方法技巧训练七：几何图形中的最值问题
几何最值问题解题技巧
几何最值问题解题技巧
几何最值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在给定的几何形状中找到一个或多个点的最大或最小值。
解决这类问题需要一定的技巧和策略。
以下是一些解决几何最值问题的技巧：
1. 转化问题：将最值问题转化为几何问题，例如求点到直线的最短距离，可以转化为求点到直线的垂足。
2. 建立数学模型：根据问题的具体情况，建立适当的数学模型，例如利用勾股定理、三角函数等。
3. 寻找对称性：在几何图形中寻找对称性，例如利用轴对称、中心对称等性质，可以简化问题。
4. 利用基本不等式：利用基本不等式（如AM-GM不等式）可以求出某些量的最大或最小值。
5. 转化为一元函数：将问题转化为求一元函数的最大或最小值，然后利用导数等工具求解。
6. 构造辅助线：在几何图形中构造辅助线，可以改变问题的结构，从而更容易找到最值。
7. 尝试特殊情况：在某些情况下，尝试特殊情况（例如旋转、对称等）可以找到最值。
8. 逐步逼近：如果无法直接找到最值，可以尝试逐步逼近的方法，例如二分法等。
以上技巧并不是孤立的，有时候需要综合运用多种技巧来解决一个问题。
在解决几何最值问题时，需要灵活运用各种方法，不断尝试和调整，才能找到最合适的解决方案。
几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题引言:最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题:1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x ≤7，最大值是7；②如x ≥5，最小值是5.3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
一、最小值问题例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M 在DC 上，且DM=2，N 为线段AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。
解: 作点D 关于AC 的对称点D /，则点D /与点B 重合，连BM,交AC 于N ，连DN ，则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM=6822 =10,∴DN+MN 的最小值是10。
例2，已知，MN 是⊙O 直径上，MN=2,点A 在⊙O 上，∠AMN=300,B 是弧AN 的中点，P 是MN 上的一动点，则PA+PB 的最小值是解:作A 点关于MN 的对称点A /,连A /B,交MN 于P ，则PA+PB 最短。
连OB ，OA /,∵∠AMN=300,B 是弧AN 的中点， ∴∠BOA /=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA /=600, ∴∠MOA /=900, 在Rt △A /BO 中，OA /=OB=1, ∴A /B=2 即PA+PB=2图4CDMNMMNB例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P ，使点P 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。
解:作点E 关于直线y=x 的对称点M ， 连MD 交直线y=x 于P ，连PE ， 则PE+PD 最短；即PE+PD=MD 。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N ， 则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=2522+=29。
四边形最值问题解题技巧
四边形最值问题解题技巧介绍四边形是几何图形中最常见的形状之一。
对于给定的四边形，我们常常需要解决最值问题，即找出四边形的最大或最小值。
本文将介绍一些解决四边形最值问题的技巧和方法。
一、四边形的基本概念在开始讨论解题技巧之前，我们首先需要了解一些关于四边形的基本概念。
一个四边形由四条线段组成，相邻的两个线段之间有一个角。
四边形的内角和为360度。
常见的四边形类型包括矩形、正方形、平行四边形、菱形等。
二、解决四边形最值问题的一般步骤解决四边形最值问题的一般步骤可以分为以下几步：1. 确定四边形的类型根据给定的条件，确定四边形的类型。
不同类型的四边形具有不同的属性和特点，需要根据具体的情况选择相应的解题技巧。
2. 利用基本几何性质寻找约束条件根据四边形的性质和已知条件，寻找约束条件。
这些约束条件将帮助我们确定四边形的其他属性，从而解决最值问题。
3. 应用数学方法求解最值根据已知条件，利用数学方法求解四边形的最值。
这些方法可能包括求导、代数运算、三角函数等。
4. 检验结果求解完最值问题后，需要检验结果是否合理。
检验过程包括验证数学计算的正确性和对结果的合理性进行分析。
三、解决不同类型四边形最值问题的技巧下面将介绍一些常见的四边形类型及其对应的最值问题解题技巧。
1. 矩形和正方形矩形和正方形是最常见的四边形类型。
对于矩形和正方形的最值问题，常用的解题技巧包括：（1）对角线长度最值问题对角线长度最值问题是指在给定矩形或正方形的周长不变的情况下，找出对角线长度的最大或最小值。
解决该问题的技巧是使用两个对角线的长度表示矩形或正方形的面积，并应用数学方法求解。
（2）面积最值问题面积最值问题是指在给定矩形或正方形的周长不变的情况下，找出面积的最大或最小值。
解决该问题的技巧是使用两个相等的邻边的长度表示矩形或正方形的面积，并应用数学方法求解。
2. 平行四边形和菱形平行四边形和菱形也是常见的四边形类型。
对于平行四边形和菱形的最值问题，常用的解题技巧包括：（1）对角线长度最值问题对角线长度最值问题是指在给定平行四边形或菱形的周长不变的情况下，找出对角线长度的最大或最小值。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
初中数学最小值问题
初中数学最小值问题在初中数学中，最小值问题是一个常见的问题，涵盖了多个方面，包括代数式求最值、一次函数或二次函数的最值、几何图形中的最值问题、方程式的最值以及数据分析中的最小值问题。
下面我们将逐一介绍这些方面。
1. 代数式求最值代数式求最值是初中数学中的一个重要问题。
通常，我们需要通过配方、平方和、平方法等技巧，将代数式转化为能够求最值的表达式。
例如，对于一个二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，函数存在最小值，这个最小值可以通过公式求得。
2. 一次函数或二次函数的最值一次函数或二次函数的最值也是初中数学中常见的问题。
对于一次函数，可以通过观察图像或者利用一次函数的性质来求最值。
对于二次函数，可以通过配方或者利用二次函数的顶点坐标来求最值。
3. 几何图形中的最值问题几何图形中的最值问题通常涉及到长度、角度、面积等方面。
这类问题需要结合几何知识，运用相关的定理和公式来求解。
例如，在矩形ABCD中，E是AD的中点，点F在BC上，且∠FBE=∠ABE。
求证：EF最短。
4. 方程式的最值方程式的最值问题通常涉及到求解方程的最小或最大值。
这类问题需要运用相关的代数知识，通过对方程进行变形或者利用判别式等方法来求解。
例如，对于方程x²+2x+1=0，我们可以利用配方法将其转化为(x+1)²=0，从而求解。
5. 数据分析中的最小值问题在数据分析中，最小值问题通常涉及到在一组数据中找到最小值。
这类问题需要运用相关的统计知识，通过观察数据分布或者利用计算最小值的方法来求解。
例如，在一组数据中，我们可以观察到数据分布的情况，从而找到最小值。
总之，初中数学最小值问题是一个涵盖多个方面的问题。
在求解最小值时，我们需要根据不同的情况运用不同的方法来求解。
通过掌握这些方法，我们可以更好地解决最小值问题。
梯形中最值问题10种求法
梯形中最值问题10种求法介绍梯形是在数学中常见的几何图形之一，其特点是两边平行，且两边之间有一段不平行的边。
求解梯形中最大或最小值的问题在数学中也是常见的。
本文将介绍10种不同的方法来求解梯形中的最值问题。
方法一：三边法最直接的方法是根据梯形的三个边长来求解最值问题。
根据梯形的性质，最大值出现在底边等于两边之和的情况下，最小值出现在底边等于两边之差的情况下。
方法二：面积法梯形的面积公式是底边和高的乘积再除以2。
因此，可以通过计算梯形的面积来求解最值问题。
最大值出现在底边和高都取最大值的情况下，最小值出现在底边和高都取最小值的情况下。
方法三：相似三角形法利用相似三角形的性质，可以将梯形划分为两个全等的直角三角形和一个矩形。
通过分析这些三角形和矩形的特点，可以求解梯形中的最值问题。
方法四：角平分线法利用梯形的特点，可以通过角平分线将梯形划分为两个全等的直角三角形。
通过分析这些三角形的特点，可以求解梯形中的最值问题。
方法五：垂线法通过在梯形的两个顶点处分别作垂线，可以将梯形划分为两个全等的直角三角形。
通过分析这些三角形的特点，可以求解梯形中的最值问题。
方法六：画图法通过在纸上画出梯形，并标出已知条件，可以通过观察和直觉来求解最值问题。
这种方法适用于简单的梯形情况。
方法七：三角函数法利用三角函数的性质，可以通过计算梯形的两个角度来求解最值问题。
最大值出现在梯形的两个角度最大的情况下，最小值出现在梯形的两个角度最小的情况下。
方法八：导数法将梯形的底边长度或高看作自变量，将梯形的面积看作因变量，可以通过求导数来求解最值问题。
最大值出现在导数等于0的情况下，最小值出现在导数不存在或无穷大的情况下。
方法九：平均值不等式法利用平均值不等式的性质，可以通过分析梯形的边长之间的关系来求解最值问题。
最大值出现在梯形的两个边长之和最大的情况下，最小值出现在梯形的两个边长之和最小的情况下。
方法十：数学公式法通过使用梯形的面积公式和边长之间的关系公式，可以建立一个求解最值问题的数学表达式。
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破八 几何综合题 类型七：求几何图形中最值的方法
25．★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC 上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C 落在点P处，则点P到边AB距离的最小值为_1_1..22__.
26．★如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 3 ，P为AB边上 一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为__33__.
d＋r
2r
d＋r
连接DO并延长交⊙O于点E
r－d
0
d－r
连接OD并延长交⊙O 点E与点D 连接OD交
于点E
重合 ⊙O于点E
21．★如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，以点D为圆 心，BD长为半径作⊙D，E是⊙D上一点，若AB＝8，BC＝6，则线段AE 长的最小值为__73－－3 3__.
3．★如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的
一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝
1 4
DE，以EC，EF为邻边构
造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为
( A)
A．9 3
B．8 3 C．10 3 D．12
4．★如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E，F分别在边AB， AD上运动，且∠ECF＝60°，则△ECF周长的最小值为__33_3 __.
15．★如图，在菱形ABCD中，AC＝6 2 ，BD＝6，点E是BC边的中点， P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是 _2_2_6 .
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F 分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF.当△AEF的周长最小时，求 ∠EAF的度数．
初中几何最值问题类型
初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。
求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。
2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。
求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。
3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。
4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。
5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。
这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。
对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。
通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。
初中几何最值问题解题技巧
初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。
下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。
例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。
2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。
例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。
3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。
例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。
对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。
4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。
例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。
对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。
5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。
通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。
例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。
以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
初中数学-平面几何的最值问题
平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB 为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：l 12=AC 2= ；路线2：l 22=（AB +BC ）2= ．∵ l 12 l 22，∴l 1 l 2 （ 填“＞”或“＜”），所以应选择路线 （填“1”或“2”）较短．(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．NMEDAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．。
几何中的最值
几何中的最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个量（如线段长度、角度大小、图形周长或面积）等的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方法有：1、几何定理（公理）法；2、临界状态（特殊位置与极端位置法）；解决几何最值问题的通常思路（分析定点、动点，寻找定量）①模型解题：若属于常见模型，调用模型解决问题；②定理解题：若不属于常见模型，寻找定量，借助基本定理解决问题． ③轨迹解题：一般用于压轴题转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．一．几何定理：（画出模型）1．线段公理——两点之间，线段最短；2．直线外一点与直线的所有连线中垂线段最短3．三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）4．两平行线间距离最短；5．过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦二、常见模型㈠．过河问题llB线段求其和， AB 河两侧，线段求其差， AB 河同侧，㈡、角平分线模型P A +PB 最小，需要点在异侧 |P A -PB |最大， 需要点在同侧蜂蜜蚂蚁C㈢梯子靠墙模型O A ⊥OB,AB=a ，⊿ABP 是等腰直角三角形。
求OP 的最大值 解法一：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知a AB OE 2121==是定值，与OP 构造三角形OEP.解法二：根据等腰直角三角形ABP 斜边上的中线等于斜边的一半，可知解法三：A,B,O 三点在以AB 为直径的圆上，即二．常见临界状态(有待补充)：三、观察动点的运动轨迹在武汉中考题的压轴题中求最值问题时，仅依靠定理或模型解决不了问题时，需要我们尝试去思考动的运动轨迹是什么，从而帮助我们解题。
一、过河模型1、在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A 、B 的距离之和最小。
2、直线12l l 、交于O 、P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A 、B ，使得△PAB的周长最短。
3、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm ．AB2第2题图4、如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．5、如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．6、点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．（1）如图1，若点C （x ，0）且-1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）如图2，当点B 的坐标为（-1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF =1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．B (-图1 图28、在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点.（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.1. （2011湖北荆门3分）分，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4 】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC=23BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是【 】A 、6(4)π+㎝ B 、5cm C 、㎝ D 、7cm3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 19、已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为C ，其中(3,0)A -，(0,2)C -。
几何最值的解题方法
几何最值的解题方法1. 引言几何最值问题是数学中常见的一类问题，它涉及到在给定的几何形状或空间中寻找某个特定量的最大值或最小值。
在解决这类问题时，我们需要运用几何知识和数学分析方法，结合具体情境进行推理和计算。
本文将介绍几何最值问题的解题方法，并通过实例进行说明。
2. 几何最值问题的分类几何最值问题可以分为两类：平面几何中的最值问题和立体几何中的最值问题。
2.1 平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常需要求解线段、角度、面积等量的最大值或最小值。
例如，求一个给定周长的矩形的面积最大，或者求一个给定半径的圆形内接三角形的面积最大。
为了解决这类问题，我们可以使用以下方法：2.1.1 导数法当需要求解平面图形上某个量（如面积）取得极大或极小值时，我们可以通过对该量进行微分，并令导数等于零来求得临界点。
通过判断临界点处导数符号变化来确定极大或极小值。
例如，对于矩形的面积最大问题，我们可以设矩形的长为x，宽为y，则矩形的面积为S=xy。
根据周长固定的条件，可以得到2x+2y=常数。
将这个条件代入面积公式S=xy中，可以得到只含有一个变量x的函数表达式S(x)，然后对S(x)求导，并令导数等于零，即可求得临界点。
2.1.2 直观法直观法是一种通过观察和推理来解决几何最值问题的方法。
在解决一些简单的几何最值问题时，我们可以通过直观地找出一些特殊情况或者利用几何图形的性质来确定最值。
例如，在求解一个给定周长的矩形面积最大问题时，我们可以发现正方形是具有相同周长下面积最大的矩形，因而答案是正方形。
2.2 立体几何中的最值问题在立体几何中，我们常常需要求解体积、表面积等量的最大值或最小值。
例如，求一个给定表面积的圆柱体体积最大，或者求一个给定体积的圆柱体表面积最小。
为了解决这类问题，我们可以使用以下方法：2.2.1 导数法与平面几何中的导数法类似，我们可以通过对体积或表面积进行微分，并令导数等于零来求得临界点。
初中几何最值问题的常用解法
初中几何最值问题的常用解法
初中几何最值问题的常用解法有以下几种：
1. 利用图形的性质和特点：根据所给的几何图形，利用其性质和特点推导出最值问题的解答。
例如，利用等腰三角形的性质，可以求解最短路径问题；利用圆的性质，可以求出最大面积问题等。
2. 利用相似三角形：当给定的几何图形不易直接求解时，可以通过构建相似三角形来求解最值问题。
通过建立相似三角形的比较关系，可以求得所需的未知数，并得到最值问题的解答。
3. 利用变量法：将所给的几何图形进行变量代换，将问题转化为代数问题。
通过对新的代数表达式进行求导或求极值的方法，可以求解最值问题。
4. 利用平面几何基本定理：平面几何基本定理是初中几何学中的核心理论，其中包括了如角等分线定理、平行线性质定理、正弦定理、余弦定理等。
利用这些定理，可以有效地解决几何最值问题。
总之，初中几何最值问题的解决方法需要深入理解几何图形的性质和运用几何定理，同时也需要灵活运用代数方法和应用数学思维来解决问题。
初中几何图形所有最小值问题
一.已知两定点模型①：将军饮马问题：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小。
原理：两点之间，线段最短模型②：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长模型③：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小模型④：在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小（1）两点都在直线外侧；（2）一个点在内侧，一个点在外侧；（3）两个点都在内侧模型⑤：台球两次碰：已知点A、B位于角的内部，在角的两边上分别找点C、D，使得围成的四边形ABCD周长最小变式…模型⑥：已知点A位于直线m、n内侧，在直线上分别找P、Q，使△APQ 周长最小二.一个动点，一个定点模型⑦：动点在直线上运动点A是定点，动点B在直线n上运动，在直线m上找一点P使PA+PB最小模型⑧：点A是定点，动点B在圆上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小模型⑨：点A是定点，动点B在直线n上运动，在直线m上找一点P使AB+PB 最小三.两个定点、两个动点模型⑩：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM＋MQ最小．模型11：用平移+对称来解决已知A、B是两个定点，P、Q是直线上两个动点，P在Q的左侧，且PQ之间的长度为定值不变，在直线上找两点P、Q，使得PA+PQ+QB的值最小问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B。
模型12：造桥选址问题：直线m∥n，在m上求作点M，在n上求作点N，MN⊥m，且MN为定值；使AM＋MN＋NB最小．四.转化为某个变量的函数，模型13：模型①：如图，已知点A（1，1），B（3，2），且P为x轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为_____菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是____在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_______㎝在△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标分别为（x ，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC 的周长最小时，x 的值为_____在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n =______时，AC + BC 的值最小．模型②：已知点A （-1，0），C(0,-3)，在直线x=1上确定一点P 使得|PA-PC|最大，则P 点坐标为__________已知点A （1，3），B （5，-2），在x 轴上找一点P 使|PA-PB|最大，则P 点坐标为__________模型③:去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A 和李村B 送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O 为坐标原点，以河道所在的直线为x 轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A （2，3），B (12，7)． 水泵站建在距离大桥O 多远的地方，可使它到张村、李村的距离之差最小 模型④：在河中有A （-4，-5）、B （2，-1）两岛（如图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A 岛出发，必须先划到甲岸（y=-6)，又到乙岸(x 轴），再到B 岛，最后回到A 岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？请在图中画出来，并求出最短路程是多少？模型⑤：如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）。
初中几何中的最值问题
初中几何中的最值问题初中几何中的最值问题是指在几何图形中寻找某个量的最大值或最小值的问题。
这些问题通常涉及到面积、周长、角度等几何量。
一般来说，解决初中几何中的最值问题需要掌握以下基本方法：1. 利用代数方法求解有时候，我们可以将几何图形转换为代数式，然后通过求导或者求平方等方法来求解。
例如，在矩形中，当周长一定时，面积最大；当面积一定时，周长最小。
我们可以设矩形的长为x，宽为y，则周长为2(x+y)，面积为xy。
当周长一定时，即2(x+y)=k(k为常数)时，可以将y表示成x的函数：y=k/2-x，则面积S=x(k/2-x)=kx/2-x^2。
对S求导得到S'=k/2-2x=0，则x=k/4。
因此，在周长一定时，矩形的长和宽相等时面积最大。
2. 利用平均值不等式平均值不等式是一个重要的不等式，在初中几何中也经常被使用。
该不等式表明对于任意两个正实数a和b，有(a+b)/2>=sqrt(ab)。
例如，在三角形ABC中，如果要求最小的边长，则可以利用平均值不等式：设三角形边长分别为a、b、c，则有a+b>c，b+c>a，c+a>b。
将这三个不等式相加得到2(a+b+c)>a+b+c，则a+b+c>0。
因此，(a+b+c)/3>=sqrt(abc)，即(a+b+c)>=3sqrt(abc)。
因此，当三角形的面积一定时，其边长之和最小。
3. 利用相似性质有时候，在几何图形中，我们可以利用相似性质来求解最值问题。
例如，在等腰三角形ABC中，如果要求最大的高，则可以利用相似三角形的性质：设高线AD与BC交于点E，则有AE/ED=BE/EC=AB/BC=2/1。
因此，AE=2ED，BE=2EC。
又因为AD是等腰三角形的高线，所以BD=DC。
则DE=BD-BE=(1/3)BC。
因此，在等腰三角形ABC中，高线对应底边的比值为2:1时，高线最大。
综上所述，在初中几何中解决最值问题需要掌握代数方法、平均值不等式和相似性质等基本方法，并且需要在实际问题中灵活应用这些方法来求解各种复杂的问题。
几何图形中线段和差最值问题
点的个数动一动-C组变式：由两个点到多个点，增加层次性-如图，正方形ABCD中，AB=2,-1若M是AB边上的中点， 是对角-线AC上任意一点，求PM+PB2的最-M2-小值-2若M1、M2是AB边上的三等分点-,P1、P2依次是对角 AC上任意两点-求P1M1+P1B2+P2M1+P2M22的-最小值
八会归纳-线段和的最值问题-利用对称性构-如何去解？-造三点一线-化归：-引申、条件变换、移植转-换、增加解题层次性 -课本例题或常见题-考题
点的个数动一动-C组变式：由两个点到多个点，增加层次性-如图，正方形ABCD中，AB=2,-1若M是AB边上的中点， 是对角-线AC上任意一点，求PM+PB2的最-小值-2若M1、M2是AB边上的三等分点，-P1、P2依次是对角线AC 任意两点，求-P1M1+P1B2+P2M1+P2M22的最小值-3若M、M2Mg是AB边上的10等分-点，P1、P2 g依次是对角线AC上任意-点，直接写出P1M1+P1B2+P2M1+P2M22-++P,Mg+PgMg2的最小值
A组-已知抛物线-y0x2--5-x+2-22-若一个动点M自P0,1-出发，先到达对称轴上某点（设为点F,最后运动 点-A。确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这-个最短路程的长。-0,2A-A'5,2-0,1PT-d-X -1
B组-变一变-若一个动点M自P出发，先到达x轴上的某点（设为点E，,再-到达抛物线的对称轴上某并求出这个最短-路程的长-0,2A-0,1P1-X--1
A-Mi'-D-P,M1+P,B2+P2M1+P2M2-MD2-M1'M22-C