象于点C ，D ，OE=OF= 52，以CD 为边作矩形ABCD ，顶点A 与B 恰好落在y 轴与x 轴上．（1）若矩形ABCD 是正方形，求CD 的长。

中考数学阅读题训练精选(2)

中考数学阅读题训练精选（2）1．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．譬如：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为6（1）直接写出：线段AB的长度，线段AB的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+2|+|x﹣6|有最小值是，|x+2|﹣|x﹣6|有最大值是；（3）点C在数轴上对应的数为10，动点P从原点出发在数轴上运动，若存在某个位置，使得P A+PB＝PC，则称点P是关于点A，B，C的“石室幸运点”，请问在数轴上是否存在“石室幸运点”？若存在，请直接写出所有“石室幸运点”．2．北师大版初中数学教科书七年级下册第126页告诉我们利用尺规作已知角的平分线的方法．请根据提供的材料完成以下问题：例2利用尺规，作∠AOB的平分线（图5﹣18）．已知：∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．做法：1．在OA和OB上分别截取OD，OE使OD＝OE．2．分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．3．作射线OC．OC就是∠AOB的平分线（图5﹣19）（1）连接EC，DC，可以说明△OCE≌△OCD的依据是（填序号）．①ASA；②AAS；③SSS；④SAS．（2）求证：OC平分∠BOA．3．几何学的产生，源于人们对土地测量的需要，后来由实际问题抽象成为数学问题．初中数学常见的几何模型有很多，通过整理归纳，可以从这些基本模型中找到其所藻蕴含的规律．【提出问题】如图1，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，△ADE绕点A旋转，连结BD、EC，小明通过探究得到∠ABD与∠BCE的大小存在某种数量关系，具体探究过程如下．【探究问题】小明先将上述问题“特值化”，如图1，令AB＝1，AD＝，∠ABD＝100°，则可证明△ABD和△ACE相似，进而可求得∠BCE的度数．请你帮助小明完成解答过程．【解决问题】将问题“一般化”，如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，∠ABD与∠BCE 满足的数量关系为．【拓展应用】如图3，过线段AB的端点B作射线BM⊥AB，Rt△ADE的直角顶点D在射线BM上运动，连结BE，若AB＝4，＝，则BE的最小值为．4．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；（2）求当t为何值时，PQ＝2；（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段MN的长．5．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b﹣a．【问题情境】数轴上三点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中A在原点左侧，距原点4个单位，b是最大的负整数，C在原点右侧，且AC＝9．如图②，动点M从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，与此同时，过点N从点C出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴向右匀速运动，一只电子狗Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时向为t秒（t＞0）．【问题探究】（1）a＝，b＝，c＝；（2）在运动过程中，4MN+aMQ的值不随t的变化而变化，请求出a的值；（3）如果在C处竖立一块挡板，当电子狗Q到达C时，被挡板弹回，以同样的速度向相反的方向运动．问：当t为何值时，电子狗Q到M，N的距离相等？并求出此时电子狗Q的位置．6．阅读理解：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m、k为常数），则x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，其中m＝1，k＝2．（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m、k的值；（2）已知在初中数学学习中，一个数的平方总是非负数，请问﹣x2+8x﹣17有最小值或者最大值吗？有的话，请说明是最小值还是最大值，并求出这个值，以及此时x的取值．7．为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是人，补全统计图①；（2）图②中扇形C的圆心角度数为度；（3）若参加成果展示活动的学生共有2400人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．8．综合探究【背景知识】数轴是初中数学的一个重要⼯具，利⼯数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b （b＞a），则线段AB的⼯（点A到点B的距离）可表示为b﹣a．请⼯上⼯材料中的知识解答下⼯的问题：【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位⼯度到达点A，再向右移动3个单位⼯度到达点B，然后再向右移动5个单位⼯度到达点C．（1）【问题探究】请在图②中表示出A、B、C三点的位置；（2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位⼯度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位⼯度、每秒3个单位⼯度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒（t＞0）．①A，B两点间的距离AB＝，AC＝；②若点D、E分别是线段AB，BC的中点，求线段DE的长；③⼯含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为．9．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；（2）当t为何值时，？（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】已知，点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式﹣x3+8x2+ax2+24x ﹣2bx+3不含x2项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M 的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）直接写出OA＝；OB＝；（2）①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为；点N表示的数为．②当t为何值时，恰好有AN＝2AM？（3）若点P为线段AM的中点，Q为线段BN的中点，M、N在运动的过程中，PQ+MN 的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，PQ+MN有最小值，最小值是多少？11．图形变换是初中数学学习的重要内容，某兴趣学习小组的同学利用所学知识，进行了一系列的图形变换操作实践活动，让我们一起来体验他们的探究过程吧．（1）轴对称：将正方形纸片ABCD折叠，使边AD、AB都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1，求∠EAF的大小；（2）旋转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点H、G，连接GH，如图2，则线段BH、GH．DG之间存在的数量关系为，并证明你的结论；（3）计算：在图2中，连接正方形对角线BD，若∠GAH的两边AH、AG分别交对角线BD于点M、点N．如图3，若BM＝3，DN＝4，求正方形ABCD的面积．12．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|，若a＞b，则可化简为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数；（2）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为；（3）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度．13．阅读下列材料：材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：设x+2＝t，则x＝t﹣2．∴原式＝＝t﹣7+∴＝x﹣5+材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a＞0，b＞0时，∵+＝（）2+（）2＝（﹣）2+2∴当＝，即a＝b时，+有最小值2．根据以上阅读材料回答下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为；（2）已知分式的值为整数，求整数x的值；（3）当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值及此时x的值．14．安阳某初中数学小组在学习了“三角形外角和”后，就证明问题进行了探讨：已知：如图，∠4，∠5，∠6是△ABC的三个外角．求证：∠4+∠5+∠6＝360°．（1）该小组的明明进行了如下的证明，请你补充完整：证法1：∵∠4是△ABC的一个外角，∴．同理，∠5＝∠1+∠3．∠6＝∠1+∠2．∴∠4+∠5+∠6＝2（∠1+∠2+∠3）．∵．∴∠4+∠5+∠6＝2×180°＝360°（2）事实上，还有另外一种证明方法，请你给该小组展示出来．15．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：（一）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是；（2）一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是；（3）数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为；（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．（4）若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示的点重合；（5）若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为；（6）在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点折叠后重合，折痕与数轴交于M点；将点P与点M折叠后重合，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为．。

专题21 双等腰旋转问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)

专题21 双等腰旋转问题【规律总结】“双等腰旋转”是旋转型全等的重要组成部分，也是初中阶段常考的重要题型.与平移、对称类似，利用全等将线段或角的位置转移，把分散的条件集中在一起，在选择题、填空题、解答题经常出现.解答这类问题的关键是掌握基本模型的结构.【基本模型】1.已知条件当中若存在两个等腰三角形其顶角顶点重合，则本身就存在双等腰旋转全等：共顶点双等腰直共顶点双等腰2.已知条件当中若只存在一个等腰三角形，可以利用“已知等腰、构造等腰”的思路构造双等腰旋转：【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，△BEF的度数是（）A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证∠ACD∠∠BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰∠BEF，则可计算出∠BEF 的度数．【详解】解：由旋转性质可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∠∠ACB＝90°，AC＝BC，∠∠A＝45°．∠∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∠∠ACD∠∠BCE．∠∠CBE＝∠A＝45°．∠AD＝BF，∠BE＝BF．∠∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．例2．（2020·山西八年级期末）如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=___________度．【答案】132【分析】先证明∠BDC∠∠AEC ，进而得到角的关系，再由∠EBD 的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：∠90ACB ECD ∠=∠=︒，∠BCD ACE ∠=∠，在BDC ∆和AEC ∆中，AC BC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BDC AEC SAS ∆∆≌，∠DBC EAC ∠=∠，∠42EBD DBC EBC ︒∠=∠+∠=，∠42EAC EBC ︒∠+∠=，∠904248ABE EAB ︒︒︒∠+∠=-=，∠180()18048132AEB ABE EAB ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．例3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证∠BAD∠∠CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“SAS”可证∠ADB∠∠AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∠AB=AC ，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠DAE=∠BAC ，∠∠BAD=∠CAE ，在∠BAD 和∠CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD∠∠CAE （SAS ）∠∠ABC=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∠∠BAC=∠DAE ，∠∠BAC -∠DAC=∠DAE -∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE （SAS ），∠∠B=∠ACE ．∠∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∠∠ACE+∠ACB=β，∠∠B+∠ACB=β，∠α+∠B+∠ACB=180°，∠α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∠DAE BAC ∠=∠，∠DAB EAC ∠=∠，在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC(SAS)， ∠ABD ACE ∠=∠，∠ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∠BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∠BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明∠ABD∠∠ACE 是解本题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△BAF=△CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ．则下列结论：①BG=CF ；②BG△CF ；③△EAF=△ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】D【分析】由题意易得FAC BAG ≌，根据全等三角形的性质可进行分析排除．【详解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC ，∠FAC=∠FAB+∠BAC ，∴∠BAG=∠FAC ，AB=AF ，AC=AG ，∴FAC BAG ≌，∴BG=FC ，∠AGB=∠ACF ，故①正确；∠AGC=∠AGB+∠BGC ，∠GCF=∠ACF+∠GCA ，∠GCA=∠AGC ，∴∠BGC+∠FCG=∠AGC -∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，∴BG∠CF ，故②正确；∠FAE+∠BAD=90°，AD∠BC ，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠FAE=∠ABD ，故③正确；如图，设GH 与FC 交于H 点，连接EH ，由①②③易得∠FHE=∠EHF ，所以EF=EH ，即EF=EH=EG ，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．2．（2019·北京市八一中学）如图，//AB CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线相交于点G ，EG AC ⊥于点E ，F 为AC 中点，GH CD ⊥于H ，FGC FCG ∠=∠．下列说法正确的是( )①AG CG ⊥；②BAG CGE ∠=∠；③AFG GFC S S ∆∆=；④若:2:7EGH ECH ∠∠=，则150AFG ∠=︒．A ．①③④B ．②③C ．①②③D ．①②③④【答案】C【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GAC GCA ∠+∠=︒从而根据三角形的内角和定理得到90AGC ∠=︒，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知CGE GAC ∠=∠，再由角平分线的定义与等量代换可知BAG CGE ∠=∠，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出EGH ECH ∠∠，的度数，再求出50EGF ∠=︒，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．【详解】①中，∠AB ∠CD ，∠180BAC ACD ∠+∠=︒，∠∠BAC 与∠DCA 的平分线相交于点G ， ∠11121809022GAC GCA BAC ACD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∠180GAC GCA AGC ∠+∠+∠=︒，∠90AGC ∠=︒∠AG ∠CG ，则①正确；②中，由①得AG ∠CG ，∠EG AC ⊥，FGC FCG ∠=∠，∠根据等角的余角相等得CGE GAC ∠=∠，∠AG 平分BAC ∠，∠=BAG GAC ∠∠，∠BAG CGE ∠=∠，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∠F 为AC 中点，∠AF =CF ，∠AFG ∆与GFC ∆等底等高，∠AFG GFC S S ∆∆=，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH 中，180EGH ECH ∠+∠=︒，又∠:2:7EGH ECH ∠∠=， ∠271804018014099EGH ECH ∠=︒⨯=︒∠=︒⨯=︒，， ∠CG 平分∠ECH ， ∠1702FCG ECH ∠=∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC ∠=︒.∠FGC FCG ∠=∠，∠70FGC FCG ∠=∠=︒，∠50EGF FGC ECG ∠=∠-∠=︒，∠EG AC ⊥，∠9040GFE EGF ∠=︒-∠=︒，∠180********AFG GFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，则④错误.故正确的有①②③，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.二、填空题3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=2PC 2【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt∠PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD∠AB，交AB于点D∠∠ACB为等腰直角三角形，CD∠AB，∠CD=AD=DB，∠PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∠PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt∠PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∠PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.4．（2020·仪征市实验中学九年级三模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC 的面积为____．【答案】30【分析】设AO 与BC 的交点为点G ，根据等腰直角三角形的性质证∠AOC∠∠BOD ，进而得出∠ABC 是直角三角形，设AC ＝x ，BC=x+7，由勾股定理求出x ，再计算∠ABC 的面积即可．【详解】解：设AO 与BC 的交点为点G ，∠∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠∠AOC ＝∠DOB ，在∠AOC 和∠BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠AOC∠∠BOD （SAS ），∠AC ＝BD ，∠CAO ＝∠DBO ，∠∠DBO ＋∠OGB ＝90°，∠∠OGB ＝∠AGC ，∠∠CAO ＋∠AGC ＝90°，∠∠ACG ＝90°，∠CG∠AC ，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，∠BD、CD在同一直线上，BD∠AC，∠∠ABC是直角三角形，∠AC2＋BC2＝AB2，()222713x x++=,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S= 151230 2⨯⨯=，故答案为：30．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．三、解答题5．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以BC为斜边作直角三角形BCP，连接OP．（1）如图所示，易证：CP BP=+；（2）当点P的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段CP、BP、OP之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．【答案】（1）见解析；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明()OCE OBP SAS ≅，得到EOP △是等腰直角三角形，所以有PE =，从而证得CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，可以证得BP CP =+；第三幅图的结论是BP CP +=，证明方法一样是构造三角形全等，由()OBE OCP SAS ≅可以证出结论．【详解】解：（1）如图，在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，∠四边形ABCD 是正方形，∠OB=OC ，90BOC ∠=°，∠BP CP ⊥，∠90BOC BPC ∠=∠=︒，∠OFC PFB ∠=∠，∠OCE OBP ∠=∠，在OCE △和OBP 中，OC OB OCE OBP CE BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()OCE OBP SAS ≅，∠OE OP =，COE BOP ∠=∠，∠BOC BOE COE ∠=∠+∠，EOP BOE BOP ∠=∠+∠，∠90EOP BOC ∠=∠=︒，∠EOP △是等腰直角三角形，∠PE =，∠CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=，证明第二幅图的结论：如图，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，同（1）中证明()OCE OBP SAS ≅的过程证明()OBE OCP SAS ≅，同理OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠BP BE EP CP =+=；第三幅图的证明过程是：如图，延长PB 至点E ，使BE=CP ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠EP EB BP CP BP =+=+，CP BP =+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．6．（2020·台州市书生中学八年级期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．（3）如图2，若BC△BO，BC＝BO，作BD△CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE ＝BE+CE．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；（2）可通过证明∠ABG与∠OBE全等，得到∠APO＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP＝2AO；（3）做辅助线在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通过边角转换证明∠ABE与∠CBM 全等，即可得到∠BEM为等边三角形，从而可证AE＝AM+EM ＝CE+BE.【详解】解：（1）如图1，∠AOB 为等边三角形，理由是：∠将绕OB 绕O 点旋转至OA∠∠AOB=60°，∠AO ＝AB∠∠AOB 为等边三角形；（2）AP ＝2AO ，理由为：证明：∠∠AOB 与∠BGE 都为等边三角形，∠BE ＝BG ，AB ＝OB ，∠EBG ＝∠OBA ＝60°，∠∠EBG+∠EBA ＝∠OBA+∠EBA ，即∠ABG ＝∠OBE ，在∠ABG 和∠OBE 中，BE BG ABG OBE AB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABG∠∠OBE （SAS ），∠∠BAG ＝∠BOE ＝60°，∠∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∠∠GAO为∠AOP的外角，且∠AOP＝90°，∠∠APO＝30°在Rt∠AOP中，∠APO＝30°，则AP＝2AO．（3）补全图形，在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∠∠AOB 为等边三角形，∠BOC为等腰直角三角形，∠∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∠D为CO的中点，∠BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∠∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∠∠BAC＝∠BCA＝15°，∠∠AEB＝15°+45°＝60°，在∠ABE和∠CBM 中，∠AB CBBAE BCMAE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBM （SAS），∠BM＝BE，∠∠BEM为等边三角形，∠BE＝EM，∠AE＝AM+EM＝CE+BE；【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.。

2023年中考数学一轮专题练习图形的平移、折叠和旋转(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转2一、单选题（本大题共10小题）1. （天津市2022年）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A ．B ．C ．D ．2. （湖南省娄底市2022年）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3. （湖南省郴州市2022年）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4. （江苏省常州市2022年）在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点1A 关于x 轴对称，点A 与点2A 关于y 轴对称．已知点1(1,2)A ，则点2A 的坐标是（） A ．(2,1)- B ．(2,1)--C ．(1,2)-D ．(1,2)--5. （湖南省长沙市2022年）在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是（） A ．(5,1)- B ．(5,1)- C ．(1,5) D ．(5,1)-- 6. （湖南省邵阳市2022年）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（） A ．等边三角形B ．圆C ．长方形D ．正方形7. （湖南省怀化市2022年）如图，△ABC 沿BC 方向平移后的像为△DEF ，已知BC =5，EC =2，则平移的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．48. （湖南省衡阳市2022年）下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（）A ．可回收垃圾B ．其他垃圾C ．有害垃圾D ．厨余垃圾9. （四川省雅安市2022年）在平面直角坐标系中，点（a +2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b ），则ab 的值为（） A ．﹣4B ．4C ．12D ．﹣1210. （天津市2022年）如图，在△ABC 中，AB =AC ，若M 是BC 边上任意一点，将△ABM 绕点A 逆时针旋转得到△ACN ，点M 的对应点为点N ，连接MN ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB AN = B ．AB NC ∥ C ．AMN ACN ∠=∠D ．MN AC ⊥二、填空题（本大题共8小题）11. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）在平面直角坐标系中，线段AB 的端点(3,2),(5,2)A B ，将线段AB 平移得到线段CD ，点A 的对应点C 的坐标是(1,2)-，则点B 的对应点D 的坐标是．12. （吉林省2022年）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角()0360αα︒<<︒后能够与它本身重合，则角α可以为度．（写出一个即可）13. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE △沿BE 翻折得到FBE ，连接GF ．当GF 最小时，AE 的长是．14. （辽宁省大连市2022年）如图，对折矩形纸片ABCD ，使得AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 的对应点A '落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ．连接，若，，则的长是．15. （辽宁省大连市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是1,2，将线段OA 向右平移4个单位长度，得到线段BC ，点A 的对应点C 的坐标是．16. （江苏省扬州市2022年）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D；第MF MF BM ⊥6cm AB =ADcm2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN += ．17. （江苏省无锡市2022年）△ABC 是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE 交于点F ．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC =20°，则∠BAF ＝ °；现将△DCE 绕点C 旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是．18. （湖北省荆州市2022年）规定：两个函数，的图象关于y 轴对称，则称这两个函数互为“Y 函数”．例如：函数与的图象关于y 轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数（k 为常数）的“Y 函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y 函数”的解析式为．三、解答题（本大题共5小题）19. （四川省自贡市2022年）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．1y 2y 122y x =+222y x =-+()2213y kx k x k =+-+-(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝， EF ＝；(2)进一步观察，我们还会发现EF ∥AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．20. （湖北省十堰市2022年）已知90ABN ∠=︒，在ABN ∠内部作等腰ABC ，AB AC =，()090BAC αα∠=︒<≤︒．点D 为射线BN 上任意一点（与点B 不重合），连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转α得到线段AE ，连接EC 并延长交射线BN 于点F ．(1)如图1，当90α=︒时，线段BF 与CF 的数量关系是；(2)如图2，当090α︒<<︒时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若60α=︒，AB =BD m =，过点E 作EP BN ⊥，垂足为P ，请直接写出PD 的长（用含有m 的式子表示）．21. （黑龙江省绥化市2022年）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．(1)如图一，在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G .利用面积证明：DE DF CG +=．(2)如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B ′处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N .若8BC =，3BE =，求GM GN +的长．(3)如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，连接BD ，且AB AECD DE=，BC =3CD =，6BD =，求ED EA +的长． 22. （天津市2022年）将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(3,0)A ，点(0,6)C ，点P 在边OC 上（点P 不与点O ，C 重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且30OPQ ∠=︒，点O 的对应点O '落在第一象限．设OQ t =．(1)如图①，当1t =时，求O QA ∠'的大小和点O '的坐标；(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，,O Q O P ''分别与边AB 相交于点E ，F ，试用含有t 的式子表示O E '的长，并直接写出t 的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为t 的值可以是（请直接写出两个不同．．．．的值即可）．23. （湖北省鄂州市2022年）如图1，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在y 轴的正半轴上，且OA =6，斜边OB =10，点P 为线段AB 上一动点．(1)请直接写出点B 的坐标；(2)若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；(3)如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；(4)如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．参考答案1. 【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．不是轴对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2. 【答案】D【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，故选：D．3. 【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误．故答案为B．4. 【答案】D【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，A点坐标，即可得出答案．2【详解】解：∵点1A的坐标为（1，2），点A与点1A关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），∵点A与点A关于y轴对称，2∴点A的坐标是（-1，﹣2）．2故选：D．5. 【答案】D【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】--．解：点(5,1)关于原点对称的点的坐标是(5,1)故选D．6. 【答案】B【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．7. 【答案】C【分析】根据题意判断BE的长就是平移的距离，利用已知条件求出BE即可．【详解】因为ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，所以BE的长等于平移的距离，由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，所以BE=BC-ED=5-2=3,故选 C．8. 【答案】C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，B．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，C．既是中心对称又是轴对称图形，D．是轴对称图形但不是中心对称图形，故选C．9. 【答案】D【分析】a b，可得a，b的值，再首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得240,20代入求解即可得到答案．【详解】解：点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴240,20a b，a b解得：6,2,ab12,故选D10. 【答案】C【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．11. 【答案】(1,2)【分析】根据点的平移法则：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可．【详解】解：点A（3，2），点A的对应点C（-1，2），将点A（3，2）向左平移4个单位，所得到的C（-1，2），∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2），故答案为：(1,2)．12. 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角3601606︒∠==︒， 0360α︒<<︒， ∴角α可以为60︒或120︒或180︒或240︒或300︒，故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．13. 【答案】5【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模型（比如将军饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得到结论．【详解】解：①分析所求线段GF 端点：G 是定点、F 是动点；②动点F 的轨迹：正方形ABCD 的边长为10，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE △沿BE 翻折得到FBE ，连接GF ，则10BF BA ==，因此动点轨迹是以B 为圆心，10BA =为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF 最小值对应的线段为10GB -；⑤求线段长，连接GB ，如图所示：在Rt BCG ∆中，90C ∠=︒，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，则5,10CG BC ==，根据勾股定理可得BG =当G F B 、、三点共线时，GF最小为10，接下来，求AE 的长：连接EG ，如图所示根据翻折可知,90EF EA EFB EAB =∠=∠=︒，设AE x =，则根据等面积法可知EDG BCG BAE BEG S S S S S ∆∆∆∆=+++正方形，即()111111005105101022222DE DG BC CG AB AE BG EF x x ⎡⎤=⋅+⋅+⋅+⋅=-+⨯++⎣⎦整理得)120x =，解得2015x AE====，故答案为：5．14. 【答案】【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，分别根据直角三角形中的三角函数求出AM 和DM ，从而得到答案．【详解】解：如下图所示，设A E '交BM 于点O ，连接AO ，∵点E 是中点，∴在Rt ABM 和 Rt A BM '中，,AO OM OB OA OB OM '====,∴,OAE OBE OBA OA B ''∠=∠∠=∠ ，∵OBE OBA '∠=∠，AOA M 'AOM∴OAE OA B '∠=∠ ，∵90,90OAE AOE OA B OA M ︒︒''∠+∠=∠+∠=，∴AOE OA M '∠=∠，∴//AO A M '，∵//AM OA '∴四边形AOA M '是平行四边形，∴AM OA '=∴AM AO OM ==,∴是等边三角形，∴∴ ∴∵，，∴，∴，∵， ∴∴故答案为：15. 【答案】()5,2【分析】由将线段OA 向右平移4个单位长度，可得点A 1,2向右边平移了4个单位与C 对应，再利用“右移加”即可得到答案．【详解】解：∵将线段OA 向右平移4个单位长度，∴点A 1,2向右边平移了4个单位与C 对应，∴14,2,C 即5,2,C故答案为：5,2.16. 【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】AOM 60AMO OMA ︒'∠=∠=tan tan 60AB AMO AM ︒∠==AM =MF BM ⊥60OMA ︒'∠=30A MF ︒'∠=18015030DMF ︒︒︒∠=-=132DF AB ==tan 30DF MD ==︒AD AM MD =+=解：∵已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ， ∴12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ∵第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，∴AM DM =，AN ND =，∴MN AD ⊥，∴MN BC ．∵AM DM =，∴MN 是ADC 的中位线， ∴12MP DB '=，12MN DC =． ∵12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=， ∴()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='．故答案为：6．17. 【答案】80 4##4【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC =∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°，∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°，即∠DCB =∠ECA ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （ SAS ），∴∠EAC =∠DBC ，∵∠DBC =20°，∴∠EAC =20°，∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°；设BF 与AC 相交于点H ，如图：∵△ACE ≌△BCD∴AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∴∠AFB =∠ACB =60°，∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∵点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∴此时线段AF 长度有最小值，在Rt △BCD 中，BC =5，CD =3，∴BD4，即AE =4，∴∠FDE =180°-90°-60°=30°，∵∠AFB =60°，∴∠FDE =∠FED =30°，∴FD =FE ，过点F 作FG ⊥DE 于点G ，∴DG =GE =32， ∴FE =DF =cos30DG ︒∴AF =AE -FE故答案为：80；18. 【答案】或【分析】分两种情况，根据关于y 轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．【详解】解：函数（k 为常数）的“Y 函数”图象与x 轴只有一个交点，函数（k 为常数）的图象与x 轴也只有一个交点，当k =0时，函数解析为，它的“Y 函数”解析式为，它们的图象与x 轴只有一个交点，23y x =-244y x x =-+-()2213y kx k x k =+-+-∴()2213y kx k x k =+-+-23y x =--23y x =-当时，此函数是二次函数，它们的图象与x 轴都只有一个交点，它们的顶点分别在x 轴上，，得，故k +1=0，解得k =-1，故原函数的解析式为，故它的“Y 函数”解析式为，故答案为：或．19. 【答案】(1)CD ，AD ；(2)见解析；(3)EF 于BC 之间的距离为64cm ．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD 的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC 是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH 的长，再证明△BCH ∽△BGE ，得到BH CH BE EG=，代入数值求解EG ，即可得到答案．(1)解：∵ 把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．∴由旋转的性质可知矩形ABCD 的各边的长度没有改变，∴AB ＝BE ，EF ＝AD ，CF ＝CD ，故答案为：CD ，AD ；(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∵AB ＝BE ，EF ＝AD ，CF ＝CD ，∴BE ＝CF ，EF ＝BC ，∴四边形BEFC 是平行四边形，∴EF BC ，∴EF AD ；(3)解：如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ， 0k≠∴()()2432104k k k k ---⎡⎤⎣⎦∴=10k k+=244y x x =---244y x x =-+-23y x =-244y x x =-+-∵DC ＝AB ＝BE ＝80cm ，点H 是CD 的中点，∴ CH ＝DH ＝40cm ，在Rt △BHC 中，∠BCH ＝90°，BH50=（cm ），∵ EG ⊥BC ，∴∠EGB ＝∠BCH ＝90°，∴CH EG ，∴ △BCH ∽△BGE ， ∴BH CH BE EG =， ∴， ∴EG ＝64，∵ EF BC ，∴EF 与BC 之间的距离为64cm ．20. 【答案】(1)BF =CF(2)成立；理由见解析 (3)62m PD =-或PD =0或62m PD =- 【分析】（1）连接AF ，先根据“SAS”证明ACE ABD ∆∆≌，得出90ACE ABD ∠=∠=︒，再证明Rt Rt ABF ACF ≌，即可得出结论；（2）连接AF ，先说明EAC BAD ∠=∠，然后根据“SAS”证明ACE ABD ∆∆≌，得出90ACE ABD ∠=∠=︒，再证明Rt Rt ABF ACF ≌，即可得出结论；（3）先根据60α=︒，AB =AC ，得出△ABC 为等边三角形，再按照60BAD ∠︒＜，60BAD ∠=︒，60BAD ∠︒＞三种情况进行讨论，得出结果即可．(1)解：BF =CF ；理由如下：连接AF ，如图所示：504080EG=根据旋转可知，90DAE α∠==︒，AE =AD ， ∵∠BAC =90°，∴90EAC CAD ∠+∠=︒，90BAD CAD ∠+∠=︒， ∴EAC BAD ∠=∠，∵AC =AB ，∴ACE ABD ∆∆≌（SAS ），∴90ACE ABD ∠=∠=︒，∴1809090∠=︒-︒=︒ACF ，∵在Rt △ABF 与Rt △ACF 中AB AC AF AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABF ACF ≌（HL ），∴BF =CF ．故答案为：BF =CF ．(2)成立；理由如下：连接AF ，如图所示：根据旋转可知，DAE α∠=，AE =AD ， ∵BAC α∠=，∴EAC CAD α∠-∠=，BAD CAD α∠-∠=， ∴EAC BAD ∠=∠，∵AC =AB ，∴ACE ABD ∆∆≌，∴90ACE ABD ∠=∠=︒，∴1809090∠=︒-︒=︒ACF ，∵在Rt △ABF 与Rt △ACF 中AB AC AF AF =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABF ACF ≌（HL ），∴BF =CF ．(3)∵60α=︒，AB =AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，AB AC BC === 当60BAD ∠︒＜时，连接AF ，如图所示：根据解析（2）可知，Rt Rt ABF ACF ≌， ∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∵AB = tan tan30BF BAF AB∴∠=︒=，即tan304BF AB =⨯︒==， 4CF BF ∴==，根据解析（2）可知，ACE ABD ∆∆≌， ∴CE BD m ==，∴4EF CF CE m =+=+，906030FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒， 60EFP FBC FCB ∴∠=∠+∠=︒， ∵90EPF ∠=︒，∴906030FEP ∠=︒-︒=︒， ∴()1142222m PF EF m ==+=+， 42622m m BP BF PF ∴=+=++=+，∴6622m m PD BP BD m =-=+-=-；当60BAD ∠=︒时，AD 与AC 重合，如图所示：∵60DAE ∠=︒，AE AD =，∴△ADE 为等边三角形，∴∠ADE =60°，∵9030ADB BAC ∠=︒-∠=︒，∴603090ADE ∠=︒+︒=︒，∴此时点P 与点D 重合，0PD =；当60BAD ∠︒＞时，连接AF ，如图所示：根据解析（2）可知，Rt Rt ABF ACF ≌， ∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∵AB = tan tan30BF BAF AB∴∠=︒=，即tan304BF AB =⨯︒==， 4CF BF ∴==，根据解析（2）可知，ACE ABD ∆∆≌， ∴CE BD m ==，∴4EF CF CE m =+=+，∵906030FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒，60EFP FBC FCB ∴∠=∠+∠=︒，∵90EPF ∠=︒，∴906030FEP ∠=︒-︒=︒， ∴()1142222m PF EF m ==+=+， 42622m m BP BF PF ∴=+=++=+， ∴6622m m PD BD BF m ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭；综上分析可知，62m PD =-或PD =0或62m PD =-． 21. 【答案】(1)证明见解析(2)4(3)【分析】（1）根据题意，利用等面积法ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，根据等腰ABC 中，AB AC =，即可得到结论；（2）根据题中条件，利用折叠性质得到AFE CFE ∠=∠，结合矩形ABCD 中AD BC ∥得到AFE FEC ∠=∠，从而有CFE FEC ∠=∠，从而确定EFC ∆是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到=GM GN FH +，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；（3）延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，根据AB AE CD DE =，EA AB ⊥，ED CD ⊥，得到ABC ∆是等腰三角形，从而由（1）知ED EA BG +=，在Rt BCG ∆中，BG ==Rt BDG ∆中，6BD =，BG =BG =1x =，从而得到结论．(1)证明：连接AD ，如图所示：在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G ，∴由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+得111222AB CG AB ED AC FD ⋅=⋅+⋅， ∴DE DF CG +=；(2)解：连接CG ，过点F 作FH BC ⊥于H ，如图所示：根据折叠可知AFE CFE ∠=∠，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，则AFE FEC ∠=∠，CFE FEC ∴∠=∠，即EFC ∆是等腰三角形，在等腰EFC ∆中，FC EC =，EF 边上有一点G ，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N ，过点F 作FH BC ⊥于H ，由（1）可得=GM GN FH +，在Rt ABE ∆中，90B ∠=︒，3,835BE AE EC BC BE ===-=-=，则4AB =，在四边形ABHF 中，90B BAF FHB ∠=∠=∠=︒，则四边形ABHF 为矩形，4FH AB ∴==，即4GM GN FH AB +===；(3)解：延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，在四边形中，E 为线段上的一点，，，则，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，设，，，在中，在中，，，22. 【答案】(1)60O QA ∠='︒，点O '的坐标为32⎛ ⎝⎭ (2)36O E t '=-，其中t 的取值范围是23t <<(3)3，103．（答案不唯一，满足3t ≤< 【分析】（1）先根据折叠的性质得60O QA ∠='︒，即可得出30∠=︒'QO H ，作O H OA '⊥，然后求出O H '和OH ，可得答案；（2）根据题意先表示3=-QA t ，再根据12QA QE =，表示QE ，然后根据O E O Q QE =''-表示即可，再求出取值范围；ABCD BC EA AB ⊥ED CD ⊥90BAE CDE ∠=∠=︒AB AE CD DE=∴ABE DCE ∆∆ABE C ∴∠=∠ABC ∆∴ED EA BG +==GD x 90EDC BGC ∠=∠=︒BC =3CD =Rt BCG ∆BG Rt BDG ∆6BD =BG ∴BG =1x =BG ∴=ED EA BG +==（3）求出t =3时的重合部分的面积，可得从t =3之后重合部分的面积始终是求出P 与C 重合时t 的值可得t 的取值范围，问题得解．(1)在Rt POQ △中，由30OPQ ∠=︒，得9060OQP OPQ ∠=-∠=︒︒．根据折叠，知PO Q POQ '△≌△，∴O Q OQ '=，60︒∠=∠='O QP OQP ．∵180O QA O QP OQP ∠=︒--∠'∠'，∴60O QA ∠='︒．如图，过点O′作O H OA '⊥，垂足为H ，则90O HQ ∠='︒．∴在Rt O HQ '中，得9030QO H O QA ∠=︒-'∠='︒．由1t =，得1OQ =，则1O Q '=．由1122'==QH O Q ，222'+='O H QH O Q得32=+=OH OQ QH ，'=O H∴点O '的坐标为32⎛ ⎝⎭．(2)∵点(3,0)A ，∴3OA =．又OQ t =，∴3QA OA OQ t =-=-．同（1）知，'=O Q t ，60O QA ∠='︒．∵四边形OABC 是矩形，∴90OAB ∠=︒．在Rt EAQ △中，9030QEA EQA ∠=-∠=︒︒，得12QA QE =． ∴22(3)62QE QA t t ==-=-．又O E O Q QE =''-，∴36O E t '=-.如图，当点O ′与AB 重合时，OQ O Q t '==，60AQO '∠=︒，则30AO Q ∠='︒， ∴12AQ t =， ∴132t t +=，解得t =2，∴t 的取值范围是23t <<；(3)3，103．（答案不唯一，满足3t ≤< 当点Q 与点A 重合时，3AO '=，30DAO '∠=︒，∴cos 30AO AD '==︒则132ADP S =⨯⨯=∴t =3时，重合部分的面积是从t =3之后重合部分的面积始终是当P 与C 重合时，OP ＝6，∠OPQ ＝30°，此时t ＝OP ·tan30°＝由于P 不能与C 重合，故t <所以3t ≤<23. 【答案】(1)（8，6）(2)（67，6） (3)（112，6） (4)OG 的最小值为4，线段FP 扫过的面积为83π 【分析】（1）由勾股定理即可求解；（2）连接OP ，过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，因为∠POB =45°，所以PQ =OQ ，设PQ =OQ =x ，则BQ =10-x ，根据tan B 的值，即可求得x 的值，再利用勾股定理，即可求解；（3）令PA '交OB 于点D ，由点E 为线段OB 的中点，可得152A E AE OB '===，152BE OB ==，利用折叠的性质、正切函数、勾股定理，即可求解；（4）当以点F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与AB 的交点即为点P ，再将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，此时OG 最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解．(1)解：在Rt △OAB 中，8AB ===，∴点B 的坐标为（8，6）；(2)解：连接OP ，过点P 作PQ ⊥OB 于点Q ，如图，∵∠POB=45°，∴∠OPQ=45°，∴∠POB=∠OPQ，∴PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，在Rt△OAB中，6384 tanOABAB===，在Rt△BPQ中，3104 tanPQ xBBQ x===-，解得307x=，∴307 OQ PQ==，在Rt△POQ中，7OP==，在Rt△AOP中，67 AP==，∴点P的坐标为（67，6）；(3)解：令PA'交OB于点D，如图，∵点E为线段OB的中点，∴152AE OB==，152BE OB==，∵6384tan PD OA B BD AB ====，设3PD a =，则4BD a =，∴5BP a ==，54DE BE BD a =-=-∴85AP AB BP a =-=-，由折叠的性质，可得5A E AE '==，85A P AP a '==-，∴88A D A P PD a ''=-=-，在Rt △A DE 中，222A D DE A E ''+=，即22288545()()a a -+-=，解得121825，a a ==， ∵BD BE <，即45a <， ∴54a <， ∴12a =， ∴1118522A P '=-⨯=， ∴点P 的坐标为（112，6）； (4) 解：以点F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与AB 的交点即为点P ，再将线段FP 绕点F 顺时针方向旋转60°得线段FG ，连接OG ，此时OG 最小，如图，由题可知，624FP FG FO OA AF ===-=-=，在Rt APF 中，2142cos AF AFP FP ∠===， ∴60AFP ∠=︒，∵60PFG ∠=︒，∴60OFG ∠=︒，∴OFG △是等边三角形，∴4OG FO ==，∴OG的最小值为4，∴线段FP扫过的面积=26048 3603ππ⨯=．。

上海中考数学复习专题训练精选试题及答案

２、若菱形的两条对角线的长分别为 3 ＋2 和 3 －2 ，求菱形的面积。
３、如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标明了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：m），房主计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用的地砖的价格是 a 元/m2，则买砖至少需要多少元？若每平方米需砖 b 块，则他应该买多少块砖？（用含 a，x，的代数式表示）。
８、若 n 为自然数，那么(－1)2n＋(－1)2n＋1＝＿＿＿＿。
９、若实数 a、b 满足|a－2|＋( b＋ )2＝0，则 ab＝＿＿＿＿。
10、在数轴上表示 a 的点到原点的距离为 3，则 a－3＝＿＿＿＿。
11、已知一个矩形的长为3cm，宽为2cm，试估算它的对角线长为＿＿＿＿。（结果保留两个有效数字）
四、1、＝－(1－a)22、＝x (x＋2) (x－2) 3、＝(a＋b)2(a－b)24、＝(x＋1＋1)2＝(x＋2)2
五、（1）第一行：13 第二行：18，28，38 （2）5n＋3 10n＋8
六、πR2－πr2＝π(R＋r) (R－r) ＝3.1×10×5 ＝155(m2)
七、1、解：(2a＋1)·2 ＝4a＋2 ＝－1＋2 ＝＋1
2、＝ a－2a＋ b2－ a＋ b2＝－3a＋b2＝－3x3＋(－2)2＝－9＋4 ＝－5
八、(2x2＋x) (4x2－2x＋1)＋2x ＝8x4－4x3＋2x2＋4x3－2x2＋x＋2x ＝8x4＋3x
分式和二次根式
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）
１、当 x＿＿＿＿时，分式有意义。
２、当＿＿＿＿时，有意义。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）
１、用代数式表示“a 与 b 的差的平方”为（）
A、a－b2B、a2－b2C、(a－b)2D、2a－2b

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

旋转
知识点1.旋转的性质：
例1.如图，将等边ABC △绕点C 顺时针旋转120°得到EDC △，连接BD AD ，.（1）求证：AC BD ⊥；（2）求证：四边形ACED 是菱形；（3）若等边ABC △的边长为2，求四边形ABED 的面积
.
知识点2.旋转对称图形与中心对称图形：
例2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
.A .B .C .
D 知识点3.图形的旋转与全等：
例3.如图，抛物线c bx ax y ++=2
经过()()
()3003303，，，，，C B A -三点，线段BC 与抛物线的对称轴
相交于D ，该抛物线的顶点为P ，连接DP AD PA ，，，线段AD 与y 轴相交于点E .
（1）求该抛物线的解析式；（2）是否存在点Q ，使得以D C Q 、、为顶点的三角形与ADP △全等，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）将CED ∠绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点
M ，边ED 旋转后与对称轴相交于点N ，连接DN PM 、，若DN PM 2=，求点N 的坐标
.
基础训练：
一、选择题：
1.下列四种汽车标志，既是中心对称，又是轴对称图形的是（
）
.A .B .C .
D 2.如图，若正六边形ABCDEF 绕着中心点O 旋转α度后得到的图形与原来图形重合，则α的最小值为（
）
︒120.A ︒
90.B ︒45.C ︒60.D 3.如图，将ABC △绕点A 按逆时针旋转50°后，得到'ADC △，则=∠ABD （）︒30.A ︒45.B ︒65.C ︒
75.D 4.如图，F E 、过矩形ABCD 的对角线的交点O ，分别交CD AB 、于F E 、，若43==BC AB ，，则阴影部
分的面积为（）
4.A 12.B 6.C 3
.
D 第2题
第3题
第4题
二、解答题：
5.如图，在正方形ABCD 中，F E 、是对角线BD 上的两点，︒=∠45EAF ，将ADF △绕点A 顺时针旋转90°后，得到ABQ △，连接EQ .
（1）求证;EA 是QED ∠的角平分线；（2）求证：2
2
2
DF BE EF +=
.
6.如图，在ABC △中，AC AB =，把ABC △绕点A 沿顺时针方向旋转得到ADE △，连接CE BD 、交于F .（1）求证：ADB AEC ≌△△；（2）若︒=∠=452BAC AB ，，当BF 为何值时，四边形ADFC 是菱形
.
7.如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以BP AP 、为边向线段AB 的同侧作正APC △和正BPD △，AD 和BC 交于点M .
（1）当APC △和BPD △面积之和最小时，求PB AP :的值和AMC ∠的度数；（2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把BPD △按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当︒<60α时，旋转过程中，AMC ∠的度数是否发生变化，并说明理由；（3）在（2）小题给出的旋转过程中，若限定︒<<︒12060α，AMC ∠的大小是否发生改变，若变化，求AMC ∠的度数的变化范围，若不变化，求AMC ∠的度数
.
能力训练：
8.如图，在平面直角坐标系中一直角三角板，顶点()()()000210，，，，，C B A ，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到O B A ''△，一抛物线经过点B B A 、、''.
（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P 在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使得四边形B A PB ''的面积是O B A ''△面积4倍，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试判断四边形B A PB ''的形状，并说明理由
.
挑战压轴题：
9.如图，抛物线bx ax y +=2
与双曲线x
k
y =交于B A 、两点，点()41，A ，点B 的横坐标为2-，过点A 作直线x AC //轴，交抛物线于另一点C .
（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在点M ，使得AOB ACM S S △△4
5
=
，求点M 的坐标；（3）将AOB △绕点O 顺时针旋转90°，得到''OB A △，其中点'B 是点B 的对应点，点'A 是点A 的对应点，求证：点'B 是OC 的中点；（4）在（3）的条件下，求点E 的坐标，使得AOB EOC ∽△△
.。