高考数学(理科)人教版二轮复习课件：专题四导数及其应用第2讲导数的综合应用

合集下载

高考理科数学二轮课件专题导数及其应用

最优化决策
结合边际分析和弹性分析的结果，确定经济变量的最优取值范围，为制定经济政策提供科学依据。
05 微分方程初步知识及其应用
微分方程基本概念和分类
微分方程定义
微分方程是描述自变量、未知函数及其导数之间关系的数学方程。可分为一阶、二阶等微分方程；根据方程形式，可分为线性、非线性微分方程。
函数能够满足问题的需求。
利用构造函数法证明不等式的步骤
03
首先构造函数，然后求导并判断函数的单调性或最值，最后根
据函数的性质证明不等式。
04 导数在优化问题中的应用
最值问题求解策略
一阶导数测试法
闭区间上连续函数的性质
通过求一阶导数并判断其符号变化来确定函数的单调性，进而找到函数的极值点。
对于闭区间上的连续函数，通过比较区间端点和驻点的函数值来确定函数的最值。
优化方法的选择
针对不同类型的优化问题，选择合适的优化方法，如梯度下降法、牛顿法等，进行求解。
经济学中边际分析和弹性分析
边际分析
利用导数研究经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等，为经济决策提供定量依据。
弹性分析
通过导数研究经济变量之间的相对变化率，如需求弹性、供给弹性等，揭示经济变量之间的相互影响程度。
02
01
电路分析问题
电路中的电压、电流等物理量的变化可以通过电路微分方程进行分析和计算。
04
03
06 总结与提高
知识体系回顾与总结
A
导数的定义与计算
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，可以通过极限的定义进行计算。
导数的几何意义与应用
导数在几何上表示切线斜率，可以用于求曲线的切线方程和法线方程。

年高考数学二轮复习专题二函数与导数第2讲函数的应用课件理.pptx

fx －loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是_(_3_,5_)__. 思维升华方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数.
思维升华解析 11 答案
(2)已知实数f(x)＝ex，x≥0，若关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0有三个 lg－x，x<0，
－k＝0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是_______________.
解析 17 答案
(2)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a 等于
A.－12
1 B.3
√C.12
D.1
解析 19 答案
热点三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域.其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题.(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式.(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果.(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
解析 8 答案
(2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：①定义域为R；② ∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则12 方程f(x) ＝ log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是
√A.5
B.6
C.7
D.8
解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解.
间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________.
解析 9 答案
热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.

高三数学二轮复习课件--2-4导数及其应用

专题二
函数、导数及其应用
1 1 (3)设切点坐标为A(a， )，则切线的斜率为k2＝－ 2 a a 1 ＝－，解得a＝± 3， 3 3 3 ∴A( 3， 3 )或A′(－ 3，－ 3 )．代入点斜式方程得 3 1 3 1 y－＝－ (x－ 3)或y＋＝－ (x＋ 3)． 3 3 3 3 即切线方程为x＋3y－2 3＝0或x＋3y＋2 3＝0.
专题二
函数、导数及其应用
[解析]
1 2 2 x (1)f′(x)＝ (x －k )e ， k k
令f′(x)＝0，得x＝± k. 当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
(－∞，－ k) ＋ (－k， k) －
x f′(x) f(x)
－k 0 4k2e－
1
k 0 0
(k，＋∞) ＋
专题二
函数、导数及其应用
3．导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，
会求在闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值．
专题二
函数、导数及其应用
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围 1 6 成的三角形面积为 |－ ||2x0|＝6. 2 x0 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y ＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
专题二
函数、导数及其应用
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题． 5．定积分与微积分基本定理(理) (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

高考数学专题复习《导数的综合应用》PPT课件

3.函数不等式的类型与解法
(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;
(2)∀x∈D,f(x)≤g(x) ⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x) ⇔ f(x)min≤g(x)max.
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(+1)ln
H(x)=
,则
-1
1
=
--2ln
(-1)
2
,
2 -2+1
K'(x)= 2 >0,于是

K(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以 K(x)>K(1)=0,于是 H'(x)>0,从而 H(x)在(1,+∞)上单调递增.由洛必达法
(x+1)x
则,可得 lim+
x-1
→1
取值范围是(-∞,2].
第三章
高考大题专项(一) 导数的综合应用
内
容
索
引
01
突破1
利用导数研究与不等式有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
02
突破2
利用导数研究与函数零点有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小
两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及
(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的
最大值.
(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题二第四讲导数的综合应用

高考考点考点解读－＝2(x－1)－2.所以M (a )<M (1)＝0，故g ′(a )<0，所以g (a )＝1－aln a 在a ∈(1,2)上单调递减，所以m ≤g (2)＝1－2ln 2＝－log 2e ，即实数m 的取值范围为(－∞，－log 2e]．命题方向3 利用导数解决生活中的优化问题例3某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 1，l 2所在的直线分别为y ，x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax2＋b(其中a ，b 为常数)模型. (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．[解析] (1)由题意知，M 点的坐标为(5,40)，N 点的坐标为(20,2.5)，代入曲线C 的方程y ＝ax2＋b 可得：⎩⎪⎨⎪⎧40＝a52＋b ，2.5＝a202＋b .解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知曲线C 的方程为y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，y ′＝－2 000x3，所以y ′|x ＝t ＝－2 000t3即为l 的斜率．又当x ＝t 时，y ＝1 000t2，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，所以l 的方程为y －1 000t2＝－2 000t3(x －t )．。

高三二轮复习专题讲座函数与导数ppt课件

课程标准教学要求考试说明
3
一、课标、教学要求、考试说明的解读
考试要求：对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题．理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．
4
内
容
要求
函数的有关概念
A
B
C
√
函数的基本性质
√
函
指数与对数
√
指数函数的图象与性质
√
对数函数的图象与性质
√
数
幂函数
√
函数与方程
√
函数模型及其应用
√
导数的概念
√
导
导数的几何意义
√
导数的运算
√
数
利用导数研究函数的单调
√
性与极值
导数在实际问题中的应用
√
5
二、近几年高考试题分析
高考函数与导数试题的命题特点
分析：此题的关键是集正合 M的确含理,所义解谓在定义域内 x0,使存得 f在 (x01)f(x0)f(1) 成立 ,就是方 f(x程 1)f(x)f(1)有实数 . 解
10
此题在最初命,第题(4时 )个函数不f (是 x) cosx,而是
7
三、目前学生存在的问题、成因
通过这次期末调研考试，以及一轮复习中反映出的情况来看，在函数与导数部分主要存在着以下几个方面的问题： 1．基础知识掌握不牢，该过关的地方还没过关，主要是由于基本概念不清、运算能力不强； 2．灵活运用知识解决问题的能力不够，主要是由于对于所学的知识理解不透，不能举一反三； 3．转化与化归的能力较弱，主要是平时解题过程中不注意对方法的归纳与小结．

人教版高三数学二轮复习导数及导数的应用-精品课件 12页PPT文档

2.函数y x2 2lnx的单调递增区间为 1,
3 3.函f数 (x)2x31x23x的单调递增 (-1, 2 区 ) 间是
32
4 .若函f(数 x)x3ax24在0（， 2）内单调a递的取减值范围，是则 3,
5.函数f ( x ) x( x m)2在x 1处取得极小值，则实m数 1
t
t1 2 x
2
2
2
1。当２ t即t4时 2。当１ t 2即 2t4时 3。当 t 1即0 <t 2时
2
2
2
f(x)在1， 2上单调递f (减 x)在1，2t
上单调递减
f(x)在1， 2上单调
在
t 2
,2上单调递增
例２（2019年青岛模拟21（2））【已知函数的单调区间求参数范围】
END
2019本定理函数极值、不等式证明
14分函数单调性、极值、不等式证明
课前双基自测
1.(2011山东文）曲线y x3 11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标C是（）
A 9 B 3 C 9 D 1 5
已知函数 f(x) 4 x3 3 t2 x 6 t2x t 1 ,x R 其中 t R
当t 0 时，求 f ( x ) 的单调区间.
f'(x) 6 (t 1 )2 (t 1 )
讨论依据：导函数零点的大小
变式训练：
讨论依据：导函数中最高次项系数的正负
f'(x) 6 (x t)2 (x t)t(0 )
该如何求b的取值范围？f(x)极大值为16 ln 2 - 9, 极小值为32 ln 2 - 21
并且 x 1时， f ( x )

2023版新高考数学总复习专题四导数的应用课件

含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论,但始终要注意定义域及分类讨论的标准. 2.已知函数的单调性求参数范围注意参数在导函数解析式中的位置,先尝试分离参数,将问题转化为求解对应函数的最值问题;若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性无法利用导数解决,则可以直接转化为求解含参内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域内可能有多个极大值和极小值;2)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小;3)导数等于零的点不一定是极值点(例如: f(x)=x3, f '(x)=3x2,当x=0时, f '(0)=0,但x=0不是函数的极值点);4)对于处处可导的函数,极值点处的导数必为零. 2.函数的最值 1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
④∃x1∈M,∀x2∈N, f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
3.利用导数构造函数解不等式
常见的构造函数模型总结:
1)关系式为“加”型
①f '(x)+f(x)≥0,构造y=exf(x),则y'=[exf(x)]'=ex·[f '(x)+f(x)].
②xf '(x)+f(x)≥0,构造y=xf(x),则y'=[xf(x)]'=xf '(x)+f(x).
x
1 x ln x
,则f '(x)=x
x2
=
1
ln x2
x
,当x>e时,
f
'(x)<0,所以函
数f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为t≥2,所以t+3>t+2>e,所以f(t+3)<f(t+2),所

高考数学二轮复习专题一第4讲《导数及其应用》课件

【规律方法】解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解，不同的设参方法会得到不同的数学模型．
变式训练
4．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨) 与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P＝24200 －15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)
x)]×3240×(－x2＋2x＋53)，x∈(0,1)．即 f(x)＝1652(9x3－48x2＋45x＋50)，x∈(0,1)．
要求 f(x)的最大值，即求 g(x)＝9x3－48x2＋45x＋50， x∈(0,1)的最大值.6 分则 g′(x)＝27x2－96x＋45.
由 g′(x)＝0 得 x＝59或 x＝3(舍)…..9 分当 x∈(0，59)时，g′(x)＞0；当 x∈(59，1)时，g′(x)＜0. ∴x＝59时，g(x)有最大值，g(x)max＝g(59)＝580100. ∴f(x)max＝f(59)＝1652×580100＝2000. 综上，当 x＝59时，本年度年利润最大为 2000 万元……12 分
(2)由题意得 g′(x)＝2x＋ax－x22，函数 g(x)在[1，＋∞) 上是单调函数．
①若 g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则 g′(x)≥0 在[1，＋∞)上恒成立，
即 a≥2x－2x2 在[1，＋∞)上恒成立，设 φ(x)＝x2－2x2， ∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝0， ∴a≥0. ②若 g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则 g′(x)≤0 在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数 a 的取值范围为 a≥0

第4章+第2讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)

＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于 C，(xcosx)′＝cosx
－xsinx，错误；对于 D，x－1x′＝1－1x′＝1＋x12，错误．故选 A．
解析答案
x－3 (2)(2021·贵阳模拟)已知 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝ ex ＋2f′(1)·x，则 f′(1)＝________. 答案－3e 解析 ∵f(x)＝x－ex 3＋2f′(1)·x，∴f′(x)＝4－ex x＋2f′(1)，∴f′(1)＝3e＋ 2f′(1)，解得 f′(1)＝－3e.
解析由导函数图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.
解析答案
4. (2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋3 是曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线，令 h(x)＝fxx，h′(x)是 h(x)的导函数，则 h′(1) 的值是( )
A．2
B．1
解
导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
的值，即ΔΔyx有极限，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0

导数及其应用第二讲导数的应用—2023届高考理科数学一轮复习课件(共33张PPT)

a.求函数 f (x) 在 (a，b) 内的导数 f (x) ；
b.求方程（f x） 0 在 (a，b) 内的根； c.求在 (a，b) 内使（f x） 0 的所有点的函数值和 f (x) 在闭区间端点处的函数值（f a），（f b）；比较上面所求的值，其中最大者为函数 y （f x）在闭区间[a，b] 上的最大值，最小者为函数 y （f x）在闭区间[a，b] 上的最小值.
3
又
0
m
2
，所以实数
m
的取值范围为
4 3
,
2
.
故选 B.
Thanks
依据函数 h(x) 的图象关于直线 x 2 对称，得当 x (,2) 时，
不等式 5 f (2 x) (x 2) f (5) 0 的解集为 3 x 2 ，
故原不等式的解集为 (3,2) (2,7) ，故选 D.
考点2：导数与函数的极（最）值
1.函数的极值 a.函数的极值的定义一般地，设函数 f (x) 在点 x x0 及其附近有定义，（1）若对于 x0 附近的所有点，都有（f x）（f x0），则（f x0）是函数 f (x) 的一个极大值，记作 y极大值（f x0）；
（2）求导数 f (x) ；（3）求方程 f (x) 0 的根；（4）检查 f (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，
则（f x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则（f x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
2. 函数的最值（1）函数的最小值与最大值定理若函数 y （f x）在闭区间[a，b] 上连续，
[解析]
由已知得当 x (0,) 时， xf (x) f (x) 0 .
令 g(x)

高考数学二轮复习第一篇专题二函数与导数第2讲导数的简单应用教案文

第2讲导数的简单应用1.(2018·全国Ⅰ卷,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )(A)y=-2x (B)y=-x (C)y=2x (D)y=x解析:法一因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f'(x)=3x2+1,所以f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.2.(2016·全国Ⅰ卷,文9)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( D )解析:因为f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,又f(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B.设g(x)=2x2-e x,则g'(x)=4x-e x.又g'(0)<0,g'(2)>0,所以g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,所以g(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.3.(2018·全国Ⅱ卷,文13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.解析:因为y'=,y'x=1=2,所以切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.答案:y=2x-24.(2017·全国Ⅰ卷,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.解析:f(x)=x2+,f(1)=2.f'(x)=2x-,f'(1)=1.所以y=x2+在(1,2)处的切线方程为y-f(1)=f'(1)(x-1),y-2=x-1,即x-y+1=0.答案:x-y+1=05.(2015·全国Ⅱ卷,文16)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .解析:法一因为y'=1+,所以y'|x=1=2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),所以y=2x-1.又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0,由得ax2+ax+2=0,因为Δ=a2-8a=0,所以a=8.法二因为y'=1+,所以y'|x=1=2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),所以y=2x-1,又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0.因为y'=2ax+(a+2),所以令2ax+a+2=2,得x=-,代入y=2x-1,得y=-2,所以点-,-2在y=ax2+(a+2)x+1的图象上,故-2=a×-2+(a+2)×-+1,所以a=8.答案:86.(2017·全国Ⅲ卷,文21)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,因为x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a<0,因为x∈0,-时,f'(x)>0,当x∈-,+∞时,f'(x)<0,故f(x)在0,-上单调递增,在-,+∞上单调递减.(2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-处取得最大值,最大值为f-=ln--1-, 所以f(x)≤--2等价于ln--1-≤--2,即ln-++1≤0,设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0,所以当x>0时,g(x)≤0,从而当a<0时,ln-++1≤0,即f(x)≤--2.7.(2015·全国Ⅱ卷,文21)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.若a>0,则当x∈0,时,f'(x)>0;当x∈,+∞时,f'(x)<0.所以f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln +a1-=-ln a+a-1.因此f>2a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).1.考查角度(1)考查导数的几何意义的应用,包括求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等;(2)考查导数在研究函数性质中的应用,包括利用导数研究函数性质判断函数图象、利用导数求函数的极值和最值、利用导数研究不等式与方程等.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,其中导数几何意义的应用为中等难度偏下,其他问题均属于较难的试题.(对应学生用书第11~13页)导数的几何意义【例1】(1)(2018·山东日照校际联考)已知f(x)=e x(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+2,直线l是f(x)与 g(x) 的公切线,则直线l的方程为( )(A)y=x或y=x-1(B)y=-ex或y=-x-1(C)y=ex或y=x+1(D)y=-x或y=-x+1(2)(2018·河南南阳一中三模)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2图象的切线,则切线方程为;(3)(2018·黑龙江省哈尔滨九中二模)设函数f(x)=(x-a)2+(ln x2-2a)2.其中x>0,a∈R,存在x0使得f(x0)≤成立,则实数a的值为.解析:(1)设切点分别为(x1,),(x2,ln x2+2),因为f'(x)=e x,g'(x)=,所以==,所以=,所以(x2-1)(ln x2+1)=0,所以x2=1或x2=,因此直线l的方程为y-2=1·(x-1)或y-1=e·x-,即y=ex或y=x+1.故选C.(2)因为f'(x)=3x2+6x.设切点为P(x0,y0),切线斜率为k,则把①,③代入②得切线方程为y-(+3)=(3+6x0)(x-x0),④又切线过(0,0),所以-(+3)=-x0(3+6x0),解得,x0=0或x0=-.代入④式得切线方程为y=0或9x+4y=0.(3)由题意,问题等价于f(x)min≤.而函数f(x)可看作是动点M(x,ln x2)与N(a,2a)之间距离的平方,动点M在函数y=2ln x的图象上,N在直线y=2x的图象上,问题转化为直线与曲线的最小距离.如图,由y=2ln x得y'==2,得x=1,所以曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离最小,为d=,所以f(x)≥.又由题意,要使f(x0)≤,则f(x0)=,此时N恰好为垂足,由k MN===-,解得a=.答案:(1)C (2)y=0或9x+4y=0 (3)(1)求切线方程的关键是求切点的横坐标,使用切点的横坐标表达切线方程,再根据其他已知求解;(2)两曲线的公切线的切点未必是同一个点,可以分别设出切点横坐标,使用其表达切线方程,得出的两方程表示同一条直线,由此得出方程解决公切线问题;(3)从曲线外一点P(m,n)引曲线的切线方程,可设切点坐标为(x0,f(x0)),利用方程=f'(x0)求得x0后得出切线方程;(4)一些距离类最值,可以转化为求一条直线上的点到一条曲线上的点的最小值,此时与已知直线平行的曲线的切线到已知直线的距离即为其最小值.热点训练1:(1)(2018·辽宁省辽南协作校一模)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )(A)y=-2x+3 (B)y=x(C)y=3x-2 (D)y=2x-1(2)(2018·安徽皖南八校4月联考)若x,a,b均为任意实数,且(a+2)2+(b-3)2=1,则(x-a)2+(ln x-b)2的最小值为( )(A)3(B)18(C)3-1 (D)19-6(3)(2018·天津部分区质量调查二)曲线y=ae x+2的切线方程为2x-y+6=0,则实数a的值为.解析:(1)由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,可得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8-8x,即f(2-x)=2f(x)-x2-4x+4,将其代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,可得f(x)=4f(x)+8-8x-2x2-x2+8x-8,即f(x)=x2,故f'(x)=2x,因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.故选D.(2)由题意可得,其结果应为曲线y=ln x上的点与以C(-2,3)为圆心,以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值,可以求曲线y=ln x上的点与圆心C(-2,3)的距离的最小值,在曲线y=ln x上取一点M(m,ln m),曲线y=ln x在点M处的切线的斜率为k'=,从而有k CM·k'=-1,即·=-1,整理得ln m+m2+2m-3=0,解得m=1,所以点(1,0)满足条件,其到圆心C(-2,3)的距离为d==3,故其结果为(3-1)2=19-6,故选D.(3)根据题意,设曲线y=ae x+2与2x-y+6=0的切点的坐标为(m,ae m+2),其导数y'=ae x+2,则切线的斜率k=ae m+2,又由切线方程为2x-y+6=0,即y=2x+6,则k=ae m+2=2,则切线的方程为y-ae m+2=ae m+2(x-m),又由ae m+2=2,则切线方程为y-2=2(x-m),即y=2x-2m+2,则有-2m+2=6,可解得m=-2,则切点的坐标为(-2,2),则有2=a×e(-2)+2,所以a=2.答案:(1)D (2)D (3)2导数研究函数的单调性考向1 确定函数的单调性【例2】(2018·河南洛阳第三次统一考试)已知函数f(x)=(x-1)e x-x2,其中t∈R.(1)函数f(x)的图象能否与x轴相切?若能,求出实数t,若不能,请说明理由;(2)讨论函数f(x)的单调性.解:(1)由于f'(x)=xe x-tx=x(e x-t).假设函数f(x)的图象与x轴相切于点(x0,0),则有即显然x0≠0,将t=>0代入方程(x0-1)-=0中,得-2x0+2=0.显然此方程无实数解.故无论t取何值,函数f(x)的图象都不能与x轴相切.(2)由于f'(x)=xe x-tx=x(e x-t),当t≤0时,e x-t>0,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当t>0时,由f'(x)=0得x=0或x=ln t,①当0<t<1时,ln t<0,当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当ln t<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x<ln t,f'(x)>0,f(x)单调递增;②当t=1时,f'(x)≥0,f(x)单调递增;③当t>1时,ln t>0,当x>ln t时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0<x<ln t时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当t≤0时,f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数;当0<t<1时,f(x)在(-∞,ln t),(0,+∞)上是增函数,在(ln t,0)上是减函数;当t=1时,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;当t>1时,f(x)在(-∞,0),(ln t,+∞)上是增函数,在(0,ln t)上是减函数.确定函数单调性就是确定函数导数为正值、为负值的区间,基本类型有如下几种:(1)导数的零点是确定的数值,只要根据导数的零点划分定义域区间,确定在各个区间上的符号即可得出其单调区间;(2)导数零点能够求出,但含有字母参数时,则需要根据参数的不同取值划分定义域区间,再确定导数在各个区间上的符号;(3)导数存在零点,但该零点无法具体求出,此时一般是根据导数的性质、函数零点的存在定理确定导数零点的大致位置,再据此零点划分定义域区间,确定导数在各个区间上的符号.考向2 根据单调性求参数范围【例3】(1)(2018·吉林大学附中四模)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是( )(A)0,(B),(C),+∞(D)0,(2)(2018·云南昆明5月适应考)已知函数f(x)=(x2-2x)e x-aln x(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,则a的最大值是( )(A)-e (B)e (C)-(D)4e2(3)(2018·安徽合肥三模)若函数f(x)=x+-aln x在区间[1,2]上是非单调函数,则实数a 的取值范围是( )(A),(B),+∞(C),+∞(D),解析:(1)因为f(x)=(x2-2ax)e x,所以f'(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x(x2+2x-2ax-2a).因为f(x)在[-1,1]上是单调减函数,所以f'(x)=e x(x2+2x-2ax-2a)≤0.即x2+2x-2ax-2a≤0.法一设g(x)=x2+2x-2ax-2a,根据二次函数的图象可知,只要即可,解得a≥,所以实数a的取值范围是,+∞.故选C.法二由x2+2x-2ax-2a≤0,得x2+2x≤2a(x+1).当x=-1时,-1≤0恒成立,当(-1,1]时,a≥,a≥,a≥(x+1)-,令h(x)=(x+1)-,可知h(x)=(x+1)-在(-1,1]上为增函数,所以h(x)max=h(1)=,即a≥,所以实数a的取值范围是,+∞.故选C.(2)因为函数f(x)=(x2-2x)e x-aln x(a∈R),所以f'(x)=e x(x2-2x)+e x(2x-2)-=e x(x2-2)-.因为函数f(x)=(x2-2x)e x-aln x(a∈R)在区间(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)=e x(x2-2)-≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即≤e x(x2-2),亦即a≤e x(x3-2x)在区间(0,+∞)上恒成立,令h(x)=e x(x3-2x),所以h'(x)=e x(x3-2x)+e x(3x2-2)=e x(x3-2x+3x2-2)=e x(x-1)(x2+4x+2), 因为x∈(0,+∞),所以x2+4x+2>0.因为e x>0.所以令h'(x)>0,可得x>1.所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减. 所以h(x)min=h(1)=e1(1-2)=-e.所以a≤-e,则a的最大值为-e.故选A.(3)因为f(x)=x+-aln x,所以f'(x)=1--=,因为f(x)在区间[1,2]上是非单调函数,所以f'(x)=0在[1,2]上有解,即x2-ax-a=0在[1,2]上有解,所以x2=a(x+1)在[1,2]上有解,令g(x)=x2,x∈[1,2],h(x)=a(x+1),x∈[1,2],由图象易知,两函数图象在[1,2]上有交点时,≤a≤,即≤a≤.故选D.函数f(x)在区间D上单调递增(减),等价于在区间D上f'(x)≥0(≤0)恒成立;函数f(x)在区间D上不单调,等价于在区间D上f'(x)存在变号零点.考向3 函数单调性的简单应用【例4】(1)(2018·东北三省三校二模)已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x)+1,则下列正确的是( )(A)f(2 018)-ef(2 017)>e-1(B)f(2 018)-ef(2 017)<e-1(C)f(2 018)-ef(2 017)>e+1(D)f(2 018)-ef(2 017)<e+1(2)(2018·辽宁省大连八中模拟)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对任意的实数x都有f(x)=4x2-f(-x),当x∈(-∞,0)时,f'(x)+<4x.若f(m+1)≤f(-m)+4m+2,则实数m的取值范围是( )(A)-,+∞ (B)-,+∞(C)[-1,+∞) (D)[-2,+∞)(3)(2018·湖南永州市一模)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对于任意实数x有f'(x)+f(x)>0,且f(0)=1,则不等式e x f(x)>1的解集为( )(A)(-∞,0)(B)(0,+∞)(C)(-∞,e)(D)(e,+∞)解析:(1)法一设g(x)=,则g'(x)=.因为f'(x)>f(x)+1,所以f'(x)-f(x)-1>0,所以g'(x)>0在R上恒成立,所以g(x)=在R上单调递增.所以g(2 018)>g(2 017),所以>,所以f(2 018)+1>ef(2 017)+e,所以f(2 018)-ef(2 017)>e-1.故选A.法二构造特殊函数f(x)=e x-2,该函数满足f'(x)>f(x)+1,而f(2 018)-ef(2 017)=(e2 018-2)-e(e2 017-2)=2e-2,结合2e-2>e-1可知f(2 018)-ef(2 017)>e-1,排除B选项,结合2e-2<e+1可知f(2 018)-ef(2 017)<e+1,排除C选项,构造特殊函数f(x)=e x-100,该函数满足f'(x)>f(x)+1,而f(2 018)-ef(2 017)=(e2 018-100)-e(e2 017-100)=100e-100,结合100e-100>e+1可知f(2 018)-ef(2 017)>e+1,排除D选项,故选A.(2)令F(x)=f(x)-2x2,则F(-x)=f(-x)-2x2,所以F(x)+F(-x)=f(x)-[4x2-f(-x)]=0,故F(x)为奇函数.当x<0时,F'(x)=f'(x)-4x<-<0,所以F(x)在(-∞,0)上是减函数,而f(0)=0-f(-0),所以f(0)=0.故F(x)为减函数.因为f(m+1)=F(m+1)+2(m+1)2,f(-m)=F(-m)+2m2,所以F(m+1)+2(m+1)2≤F(-m)+2m2+4m+2,所以F(m+1)≤F(-m),所以m+1≥-m,所以m≥-.故选A.(3)令g(x)=e x f(x),故g'(x)=e x[f(x)+f'(x)],由f'(x)+f(x)>0可得,g'(x)>0,所以函数g(x)在R上单调递增,又f(0)=1,所以g(0)=1,所以不等式e x f(x)>1的解集为(0,+∞).故选B.函数单调性的简单应用主要有两个方面:(1)根据函数的单调性,比较函数值的大小;(2)根据函数的单调性解函数不等式.解题的基本思路是根据已知条件和求解目标,构造函数,通过构造的函数的单调性得出结论.常见的构造函数类型为乘积型h(x)g(x)和商形,具体的如xf(x),e x f(x),,tan x·f(x)等,视具体情况而定.热点训练2:(1)(2018·安徽江南十校二模)y=f(x)的导函数满足:当x≠2时,(x-2)[f(x)+2f'(x)-xf'(x)]>0,则( )(A)f(4)>(2+4)f()>2f(3)(B)f(4)>2f(3)>(2+4)f()(C)(2+4)f()>2f(3)>f(4)(D)2f(3)>f(4)>(2+4)f()(2)(2018·河北石家庄二模)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)ln x+f(x)>0(其中f'(x)为f(x)的导函数),若a>1>b>0,则下列各式成立的是( )(A)a f(a)>b f(b)>1 (B)a f(a)<b f(b)<1(C)a f(a)<1<b f(b)(D)a f(a)>1>b f(b)(3)(2018·黑龙江哈师大附中三模)若函数f(x)=2x+sin x·cos x+acos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )(A)[-1,1] (B)[-1,3](C)[-3,3] (D)[-3,-1](4)(2018·天津河北区二模)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,其中a>2.①讨论函数f(x)的单调性;②若对于任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,恒有>-1,求a的取值范围.(1)解析:令g(x)=,则g'(x)=,因为当x≠2时,(x-2)[f(x)-(x-2)f'(x)]>0,所以当x>2时,g'(x)<0,即函数g(x)在(2,+∞)上单调递减,则g()>g(3)>g(4),即>>,即2(+2)f()>2f(3)>f(4).故选C.(2)解析:构造函数g(x)=x f(x),x∈(0,+∞),两边取自然对数得ln g(x)=f(x)ln x,求导得g'(x)=f'(x)ln x+,得g'(x)=[xf'(x)ln x+f(x)].因为x>0,所以x f(x)>0,即g(x)>0,所以g'(x)>0.即g(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为a>1>b>0,所以g(a)>g(1)>g(b),所以a f(a)>1>b f(b).故选D.(3)解析:因为f(x)=2x+sin x·cos x+acos x,所以f'(x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3,设sin x=t,-1≤t≤1,令g(t)=-2t2-at+3,因为f(x)在(-∞,+∞)上递增,所以g(t)≥0在[-1,1]上恒成立,因为二次函数图象开口向下,所以⇒-1≤a≤1,a的取值范围是[-1,1].故选A.(4)解:①由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,所以f'(x)=x-a+=,令f'(x)=0,得x=1或x=a-1,因为a>2,所以a-1>1.由f'(x)>0,解得0<x<1或x>a-1,由f'(x)<0,解得1<x<a-1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(a-1,+∞),单调递减区间为(1,a-1).②设x1>x2,则不等式>-1等价于f(x1)-f(x2)>x2-x1.即f(x1)+x1>f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x=x2-(a-1)x+(a-1)ln x,则函数g(x)在x∈(0,+∞)上为增函数.所以g'(x)=x-(a-1)+≥0在(0,+∞)上恒成立,而x+≥2,当且仅当x=,即x=时等号成立.所以2≥a-1,因为a>2,所以4(a-1)≥(a-1)2,即a2-6a+5≤0,所以1≤a≤5,而a>2,所以2<a≤5.所以实数a的取值范围是(2,5].导数研究函数的极值、最值考向1 导数研究函数极值【例5】(1)(2018·河南中原名校质检二)已知函数f(x)=2f'(1)ln x-x,则f(x)的极大值为( )(A)2 (B)2ln 2-2 (C)e (D)2-e(2)(2018·黑龙江哈三中一模)设函数f(x)=ln x+ax2+bx,若x=1是函数f(x)的极大值点,则实数a的取值范围是( )(A)-∞,(B)(-∞,1)(C)[1,+∞)(D),+∞(3)(2018·河南高三最后一模)若函数f(x)=e x-aln x+2ax-1在(0,+∞)上恰有两个极值点,则a的取值范围为( )(A)(-e2,-e) (B)-∞,-(C)-∞,- (D)(-∞,-e)解析:(1)f(x)=2f'(1)ln x-x,则f'(x)=2f'(1)-1,令x=1得f'(1)=2f'(1)-1,所以f'(1)=1,则f(x)=2ln x-x,f'(x)=-1=,所以函数在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,则f(x)的极大值为f(2)=2ln 2-2,故选B.(2)f'(x)=+2ax+b=(x>0),因为x=1是函数f(x)的极大值点,所以f'(1)=0即b=-(2a+1),所以f'(x)==,当a≤0时,因为2ax-1<0,所以若0<x<1,则f'(x)>0,若x>1时,则f'(x)<0,所以x=1是函数f(x)的极大值点,符合题意; 当a>0时,若x=1是函数f(x)的极大值点,则需1<,即0<a<,综上a<.故选A.(3)因为f(x)=e x-aln x+2ax-1,所以f'(x)=e x-+2a,令e x-+2a=0,得a=,再令g(x)=(x>0),因为函数f(x)=e x-aln x+2ax-1在(0,+∞)上恰有两个极值点,所以g(x)=a有两个零点,又g'(x)=-(x>0),令g'(x)>0,得0<x<1,且x≠;令g'(x)<0,得x>1,所以函数g(x)在0,,,1上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,由于g(1)=-e,因为y=g(x)与y=a有两个交点,根据数形结合法可得,a<-e,即a∈(-∞,-e).故选D.(1)可导函数的极值点是其导数的变号零点,在零点处“左负右正”的为极小值点、“左正右负”的为极大值点;(2)根据极值点的个数确定参数范围的问题可以转化为其导数零点个数的问题讨论.考向2 导数研究函数最值【例6】(1)(2018·陕西榆林四模)设实数m>0,若对任意的x≥e,不等式x2ln x-m≥0恒成立,则m的最大值是( )(A)(B)(C)2e (D)e(2)(2018·河北武邑中学质检二)已知函数f(x)=ax-cos x+b的图象在点,f处的切线方程为y=x+.①求a,b的值;②求函数f(x)在-,上的最大值.(1)解析:不等式x2ln x-m≥0⇔x2ln x≥m⇔xln x≥⇔ln xe ln x≥,设f(x)=xe x(x>0),则f'(x)=(x+1)e x>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,因为>0,ln x>0,所以≤ln x,即m≤xln x对任意的x≥e恒成立,此时只需m≤(xln x)min,设g(x)=xln x(x≥e),g'(x)=ln x+1>0(x≥e),所以g(x)在[e,+∞)上为增函数,所以g(x)min=g(e)=e,所以m≤e,m的最大值为e.故选D.(2)解:①因为f(x)=ax-cos x+b,所以f'(x)=a+sin x.又f'=a+1=,f=a+b=×+,解得a=,b=3.②由①知f(x)=x-cos x+.因为f'(x)=+sin x,由f'(x)=+sin x>0,得-<x≤,由f'(x)=+sin x<0得,-≤x<-,所以函数f(x)在-,-上单调递减,在-,上单调递增.因为f-=,f=π,所以f(x)max=f=π.(1)闭区间[a,b]上图象连续的函数其最值在极值和端点值的比较中找到;(2)在区间D上如果f(x)有唯一的极大(小)值点,该点也是函数的最大(小)值点.热点训练3:(1)(2018·福建南平5月质检)若函数g(x)=mx+在区间(0,2π)上有一个极大值和一个极小值,则实数m的取值范围是( )(A)(-e-2π,) (B)(-e-π,e-2π)(C)(-eπ,) (D)(-e-3π,eπ)(2)(2018·黔东南州一模)若函数f(x)=xln x-a有两个零点,则实数a的取值范围为( )(A)-,1(B),1(C)-,0(D)-,+∞(3)(2018·河北唐山三模)已知a>0,f(x)=,若f(x)的最小值为-1,则a等于( )(A)(B)(C)e (D)e2解析:(1)函数g(x)=mx+,求导得g'(x)=m+.令f(x)=m+,f'(x)=.易知,在0,上,f'(x)<0,f(x)单调递减;在,上,f'(x)>0,f(x)单调递增;在,2π上,f'(x)<0,f(x)单调递减.且f(0)=m+1,f=m-,f=m+,f(2π)=m+e-2π.有f<f(2π),f(0)>f.根据题意可得解得-e-2π<m<.故选A.(2)函数定义域为(0,+∞),由f(x)=xln x-a=0得xln x=a,令g(x)=xln x,则g'(x)=ln x+1,由g'(x)>0得x>,由g'(x)<0得,0<x<,所以函数g(x)在0,上单调递减,在,+∞上单调递增,所以当x=时,g(x)取得极小值即最小值,g=-,又当x→0时,g(x)→0,作出g(x)的图象如图,所以要使f(x)=xln x-a有两个零点,即方程xln x=a有两个不同的根,即函数g(x)和y=a有两个交点,所以-<a<0,选C.(3)由f(x)=,得f'(x)==,令g(x)=e x+ax+a,则g'(x)=e x+a>0,则g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,又g(-1)=>0,所以存在x0<-1,使g(x0)=0,即f'(x0)=0,所以+ax0+a=0,①函数f(x)在(-∞,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,则f(x)的最小值为f(x0)==-1,即x0=--a,②联立①②可得x0=-2,把x0=-2代入①,可得a=.故选A.【例1】(1)(2018·河南高三最后一模)已知函数f(x)=4x2的图象在点(x0,4)处的切线为l,若l也与函数g(x)=ln x(0<x<1)的图象相切,则x0必满足( )(A)<x0<(B)0<x0<(C)<x0<1 (D)1<x0<(2)(2018·广西三市第二次调研)若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公共切线,则a的取值范围为( )(A)(0,1) (B)1,(C),2(D),+∞(3)(2018·重庆綦江区5月调研)设函数f(x)=|e x-e2a|,若f(x)在区间(-1,3-a)内的图象上存在两点,在这两点处的切线相互垂直,则实数a的取值范围为( )(A)-,(B),1(C)-3,-(D)(-3,1)解析:(1)由于f'(x)=8x,f'(x0)=8x0,所以直线l的方程为y=8x0(x-x0)+4=8x0x-4.因为l也与函数g(x)=ln x(0<x<1)的图象相切,令切点为(m,ln m),g'(x)=,所以l的方程为y=x+ln m-1,因此有又因为0<m<1,所以1-4<0,x0>,4=1+ln x0+ln 8,令h(x)=4x2-ln x-ln 8-1x>,h'(x)=8x-=>0,所以h(x)=4x2-ln x-ln 8-1是,+∞上的增函数. 因为h=1-ln 4<0,h(1)=3(1-ln 2)>0,所以x0∈,1.故选C.(2)C1在点(x1,y1)处的切线为y-=2x1(x-x1),即y=2x1x-,①C2在点(x2,y2)处的切线为y=x+(1-x2),②设①②是同一条切线,则④÷③,得=1-x2,所以x1=2(x2-1),代入③得a=,因为a>0,所以x2>1,以下求函数u(x2)=的值域:u'(x2)==, 令u'(x2)=0得x2=2,在x2∈(1,2)内,u'(x2)<0,u(x2)单调递减, 在x2∈(2,+∞)内,u'(x2)>0,u(x2)单调递增,所以u(x2)min=u(2)=,当x2→+∞时,u(x2)→+∞,所以u(x2)的值域为,+∞,所以a≥.故选D.(3)f(x)=|e x-e2a|=f'(x)=若存在x1<x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,则必有-1<x1<2a<x2<3-a,由-1<2a<3-a得-<a<1,由-1<x1<2a<x2<3-a得2a-1<x1+x2<a+3,由f'(x1)f'(x2)=-1得x1+x2=0,所以2a-1<0<a+3,得-3<a<,综上可得-<a<.故选A.【例2】(1)(2018·江西重点中学协作体二联)已知定义在[e,+∞)上的函数f(x)满足f(x)+xln xf'(x)<0且f(2 018)=0,其中f'(x)是函数f(x)的导函数,e是自然对数的底数,则不等式f(x)>0的解集为( )(A)[e,2 018) (B)[2 018,+∞)(C)(e,+∞)(D)[e,e+1)(2)(2018·江西六校联考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),恒为正数的f(x)符合f(x)<f'(x)<2f(x),则f(1)∶f(2)的取值范围为( )(A)(e,2e) (B),(C)(e,e3) (D),(3)(2018·陕西咸阳二模)已知定义在R上的函数 f(x) 的导函数为f'(x),且f(x)+f'(x)>1,设a=f(2)-1,b=e[f(3)-1],则a,b的大小关系为( )(A)a<b (B)a>b(C)a=b (D)无法确定解析:(1)设g(x)=ln x·f(x),当x∈[e,+∞)时,g'(x)=+ln xf'(x)=<0,所以g(x)在[e,+∞)上是减函数,又g(2 018)=ln 2 018f(2 018)=0,所以g(x)>0的解集为[e,2 018),又此时ln x≥1,所以f(x)>0,即f(x)>0的解集为[e,2 018).故选A.(2)令g(x)=,h(x)=,则g'(x)=>0,h'(x)=<0,所以g(1)<g(2),h(1)>h(2),所以<,>,所以<<.选D.(3)令g(x)=e x f(x)-e x,则g'(x)=e x[f(x)+f'(x)]-e x=e x[f(x)+f'(x)-1]>0.即g(x)在R上为增函数.所以g(3)>g(2),即e3f(3)-e3>e2f(2)-e2,整理得e[f(3)-1]>f(2)-1,即a<b.故选A.【例3】(2018·华大新高考联盟4月质检)设函数f(x)=x-,a∈R且a≠0,e为自然对数的底数.(1)求函数y=的单调区间;(2)若a=,当0<x1<x2时,不等式f(x1)-f(x2)>恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)y=1-,y'==-,->0⇔<0.①当a>0时,<0⇒<0⇒0<x<2;②当a<0时,<0⇒>0⇒x<0或x>2.综上,①当a>0时,函数y=的增区间为(0,2),减区间为(-∞,0),(2,+∞);②当a<0时,函数y=的增区间为(-∞,0),(2,+∞),减区间为(0,2).(2)当0<x1<x2时,f(x1)-f(x2)>⇔f(x1)-f(x2)>-⇔f(x1)->f(x2)-,即函数g(x)=f(x)-=x-·-在(0,+∞)上为减函数,g'(x)=1-+=≤0,em≤(x-1)e x-ex2,令h(x)=(x-1)e x-ex2,h'(x)=e x+(x-1)e x-2ex=xe x-2ex=x(e x-2e)=0⇒e x=2e⇒x=ln 2e.当x∈(0,ln 2e)时,h'(x)<0,h(x)为减函数;当x∈(ln 2e,+∞)时,h'(x)>0,h(x)为增函数.h(x)的最小值为h(ln 2e)=(ln 2e-1)·e ln 2e-eln22e=2eln 2-e(ln 2+1)2=-eln22-e.所以em≤-eln22-e⇒m≤-1-ln22,所以m的取值范围是(-∞,-1-ln22].【例4】(2018·陕西西工大附中六模)若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a(2y-4ex)(ln y-ln x)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,0)(B)0,(C),+∞(D)(-∞,0)∪,+∞解析:因为3x+a(2y-4ex)(ln y-ln x)=0,所以3x+a(2y-4ex)ln =0,所以3+2a-2e ln =0,令t=,则t>0,所以3+2a(t-2e)ln t=0,所以(t-2e)ln t=-,设g(t)=(t-2e)ln t,则g'(t)=ln t+1-,而[g'(t)]'=+.故g'(t)为增函数,因为g'(e)=0,所以当t=e时,g(t)min=g(e)=-e,所以-≥-e,即≤e.当a<0时,不等式成立;当a>0时,得a≥;当a=0时,由原等式易知不符合题意.所以a<0或a≥.故选D.(对应学生用书第13页)【典例】(2018·全国卷Ⅲ,文21)(12分)已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.评分细则:(1)解:f'(x)=,2分f'(0)=2.3分因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.5分(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+e x+1)e-x.6分令g(x)=x2+x-1+e x+1,7分则g'(x)=2x+1+e x+1.9分当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.11分所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.12分【答题启示】(1)导数解答题的基础是正确求出函数的导数,这是解题的起始,一定要细心处理,不要“输在起跑线上”.(2)导数证明不等式基本技巧是构造函数、利用函数的单调性、最值得出所证不等式.。

高考数学二轮复习函数与导数的综合应用ppt课件

当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
所以 f(x)max=f(1)=-1.

3.[函数的零点问题](2022·全国乙卷,T20)已知函数 f(x)=ax--(a+1)ln x.
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.

解:(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,

时,f(x)= · -a(x+2)>e
ln(2a)

·(+2)-a(x+2)=2a>0,故 f(x)在(ln a,+∞)上
存在唯一零点,从而 f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点.

综上,a 的取值范围是(,+∞).
法二
+
令 f(x)=0,得 ex=a(x+2),即=

3
解:(2)当 x≥0 时,f(x)≥x +1 恒成立,
①当 x=0 时,不等式恒成立,可得 a∈R;
②当 x>0 时,可得 a≥
则 h′(x)=
=

++-

恒成立,设 h(x)=

++-

,

(-) +( --) (-) +( - )+( --) (-) + (-)+(-)(+)
因为f′(0)=0,所以当x>0时,f′(x)>0;当x<0时,f′(x)<0,

高考理科数学二轮专题提分教程全国课件导数及其应用

可导与连续关系
可导必连续
如果函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数在该点处的连续性。
连续不一定可导
虽然连续函数在其定义域内具有许多良好的性质，但并不意味着它在每一点处都可导。例如，绝对值函数在原点处连续但不可导。
基本初等函数导数公式
常数函数
幂函数
物理学中速度和加速度计算
要点一
速度计算
要点二
加速度计算
在物理学中，速度是位移对时间的导数。通过求解位移函数的导数，可以得到物体在任意时刻的速度。
加速度是速度对时间的导数。通过对速度函数求导，可以得到物体在任意时刻的加速度，进而分析物体的运动状态。
工程学中最优化问题求解
最值问题
在工程学中，经常需要求解某个函数的最值问题，如最小成本、最大效益等。通过求解函数的导数，并令其等于零，可以找到函数的极值点，进而确定最值。
正弦函数y=sinx的导数为cosx；余弦函数 y=cosx的导数为-sinx；正切函数y=tanx的导数为sec2x。
复合函数、反函数求导法则
复合函数求导法则
如果u=g(x)在点x处可导，且y=f(u)在点u=g(x)处也可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x处也可导，且其导数可由f'和g'通过链式法则求得：dy/dx = f'(u) * g'(x)。
利用中值定理求极限或判断函数性质
利用中值定理求极限
通过中值定理找到满足条件的点，然后利用该点的性质求出极限。Biblioteka 利用中值定理判断函数单调性
通过中值定理找到满足条件的点，然后利用该点的性质判断函数的单调性。
利用中值定理判断函数凹凸性

高考数学二轮复习第4讲导数的综合应用课件理

∴f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
当x=e时,f(x)取得极小值,且极小值为f(e)=ln e+ e =2.
e
∴f(x)的极小值为2.
12/11/2021
(2)由题意知,对任意的x1>x2>0,f(x1)-x1<f(x2)-x2恒成立,
设h(x)=f(x)-x=ln x+ k -x(x>0),
第4讲导数的综合应用
12/11/2021
12/11/2021
总纲目录
考点一利用导数证明不等式考点二利用导数解决不等式恒成立、存在性问题考点三利用导数研究函数的零点或方程的根
12/11/2021
考点一利用导数证明不等式
例 (2018课标全国Ⅰ文,21,12分)已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a≥ 1 时, f(x)≥0.
+∞).
(2)依题意,∃x∈[1,3],ax3-3x2+3ax2-6x≤0,
等价于不等式a≤ 3 x 2= 6 x 在x3 ∈x [61,3]有解.
x3 3x2 x2 3x
令h(x)= 3 x (x6∈[1,3]),
x2 3x
则h '(x)=- 3( x2=- 4 x <60). 3[( x 2)2 2]
所以h(1)=e-3<0,h(2)=e2-3- 2h(1)h(2)<0.
所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点.
(2)方程f(x)=g(x)的根的个数为2,理由如下:
由(1)可知,h(x)=f(x)-g(x)=ex-1- x-x.

《导数的应用举例》课件

导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
感谢您的观看
汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在某点处的极值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最小值，解决实际问题
导数在物理中的应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导数是描述函数在某一点处变化率的概念，可以用于描述物体在某一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近似
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题导数在经济学中的应用：求解边际效益导数在经济学中的应用：求解边际成本导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等