沪科版八年级数学13.1命题与证明

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13《13.1命题与证明》

D
1
E
C F
2
A
B
你有哪些收获?
⑴命题、逆命题、互逆命题的概念 ⑵什么叫证明 ⑶定理、逆定理、互逆定理的概念
谢谢！
条件变结论
命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是真命题，所以它们都是定理。因此它们就是互逆定理。
归纳
互逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，
那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理。一个定理与它的逆定理是互逆定理。
温馨提示：
（1）互逆定理必须都是真命题。（2）一个定理一定有逆命题，但不一定有逆定理，只有当一个
证明真命题的步骤：
（1）根据题意画出图形；（2）根据题设和结论，结合图形，写出
“已知”和“求证”；（3）根据基本事实、已有定理等进行证明
例题分析
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么同位角也相等”是真命题。
第一步：
根据题意，画出图形
l3
3 1
l1
2
l2
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么同位角也相等”是真命题。
｛ 3、命题的类型：
正确的命题叫做真命题错误的命题叫做假命题
4、基本事实：有些命题经过实践检验被公认为真命题，
我们把这样的命题叫做基本事实
5、定理：
有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理得到证实，并被作为判定其他命题真假的依
据，这样的命题叫做定理
指出下列命题的题设和结论 1、如果两条直线相交，那么它们只
）
又∵ ∠1=∠2 （已知）
∴AB//EF
（内错角相等，两直线平行）
∴ CD// EF （平行于同一直线的两直线平行）

沪科版八年级数学上第13章三角形中的边角关系、命题与证明13

自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第2页
八年级数学上册沪科版
典例导学如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△CDB 是直角
三角形．
【思路分析】要证△CDB 是直角三角形，可证∠B＋∠DCB＝90°，在△ABC
中，已知∠ACB＝90°，易证△CDB 是直角三角形．
自主学习
A．85° B．90° C．95° D．100°
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第 14 页
八年级数学上册沪科版
9．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，则∠B 为 A．15° B．30° C．50° D．60°
(D)
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第 15 页
八年级数学上册沪科版
10．已知三角形 ABC 的三个内角满足关系∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形 (D)
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第 3 课时三角形内角和定理的证明及推论
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第1页
八年级数学上册沪科版
要点感知 1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于 18180°0°. 2．为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅辅助线助线． 3．直角三角形的两锐角互互余余． 4．有两个角互余的三角形是直直角角三三角形角形．
1 ∴∠EGD＝3×(180°－60°)＝40°， ∴∠1＝40°.
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第 23 页
八年级数学上册沪科版
(2)∠AEF＋∠FGC＝90°. 理由：∵AB∥CD， ∴∠AEG＋∠CGE＝180°，即∠AEF＋∠FEG＋∠EGF＋∠FGC＝180°，又∵∠FEG＋∠EGF＝90°， ∴∠AEF＋∠FGC＝90°.

八年级数学上册第13章全等三角形13.1 命题、定理与证明 2定理与证明课件

已知、求证；
3.经过分析，找出由已知推出求证的
途径，写出证明过程.
第十一页，共二十二页。
根据下列命题，画出图形，并结合
图形写出已知、求证(不写证明过程)：
1)垂直于同一直线的两直线平行；
2)内错角相等，两直线平行；
3)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等； 4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相
∴ OE⊥OF 2 第十七页，共二十二页。
如何(rúhé)判断一个命题是假命题？
只要举出一个例子（反例），
它符合(fúhé)命题的题设，但不满足结论就可以了.
第十八页，共二十二页。
判断下列(xiàliè)命题是真命题还是假命题.
如果是假命题，举出一个反例：
1)相等的角是对顶角； 2)同位角相等；
4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别(fēnbié)是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH
A
E
B
G CF
第十六页，共二十二页。
H D
例2.证明(zhèngmíng)：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角(bǔ ， jiǎo)
c
3a
1
2
b
第九页，共二十二页。
c
证明：∵a∥已b 知( (zhèngmíng)
∴∠3=∠2
3a
1
)2
b
(两直线平行(píngxíng)，同位角相) 等
∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等)(xiāngděng)
∴∠1=∠2 ( 等量代换)

沪科版度八年级数学上册13.命题与证明课件

作业：请同学们回去想想证明三角形内角和为180°的证明方法，越多越好！看谁想的方法最多！
课堂练习
证明：直角三角形两个锐角互余。已知：如图，△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A＋∠B＝90°.
证明:∵∠A＋∠B＋∠C=180°,(三角形的内角和定理)
∴ ∠A＋∠B=180°-∠C. 又∵ ∠C=90°, ∴ ∠A＋∠B=180°- 90°= 90°.
• 如果一个三角形中一个角为90°，根据三角形内角和定理，另两个角的和应为90°, 于是得
• 推论1 直角三角形的两锐角互余.
在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理. 像这样,由基本事实或定理直接推出的真命题,叫做推论.
• 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
课堂练习
四边形的内角和等于多少度？证明你的结论.
已知：四边形ABCD 求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
你试过了吗？.
但是组成的BC和CD真的就是一条直线吗？
很明显，这是无法确定的
如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证∠A+∠B+∠C= 180゜呢？
分析：可延长BC到D，过点C作射线 CE∥AB，得∠1、∠2，
一、复习“三角形内角和定理”
三角形的三个内角之和等于180゜。即：在△ABC中，
有A+∠B+∠C=180゜ A
B
C
二、论证“三角形内角和定理”
怎样验证三角形的三个角的和等于180°呢？？
前面我们是采用拼接的方法来说明的。
即把∠A撕下来放在∠1的位置上，把∠B撕下来放在∠2的位置上。这时就可得∠ACB和∠1和∠2组成了一条直线，得到∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可说明 ∠A+∠B+∠C=180゜了

沪科版八年级数学上册第13章教案板书反思

第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1三角形中的边角关系第1课时三角形中边的关系教学目标:知识与技能:1.认识三角形,理解三角形的三边关系;2.会对三角形按边分类.过程与方法:经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】通过观察、操作、讨论等活动,培养学生的动手实践能力和语言表达能力.让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦,树立自信,激发学习数学的兴趣.教学重难点:教学重点:三角形三边关系的探究和归纳.教学难点:三角形三边关系的应用.教学过程:一、情境导入看下列实物中,有你熟悉的图形吗?二、合作探究在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识,现在请观察上面的屋顶框架图,并思考以下问题:(1)你能从图中找出几个不同的三角形?这些三角形有什么共同的特点?(2)什么叫做三角形?(3)三角形的边可以怎么表示?问题1:研究三角形的三条边是否相等,有多少种可能的情况?结论:三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,第三边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角;三条边都相等的三角形叫做等边三角形.问题2:我们以前学习过这样一个性质:两点之间的所有连线中,线段最短.那么在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?结论:三角形任意两边之和大于第三边.典例1画一个三角形,分别量出三角形的三边长度,计算出三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论?[解析]三角形任意两边之差小于第三边.典例2有两条长度分别为5 cm和7 cm的线段,用长度为13 cm的线段与它们能摆成三角形吗?为什么?那么换上线段的长度在什么范围内时可以组成三角形呢? [解析]用长度为13 cm的线段与它们不能摆成三角形.因为三角形任意两边之和大于第三边.三角形第三边的取值范围是两边之差<第三边<两边之和,即第三边x的取值范围是2 cm<x<12 cm.板书设计:三角形中边的关系1.三角形按边长分类:三角形2.三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边.教学反思:本节课的学习使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并学会判断三条线段能否构成三角形,通过探讨使学生养成积极思考的习惯.第2课时三角形中角的关系教学目标:知识与技能:1.会对三角形按角分类;2.掌握三角形的内角和定理,能应用三角形的内角和定理解决一些实际问题.过程与方法:经历实验探究,得出三角形的内角和定理.情感、态度与价值观:1.通过带领学生探索三角形的角的数量关系,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲;2.发展学生的合情推理能力,使学生养成独立思考的习惯.教学重难点:【教学重点】三角形的内角和定理.【教学难点】三角形的内角和定理的证明过程.教学过程”一、情境导入上节课我们把三角形按边来分类,并研究了三角形三边之间的关系,同学们还记得三角形的三边之间是什么关系吗?那么三角形按角来分类呢?结论:三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形;有一个角是直角的三角形叫做直角三角形;有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.二、合作探究问题1:在介绍等腰三角形时,我们对它的边进行了区分,分为腰和底,那么直角三角形的边如何区分呢?结论:直角三角形中夹直角的两边叫做直角边,直角相对的边叫做斜边,直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”,我们把不是直角三角形的归为一类,称为斜三角形,斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形.问题2:在一个三角形中的三个内角之间有什么关系?结论:三角形的内角和等于180°.问题3:还记得小学阶段是怎样得到上述结论的吗?结论:用折叠、剪拼或用量角器度量的方法都能得到.问题4:在一个三角形中,最多能有几个钝角?最多能有几个直角呢?说明理由.结论:最多能有一个钝角,最多能有一个直角,因为三角形的内角和等于180°.典例已知,如图,AB∥CD,EH⊥AB,垂足为H.若∠1=50°,则∠E为多少度?[解析]设CD与EF交于点M,AB与EF交于点N,则∠EMD=∠1,又因为AB∥CD,所以∠BNE=EMD,所以∠E=90°-∠BNE=90°-∠1=40°.三、板书设计三角形中角的关系1.三角形按角度分类:三角形2.三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°.◇教学反思◇本节课学生通过自主学习,合作交流,认真探究,从而证明三角形内角和等于180°,培养了学生的操作、观察、分析能力和思维的全面性.第3课时三角形中几条重要线段教学目标:知识与技能:1.了解并掌握三角形的角平分线、中线和高的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的角平分线、中线和高;2.通过作图了解三角形的三条角平分线、三条中线和三条高分别交于一点.过程与方法:经历探究三角形的角平分线、中线和高的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.情感、态度与价值观:经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线和角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.发展学生合情推理的能力.教学重难点:教学重点:三角形的角平分线、中线和高的画法.教学难点:钝角三角形的三条高的画法.教学过程:一、情境导入上节课我们学习了按角给三角形分类,分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.这节课我们学习三角形中几条重要线段.二、合作探究问题1:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此以外,还有其他什么元素吗?结论:角平分线、中线、高线.【归纳小结】角平分线:三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线;中线:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线;高线:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.问题2:画一个三角形,再分别画出它的角平分线、中线、高线.三角形的角平分线、中线、高线交于一点吗?都在三角形的内部吗?结论:三角形的三条角平分线、三条中线和三条高都交于一点.其中,三角形三条中线交于一点,这个交点就是三角形的重心.三角形的角平分线和中线都在三角形的内部,三角形的高线不一定在三角形的内部,直角三角形的高线可能在三角形上,钝角三角形的高线可能在三角形外部.典例1已知,如图,在△ABC中,O是高AD和BE的交点,观察图形,试猜想∠C和∠DOE 之间具有怎样的数量关系,并论证你的猜想.[解析]连接OC,由三角形的内角和等于180°,得∠OCE+∠COE+∠CEO=180°,∠OCD+∠COD+∠CDO=180°,又因为AD和BE是△ABC的高,所以∠CEO=∠CDO=90°,所以∠OCE+∠COE+∠OCD+∠COD=180°,即∠C+∠DOE=180°.板书设计:三角形中几条重要线段角平分线:三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.中线:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.高线:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.教学反思:本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形的三条角平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的角平分线、中线、高分别是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.13.2命题与证明第1课时命题与证明教学目标:知识与技能:1.了解命题、真命题、假命题的意义,了解公理、定理、证明的概念;2.了解原命题、逆命题的意义;3.会判断一个命题的真假,能用举反例的方法判断命题的真假,会写出一个命题的逆命题.过程与方法:通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑思维.情感、态度与价值观:通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.让学生积极参与教学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲.教学重难点:教学重点:学习命题的概念和命题、公理、定理的区别.:教学难点:严密完整地写出推理过程.教学过程:一、情境导入上一节课中,我们研究三角形的性质是通过折叠、剪拼或度量得到三角形的内角和为180°的,但这些做法都会出现很多误差,会存在疑问.有没有更准确更严格的方法得出结论呢?二、合作探究问题1:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.例如:(1)长江是中国第一大河;(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;(3)2+3≠5;(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.判断哪些是正确的,哪些是错误的?结论:(1)(2)(4)是正确的,(3)是错误的.问题2:什么叫命题?什么叫真命题?什么叫假命题?结论:对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题,其中正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.典例1判断下面语句中哪些是命题?(1)请关上窗户;(2)你明天上学吗?(3)天真冷啊!(4)昨天我们去旅游了。

沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明章末小结与提升课件

半,求这个三角形的三边长.
解:设这个三角形的两边长分别为x,y,且x≥y,
则第三边长为24-x-y,根据题意得
+ = 3(24--),
= 10.5,
解得
1
= 7.5,
- = (24--),
2
∴24-x-y=6.
答:这个三角形的三边长分别为10.5 cm,7.5 cm,6 cm.
∠C=120°,则∠AED的度数是 80° .
-11-
章末小结与提升
知识网络
重难点突破
10.已知△ABC中,∠B=∠C,D为边BC上一点(不与点B,C重合),
E为边AC上一点,∠ADE=∠AED,∠BAC=44°.
(1)求∠C的度数;
(2)若∠ADE=75°,求∠CDE的度数.
解:(1)∵∠BAC=44°,
C.同位角相等
D.如果x与y互为相反数,那么x与y的和等于0吗
-16-
章末小结与提升
知识网络
重难点突破
15.命题:若a>b,则a2>b2.请判断这个命题的真假.若是真命题,
请证明;若是假命题,请举一个反例并适当修改命题的题设使
其成为一个真命题.
解:是假命题.
反例:当a=1,b=-2时,满足a>b,但a2=1,b2=4,a2<b2,
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
∴∠GFB=90°,即FG⊥AB.
(2)∵FG⊥AB,CD⊥AB,
∴FG∥DC,∴∠2=∠3,
又∵∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴DE∥BC.
-18-
第13章三角形中的边角关系、命题与证明
章末小结与提升
知识网络
章末小结与提升
重难点突破

新沪科版八年级上册初中数学 13

锐角三角形钝角三角形
新课讲解
3. 三角形按角的大小分类，也可表示为：
直角三角形
锐角三角形
钝角
三角形
新课讲解
典例分析
例 1.判断：
(1)等边三角形是等腰三角形．( √ ) (2)等腰三角形是等边三角形．( × ) (3)三角形按边分类分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形．( × ) (4)三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．( √ )
课堂小结
三角形中角的关系
三角形按角的大小分类三角形的内角和
当堂小练
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，试写出图中所有的直角三角形，并说出每个直角三角形的斜边．
当堂小练
导引：有一个角是直角的三角形就是直角三角形，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，可得到∠ADC＝ ∠CDB＝90°.
第十三章三角形中边角关系、命题与证明
13.1.2 三角形中角的关系
目录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.理解三角形按角的大小分类. 2.掌握三角形的内角和. （重点）
新课讲解
知识点1 三角形按角的大小分类
解：图中直角三角形有：Rt△ABC，斜边为AB； Rt△ADC，斜边为AC；Rt△DBC，斜边为BC.
当堂小练
2.如图，一个三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( D )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
当堂小练
3.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，试问△ABC的形状如何？解：设∠A＝3x°，则∠B＝4x°，∠C＝5x°，

沪科版八年级数学上册教学课件《命题与证明》ppt

∴∠2=∠C
（两直线平行，内错角相等）.
课堂小结
证明
定理：经过证明的真命题称为定理.
证明：除了公理外,其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.
课后作业
1、必做题：见畅言教育本课时配套《基础练习》
2、选做题：见畅言教育本课时配套《提高练习和培优练习》
第3课时
三角形内角和定理的证明及推论1、2
证明： ∵ OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC，
∴∠1= 1∠AOB，∠2= 1∠BOC.
2
2
又∵∠AOB、∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC=180°,
∴∠1+∠2= 1 (∠AOB+∠BOC)=90°, 2
∴OE⊥OF.
B E
F 12
A
O
C
当堂练习
1.下列结论中你能肯定的是（ B ） A.今天下雨，明天必然还下雨 B.三个连续整数的积一定能被6整除 C.小明在数学竞赛中一定能获奖 D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
是
2.写出下列命题的逆命题，并判断命题的真假
（1）如果a=b,那么|a|=|b|．( √ ) 如果|a|=|b|，那么a=b．( × )
（2）等角的余角相等．( √ ) 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等．( √ )
（3）同位角相等，两直线平行．( √ ) 两直线平行，同位角相等．( √ )
3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
逆命题：原命题为“如果p,那么q”,逆命题则为“如果q,那么p”.
课后作业
1、必做题：见畅言教育本课时配套《基础练习》
2、选做题：见畅言教育本课时配套《提高练习和培优练习》

第13章三角形中的边角关系、命题与证明(教材知识盘点+典例诠释解法+中考无缝对接,12页,PDF)

三边” 可以判断三条线段能否组成三角形. 取值范围是 m - n < x < m + n.
形的三边) ,Байду номын сангаас
边之和. 若三角形的两边长为 m, n ( m ≥ n ) , 则第三边长 x 的
长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
所以∠A = ∠2 . ( 等量代换)
所以∠3 = ∠B,∠DEC = ∠A. ( 两直线平行,同位角相等)
又因为∠1+∠2+∠3 = 180 ° ,( 平角的定义) 所以∠A +∠B +∠C = 180 °. ( 等量代换) 方法四:如图 13-1-7, 过点 A 任作直线 l1 ( 不平行于三角
图 13-1-1
包括等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形, 即底边和腰相等的等腰三角形. 2 三角形按角分类形;有一个角是直角的三角形叫做直角三角形; 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边,直角相对的边叫 (2) 三角形按角的大小分类: (1) 三角形中, 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角
1 三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形. 注意:(1) 三条线段必须不在同一直线上” 才能组成三角
知识点 2 三角形的分类 ( 重点㊁难点)
1 三角形按边分类形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形; 三条边都相等的三角形叫做等边三角形( 又叫做正三角形) . 等腰三角形中,相等的两边叫做腰,第三边叫做底边. 两腰 (2) 三角形按边长关系分类: (1) 三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角
第 13 章三角形中的边角关系㊁命题与证明

沪科版(2012)初中数学八年级上册 13.1.2命题与证明教案

13.2命题与证明（第一课时）◆课标要求：结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题和逆命题的概念。

会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题的错误。

◆内容分析：本节为几何命题证明的起始内容，通过直观操作说明三角形内角和为180度这个结论难以使人信服，说明推理证明的必要性，接着给出了命题、真命题、假命题的意义，说明命题的结构；介绍了反例可以说明一个命题是假命题。

本节课将前面的几何性质与后面的几何证明相联系，为接下来几何证明的学习奠定基础。

◆学情分析：八年级学生已经对几何的性质有了初步的掌握，但是逻辑思维能力还不强，对于集合的学习还较多的停留在直观感受。

因此要在本节知识中锻炼孩子的逻辑思维能力。

◆教学目标：1.理解命题、真命题、假命题的意义。

2.会区分命题的条件和结论。

3.知道反例的意义与作用。

◆教学重点：分清命题的条件和结论，知道如何利用反例判断一个命题是假命题。

◆教学难点：分清命题的条件和结论。

◆教学方法：启发讲授，探究讨论等。

◆教学过程：一、创设情境，导入新课先请同学们阅读这则小故事，看一看这个故事告诉了我们哪些道理：苏格拉底被称为西方的孔子，是西方哲学的奠基者。

苏格拉底曾经把人定义为“人是有两条腿的动物”。

有人便指着一只鸡问:“这是人吗? ”苏格拉底发现自己给人下的定义有问题，又补充说:“人是有两条腿而没有羽毛的动物。

”于是那人再次反驳:“这么说来，拔去羽毛的鸡就是人了?”苏格拉底无语了。

【设计意图】激发学生探究数学的兴趣，方便后面的教学。

二、积极引导，探索新知我们在前面已经学习过了一些几何图形的性质，在认识性质的时候我们是使用了观察、操作和实验的方法。

但是如果仅仅采用这样一些直观的观察和操作难以使人确信结果的正确性比如研究三角形的内角和为180度这样的性质。

要想使别人信服，我们只有用逻辑推理的方法对几何中的结论进行论证。

推理是种思维活动，在思维活动中我们常常需要进行判断。

沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明三角形中几条重要线段

感悟新知
知识点 1 三角形的角平分线
知1－讲
1. 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线． 2. 位置图例：任何三角形的三条角平分线都交于一点，且该点在三角形的内部，这点叫这个三角形的内心．如图.
感悟新知
3. 表达方式：
(1)AD是△ABC的角平分线；
知1－讲
(2)AD平分∠BAC交BC于点D；
(3)∠BAD＝∠CAD＝
注:上述三种情况都表示同1 一B意A义C .,即AD是△ABC的角平分线,选用哪种表示法2,应根据解题需要来定．
4. 易错警示:角平分线是一条射线,而三角形的角平分线
是一条线段,不要混淆．
感悟新知
知1－练
例如1 图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC， EF交AD于点O. 试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由. 导引：根据三角形角平分线的定义进行说明. 解：DO是△DEF的角平分线. 理由如下：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2. 因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠3=∠2， ∠1=∠4. 所以∠3=∠4.所以DO是△DEF的角平分线.
感悟新知
2下列说法中正确的是( ) A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
知3－练
感悟新知
知识点 4 定义
知4－讲
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 今后我们还会学习许多定义.
感悟新知
知4－练
第13章三角形中的边角关系、命题与证明
13.1三角形中的边角关系
第3课时三角形中几条重要线段

八年级数学上册第13章全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2 定理与证明导学课件

第十一页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
【归纳总结(zǒngjié)】证明文字叙述的真命题的一般步骤： (1)分清条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论写出
求证；(4)证明.
第十二页，共十七页。
13.1 命题、定理与证明
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
图 13－1－1
第九页，共十七页。
13.1 命题、定理(dìnglǐ)与证明
解：可以判定(pàndìng)AB∥CD.理由： ∵ ∠1＋∠2＝80°＋100°＝180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【归纳总结】证明(zhèngmíng)几何命题的依据：已知条件、定义、基本事实、定理等．
正确性需要进行证明；如果要说明它是假命题，只要举一个反例就可以了．
第八页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
目标三会进行(jìnxíng)简单的推理证明
例 3 教材补充例题如图 13－1－1，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，若∠1＝80°，∠2＝100°. 由此你可以判定 AB 和 CD 平行吗？为什么？ [全品导学号：90702083]
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
第13章全等三角形。13.1 命题、定理与证明。2．经过观察(guānchá)、讨论、发现，理解由特殊事例得到的结论不一定正确．。于是小华猜想：不论a，b为何值，总有a2＋b2＞2ab.。理由：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，。【归纳总结】由特殊事例递推猜想所得到的命题不一定是真命题，其正确性需要进行证明。解：可以判定AB∥CD.理由：。已知条件、定义、基本事实、定理等．。【归纳总结】证明文字叙述的真命题的一般步骤：

2022年秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明 13.1 三角形中的边角关系(

B．12cm
C．8cm
D．12cm或8cm
9．如图所示，△ABC的面积为16cm2，AD是△ABC的中线，DE是△ADC 的中线，则△ADE的面积是 4cm2 .
10．在直角△ABC中，∠B＝90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC ＝ 135° . 11．如图所示，∠C＝20°，BD⊥AC.若∠1＝∠2＋10°，则∠A＝ 60°.
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022 1:43:22 PM
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11、人总是珍惜为得到。2022/3/12022/3/12022/3/1M ar-221- Mar-22
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12、人乱于心，不宽余请。2022/3/12022/3/12022/3/1Tuesday, March 01, 2022
12．如图所示，已知△ABC. (1)过点A画出中线AD； (2)画出角平分线CE； (3)作AC边上的高．
解：作图略．
13．如图所示，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm.求：
(1)△ABC的面积； (2)CD的长．解：(1)S△ABC＝21AC·BC＝12×3×4＝6cm2； (2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴AC·BC＝AB·CD，即3×4＝5CD，∴ CD＝2.4cm.
5．如图所示，AE是△ABC的角平分线，∠B＝∠BAC，∠C＝30°.求∠ BAE的度数．
解：∵∠C＝30°，∠B＝∠BAC，且∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC ＝75°.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝37.5°.
6．(泰州中考)三角形的重心是( A ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点

沪科版数学八年级上册三角形中几条重要线段

O
B A
情境引入
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？
三角形的角平分线
A
问题1 如图，若 OC 是∠AOB 的平分线，
C
你能得到什么结论？∠AOC = ∠BOC O 问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗？
B
A
D
想一想：三角形的角平分线与角的 B
你发现了什么？ A
三角形的三条角平分线交于一点． F
E
B
D
C
思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
三角形的三条角平分线交于一点．称之为三角形的内心．（后面学到）
典例精析
例1 如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，
求∠ECD 的度数.
解：∵DC平分∠ACB，
BC B C.
B D. C
B
CA
AD
D
A
5.填空： (1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则
AB = 2＿A＿F ，BD = ＿D＿C ，AE = ＿12A＿C .
(2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，
则∠1 =_∠__C_A_D__， ∠3 =_∠__B_C__F_，∠ABC = 2_∠__2__.
例4 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6， AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，
24
则 BP 的最小值为__5__．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
例5 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是 △ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数．解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°，所以∠B＝50°. 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°.

【教育资料】13.1 命题、定理与证明学习专用

13．1命题、定理与证明13．1.1命题1．了解命题的概念，理解命题的结构．2．会识别命题的真假，会说明一个命题是假命题．重点命题的结构，真命题与假命题的识别．难点识别命题的真假．一、创设情境情境：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．小亮：“哈！这个黑客终于被逮住了．”小刚：“是的，现在网络广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”坐在旁边的两个人一边听着他的谈话，一边也在悄悄地议论着，“这个黑客是个小偷吗？”“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”你听完这则片段故事，有何想法？同学们各抒己见后，教师给予同学的各种回答评价后，发表自己的看法：在日常生活中，我们会遇到许多概念，以致无法进行正常的交流．同样，在数学学习中，要进行严格的论证，也必须首先对所涉及的概念下定义．本节课我们就一起来学习命题．二、探究新知1．提出问题我们已经学过一些图形的特性．例如：(1)三角形的内角和等于180°；(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；(3)两直线平行，同位角相等；(4)直角都相等．引导学生观察、分析它们的共性，得出命题的概念．即它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题．2．练习下列句子哪些是命题？①动物都需要水；②猴子是动物的一种；③玫瑰花是动物；④美丽的天空；⑤负数都小于零；⑥你的作业做完了吗？⑦所有的质数都是奇数；⑧过直线外一点作l的平行线；⑨如果a＞b，a＞c，那么b＝c.3．观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流．(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；(2)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；(3)如果a2＝b2，那么a＝b.总结：在数学中，许多命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……，那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．例如，在命题(1)中，“两个角是对顶角”是条件，“这两个角相等”是结论．例把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的条件与结论．解：这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形．”这里的条件是“在一个三角形中有三个角相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”．4．真、假命题思考：试判断下列句子是否正确．(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；(2)三角形的内角和是180°；(3)同位角相等；(4)同角的余角相等；(5)一个锐角与一个钝角的和等于180°.根据已有的知识可以判断出句子(1)、(2)、(4)是正确的，句子(3)、(5)是错误的．从而引导学生概括出真、假命题的定义．即条件成立，结论一定成立的命题，称为真命题．条件成立，不能保证结论总是成立的命题，称为假命题．三、练习巩固1．指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题请举一个反例说明．(1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)两个无理数之和仍是无理数．2．命题“一个角的补角一定大于这个角”的条件是____________，结论是________________，它是一个____________，反例为________________．四、小结与作业小结这节课你学到了什么？你有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．作业教材第58页习题13.1第1，2，3题．本节内容较少，比较简单，但命题的概念比较抽象，应从形式到内容帮助学生分析．命题的条件与结论是辨别命题真假的关键，又是后面学习逆命题的基础，应掌握．针对学习情况对理解不深刻的同学给予单独的辅导．13．1.2定理与证明1．理解已学的5个基本事实，理解定理的概念．2．理解证明的概念，体会证明的必要性．重点证明的过程与步骤．难点证明的必要性．一、回顾1．什么是命题？命题的结构是什么？2．命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？3．今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法．二、探究新知(一)基本事实教师讲解，并板书：(1)两点确定一条直线；(2)两点之间，线段最短；(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．上述五个命题是被公认的真命题，我们将它们当作基本事实，是我们用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．(二)定理与证明教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的．从而说明证明的重要性．1．教师讲解：请大家看下面的例子：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝1；当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝1；当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数(n2－5n＋5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝25.2．教师再提出一个问题让学生回答：如果a＝b，那么a2＝b2.由此我们猜想：当a＞b 时，a2＞b2.这个命题是真命题．答案：上面的说法不正确，举一个反例来看，因为3＞－5，但32＜(－5)2.教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质．但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性．也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题．教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．(三)定理的证明直角三角形两锐角互余．教师引导：将文字语言转化为几何语言，注意推理步步有据，并在后面的括号里写上每步的依据．教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据．三、练习巩固1．请你说出学过的知识中，哪些是公理，哪组说得又多又准就是获胜者．如：(1)两点确定一条直线；(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．试证明：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角的角平分线互相垂直．3．如图，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：AB∥CD.四、小结与作业小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结．作业教材第58页练习第1，2题．本节课从同学们已学的五个性质入手，讲解了基本事实的概念作用与地位；从发现命题的结论不具有一般性让学生理解证明的必要性；从直角三角形两锐角互余的证明让学生感知证明的步骤与要求．本节课有很多理性认识，学生不可能一蹴而就，而是在学习中及时完善与提升．对证明的条理问题应提出更高的要求，以培养学生更严谨的逻辑思维能力．。