第一章本章优化总结

例4
某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 某人在塔的正东沿着南偏西 °的方向前进
米以后， 望见塔在东北方向， 米以后 ， 望见塔在东北方向 ， 若沿途测得塔的最大仰 角为30°，求塔高． 角为 ° 求塔高． 【分析】 构造出三角形，用正、余弦定理和三角形 分析】 构造出三角形，用正、 的相关知识求解． 的相关知识求解．
专题二 三角形形状的判定
判定三角形形状通常有两种途径： 判定三角形形状通常有两种途径： 1．利用正弦定理和余弦定理化边为角 如 a＝2RsinA，b＝ ．利用正弦定理和余弦定理化边为角(如 ＝ ， ＝ 2RsinB， ＝ 2RsinC)， c＝ ， ， 利用三角变换得出三角形内角之间的 关系进行判断， 关系进行判断 ， 此时应注意一些常见的三角等式所体现的 角的关系； 角的关系； a 2．利用正弦定理、余弦定理化角为边 如 sinA＝ ， cosA ．利用正弦定理、余弦定理化角为边(如 ＝ 2R b2＋ c2－a2 ＝ 等 )， ，通过代数恒等变换， 通过代数恒等变换， 求出三边的关系进行 2bc 判断． 判断．
由 2sinBsinC＝sinA 得 2sinBcosC＝sin(B＋C)， ＝ ＝ ＋ ， 所以 sin(B－C)＝0. － ＝ 因为－ ＜ － ＜ ， 因为－ π＜B－C＜π，所以 B－C＝0， － ＝ ， π π 所以 B＝C＝ ， 所以 A＝ ， ＝ ＝ ＝ 4 2 为等腰直角三角形． 即 △ ABC 为等腰直角三角形 ． a2＋ b2－ c2 法二： 法二：由 S＝ ＝ 得 2absinC＝a2＋ b2－ c2， ＝ 4
再由 2sinBsinC＝sinA 及正弦定理得 2bsinC＝a， ＝ ＝ ， a 所以 sinC＝ . ＝ 2b a 所以 a2＋ b2－ c2＝ 2ab· ， 所以 a2＋b2－ c2＝ a2， 2b 所以 b2＝ c2， 所以 b＝c. ＝ 再由 2absinC＝a2＋b2－ c2＝ 2abcosC， ＝ ， π 得 sinC＝cosC，所以 C＝ . ＝ ， ＝ 4 π π 即 B＝C＝ ， 所以 A＝ ， ＝ ＝ ＝ 4 2 为等腰直角三角形． 即 △ ABC 为等腰直角三角形 ．
点评】 【 点评 】
三角形形状的判断要从角度或边长之间的关系
上来判断，除了应用正余弦定理外，还要注意三角函数中 上来判断，除了应用正余弦定理外，
公式的灵活应用和三角函数性质的应用． 公式的灵活应用和三角函数性质的应用．
专题三 正、余弦定理的综合应用
在解三角形时，有些较复杂的问题常常需要正弦定理、 在解三角形时 ， 有些较复杂的问题常常需要正弦定理 、余 弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出结果， 弦定理交替使用 ， 尽管有时不是直接求出结果， 但为了过 则必须先求出，至于先用哪个定理， 渡 ， 则必须先求出 ，至于先用哪个定理， 则需具体问题具 体分析． 体分析．
点评】 【 点评 】
实际应用问题，关键要读懂，审清题意， 实际应用问题 ， 关键要读懂， 审清题意 ， 看用
什么知识解题，构造出相应的数学模型解答 ． 什么知识解题，构造出相应的数学模型解答．
章末综合检测

本章优化总结
知识体系网络
专题探究精讲
专题一 直接利用正余弦定理求解三角形
a b c 正弦定理 ＝ ＝ ＝ 2R 体现了三角形中的边角关 sinΑ sinB sinC 是边与角的和谐统一．正弦定理主要有两方面的应用： 系 ，是边与角的和谐统一 ．正弦定理主要有两方面的应用 ： 一是已知三角形的两个角与任意一边，求其他两边和一角； 一是已知三角形的两个角与任意一边 ，求其他两边和一角 ； 二是已知三角形的两边与其中一边的对角， 二是已知三角形的两边与其中一边的对角 ， 求另一边的对 从而进一步求出其他的边和角)． 角 (从而进一步求出其他的边和角 ． 从而进一步求出其他的边和角
例3
在 △ ABC 中 ，A，B，C 相对的边分别为 a，b，c， ， ， ， ， ，
设 a，b，c 满足条件 b2＋ c2－bc＝a2. ， ， ＝ (1)求 A 的值； 求 的值；
(2)若 a＝ 3且 b＝2 3cosC，求 tanC 的值 ． 若 ＝ 且 ＝ 的值． ，
【分析】 由已知条件直接应用余弦定理与正弦定 分析】 理．
熟知公式的变形， 熟知公式的变形 ，并能熟练应用是必需具备的
基本能力，可从平时的解题中多积累有关的知识 的知识． 基本能力， 可从平时的解题中多积累有关的知识．
专题四 解三角形在实际问题中的应用
在解三角形的实际应用题中，要理解题意 ， 在解三角形的实际应用题中 ，要理解题意，分清已知和所 根据题意画出示意图，抽象构造出三角形， 求 ， 根据题意画出示意图 ， 抽象构造出三角形， 确定解三 角形的方法．在演算过程中，要注意算法简练、算式工整 、 角形的方法．在演算过程中，要注意算法简练、算式工整、 计算准确和近似要求．对应用题中的有关名词、 计算准确和近似要求． 对应用题中的有关名词、 术语和符 要能正确理解． 号 ，要能正确理解．
又 ∵b＝2 3cosC，∴ 2sinB＝2 3cosC. ＝ ， ＝ ， ∴ sin(120°－C)＝ 3cosC， － ＝ 3 1 cosC＋ sinC＝ 3cosC. ∴ cos ＋ sin ＝ 3cos . 2 2
∴ sinC＝ 3cosC，∴ tanC＝ 3. ＝ ， ＝
点评】 【 点评 】
点评】 解斜三角形时， 【 点评】 (1)解斜三角形时，特别要注意已知两边及其中 解斜三角形时 一边对角的情况，此时三角形形状不确定，存在无解、 一边对角的情况 ， 此时三角形形状不确定 ， 存在无解 、一 两解三种可能．若用正弦定理， 解 、 两解三种可能 ．若用正弦定理 ， 求出某个角的正弦值 需要讨论是一解、两解还是无解，如法一； 后 ， 需要讨论是一解、 两解还是无解 ，如法一； 若用余弦 定理，可化为第三边的方程， 定理 ， 可化为第三边的方程 ，用判别式及正根条件来确定 是一解、两解还是无解，但法二计算量较法一略大一些． 是一解、两解还是无解，但法二计算量较法一略大一些． (2)正、 余弦定理是解斜三角形的重要依据 ， 但运用哪一个 正 余弦定理是解斜三角形的重要依据， 来解是有一定规律的，应加以总结． 来解是有一定规律的，应加以总结．
例1
在 △ ABC 中，a＝2 3，b＝6，A＝30°，求角 B ＝ ，＝ ， ＝ ，
及边 c.
【分析】 已知两边及其中一边的对角，用正、余弦定 分析】 已知两边及其中一边的对角，用正、
理均能解题． 理均能解题．
bsinA 6sin30° 3 法一： 由正弦定理， 【 解】 法一： 由正弦定理 ， sinB＝ 得 ＝ ＝ ＝ . 2 a 2 3 1 因为 a＜b，且 bsinA＝6× ＝ 3＜2 3＝b，所以 B 有两解， ＜ ， ＝ × ＜ ＝ ， 有两解， 2 B＝ 60°或 得 B＝60°或 120°. bsinC 6sin90° 当 B＝60°时， C＝90°，c＝ ＝ 时 ＝ ， ＝ ＝ ＝ 4 3； ； sin60° sinB 当 B＝120°时， C＝A＝30°，所以 c＝a＝2 3. ＝ 时 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 综上得 B＝60°，C＝4 3或 B＝120°，C＝2 3. ＝ ， ＝ 或 ＝ ， ＝
法二：由余弦定理， 法二：由余弦定理，得(2 3)2＝62＋ c2－ 2×6×c×cos30°， × × × ， 即 c2－6 3c＋24＝0. ＋ ＝ 所以 c＝3 3± 3，即 c＝4 3或 2 3. ＝ ， ＝ 或 a2＋ c2－ b2 12＋48－36 1 ＋ － 当 c＝4 3时， cosB＝ ＝ 时 ＝ ＝ ＝ ， 48 2 2ac 所以 B＝60°，C＝90°； ＝ ， ＝ ； 当 c＝2 3时， a＝c＝2 3， ＝ 时 ＝ ＝ ， 所以 C＝A＝30°，所以 B＝120°. ＝ ＝ ， ＝ 综上得 B＝60°，C＝4 3或 B＝120°，C＝2 3. ＝ ， ＝ 或 ＝ ， ＝
a2＋b2－ c2 ＝ 且 2sinBsinC＝ ＝ 例2 在 △ ABC 中 ， 面积 S＝ 4 sinA，试判定 △ ABC 的形状． ， 试判定△ 的形状．
【分析】 转化为角或边之间的关系，进而判断． 分析】 转化为角或边之间的关系，进而判断．
a2＋ b2－ c2 法一： 【 解】 法一： 由 S＝ ＝ ， 4 a2＋ b2－ c2 1 . 得 absinC＝ ＝ 2 4 所以 2absinC＝a2＋b2－ c2. ＝ 所以 2absinC＝2abcosC，所以 sinC＝cosC. ＝ ， ＝ π 因为 C∈(0，π)，所以 C＝ . ∈ ， ， ＝ 4
【 解】
依据题意画图， 为塔高， 前进， 依据题意画图，某人在 C 处， AB 为塔高 ，他沿 CD 前进， CD＝40 米，此时 ∠ DBF＝45°， 此时∠ ＝ ＝ ，
所测塔的仰角， 的距离最短时， 从 C 到 D 所测塔的仰角，只有 B 到 CD 的距离最短时 ，仰 AB 角才最大， 为定值． 角才最大 ，这是因为 tan∠AEB＝ ，AB 为定值 ．要求出 ∠ ＝ BE 塔高 AB， ， 必须先求 BE， ， 而要求 BE， ， 须先求 BD(或 BC)． 或 ． 在 △ BDC 中 ， CD＝40，∠ BCD＝30°，∠ DBC＝135°. ＝ ， ＝ ， ＝ CD BD 由正弦定理， 由正弦定理 ，得 ＝ ， sin∠ DBC sin∠ DCB ∠ ∠ 40sin30° ∴ BD＝ ＝ ＝ 20 2. sin135°
∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°， 又 ∵∠ ＝ － － ＝ ， ∴ 在 Rt△BED 中 ， △ 6－ 2 － BE＝BDsin15°＝20 2· ＝ ＝ ＝ 10( 3－1)． － ． 4 在 Rt△ABE 中 ，∠ AEB＝30°， △ ＝ ， 10 ∴ AB＝BEtan30°＝ (3－ 3)(米)． ＝ ＝ － 米． 3 10 故所求的塔高为 (3－ 3)米． － 米 3