高等数学ppt11.5

u →a x → x0
证：设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小,
∀ ε > 0, ∃X 1 > 0, X 2 > 0, 使得 ε 当 x > X 1时恒有 α < ; 当 x > X 2时恒有 β < ε ;
2
2 取 X = max{ X 1 , X 2 }, 当 x > X时, 恒有 ε ε α ± β ≤ α + β < + = ε, 2 2
1 = lim x → 3 3( x + 3 )
=
(x →3, x−3≠ 0)
1 18
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2. 当x → ∞ 时， 函数 f ( x) 的极限
3x + x + 5 例4 lim 2 x →∞ 2x − 9
2
分子、 解 分子、分母同除以 x
1 5 3+ + 2 x x = lim 9 x→∞ 2− 2 x
x
）必有极限； （1）必无极限； （2）必有极限； ）必无极限；
（3）可能无极限，可能有极限； ）可能无极限，可能有极限； （4）若有极限，极限为 。 ）若有极限，极限为0。 （3）
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如
1 1 1 x ⋅ 2 = → ∞ ( x → 0) x x 1 2 x ⋅ = x → 0( x → 0) x
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五、复合函数的极限运算法则
定理5 设函数f [ϕ ( x )]是由函数 y = f (u)与函数 u = ϕ ( x )复合 而成， ,又 而成， lim ϕ ( x ) = a, 但在x0的某去心邻域内ϕ ( x ) ≠ a 且 lim f (u) = A, 则复合函数 f [ϕ ( x )]当x → x0时极限也存在 , 且
1 =0 例５ lim x arctan x→0 x
1 lim x cos = 0 x→0 x
sin x 1 lim = lim sin x = 0 x→∞ x→∞ x x
5
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二、极限运算法则
定理3 定理 假设 lim f ( x ) = a , lim g ( x ) = b
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n 1 2 例10 求 lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ). n→ ∞ n n n
解
n → ∞时, 是无穷小之和． 先变形再求极限 是无穷小之和． 先变形再求极限.
1 2 n 1+ 2 +⋯+ n lim ( 2 + 2 + ⋯ + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
由定理1 , α ± β 是无穷小 ,
再由上节定理 1 知 ：
lim[ f ( x ) + g ( x )] = a + b .
同理可证（ 2 3 4 ）（）（） 同理可证（
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推论1 推论1
, , 如果lim f ( x)存在 而c为常数 则 lim cf ( x)] = c lim f ( x). [
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练习.
lim
x→∞
(
x +1 − x −1
2 2
)
(0)
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例8. lim
x →0
x +p −p
2 2 2
( x + q + q) = lim x ( x + p + p)
x
2 2 2 2 x →0 2 2
x +q −q
2
( p > 0, q > 0 )
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比如： 比如： 1
1 lim cos 不存在 , lim(cos + 1)不存在 , 但 x→0 x→0 x x 1 1 lim(cos + 1 − cos ) = 1 存在 . x→0 x x
Exercises: 当 x → 0 时，如果 f (x ) 有极限， g (x) 无极限， 无极限，则下列结论正确的是： 当 x → x0 时 f ( x)g( x)
n n−1 x→∞ m m m−1
n−1
m−1
+ ⋯a0
+ ⋯+ b0
∞ , n> m an = , n= m bn 0 , n< m
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比如： 比如
lim
x→ ∞
(2 x + 5 ) (3 x + 2 ) ( x + 6)
30 50
20
=
2 3
1
2
30
20
例5（1）lim （ ）
x→ ∞
3
x x
2
+ 3x
4
+ 1
= lim
x→ ∞
6
(x + 3x) =0 ( x 4+ 1)
3 2
（2） lim∞ 7 ） x→
3
x
3
2
sin x
x
+ 5
x
2
+ 1
=0
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பைடு நூலகம்
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4x − 1 . 例6 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
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证:
以 (1) 为例
∵ lim f ( x ) = a ,
∴ f ( x) = a + α ,
lim g ( x ) = b , 由上节定理 1 知 ：
g( x ) = b + β
其中 α 及 β 为无穷小 . 于是
f ( x ) + g ( x ) = (a + α ) + (b + β ) = (a + b ) + (α + β ).
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
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例11
sin x . 求 lim x→∞ x
x
解 当x → ∞时, 1 为无穷小,
而 sin x是有界函数 .
sin x ∴ lim = 0. x→∞ x sin x 1 思考题： 思考题： lim = lim . lim sin x = 0对吗？ 对吗？ x→∞ x →∞ x x →∞ x
2
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三 极限的不等性
定理4 定理
若 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B , 且f ( x ) ≥ g ( x ) 则有 A ≥ B
证明：令 证明：
F ( x ) = f ( x ) − g( x ) ≥ 0
根据保号性定理， 根据保号性定理，有
x→x0
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4x2 − 3x + 1 例 2 lim 2 x → −1 2 x − 6 x + 4
( 解原式 = lim (2 x
x → −1 x → −1
lim 4 x 2 − 3 x + 1
2
) − 6 x + 4)
8 2 = = 12 3
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lim F ( x ) = lim[ f ( x ) − g ( x )] ≥ 0
从而， 从而，lim f ( x ) − lim g ( x ) = A − B ≥ 0 即
A ≥ B.
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四 求极限举例
1. 当x → a 时，函数 f ( x) 的极限
例 1. lim (x 2 + 8 x − 7 )
q = p
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4. 对 ∞ − ∞ 型， 带有分式的， 带有分式的，通分
x x 例9. lim 2 − x → ∞ 2 x − 1 2x + 1
3 2
x +x = lim x → ∞ 2 x 2 − 1 (2 x + 1) 1 = 4
3 2
(
)
解 ∵ lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
商的法则不能用
又 ∵ lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
= f ( x)g( x) = f ( x) g( x) ≤ M
ε
ε
M
=ε .
4
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∴ lim f ( x ) g ( x ) = 0.
x → x0
常量与无穷小的积仍是无穷小； （ 推论 １）常量与无穷小的积仍是无穷小； （２）有限个无穷小量的积仍是无穷小。 有限个无穷小量的积仍是无穷小。
常数因子可以提到极限记号外面. 常数因子可以提到极限记号外面
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 推论2
lim[ f ( x)]n = [lim f ( x)]n .
关于数列， 四则运算法则，因 关于数列，也有类似的 四则运算法则， 情形， 数列可看成函数的特殊 情形，这里不再详述