三大微分中值定理及其推广形式和应用

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三大微分中值定理及其推广形式和应用
丁亚红
南京师范大学数学科学学院，南京（210046）
E-mail: dyahong@
摘 要：三大微分中值定理既有区别，又紧密相联。在这三大定理中，Rolle 定理是基础， Lagrange 中值定理是关键。本文介绍了一阶、高阶形式的中值定理及其应用。给出了一阶形 式的微分中值定理的相互证明。在高阶情形中，用高阶 Lagrange 中值定理证明了高阶 Cauchy 中值定理。其应用方面为:判断函数方程根的存在性,求极限,证明不等式,证明单调性。 关键词：中值定理，推广，应用
(1)
g (n) (ξ )
1
1L1
x0
x1 L xn
x02
x12
L
x
2 n
L LLL
x n−1 0
x n−1 1
L
x n−1 n
g(x0 ) g(x1 ) L g(xn )
3.3 用高阶 Lagrange 中值定理证明高阶 Cauchy 中值定理
在一阶形式中，我们可以运用 Lagrange 中值定理证明 Cauchy 中值定理。这里，我们将 运用高阶 Lagrange 中值定理来证明高阶 Cauchy 中值定理。
λi (x j )
= δ ij
=
⎧1,i = ⎩⎨0,i ≠
j; j.
n
∑ 则存在ξ ∈ (a,b), 使得， f (n) (ξ ) = f (xi )λ(in) (ξ ).
i=0
证 作辅助函数
n
F (x) = f (x) − ∑ f (xi )λi (x),
i=0
故
F (xi ) = 0,i = 0,1,L, n 反复运用罗尔定理，可得，存在 ξ ∈ (a, b), 使得
证 由题设, ∀x ∈ (a,b), g′(x) 存在且 g′(x) ≠ 0 。所以 g(x) 严格单调,不妨设 g(x) 在
[a, b]上严格递增。令 t=g(x),则 t 是[a, b]上的单调连续函数。 记 g(a)=A, g(b)=B,由反函数存在性定理和反函数导数存在定理,存在单调递增且连续的
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n
∑ F (n) (ξ ) = f (n) (ξ ) − f (xi )λi(n) (ξ ) = 0,
i=0
即
n
∑ f (n) (ξ ) = f (xi )λ(in) (ξ ).
i=0
利用这个引理，我们可以得到下述的高阶 Lagrange 中值定理。
1. 引言
微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许 多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
函数与其导数是两个不同的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征。如果要了解 函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这 种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理,是沟通 导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定 理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。
因为
∑ f (n) (ξ ) = n
f (xi )
.
∑ g (n) (ξ )
n
i=0 g(xi ) − g(x j )u j (xi )
j=0, j≠i
n
∑ D f
=
f (xi )(−1)n+i+2V [x0, x1,L, xi−1, xi+1, L, xn ]
i=0
∑ Dg
n
g(x j )(−1)n+ j+2V [x0, x1,L, x j−1, x j+1, L, xn ]
x02 L
n≥i> j≥0
x n−1 0
f (x0 )
1L
x1 L x12 L
LL
x n−1 1
L
f (x1 ) L
1
xn xn2 L x n−1
n
f (xn )
3.2 高阶 Cauchy 微分中值定理
高阶 Cauchy 微分中值定理：设 f (x) , g(x) 在[a, b]上连续，在(a, b)内 n 次可导，
j=0
∑ ∑ =
n i=0
g(xi ) +
f (xi )
n j=0,
(−1)
j≠i
j
−i
g
(
x
j
)
V[x0, x1,L, x j V[x0, x1,L, xi
−1 −1
, ,
x j+1, L, xn ] xi+1, L, xn ]
∑ ∑ =
n i=0
g(xi ) +
f (xi )
n j=0,
(−1)
反函数 x = g −1(t) ,t∈[A,B].
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由 f (x) 在[a, b]上连续知,在[A,B]上存在连续的复合函数 y = f (g −1(t)) = h(t) .根据
参数方程求导公式有
dy h′(t) = dy = dx = f ′(x) ，x∈(a, b),
g(x) − ∑ g(x j )u j (x)
λi (x) =
j=0, j≠i n
, i = 0,1,L, n,
(3)
∑ g(xi ) − g(x j )u j (xi )
j=0, j≠i
∏n
u j (x) =
k =0
x xj
− xk − xk
,
j
=
0,1,L, i
− 1, i
+
1,Ln.
(4)
k≠i, j
f (b) − f (a) g(b) − g(a)
又因为
h′(t) t = g(ξ )
=
f ′(x) g ′( x)
x =ξ
=
f ′(ξ ) g′(ξ )
所以
f ′(ξ ) g′(ξ )
=
f (b) − g(b) −
f (a) . g(a)
3. 高阶形式
知道了一阶形式的三大中值定理，接着我们将要把一阶的 Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理推广至高阶形式，并且用高阶 Lagrange 中值定理来证明高阶 Cauchy 微分中值定理。
2.3.1 利用罗尔定理证明柯西中值定理
和拉格朗日中值定理的证明方法类似，利用罗尔定理来证明柯西中值定理的关键是构造
一个辅助函数,使其满足罗尔定理的条件。
证 作辅助函数
F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)
易见 F 在[a, b]上满足罗尔定理条件，故存在ξ ∈ (a,b), 使得
高 阶 Lagrange 中 值 定 理 : 设 f (x) 在 [a, b] 连 续 ， 在 （ a, b ） 内 n 次 可 导 ，
a = x0 < x1 < L < xn = b 是[a, b]的一个分割，则存在ξ ∈ (a,b), 使得，
1
x0
C f (n) (ξ ) =
n! (xi − x j )
2. 一阶形式
在一元微积分中，Rolle 定理, Lagrange 中值定理以及更广泛的 Cauchy 中值定理统称为 微分中值定理。微分中值定理是导数应用的理论基础，是微分学的基本定理，它们是连接函 数值与其导数的纽带。这三大定理，既有区别，又紧密相联。我们知道以 Rolle 定理为基础， 通过构造不同形式的辅助函数，可以证明 Lagrange 中值定理和 Cauchy 微分中值定理。而 Cauchy 微分中值定理也可以由 Lagrange 中值定理得到。所以说 Rolle 定理是基础，Lagrange 中值定理是关键。
F ′(ξ ) = f ′(ξ ) − f (b) − f (a) .g′(ξ ) = 0. g(b) − g(a)
因为 g′(ξ ) ≠ 0 （否则由上式 f ′(ξ ) 也为零），所以可把上式改写成
f ′(ξ ) g′(ξ )
=
f (b) − f (a) . g(b) − g(a)
2.3.2 利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理
∑ ∏ i=0
g(xi ) −
n
n
g(xj )
j=0, j≠i
k =0.k ≠i, j
xi xj
− xk − xk
所以得
n
=∑
f (xi )
.
n
∑ i=0 g(xi ) − g(x j )u j (xi )
j=0, j≠i
（i）
f 在闭区间[a, b]上连续；
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（ii） f 在开区间(a, b)内可导；
则在(a, b)内至少存在一点ξ ，使得 f ′(ξ ) = f (b) − f (a) . b−a
证 作辅助函数
F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a). b−a
j≠i
j
−i
g
(
x
j
)
(−1) n−i (−1)n− j (
(xi xj
− x0 )(xi − x0 )(x j
− −
x1 )L(xi x1 )L(x j
− −
xi−1 )(xi − xi+1 )L(xi − xn ) x j−1 )(x j − x j+1 )L(x j − xn )
n
∑ =