运筹学Ch6网络模型

6.2 最小树问题
6.2.1树的概念
一个无圈并且连通的无向图称为树图或简称树(Tree)。组织机 构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路网络等 都能表达成一个树图 。 可以证明： （1）一棵树的边数等于点数减1； （2）在树中任意两个点之间添加一条边就形成圈； （3）在树中去掉任意一条边图就变为不连通。
6.3.1最短路问题的网络模型
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或 任意两点之间距离最短的一条路
求最短路有两种算法： 一是求从某一点至其它各点之间最短离的狄克斯屈拉 (Dijkstra)算法 另一种是求网络图上任意两点之间最短路的Floyd(弗洛伊德) 矩阵算法。
【例6-3】图6－6中的权cij表示vi到vj的距离（费用、时间），从 v1修一条公路或架设一条高压线到v7，如何选择一条路线使距离 最短，建立该问题的网络数学模型。 ② 6 ① 3 ③ 5 2 7
Chapter 6 网络模型 Network Modeling
6.1 图的基本概念与模型 Basic Concepts and Model 6.2 最小(支撑)树问题 Minimal (Spanning)Tree Problem 6.3 最短路问题 Shortest Path Problem 6.4 最大流问题 Maximal Flow Problem 6.5 欧拉图与中国邮路问题 China Carrier Problem 6.6 应用举例
加边法：取图G的n个孤立点｛v1，v2，…， vn}作为一个支撑 图，从最短边开始往支撑图中添加，见圈回避，直到连通（有 n－1条边） 【例6-2】用加边法求图6－1的最小树 v1 5× v2 3 4 2 v4
图6－5
v3 5
v5 1 v6 Min C(T)=15
v1 5 v2
8 4 3
v3 8 v4 2
步骤：
• １、输入权矩阵Ｄ（０）＝Ｄ； • ２、 对n个顶点的图G,该方法迭代n步结束， • 第k次迭代的矩阵Dk的元素dij(k)按下式选取 • dij(k) =min{dij(k-1),[dik(k-1）+dkj(k-1）]}
14
9 6 8
⑤ 11 ⑦
10
12
16
④ 5
图6－6
⑥
【解】 设xij为选择弧(i，j)的状态变量，选择弧(i，j)时xij＝1，不 选择弧(i，j)时xij＝0，得到最短路问题的网络模型：
min Z
( i , j )E

cij xij
x12 x13 x14 1 xij xki 0 i 2,3, , 6 (i , j )E ( k ,i )E x57 x67 1 xij 0或1，(i, j ) E
v2 e5 e6 e1
e2
v1 e4
e3 v3 e8
e7
点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，
次为0的点称作孤立点。
v4 v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
定理1 任何图中，顶点次数之和等于所有边数的2倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每条边 均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
6.3.3 无向图最短路的求法
无向图最短路的求法只将上述步骤（2）改动一下即可。 点标号：b(i) —起点vs到点vj的最短路长； 边标号：k(i，j)=b(i)+cij， 步骤：(1)令起点的标号；b(s)＝0。 (2)找出所有一端vi已标号另一端vj未标号的边集合 B={[i，j]}如 果这样的边不存在或vt已标号则计算结束； (3)计算集合B中边标号：k[i，j]=b(i)+cij
在一个连通图G中， 取部分边连接G的所 有点组成的树称为G 的部分树或支撑树 (Spanning Tree )。 图6－2是图6－1的 部分树。 v1
4 2
v3
7
v5
1
v2
3
v4
图6－2
v6
6.2.2 最小部分树
将网络图G边上的权看作两点间的长度（距离、费用、时间）， 定义G的部分树T的长度等于T中每条边的长度之和，记为C(T)。 G的所有部分树中长度最小的部分树称为最小部分树，或简称 为最小树。
4 2
v5 v4
A66
2. 权矩阵
对于赋权图G=(V,E), 其中边 (vi , v j )有权 w i j , 构造矩阵B=(bij) nn 其中：
wi j bi j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
例6.4 下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:
最小部分树可以直接用作图的方法求解，常用的有破圈法和 加边法。 破圈法：任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。
【例6-1】用破圈法求图6－1的最小树。 v1 8 4 v3 5 7 v5
5
v2 3
8
2 v4
图6－4 图6－1
1
6 v6
图6－4就是图6－1的最小部分树，最小树长为 C(T)=4+3+5+2+1=15。
子图，部分图(支撑子图) 图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有
V1 V2 和E1 E 2 称G1是G2的一个子图。 若有 V1＝V2，E1 E 2 ，则称G1是G2的一
v2 e2
e1 v1 e4 e5 e6 e3 v3 e7 e8 e3 v3
个部分图(支撑子图)。
e4 v2 e5 e6 e8 v3
6.1 图的基本概念与模型
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过 Königsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。 这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。Euler1736年证明了不 可能存在这样的路线。
Kö nigsberg桥对应的图
6.1.1 图基本概念
例1、有甲、乙、丙、丁、戊五个球队， 它们之间比赛的情况也可以用图表示出来。
7 5
v5
1 6 v 6
图6－1
学习要点：
1.树、支撑树、最小支撑树的概念 2.掌握求最小树的方法： （1）破圈法 （2）加边法 作业：教材习题 6.1，6.4（a），6.5
下一节：最短路问题
6.3 最短路问题
6.3.1最短路问题的网络模型 6.3.2有向图的狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法 6.3.4 最短路的Floyd算法
• 这个算法只设用于全部权为非负情况,如果某边上权 为负的,算法失效; • 当vi与vj两点之间至少有两条边相关联时，留下一 条最短边，去掉其它关联边。
6.3.4 最短路的Floyd算法
1、 写出图的权矩阵 D (dij )nn
lij d ij
(vi到v j的直达路线距离 ) (vi到v j 不存在)
(4)选一个点标号: b(l ) min k[i, j ] | [i, j ] B, 在端点v 处标号b(l ) l j 返回到第(2)步。
Dijkstra)标号 算法的基本思 【例6-5】求图6-10所示v1到各点的最短路及最短距离 想！ 4 6 11
② 4 0 ① 2 4 5 5 6 9 3 ③ 1 3
9
①
10 12
③
9
8
24
⑦
32
29
5
12
14
16 ④
12
5
17
⑥
16
图6－6
v1 到v7的最短路为：p17=｛v1, v2, v3, v5, v7｝，最短路长为L17=29
从上例知，只要某点已标号，说明已找 到起点vs到该点的最短路线及最短距离， 因此可以将每个点标号，求出vs到任意 点的最短路线，如果某个点vj不能标号， 说明vs不可达vj 。
v1 3 v6 3 4 2 v5 6
4
7
v2 2
3 5 v4
v3
v1 0 v 2 4 v 3 0 B v 4 6 v 5 4 v 6 3 v1
4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v2 v3 v4 v5 v6
V5 e5 e4 e6 e7 e2 e3 V3 V4
V1
e1 V2
例2 某单位储存八种化学药品，其中某些 药品是不能存放在同一个库房里的。为了反映 这个情况可以用点V1,V2,……V8分别代表这八 种药品，若药品Vi和药品Vj是不能存放在同 一个库房的，则在Vi和Vj之间连一条线。
V2 • • V1 •· V8 •V3 • V4 • V5
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合。由定理1可得：
vV1
d ( v ) d ( v ) d ( v ) 2m
vV2 vV
vV1
2m为偶数，且偶点的次之和 d (v ) 也为偶数，所以 d (v ) 必为偶 vV2 数，即奇数点的个数必为偶数。
W w12 , w13 , w14 ,, w56
连通的赋权图称为网络图，记为 G＝｛V，E，W｝
一般地，当用图论研究一个实际问题时， 常以顶点（Vertex）表示要研究的对象，以 它们之间的连线，表示某种关系，这种连线 称为边（Edge），目的是为了解决某个极值 问题。
下图可以提出很多极值问题
2 1 6 3 3 1 3 1 2 3 7 7 6 4 8
6
4
6
5
6
7
6.1.2 关于图的另外一些名称和术语：
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的