定积分求曲边图形面积精析
定积分求曲边梯形面积的步骤
定积分求曲边梯形面积1. 概述曲边梯形是一种特殊的梯形，其上底和下底的长度不同，且两个底之间的边是一条曲线。
要计算曲边梯形的面积，可以通过定积分来实现。
本文将介绍使用定积分求解曲边梯形面积的步骤。
2. 基本原理定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的面积。
在本问题中，我们需要将曲边梯形划分为无穷多个无限小的矩形区域，并计算这些矩形区域的面积之和。
通过取极限，我们可以得到曲边梯形的面积。
3. 求解步骤步骤一：确定曲线方程首先需要确定曲线方程，以便后续计算。
假设曲线为y=f(x)，其中f(x)为定义在[a, b]上的函数。
步骤二：确定上下底边界将[a, b]区间划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。
根据题目给定条件或要求，确定上底和下底的边界。
步骤三：确定高度函数高度函数h(x)定义为上底和下底之间的距离，即h(x) = f(x) - g(x)，其中g(x)为下底的方程。
步骤四：计算矩形面积将[a, b]区间划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。
计算每个小区间内的矩形面积，即ΔA = h(x) * Δx。
步骤五：求和将所有矩形面积ΔA相加，得到曲边梯形的近似面积S：S ≈ Σ(ΔA)步骤六：取极限当n趋向于无穷大时，Δx趋向于0，曲边梯形的近似面积逐渐接近真实面积。
通过取极限得到定积分公式：S = ∫[a, b] h(x) dx4. 实例演示假设我们要计算曲边梯形的面积，其中上底为曲线y = x^2，下底为直线y = 2x，且x的范围为[0, 1]。
步骤一：确定曲线方程曲线方程为y = x^2。
步骤二：确定上下底边界上底为曲线y = x^2，下底为直线y = 2x。
步骤三：确定高度函数高度函数h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 2x。
步骤四：计算矩形面积将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。
计算每个小区间内的矩形面积ΔA = h(x) * Δx。
步骤五：求和将所有矩形面积ΔA相加，得到近似面积S：S ≈ Σ(ΔA)步骤六：取极限当n趋向于无穷大时，Δx趋向于0，曲边梯形的近似面积逐渐接近真实面积。
定积分在特殊图形面积问题中的应用
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定积分求曲边梯形面积公式
定积分求曲边梯形面积公式定积分求曲边梯形面积的公式是一个较为复杂的问题，它涉及到曲线的函数表达式、积分的概念以及曲线与横轴所围成的面积等知识。
在解答这个问题前，我们先来了解一下什么是定积分。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求函数在某一区间上的面积。
对于一个给定的函数f(x)，它在区间[a,b]上的定积分可以表示为：∫[a,b]f(x)dx其中，∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
定积分的运算过程即求解被积函数在[a,b]区间上与x轴之间的面积。
现在我们来讨论如何使用定积分来求解曲边梯形的面积。
曲边梯形是指在平面内，上底和下底平行，且一边为曲线的梯形。
为简化问题，假设我们要求解的曲边梯形位于x轴上，并且曲线可以用一个函数f(x)表示。
我们将曲边梯形分成无数个微小的矩形条，并将它们的面积加起来，即可得到曲边梯形的面积。
假设曲边梯形的底边长为a，顶边长为b，宽度为dx（即微小矩形条的宽度），则每个微小矩形条的面积可以表示为(a+kb)dx，其中k表示微小矩形条的位置。
将上述微小矩形条的面积加起来，即得到曲边梯形的面积：∫[a,b](a+k(x)b)dx接下来，我们将这个定积分进行求解。
首先将被积函数展开：∫[a,b](a+bk(x))dx = a∫[a,b]dx + b∫[a,b]k(x)dx其中，a∫[a,b]dx表示在[a,b]区间上的积分，由于dx仅与x有关，所以其结果为(a+b)(b-a)。
b∫[a,b]k(x)dx表示曲线所围成的面积，即曲边梯形的面积。
综上所述，曲边梯形的面积可以表示为：面积 = (a+b)(b-a) + b∫[a,b]k(x)dx这就是曲边梯形面积的定积分求解公式。
需要注意的是，该公式仅适用于曲边梯形位于x轴上，且曲线函数f(x)可求解的情况。
对于非x轴上的曲边梯形，可以通过变量换元或者函数变换的方法将其转化为在x轴上的曲边梯形，然后使用上述公式求解。
曲边梯形的面积与定积分
n i 1 i 1 1 Sn S f ( )x ( )2 n n n i 1 i 1 i 1 n ' i n
y
S lim Sn
1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . 3 y x2
问题探究 例1.求抛物线y=x2、直线x=1和y＝0所围成的
曲边梯形的面积。
（1）分割：将曲边梯形分成 n个小曲边梯形 （2）近似代替 ：用小矩形的面积代替小曲边 y 梯形的面积， 于是曲边梯形的面积S近似为：
S S1+ S2 + + Sn
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
x
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
, 记作 f x dx, a, b 上的 定积分 a
b
n 1
即 f ( x)dx lim
b a
n 1 i 0
0
这里, a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间
ba f (i ) xi lim f i . n n i 1
n
a, b 叫做积分区间,函数f x 叫做被积函数, x叫 做积分变量, f x dx叫做被积式.
n
课题：曲边梯形面积
我行 我能 我要成功 我能成功
（4）求极限 当分割无限变细，即 x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的 面积为 。 3 3
（2）近似代替 i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n （3）求和
三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用
三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用三角函数是数学中的一种重要函数类型，它在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定积分计算方法，以及如何利用三角函数求解曲边梯形的面积。
一、三角函数的定积分计算定积分是微积分中的一个重要概念，表示曲线下的面积。
对于三角函数来说，我们可以利用其周期性和性质进行定积分的计算。
1. 正弦函数的定积分计算正弦函数的定义域是整个实数集，其周期为2π。
对于正弦函数sin(x)，其定积分可以表示为∫sin(x)dx。
利用正弦函数的性质可以得到该定积分的计算方法。
我们知道，正弦函数的一个周期(0到2π)的定积分为0，即∫[0,2π]sin(x)dx = 0。
由于正弦函数是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。
例如，要计算∫[0, 4π]sin(x)dx，可以将其分解成四个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]sin(x)dx + ∫[2π, 4π]sin(x)dx + ∫[4π, 6π]sin(x)dx + ∫[6π,8π]sin(x)dx。
由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。
2. 余弦函数的定积分计算与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，其周期为2π。
对于余弦函数cos(x)，其定积分可以表示为∫cos(x)dx。
同样地，余弦函数一个周期(0到2π)内的定积分为0，即∫[0,2π]cos(x)dx = 0。
由于余弦函数也是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。
例如，要计算∫[0, 6π]cos(x)dx，可以将其分解成三个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]cos(x)dx + ∫[2π, 4π]cos(x)dx + ∫[4π, 6π]cos(x)dx。
由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。
二、曲边梯形的面积应用曲边梯形是一个由曲线和直线围成的四边形，其中有一条边为曲线边，其余三条边为直线边。
对于曲边梯形的面积计算，我们可以利用三角函数进行求解。
定积分 曲边三角形的面积
定积分曲边三角形的面积可以通过以下步骤计算：
1. 确定积分上下限：根据所选择的定积分区间，确定积分上下限。
2. 计算曲边三角形的面积：根据定积分的公式，将区间分成多个小区间，每个小区间的长度可以根据需要选择。
每个小区间的左侧边和右侧边的纵坐标之差，就是曲边三角形在相应区间上的高度。
将所有曲边三角形的高度乘以对应的区间长度，再将所有结果相加，即可得到定积分曲边三角形的面积。
以下是一个简单的例子：
假设定积分区间为[a, b]，将区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
曲边三角形的面积为S = (b-a) * (Δx/2) * (Δx/√(3)) + √(3) * Δx / 4 * (N-n)，其中N为总区间数。
可以参考以下的诗句：
* "独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲。
遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人。
"（王维《九月九日忆山东兄弟》）
* "月落乌啼霜满天，江枫渔火对愁眠。
姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船。
"（张继《枫桥夜泊》）
* "中秋谁与共孤光，把盏凄然北望。
"（苏轼《西江月·世事一场大梦》）
这些诗句都表达了错过中秋时的孤独和思乡之情。
定积分的应用求面积与弧长
定积分的应用求面积与弧长定积分是微积分中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是通过定积分来求解曲线的面积和弧长。
本文将介绍定积分在求解面积和弧长问题中的应用方法。
一、定积分求解曲线下面积在平面直角坐标系中，考虑曲线y=f(x)与x轴所围成的封闭曲线。
我们希望求解这个封闭曲线所包围的面积。
设x的取值范围为[a, b]。
根据定积分的定义，可以用无穷小的矩形近似曲线下面积。
即将[a, b]区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，并在每个小区间内选择任意一个点xi。
那么第i个小区间的面积即为f(xi)Δx。
将所有小区间的面积累加起来，即可得到近似曲线下面积的总和：S≈Σf(xi)Δx当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，这个近似值趋于真实的曲线下面积。
所以我们可以得到曲线下面积的定积分表示：S=∫[a, b] f(x) dx其中，f(x)是曲线的函数，而dx表示对x的积分。
通过计算定积分，就可以得到所求曲线下的面积。
二、定积分求解曲线的弧长另一个常见的问题是求解曲线的弧长。
考虑曲线y=f(x)在[a, b]区间上的一部分弧段。
我们可以将弧段分割成n个小弧段，每个小弧段的长度为Δs。
与求解面积类似，我们可以得到每个小弧段的长度：Δs≈√(Δx)²+(Δy)²其中Δy=f(xi+1)-f(xi)，Δx=xi+1-xi。
将所有小弧段的长度累加起来，即可得到对曲线的弧长的近似值：L≈ΣΔs当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0，这个近似值趋于真实的曲线弧长。
所以我们可以得到曲线的弧长的定积分表示：L=∫[a, b] √(1+(f'(x))²) dx其中，f'(x)是曲线函数的导数。
通过计算定积分，就可以得到所求曲线的弧长。
综上所述，定积分的应用可以帮助我们求解曲线的面积与弧长问题。
无论是求解面积还是弧长，都可以通过将曲线划分为无穷小的小区间或小弧段，并使用定积分的方法进行累加求和，最终得到准确的结果。
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计算方法及技巧
在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计
算方法及技巧
定积分计算方法：
1. 将曲线围成的图形分解为多个小的矩形，每个矩形的面积可以用定积分计算；
2. 将曲线围成的图形分解为多个三角形，每个三角形的面积可以用定积分计算；
3. 将曲线围成的图形分解为多个椭圆，每个椭圆的面积可以用定积分计算；
4. 将曲线围成的图形分解为多个圆，每个圆的面积可以用定积分计算；
5. 将曲线围成的图形分解为多个抛物线，每个抛物线的面积可以用定积分计算；
技巧：
1. 将曲线围成的图形分解为多个小的矩形，每个矩形的面积可以用定积分计算，但是要注意，矩形的边长不能太大，否则会导致计算结果的误差；
2. 将曲线围成的图形分解为多个三角形，每个三角形的面积可以用定积分计算，但是要注意，三角形的边长不能太大，否则会导致计算结果的误差；
3. 将曲线围成的图形分解为多个椭圆，每个椭圆的面积可以用定积分计算，但是要注意，椭圆的长轴和短轴不能太大，否则会导致计算结果的误差；
4. 将曲线围成的图形分解为多个圆，每个圆的面积可以用定积分计算，但是要注意，圆的半径不能太大，否则会导致计算结果的误差；
5. 将曲线围成的图形分解为多个抛物线，每个抛物线的面积可以用定积分计算，但是要注意，抛物线的顶点不能太大，否则会导致计算结果的误差。
定积分曲线与面积计算
定积分曲线与面积计算在数学中，定积分是一种重要的数学概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。
定积分的应用广泛，尤其在微积分和物理学等领域中起着至关重要的作用。
本文将介绍定积分的定义和性质，并详细说明如何使用定积分来计算曲线与面积。
一、定积分的定义定积分是对一个区间上的函数进行积分运算的结果。
它可以看作是将一个曲线下方的面积划分为无穷多个无穷小的长方形，并将这些长方形的面积相加而得到的极限值。
数学上，定积分通过极限运算来定义。
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则对应的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x) dx其中，∫表示积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)为被积函数，dx表示自变量的微小增量。
二、定积分的性质定积分具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：对于任意的实数c，d和函数f(x)、g(x)，有：∫[a, b] (c * f(x) + d * g(x)) dx = c * ∫[a, b] f(x) dx + d * ∫[a, b] g(x) dx2. 区间可加性：对于区间[a, c]和区间[c, b]上的函数f(x)，有：∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx3. 积分上下界交换性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则下面两个积分相等：∫[a, b] f(x) dx = ∫[b, a] f(x) dx三、使用定积分计算曲线与面积使用定积分可以计算曲线与坐标轴之间的面积。
具体步骤如下：1. 确定积分区间：首先需要确定曲线与坐标轴之间需要计算面积的区间。
2. 构建被积函数：根据具体情况，将曲线的方程表示为y = f(x)，并构建被积函数f(x)。
3. 计算定积分：将被积函数代入定积分的定义中，并按照定义计算出定积分的值。
举例说明，考虑计算曲线y = x^2和x轴所围成的面积。
首先确定积分区间为[-1, 1]，然后将曲线方程改写为x = y^(1/2)，构建被积函数f(y) = y^(1/2)。
人教新课标版数学高二-人教A版选修2-2 1.7定积分求曲边形的面积错解分析
定积分求曲边形的面积错解分析用定积分求曲边形的面积时，不判断曲边图形位于x 轴上方，还是下方，直接求解而出现错误，下面通过实例探究避免出错的措施：一、具体措施：⑴当对应的曲边图形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积； ⑵当对应的曲边图形位于x 轴下方时，定积分的取负值，且等于曲边图形面积的相反数； ⑶当位于x 轴上方的曲边图形面积等于位于x 轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边图形面积减去位于x 轴下方的曲边图形的面积.二、错例体验：例1、求曲线sin y x =与直线5,,024x x y ππ=-==所围成的图形的面积.错解：所求面积为55441122sin cos |2xdx x ππππ--=-=⎰. 错解分析：当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等于定积分的相反素，本题中求曲线与直线所围成的图形的面积时应先判断曲线在x 轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的.正解：所以围成的图形的面积：5544112200sin sin sin sin 121422S xdx xdx xdx xdx ππππππ--⎛⎫==-+-=++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰练习、求正弦曲线sin y x =与余弦曲线cos y x =，在34x π=-到54x π=间围成图形的面积. 解析：当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos sin x x >，当5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin x x <， 所以所求面积为()()5144344cos sin sin cos S x x dx x x dx ππππ-=-+-⎰⎰ ()()5544442sin cos 2cos sin |x x dx x x ππππ=-=--=⎰∴所围成的曲边图形的面积为点评：本题中先判断了在3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上正弦函数与余弦函数的大小关系，在具体利用定积分求图形的面积，同时注意对称性在本题中的灵活应用.。
高中数学总结归纳 定积分与曲边梯形的面积
定积分与曲边梯形的面积求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.当函数f(x)在区间〔a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．那么在一般情形下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线y=f(x)，两条直线x ＝a,x ＝b 与x 轴所围成的各部分面积的代数和.本文主要探讨定积分与曲边梯形面积的关系.一. 利用定积分的定义求曲边梯形的面积例1.利用定积分的定义求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y=x 3围成的图形的面积． 分析:画出草图,形象直观,帮助解题.对定积分定义的理解程度决定了解题的成败. 解：（1)分割把求面积的曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点把区间［1,2］等分成n个小区间每个小区间的长度为过各分点作x 轴的垂线，把曲线梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作△S 1 ,△S 2，…,△S n ．（2)近似代替取各小区间的左端点ξi ，用以点ξi 的纵坐标(ξi )3为一边，以小区间长△x=n1为其邻边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即（4）求极限当分点数目愈多，即△x 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S.因此∞→n 即△x →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积点评: (1)据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限． (2)独立研究一个这种例题，是学习定积分过程中必需的，重点在于体验其中的数学思想．二、利用微积分基本定理求曲边梯形的面积 1.以x 为积分变量例2.求由抛物线y=x 2-1，直线x=2,y=0所围成的图形的面积． 分析：首先要较准确地画出图形，尤其是公共点． 解：首先画出如图所示的阴影部分就是所求作的图形． 由x 2-1=0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(-1,0)和(1,0)所求图形分成两块，分别用定积分表示面积为：因为1)3(,1)3(2323-='--='-x x x x x x ，所以 dx x dx x ⎰⎰---+-112112)1(|1|=dx x dx x ⎰⎰-+--212112)1(|1|=213113|)3(|)3(x x x x -+-- =1-31+1-31+38-2-(31-1)=38, 即所围成的三角形面积为38．点评：在[-1,1]上, 抛物线在x 轴下方,这时有两种办法表示，其面积表示其一是dx x ⎰--112|1|,其二是dx x ⎰---112)]1(0[．2. 以y 为积分变量例3求曲线y=2x 与直线y=x-4围成的图形面积．分析：首先正确画出抛物线和直线的大致图象（关键点要尽可能准确），如果选择积分变量为x ，则要将区域分成两块才行，而如果选择积分变量y,如图,问题便很简单．解：由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 解得⎩⎨⎧-==,2,2y x 和⎩⎨⎧==.4,8y x 即A,B 两点的纵坐标分别是-2和4. 因此所求的面积为因为,24)642(232y y y y y -+='-+所以 S=4232422|)642(]2)4[(---+=-+⎰y y y dy y y =18.点评：由本题可看出，如果采用x 作为积分变量，积分的运算量会增加，可见，认真审题，找出最佳的方法是很重要的．三、逆用曲边梯形的面积求定积分 例4.求定积分⎰---12))1(1(dx x x 的值.解析:⎰---12))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y ≥0）的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积，因此⎰---12))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评: 本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---12))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y ≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
定积分的应用： 平面图形面积讲解
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
oa
xx b x
曲边梯形的面积
A
b
a[
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
图形的面积.
解: 设抛物线上切点为
则该点处的切线方程为
B
M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 且为最小点 . 故所求切线为
B M
A
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2 (t)(t)dt. t1
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
3 2
2 sin
1 sin 2
4
0
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
a2 .
三、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
直角坐标方 边界方程 参 程数方程
极坐标方程
b
A a f1(x) f2 (x) dx
思考题
设曲线 y f ( x)过原点及点(2,3) ，且 f ( x)
2
4ab 2 sin2 tdt ab. 0
二、极坐标系情形
设由曲线r ( )及射线 、 围成一曲边扇 形，求其面积．这里， ( )
定积分的概念,曲边图形求面积
主讲：王永超
例：如何求由 y x 2与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积呢？
例：如何求由 y x 2与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积呢？ 解：在区间[0, 1]上等间隔的插入n-1个点，将他等分成n个小区间
1 1 2 n 1 0 , , , ,...... , 1 n n n n
S
S
i 1
n
i
例：如何求由 y x 2与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积呢？
记f（x） x 2 当n很大时，即 S 很小时，在区间
i - 1 i 上，可以认为函数 ， n n
y x 2 的值变化很小，近似的等于
i -1 i -1 一个常数，不妨认为近似的等于左端点 处的函数值 f n n
n i 1 n
◆求曲边梯形面积的一般步骤 引例——曲边梯形的面积（演示）
y f ( x)
y
A?
o 分割
a
b
x
近似代替
求和
取极限
由直线x=0，x=2，y=0与曲线
yx
2
所围成曲边图形的面积
通过本节课的学习，我们知道了曲边图 求和，取极限。通过本节课的学习，我们还 掌握了化归转化，以直代曲，极限逼近的数 学思想。
n i 1
求 f (i )
n
(i1, 2,, n), 作和 f (i )xi 如果当n 时, 上述和式的 极限存在, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分 记
a f ( x)dx 即 a
b
b
f ( x) d x lim f (i )xi
n i 1
定积分与曲线围成的面积
定积分与曲线围成的面积定积分是微积分中的重要概念之一，它在计算曲线围成的面积时发挥着重要的作用。
本文将介绍定积分的基本概念和计算方法，并重点探讨了定积分与曲线围成的面积之间的关系。
一、定积分的基本概念在微积分中，定积分是通过将变量分割成无穷小的部分，然后对这些部分进行求和来计算曲线下的面积。
定积分可以表示为一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的面积，记作∫[a, b] f(x) dx。
二、定积分的计算方法计算定积分的方法主要有数值法和解析法两种。
数值法是通过将区间 [a, b] 等分成若干小区间，然后在每个小区间上取样进行计算，最后将结果进行求和。
解析法则是通过求出原函数的不定积分，然后利用定积分的性质进行计算。
三、定积分与曲线围成的面积关系在数学中，由曲线所围成的面积可以通过定积分进行计算。
当我们希望计算曲线 y=f(x) 在区间 [a, b] 上围成的面积时，可以通过以下公式进行计算：A = ∫[a, b] |f(x)| dx其中，A 表示曲线围成的面积，而 |f(x)| 表示函数 f(x) 的绝对值。
四、实例分析为了更好地理解定积分与曲线围成的面积之间的关系，我们举一个具体的实例进行分析。
假设有一个曲线 y=x^2，在区间 [0, 2] 上围成的面积如何计算呢？首先，我们可以根据公式A = ∫[0, 2] |x^2| dx 进行计算。
由于函数f(x) = x^2 在整个区间上的值均为非负，所以 |x^2| = x^2。
因此，我们可以将其转化为定积分：A = ∫[0, 2] x^2 dx接下来，我们可以通过解析法来计算该定积分。
求出函数 f(x)=x^2 的原函数 F(x)，并进行曲线的积分运算。
经过具体计算，可以得到：A = [1/3 * x^3]0~2 = 1/3 * 2^3 - 1/3 * 0^3 = 8/3所以，曲线 y=x^2 在区间 [0, 2] 上围成的面积为 8/3。
曲边梯形的面积与定积分
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和y＝0所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
因此, 我们有理由相 信, 这个曲边三角形 的面积为:
f (b) f (a )
0
a
b
x
知识应用
应用1: 用定积分的概念, 写出
抛物线y=x2与直线x=1, y=0所围成
的阴影部分的面积
根据定积分的概念,曲边梯形的面积 1 1 1 2 S f x dx x dx . 0 0 3
b 应用 2: 证明 (1) dx b a(其中a, b a
, 记作 f x dx, a, b 上的 定积分 a
b
n 1
即 f ( x)dx lim
b a
n 1 i 0
0
这里, a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间
ba f (i ) xi lim f i . n n i 1
n
a, b 叫做积分区间,函数f x 叫做被积函数, x叫 做积分变量, f x dx叫做被积式.
n
课题：曲边梯形面积
我行 我能 我要成功 我能成功
（4）求极限 当分割无限变细，即 x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的 面积为 。 3 3
a a a
定积分与曲边梯形面积的关系
定积分与曲边梯形面积的关系
定积分和曲边梯形面积有着密切的关系。
对于一个连续的函数
$f(x)$，我们可以将其在$x\in[a,b]$的区间上分成许多小的梯形形状，将梯形的面积加起来即可得到曲边梯形的面积，即：
$$S=\sum_{i=1}^{n}(\frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2})(x_{i}-
x_{i-1})$$
其中，$n$表示我们分割的梯形数量，$x_{i}$表示分割后的小区
间的右端点，$x_{i-1}$则表示左端点。
$(\frac{f(x_{i-
1})+f(x_{i})}{2})$则表示这个小梯形的高，$(x_{i}-x_{i-1})$表示
它的底边长度。
可以发现，将$n$增加到无限大时，曲边梯形面积就会趋于某个
定值$S$，这个定值就是$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分。
我们可以
用积分符号表示为：
$$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$$
因此，我们可以通过定积分来求解曲线的面积问题，从而将几何
问题转化为数学问题，达到简便、准确的目的。
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定积分求曲边图形面积精析
曾玲莉 熊明军
定积分是课标教材的新增内容，在数学方面主要包括平面图形的面积及微积分基本定理，而利用定积分求含曲边的平面图形面积问题在平面几何中是难以用常规方法加以解决的。
定积分知识的引入，为此类问题的解决提供了强有力的方法工具，也充分体现了新内容引进的必要性。
一、利用定积分求平面曲边图形面积的步骤及理论
基本步骤：①画图形→②求交点→③写积分→④算面积。
基本理论：①如果函数()x f 和()x g 在],[b a 上可积，并且满足()()],[,b a x x g x f ∈∀≥， 那么介于直线b x a x ==,和曲线()()x g y x f y ==,之间的图形面积可以表示为定积分：
()()dx x g x f S b
a ⎰-=][图形面积. ②如果函数()y ϕ和()y φ在],[
b a 上可积，并且满足()()],[,b a y y y ∈∀≥φϕ， 那么介于直线b y a y ==,和曲线()()y x y x φϕ==,之间的图形面积可以表示为定积分：
()()dy y y S b
a ⎰-=][φϕ图形面积. *注意：在基本步骤中，第③步怎样写出图形面积对应的定积分表达式是重点也是难点，由于定积分值不一定为正，但平面曲边图形的面积总是正值，因此，在这里要注意准确把握基本理论，就是根据所画图形查找是否有一条曲线（直线）在另一条曲线（直线）之上，x 做积分变量不行就换y 做积分变量。
即：
①对于x 做积分变量时，()()],[,b a x x g x f ∈∀≥；
②对于y 做积分变量时，()()],[,b a y y y ∈∀≥φϕ。
二、定积分求平面曲边图形面积的典例精析
例1：求曲线x y sin =与x 轴在区间]2,0[π上所围成阴影部分的面积。
x
解析：①画图形：如上图已知；②求交点：()()()0,2,0,,0,0ππ；③写积分：以x 作为积分变量，在],0[π上，0sin ≥x ，直线0=y 与曲线x y sin =所围成的曲边图形面积：()dx x dx x S ⎰⎰=-=π
π00sin 0sin 图形面积；在]2,[ππ上，x sin 0≥，同理可得图形面积为
()()dx x dx x dx x S ⎰⎰⎰-=-=-=ππππππ
222sin sin sin 0图形面积。
④算面积：求得阴影部分面积：()()()422sin sin sin 00sin 2020
=--=-=-+-=⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx x dx x S ππππππ图形面积。
【点评：】本题严格按照文中所列方法步骤解题，条理清晰，形成固定算法，不易出错。
例2：求抛物线x y 22=与直线04=--y x 所围成图形的面积。
解析：①画图形：
②求交点：联立⎩⎨⎧=--=0
422y x x y ，解得交点为()()4,8,2,2-
③写积分：先以x 作为积分变量，在积分]8,0[上不是任意点都满足()4-≥x x f （在]2,0[上04=--y x 没有参与围成曲边图形面积），所以不选择；再以y 作为积分变量，
在]4,2[-上，242y y ≥+，直线04=--y x 与曲线x y 22=所围图形面积：()dy y y S ⎰-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+=42224。
④算面积：直线04=--y x 与曲线x y 22
=所围曲边图形面积（如上图所示）：
()1842161421244223422422=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=---⎰⎰y y y dy y y dy y y S 图形面积。
【点评：】根据基本理论，为了满足不等关系，适当选取积分变量，会使计算变得简洁。