电工技术第3章电路的暂态分析

2010-10-13第 3 章 电路的暂态分析目录东南大学电气工程学院13.1 概述 3.2 换路定则及初始值的确定(暂态基石) 3.3 3 3 RC电路的响应(重点分析) 3.4 一阶线性电路的三要素法(一般方法) 3.5 微分与积分电路 3.6 RL 电路的响应3.1 概 述“稳态”与 “暂态”的概念: K+ _电阻电路R+ _对电阻元件，其电压电流满足欧姆定律：REuCEuCi=u R或 u = iRC把上面两式相乘并积分，得：∫t0uidt =∫ Ri dt2 0t电路处于旧稳态电路处于新稳态由此可知，电能全部消耗在电阻上，转换为热能。

金属导体的电阻值与其材料导电性及尺寸的关系为：过渡过程 : 旧稳态3uC新稳态 E暂态稳态R=ρt 返回4l Sl 其中：ρ、、S分别为导体的电阻率、长度、横截面积。

电感电路K + E _ 无过渡过程 R t=0 I电感的定义I N匝线圈绕成的电感元件，当通过电流i时，将产 生磁通Φ。

则：tL=NΦ iL称为线圈的电感，也称为自感。

电阻是耗能元件，其上电流随电压成比例变化，不 存在过渡过程。

5线圈的电感与线圈的尺寸、匝数及介质的磁导率μ有关：L=6μSN 2l电感的单位为亨[利](H)毫亨（mH）.12010-10-13电感元件的电压电流关系电感中出现的自感电动势表现在电感两端有电压降产生。

设一电感元件电路电压、电流及电动势的参考方向如图所示。

根据基尔霍夫电压定律： iK E + t=0 _储能元件R iL L从而：di u = − eL = L dt＋_iLtu_eL＋L上式两边乘以i并积分得：∫ uidt = ∫ Lidi = 2 Li0 0ti1电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量， 其大小为：2WL =因此电感元件中存储的磁场能量为：71 2 Li 2∫t0ui dt =1 2 Li 28因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电感的电路存在过渡过程。

电容电路 电容的定义电容元件的电容C定义为电容上的电量与电压的比值：电容元件的电压与电流的关系对于图中的电路有：i＋C=q uti=dq du =C dt dtuu_C电容的大小与电容元件的尺寸及介质的介电常数有关。

平行板电容器的电容为：将上式两边乘以u并积分得： 将上式两边乘以 并积分得C=9εSd单位为法[拉](F).∫ uidt = ∫0101 Cudu = Cu 2 0 21 2 Cu 2电容元件中存储的电场能量为：式中ε为介质的介电常数，S为极板面积，d为极板间距离。

K + _ER uC储能元件uCE C元件总 结电阻元件t电感元件电容元件特征 参数定义电容为储能元件，它储存的能量为电场能量， 电容为储能元件 它储存的能量为电场能量 其大小为：R=u iL=NΦ iWC =∫0 uidtt=1 Cu 2 212电压电流关系u = iRu=L11因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电容的电路存在过渡过程。

能量∫ Ri dt2 0t1 2 Li 2di dtq u du i=C dt C=1 2 Cu 222010-10-13结论思考题如果一个电感元件两端的电压为零，其 储能是否也一定为零？如果一个电容元件中 的电流为零，其储能是否一定为零？13有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生 变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路 参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡 过程。

过程 电路中的 u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进 入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态， 所以过渡过程又称为电路的暂态过程。

返回14研究过渡过程的意义： 过渡过程是一种自然现象，研究其规律，掌握其 利弊，很重要； 有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种特 定的波形或改善波形； 定的波 或改善波 不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出 现过压或过流，致使电气设备损坏，必须采取防 范措施。

153.2 换路定则及初始值的确定换路: 电路状态的改变。

如：1 . 电路接通、断开电源 2 . 电路中电源电压的升高或降低 3 . 电路中元件参数的改变…………..16返回返回换路定则: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。

换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能 突变的原因：*自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累 或衰减需要一定的时间。

所以 电容C存储的电场能量设：t=0 时换路 则：0 − --- 换路前瞬间 0 + --- 换路后瞬间WC不能突变1 （ Wc = Cu c 2） 2( uC ( 0 + ) = uC ( 0 − )0) iL ( 0 + ) = iL ( 0 − −)18uC 不能突变=电感L储存的磁场能量 （ W LWL不能突变17i L 不能突变1 2 Li L ） 232010-10-13*从电路关系分析 K + _E R uC i初始值的确定初始值：电路中 u、i 在 t=0+时的大小。

CK 闭合后，列回路电压方程：du c = ∞ ⇒ 则 dt若uc 发生突变，求解要点： 1.du E = iR + u C = RC C + u C du dt 所以电容电压 (i = C ) 不能跃变 dt19 20i =∞u C (0 − ) → u C (0 + ) iL (0 − ) → iL (0 + )2. 根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。

例 K U t=0题uR uL解根据换路定则例 S C R1题 R2 L 已知：换路前电路处稳态，C、 L 均未储能，U,R1,R2,L,C已知。

试求：换路后电路中各元件的 电压和电流的初始值。

iLiL (0 + ) = iL (0 − ) = 0 A+ U -t=0已知: R=1kΩ, , L=1H , U=20 V、 开关闭合前 iL =0 A 设t=0 时开关闭合 求:换路时电压方程 :U = i (0 + ) R + u L (0 + )有 u L ( 0 + ) = 20 − 0 = 20 V22解 (1)由换路前电路求 uC (0− ), i L (0− ) 由已知条件知 uC ( 0 − ) = 0, i L ( 0 − ) = 0 根据换路定则得： uC (0+ ) = uC (0− ) = 0i L ( 0 + ), u L ( 0 + )21ι&L (0+ ) = ι&L(0− ) = 0t=0+时刻的电路S + U t=0 R1 (a) 电路 L C R2iC (0+ ) uC (0+) u2(0+_ )+ U + -小结1. 换路瞬间， 能突变； 2. 换路瞬间， 路；i1(0+ )R1iL(0+ ) R2 + + u _ 1(0+) _ uL(0+)uC、iL 不能突变。

其它电量均可uC (0 − ) = U0 ≠ 0，电容相当于恒压(b) t = 0+等效电路ι&L (0− ) = 0, 换路瞬间，电感元件可视为开路。

uC (0− ) = 0 , 换路瞬间 电容元件可视为短路 换路瞬间，电容元件可视为短路。

源，其值等于 源 其值等于 U0 ； u， C (0 − ) = 0电容相当于短(2) 由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值 i 、u 产生突变 U ι&C (0+ ) = ι&1(0+ ) = (ι&C ( 0 − ) = 0 ) C L R3. 换路瞬间， iL(0− ) =I0 ≠0 电感相当于恒流源， 其值等于 I0 ； iL (0− ) = 0 ，电感相当于断路。

24uL(0+ ) = u1(0+ ) = U(uL(0− ) = 0)u2 (0+ ) = 023返回42010-10-133.3 RC电路的响应第 3 章 作 业 (1)3.2.1 RC电路的零输入响应t=01 +第102页习题：K 2 R C3.2.5 325ERCdu C + uC = 0 dt-uCuC 0 + = U 0( )微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电 路中一般仅含一个储能元件。

）25 26返回解方程特征方程:RCdu C + uC = 0 dtuC = U 0 et−t RC= U 0e5τ−tττ = RC 具有时间的量纲, 称为时间常数。

1 RCp + 1 = 0 ⇒ p = − RCτ2τ3τ4τ时间常数决定了 过渡过程的快慢 过 过 的快慢τ1 > τ 2 τ1t微分方程通解：uC = Ae pt = Ae由初始条件uc(0+)=U0 确定A:−1 t RCuC 0.368U0 0.135U0 0.050U 0 0.018U0 0.007U 0uCuC U0U0A = U02736.8%U 0280.368U 0tτ2τ2OτOτ13.2.2 RC电路的零状态响应S t =0 U +R u−iu U′ ′′ 通解uC＝特解uC + 补函数uC′ 特解与已知函数U具有相同形式，设 uC = K+C uCU = RCOt−dK +K dt⇒K =U零状态：换路前电容储能为零，uc(0-)=0在电路中，通常取换路后的新稳态值[记做：uc(∞)] 作特解，故此特解也称为稳态分量或强制分量。

补函数为相应的齐次微分方程的通解1 t RCt ≥ 0时， U = RC29du C + uC dt′′ uC = Ae pt = Ae30−52010-10-13′′ ′ 通解uC＝特解uC + 补函数uCuc = U − Ue−tuRC稳态分量u′ CU′ ′′ uC = uC + uC = U + Ae由初始条件 uC (0 + ) = uC (0 − ) = 0 可得 ( (−1 t RC= U − Ue−tτ0.632U uCOA = −U− 1 t RC )τ = RC 当t = τ 时:u (τ ) = U × 63 . 2 0 Eτ′′ uCt暂态分量uC = U + Ae−1 t RC= U (1 − eu" C 随时间变化，故通常称为自由分量或暂态分量。

31 32uCt0τ02τ3τ−U4τ5τ6τ0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U 当 t≥3τ 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。

时间常数 τ 的讨论 τ 表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的 63.2% 时所需的时间。

U 0.632U经典法步骤:1. 根据换路后的电路列微分方程 2. 求特解（稳态分量）uCτ1 < τ 2 < τ3u'C3. 求齐次方程的通解(暂态分量） 4. 由电路的初始值确定积分常数u"Ct τ 1 τ2 τ 3 结论： τ 越大，曲线变化越慢，uC 达到稳态时间越长。