平面向量基础练习题
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
平面向量最全面基础题(含详解答案)
平面向量最全面基础题一、填空题1．下列命题中正确的有________.(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 =a b r r ，则a b =r r ；③若AB DC =u u u r u u u r ，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ；⑤若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r； ⑥若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r ；2．已知点A(1,3)，B(4,−1)，则与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量的坐标为____________. 3．在等边三角形ABC 中，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则CE AF ⋅=u u u r u u u r __________．4．已知矩形ABCD 的边长为2AB =，3BC =，E 为BC 边上靠近点B 的三等分点，则AE AC →→⋅=__________．5．如图，在平行四边形ABCD 中，AO a →→=，DO b →→=，用向量,a b →→表示向量CB →=______.6．已知|a r |＝3，|b r |＝4，求|a b -r r |的取值范围_____．7．设向量,a b v v 不平行,向量2a b λ-r r 与2a b +rr 平行,则实数λ=___________. 8．已知向量(),12OA k =u u u v ，()4,5OB =u u u v ，(),10OC k =-u u u v ，且A 、B 、C 三点共线，则k =_______9．已知向量()2,6a =-v ，()3,b m =v ，若a b a b +=-v v v v，则m =______. 10．如图，在ABC ∆中，13AD AB =u u u r u u u r ，点E 为CD 的中点.设CA a =u u r r ，CB b =u u u r r ，则AE =u u u r ______（用a r ，b r 表示）.11．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a r 、b r 、c r 满足(2)0a tb c +⋅=r r r ，则实数t 的值为_______．12．已知向量a r 与b r 的夹角为60︒，2a =r ，3b =r ，则32a b -=r r __________.13．已知(2,1)a =r ，(3,4)b =r ，则a r 在b r 的方向上的投影为________．14．已知5,3a b ==r r ，且12a b ⋅=-r r ，则向量a r 在向量b r 上的投影等于______二、解答题15．已知向量()2,0a =r ，()1,4b =r .（1）若向量ka b +r r 与2a b +r r 垂直，求k 的值；（2）若向量ka b +r r 与2a b +r r 的夹角为锐角，求k 的取值范围； （3）求a b +r r 和2a b -r r夹角的余弦值. 16．已知向量()3,2a =v ，(1,3)b =v －，()5,2c =v ．(1)求62a b c v v v ＋－；(2)求满足a mb nc v v v＝＋的实数m ，n ； (3)若()//(2)a kc b a v v v v ＋－，求实数k .17．在平面直角坐标系中，已知向量2a =r ，3b =r ，且326a b -=r r .（1）求向量,a b r r 的夹角θ；（2）求()()22a b a b +⋅-r r r r 的值.。
平面向量基础题(含解析)
12
0
，解得
m
4
．
故选：C.
3．A
【分析】运用向量的共线定理求解.
【详解】解：因为 a / /b ，
所以
b
a
，
R
，
2 故 (2,m,n) (1,1,2) ，即 m ，
n 2
m 2
解得
n4
， mn 2 .
故选：A.
4．C
【分析】由已知先求出
b
，然后利用
cos
a, b
a b ab
）
A． 0,1,0
B．
0,
1 2
,
1 2
C．1
18．已知向量
a
1,
x
,
b
2,
y
，若
a
/
/b
，则（
）
D． 2 2
A．
x y
1 2
B．
x y
1 2
C． 2x y 0
D． 2x y 0
19．如图所示，在
ABC
中，
BD
6DC
，则
AD
（
）
A．
1 7
AB
6 7
AC
B．
6 7
AB
1 7
a
与
b
共线，则（
）
D． 3
A．
2
B．
2
C． 2
7．已知向量
a
3,1
，
b
3,
2
，
c
1,
4
，则
cos
a,
b
c
（
D． 2 ）
A． 5
B． 5
平面向量基础试题及答案
平面向量基础试题及答案一、选择题1. 若向量\(\vec{a} = (2, 3)\)，向量\(\vec{b} = (4, -6)\)，则向量\(\vec{a} + \vec{b}\)的坐标为：A. (6, -3)B. (6, 0)C. (-2, -3)D. (-2, 9)答案：A2. 已知向量\(\vec{a} = (1, 2)\)，向量\(\vec{b} = (-1, 4)\)，向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)的点积为：A. 3B. -3C. 7D. -7答案：B3. 若向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)垂直，则下列哪个选项是正确的？A. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)B. \(\vec{a} \times \vec{b} = 0\)C. \(|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = 0\)D. \(\vec{a} = \vec{b}\)答案：A4. 向量\(\vec{a} = (3, -4)\)的模长为：A. 5B. 2C. \(\sqrt{5}\)D. \(\sqrt{25}\)答案：A5. 若向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)共线，则下列哪个选项是正确的？A. \(\vec{a} = \vec{b}\)B. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)C. \(\vec{a} \times \vec{b} = 0\)D. \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\)答案：C二、填空题1. 向量\(\vec{a} = (1, 1)\)与向量\(\vec{b} = (x, y)\)共线，则\(x = \)\(\boxed{y}\)。
2. 若向量\(\vec{a} = (2, -1)\)，向量\(\vec{b} = (3, 4)\)，则向量\(\vec{a} - \vec{b}\)的坐标为\(\boxed{(-1, -5)}\)。
《平面向量》基础测试题
基础测试（一）选择题（第题4分，共24分）1．计算BA++等于（）．DBAC+CD（A）0 （B）0（C）2DB（D）2 AC【提示】+＝（CDAC+）＋（BABA+AC+CDDBAD+＝0．DB+）＝DA【答案】（B）．【点评】本题考查向量的加法及运算律，相反向量，零向量的表示方法．2．若向量a＝（3，2），b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是（）．（A）（3，－4）（B）（－3，4）（C）（3，4）（D）（－3，－4）【提示】2b－a＝2（0，－1）－（3，2）＝（－3，－4）．【答案】（D）．【点评】本题考查向量的坐标运算．3．下列各组向量中，共线的是（）．（A）a＝（－2，3），b＝（4，6）（B）a＝（1，－2），b＝（7，14）（C）a＝（2，3），b＝（3，2）（D）a＝（－3，2），b＝（6，－4）【提示】若a＝（x，y），b＝（x2，y2），则a与b共线的充要条件是x1 y2－x2 y1 ＝0．这里（－3）×（－4）－2×6＝0．故选（D）．【答案】（D）．【点评】本题以坐标的形式考查向量共线的充要条件．对于（A），（－2）×6－3×4＝－24≠0，排除（A）；对于（B），1×14－（－2）×7＝28≠0，排除（B）；对于（C），2×2－3×3＝－5≠0，排除（C）．4．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为（ ）．（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【提示】∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，因AB ＝（1，－1），BC ＝（5，x －2），得1×5＋（－1）×（x －2）＝0，解出x ＝7． 【答案】（C ）．【点评】本题考查向量的坐标运算及向量垂直的充要条件．5．设s 、t 为非零实数，a 与b 均为单位向量时，若|s a ＋t b |＝|t a －s b |，则a 与b 的夹角θ 的大小为（ ）．（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° 【提示】由|s a ＋t b |＝|t a －s b |，得s 2a 2＋t 2b 2＋2 st a · b ＝t 2a 2＋s 2b 2－2 st a b ． 又a 、b 均为单位向量，|a |＝1，|b |＝1， 即a 2＝1，b 2＝1．∴ 4 s t a ·b ＝0，有|a |·|b |cos θ ＝0，得cos θ ＝0．∴ θ ＝90°． 【答案】（D ）．【点评】本题主要考查平面向量的数量积及运算律．6．如图，D 、C 、B 三点在地面同一条直线上，从C 、D 两点测得A 点仰角分别为α、β， （α ＞β），则A 点距地面高度AB 等于（ ）．（A ）)sin(cos sin βαβα-m （B ）)cos(cos sin βαβα-m（C ）)sin(cos cos βαβα-m （D ）)cos(cos cos βαβα-m【提示】在△ACD 由正弦定理，得AC ＝)(sin sin βαβ-s m ，再在直角三角形中求AB ．【答案】（A ）．【点评】本题主要考查应用正弦定理解三角形的有关知识．（二）填空题（每题4分，共20分）1．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________．【提示】 2a －21b＝2（1，2）－21（3，1）＝（2，4）－（23，21）＝（2－23，4－21）＝（21，321）． 【答案】（21，321）．【点评】本题考查平面向量的坐标运算．2．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．【提示】由AB 与CD 共线，先得x ＝10，再求|BD |的长． 【答案】73．【点评】本题考查向量的模、向量的坐标运算及向量共线的充要条件．3．已知点P 1（1，2），P 2（－2，1），直线P 1P 2与x 轴相交于点P ，则点P 分21P P 所成的比λ 的值为_____．【提示】由直线P 1P 2与x 轴相交于点P ，得点P 的纵坐标为0，于是0＝λλ+⨯+112，即λ ＝－2．【答案】－2．【点评】本题考查线段的定比分点的坐标公式．4．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 【提示】由已知，x ＝2，y ＝4，h ＝－5，k ＝－2，代入平移公式⎩⎨⎧+='+='ky y h x x ，得x ′＝－3，y ′＝2． 【答案】（－3，2）．【点评】本题考查点的平移公式．主要应分清平移前后点的坐标．5．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，c ＝6＋2．则这个三角形的最小角的度数是___________． 【提示】先由已知条件判断△ABC 三条边中的最短的边，它所对的角便是该三角形的最小角．由于c ＞b ＞a ，则a 对的角A 为最小．利用余弦定理，得cos A ＝bcac b 2222-+＝)26(2222)26()22(222+⨯⨯-++＝23，∴ A ＝30°． 【答案】30°．【点评】本题主要考查应用余弦定理解决三角形的有关问题．（三）解答题（每题14分，共56分）1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角； （3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标． 【提示】AB 、AC 的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求出AB 、AC 的坐标后，可得2AB ＋AC 的坐标，（1）可解，对于（2），可先求AB 、AC 的值，代入 cos θ ，即可；对于（3），设所求向量的坐标为（x ，y ），根据题意，可得关于x 、y 的二元方程组，解出x ，y ． 【答案】（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）． ∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50． （2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos θ AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则 x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得 2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．【点评】本题考查向量的模，向量的坐标运算、向量的数量积，向量垂直的充要条件以及运算能力．2．如图，已知AB ＝DC ＝a ，BC ＝b ，且|a |＝|b |．（1）用a ，b 表示AD ，AO ，OB ； （2）求AC ·BD ．【提示】由AB ＝DC ，可判定四边形ABCD 为平行四边形，于是利用平行四边形的性质．可求AD ，AO ，OB ．又AC ＝AB ＋BC ．BD ＝AD －AB ，AD ＝BC 利用数量积的运算性质及已知条件|a |＝|b |．可求AC ·BD ． 【答案】（1）∵ AB ＝DC ，∴ 四边形ABCD 为平行四边形． ∴ AD ＝BC ＝b ．∴ AC ＝AB ＋BC ＝a ＋b ，BD ＝AD －AB ＝b －a ， 而 AO ＝21AC ，OB ＝－21BD ，∴ AO ＝21a ＋21b ，OB ＝21a －21b ．（2）∵ AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a ，∴ AC ·BD ＝（b ＋a ）（b －a ） ＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0．【点评】本题考查平面向量的加减法，基本定理、数量积及运算律．解题时注意结合平面图形的几何特征，寻求向量之间的联系．由题目的条件及结论可知，四边形ABCD 为菱形． 3．一只船按照北偏西30°方向，以36海里/小时的速度航行，一灯塔M 在船北偏东15°，经40分钟后，灯塔在船北偏东45°．求船与灯塔原来的距离． 【提示】先画船航行的示意图，将题目的已知条件分别与三角形内的边、角对应起来，从而确定三角形内的边角关系，运用正弦定理或余弦定理解决．【答案】如图，设船原来的位置为A ，40分钟后的位置为B ，则AB ＝36×32＝24（海里）．在△ABM 中，∠BAM ＝30°＋15°＝45°． ∠ABM ＝180°－（45°＋30°）＝105°，∴ ∠AMB ＝180°－（∠ABM ＋∠BAM ）＝30°． 由正弦定理，得 AM ＝AMB AB ∠sin · sin ∠ABM＝︒30sin 24· sin 105°＝12（2＋6）（海里）．答：船与灯塔原来的距离为12（2＋6）海里． 【点评】本题考查解斜三角形的应用问题．关键是画出示意图（这里必须弄清方位角的概念），建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题．4．在□ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，求这个平行四边形的面积． 【提示一】要求得平行四边形的面积，须知两条邻边及它的夹角．由周长为18，知两条邻边的和为9，可据两条已知的对角线，利用余弦定理求得两条邻边及夹角． 【提示二】在△AOB 和△BOC 中利用余弦定理求解．【解法一】如图，在□ABCD 中，设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，在△ABC 中，据余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2 AB BC cos ABC ． 在△ABD 中，据余弦定理，得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2 AB · AD cos DAB ．由已知 AC ＝65，BD ＝17，∠DAB ＋∠ABC ＝180°，BC ＝AD ． 故角 65＝x 2 ＋(9－x ) 2－2 AB BC cos ABC ， 17＝x 2 ＋（9－x 2）＋2 AB BC cos ABC ， 二式相加，得 82＝4 x 2－36 x ＋162 即 x 2－9 x ＋20＝0 解得 x ＝4，或x ＝5， 在△ADB 中，由余弦定理，得 cos ∠DAB ＝ABAD BDAB AD ⋅-+2222＝542175422⨯⨯-+＝53．∴ s in ∠DAB ＝54．∴ sin □ABCD ＝AB · AD s in DAB＝4×5×54＝16．【解法二】在△AOB 和△BOC 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2 OA · OB cos ∠AOB ， BC 2＝OC 2＋OB 2－2 OC · OB cos ∠BOC ， 可设 AB ＝x ，则BC ＝9－x ， 而OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝21BD ，∠AOB ＋∠BOC ＝180°，代入后化简，可求得 x ＝4或x ＝5．在△ADB 中，由余弦定理，得 cos ∠DAB ＝ABAD BDAB AD ⋅-+2222＝542175422⨯⨯-+＝53．∴ s in ∠DAB ＝54．∴ sin □ABCD ＝AB · AD s in DAB＝4×5×54＝16．【点评】本题考查余弦定理的灵活运用．3．如图，某观测站C 在城A 的南偏西20°方向上，从城A 出发有一条出路，走向是南偏东40°，在C 处测得距C 处31千米的公路上的B 处有一人正沿着公路向城A 走去．走20千米后到达D 处．测得CD ＝21千米，这时此人距城A 多少千米．【提示】要求AD 的长，在△ACD 中，应用正弦定理，只需求∠ACD ，而∠CDB 是△ACD 的一个外角，∠CAD 已知，故只需求∠CDB ，在△CDB 中，已知两边，可利用余弦定理求角．【答案】由已知，在△CDB 中，CD ＝21，DB ＝20，BC ＝31，据余弦定理，有 cos ∠CDB ＝DBCD BCDBCD⋅-+2222＝－71．∴ sin ∠CDB ＝CDB 2cos 1-＝374．在△ACD 中，∠CAD ＝20°＋40°＝60°， ∴ ∠ACD ＝∠CDB －∠CAD ＝∠CDB －60°． ∴ sin ∠ACD ＝sin （∠CDB －60°）＝sin ∠CDB cos 60°－cos ∠CDB sin 60° ＝374×21－（－71）×23＝1435．由正弦定理，得 AD ＝CADCD ∠sin · sin ∠ACD ＝15（千米）．答：此人距A 城15千米． 【点评】本题结合三角函数的知识，主要考查了正弦、余弦定理的应用．解此类应用问题的关键是正确理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题，再根据正弦、余弦定理予以解决．4．已知平面向量a ＝（7，9），若向量x 、y 满足2x ＋y ＝a ，x ⊥y ，|x |＝|y |，求x 、y 的坐标．【提示】设x ＝（x 1，x 2），y ＝（y 1，y 2），由已知，可以得到含有x 1，x 2，y 1，y 2的四个关系式，建立方程组，解之即可． 【答案】设x ＝（x 1，x 2），y ＝（y 1，y 2）．由2x ＋y ＝a ，得 2（x 1，x 2）＋（y 1，y 2）＝（7，9）， 即⎩⎨⎧=+=+)2(92)1(722211y x y x 由x ⊥y ，得x 1y 1＋x 2y 2＝0． ③ 由 |x |＝|y |，得 x 12＋x 22＝y 12＋y 22＝0． ④ 将（1）式化为 y 1＝7－2 x 1，（2）式化为 y 2＝9－2 x 2， 代入③式，得 x 1（7－2 x 1）＋x 2（9－2 x 2）＝0， 即 2（x 12＋x 22）＝7 x 1＋9 x 2， ⑤ 代入④式，得 x 12＋x 22＝(7－2 x 1) 2 ＋(9－2 x 2) 2， 即 3（x 12＋x 22）＝28 x 1＋36 x 2－130． ⑥ 由⑤、⑥，得⎩⎨⎧=+=+．529726212221x x x x 解之得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51152321x x 或⎩⎨⎧==．5121x x 分别代入（1）、（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=52351121y y 或⎩⎨⎧-==．1521y y ∴ x ＝（523，511），y ＝（－511，523）．或 x ＝（1，5），y ＝（5，－1）即为所求．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，两点间距离公式及运算能力．。
(完整版)平面向量基础题
平面向量基础题一、高考真题体验1．（2015新课标卷I ）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 2．（2015新课标卷II ）已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．（2014新课标卷I ）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.AD B.D. BC 二、知识清单训练 【平面向量概念】1、定义：大小、方向2、几何表示：有向线段AB ,a 、3、基本概念：单位向量、相等向量、相反向量、共线（平行）向量4．下列判断正确的是 ( )A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；B.单位向量都相等；C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D.模为0的向量的方向是不确定的。
5．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若||||a b a b +=-，则0a b ⋅=D ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=6．已知非零向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+【线性运算】1、 加法：首尾相连，起点到终点ACBC AB =+2、 减法：同起点、连终点、指向被减 CB AC AB =-3、数乘：⎪⎩⎪⎨⎧=<>=a a a a a a a λλλλλλλ方向相反方向与方向相同；方向与,0,07．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则等于 ( ）A ．B ．C ．D ．8．设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形B.等腰梯形C. 矩形D.菱形9．设D ，E ，F 分别为∆ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += A ．BC B ．AD C ．12BC D ．12AD 10．设P 是△ABC 所在平面内的一点，+=2，则（ ）A ．+=B ．+=C ．+= D ．++=11．如图.点M 是ABC ∆的重心,则MC MB MA -+为（ ）A ．0B ．4MEC ．4MD D ．4MF【平面向量基本定理】b a c μλ+=，基底12．如图所示，已知2AB BC =，OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式中成立的是( )(A)31c b a =- (B)2c b a =- (C)2c a b =- (D)31c a b =- 13．在空间四边形ABCD 中，AB a =，AC b =，AD c =，M ，N 分别为AB 、CD 的中点，则MN 可表示为（ ）()a b c +- ()a b c -+ )a b c -++ ()a b c ++ 14．在ABC ∆中，已知D 是AB边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+，则λ=( )A B 【共线定理】1221//y x y x a b b a -==⇒λ15．已知1232a e e =+，则与a 共线的向量为(A) 1223e e -- (B) 1264e e - (C) 1264e e + (D) 1232e e -+ 16．平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．2【坐标运算】1、已知()()2211,,,y x B y x A ==，则()1212,y y x x AB --=2、已知()()2211,,,y x b y x a == 则()2121,y y x x b a ++=+，()2121,y y x x b a --=-，),(11y x a λλλ=，2121y y x x b a +=•17．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,3--D ．()1,318．若向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BC =（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)-- 19．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2a b -=A ． （5,7）B ． （5,9）C ． （3,7）D ． （3,9）【数量积】 1、2、3、模：2121y x a +==4、5、垂直：02121=+⇒=⋅⇒⊥y y x x b a b a20．已知||6a =，||3b =，12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影是（ ） A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 213a =，23b =，3a b =-，则a 与b 的夹角是 A. 30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒22．设(1,2)a =，(2,)b k =，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 23．已知,a b是平面向量，若(2)a ab ⊥-，(2)b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是 A24．空间四边形OABC 中，OB OC =，，则cos <,OA BC >的值是（ ）D.025．设向量,a b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=⋅-=，则|2|a b +＝( )A ．2B ．4 D26．已知等边ABC ∆的边长为1，则=⋅BC ABA27．在Rt ABC ∆中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，，则AD BC ⋅的值为 A 、28- B 、28 C 、14- D 、1428．若同一平面内向量a ，b ，c 两两所成的角相等，1a =，1b =，3c =，a b c ++等于（ ） A ．2 B ．5 C ．2或5 D【课后练习】29．已知和点满足.若存在实数使得成立，则=（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 30．设向量12,ee是夹角为的单位向量，若13a e =，12b e e =-，则向量b 在a 方向的投影为（ ） A 2．131．已知平面向量a ，b 满足3a=，2b =，3a b ⋅=-，则2a b +=（ ） A ．1 B 321,2,()a b a a b ==⊥-且，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）.（A ）30 （B ）45 （C ） 90 （D ）135 33．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ） A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．AD CD BD +=34．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（ ） A ．（2,4） B ．（3,5） C ．（1，1） D ．（－1，－1）ABC M 0=++MC MB MA m AM m AC AB =+m3235．如下图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝3PA ，则（ ）．A 、x ＝23，y ＝13 B 、x ＝13，y ＝23 C 、x ＝14，y ＝34 D 、x ＝34，y ＝1436．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（ ） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．8 37．已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π38．已知向量(2,1),(5,3)a b →→==-，则a b →→⋅的值为 A ．-1 B ．7 C ．13 D ．1139．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则实数m 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1- D ．4-40．已知平面向量AB ()1,2=，AC ()3,4=，则向量CB =（ ） A ．(4,6)-- B ．(4,6) C ．(2,2)-- D ．(2,2)41．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于（ ） A ．()2,1-- B ．()2,1 C ．()3,1- D ．()3,1-42． 已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量AB 同向的单位向量是（ ） A ．(53，-54) B ．(-53，54) C ．(-54，53) D ．(54，-53) 43．若向量，满足条件，则x=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．344．设R y x ∈,，向量()()(),4,2,,1,1,-===c y b x a 且c b c a //,⊥，则=+b a ( ) A.5 B.10 C ．25 D ．10 45．已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．//a bB ．a b ⊥C ．||||a b =D ．||||a b a b +=-平面向量基础题参考答案1．A 【解析】试题分析：∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A. 考点：向量运算 2．C 【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 3．A 【解析】试题分析：根据平面向量基本量的加减运算可得：在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+，12FC FE EC FE AC =+=+，则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=． 考点：向量的运算 4．D【解析】解：因为A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；可能构成四边形。
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。
平面向量的基本题目
平面向量的基本题目练习一1．下列说法正确的个数为( )①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； ②零向量没有方向；③向量的模一定是正数； ④非零向量的单位向量是唯一的．A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等3.下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同4．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( )A ．a ＝bB ．它们方向相同或相反C ．所在直线平行或重合D ．都与零向量共线 5．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |≠|CD |，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形6．已知a ∥b ，b ∥c ，则有( )A ．a ∥c B ．a ＝c C ．a 与c 不共线 D ．以上都有可能7．(2011～2012²临沂高一检测)以下说法错误的是( )A ．零向量与任一非零向量平行B ．零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同D ．平行向量一定是共线向量8．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB ，CD 满足|AB |>|CD |，且AB 与CD 同向，则AB >CDC ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB 与CD 平行，则A ，B ，C ，D 四点共线9．设是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A. a 与的长度必相等 B ．a ∥ C ．a 与一定不相等 D. a 是的相反向量 10．如图所示，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC 相等的向量是________．11．给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段； (5)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(6)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝CD ，BC ＝DA .其中正确命题的序号是________．12．如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中： (1)分别写出与AO ，BO 相等的向量；(2)写出与AO 共线的向量；(3)写出与AO 的模相等的向量； (4)向量AO 与CO 是否相等？[答案] 1、A 2、D 3、D 4、A 5、A 6、D 7、C 8、C练习二1．向量（+）+（+）+化简后等于（ ）A. B ． C ． D ． 2． 、b 为非零向量，且｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜则（ ）A ． ∥且、方向相同B ． =C ． =-D ．以上都不对3．化简（AB -）+（-）的结果是（ ）A ． B ． C ．AC D ．AE4．在四边形ABCD 中，=+AD ，则（ ）A ．ABCD 是矩形B ．ABCD 是菱形C ．ABCD 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形5．下列四式不能化简为的是（ ）A ．（AB +）+ ) B ．（+）+（+CM ）C ． +-BMD ． -+6.设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)7．设（+CD ）+（BC +DA ）=,≠0,则在下列结论中，正确的有（ ） ①∥; ②+=; ③+=; ④｜+｜＜｜｜+｜｜A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③8．已知=,=, =,DE =,=,则+++= ．9．若向量、满足｜+｜=｜｜+｜｜，则与必须满足的条件为 ．10．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 11. =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ．12.已知矩形ABCD ，｜｜=43,设=,=,BD =，求｜++｜．13．已知正方形ABCD 的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（ ）A ．0B ．3C ． 2D ．22练习三1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ;B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7);C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10);D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)43,21(- 2．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D3．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)；④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．仅②4．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ;5．已知12,e e 是不共线的向量，12a e e λ=+ ，122b e e =- ，则,a b共线的条件是λ=（ ）A.0 B.-1 C.-2D.12- 6．已知等差数列{}n a 满足59OC a OA a OB =⋅+⋅，若,,A B C 三点共线，则（ ）A.312a =B.512a =C.712a =D.912a =7．在四边形ABCD 中，b a CD b a BC b a AB 35,4,2--=--=+=,其中,不共线，则四边形ABCD 为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形 8．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝19．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．210．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( )A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b11．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 12．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 13．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．14．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .15.设两非零向量和不共线， (1)如果求证三点共线.(2)试确定实数，使和共线.16.设和是两个不共线的非零向量，若向量， 试证明：A 、C 、D 三点共线.17．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．18.P 是ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对的边的长度分别为5,8,9，若58PA PB + 90PC +=，则点P 是ABC ∆的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心19.P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则点P 是ABC ∆的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心 20.P 是ABC ∆所在平面上一点，若0PA PB PC ++= ，则点P 是ABC ∆的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心21.P 是ABC ∆所在平面上一点，若||||||PA PB PC == ，则点P 是ABC ∆的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心22.O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC λ=++ ，这里0λ≥，则动点P 的轨迹一定通过ABC∆的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心练习四 1、已知a 、b 为两个单位向量，下列命题正确的是（ ） （A ）a =b （B ）a ²b =0 （C ）|a ²b |<1 （D ）a 2=b 22、若|a |=2，|b |=21，a 与b 的夹角为600,则a ²b=（ ）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）23、已知∆ABC 中，=a ，=b ,当a ²b<0时 ∆ABC 是（ ）（A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）等腰直角三角形 4、设|a |=12，|b |=9,a ²b =254-，则a 与b 的夹角大小为（ ）（A ）045（B ）0135（C ）060（D ）01205.已知a+b =2i -8j ，a-b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6、若a //b ，则a ²b =（ ）（A ）0 （B ）–1 （C ）|a ||b | （D ）±|a ||b |7、下列叙述不正确的是（ ）（A ）向量的数量积满足交换律 （B ）向量的数量积满足分配律 （C ）向量的数量积满足结合律 （C ）a ²b 是一个实数 8、已知|a |=6，|b |=4，则（a +2b ）²（a –3b ）=–72，a 与b 的夹角为（ ）（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）01209、已知|a |=2，|b |=4，a 与b 的夹角为3π，那么向量a –4b 的模是（ ） （A ）2 （B ）6 （C ）32 （D ）1210、|a |=2，|b |=4，向量a +43b 与a –43b 的位置关系是（ ）（A ）平行 （B ）垂直 （C ）夹角为3π （D ）不平行也不垂直11、已知|a |=6, b 为单位向量，它们之间的夹角为060，则a 在b 方向上的投影为_____。
平面向量练习题
平面向量练习题【题目一】向量运算1. 已知向量A = 2A− 3A，A = 4A + AA，A = A + (A + 1)A，求当A为何值时，向量A + A = A成立。
解答：由题意，向量A + A = A成立，即 (2A− 3A) + (4A + AA) = A + (A + 1)A。
按照各分量相等，得到以下方程组：2 + 4 = 1，−3 + A = A + 1。
化简方程组得：6 = 1，−3 = 1。
由于方程组无解，所以不存在A使得向量A + A = A成立。
【题目二】向量的模和方向2. 已知向量A = 3A + 4A，求向量A的模和方向。
解答：向量A的模记为 |A|，根据向量模的定义：|A| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
向量A的方向记为A，根据向量方向的定义：A = arctan(A/A) = arctan(4/3)。
所以，向量A的模为 5，方向为 arctan(4/3)。
【题目三】向量共线3. 已知向量A = AA− 2A，向量A = 5AA− 10AA，且向量A与向量A共线，求A、A的值。
解答：由题意，向量A与向量A共线，即A = AA，其中A为比例系数。
根据共线性的定义，A = AA可以得到以下方程组：A = 5AA，−2 = −10AA。
化简方程组得：A = 5A，−2 = −10A。
由第一个方程得：A = A/(5A)，代入第二个方程得：−2 =−10(A/(5A))。
化简方程得：A = A/10。
所以，A = 5A = 5(A/10) = A/2。
两边同乘以2得：2A = A。
由此可得A = 0，代入A = A/10 可得A = 0。
因此，A和A的值均为0。
【题目四】向量垂直4. 已知向量A = AA + AA，向量A = 4A− 3A，且向量A与向量A垂直，求A、A的值。
解答：由题意，向量A与向量A垂直，即A·A = 0。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解)一、单选题1．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，则a b ⋅=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．已知向量()1,2a =-，() 2,x b =，若//a b ，则x 的值是（ ） A ．-4B ．-1C ．1D ．43．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1B ．15C ．35D ．754．等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．45．设,a b 是非零向量，则2a b =是a b a b=成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中,4,3A b c E F π=+=、为边BC 的三等分点，则AE AF ⋅的最小值为（）A B ．83C ．269D ．37．若2a =，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．已知非零向量,a b 满足||6||a b =，,a b 的夹角的余弦值为13，且()a a kb ⊥-，则实数k 的值为（ ） A ．18B ．24C ．32D ．369．已知向量, m n 的夹角为60︒，且13213m m n -==，,则n =（ ）A ．32- B ．32C ．32D ．210．已知向量0.52log sin log cos OA OB OC θθ=⋅+⋅，若A 、B 、C 三点共线，则sin cos θθ+=（ ）A ．BC ．D 11．在ABC ∆中，22AB AC ==，60BAC ∠=︒，且2BD DC =，则AD BC ⋅=（ ）．A ．1-B ．1CD12．已知椭圆222:19x y C b +=，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅的取值范围为（ ）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--13．已知向量()2,a m =-，()1,b n =，若a b b ∥，且2b =，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．2-或2D ．4-或414．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-15．已知向量a ，b 满足22a a b a b =⋅=-，，当a ，b 的夹角最大时，则a b ⋅=（ ）A ．0B ．2C ．D ．416．已知O 是ABC ∆的重心，且20OA OB BC λ++=，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．1D ．1217．设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为4π时，a 在e 方向上的投影为（ ）A ．2-B ．12C ．2D 18．若向量a ，b 满足||3a =，||26b =，且满足(2)a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．3π B ．23π C ．4π D ．34π 19．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6 D ．8二、填空题20．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ，则3r s +的值为__________.21．已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是________.22．已知在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，()()()1,,3,1,4,AC m AB BD n ===，若B 、C 、D 三点共线，则m +n ＝_____.23．ABC △中，2A B =，1BC =，则AC 的取值范围是__________，BA BC ⋅的取值范围是__________.24．已知向量(4,3)a =-，若向量(2,1)b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影是_____． 25．已知()3,4a =，()2,1b =，则a 在b 方向上的投影为______.26．设向量(1,)AB m =，(2,1)BC m =-，其中[1,)m ∈-+∞，则AB AC ⋅的最小值为__________．27．设向量a ，b 满足10a b +=，6a b -=，则⋅=a b ___________28．已知||1,||2,0,()()0a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=,则||c 的最大值为_________________.三、解答题29．已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.30．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设122a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.参考答案1．C直接根据向量数量积的坐标表示即可得出结果. 【详解】∵()1,2a =-，()1,1b = ∴11211a b ⋅=-⨯+⨯=， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示，属于基础题. 2．A利用向量平行的坐标表示直接求解即可. 【详解】∵向量()1,2a =-，() 2,x b =，//a b ， ∴()122x ⨯=-⨯，解得4x =-， ∴x 的值为4-， 故选：A . 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 3．D由ka b +与2a b -互相垂直得()()20a b ka b +⋅=-,再代入()()1,1,0,1,0,2a b ==-求解即可. 【详解】由题()()20a b ka b +⋅=-,即()()31,,202,,2k k --⋅=.故7332405k k k -+-=⇒= . 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型. 4．D 【解析】【分析】将CP 用CA 与CB 进行表示，代入可得答案. 【详解】解：由题意得：1121()3333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+ 22218443333CP CA CP CB CA CB ⋅+⋅=+=+=,故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难. 5．B 利用||aa 的意义，即a 方向上的单位向量，再根据充分条件与必要条件的定义，即可求得答案. 【详解】由2a b =可知,a b 方向相同，||a a ，||b b 表示,a b 方向上的单位向量，所以||||a ba b =成立；反之不成立. 故选：B . 【点睛】本题考查单位向量的概念、向量共线、简易逻辑知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的方向. 6．C 【解析】()22122125 (33339)9AE AF AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()22222251212126992969649b c c b bc b c bc b c +=++⨯=+-≥+-⨯= （b c = 时等号成立），即AB AC 的最小值为269, 故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量的基本运算以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．B根据相互垂直的向量数量积为零，求出a 与b 的夹角. 【详解】由题有()20a b a a b a -⋅=-⋅=， 即22b a a ⋅==，故cos 2cos b a a b θθ⋅=⨯⨯=⇒= 因为[]0,θπ∈，所以4πθ=.故选：B. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题. 8．A根据向量垂直关系和数量积运算公式()0a a kb ⋅-=，可得关于k 的方程，解得k . 【详解】由||6||a b =可设||b t =，则||6(0)a t t =>. 因为221()||36603a a kb a ka b t k t t ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以18k =. 故选：A . 【点睛】本题考查平面向量数量积及其运算，同时考查向量垂直关系的运算，属于简单题. 9．D把向量的模用向量的数量积表示出来，由数量积的定义求解． 【详解】222232(32)912cos 60413m n m n m m n n ︒-=-=-+=，又1m =，∴22320n n --=，解得2n =， 故选：D 【点睛】本题考查求向量模，掌握数量积的定义和性质是解题关键． 10．B由A 、B 、C 三点共线和对数的运算性质，可得sin 1cos 2θθ=，再结合三角函数的基本关系式，求得sinθθ==，即可求解. 【详解】由题意，向量0.52log sin log cos OA OB OC θθ=⋅+⋅，若A 、B 、C 三点共线，根据平面向量的基本定理，可得0.52log sin log cos 1θθ+=，即0.50.5log sin log cos 1θθ-=， 即0.5sin log 1cos θθ=，可得sin 1cos 2θθ=，且sin 0,cos 0θθ，又由22sin cos 1θθ+=，解得sinθθ==，所以sin cos θθ+=. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了向量的共线定理，以及同角三角函数的基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11．A由向量的运算法则，可得1233AD AB AC =+，BC AC AB =-，结合向量的数量积的运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量的运算法则，可得2212()3333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+，BC AC AB =-，又由22AB AC ==，60BAC ∠=︒， 所以AD BC ⋅=2212112()()33333AB AC AC AB AB AB AC AC +⋅-=--⋅+ 22112221cos6011333=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-.故选：A . 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的基本定理，以及向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．A根据椭圆的离心率，求出b 的值，得到椭圆的标准方程，然后根据()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-，结合PM PN ⊥，得到PM MN ⋅的坐标表示，得到关于x 的函数，结合x 的范围，得到答案. 【详解】椭圆222:19x y C b+=的3a =，其离心率为3，所以3c a =，所以c =所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为22+19x y =，设(),P x y ，[]3,3x ∈-，则()PM MN PM PN PM ⋅=⋅-2PM PN PM =⋅- 因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，所以()2222PM MN PM x y ⎡⎤⋅=-=--+⎣⎦()22219x x ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦2891942x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以PM MN ⋅是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为94x =， 所以当94x =时，取得最大值为12- 当3x =-时，取得最小值为25-，所以125,2PM MN ⎡⎤⋅∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题. 13．C根据已知得到a b -的坐标，然后根据a b b ∥，2b =得到关于m ，n 的方程组，从而得到答案. 【详解】向量()2,a m =-，()1,b n =， 所以()3,a b m n -=--， 因为a b b ∥，2b =，所以()2312n m n n ⎧-=-⎨+=⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=-⎩ 所以m 的值为2-或2. 故选：C. 【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题. 14．D构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．15．D先建系, 设(2,0),(,)OA a OB b x y ====,再结合平面向量数量积的坐标及运算性质,将a ，b 的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,利用0∆=求出,即可(,)b x y =,即可解得所求.【详解】设(2,0),(,)OA a OB b x y ====,因为2||a b a b ⋅=-,所以2x =即24(1)y x =-,为点B 的轨迹方程.由上图易知,当直线OB 与抛物线相切时,,a b 的夹角最大.由24(1)y kx y x =⎧⎨=-⎩消去y 得22244016160,1k x x k k -+=∆=-==±，. 所以2x =,即点(2,2)B 或1(2,2)B -时，即(2,2)b =或(2,2)b =-时，,a b 的夹角最大. 此时，4a b ⋅=.故选:D .【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查转化与化归思想, ,将a ，b 的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,考查数形结合的解题思想,难度一般.16．C将BC 用OA ，OB 表示出来，根据O 是重心，即可列方程求得参数的值.【详解】()()2220OA OB BC OA OB OC OB OA OB OC λλλλ++=++-=+-+=因为O 是ABC ∆的重心，所以211λλ-=⎧⎨=⎩，解得1λ=. 故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及三角形重心的向量表示，属基础题.17．C利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得a 在e 方向上的投影.【详解】a 在e 方向上的投影为cos 42a e a e π⋅=⋅=. 故选：C【点睛】 本小题主要考查向量投影的计算，属于基础题.18．D【解析】利用向量垂直关系，可得a b ⋅，然后根据向量夹角公式，可得结果.【详解】由(2)a b a +⊥，所以(2)0a b a +⋅=则220a a b +⋅=，又||3a =，所以6a b ⋅=-，由||26b = 则2cos ,2a b a b a b ⋅==-， 又[],0,a b π∈，所以3,4a b π=故选：D【点睛】 本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，属基础题. 19．D由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】 ∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．20．85根据4CD DB =得到4455CD AB AC ，再由CD r AB sAC =+，根据平面向量的基本定理，求得,r s 的值，代入即可求解.【详解】如图所示，由4CD DB =，可得444555CD CB AB AC ==-，又由CD r AB sAC =+，所以44,55r s ==-，所以44833555r s +=⨯-=， 故答案为：85.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，以及平面向量的基本定理是解答的关键.着重考查了推理与计算能力，属于基础题.21．4π 根据()a a b ⊥-得到1a b =，再带入夹角公式即可.【详解】因为()a a b ⊥-，所以()0a a b ⋅-=.即20a a b -⋅=，10a b -⋅=，1a b ⋅=.1cos 22a ba b θ===所以夹角是4π. 故答案为：4π 【点睛】 本题主要考查向量的夹角公式，熟练掌握夹角公式为解题的关键，属于简单题。
平面向量练习题大全及答案
平面向量练习题大全及答案平面向量练习题大全及答案平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理等领域。
通过练习平面向量的题目，可以帮助我们巩固和深化对平面向量的理解。
本文将为大家提供一些平面向量的练习题，并给出详细的答案解析。
一、基础练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的和。
解析：向量的和等于对应分量相加，所以a + b = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。
2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的差。
解析：向量的差等于对应分量相减，所以a - b = (3 - 5, -2 - 1) = (-2, -3)。
3. 已知向量a = (4, 5)，求向量a的模长。
解析：向量的模长等于各分量平方和的平方根，所以|a| = √(4^2 + 5^2) =√(16 + 25) = √41。
4. 已知向量a = (3, -2)，求向量a的单位向量。
解析：向量的单位向量等于将向量除以其模长，所以a的单位向量为a/|a| = (3/√41, -2/√41)。
二、综合练习题1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量的数量积等于对应分量相乘再相加，所以a·b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10。
2. 已知向量a = (3, -2)和向量b = (5, 1)，求向量a与向量b的向量积。
解析：向量的向量积等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦值，所以a×b =|a|*|b|*sinθ，其中θ为a和b的夹角。
首先计算|a|和|b|：|a| = √(3^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13，|b| = √(5^2 +1^2) = √(25 + 1) = √26。
然后计算夹角θ的正弦值：sinθ = |a×b|/(|a|*|b|)，其中|a×b|为向量a×b的模长。
平面向量练习的的题目(附问题解释)
平面向量练习题一．填空题。
1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量垂直于向量，向量 平行于，试求,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）．8.－29.1210.31-11.012. 90°13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y O B O C O BO C y x O C ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x B B 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立， 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且 又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即 （2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
高中数学 平面向量基础练习及答案
基础练习1、若(3,5)AB = ，(1,7)AC = , 则BC =（ ）A ．（－2，－2）B ．（－2，2）C ．（4， 2）D ．（－4,－12）2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32→b ＝ ( )A 、(－2，－1)B 、(－2，1)C 、(－1，0)D 、(－1，2)3、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 24、若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=，则b=（ ）A ．（－1，2）B ．（－3，6）C ．（3，－6）D ．（－3，6）或（3，－6）5、在ABC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02是（ ）A ．锐角三角形B ． 直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE ·AF ＝（ ）（A ）20 （B ）21 （C ）22 （D ）237.在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ） A.平行四边形 B.矩形C.梯形D.菱形8.已知()()3,4,223,a b a b a b ==++=那么a 与b 夹角为（ ）A 、60︒B 、90︒C 、120︒D 、150︒9.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且=a ，=b，=c ,则下列各式： ①=21c －21b②=a +21b③CF =－21a +21b④++CF =0其中正确的等式的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 10.已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．11.设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.12.四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===y x （1）若//，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。
平面向量基础练习题
平面向量1.（湖南文） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ）A ．EF OF OE =+B ．EF OF OE =-C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--2. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是 ( )(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 3.AB BC AD +-=（ ）A 、ADB 、CDC 、DBD 、DC4.（全国一5）在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD=（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c + 5. 如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）(A)a =b (B) 1⋅a b = (C) 22≠a b (D) =a b6. (福建)对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是 （ ）A ．若=0a b ，则0a =或0b =B ．若λ0a =，则0λ=或=0aC ．若22=ab ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c7．下列各组的两个向量，平行的是 （ ）A 、(2,3)a =- ，(4,6)b =B 、(1,2)a =- ，(7,14)b =C 、(2,3)a = ，(3,2)b =D 、(3,2)a =- ，(6,4)b =-8.（安徽卷2）若(2,4)AB = ，(1,3)AC =, 则BC = （ ）A ． （1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）9.（湖北卷1）)2,1(-=,)4,3(-=,则=∙+)2( ( )A.(15,12)-B.0C.3-D.11-10.（四川卷3）设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则 2a b -= ( )（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,311.（宁夏，海南）4．已知平面向量(11)(11)==-，，，ab ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，12.（全国Ⅰ）已知向量(56)=-，a，(65)=，b ，则a 与b （）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向13.（广东卷3）已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝ （ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--14.（海南卷5）已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是 （ ）A. －1B. 1C. －2D. 215．已知向量(1)(1)n n ==-，，，ab ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．416. (重庆文6)设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==- 且a b ⊥ ，则||a b +=（ ）（A （B （C ）（D ）1017.（辽宁卷5）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为 （ ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．(32)，D ．(13)， 18. 已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ， 则++a b c等于 ( )(A) 0 (B) 3 (D)19. 若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（-3，4），则第4个顶点的坐标不可能是 （ ）(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）20.已知(6,0)a = ，(5,5)b =- ，则a 与b的夹角为 （ ）A 、045 B 、060C 、0135D 、012021.(全国文9)ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b =，则AD =（ ）A ．1133a b - B.2233a b - C.3355a b - D.4455a b -22.（全国二13）设向量(12)(23)==，，，ab ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．23.（北京卷11）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么∙的值为 ．24.（湖南卷11）已知向量)3,1(=a，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________.25.（江苏卷5）a ，b 的夹角为120︒，1a = ，3b = 则5a b -=． 26.（上海卷5）若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．27. (新课标文15)已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a = ；则_____b =28.(安徽文11)设向量)2,1(m a=，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______.29.（天津卷14）已知平面向量(24)=，a，(12)=-，b ，若()=- c a a b b ，则=c ．30. 已知)2,3(-M ，)0,1(-N ，则线段MN 的中点P 的坐标是________。
完整版)必修四平面向量基础练习题
完整版)必修四平面向量基础练习题1.下列向量中，与向量c=(2,3)不共线的一个向量p=（ 1，2，3 ）是（）解析：计算向量c和每个选项向量的叉积，如果结果不为零向量，则该选项向量与c不共线。
计算可得，选项A的叉积结果为(0,0,1)，B为(3,-3,1)，C为(6,-6,0)，D为(3,-1,-3)，因此选项C与c不共线。
答案：C2.已知正六边形ABCDEF，在下列表达式①BC+CD+EC；②2BC+DC；③FE+ED；④2ED-FA中，与AC等价的有（）解析：由于正六边形对称性，可以通过观察图形得出BC=CD=EC=AB，DC=FE，ED=AD，FA=BC。
因此，①可以化为3AB，②可以化为3AB，③可以化为2AD，④可以化为2AD。
因此，与AC等价的表达式有①和②，共2个。
答案：B3.如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记AB·AP+BA·BQ=m，AB·AQ+BA·BP=n，则（）解析：由于P和Q分别是AC和BC的中点，因此AP=BQ=1，AQ=BP=2.代入原式得2m=5，2n=8，因此m=5/2，n=4.答案：选项不确定4.若向量BA=(2,3)，CA=(4,7)，则BC=( )解析：由于BC=BA+AC，因此BC=(2,3)+(4,7)=(6,10)。
答案：C5.已知a、b是两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )解析：选项A错误，因为两个向量相等必须在大小和方向上都相等；选项B错误，因为两个向量平行不一定代表它们相等；选项C正确，因为两个单位向量的点积等于它们的夹角的余弦，而余弦为1时，夹角为0度，即两个向量重合；选项D错误，因为两个向量为单位向量时，它们的模长都为1，因此不可能有一个向量等于另一个向量的长度。
答案：C6.如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，）解析：连接AE和BF，可得AE=BF=√2/2，因此CE=CD-DE=AB-DE=√2-1.由于.答案：(√2-1)/37.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA+OB+OC+OD=（）解析：平行四边形的对角线互相平分，因此OM=1/2(AB+CD)，ON=1/2(BC+AD)。
初中数学平面向量基础专项练习题(含答案)
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
10.如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两
1
点，且
AM
xAB,
AN
yAC
，则
xy x y
的值为(
)
A．．．3． B．．.13． ． C．．．2． D．．.12．．
11.设 a ， b 是两个非零向量，下列命题正确的是（ ） A.若 a b a b ，则 a b B.若 a b ，则 a b a b
28.已知 e1 ， e2 为不共线的单位向量，
m
1 4
，n
ke1 e2 (k R)
，若
mn
1 4
恒成
立，则 e1 ， e2 的夹角的最小值为_________
29.（本小题满分 12 分）已知△ABC 在平面直角坐标系 xOy 中，其顶点 A，B，C 坐标分别
为 A(2,3) ， B(1,6) ， C(2 cos ,2sin ) .
可以唯一地表示成 c a b ( ， 为实数)，则实数 m 的取值范围是( )
A.(－∞,2)
B.
6 5
,
C.(－∞,－2)∪(－2,+∞)
D.
,
6 5
6 5
,
7.已知 RtABC ，点 D 为斜边 BC 的中点， AB 6
2,
AC 6 ,
AE
1
ED
,则
2
AE EB 等于 A. －14
∴ （ ＋ ）＝2
故选 D．
19. 1
20.120° 由条件知|a|＝ 5 ，|b|＝2 5 ，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝ 5 ，∵(a＋b)·c＝ 5 ，
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向量练习
一、选择题 1. 如果a ，b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) a =b (B) 1⋅a b = (C) 22≠a b (D) =a b
2. 下列说法正确的是( )
A.,a b b c a c ⇒r r r r r r P P P
B. a b b c a c ⋅=⋅⇒=r r r r r r
C. ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r
D.a b a
b =r r r r 3. 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若
e e 则213,5=== （ ） A ．121(53)2
e e +r r B ．
121(53)2e e -r r C ．211(35)2e e -r r D ．211(53)2e e -r r 4. 已知4||,6||==，则||的取值范围为（ ）
（A ）)8,2(（B ）]8,2[（C ）)10,2(（D ）]10,2[
5. 设)3,1(A ，)3,2(--B ，)7,(x C 若∥，则x 的取值范围是（ ）
（A ）0 （B ）3 （C ）15 （D ）18
6. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）
A.（-5k,4k ）
B.(-k 5,-k 4)
C.(-10,2)
D.(5k,4k)
7. 若点P 分AB 所成的比为
43，则A 分BP 所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7
3 8. 设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-21) 9. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
10. 设四边形ABCD 中，有DC =
21AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形 11. 已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标
是（ ）
A.(2a,b)
B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a)
D.(a-b,b-a)
12. 如图.点M 是ABC ∆的重心,则MC MB MA -+为（ ）
A ．0ϖ
B ．4ME
C ．4M
D D ．4MF
13. 已知ABC ∆的顶点)3,2(A 和重心)1,2(-G ，则BC 边上的中点坐标是（ ）
A ．)3,2(-
B ．)9,2(-
C ．)5,2(-
D ．)0,2(
14. 已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且32
OA OB OP -=u u u r u u u r u u u r ，则 ( )
(A) 点P 在线段AB 上 (B) 点P 在线段AB 的反向延长线上
(C) 点P 在线段AB 的延长线上 (D) 点P 不在直线AB 上
15. 已知点A （2，3）、B （10，5），直线AB 上一点P 满足|PA|=2|PB|，则P 点坐标是（ ）
（A ）2213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）（18，7）
（C ）2213,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
或（18，7） （D ）（18，7）或（－6，1）
16. 已知向量与不共线，＝＋k ，＝l ＋（k ，l ∈R ），则与共线的条件是（ ）．
（A ）k ＋l ＝0 （B ）k －l ＝0 （C ）kl ＋1＝0 （D ）kl －1＝0
17. 设向量a =(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b = 。
18. 已知点)5
4
2,(),4,6(),2,4(---x C B A 三点共线,则C 点分AB 的比λ=____________, x =______________.
19. 已知A （2，3），B （－1，5），且＝
31，＝－41，则CD 中点的坐标是________． 20. 在边长为1的等边ABC ∆中， AB BC AC BC •+•=u u u r u u u r u u u r u u u r _________
21. 三个力1F ，2F ，3F 的大小相等，且它们的合力为0，则力2F 与3F 的夹角为
22. 设向量,a r b r 满足1a b ==r r 及323a b -=r r ，3a b +r r 的值为_______
23. 已知OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，
则向量MN u u u u r 用a 、b 表示为 2MN AB ==u u u u r u u u r 2b 2-a ．
24. 已知向量a (2,3)m m =-+，b (21,2)m m =+-，若向量a 与b 的夹角为直角，则
实数m 的值为 ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值
范围为 ．
25. 已知△ABC 的顶点坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. 若∠A 是锐角，求c 的
取值范围
26. 设函数()f x a b =⋅r r ，其中向量(cos 2)a m x =r ，，(1sin 21)b x =+r ，，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． （1）求实数m 的值；
（2）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合。