力距 转动定律 转动惯量

r dr
+

0
t
1 0 2 0 0t ( )t t 2 t 2
0 t
r R
3 R0 t 0 4 mg
2
例2
一质量为
m 、长为 l
的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
r
dr
dr l 2 O´
O´
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 处的质量元 dm dr dI r dm r dr
r
I 2
l/2
0
1 3 r dr l 12
例 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定 的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止 在水平位置，求它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。 （已知棒对O轴的转动惯量为 I 1 ml 2）
解：（1）计算棒所受重力对O轴的力矩
棒在下摆任意θ角时，质元dm所受重 力对O轴的力矩大小是 xdmg 棒所受重力对O轴的力矩
因与L无关，所以该式也是均质圆环对oz 的转动惯量。
1 2 2 I z m( R1 R2 ) 2
讨论：
（1）若内半径R1 =0，得均质实心圆柱体对oz 的转动惯量：
1 2 I z mR2 2
均质圆盘对oz 的转动惯量
（2）若圆筒壁很薄R1≈ R2 = R, 得薄圆筒对oz 的转动惯量：
薄圆柱壳的体积 薄圆柱壳的质量
dV 2rdrL, dm dV
2 3
薄圆柱壳对oz 的转动惯量
dI z r dm r 2 rdrL L 2 r dr
2
o
I z L2 r
R2 R1
3
1 4 4 dr L ( R2 R1 ) 2
均质圆筒对oz 的转动惯量
mi fi
转动惯量:
I mi ri
i
2
定轴转动定律
M I
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
三
转动惯量
I mi ri ,
2 i
I r dm
2
转动惯量的物理意义：转动惯性的量度 . o 木 铁 1、与转动惯量有关的因素：
其一端 O 点且垂直于该平面的转轴转动。若细棒与粗糙平面之间的
滑动摩擦系数为 m 。求此细棒停止其转动花多长的时间。 分析：
t
(t )
解：（1）求摩擦力矩
d dt
M I
M
0
+
df mdmg mgdr
dM f rdf mgrdr
dm dr dr
r
O.
2
如转轴过端点垂直于棒
1 ml 2 12
试比较大小
1 2 I r dr ml 0 3
l 2
例3 一质量为 m, 长为 L 的均质空心圆柱体（即圆筒）,其 内、外半径分别为 R1 和 R2 。求对几何轴 oz 的转动惯量 . z m dS 2rdr 解： 2 2
L( R2 R1 )
讨论
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
故
其中 Fz 对转轴的力矩为零，
对转轴的力矩 F
F Fz F
z
k
O
Fz
M z k r F M z rF sin
M M1 M 2 M 3
d
C
m
O
I I C md
2
例：圆盘对P 轴的转动惯量
P
R O m
1 2 2 I P mR mR 2
1 2 解：直杆部分对O轴转动惯量 I1 mL L 3
圆盘部分对O轴转动惯量
例4 右图所示刚体对经过棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量如 何计算？(棒长为L、质量为mL , 圆盘半径为R、质量为m0）
1 2 2 2 I z m( R1 R2 ) mR 2
均质细圆环对oz 的转动惯量
注意 四
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .
平行轴定理 1. 平行轴定理
正交轴定理
质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 I C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
Iz Ix Iy
例5：细圆环，已知均质细圆环对过中心垂直于环面的转动惯其直径的转动惯量为
1 2 I mR 2
回旋半径 R回：
2 I mR回
五. 转动定律的应用
①选择隔离体：平动物体、转动物体。
②受力分析：对转动物体分析力矩；对平动物体分析力。
绘出示力图。画出隔离体的加速度方向； ③取坐标系，坐标轴尽量顺着运动方向； ④对转动物体列转动定律方程， 对平动物体应用牛顿第二定律分量式方程； ⑤找出平动物体、转动物体之间的联系； ⑥ 利用其它的约束条件列补充方程； ⑦ 先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
3g d sind 2l
代入初始条件积分得
3g (1 cos ) l
3 R 8mg
2 0
2 3 M mgR 3
0
（4）受常力矩作用，作匀变角速转动

1 2 0 t t 2 0 t
4）力矩的单位只能用牛顿 米，而不能用焦耳。
二
转动定律
1）单个质点 m与转轴刚性连接
Ft mat mr M rF sin rFt 2 M rFt mr 2 M mr
2）刚体
M
O
z
r
Ft F
m

Fn
质量元受外力 Fi ，内力 f i
•刚体的质量 •转轴的位置 •刚体的质量分布 I小 I大
.o
.o
o′
环:质量m、半径R， 盘:质量m、半径R， I大 I小
质量连续分布刚体的转动惯量 对质量线分布的刚体： dm dl
j
I m r r dm
2 j j 2
dm
：质量元

：质量线密度
线分布
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度

dS
面分布
对质量体分布的刚体：dm ：质量体密度
dV
体分布
例1
I＝ mi ri
i 2
2m
B
A 0.6a
m
0.8a a
37° a
a a
2m
对AA’ 轴的转动惯量
m A'
B'
I AA ' 2ma 2ma 4ma
2 2
2
对BB’ 轴的转动惯量
I BB ' m(0.6a) 2 2 2m(0.8a) 2 2 2ma 2
3
O

xC
x
C
x
dm
xdm mgx M xdmg mg C
m
mg dmg
+
说明：重力对整个棒的合力矩和全部重力集中作用于 质心所产生的力矩一样。
（2）计算棒在下摆任意θ角时的角加速度和角速度
l 由于 xC cos ， 2
由转动定律得棒的角加速度
1 M mgl cos 2
mB B
mA (mB g M f / R) FT1 mA mB mC / 2
mB (mA mC 2) g M f R FT2 mA mB mC 2
例 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端
与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此竖直放置
的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
4-3 力矩
转动定律
转动惯量
一
力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 为由点O 到力的 平面内, r 作用点 P 的径矢 .
M
M
O
z
F 对转轴 Z 的力矩
r
F
*

M rF
d
P
M z Fr sin Fd
d
: 力臂
O
I 2 I 0 m0 d
2
1 2 （其中 I o mo R ） 2
1 1 2 2 2 I I1 I 2 mL L mo R mo ( L R) 3 2
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
2. 正交轴定理
对薄板状刚体：对板面内相互垂直的两个定轴的转动惯量之和
等于该刚体对通过两轴交点且垂直于板面的定轴的转动惯量。
df
⊙+
M f dM f mgrdr
L 0
水平面
L2 mg 2 L mgm 2
FT1 mA a
mB g FT2 mB a
RFT2 RFT1 M f J
A mA
FT1
C
mC FT2
a R
mB g M f R a mA mB mC / 2
转动定律应用举例
例
定轴O · m t R 绳 v0=0 h 已知： R =0.2 m ， m =1 kg ，0 0 ， h =1.5 m ，绳轮无相对滑动， 绳不可伸长，下落时间t=3s 求：轮对o轴的转动惯量
N
解：动力学关系 R (1), G (2) ·

T′ - T =
m
T
a
对轮： TR I
r