相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)(精编文档).doc

∴ AB＝AC=AE．
∴∠EBC=90°，
又∵BD⊥AC．
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△EBC∽△BDC
∴ 即
∴BC2＝2CD·AC．
证法三（构造 ）：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC= ∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD．
∴ 即 ．
∴BC2＝2CD·AC．
证法四（构造 ）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= ．
∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，
∴∠EDC=∠C
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△EDC．
∴ J即 ．
∴BC2＝2CD·AC．
说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．
于是EA=ED．
又∵ ，∴ ，∴ .
分析3欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置．
证法3：如图4—11，过B作BE∥AC，交AD的延长线于E，则∠2=∠E．
∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=BE．
又∵ ，∴ .
分析4由于AD是∠BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证．
解法1：过O点作OM∥CB交AB于M，
∵O是AC中点，OM∥CB，
∴M是AB的中点，即 ，
∴OM是△ABC的中位线， ，
且OM∥BC，∠EFB=∠EOM，∠EBF=∠EMO．
∴△BEF∽△MOE，∴ ，
即 ，∴ .
解法2：如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得△AOG≌△COF，
∴AG=FC=b-BF，∵BF∥AG，∴ ．即 ，
，
解法3（补形法）如图
连结 ，作 交 延长线于点
连结
则 ∽ ，故 （1）
，
故 （2）
由（1）、（2）两式得 即
解法4（割补法）如图
连结 与 的中点 并延长交 延长线于点 ，如图，过 、 分别作高 、 ，则 且 ，
，又
， ，故
说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.
可证得 为 的中点，则 ，故
得 为等边三角形，故
解法6如图（补形法），
读者可自行证明 是等边三角形，
得
（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）
（2）设 ，则
解法1（补形法）如图
补成平行四边形 ，连结 ，则
设 ，则 ，
由 得， ，
解法2（补形法）如图，延长 、 交于点 ，
， ，又
设 ，则 ， ，
例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.
解析：取CF的中点G，连接BG．∵B为AC的中点，
∴BG：AF=1：2，且BG∥AF，又E为BD的中点，
∴F为DG的中点．
∴EF：BG=1：2．
故EF：AF=1：4，∴AF：AE=4：3．
例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．
例1：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
求证： BC2＝2CD·AC．
分析：欲证BC2＝2CD·AC，只需证 ．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．
例4、如图4—5，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=___________.
例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长．
例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证： ．
相似三角形添加辅助线的方法举例答案
证法1：如图4—9，过C点作CE∥AD，交BA的延长线于E．
在△BCE中，∵DA∥CE，∴ ①
又∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，
∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，
∴AC=AE．代入②式得 ．
分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线．
证法2：如图4—10，过D作DE∥AC交AB于E，则∠2=∠3．
∴AG：GC=1：4，∴AG：AC=1：5．
解法2：如图4—2，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边形ABCD可知， ，即AB∥MC，
∴AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC． ∵ ，∴AF：FD=1：2，
∴AE：MD=1：2．
∵ ．∴AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4，
∴AG：AC=1：5
∵ ∴ .
解法3：延长EO与CD的延长线相交于N，则△BEF与△CNF的对应边成比例，即 ．
解得 .
例6、已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证： ．
分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD为△ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．
故
解法3如图
作 交 于 ，交 的延长线于
作 ，分别交 、 于点 、
则 ，得矩形
，
又 ，故 为 、 的中点
以下同解法1可得 是等边三角形
故
解法4如图，
作 ，交 于 ，作 ，交 于 ，得平行四边形 ，且
读者可自行证得 是等边三角形，故
解法5如图
延长 、 交于点 ，作 ，分别交 、 于点 、 ，得平行四边形
证法4如图4—12，过D点作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
易证四边形AEDF是菱形．则DE=DF．
由△BDE∽△DFC，得 ．
又∵ ，∴ .
例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点， ，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．
解法1：延长FE交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ，∴∠H=∠AFE，∠DAB=∠HBE
又AE=EB，∴△AEF≌△BEH，即AF=BH，
∵ ，∴ ，即 ．
∵AD∥CH，∠AGF=∠CGH，∠AFG=∠BHE，∴△AFG∽△CGH．∴AG：GC=AF：CH，
证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，
∵BD⊥AC于D，
∴BD是线段CE的垂直平分线，
∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，
又∵ AB＝AC，
∴∠C=∠ABC．
∴ △BCE∽△ACB．
∴ ， ∴
∴BC2＝2CD·AC．
证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，
∵ AB＝AC，
【最新整理，下载后即可编辑】
相似三角形添加辅助线的方法举例
例1：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．
求证： BC2＝2CD·AC．
例2．已知梯形 中， ， ， 是腰 上的一点，连结
（1）如果 ， ， ，求 的度数；
（2）设 和四边形 的面积分别为 和 ，且 ，试求 的值
例3．如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点， ，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．
例2．已知梯形 中， ， ， 是腰 上的一点，连结
（1）如果 ， ， ，求 的度数；
（2）设 和四边形 的面积分别为 和 ，且 ，试求 的值
（1）设 ，则
解法1如图，延长 、 交于点
， ， ， 为 的中点
又 ，又 为等边三角形 故
解法2如图
作 分别交 、 于点 、
则 ，得平行四边形
同解法1可证得 为等边三角形