解析几何的解题思路、方法与策略

解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的， 一方面是回顾已学过的数学知识， 进一步巩固基础知识， 另一方面， 随着学生学习能力的不断提高， 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复， 而是有对所学知识进一步理解的需求， 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等， 所以高三数学复习既要“温故” ， 更要“知新” ， 既能引起学生的兴趣， 启发学生的思维， 又能促使学生不断提出问题， 有新的发现和创造， 进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容， 也是高考考查的重点．每年的高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解答题， 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用， 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查，重视对圆锥曲线定义的应用， 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位，这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” ．所以研究解析几何的解题思路，方法与策略，重视一题多解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中，在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1 已知直线l 过点(2,1)M - ，若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，O 为坐标原点. （1）设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）求OA OB +最小值； （3）求M MA B ⋅最小值．解：方法一：∵直线l 交x 轴负半轴，y 轴正半轴，设直线l 的方程为(2)1(0)y k x k =++>，∴）（0,12kk A -- )12,0(+k B ，（1）∴422122)12(2≥++=+=k k k k S , ∴当1)22=k （时，即412=k ，即 21=k 时取等号，∴此时直线l 的方程为221+=x y .（2）3223211221+≥++=+++=+k k k k OB OA，当且仅当2k =时取等号； （3）4212)1)(11(24411222222≥++=++=+⋅+=⋅k kk k k k MB MA ， 当且仅当1k =时取等号； 方法二：设直线截距式为)0,0(1><=+b a b y a x ，∵过点(2,1)M -，∴112=+-ba （1）∵abb a -≥+-=22121， ∴822≥-⇒≥-ab ab ，∴42121≥-==∆ab b a S AOB ； （2）322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+baa b b a b a b a b a OB OA ；（3）5)12)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅ba b a b a b a MB MA422≥-+-=ab b a ．（3）方法三： θsin 1=MA ，θcos 2=MB ，∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θθθMB MA ，当且仅当12sin =θ时最小，∴4πθ=．变式1：原题条件不变，（1）求△AOB 的重心轨迹；（2）求△AOB 的周长l 最小值． 解：（1）设重心坐标为(,)x y ，且(,0)A a ，(0,)B b ，则3a x =，3b y =， 又∵112=+-ba ，∴13132=+-y x ， ∴2332312332)23(3123+-=+-+=+=x x x x x y ，该重心的轨迹为双曲线一部分； （2）令直线AB 倾斜角为θ，则20πθ<<，又(2,1)M -，过M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为,E F ,则θsin 1=MA ， θcos 2=MB ，θtan 1=AE ，θtan 2=BF ∴)20(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++=l 2sin 2cos )2cos 2(sin22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222θθθθθθθθθθθ-+++=++++=)420(12cot )2cot 1(22cot 3πθθθθ<<-+++=，令12cot -=θt ， 则t>0， ∴周长10)2(213≥++++=tt t l ∴32cot212cot=⇒=-θθ。

变式2：求AB OB OA -+的最小值．（留给读者参照变式1，自行解决）点评：由于三角函数具有有界性，均值不等式有放大和缩小的功能，在解析几何中遇上求最值的问题，可构建三角函数和均值不等式，合理地放大缩小，利用有界性，求得最值．圆锥曲线的最值问题， 解法一般分为两种: 一是几何法， 特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理非常巧妙; 二是代数法， 将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题， 然后利用基本不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值； 二、涉及到抛物线的相关题目和证明 例2 证明抛物线的焦点弦定值. 设直线AB ：2p x ty =+，与抛物线22y px =交于,A B 两点，则有如下一些结论： ①221p y y -=，2124p x x =；②12AB x x p =++22sin pθ=； ③112AF BF p +=； ④234OA OB p ⋅=-u u u r u u u r ． 证明：方法一：设),(),(2211y x B y x A .由⎪⎩⎪⎨⎧+==222pty x px y ，得0222=--p pty y ，044222>+=∆p t p . ① 221p y y -=，则44422224221222121p p p p y y p y p y x x ===⋅=. ② 作l AA ⊥1，l BB ⊥1，，假设11AA BB ≥，211p x AA AF +==，221px BB BF +==， 设1BAA θ∠=,∴p x x BF AF AB ++=+=21， ∵221212p y y pty y -==+，∴p p t p pp y y y y p p p y y AB ++=+-+=++=)24(21]2)[(212222212212221θθθ222sin 2)1sin cos (2p p =+=.方法二：2111sin 1sin 1sin y y B A BE AB -===θθθ22sin pθ===； ③p p x x p x x p x x p x p x BF AF 24)(2212111221212121=+++++=+++=+； ④ 2221212344p OA OB x x y y p p ⋅=+=-=-u u u r u u u r . 例3 已知A ，B 为抛物线2:2C y px =(0)p >上两点，且满足OA OB ⊥，O 为坐标原点， 求证：（1）A ，B 两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）直线AB 经过一定点．解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，易得2112y px =，2222y px =，又OA OB ⊥，则12120x x y y +=， ∴22221212124()y y p x x x x ==，∴ 2124x x p =， 2124y y p =-；（2） 方法一：由对称性，可知直线AB 过定点一定在x 轴上，取特值，得定点为(2,0)p ； 设直线AB 的方程为(2)y k x p =-(0)k ≠， 化简整理把x 代入抛物线2:2C y px =的方程，可得2202k y y pk p--=， 那么212242pky y p k p-==-，2124x x p =， ∴ 12120x x y y +=，则OA OB ⊥满足题意,表明直线AB 过定点(2,0)p . 方法二：易得直线AB 的斜率212122212112222y y y y pk y y x x y y p p--===-+-， ∴直线AB 的方程为11122()p y y x x y y -=-+，整理得2111212222y p p y x y y y y y p=-+++，即1212122y y p y x y y y y =+++，又∵ 2124y y p =-，∴ 直线AB 的方程为122(2)p y x p y y =-+，即得直线AB 过定点(2,0)p .方法三：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 方程为x ty m =+， 将其代入抛物线2:2C y px =的方程，得方程2220y pty pm --=，只需22480p t pm ∆=+>，∴21224y y pm p =-=-，解得2m p =，∴ 直线AB 的方程为2x ty p =+，即得直线AB 过定点(2,0)p .方法四：设直线OA 的方程为y kx =，由22y kxy px=⎧⎨=⎩，得交点为(0,0)O 和222(,)p p A k k， 又∵ OB 的方程为1y x k=-，同理可得2(2,2)B pk pk -， ①当1k ≠时，21AB k k k =-，∴ 直线AB 方程为222(2)1ky pk x pk k+=--， 即2222(2)111kx pk ky x p k k k =-=----，即得直线AB 过定点(2,0)p ；②当1k =，得(2,2)A p p ，(2,2)B p p -，∴AB 的方程为2x p =， 综上，由①②直线AB 过定点(2,0)p .点评：方法一是用特殊位置找结论，再证明，方法二、三、四是处理垂直关系的通法．类似地，过椭圆，双曲线的一个顶点Q 作QA QB ⊥，分别交椭圆，双曲线于,A B ，则直线AB 也 经过一定点．变式 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和圆2222:C x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，且圆2C 的面积为π．椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ，直线EA 、EB 与椭圆1C 的另一个交点分别是P 、M ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）（i ）设PM 的斜率为t ，直线l 斜率为l k ，求lk t 的值；（ii ）求△EPM 面积最大时直线l 的方程． 解：（1）依题意：1b =，则3a b =，∴椭圆方程为2219x y +=；（2）（i ）由题意知直线PE,ME 的斜率存在且不为0，PE⊥ME． 不妨设直线PE 的斜率为k （k>0），则PE ：1y kx =-，由22119y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22218919191k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩∴2221891(,)9191k k P k k -++ 用1k-去代k ，得222189(,)99k k M k k --++，则2PM 110k t k k -==由2211y kx x y =-⎧⎨+=⎩得：2222111k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或01x y =⎧⎨=-⎩， ∴22221(,)11k k A k k -++ ∴212l k k k -=，则5l k t=（ii ）由（i）可知：PE =EM =∴1S 2EPM∆=32221162()162()994829982k k k k k k k k ++==++++， 设1u k k =+，则2162162S 649(2)829EPM u u u u ∆==-++278=， 当且仅当183u k k =+=时去等号，221128()()49k k k k -=+-=，∴1k k -=AB ：212k y x k-=，所以直线l的方程为3y x =±． 例4 直线,AC BD 过抛物线24y x =的焦点F ，且AC BD ⊥，又点,,,A B C D 均在抛物线上，求 （1）求四边形ABCD 面积的最小值； （2）求AC BD +的最小值；（3）若M ，N 分别是,AC BD 的中点，求证：直线MN 过定点．解：（1））（0,1F 设直线)1(:-=x k y AC ，不妨设0>k .由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩ ，得0)2(22222=++-k x k x k , 0)1(16)44(44)2(422422>+=+=-+=∆k k k k .∴弦长22222)1(4114k k k k k AC +=+⋅+=.又∵直线)1(1:--=x ky BD .同理)1(42k BD += . ∴32)21(8)1(821A 22222≥++=+=⋅⋅=k k k k BD C S ABCD四边形，当且仅当1k =±时取等号.（2）++==+22)1(4k k BD AC )1(42k +2214()816k k=++≥，当且仅当1k =±时取等号． （3）设1122(,),(,)A x y C x y ，由（1）问所得方程22222(2)0(0)k x k x k k -++=≠，可得21222(2)k x x k ++=，设AC 中点00(,)M x y ，则2022k x k +=，02y k=，可得2222(,)k M k k +， 用1k -替换k ，易得2(12,2)N k k +-，则2(1)1MN k k k k =≠±-， 那么直线MN 的方程为22222()1k k y x k k k +-=--，化简得2(3),11ky x k k =-≠±-……（*）∴当1k ≠±时，直线MN 恒过点(3,0)；当1k =±时，即MN x ⊥轴，易得直线MN 的方程为3x =，恒过点(3,0). 综上，直线MN 恒过点(3,0)．点评：实际上，第（3）问从 直线MN 的方程化为（*）式较难，从得分的角度来讲，可以先从1k =±时得到定点(3,0)，再回到（*），虽不严密，但可节省时间．变式 已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F 过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P（1）求四边形ABCD 的面积的最小值； （2）求AC BD +的最小值；（3）若11A C BD ⊥于1F ，且11A C 、BD 的中点分别为P Q 、，求证：直线PQ 过定点．解：（1）方法一：（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+\，21221)32kBD x xk+=-==+；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为1k-，所以，2211132kACk⎫+⎪⎝⎭==⨯+四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k kS BD ACk k k k+24+=⋅⋅=≥=++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦当21k=时，上式取等号（ⅱ）当BD的斜率0k=或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S=综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625注：当BD的斜率存在时，也可这样求四边形ABCD的面积的最小值：方法二：设21t k=+，则(1,)t∈+∞，2222222124(1)24242(32)(23)(31)(21)61k t tS BD ACk k t t t t+=⋅⋅===++-++-22242496112511256()24t t t==≥⎛⎫+---+⎪⎝⎭，当112t=，即21k=时，上式取等号．方法三：判别式∆法，读者自己完成．（2）当BD斜率存在时，2222222111)1)()3223(32)(23)kAC BD kk k k k++++=++++，同上，当21k=，即1k=±时，上式取等号AC BD+的最小值为5，当BD斜率存在或等于零时，AC BD+>，综上，AC BD+；（3）设线段BD 的中点为00(,)Q x y ，则202332k x k =-+，02232ky k =+，则22232(,)3232k k Q k k -++，从而2232(,)2323kP k k --++，∴直线PQ 的方程为222253()233(1)23k k y x k k k +=++-+， 即253()3(1)5k y x k =+-……（*），显然过定点3(,0)5-，当21k =时，32(,)55P -，32(,)55Q --或32(,)55P --，32(,)55Q -，∴3:5PQ x =-适合（*）式， 综上，直线PQ 过定点3(,0)5-．点评：本题（1）问表明，求解解析几何的最值问题，常用到均值不等式法，二次函数法和判别式法；从以上几例的解析可以看出：应用焦点弦的性质不仅能使许多问题的解答快捷、方便，而且能够优化学生的思维品质，提高解决问题的能力．凡涉及弦长的问题， 常用根与系数的关系设而不求计算弦长(即应用弦长公式); 涉及弦长的中点问题时， 常用“点差法” 设而不求， 将弦所在直线的斜率、 弦的中点坐标联系起来， 相互转化． 同时还应充分挖掘题目的隐含条件， 寻找量与量之间的关系，并进行灵活转化，往往能避免求交点坐标等复杂运算．三、一道椭圆考题的证明和拓展例5 已知椭圆22143x y +=，有以下两个结论： ①若A ，B 为椭圆上两个点，OA OB ⊥，则2211712OAOB+=；②若椭圆两焦点为1F ，2F ，123F MF π∠=，则点M 的轨迹方程为22433x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭或22433x y ⎛++= ⎝⎭． 则以下说法正确的是（ ）（A ）①和②都不对 （B ）①和②都对 （C ）①不对，②对 （D ）①对，②不对 本题选D ，现笔者试对第①问给出不同的证法：解：方法一：当AB⊥x 轴时，∠ADX=∠BOX=45°，∴）（）（7212,7212B 7212,7212-A ，∴2211712OAOB+=， 当AB 不垂直于x 轴时：设),(),(2211y x B y x A ，设m kx y l AB +=:与椭圆联立得：(*)01248)34(222=-+++m kmx x k∴12121212()()0OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++=u u u r u u u r ,∴1212722+=k m①又△AOB 中，AB d OB OA S AOB ÷⋅=⋅=∆2121, 2222222222111OA OB AB d OA OB OA OB OA OB++===⋅⋅, 又12+=k m d 由①得712=d ，∴12712=d ∴2211712OAOB+=方法二（三角法）：如图，令AOx θ∠=，则2BOx πθ∠=+，则(cos ,sin )A m m θθ，(cos ,cos )B n n θθ-，代入椭圆方程，有22222222cos sin 143sin cos 143m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则2222221cos sin 431sin cos 43m n θθθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相加，有22111174312m n +=+=； 方法三（特值法）：当直线,OA OB 斜率为0或不存在时，22111174312OAOB+=+= 当直线OA 、OB 斜率都存在且不为0时，设直线OA 方程为kx y =∴1243222=+x k x ，∴2214312k x +=，∴22214312k k y +=，∴22243)1(12k k OA ++=，又∵OA⊥OB ∴直线OB 方程为x k y 1-=， ∴43)1(12143)11(1222222++=++=k k kk OB ， ∴127)1(12)1(7)1(124343112222222=++=++++=+k k k k k OBOA ；本问的一般性结论：已知椭圆22221x y a b+=，若A ，B 为椭圆上两个点，且满足OA OB ⊥，则22221111a bOAOB+=+． 变式1：是否存在一定圆与直线AB 相切解：方法一：设直线AB 的方程为y kx m =+，代入到椭圆方程22143x y +=， ∴0)3(48)43(222=-+++m kmx x k ， ∵OB OA ⊥，0)3)(43(16642222>-+-=∆m k m k ，∴3422+<k m ，22212143)3(4,438k m x x kkmx x +-=+-=+，∴0))((21212121=+++=+=⋅m kx m kx x x y y x x ， ∴0)()1(221212=++++m x x km x x k ，∴043843)1)(3(42222222=++-++-m km k k k m ， ∴0438*******22222222=++---+m k m m k k m m k ，∴01212722=--k m ，则221217m k =+， 设点O （0,0）到直线AB 的距离为d ，则71212=+=k m d ， 过O 作AB 的垂线，垂足为H ，设),(y x H ，则OH d =，∴71222=+y x ， ∴存在定圆71222=+y x 与直线AB 相切． 方法二：由例7的①问结论可得1271122=+OBOA，过O 作AB 的垂线，垂足为H ，那么 OH AB OB OA S AOB 2121=⋅=∆， ∴2222222222111712ABOA OB OHOA OBOA OBOAOB+===+=⋅⋅，∴7122=OH，设),(y x H ，∴71222=+y x ， ∴存在定圆71222=+y x 与直线AB 相切．拓展推广：（1）若A 、B 、C 、D 为椭圆4个点，直线AC ⊥BD 于坐标原点O ， 则671C1112222=+++ODO OBOA． 证明：由例6中①问结论可得结论正确；（2）若A 、B 、C 为椭圆上3个点，32π=∠=∠=∠AOC BOC AOB ， 则87C111222=++O OBOA． 证明：令θ=∠AOx ，则θπθπ+=∠+=∠34,32COx BOx ， r OC n OB m OA ===,,，∴)sin ,cos (θθm m A ⋅， ))32sin(),32cos((θπθπ++n n B ，))34sin(),34cos((θπθπ++r r C ， 代入椭圆得 13sin 4cos 2222=+θθm m ，则3sin 4cos 1222θθ+=m ， 同理 3)32(sin 4)32(cos 1222θπθπ+++=n ，3)34(sin 4)34(cos 1222πθθπ+++=r . ∴222111OCOBOA++3)34(sin )32(sin sin 4)34(cos )32(cos cos 222222θπθπθθπθπθ+++++++++=3cos 23sin 234sin 23cos 232222θθθθ+++= 87)cos (sin 21)cos sin 832222=+++=θθθθ（. 变式2：已知双曲线14322=-y x ，且OA OB ⊥， （1）求2211OBOA+的值；（2）若OA AB ⊥，求点H 的轨迹方程．解：（1）当OA x ⊥轴时，45AOx BOx ∠=∠=o， ∴)32,32()32,32(-B A ,∴62==OB OA ，∴2211112OAOB+=； 当AB 不垂直于x 轴时，设),(),(2211y x B y x A ，设m kx y l AB +=:联立双曲线方程得：222(43)63120(*)k x kmx m ----=，由0∆>，得22320m k -+>，∵OB OA ⊥，则02121=+y y x x ，有04312122222121=--+=+k m k y y x x ，∴221212m k =+ ①作OH AB ⊥于H ，设OH d =，在AOB ∆中，d AB OB OA S AOB⋅=⋅=∆2121，∴OB OA AB d ⋅=1， ∴22221OBOA AB d ⋅=， ∵2222222222111d OBOA ABOBOA OB OA OBOA=⋅=⋅+=+， 又12+=k m d ，∴由①可得32=d ，∴121111222==+d OBOA， 综上，2211OBOA+的值为112． （2）OH d ==H 的轨迹方程为12222==+d y x ，即2212x y +=．点评：本题从到实际复习中遇到的一个考题，尝试了用普通的解析法，和三角代换（应注意并非椭圆的三角参数方程），不同角度地证明了这个结论，并加以拓展和延伸，使之达到让学生们可以一题多解，一题多变，多题一解的目的，让复习过程得以升华．变式3：设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =左顶点M 到直线1x ya b+=的距离d =，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值． (Ⅰ)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b25b2＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. ………………3分（Ⅱ）证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故·＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1，解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB . 所以·＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. ………………8分 (Ⅲ)解：方法一 设直线OA 的斜率为k 0.当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k201＋4k 20.同理可求得⎩⎨⎧x 22＝4k 2k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)， 则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k 0＝0时，可求得S ＝1，故45≤S ≤1，故S 的最小值为45. ………………13分 方法二 由（2）知 ①当直线AB 的斜率不存在时，S =45；②当直线AB 的斜率存在时，(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，5m 2＝4(k 2＋1)， 2221616(41)(161),5k m k ∴∆=+-=+ 所以弦长AB =思路一 令214,t k=+则1,t ≥241,k t =-AB== AB ≤≤故45≤S ≤1，故S的最小值为45.思路二22221(44161)21414k k AB k k +++=≤=++所以 S ≤1. 在AOB ∆中，11225AOB S OA OB AB∆=⋅=⋅=≥5≥则4,5AOB S ∆≥ 故45≤S ≤1，故S 的最小值为45. 说明：一般性结论：已知椭圆22221x y a b+=，若A ，B 为椭圆上两个点，且满足OA OB ⊥，则（1）22221111a b OAOB+=+；（2）点O 到直线AB 的距离d =；（3AB ≤≤22221.2AOB a b S ab a b ∆≤≤+四、一道和椭圆切线方程有关考题的证明和拓展例6 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其四个顶点构成的四边形面积为若A 为椭圆C 上任意一点，过A 作圆O 222:x y r +=（0r b <≤）的切线l ，OP OA ⊥，且直线l 与OP 交于点P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求点P 的轨迹E ；（3）定义：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，过椭圆C 的左焦点弦BD 的端点分别作椭圆C 的切线1l ，2l ．求证：直线1l ，2l 的交点N 在定直线上． 解：（1）由顶点四边形面积，离心率12c e a ==， 解得2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，如图，设切点为M ，在Rt AOP ∆中，OM AP ⊥，由222OA OP AP +=，12AOP S AP OM ∆=⋅， 得222111OAOPOM+=，即2222200111x y x y r+=++……① 由OA OP ⊥，得000OA OP x x y y ⋅=+=u u u r u u u r ，又2200143x y +=，∴2222002212()34x y x y y x ++=+……②将②式代入①式，得轨迹22221111:134E x y r r⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0r <<P 的轨迹E 为椭圆；当r =P 的轨迹E为y =±，表示两条平行直线． （3）方法一：证明：设11(,)B x y ，22(,)D x y ， 当BD x ⊥轴时，3(1,)2B -，3(1,)2D --，由定义，在B ，D 处椭圆的切线方程分别为142x y -+=和142x y --=，交点(4,0)N -； 当BD 与x 轴不垂直时，设直线BD 斜率为k ，直线BD 的方程为(1)y k x =+． ∴11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，由定义，在B ，D 处椭圆的切线方程分别为11143x x y y +=和22143x x y y+=，解得121221121221214()4()4N y y k x x x x y x y kx x kx kx x kx --===--+--， ∴直线1l ，2l 的交点N 在定直线4x =-上．方法二：由定义，在B ，D 处椭圆的切线方程分别为11143x x y y +=和22143x x y y +=， 设00(,)Q x y ，则0101143x x y y +=，0202143x x y y+=， ∴直线BD 的方程为00143x x y y+=，又直线BD 过点(1,0)F -，∴14=-x ，∴40-=x方法三：本题第（3）问也可采用伸缩变换求得该定直线：设伸缩变为122='+'→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y x b y y a x x ，则有),(),(0000y x M y x '''→， ∵100=''+''y y x x ，再伸缩变换回去12020=+byy a x x ， 设),(00y x Q ，且QB ，QD 为切线，134:00=+yy x x l BD ，又l BD 过)0,1(-F ，∴140=-x ，∴40-=x ，得证．注：本题第（3）问涉及椭圆的上一点的切线方程，除了可以用常规的判别式∆和隐函数求导法则解决外，亦可用直线的参数证明．证明：由椭圆12222=+by a x C ：，设),(00y x M 在C 上那么过过M 的切线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数）， 代入椭圆C 得：1)sin 2cos 2()sin cos (2202200022222=+++++b y a x t b y a x t b a θθθθ ∵M 在C 上，∴1220220=+bya x∴0)sin 2cos 2()sin cos (202022222=+++t by a x t b a θθθθ ∴l 为椭圆在M 处的切线，∴上述二次方程042=-=∆ac b∵c=0，∴02=b ，∴0=b ，∴0sin 2cos 22020=+b y a x θθ， ∴0sin cos 2020=+bt y a t x θθ.又⎩⎨⎧-=-=0sin cos y y t x x t θθ, ∴0)()(200200=-+-by y y a x x x , ∴12020=+byy a x x ，证毕． 点评：本题第（2）问与例7的变式1的方法二都用到了三角形的面积不变法，应注意体会；本题第（3）问方法二求切点弦的方程，在圆、双曲线、抛物线中都有类似问题． 五、圆锥曲线弦中点问题的证明和拓展例7 已知A 1、A 2是椭圆)0(1C 2222>>=+b a by a x ：的左、右顶点，B 2、F 2分别为其上顶点和右焦点，过F 2作x 轴的重线交椭圆C 的上半部分于点D ，设θ=∠21DA A ，而椭圆C 的离心率为e ．（1）证明：22tan e -=θ； （2）当49tan -=θ，且121=∆DA A S 时，直线)0(:≠+k m kx l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，问：是否存在直线l 使得Q PB 2∆为等边三角形若存在，写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：在21DA A ∆中：a A A 221=，∵)0,(2c F ，112A A DF ⊥ ∴c x D =又∵D 在12222=+b y a x 上，代入解得到ab y D 2=又∵c a F A +=21c a F A -=22∴22223121tan b ac a ab c a DF F A DF A +=+==∠， 22222222tan b ac a a b c a DF F A DF A -=-==∠，∴222122212221tan tan 1tan tan )tan(tan DF A DF A DF A DF A DF A DF A ∠⋅∠-∠+∠=∠+∠=θ，222422222244242222222)(22))((1e c a a c a a c a a b a b ac a ac a b aca b ac a -=+--=+-=-+--++=， （2）方法一：由492tan 2-=-=e θ ， ∴3322=e ， 12122221==⋅⋅=∆b a b a S DA A ，∴89122===c a b ，∴1922=+y x ……①令),(11y x P ， ),(22y x Q ，设PQ 中点为M , 结合直线方程m kx y +=……② 联立①②09918)91(222=-+++m kmx x k ……（*）∴2219118k kmx x +-=+ 22219199km x x +-= 22222121919199118222k m m k m k m k km k m kx kx y y y M+=++-=++-⋅=++=+=，221919)(21k kmx x x M +-=+=由)1,0(2B 1-=⋅k k BM ， ∴)91,919(22k m k km M ++- ， ∴PQ M B ⊥2，∴kkm k m k km k m k M B 199********2-=---=+-+=⋅，其中 0≠k ， 得：km k k km 993=--，∴0893=++k km k ，∴01892=++m k (1)∵在（*）中，)19(36)99)(91(4)18(22222+-=-+-=∆m k m k km ，220,19m k ∆><+ ，1882>->-m m m 且，所以188m --<<. ∴2222222291)1)(19(6911)19(36k k m k k k m k PQ +++-=+++-=， 211k m BM +-=∴M B PQ 2321=⋅……（2），9812m k --=， 有：222221191)1)(19(33km k k m k +-=+++-，化简得：m m mm m k m -=--⋅=-++-1)8(3813)88(8)1()18(332，代入降次消元，解之可得0=m （舍去）或2-=m ， ∴9152=k ，∴315±=k ，∴2315:-±=x y l ， 即06153=+±x y ．方法二（对称性）：当l 不垂直于y 轴时，设)0(0:>=++A C By Ax l ，由对称性知：必有另一0:=++-'C By Ax l 也满足条件，两式相乘0)()(22=-+Ax C By ，整理得：0222222=+++-C BCy y B x A ……①设以2B 为圆心的圆222)1(2R y x B =-+：，整理得：012222=-+-+R y y x ……②又椭圆的方程9922=+y x ……③③-λ②：092)9()1(222=-++-+--R y y x λλλλ……④ 则由①与④等价知：2222991CR BC B A --==-=-λλλλλ……⑤ 2B 到l 与1l 的距离均为22B A C B d ++=，由Q PB 2∆：为等边三角形知R B A C B 2322+++……⑥ 联立⑤⑥，易知为不定方程，由于C B A ::可约简，不妨令：⑤=1，则有：12-=λA ……⑦λ-=92B ……⑧ , λ=BC ……⑨, 922--=λλR C ……⑩，由⑦+⑧：228A B +=，由⑧+2⑨+⑩：2222R C BC B λ=++,又由⑥故：2222224382R R B A C BC B ==+++λ,解得：6=λ，故：21,3,5-=-==C B A故0335:2=++y x l 或03352=--y x 即06315:=++y x l 或06315=--y x 20当l 垂直于y 轴时，设l 交C 于P ),(00y x ，由Q PB 2∆为等边三角形，知：33100=-y x ⑾又192020=+y x ⑿ 联立⑾⑿，解得：14130-=y ，故，1413:-=y l综上所述：06315:=++y x l 或06315=--y x 或1413-=y 方法三(点差法)，由点差法22ab k k OMPM -=⋅,设),(00y x M ，设直线l 的斜率为k ，则9100-=⋅x y k (1)l M B ⊥2，12-=⋅k k M B ，⋅-001x y 1-=k ……（2） 由)2()1(得：91100=-y y ∴810-=y ，代入（2）可得：k x 890= ∴81)89(:--=k x k y l ，再用“方法一”求解 方法四（极坐标方程）解：以B 为极点，y 轴负半轴方向为极轴，建立极坐标，系 设ρ=BP ， θ=∠PBA ，θρcos =∴BM , θρsin =PM ,θcot -=∴BP k 91·-=PA PB k k Θ APM k PA ∠==∴tan cot 91θ,sin sin 9cos AM θρθθ∴=⋅⋅，2=+=∴BM AM AB .2)cos 9sin (cos 2=+∴θθθρ ，即椭圆C 极坐标方程218cos 8cos 1θρθ=+，BP BQ =Θ，1)3(cos 8)3cos(182+--=∴πθπθρ，的两根为和021818)3cos(cos ρπθθ=+-∴x x ，81)3cos(cos =-⋅∴πθθ， θθθθθ22sin 81cos 81)sin 23cos 21(cos +=+⋅∴, 两边同除以θ2sin ，81cot 81cot 23cot 2122+=+θθθ，08123832=--⇒BP BP k k ， 解得31532±=k ，由对称性令31532-=k ，又60=∠BPQ Θ，由到角公式知：3153315321331532=⋅--+-=PQk 131532,31532+-=∴-=x y k BP Θ又，解得：)56141356561436153(----，P2315-==∴x y 即06315=--y x 由对称性,PQ ：06315=--y x 或06315=++y x点评：方法一中利用底边上的高和边长与底边高的长度关系是解决解析几何中等边三角形的常见方法；方法二利用了等边三角形的轴对称性质；方法三是点差法，特别适合圆锥曲线里的弦中点问题，可将弦的中点坐标和弦所在直线的斜率有效地结合起来以便减少运算的目的；方法四是利用教材4-4里的坐标系和参数方程里的极坐标方程解题，供学有余力的同学有选择性的掌握．六．比值问题例8. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，关于椭圆有以下四种说法：（1）设A 为椭圆上任一点，其到直线的距离分别为，则；（2）设A 为椭圆上任一点，分别与椭圆交于两点，则（当且仅当点A 在椭圆的顶点取等）；（3）设A 为椭圆上且不在坐标轴上的任一点，过A 的椭圆切线为，为线段上一点，且，则直线；（4）面积为的椭圆内接四边形仅有1个。