2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷
浙江省绍兴市高考数学一模试卷
高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若全集U={-1，0，1，2}，P={x|x2-2x=0}，则∁U P=（）A. {-1，1}B. {0，2}C. {-1，2}D. {-1，0，2}2.已知i为虚数单位，则=（）A. -1B. 1C. -1+iD. 1+i3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. B. C. D.4.已知双曲线=1的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±2x5.函数y=（x3-x）ln|x|的图象是（）A. B.C. D.6.已知数列{a n}是等比数列，则“a5a6＜a42”是“0＜q＜1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（5≥n＞m≥1，p≥4），从中任取1个球（每个球取到的机会均等），设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则（）A. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）B. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）C. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）D. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）8.如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，若P，Q是圆O上两个动点，则的取值范围是（）A.B.C. [-5，0]D. [-5，-1]9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AB=AC=AA1，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当|B1M|最小时，∠AMB=（）A. B. C. D.10.已知数列{a n}满足：a1=，n∈N*，S n是数列{a n}的前n项和，且满足S100＜100，则f（x）不可能是（）A. f（x）=x2B. f（x）=x+-2C. f（x）=e x-x-1D. f（x）=ln x+x+1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.我国古代数学家贾宪使用了抽象分析法，在解决勾股问题时，他提出了“勾股生变十三图”．十三名指勾（a）、股（b）、弦（c）、股弦较（c-b）、勾股和（a+b）、勾弦和（a+c）、弦和和（c+（a+b））等等．如图，勾（a）、股（b）、弦（c）中，已知a+b=7，a+c=8，则c-b=______，c+（a+b）=______．12.若x，y满足约束条件则y的最大值为______．此约束条件所表示的平面区域的面积为______．13.已知多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0=______，a1=______．14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，b=c，且△ABC的面积是，则b=______，sin C=______．15.有甲乙丙三项任务，甲乙各需一人承担，丙需2人承担且至少一个是男生，现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是______．（用数字作答）16.函数f（x）=若a＞0＞b，且f（a）=f（b），则f（a+b）的取值范围是______．17.如图，M（1，0），P，Q是椭圆=1的点（Q在第一象限），且直线PM，QM的斜率互为相反数，设=2，则直线QM的斜率为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点，且与x轴两个相邻交点的距离为π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求sinθ的值．19.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且PA=AB=2，AD=3，E是线段BC上的动点，F是线段PE的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥平面ADF；（Ⅱ）若直线DE与平面ADF所成角为30°，求CE的长．20.已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a5+1，a23+1成等比数列．数列{b n}满足：b1+b2+…+b n=2n+1-2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令数列{c n}的前n项和为T n，且c n=，若对n∈N*，T2n≥T2k 恒成立，求正整数k的值；21.直线l：x-ty+1=0和抛物线C：y2=4x相交于不同两点A，B．（Ⅰ）求实数t的取值范围；（Ⅱ）设AB的中点为M，抛物线C的焦点为F．以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足，求直线l的方程．22.已知函数f（x）=2ln（ax+b），其中a，b∈R．（Ⅰ）若直线y=x是曲线y=f（x）的切线，求ab的最大值．（Ⅱ）设b=1，若方程f（x）=a2x2+（a2+2a）x+a+1有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（ln≈0.223）．答案和解析1.【答案】A【解析】解：全集U={-1，0，1，2}，P={x|x2-2x=0}={0，2}，则∁U P={-1，1}．故选：A．化简集合P，根据补集的定义写出∁U P．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是半圆锥体，如图所示；且底面圆的半径为2，高为2；所以该锥体的体积为：V=•π•22•2=．故选：C．根据三视图知该几何体是半圆锥体，结合图中数据求得该锥体的体积．本题考查了根据三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解∵取一个焦点坐标为（0，），渐近线方程为：y=±x，∵焦点到渐近线的距离为1，∴=b=1，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号进行排除是解决本题的关键．【解答】解：f（-x）=-（x3-x）ln|x|=-f（x），函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，函数的定义域为{x|x≠0}，由f（x）=0，得（x3-x）ln|x|=0，即（x2-1）ln|x|=0，即x=±1，即函数f（x）有两个零点，排除D，f（2）=6ln2＞0，排除A，故选C．6.【答案】B【解析】解：已知数列{a n}是等比数列，由a5a6＜a42，可得：a42q3＜a42，即q3＜1，所以q＜1且q≠0，又”q＜1且q≠0“是“0＜q＜1”的必要不充分条件，所以“a5a6＜a42”是“0＜q＜1”的必要不充分条件，故选：B．由等比数列的通项公式得：a5a6＜a42，由不等式的解法得：a42q3＜a42，即q3＜1，所以q＜1且q≠0，由充分必要条件得：”q＜1且q≠0“是“0＜q＜1”的必要不充分条件，得解．本题考查了等比数列的通项公式及不等式的解法，充分必要条件，属中档题7.【答案】D【解析】解：设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球（每个球取到的机会均等），设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则ξ1的可能取值为0或1，P（ξ1=0）=0.9，P（ξ1=1）=0.1，∴E（ξ1）=0×0.9+1×0.1=0.1，D（ξ1）=（0-0.1）2×0.9+（1-0.1）2×0.1=0.09，ξ2的可能取值为0或1，P（ξ2=0）=0.5，P（ξ2=1）=0.5，∴E（ξ2）=0×0.5+1×0.5=0.5，D（ξ1）=（0-0.5）2×0.5+（1-0.5）2×0.5=0.25，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：D．设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球（每个球取到的机会均等），设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则ξ1的可能取值为0或1，P（ξ1=0）=0.9，P（ξ1=1）=0.1，由此求出E（ξ1）=0.1，D（ξ1）=0.09；ξ2的可能取值为0或1，P（ξ2=0）=0.5，P（ξ2=1）=0.5，E（ξ2）=0.5，D（ξ1）=0.25，由此能求出E（ξ1）＜E （ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．本题考查两个离散型随机变量的数学期望、方差的大小的比较，考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】A【解析】解：以O为坐标原点建立如图坐标系则P，Q在以O为圆心的单位圆上，设P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），又A（-1，-1），C（1，1）∴=（cosα+1，sinα+1），=（cosβ-1，sinβ-1）∴=（cosα+1）•（cosβ-1）+（sinα+1）•（sinβ-1）=cosαcosβ+cosβ-cosα-1+sinαsinβ+sinβ-sinα-1=（cosαcosβ+sinαsinβ）+（sinβ+cosβ）-（sinα+cosα）-2=cos（α-β）+sin（β+）--2当cos（α-β）=-1且sin（β+）=-1且sin（α+）=1时，则有最小值，此时α-β=（2k+1）π且β=π+2kπ且α=+2kπ，（k∈Z）∴能取到最小值-3-2，夹角范围是[90°，180]，故有最大值0，故选：A．通过图形可以看出夹角范围是[90°，180]，故有最大值0，最小值可以转化为三角函数利用三角函数的有界性处理．本题主要考查了向量的夹角与向量数量积的关系，向量的坐标运算，三角恒等变换等知识，用到了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量角的大小的求法，考查二面角，以及知二面角求未知边长的值.考查运算求解能力，是中档题．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠AMB的大小．【解答】解：如图所示：以A为原点，AB为x轴正方向，AC为y轴正方向，AA1为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设CN=b，BM=a，AB=AC=AA1=1，则N（0，1，b），M（1，0，a），A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0）,=（1，0，a），=（0，1，b），设平面AMN的法向量=（x，y，z），，取z=1，得=（-a，-b，1），因为,∴，故平面ABC的法向量可为=（0，0，1），∵平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，∴cos===，化简得3a2+3b2=1，∴当最小时，BM(a)最大，此时b=0，BM=a=，∴tan∠AMB===，∴∠AMB=．故选：B．10.【答案】C【解析】【分析】A．f（x）=x2，∴，可得：ln a n+1=2ln a n，可得数列{ln a n}是等比数列，首项为-ln2，公比为2．S100＜0＜100．B．f（x）=x+-2，可得a n+1=a n+-2，可得a2==，以此类推可得：a n=，可得：S100=50．C．f（x）=e x-x-1，f′（x）=e x-1，x＜0时，单调递减．a1=，n∈N*，可得a2=--1∈（0.1，0.2），……，可得S100＜100．D．f（x）=ln x+x+1，在（0，+∞）上单调递增，a1=，n∈N*，通过计算可得a2∈（0.8，0.9），a3＞1.55，以此类推可得S100＞100．本题考查了数列递推关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解答】解：A．f（x）=x2，∴，可得：ln a n+1=2ln a n，∴数列{ln a n}是等比数列，首项为-ln2，公比为2．S100==-（2100-1）ln2＜0＜100．B．f（x）=x+-2，∴a n+1=a n+-2，可得a2==，以此类推可得：a n=，可得：S100==50＜100．C．f（x）=e x-x-1，f′（x）=e x-1，x＜0时，单调递减．a1=，n∈N*，则a2=--1∈（0.1，0.2），a3=-a2-1∈（0.1，0.2），……，可得S100＜100．D．f（x）=ln x+x+1，在（0，+∞）上单调递增，a1=，n∈N*，则a2=-ln2++1∈（0.8，0.9），a3=ln a2+a2+1≥a2+2-＞1.55，以此类推可得S100＞100．因此不满足S100＜100．故选C．11.【答案】1 12【解析】解：∵a+b=7，a+c=8，又a2+b2=c2∴∴a=8解可得，a=3，b=4，c=5∴c-b=1，c+（a+b）=12故答案为：1，12由a+b=7，a+c=8，结合a2+b2=c2，联立方程可求a，b，进而可求．本题主要考查了三角形中的基本运算，属于基础试题．12.【答案】【解析】解：根据题意，若x，y满足约束条件其表示的可行域为如图四边形ABCO及其内部，其中B（-，），A（-2，0），C（0，1），则y的最大值为，S四边形OABC=S△ABC+S△AOC=，故答案为：，．根据题意，作出不等式组表示的可行域，求出交点的坐标，据此分析可得答案．本题考查线性规划的应用，注意x、y满足的可行域，属于基础题．13.【答案】31 75【解析】解：对于多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=0，可得32=1+a0，则a0=31．a1即展开式（x+2）5-（x+1）5=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，中x的系数，为•16-=75，故答案为：31；75．在所给的等式中，令x=0，可得a0的值．a1即展开式（x+2）5-（x+1）5=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，x的系数，为•16-，计算求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．14.【答案】【解析】解：∵cos A=，∴sin A==，∵b=c，且△ABC的面积是，∴S△ABC=，∴，∴c=，b=，由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc cos A=2=，∴a==c，∴sin C=sin A=，故答案为：，．由已知结合同角平方关系可求sin A，然后结合S△ABC=可求b，c，然后余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc cos A可求a，c，进而可求．本题主要考查了同角平方关系，三角形的面积公式，正弦定理等知识的简单应用，属于基础试题．15.【答案】144【解析】【分析】本题考查分类分步计数原理，以及排列组合的综合应用，关键是分类，属于基础题．由题意，分两类，若丙选择一名男生一名女生，若丙选择两名男生，根据分类计数原理即可求出．【解答】解：若丙选择一名男生一名女生，甲乙任意选，故有C31C31A42=108种，若丙选择两名男生，甲乙任意选，故有C32A42=36种，根据分步计数原理可得共有108+36=144种，故答案为：144．16.【答案】[-1，+∞）【解析】解：设f（a）=f（b）=t，作出f（x）的图象，由图象知，t≥0，由f（a）=a2=t，得a=，由f（b）=-2b-3=t，得b=，则a+b=+=-t+-=-（t-2）-=-（-1）2-1，∵t≥0，∴≥0，则m=-（-1）2-1≤-1，即m=a+b≤-1，此时f（a+b）=f（m）=-2m-3≥2-3=-1，即f（a+b）的取值范围是[-1，+∞），故答案为：[-1，+∞）设f（a）=f（b）=t，用t表示a，b，然后计算a+b的范围，再次代入分段函数进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，根据函数值相等，设出相同变量t，并表示出a，b，求出a+b的范围是解决本题的关键．17.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.延长QM交椭圆于N点，则根据对称性，,所以,即.设出直线方程，把椭圆方程和直线方程联立，求出N,Q点的纵坐标，建立方程并解方程，即可得到答案.【解答】解：如图：延长QM交椭圆于N点，则根据对称性，,所以,即. 设直线MQ的方程为x=my+1,与椭圆方程联立，消去x得，解得,则由，代入整理得：,解得(舍去负值)，所以k==.故答案为.18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），与x轴两个相邻交点的距离为=•=π，解得ω=1；∵其图象经过点，∴cos（+φ）=-，解得φ=，∴函数f（x）=cos（x+）=-sin x．（Ⅱ）若=-sin（θ+），∴sin（θ+）=，当2kπ＜θ+＜+2kπ，k∈Z，即-+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z时，cos（θ+）=，sinθ=sin[（θ+）-]=sin（θ+）cos-cos（θ+）sin=×-×=；当+2kπ＜θ+＜π+2kπ，k∈Z，即+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z时，cos（θ+）=-，sinθ=sin[（θ+）-]=sin（θ+）cos-cos（θ+）sin=×+×=；综上，sinθ=或．【解析】（Ⅰ）根据题意求得函数的周期T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（Ⅱ）根据函数解析式求得sin（θ+）的值，再利用sinθ=sin[（θ+）-]求出三角函数值．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PB，PC的中点分别为M，N，连结AM，MN，ND，∵PA=AB，∴AM⊥PB，∵AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，且AD∩AM=A，∴PB⊥平面ADF．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知PB⊥平面AMND，在平面PBC内作EH∥PB，交MN于H，则EH⊥平面AMND，连结DH，则∠EDH是直线DE与平面ADF所成角，∵直线DE与平面ADF所成角为30°，∴∠EDH=30°，∵PA=AB=2，∴PB=2，∴EH=BM=，∵sin30°=，∴ED=2，∴EC2=ED2-CD2=4，∴EC=2．∴CE的长为2．【解析】（Ⅰ）取PB，PC的中点分别为M，N，连结AM，MN，ND，推导出AM⊥PB，AD⊥PB，由此能证明PB⊥平面ADF．（Ⅱ）推导出PB⊥平面AMND，在平面PBC内作EH∥PB，交MN于H，则EH⊥平面AMND，连结DH，则∠EDH是直线DE与平面ADF所成角，从而∠EDH=30°，由此能求出CE的长．本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a5+1，a23+1成等比数列，可得a1（a23+1）=（a5+1）2，即a1（a1+44+1）=（a1+9）2，解得a1=3，即a n=3+2（n-1）=2n+1；数列{b n}满足：b1+b2+…+b n=2n+1-2，可得b1=2，b n=2n+1-2-2n+2=2n，（n≥2），对n=1也成立，则b n=2n，n∈N*；（Ⅱ）T2n=[++…+]-（++…+）=（-+-+…+-）-=-+（-），T2n+2-T2n=（--+）=（-）=（1-），设d n=，d n+1-d n=-=＜0，可得d n为递减数列，且d1，d2，d3＞1，d4＜1，…，可得T4-T2＜0，T6-T4＜0，T8-T6＜0，T10-T8＞0，…，则{T2n}中T8取得最小值，T2n≥T2k恒成立，可得k=4．【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和，考查数列的单调性和不等式恒成立问题解法，属于较难题．（Ⅰ）由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，可得首项，可得a n=2n+1；再由数列递推式可得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）运用裂项相消求和和等比数列的求和公式，可得T2n，判断单调性，结合不等式恒成立问题解法，可得k的值．21.【答案】解：（Ⅰ）由，消去x得y2-4ty+4=0，△=（-4t）2-16＞0，解得t＜1或t＞1，故t的范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），（Ⅱ）等价于|MN|=2|NF|，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则y1+y2=4t，x1+x2=4t2-2，∴x0==2t2-1，y0==2t，即M（2t2-1，2t），又直线FN：y=-tx+t，与x-ty+1=0联立，解得N（，），∴|MN|2=（（-2t2+1）2+（-2t）2=[]2+（）2，==，又|NF|2=，则由|MN|=2|NF|，得=，解得t=±．∴直线l的方程为x±y+1=0．【解析】（Ⅰ）根据判别式即可求出t的范围，（Ⅱ）等价于|MN|=2|NF|，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），根据韦达定理，点与点的距离，即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，韦达定理，距离的计算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）设直线y=x和y=f（x）相切于点P（x0，2ln（ax0+b）），∵f′（x）=，则f′（x0）==1，故ax0+b=2a（a＞0），又P在切线y=x上，故2ln（ax0+b）=x0，故x0=2ln（ax0+b）=2ln2a，b=2a-ax0=2a-2a ln2a，故ab=2a2-2a2ln2a（a＞0），设g（a）=2a2-2a2ln2a（a＞0），则由g′（a）=2a（1-2ln2a）＞0，解得：0＜a＜，故g（a）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（a）max=g（）=，故ab的最大值是；（Ⅱ）原方程即为2ln（ax+1）=（ax+1）2+a（ax+1），设ax+1=t，则上述方程等价于2ln t=t2+at（t＞0），设p（t）=2ln t-t2-at（t＞0），则函数p（t）要有2个不同的零点，∵p′（t）=-2t-a在（0，+∞）递减，且p′（t）=0在（0，+∞）上存在唯一实根t0，即p′（t0）=0，即at0=2-2，故当t∈（0，t0）时，p′（t）＞0，当t∈（t0，+∞）时，p′（t）＜0，故p（t）在（0，t0）递增，在（t0，+∞）递减，若a＞0，则t0∈（0，1），p（t）≤p（t0）=2ln t0--（2-2）=2ln t0+-2＜0，不合题意，舍，若a＜0，则t0∈（1，+∞），当t∈（0，1）时，则p（t）=2ln t-t2-at＜2ln t+|a|，取t1=，则p（t1）＜0，当t∈（1，+∞）时，则p（t）=2ln t-t2-at＜2（t-1）-t2-at＜-t2+（2-a）t，取t2=2+|a|，则p（t2）＜0，由此t1＜t0＜t2，且p（t1）＜0，p（t2）＜0，要使函数p（t）=2ln t-t2-at（t＞0）有2个不同的零点，则只需p（t0）=2ln t0--at0＞0，故只需p（（t0）=2ln t0--（2-2）=+2ln t0-2＞0，∵p（（t0）=+2ln t0-2是关于t0的增函数，且p（1）=-1＜0，p（）=2ln-＞0，故存在m∈（1，）使得p（m）=0，故当t0＞m时，p（t0）＞0，∵a=-2t0是关于t0的减函数，故a=-2t0＜-2m，又-2m∈（-，0），故a的最大整数值是-1．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合切线方程得到ab=2a2-2a2ln2a（a＞0），设g（a）=2a2-2a2ln2a（a＞0），根据函数的单调性求出函数的最大值即可；（Ⅱ）问题等价于2ln t=t2+at（t＞0），设p（t）=2ln t-t2-at（t＞0），根据函数的单调性求出a的最大整数值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
浙江省绍兴市高考数学一模试卷(理科)
浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高一上·临川期中) 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）A . {x|x=1}B . {x|x2=1}C . {1}D . {y|（y﹣1）2=0}2. （2 分） 复数数 z 满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则 z=（ ）A . ﹣2﹣2iB . ﹣2+2iC . 2﹣2iD . 2+2i3. （2 分） (2020·南昌模拟) 下列命题正确的是（ ）A.“”是“”的必要不充分条件B . 对于命题 ：，使得，则：均有C.若为假命题，则 ， 均为假命题D . 命题“若，则”的否命题为“若，则”4. （2 分） 如图程序框图中，若输入 m=4，n=10，则输出 a，i 的值分别是（ ）第 1 页 共 15 页A . 12，4 B . 16，5 C . 20，5 D . 24，65. （2 分） 已知系数为（）展开式中，奇数项的二项式系数之和为 64，则A . 71B . 70C . 21D . 496. （2 分） 函数 y=f（x）的部分图象如图所示，则 y=f（x）的解析式为（ ）展开式中含 项的A . y=sin(2x+ )+1第 2 页 共 15 页B . y=sin(2x+ )+1 C . y=2sin(2x+ )-1 D . 2y=sin(2x- )-1 7. （2 分） (2017·太原模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）A.B.C.D.8. （2 分） (2017 高二上·潮阳期末) 设 a＞0，b＞0，若 为（ ）是 4a 与 2b 的等比中项，则A.2 B.8 C.9第 3 页 共 15 页的最小值D . 109. （2 分） 在直角三角形 ABC 中，∠C= ， AB=2，AC=1，若 =，则A. B.5 C.6 D.9=（ ）10. （2 分） (2017·凉山模拟) 不等式组 公共点，实数 m 的取值范围是（ ），所表示的平面区域为 T，若直线 mx﹣y+m+1=0 与 T 有A . （ ，+∞）B . [ ，+∞）C . （1，+∞）D . [1，+∞）11. （2 分） 对任意实数 x,y ，定义运算，其中 a,b,c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算；已知，并且有一个非零常数 m ，使得对任意实数 x ，都有，则 m 的值是（ ）A . -4B.4C . -5D.612. （2 分） 求过点 A（2，1）和两直线 x﹣2y﹣3=0 与 2x﹣3y﹣2=0 的交点的直线方程是（ ）第 4 页 共 15 页A . 2x+y﹣5=0 B . 5x﹣7y﹣3=0 C . x﹣3y+5=0 D . 7x﹣2y﹣4=0二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高二上·兰州月考) 在数列｛an｝中，若 a1=1 ， an+1=2an+3 (n≥1)，则该数列的通项 an=________ ．14. （1 分） (2016 高三上·思南期中) 设 F1、F2 分别是双曲线 x2﹣且=0，则||=________．=1 的左右焦点，点 P 在双曲线上，15. （1 分） (2017·河西模拟) 设不等式组 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是________．表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，16. （1 分） (2017 高三上·泰州开学考) 已知函数 f（x）满足 f（x+1）=﹣f（x﹣1），且当 x∈（0，2）时， f（x）=2x ， 则 f（log280）=________．三、 解答题： (共 7 题；共 65 分)17. （10 分） (2017·东台模拟) 在三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，a=4bcosC， （1） 求角 B 的值；（2） 若，求三角形 ABC 的面积．18. （10 分） (2018 高二上·沈阳期末) 某高中生调查了当地某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成三组，并作出如下频率分布直方图：第 5 页 共 15 页附：临界值表参考公式：．0.15 2.0720.10 2.7060.05 3.8410.025 5.0240.010 6.635（1） 在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失则取，且的概率等于经济损失落入的频率）。
2016-2017年浙江省绍兴一中高三上学期数学期末试卷与解析
2016-2017学年浙江省绍兴一中高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分1．（4分）设全集U=R，集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）2．（4分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．4D．54．（4分）已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A．8B．6C．﹣8D．﹣65．（4分）在（x﹣y）10的展开式中，系数最小的项是（）A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项6．（4分）给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④7．（4分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若对于任意x∈R恒成立，且，则的值为（）A．B．0C．D．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点F，若A，B是该抛物线上的点，∠AFB=90°，线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．10．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ∥平面ABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，11-14题：每小题6分，15-17题：每题4分，共36分11．（6分）若复数z=4+3i，其中i是虚数单位，则复数z的模为，的值为．12．（6分）已知实数x，y满足，则点P（x，y）构成的区域的面积为，2x+y的最大值为，其对应的最优解为．13．（6分）过原点且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2﹣4y=0相交，则圆的半径为直线被圆截得的弦长为．14．（6分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则不同的选法共有种，2人所选课程至少有一门相同的概率为．15．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是．16．（4分）正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值．17．（4分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的值；（2）若a=，记△ABC的周长为y，试求y的取值范围．19．（15分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．20．（15分）已知f（x）=2xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．21．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．22．（15分）已知数列{a n}满足：a n2﹣a n﹣a n+1+1=0，a1=2（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证：＜1．2016-2017学年浙江省绍兴一中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分1．（4分）设全集U=R，集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【分析】先求出集合A，然后根据Venn图表示出集合的关系，最后根据数轴进行求解．【解答】解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}根据Venn图表达集合的关系是A⊆BB={x|x＜a}，在数轴上表示可得，必有a≥2，故选：C．2．（4分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．【解答】解：∵tanx=1，∴x=kπ+（k∈Z）∵x=kπ+（k∈Z）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C．3．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．C．4D．5【分析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，高是1，棱柱的高为2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣=1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：=4，故选：C．4．（4分）已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A．8B．6C．﹣8D．﹣6【分析】由题意可得，，解方程可得a1，再代入等比数列的通项公式可求．【解答】解：由题意可得，∴a1=4，a2=8故选：A．5．（4分）在（x﹣y）10的展开式中，系数最小的项是（）A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11项，奇数项为正，偶数项为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第6项．故选：C．6．（4分）给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【分析】利用空间两条直线关系的定义及判定方法，易判断①的对错；根据面面垂直的判定定理，可得到②的真假；根据空间两条直线垂直的定义及判定方法，可判断③的真假，结合面面垂直的判定定理及互为逆否命题同真同假，即可得到④的正误，进而得到结论．【解答】解：分别与两条异面直线都相交的两条直线，可能相交也可能异面，故A错误；根据面面垂直的判定定理，当一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面一定相互垂直，故B正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面，故C错误；由面面垂直的性质定理，当两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故D正确；故选：D．7．（4分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a||=﹣log a|x|，即可得出图象．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选：B．8．（4分）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若对于任意x∈R恒成立，且，则的值为（）A．B．0C．D．【分析】由题意得f（）是函数f（x）的最值，求得φ=kπ﹣．再根据f（）＞f（π），可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，从而求得f（）的值．【解答】解：由题意可得，f（）是函数f（x）的最值，故有2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣．再根据f（）=sin（π+φ）=﹣sinφ＞f（π）=sin（2π+φ）=sinφ，可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，故f（）=sin（﹣）=sin=，故选：D．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点F，若A，B是该抛物线上的点，∠AFB=90°，线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：C．10．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，R是直线AD上的点，满足PQ∥平面ABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（）A．B．C．D．【分析】分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出|PR|的最小值．【解答】解：如图，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），设P（1，1，m），（0≤m≤1），=λ（0≤λ≤1），Q（x0，y0，0），则（x0﹣1，y0，0）=λ（﹣1，1，0），∴，∴Q（1﹣λ，λ，0），∴=（﹣λ，λ﹣1，﹣m），连结B1C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BCC1B1是正方形，AB⊥平面BCC1B1，∴B1C⊥AB，B1C⊥BC1，又AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵PQ∥平面ABC1D1，∴B1C⊥PQ，又=（0，1，﹣1），∴=λ﹣1+m=0，∴λ=1﹣m，∴Q（m，1﹣m，0），=（m﹣1，﹣m，﹣m），设R（0，n，0），则=（m，1﹣m﹣n，0），∵PQ⊥RQ，∴=m（m﹣1）﹣m（1﹣m﹣n）=0，即n=2﹣2m，∴R（0，2﹣2m，0），=（﹣1，1﹣2m，﹣m），||===，∴当m=时，|PR|的最小值是．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，11-14题：每小题6分，15-17题：每题4分，共36分11．（6分）若复数z=4+3i，其中i是虚数单位，则复数z的模为5，的值为．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：|z|==5，===，故答案为：5，．12．（6分）已知实数x，y满足，则点P（x，y）构成的区域的面积为8，2x+y的最大值为11，其对应的最优解为（6，﹣1）．【分析】先画出满足条件的平面区域，从而求出三角形的面积，令z=2x+y，变形为y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，进而求出最大值和最优解．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，=×8×2=8，∴点P（x，y）构成的区域的面积为：S△ABC令z=2x+y，则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其对应的最优解为（6，﹣1），故答案为：8，11，（6，﹣1）．13．（6分）过原点且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2﹣4y=0相交，则圆的半径为2直线被圆截得的弦长为2．【分析】先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．【解答】解：过原点且倾斜角为60°的直线为y=x，整理圆的方程为x2+（y﹣2）2=4，圆心为（0，2），半径r=2，圆心到直线的距离为=1，则弦长l=2=2．故答案为：．14．（6分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则不同的选法共有36种，2人所选课程至少有一门相同的概率为．【分析】利用组合知识，对立事件的概率公式，即可求解．【解答】解：甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则不同的选法共有=36种；2人所选课程至少有一门相同，有36﹣=30种，∴2人所选课程至少有一门相同的概率为=，故答案为36；．15．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是（3，7] ．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得d＞0．根据满足a5≤6，S3≥9，可得a1+4d≤6，3a1+3d≥9，即﹣a1﹣d≤﹣3，0＜d≤1，a2≥3．即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴d＞0．∵满足a5≤6，S3≥9，∴a1+4d≤6，3a1+3d≥9，即﹣a1﹣d≤﹣3，相加可得3d≤3，即d≤1，又d＞0，∴0＜d≤1，﹣a1﹣d≤﹣3，∴a1≥3﹣d，∴a2≥3．∴a6=a1+5d=（a1+4d）+（﹣a1﹣d）≤8﹣1=7，a6=a2+4d＞3．可得：a6∈（3，7]．故答案为：（3，7]．16．（4分）正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值．【分析】由y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．则=x+=x+=f（x），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：x＞0，y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．则=x+=x+=f（x），f′（x）=1+，令f′（x）=0，解得x=．则可得x∈时，f′（x）＜0；x∈时，f′（x）＞0．∴x=，y=时，函数f（x）取得极小值即最小值+=，故答案为：．17．（4分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（，] ．【分析】由题意，A、B1、P、B2构成矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设出点O的坐标（x，y）与点P的坐标（a，b），求出x2+y2的取值范围，再求||的取值范围．【解答】解：根据题意知，A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示；设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）；由||=||=1，得，则；∵||＜，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2＜，∴1﹣y2+1﹣x2＜，∴x2+y2＞；①又∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1；同理x2≤1，∴x2+y2≤2；②由①②知＜x2+y2≤2，∵||=，∴＜||≤．故答案为：（，]．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的值；（2）若a=，记△ABC的周长为y，试求y的取值范围．【分析】（1）由已知及余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由正弦定理，得b=2sinB，，其中，利用三角函数恒等变换的应用化简可求周长，由利用正弦函数的性质即可计算得解．【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2=bc．∴由余弦定理得cosA==，∵A∈（0，π），∴A=；（2）由a=，A=及正弦定理，得，得b=2sinB，，其中，所以周长，由于，得，从而周长．19．（15分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【分析】（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC 取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD（6分）另解：在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则，，，（8分）设为面CDM的法向量，则即，解得令x=﹣1，可得又为面ACD的一个法向量∴∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．（12分）20．（15分）已知f（x）=2xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min，记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（ln x+1），令f′（x）=0，得x=，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递减；在上单调递增．（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xln x≤﹣x2+ax﹣3在x∈（0，+∞）能成立，等价于a≥2ln x+x+在x∈（0，+∞）能成立，等价于a≥（2ln x+x+）min．记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），则h′（x）=+1﹣==．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．21．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为4a．由点P的坐标为（1，），可得+=1，解出即可得出．（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a，从而△PQF2的周长为4a．由题意，得4a=8，解得a=2．∵点P的坐标为（1，），∴+=1，解得b2=3．∴椭圆C的方程为+=1．（2）∵PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）．∵P在椭圆上，∴+=1，解得y0=，即P（c，）．∵F1（﹣c，0），∴=（﹣2c，﹣），=（x1+c，y1）．由=λ，得﹣2c=λ（x1+c），﹣=λy1，解得x1=﹣c，y1=﹣，∴Q（﹣c，﹣）．∵点Q在椭圆上，∴（）2e2+=1，即（λ+2）2e2+（1﹣e2）=λ2，（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1，∵λ+1≠0，∴（λ+3）e2=λ﹣1，从而λ==﹣3．∵e∈[，]，∴≤e2≤，即≤λ≤5．∴λ的取值范围为[，5]．22．（15分）已知数列{a n}满足：a n2﹣a n﹣a n+1+1=0，a1=2（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证：＜1．【分析】（1）a1=2，，分别令n=1，2，即可得出a2，a3．﹣a n＞0．（2）作差即可证明：a n+1（3），利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）解：∵a1=2，，∴a2=22﹣2+1=3，同理可得：a3=7．（2）证明：，对n∈N*恒成立，＞a n．∴a n+1（3）证明：故=．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=单调性在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。
最新浙江省绍兴市高考数学一模试卷(解析版)
精品文档2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z• =（ ）A．25 B．5 C． D．3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（ ）A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：ξpqPqp若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（ ）A． B． C． D．16．已知实数 x，y 满足不等式组，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于 A，B 两点，若 =2 ，则 =（ ） A．2 B． C． D．与 p 有关 8．向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），精品文档精品文档则 • =（ ） A．0 B．4 C．8 D．169．记 min{x，y}=设 f（x）=min{x2，x3}，则（ ）A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发， 依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边 界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（ ）A．（ ， ） B．（，4） C．（ ， ） D．（ ， ）二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分） 11．双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为 ，离心率为 ． 12 ． 已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为，体积精品文档精品文档为．13．已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn，T（n n∈N*），若 Sn= n2+ n， b1=a1，b2=a3，则 an= ，Tn= ． 14．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，b= ，△ABC 的面积为，则 c= ，B= ．15．将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻， 则不同的排法种数为 ．（用具体的数字作答） 16．已知正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y 的最小值为 ．17．已知 a，b∈R 且 0≤a+b≤1，函数 f（x）=x2+ax+b 在[﹣ ，0]上至少存在一个零点，则 a﹣2b 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18．已知函数 f（x）=2sin2x+cos（2x﹣ ）． （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在（0， ）上的单调递增区间． 19．如图，已知三棱锥 P﹣ABC，PA⊥平面 ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC， M 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证：PC⊥BC． （Ⅱ）求二面角 M﹣AC﹣B 的大小．精品文档精品文档20．已知函数 f（x）= x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当 a=2，b=0 时，求 f（x）在[0，3]上的值域． （Ⅱ）对任意的 b，函数 g（x）=|f（x）|﹣ 的零点不超过 4 个，求 a 的取值范 围． 21．已知点 A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆 C： + =1（a＞b＞0）上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）P 是线段 AB 上的点，直线 y= x+m（m≥0）交椭圆 C 于 M、N 两点，若 △MNP 是斜边长为 的直角三角形，求直线 MN 的方程．22．已知数列{an}满足 an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）． （Ⅰ）证明：an＞1； （Ⅱ）证明： + +…+ ＜ （n≥2）．精品文档精品文档2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 【考点】交集及其运算． 【分析】由绝对值不等式的解法求出 A，由交集的运算求出 A∩B． 【解答】解：由题意知，A={x∈R||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2）， B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞）， 则 A∩B=[﹣1，2）， 故选 B2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z• =（ ）A．25 B．5 C． D． 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由【解答】解：∵z= =，∴z• =．故选：D．求解．3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．精品文档精品文档【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可． 【解答】解：a=0 时，f（x）=x2+b 为偶函数，是充分条件， 由 f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+b=f（x），得 f（x）是偶函数， 故 a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的充分不必要条件， 故选：A．4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（ ） A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】对 a 进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四 个不等式关系成立与否可得答案． 【解答】解：当 a∈（0，1）时，若 ab＞1，则 b＜0， 则 a＜b 不成立， 当 a∈（1，+∞）时，若 ab＞1，则 b＞0， 则 ab＜b 不成立，a＞b 不一定成立， 故选：A．5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：ξpqPqp若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（ ）A． B． C． D．1 【考点】离散型随机变量及其分布列． 【分析】由随机变量 ξ 的分布列的性质列出方程组，能求出结果． 【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）= ． ∴由随机变量 ξ 的分布列的性质得：，精品文档精品文档∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣ = ． 故选：C．6．已知实数 x，y 满足不等式组，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 【考点】简单线性规划． 【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几 何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解 a 值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：令 z=y﹣2x，则 z 表示直线 z=y﹣2x 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 结合图象可知，当 z=y﹣2x 经过点 A 时 z 最大，由可知 A（﹣4，﹣1），A（﹣4，﹣1）在直线 y+a=0 上，可得 a=1． 故选：B．7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于精品文档精品文档A，B 两点，若 =2 ，则 =（ ）A．2 B． C． D．与 p 有关 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0，利用向量 条件，求出 A，B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论． 【解答】解：设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=2pm，y1y2=﹣2p2， ∵ =2 ，∴（p﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣p，y2）， ∴x1=﹣2x2+p，y1=﹣2y2， 可得 y2=p，y1=﹣2p， ∴x2= p，x1=2p，∴==，故选 B．8．向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），则 • =（ ） A．0 B．4 C．8 D．16 【考点】平面向量数量积的运算． 【 分 析 】 向 量 ， 满 足 | |=4 ， • （ ﹣ ） =0 ， 即= ． |λ ﹣|==≥ 2 （ λ ∈ R ）， 化 为 ： 16λ2 ﹣2+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，必须△≤0，解出即可得出．【解答】解：向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，即 = ．若|λ ﹣ |==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，精品文档精品文档∴△=﹣64（ ﹣4）≤0，化为∴ • =8． 故选：C．≤0，9．记 min{x，y}=设 f（x）=min{x2，x3}，则（ ）A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 【考点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用． 【分析】求出 f（x）的解析式，对 t 的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧 函数的单调性和值域，从而得出答案． 【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x）， ∴当 x≤1 时，x2﹣x3≥0，当 x＞1 时，x2﹣x3＜0，∴f（x）=．若 t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3， f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3， 若 0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3， f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3， 当 t=1 时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2， f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2， ∴当 t＞0 时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t） ﹣f（﹣t）， 故 A 错误，B 错误；精品文档精品文档当 t＞0 时，令 g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2， 则 g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令 g′（t）=0 得﹣3t2+8t﹣1=0， ∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点 t1，t2， ∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数， ∴存在 t0＞t2，使得 g（t0）＜0， ∴|g（t0）|＞g（t0）， 故 C 正确； 令 h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t， 则 h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣ ）2+ ＞0， ∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0， ∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t）， 故 D 错误． 故选 C．10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发， 依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边 界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（ ）A．（ ， ） B．（，4） C．（ ， ） D．（ ， ）【考点】直线与平面所成的角． 【分析】作点 P 关于平面 BCC1B1 的对称点 P1，采用极限分析法． 【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC1B1 的入射点离点 B 距离 越近，入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值越大，精品文档如图所示，此时tan∠PHB=，结合选项，可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（，），故选：C．二、填空题（本大题共7小题，共36分）11．双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率e===2，故答案为：（﹣4，0），（4，0），212．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2+2，体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC ⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．∴该几何体的表面积S=++=2+2，体积V==．故答案为：2+2，．13．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}的前n项和为S n，T n（n∈N*），若S n=n2+n，b1=a1，b2=a3，则a n=3n﹣1，T n=．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．【分析】利用a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．b2=a3=8，公比q=4．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n=n2+n﹣=3n﹣1．﹣1n=1时也成立，∴a n=3n﹣1．b2=a3=8，公比q==4．∴T n==．故答案为：3n﹣1，．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面积为，则c=1+，B=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而可求cosB 的值，结合B的范围即可求得B的值．【解答】解：∵A=，b=，△ABC的面积为=bcsinA=×c×，∴解得：c=1+，∴由余弦定理可得：a==2，可得：cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：1+，．15．将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为288．（用具体的数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有A43=24种安排方法，此时共有6×24=144种不同的排法；②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22=2种情况，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有A42=12种安排方法，此时共有2×6×12=144种不同的排法；则共有144+144=288种不同的排法；故答案为：288．16．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．17．已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为[0，3] ．【考点】二次函数的性质．【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．【解答】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间[﹣，0]有零点，只要，或，其对应的平面区域如下图所示：则当a=1，b=﹣1时，a﹣2b取最大值3，当a=0，b=0时，a﹣2b取最小值0，所以a﹣2b的取值范围为[0，3]；故答案为：[0，3]．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．化简可得：f（x）=1﹣cos2x+cos2x+sin2x=1+sin（2x﹣）∴函数的最小正周期T=（Ⅱ）由，k∈Z，得≤x≤．∴f（x）在（0，）上的单调递增区间为（0，]．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO 即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB 的中点，所以MO∥PA，又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．设AC=2，则BC=2，MO=1，OH=，在Rt△MHO中，tan∠MHO=．二面角M﹣AC﹣B的大小为300．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，]；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a的取值范围[﹣2.2]．21．已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时，=，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），则a=2，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx﹣1=0，则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，①当MN为斜边时，=，解得：m=0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，即21m2+8m﹣4=0，解得：m=，m=﹣（舍），由△＞0，则m=，过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，∴直线MN的方程为y=x+，符合题意，综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．2=na n2+a n（n∈N*）．22．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+1（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明： ++…+＜（n≥2）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系可得（n+1）（a n+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）+1（na n+n+1），再根据a n＞0，可得a n+1﹣1与a n﹣1同号，问题得以证明，（Ⅱ）先判断出1＜a n≤2，再得到a n2≤，n≥2，利用放缩法得到≤2（精品文档﹣ ）+（ ﹣ + ），再分别取 n=2，3，以及 n≥4 即可证明． 【解答】证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）an+12﹣（n+1）=nan2﹣n+an﹣1，∴（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）=（an﹣1）（nan+n+1），由 an＞0，n∈N*，∴（n+1）（an+1+1）＞0，nan+n+1＞0，∴an+1﹣1 与 an﹣1 同号，∵a1﹣1=1＞0， ∴an＞1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）an+12=nan2+an＜（n+1）an2， ∴an+1＜an，1＜an≤2， 又由题意可得 an=（n+1）an+12﹣nan2， ∴a1=2a22﹣a12，a2=3a32﹣2a22，…，an=（n+1）an+12﹣nan2， 相加可得 a1+a2+…+an=（n+1）an+12﹣4＜2n，∴an+12≤，即 an2≤，n≥2，∴ ≤2（ + ）≤2（ ﹣ ）+（ ﹣ + ），n≥2，当 n=2 时， = ＜ ，当 n=3 时， + ≤＜ ＜，当 n ≥ 4 时 ， + +…+ ＜ 2 （ + + + ） + （ + + ﹣ ） =1+ + + + + ＜ ，精品文档精品文档从而，原命题得证精品文档精品文档2017 年 3 月 30 日精品文档。
浙江省绍兴市2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知x∈R，则“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．等比数列{a n}的公比为2，前n项和为S n，若1+2a2=S3，则a1=（）A．B．C．D．13．某快递公司快递一件物品的收费规定：物品不超过5千克，每件收费12元，超过5千克且不超过10千克，则超出部分每千克加收1.2元；…，现某人快递一件8千克物品需要的费用为（）A．9.6元B．12元C．15.6元D．21.6元4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣1，则f（log2）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．3 D． 45．已知直线l，m和平面α，β（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β6．已知sin（）=，则sin（）=（）A．﹣B．C．﹣D．7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、解答题（共5小题，满分65分）8．当且仅当x∈（a，b）∪（c，+∞）（其中b≤c）时，函数f（x）=2|x+1|的图象在g（x）=|2x﹣t|+x图象的下方，则c+b﹣a的取值范围为．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小（2）若a+b=4，c=3，求△ABC的面积．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a6=S3=6（1）求a n和S n（2）数列{b n}满足b n=，若b1，b2，b5成等比数列，求实数λ的值．11．已知四棱锥P﹣ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．（1）求证：AC⊥平面PCD；（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．12．已知a，b，c均为实数，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=bx+c}，B={x|f （x）=cx+a}，C={x|f（x）=ax+b}．（1）若A∩B≠∅，求证：a=c（2）当c=1时，若集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，求2a+b的最小值．2015年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知x∈R，则“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由x2＞x得x＞1或x＜0，则“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．2．等比数列{a n}的公比为2，前n项和为S n，若1+2a2=S3，则a1=（）A．B．C．D．1考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的通项公式可得a1的方程，解方程可得．解答：解：∵等比数列{a n}的公比为2，1+2a2=S3，∴1+4a1=，即1+4a1=7a1，解得a1=故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．3．某快递公司快递一件物品的收费规定：物品不超过5千克，每件收费12元，超过5千克且不超过10千克，则超出部分每千克加收1.2元；…，现某人快递一件8千克物品需要的费用为（）A．9.6元B．12元C．15.6元D．21.6元考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：将8千克分为5千克加3千克，从而求费用即可．解答：解：由题意得，某人快递一件8千克物品需要的费用为12+（8﹣5）×1.2=15.6（元）；故选C．点评：本题考查了函数实际问题中的应用，属于基础题．4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣1，则f（log2）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．3 D． 4考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先观察到，所以需要求x＜0时的f（x）解析式：可设x＜0，﹣x＞0，根据x＞0时的f（x）解析式及f（x）为奇函数即可求得x＜0时f（x）解析式f（x）=﹣2﹣x+1，从而根据对数与指数的运算即可求出f（）．解答：解：设x＜0，﹣x＞0，根据已知条件有：f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x）；∴x＜0时，f（x）=﹣2﹣x+1；；∴+1=﹣2．故选B．点评：考查奇函数的定义，掌握已知奇函数f（x）在x＞0（或x＜0）时的解析式，求其对称区间上的解析式的方法和过程，对数与指数的互化．5．已知直线l，m和平面α，β（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；若l∥α，m∥α，则l与m平行，异面或相交，可判断B；若l⊥α，m⊥β，α∥β，则l∥m，可判断C；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l∥α，m∥α，则l与m平行，异面或相交，故B错误；若l⊥α，m⊥β，α∥β，则l∥m，故C错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得D正确，故选：D．点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．6．已知sin（）=，则sin（）=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的诱导公式，结合余弦函数的倍角公式进行化简即可．解答：解：sin（）=cos[﹣（）]=cos（）=cos2（）=1﹣2sin2（）=1﹣2×（）2=1﹣=，故选：D．点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的诱导公式以及余弦函数的倍角公式是解决本题的关键．7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（共5小题，满分65分）8．当且仅当x∈（a，b）∪（c，+∞）（其中b≤c）时，函数f（x）=2|x+1|的图象在g（x）=|2x﹣t|+x图象的下方，则c+b﹣a的取值范围为（﹣，+∞）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再画出f（x）、g（x）的图象，结合题意可得＞﹣1，求出a、b、c的值，可得c+b﹣a的范围．解答：解：由于函数f（x）=2|x+1|=，g（x）=|2x﹣t|+x=，如图所示：由题意可得，＞﹣1，t＞﹣2．由题意可得，＞﹣1，即t＞﹣2．由求得c=t+2；由求得b=；由求得a=﹣2﹣t，∴c+b﹣a=+＞+=﹣，即c+b﹣a的范围是（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小（2）若a+b=4，c=3，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知及正弦定理整理可得：sin（A﹣B）=sin（C﹣A），结合三角形内角和定理即可求得A的值．（2）结合已知由余弦定理可得：b2+9﹣3b=16+b2﹣8b，从而解得b，由三角形面积公式即可求值．解答：解：（1）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且，由正弦定理可得：=，整理可得：sin（A﹣B）=sin（C﹣A），则：B+C=2A又A+B+C=180°得A=60°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵a=4﹣b，c=3，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即b2+9﹣3b=16+b2﹣8b，解得b=，∴bc=，∴S△ABC=bcsinA==．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a6=S3=6（1）求a n和S n（2）数列{b n}满足b n=，若b1，b2，b5成等比数列，求实数λ的值．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）数列{b n}满足b n=，可得b1，b2，b5．由b1，b2，b5成等比数列，可得=b1•b5，解出即可．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，∵a6=S3=6，∴，解得，∴a n=1+（n﹣1）=n，．（2）∵数列{b n}满足b n=，∴b1=S1=a1=1，b2=S3﹣λS1=﹣λ=6﹣λ；b5=S9﹣λS7=﹣=45﹣28λ．∵b1，b2，b5成等比数列，∴=b1•b5，∴（6﹣λ）2=1×（45﹣28λ），化为λ2+16λ﹣9=0，解得λ=．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知四棱锥P﹣ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．（1）求证：AC⊥平面PCD；（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据已知条件，取AD中点E，连接CE，容易得到CE⊥AD，从而便可得到CD=AC=，AD=2，所以AC⊥CD，同样通过已知条件PA=，PC=1，AC=，从而得到AC⊥PC，从而得出AC⊥平面PCD；（2）容易说明PD⊥平面PAC，从而得到平面PAD⊥平面PAC，然后作CN⊥PA，连接DN，从而便得到∠CDN是CD和平面PAD所成的角，要求这个角的正弦值，只需求出CN：在Rt△PAC中，由面积相等即可求出CN，CD前面已求出，从而可得出．解答：解：（1）证明：AB⊥BC，AB=BC=1；∴；AD=2，PD=1，∠APD=90°；∴AP=，又PC=1；∴AC2+PC2=AP2；∴AC⊥PC；如图，取AD中点E，连接CE；AD∥BC，∴CE⊥AD，CE=1；∴CD=，AD=2；∴AC⊥CD，CD∩PC=C；∴AC⊥平面PCD；（2）PC=PD=1，CD=；∴PD⊥PC；∠APD=90°，∴PD⊥PA，PA∩PC=P；∴PD⊥平面PAC，PD⊂平面PAD；∴平面PAC⊥平面PAD；∴过C作CN⊥PA，并交PA于N，连接DN，则：CN⊥平面PAD，∠CDN便是直线CD与平面APD所成角；在Rt△PAC中，AC=，PC=1，PA=；∴；∴，CD=；∴sin∠CDN=；∴CD与平面APD所成角的正弦值为．点评：考查直角三角形边的关系，等腰三角形底边上的中线也是高线，线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，直线与平面所成角的概念及找法．12．已知a，b，c均为实数，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=bx+c}，B={x|f （x）=cx+a}，C={x|f（x）=ax+b}．（1）若A∩B≠∅，求证：a=c（2）当c=1时，若集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，求2a+b的最小值．考点：二次函数的性质；元素与集合关系的判断；并集及其运算．专题：分类讨论；函数的性质及应用；集合．分析：（1）求出A={0}，由A∩B≠∅，得出0∈B，把x=0代入方程f（x）=cx+a，得出a=c；（2）c=1时，化简A、B、C，集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，得出A={0}，讨论B、C 的情况，求出对应2a+b的值，比较得出最小值．解答：解：（1）证明：∵方程ax2+bx+c=bx+c，∴ax2=0，解得x=0，即A={0}；又∵A∩B≠∅，∴0∈B；把x=0代入方程f（x）=cx+a，即得a=c；（2）当c=1时，A={x|ax2=0}，B={x|ax2+（b﹣1）x+（1﹣a）=0}，C={x|ax2+（b﹣a）x+（1﹣b）=0}，∵集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，∴a≠0，A={0}，∴0∈A∪B∪C；当0∈B时，1﹣a=0，解得a=1；∴B={x|x2+（b﹣1）x=0}={0，1﹣b}；∴C={x|x2+（b﹣1）x+1﹣b=0}={x|x=﹣}={}，且1﹣b≠0，△=（b﹣1）2﹣4（1﹣b）=0，解得b=﹣3，∴2a+b=2﹣3=﹣1；当0∈C时，1﹣b=0，解得b=1，∴C={0}；∴B={x|ax2+1﹣a=0}={，﹣}，此时a＞1或a＜0，∴2a+b=2a+1无最小值；当0∉B∪C时，若B=∅，则△=（b﹣1）2﹣4a（1﹣a）＜0，即（b﹣1）2＜4a（1﹣a）①；∴C={x|ax2+（b﹣a）x+（1﹣b）=0}，△=（b﹣a）2﹣4a（1﹣b）＞0，即（a+b）2＞4a②；∴2ab+2b﹣3a2＞1；若C=∅，则△=（b﹣a）2﹣4a（1﹣b）＜0，即（b﹣a）2＜4a（1﹣b）③；∴B={x|ax2+（b﹣1）x+（1﹣a）=0}，△=（b﹣1）2﹣4a（1﹣a）＞0，即（b﹣1）2＞4a（1﹣a）④；∴3a2﹣2ab﹣2b＞﹣1；若B≠∅且C≠∅时，则△=（b﹣1）2﹣4a（1﹣a）=0，即（b﹣1）2=4a（1﹣a）⑤；△=（b﹣a）2﹣4a（1﹣b）=0，即（a+b）2=4a⑥；∴2ab+2b﹣3a2=0；综上，2a+b的最小值是﹣1．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了集合的运算问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．。
2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷(解析版)
2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x ∈R ||x |＜2}，B={x ∈R |x +1≥0}，则A ∩B=（ ） A ．（﹣2，1]B ．[﹣1，2）C ．[﹣1，+∞）D ．（﹣2，+∞）2．已知i 是虚数单位，复数z=，则z•=（ ）A ．25B ．5C ．D ．3．已知a ，b 为实数，则“a=0”是“f （x ）=x 2+a |x |+b 为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知a ＞0，且a ≠1，若a b ＞1，则（ ） A ．ab ＞b B ．ab ＜b C ．a ＞bD ．a ＜b5．已知p ＞0，q ＞0，随机变量ξ的分布列如下：若E （ξ）=．则p 2+q 2=（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知实数x ，y 满足不等式组，若z=y ﹣2x 的最大值为7，则实数a=（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．7．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点M （p ，0）的直线交抛物线于A ，B 两点，若=2，则=（ ）A ．2B ．C ．D ．与p 有关8．向量，满足||=4， •（﹣）=0，若|λ﹣|的最小值为2（λ∈R ），则•=（）A．0 B．4 C．8 D．169．记min{x，y}=设f（x）=min{x2，x3}，则（）A．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）B．存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）C．存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t）D．存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB的中点为P，若光线从点P出发，依次经三个侧面BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1反射后，落到侧面ABB1A1（不包括边界），则入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（）A．（，）B．（，4）C．（，）D．（，）二、填空题（本大题共7小题，共36分）11．双曲线﹣=1的焦点坐标为，离心率为．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为，体积为．13．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}的前n项和为S n，T n（n∈N*），若S n=n2+ n，b1=a1，b2=a3，则a n=，T n=．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面积为，则c=，B=．15．将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为．（用具体的数字作答）16．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为．17．已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．21．已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．22．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+12=nan2+an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明： ++…+＜（n≥2）．2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】由绝对值不等式的解法求出A，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由题意知，A={x∈R||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，2），故选B2．已知i是虚数单位，复数z=，则z•=（）A．25 B．5 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．【解答】解：∵z==，∴z•=．故选：D．3．已知a，b为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可．【解答】解：a=0时，f（x）=x2+b为偶函数，是充分条件，由f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+b=f（x），得f（x）是偶函数，故a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b为偶函数”的充分不必要条件，故选：A．4．已知a＞0，且a≠1，若a b＞1，则（）A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对a进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四个不等式关系成立与否可得答案．【解答】解：当a∈（0，1）时，若a b＞1，则b＜0，则a＜b不成立，当a∈（1，+∞）时，若a b＞1，则b＞0，则ab＜b不成立，a＞b不一定成立，故选：A．5．已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：若E（ξ）=．则p2+q2=（）A．B．C．D．1【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】由随机变量ξ的分布列的性质列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）=．∴由随机变量ξ的分布列的性质得：，∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣=．故选：C．6．已知实数x，y满足不等式组，若z=y﹣2x的最大值为7，则实数a=（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解a值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：令z=y﹣2x，则z表示直线z=y﹣2x在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象可知，当z=y﹣2x经过点A时z最大，由可知A（﹣4，﹣1），A（﹣4，﹣1）在直线y+a=0上，可得a=1．故选：B．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（p，0）的直线交抛物线于A，B两点，若=2，则=（）A．2 B．C．D．与p有关【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+p，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2p2=0，利用向量条件，求出A，B的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为x=my+p，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2p2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=﹣2p2，∵=2，∴（p﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣p，y2），∴x1=﹣2x2+p，y1=﹣2y2，可得y2=p，y1=﹣2p，∴x2=p，x1=2p，∴==，故选B．8．向量，满足||=4，•（﹣）=0，若|λ﹣|的最小值为2（λ∈R），则•=（）A．0 B．4 C．8 D．16【考点】平面向量数量积的运算．【分析】向量，满足||=4，•（﹣）=0，即=．|λ﹣|==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+﹣4≥0对于λ∈R恒成立，必须△≤0，解出即可得出．【解答】解：向量，满足||=4，•（﹣）=0，即=．若|λ﹣|==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+﹣4≥0对于λ∈R恒成立，∴△=﹣64（﹣4）≤0，化为≤0，∴•=8．故选：C．9．记min{x，y}=设f（x）=min{x2，x3}，则（）A．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）B．存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）C．存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t）D．存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）【考点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求出f（x）的解析式，对t的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧函数的单调性和值域，从而得出答案．【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x），∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，∴f（x）=．若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0，|f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3，f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3，当t=1时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0，|f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2，f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2，∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t）﹣f（﹣t），故A错误，B错误；当t＞0时，令g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2，则g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）=0得﹣3t2+8t﹣1=0，∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正确；令h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t，则h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣）2+＞0，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0，∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t），故D错误．故选C．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB的中点为P，若光线从点P出发，依次经三个侧面BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1反射后，落到侧面ABB1A1（不包括边界），则入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（）A．（，）B．（，4）C．（，）D．（，）【考点】直线与平面所成的角．【分析】作点P关于平面BCC1B1的对称点P1，采用极限分析法．【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面BCC1B1的入射点离点B距离越近，入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值越大，如图所示，此时tan∠PHB=，结合选项，可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（，），故选：C．二、填空题（本大题共7小题，共36分）11．双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率e===2，故答案为：（﹣4，0），（4，0），212．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2+2，体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC ⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．∴该几何体的表面积S=++=2+2，体积V==．故答案为：2+2，．13．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}的前n项和为S n，T n（n∈N*），若S n=n2+n，b1=a1，b2=a3，则a n=3n﹣1，T n=．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．【分析】利用a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．b2=a3=8，公比q=4．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：a1=2=b1，=n2+n﹣=3n﹣1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1n=1时也成立，∴a n=3n﹣1．b2=a3=8，公比q==4．∴T n==．故答案为：3n﹣1，．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面积为，则c=1+，B=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而可求cosB 的值，结合B的范围即可求得B的值．【解答】解：∵A=，b=，△ABC的面积为=bcsinA=×c×，∴解得：c=1+，∴由余弦定理可得：a==2，可得：cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：1+，．15．将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为288．（用具体的数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有A43=24种安排方法，此时共有6×24=144种不同的排法；②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22=2种情况，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有A42=12种安排方法，此时共有2×6×12=144种不同的排法；则共有144+144=288种不同的排法；故答案为：288．16．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．17．已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为[0，3] ．【考点】二次函数的性质．【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．【解答】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间[﹣，0]有零点，只要，或，其对应的平面区域如下图所示：则当a=1，b=﹣1时，a﹣2b取最大值3，当a=0，b=0时，a﹣2b取最小值0，所以a﹣2b的取值范围为[0，3]；故答案为：[0，3]．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．化简可得：f（x）=1﹣cos2x+cos2x+sin2x=1+sin（2x﹣）∴函数的最小正周期T=（Ⅱ）由，k∈Z，得≤x≤．∴f（x）在（0，）上的单调递增区间为（0，]．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB 的中点，∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB 的中点，所以MO∥PA，又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．设AC=2，则BC=2，MO=1，OH=，在Rt△MHO中，tan∠MHO=．二面角M﹣AC﹣B的大小为300．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，]；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a的取值范围[﹣2.2]．21．已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时，=，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），则a=2，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx﹣1=0，则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，①当MN为斜边时，=，解得：m=0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，即21m2+8m﹣4=0，解得：m=，m=﹣（舍），由△＞0，则m=，过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，∴直线MN的方程为y=x+，符合题意，综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．22．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+12=nan2+an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明： ++…+＜（n≥2）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系可得（n+1）（a n+1+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）（na n+n+1），再根据a n＞0，可得a n+1﹣1与a n﹣1同号，问题得以证明，（Ⅱ）先判断出1＜a n≤2，再得到a n2≤，n≥2，利用放缩法得到≤2（﹣）+（﹣+），再分别取n=2，3，以及n≥4即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）a n+12﹣（n+1）=nan2﹣n+an﹣1，∴（n+1）（a n+1+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）（na n+n+1），由a n＞0，n∈N*，∴（n+1）（a n+1+1）＞0，na n+n+1＞0，∴a n+1﹣1与a n﹣1同号，∵a1﹣1=1＞0，∴a n＞1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）a n+12=nan2+an＜（n+1）a n2，∴a n+1＜a n，1＜a n≤2，又由题意可得a n =（n +1）a n +12﹣na n 2，∴a 1=2a 22﹣a 12，a 2=3a 32﹣2a 22，…，a n =（n +1）a n +12﹣na n 2， 相加可得a 1+a 2+…+a n =（n +1）a n +12﹣4＜2n ，∴a n +12≤，即a n 2≤，n ≥2， ∴≤2（+）≤2（﹣）+（﹣+），n ≥2，当n=2时， =＜，当n=3时， +≤＜＜，当n ≥4时，++…+＜2（+++）+（++﹣）=1+++++＜， 从而，原命题得证2017年3月30日。
浙江省绍兴一中2017届高三上学期期末数学试卷 含解析
2016-2017学年浙江省绍兴一中高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分1．设全集U=R，集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）2．“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．54．已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A．8 B．6 C．﹣8 D．﹣65．在（x﹣y）10的展开式中，系数最小的项是（）A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项6．给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④7．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若对于任意x∈R恒成立，且，则的值为（）A．B．0 C．D．9．已知抛物线y2=4x的焦点F，若A，B是该抛物线上的点，∠AFB=90°，线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD 上的点，R是直线AD上的点，满足PQ∥平面ABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，11-14题：每小题6分，15-17题：每题4分，共36分11．若复数z=4+3i，其中i是虚数单位，则复数z的模为，的值为．12．已知实数x，y满足，则点P（x，y）构成的区域的面积为，2x+y的最大值为，其对应的最优解为．13．过原点且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2﹣4y=0相交，则圆的半径为直线被圆截得的弦长为．14．甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则不同的选法共有种，2人所选课程至少有一门相同的概率为．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是．16．正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值．17．在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的值；（2）若a=，记△ABC的周长为y，试求y的取值范围．19．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M 为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D ﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．20．已知f（x）=2xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．22．已知数列{a n}满足：a n2﹣a n﹣a n+1=0，a1=2+1（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证：＜1．2016-2017学年浙江省绍兴一中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分1．设全集U=R，集合A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x＜a}，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】先求出集合A，然后根据Venn图表示出集合的关系，最后根据数轴进行求解．【解答】解：A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}根据Venn图表达集合的关系是A⊆BB={x|x＜a}，在数轴上表示可得，必有a≥2，故选C．2．“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．【解答】解：∵tanx=1，∴x=kπ+（k∈Z）∵x=kπ+（k∈Z）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．4 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，高是1，棱柱的高为2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是3，斜边为，高是1，梯形的上底为：3﹣=1，棱柱的高为2，∴四棱柱的体积是：=4，故选：C．4．已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A．8 B．6 C．﹣8 D．﹣6【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得，，解方程可得a1，再代入等比数列的通项公式可求．【解答】解：由题意可得，∴a1=4，a2=8故选A5．在（x﹣y）10的展开式中，系数最小的项是（）A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11项，奇数项为正，偶数项为负，且第6项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第6项．故选C．6．给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间两条直线关系的定义及判定方法，易判断①的对错；根据面面垂直的判定定理，可得到②的真假；根据空间两条直线垂直的定义及判定方法，可判断③的真假，结合面面垂直的判定定理及互为逆否命题同真同假，即可得到④的正误，进而得到结论．【解答】解：分别与两条异面直线都相交的两条直线，可能相交也可能异面，故A错误；根据面面垂直的判定定理，当一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面一定相互垂直，故B正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面，故C错误；由面面垂直的性质定理，当两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故D正确；故选D7．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a||=﹣log a|x|，即可得出图象．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选B．8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若对于任意x∈R恒成立，且，则的值为（）A．B．0 C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意得f（）是函数f（x）的最值，求得φ=kπ﹣．再根据f（）＞f（π），可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，从而求得f（）的值．【解答】解：由题意可得，f（）是函数f（x）的最值，故有2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣．再根据f（）=sin（π+φ）=﹣sinφ＞f（π）=sin（2π+φ）=sinφ，可得si nφ＜0．故可取φ=﹣，故f（）=sin（﹣）=sin=，故选：D．9．已知抛物线y2=4x的焦点F，若A，B是该抛物线上的点，∠AFB=90°，线段AB中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选C．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD 上的点，R是直线AD上的点，满足PQ∥平面ABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出|PR|的最小值．【解答】解：如图，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），设P（1，1，m），（0≤m≤1），=λ（0≤λ≤1），Q（x0，y0，0），则（x0﹣1，y0，0）=λ（﹣1，1，0），∴，∴Q（1﹣λ，λ，0），∴=（﹣λ，λ﹣1，﹣m），连结B1C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BCC1B1是正方形，AB⊥平面BCC1B1，∴B1C⊥AB，B1C⊥BC1，又AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵PQ∥平面ABC1D1，∴B1C⊥PQ，又=（0，1，﹣1），∴=λ﹣1+m=0，∴λ=1﹣m，∴Q（m，1﹣m，0），=（m﹣1，﹣m，﹣m），设R（0，n，0），则=（m，1﹣m﹣n，0），∵PQ⊥RQ，∴=m（m﹣1）﹣m（1﹣m﹣n）=0，即n=2﹣2m，∴R（0，2﹣2m，0），=（﹣1，1﹣2m，﹣m），||===，∴当m=时，|PR|的最小值是．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，11-14题：每小题6分，15-17题：每题4分，共36分11．若复数z=4+3i，其中i是虚数单位，则复数z的模为5，的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：|z|==5，===，故答案为：5，．12．已知实数x，y满足，则点P（x，y）构成的区域的面积为8，2x+y的最大值为11，其对应的最优解为（6，﹣1）．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，从而求出三角形的面积，令z=2x+y，变形为y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，进而求出最大值和最优解．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，=×8×2=8，∴点P（x，y）构成的区域的面积为：S△ABC令z=2x+y，则y=﹣2x+z，当直线y=﹣2x+z过B（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其对应的最优解为（6，﹣1），故答案为：8，11，（6，﹣1）．13．过原点且倾斜角为60°的直线与圆x2+y2﹣4y=0相交，则圆的半径为2直线被圆截得的弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．【解答】解：过原点且倾斜角为60°的直线为y=x，整理圆的方程为x2+（y﹣2）2=4，圆心为（0，2），半径r=2，圆心到直线的距离为=1，则弦长l=2=2．故答案为：．14．甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则不同的选法共有36种，2人所选课程至少有一门相同的概率为．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】利用组合知识，对立事件的概率公式，即可求解．【解答】解：甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则不同的选法共有=36种；2人所选课程至少有一门相同，有36﹣=30种，∴2人所选课程至少有一门相同的概率为=，故答案为36；．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是（3，7] ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得d＞0．根据满足a5≤6，S3≥9，可得a1+4d≤6，3a1+3d≥9，即﹣a1﹣d≤﹣3，0＜d≤1，a2≥3．即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴d＞0．∵满足a5≤6，S3≥9，∴a1+4d≤6，3a1+3d≥9，即﹣a1﹣d≤﹣3，相加可得3d≤3，即d≤1，又d＞0，∴0＜d≤1，﹣a1﹣d≤﹣3，∴a1≥3﹣d，∴a2≥3．∴a6=a1+5d=（a1+4d）+（﹣a1﹣d）≤8﹣1=7，a6=a2+4d＞3．可得：a6∈（3，7]．故答案为：（3，7]．16．正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】由y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．则=x+=x+=f（x），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：x＞0，y=2﹣2x＞0，解得0＜x＜1．则=x+=x+=f（x），f′（x）=1+，令f′（x）=0，解得x=．则可得x∈时，f′（x）＜0；x∈时，f′（x）＞0．∴x=，y=时，函数f（x）取得极小值即最小值+=，故答案为：．17．在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（，] ．【考点】向量的模．【分析】由题意，A、B1、P、B2构成矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设出点O的坐标（x，y）与点P的坐标（a，b），求出x2+y2的取值范围，再求| |的取值范围．【解答】解：根据题意知，A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示；设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）；由||=||=1，得，则；∵||＜，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2＜，∴1﹣y2+1﹣x2＜，∴x2+y2＞；①又∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1；同理x2≤1，∴x2+y2≤2；②由①②知＜x2+y2≤2，∵||=，∴＜||≤．故答案为：（，]．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的值；（2）若a=，记△ABC的周长为y，试求y的取值范围．【考点】余弦定理．【分析】（1）由已知及余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由正弦定理，得b=2sinB，，其中，利用三角函数恒等变换的应用化简可求周长，由利用正弦函数的性质即可计算得解．【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2=bc．∴由余弦定理得cosA==，∵A∈（0，π），∴A=；（2）由a=，A=及正弦定理，得，得b=2sinB，，其中，所以周长，由于，得，从而周长．19．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M 为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D ﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC 取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD另解：在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则，，，设为面CDM的法向量，则即，解得令x=﹣1，可得又为面ACD的一个法向量∴∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．20．已知f（x）=2xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min，记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（ln x+1），令f′（x）=0，得x=，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递减；在上单调递增．（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xln x≤﹣x2+ax﹣3在x∈（0，+∞）能成立，等价于a≥2ln x+x+在x∈（0，+∞）能成立，等价于a≥（2ln x+x+）min．记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），则h′（x）=+1﹣==．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=λ．（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为4a．由点P的坐标为（1，），可得+=1，解出即可得出．（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a，从而△PQF2的周长为4a．由题意，得4a=8，解得a=2．∵点P的坐标为（1，），∴+=1，解得b2=3．∴椭圆C的方程为+=1．（2）∵PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）．∵P在椭圆上，∴+=1，解得y0=，即P（c，）．∵F1（﹣c，0），∴=（﹣2c，﹣），=（x1+c，y1）．由=λ，得﹣2c=λ（x1+c），﹣=λy1，解得x1=﹣c，y1=﹣，∴Q（﹣c，﹣）．∵点Q在椭圆上，∴（）2e2+=1，即（λ+2）2e2+（1﹣e2）=λ2，（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1，∵λ+1≠0，∴（λ+3）e2=λ﹣1，从而λ==﹣3．∵e∈[，]，∴≤e2≤，即≤λ≤5．∴λ的取值范围为[，5]．22．已知数列{a n}满足：a n2﹣a n﹣a n+1=0，a1=2+1（1）求a2，a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证：＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）a1=2，，分别令n=1，2，即可得出a2，a3．（2）作差即可证明：a n﹣a n＞0．+1（3），利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）解：∵a1=2，，∴a2=22﹣2+1=3，同理可得：a3=7．（2）证明：，对n∈N*恒成立，＞a n．∴a n+1（3）证明：故=．2017年3月22日。
2017年浙江高考数学模拟卷参考答案
2017年浙江省普通高等学校招生考试模拟卷参考答案数学（一）一、选择题1.答案B 。
解：[][)2,2,0,M N =-=+∞，[]0,2M N ∴=。
2.答案C.解：由题意知点A 、B 的坐标为(6,5)A 、(2,3)B -，则点C 的坐标为(2,4)C ， 则24i z =+，从而220z z z ⋅==。
3.答案B 。
解：因为向量b 在向量a 方向上的投影为2，则有2a b a=，即有6a b =。
则2()963a a b a a b -=-=-=。
4.答案A 。
解：由3)4(log 21-=f ，得(2)3f -=-，又)(x f 是奇函数，则有(2)3f =，即23a =，而0a >，故a =5.答案D 解法1：从6名候选人中选出3人，担任团生活委员的有155A =种不同的选举结果；担任团支部书记、团组织委员的有2520A =种不同的选举结果；故总共有520100⨯=种不同的选举结果。
解法2：从6名候选人中选出3人，不含甲的有3560A =种不同的选举结果； 从6名候选人中选出3人，含有甲的有21252240C A A =种不同的选举结果；故总共有6040100+=种不同的选举结果。
6.答案D. 解：475628a a a a +=⎧⎨=-⎩，得474728a a a a +=⎧⎨=-⎩，解得4742a a =⎧⎨=-⎩或4724a a =-⎧⎨=⎩。
若474,2a a ==-，则有1108,1a a =-=，此时1107a a +=-。
若472,4a a =-=，则有1101,8a a ==-，此时1107a a +=-。
综合有1107a a +=-。
7.答案C 解：在ABC ∆中，220sin sin sin sin A B a b A B A B <⇔<⇔<<⇔<，2212sin 12sin cos 2cos 2A B A B ⇔->-⇔>，故选C 。
2017届浙江省五校高三第一次联考文科数学试卷及答案
2017学年浙江省第一次五校联考数学（文科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
选择题部分(共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积h 表示台体的高如果事件A , B 互斥, 那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}21(),0,1(2),2x P y y x Q x y g x x ⎧⎫==≥==-⎨⎬⎩⎭则P Q 为（ ）A ．(]0,1B ．∅C ．()0,2D ．{}02．已知,a b 都是实数,那么“a b <”是“11a b>”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 3．函数2sin sin 4242x x y ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个单调递减区间为( ) ks5uA ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,πC ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[],2ππ4．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为( )A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤5．设变量,x y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．现有四个函数：①y x sin x =⋅;②cos y x x =⋅;③|cos |y x x =⋅; ④2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②① 7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos2Ac b c =+， 则ABC ∆的形状是( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12315a a a =，且1335511575253S S S S S S ++=，则2a =（ ） A.2 B.1C. 3D. 13912,x x ，且1201x x <<<，点(,)P m n 表示的平面区域内存在点00(,)x y 满足00log (4)a y x =+，则实数a 的取值范围是（ ）A．1(0,)(1,3)2B．(0,1)(1,3)C．1(,1)(1,3]2D．[3,)+∞10．对任意的实数12x>，1y>，不等式222241(1)(21)x ya y a x+≥--恒成立，则实数a的最大值是（）A．．4 C．2D．2非选择题部分 （共100分）二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11．若复数2(1)(1)(,z x x i x R i =-+-∈为虚数单位）为纯虚数，则x = ．12．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为 ．13．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ．ks5u14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，*n N ∀∈，有⎪⎩⎪⎨⎧+=++为偶数，为奇数的正整数是使其中为奇数n n k nn n n a a k a a a a )(2,1511若113a =，则2013a ＝ ．15．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398a a =-，则12341111a a a a +++= ． 16．已知(0,0)O ，(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，(cos ,sin )C γγ，若(2)0kOA k OB OC +-+=，(02)k <<，则cos()αβ-的最大值是 ．17．已知,,,a b c d 为常数，若不等式0b x d x a x c ++<++的解集为11(1,)(,1)32-- ，则不等式的解集为 ．ks5u三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数1()cos )cos 2f x x x x ωωω=+-，其中0ω>，()f x 的最小正周期为4π.（Ⅰ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x π=对称，求()y g x =图像的对称中心； （Ⅱ）若在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且(2)cos cos a c B b C -=⋅，求()f A 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知A B 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且AOB ∠=120︒，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足(1)OC OA OB λλ=+- (01)λ<<.（Ⅰ）求证:点C 在线段AB 上；（Ⅱ）求CM CN ⋅的取值范围.20．（本小题满分14分）数列{}n a 中，14,a =前n 项和n S 满足：1n n S a n +=+. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令121n n nb na -+=,数列{2n b }的前n 项和为n T .求证: *n N ∀∈,54n T <.ks5u 21．（本小题满分15分）已知函数22()1,()2,.f x x g x x ax x R =-=++∈（Ⅰ）若不等式()0g x >的解集是{|2x x >或1x <}，求不等式()()f x g x ≤的解集； （Ⅱ）若函数()()()2h x f x g x =++在(0,2)上有两个不同的零点12,x x ，求实数a 的取值范围.22． （Ⅰ）0a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对定义域内的任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()21215f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围．2017学年浙江省第一次五校联考数学（文科）答案一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。
浙江省绍兴市数学高考理数一模试卷
浙江省绍兴市数学高考理数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x∈R|＜2x＜8}，B={x∈R|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A . m≥2B . m≤2C . m＞2D . ﹣2＜m＜22. （2分）(2018·汉中模拟) 设复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·吉林月考) 甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A .B .C .D .4. （2分）若是等差数列的前n项和，则的值为（）A . 12B . 22C . 18D . 445. （2分）设双曲线﹣ =1（b＞0）与抛物线y2=8x交于两点A，B，且|AB|=8，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A .B .C . 4D .6. （2分）若，则a,b,c的大小关系是（）A . a<b<cB . b<c<aC . c<b<aD . c<a<b7. （2分）已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l 的距离为（）A .B . 1C .D .8. （2分）几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）（x﹣2y）6的展开式中，x4y2的系数为（）A . 15B . ﹣15C . 60D . ﹣6010. （2分） (2016高二上·宁远期中) 在△ABC中，若A=30°，B=60°，b= ，则a等于（）A . 3B . 1C . 2D .11. （2分） (2017高二下·安阳期中) 曲线y= ﹣上一点P（4，﹣）处的切线方程是（）A . 5x+16y﹣8=0B . 5x﹣16y+8=0C . 5x+16y+8=0D . 5x﹣16y﹣8=012. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知椭圆（）的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点满足，则椭圆的离心率取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·叶县期中) 等比数列{an}的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为________．14. （1分） (2017高三上·红桥期末) 执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i=________．15. （1分）已知正三棱锥P﹣ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为________16. （1分）已知点P（﹣2，﹣2），Q（0，﹣1），取一点R（2，m），使得PR+PQ最小，那么实数m的值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高一下·卢龙期中) 已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），| ﹣ |= ．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．18. （5分）(2017·石家庄模拟) 交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量10 5 5 20 15 5以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．19. （10分）(2017·陆川模拟) 已知矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，BE=CF=1，BC=2，AB=CD=3，P、Q分别为DE、CF的中点，现沿着EF翻折，使得二面角A﹣EF﹣B大小为．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）求二面角A﹣DB﹣E的余弦值．20. （15分） (2019高一上·应县期中) 已知函数，（1）写出函数的解析式；（2）若直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围；（3）若直线与曲线在内有交点，求的取值范围.21. （10分）(2017·运城模拟) 已知函数f（x）= ，曲线y=f（x）在点（e2 ， f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+ •lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．22. （10分）(2018·黄山模拟) 已知圆锥曲线( 是参数)和定点 , 、是圆锥曲线的左、右焦点．（1）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．23. （5分）(2017·宜宾模拟) 已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：≥3．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
浙江省绍兴市鲁迅中学2017届高考数学模拟试卷及解析
浙江省绍兴市鲁迅中学2017届高考数学模拟试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）设集合A={﹣1，0，2}，集合B={﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，则B=（）A．{1} B．{﹣2} C．{﹣1，﹣2} D．{﹣1，0}2．（4分）已知复数z=，i为虚数单位，则|z|=（）A．9 B．3 C．D．93．（4分）已知平面α⊥平面β，α∩β=b，a⊂α，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知直线l是函数f（x）=2ln x+x2图象的切线，当l的斜率最小时，直线l的方程是（）A．4x﹣y+3=0 B．4x﹣y﹣3=0 C．4x+y+3=0 D．4x+y﹣3=05．（4分）函数y=sin x||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C． D．6．（4分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）7．（4分）设ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1＜x2，现已知：Eξ=，Dξ=，则x1+x2的值为（）A．B．C．3 D．8．（4分）设f（x）的定义域是R，则下列命题中不正确的是（）A．若f（x）是奇函数，则f（f（x））也是奇函数B．若f（x）是周期函数，则f（f（x））也是周期函数C．若f（x）是单调递减函数，则f（f（x））也是单调递减函数D．若方程f（x）=x有实根，则方程f（f（x））=x也有实根9．（4分）已知单位向量，，且•=0，若t∈[0，1]，则|t（﹣）+|+|+（1﹣t）（﹣）|的最小值为（）A．B．C．D．110．（4分）过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75°，这样的截面有（）A．6个B．12个C．16个D．18个二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）抛物线y2=mx（m＜0）的焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则m=，抛物线的准线方程为．12．（6分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2A+sin2A=2，b=1，S△ABC=，则A=，=．13．（6分）从一个正方形中截去部分几何体，得到一个以原正方形的部分顶点的多面体，其三视图如图，则该几何体的体积为，表面积为．14．（6分）已知数列{a n}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意n∈N*，都有a n＜a n+1，若a1=1，a2=2，且数列{a n}的前10项和S10=75，则d1=，a8=．15．（4分）学校5月1号至5月3号拟安排6位老师值班，要求每人值班1天，每天安排2人，若6位老师中，甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班方法数为．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为．17．（4分）设函数f（x）=|log2x+ax+b|（a＞0）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最大值为M t（a，b），若{b|M t（a，b）≥1+a}=R，则实数t的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（14分）已知函数，（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）若f（x）＜m+2在上恒成立，求实数m的取值范围．19．（15分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB 的中点，P A⊥平面ABCD，PC与平面P AD所成的角的正弦值为．（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（15分）已知函数f（x）=ln x﹣．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设m＞n＞0，求证：ln m﹣ln n＞．21．（15分）已知动点A，B在椭圆+=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P （﹣1，0）．（1）证明线段AB的中点M在定直线上；（2）求线段AB长度的最大值．22．（15分）已知数列{a n}满足，a1=1，a n=﹣．（1）求证：a n≥；（2）求证：|a n+1﹣a n|≤；（3）求证：|a2n﹣a n|≤．参考答案及解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A【解析】∵集合A={﹣1，0，2}，集合B={﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，﹣1∈A，且2﹣（﹣1）=3∉A，故1∈B；0∈A，但2﹣0=2∈A，不满足题意；2∈A，但2﹣2=0∈A，不满足题意；故B={1}，故选A．2．B【解析】∵z==，∴|z|=．故选B．3．C【解析】由平面α⊥平面β，α∩β=b，a⊂α，则a⊥b能推出a⊥β，由平面α⊥平面β，α∩β=b，a⊂α，则a⊥β能推出a⊥b，故“a⊥b”是“a⊥β”的充要条件，故选C.4．B【解析】函数f（x）=2ln x+x2，x＞0，可得f′（x）=+2x≥2=4，当且仅当x=1时取等号，直线l是函数f（x）=2ln x+x2图象的切线，l的斜率最小值为4，切点坐标（1，1），直线l的方程是：y﹣1=4（x﹣1），即4x﹣y﹣3=0．故选B．5．B【解析】∵函数y=sin x||（0＜x＜π），∴函数y=，∴根据余弦函数的图象可得其图象为：故选B．6．A【解析】∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选A．7．C【解析】∵Eξ=，Dξ=，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，∴①2×3 ②由①②可得x1+x2=3故选C．8．C【解析】函数f（x）的定义域是R．对于A，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∴f（f（﹣x））=f（﹣f（x））=﹣f（f（x）），则f（f（x））也是奇函数，故A正确；对于B，若f（x）是周期函数，不妨设正确为T，则f（T+x）=f（x），∴f（f（T+x））=f（f（x）），则f（f（x））也是周期函数，故B正确；对于C，若f（x）是单调递减函数，则f（f（x））也是单调递减函数不正确，如f（x）=﹣x，则f（f（x））=f（﹣x）=x；对于D，若方程f（x）=x有实根，不妨设其实根为x0，则f（x0）=x0，∴f（f（x0））=f（x0）=x0，即x0也是方程f（f（x））=x得实根．∴不正确的命题是C，故选C．9．B【解析】如图，设，，∴，，∴t（﹣）+=t（﹣1，1）+（1，0）=（1﹣t，t），+（1﹣t）（﹣）==（0，）+（1﹣t，t﹣1）=（1﹣t，t﹣），∴|t（﹣）+|+|+（1﹣t）（﹣）|=．其几何意义为动点P（t，t）到两定点C（1，0）与D（1，）距离的和，如图，点D关于直线y=x的对称点为G（），其最小值为|GC|==．故选B．10．D【解析】作正四面体A﹣BCD的高AO，连接BO交CD于E，连接AE．则E为CD的中点，O为等边三角形BCD的中心．∴BE⊥CD，AE⊥CD，∴∠AEB为二面角A﹣CD﹣B的平面角．设AB=2，则BE=，∴OE=BE=，OB=BE=．∴AO=，则tan∠AEB==．∵tan75°=tan（45°+30°）=2+＞2，∴∠AEB＜75°．在平面BCD内，以O为圆心，以OA•tan75°为半径作圆O，则圆O在△BCD内部．∴若截面AMN与底面BCD所成角为75°，则截面AMN与平面BCD的交线为圆O的切线．（1）若圆O的切线与△BCD的一边平行，如图1所示：则存在6个符合条件的截面三角形AMN．（2）若圆O的切线过三角形的顶点，不妨设过点B，交CD于M，如图2所示：则由△ACM≌△BCM可得AM=BM，故截面ABM为符合条件的截面三角形，显然存在6个这样的截面三角形．（3）若圆O的切线MN与三角形BCD的两边相交，不妨设与NC交于M，与CD交于N，且BM=CN，如图3所示：显然△ABM≌△ACN，故而AM=AN，∴截面AMN为符合条件的截面三角形．显然这样的截面也有6个．综上，符合条件的截面共有18个．故选D．二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．﹣12x=3【解析】双曲线﹣=1的左焦点（﹣3，0），抛物线y2=mx（m＜0）的焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，可得抛物线的焦点坐标（﹣3，0），可得m=﹣12．抛物线方程为：y2=﹣12x．抛物线的准线方程为x=3．故答案为：﹣12；x=3．12． 2【解析】∵2cos2A+sin2A=2，可得：cos2A+sin2A=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜π，可得：2A+∈（，），∴2A+=，可得：A=．∵b=1，S△ABC==bc sin A=，∴c=2，∴由余弦定理可得：a===，∴===2．故答案为：，2．13．9【解析】由三视图还原原几何体如图，原几何体是把正方体AC1截去三棱柱A1AB﹣D1DC，再把剩余的三棱柱A1B1B﹣D1C1C截去三棱锥C1﹣D1B1C得到．其体积为V=；表面积S=3×+3×+=．故答案为：9，．14．311【解析】（1）∵数列{a n}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意n∈N*，都有a n＜a n+1，a1=1，a2=2，且数列{a n}的前10项和S10=75，∴5×1+d1+×d2=75，化为：d1+d2=6．且对任意n∈N*，都有a n＜a n+1，其中d1，d2为整数．a2k﹣1＜a2k＜a2k+1，1+（k﹣1）d1＜2+（k﹣1）d2＜1+kd1，取k=2时，可得1+d1＜2+d2＜1+2d1．∴d1=3=d2．∴a8=a2+3d2=2+3×3=11．故答案分别为：3，11．15．42【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、若甲乙同组，则甲乙只能安排在5月1号，此时在剩下的4人中任选2人安排在5月2号，最后2人安排在5月3号即可，有C42=6种安排方法；②、若甲乙不同组，需要在4人中任选一人与甲同组，在剩下3人中选取1人与乙同组，有C41C31=12种情况，最后2人组成1组，若甲所在的组分在5月3号，则乙所在的组有2种情况，最后2人组成的1组有1种情况，此时有2种情况，若甲所在的组分在5月1号，则乙所在的组有1种情况，最后2人组成的1组有1种情况，此时有2种情况，则此时有12×（2+1）=36种安排方法；则不同的安排值班方法数为6+36=42种；故答案为：42．16．[0，]【解析】设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故答案为：[0，]．17．【解析】由题意：f（x）=|log2x+ax+b|（a＞0）在区间[t，t+2]（t为正数）上的最大值为M t （a，b），转化为f（x）max={f（t），f（t+2）}，当f（t）=f（t+2）时，则有：﹣（log2t+at+b）=log2（t+2）+a（t+2）+b那么：b=…①当t＞x0或t＜x0时，f（x）max＞f（t）或f（x）max＞f（t+2）.∴只需要f（t）≥1+a，即：﹣（log2t+at+b）≥1+a得：b≤﹣log2t﹣at﹣1﹣a…②把①式代入②，得：≤﹣log2t﹣at﹣1﹣a，化为：≥2，∴≥4，解得．∴t的最大值为．故答案为：．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．解：（1）=1﹣cos（﹣2x）﹣cos2x=1﹣sin2x﹣cos2x=1﹣2sin（2x+），故最小正周期T==π，由﹣+2kπ≤2x++2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）．（2）x∈[0，]，则2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[，1]，则f（x）∈[﹣1，1﹣]，即f（x）在上的值域为[﹣1，1﹣]．因为f（x）＜m+2在上恒成立，所以m+2＞1﹣，解得m＞﹣1﹣．所以实数m的取值范围为（﹣1﹣，+∞）．19．解：（1）分别取PD，PC的中点F，G，则FG∥CD∥AB，，∴四边形AEGF为平行四边形，则AF∥EG，又FG⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC，∴PD的中点F即为所求；（2）由P A⊥平面ABCD，可得平面P AB⊥平面ABCD，∵E为AB中点，且BC=2BE=2，∠CBE=60°，∴CE⊥AB．∴∠CPE即为PC与平面P AB所成的角，在Rt△PEC中，，即，解得：P A=2，过D作BA的垂线，垂足为H，过H作PE的垂线，垂足为K，连接KD，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥DH，又DH⊥BA，∴DH⊥平面PBA，∴DH⊥PE，则PE⊥平面DHK，得PE⊥DH，∴∠DKH即为所求的二面角的平面角，在Rt△DHK中，，由于PE•HK=EH•P A，∴，从而，∴，即二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．解：（1）函数f（x）=ln x﹣，可得，…（2分）因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，…（5分）即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）恒成立，所以在（0，+∞）恒成立，因为，当且仅当x=1等号成立，所以2a﹣2≤2，解得：a≤2．…（8分）（2），…（10分）设，由（1）可知h（x）在（0，+∞）单调递增，因为，所以h（m）＞h（1）=0，…（13分）即，所以原等式成立．…（15分）21．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M（﹣2，0），在直线y=0，…（2分）当AB与x轴不垂直时，两式相减，得，即，…（6分）所以x0=﹣2，即M在直线x=﹣2上．…（7分）（2）当AB与x轴垂直时，，…（9分），∴x1+x2=﹣4，，∴=…（14分）∴．…（15分）22．证明：（1）∵a1=1，a n=﹣．∴a2=，a3=，a4=，猜想：≤a n≤1．下面用数学归纳法证明．（i）当n=1时，命题显然成立；（ii）假设n=k时，≤1成立，则当n=k+1时，a k+1=≤＜1．，即当n=k+1时也成立，所以对任意n∈N*，都有．（2）当n=1时，，当n≥2时，∵，∴．（3）当n=1时，|a2﹣a1|=＜；当n≥2时，|a2n﹣a n|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|a n+1﹣a n|．。
2017年浙江省高考数学试卷
2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）已知集合 ⌧﹣ ＜⌧＜ ❝，✈⌧＜⌧＜ ❝，那么 ∪✈（）✌．（﹣ ， ） ．（ ， ） ．（﹣ ， ） ．（ ， ） ．（ 分）椭圆 的离心率是（）✌． ． ． ．．（ 分）某几何体的三视图如图所示（单位：♍❍），则该几何体的体积（单位：♍❍ ）是（）✌． ． ． ． ．（ 分）若⌧、⍓满足约束条件，则 ⌧⍓的取值范围是（）✌．☯， ．☯， ．☯， ∞） ．☯， ∞）．（ 分）若函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌在区间☯， 上的最大值是 ，最小值是❍，则 ﹣❍（）✌．与♋有关，且与♌有关 ．与♋有关，但与♌无关．与♋无关，且与♌无关 ．与♋无关，但与♌有关．（ 分）已知等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，前⏹项和为 ⏹，则❽♎＞ ❾是❽ ＞ ❾的（）✌．充分不必要条件 ．必要不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件．（ 分）函数⍓♐（⌧）的导函数⍓♐（⌧）的图象如图所示，则函数⍓♐（⌧）的图象可能是（）✌． ． ． ．．（ 分）已知随机变量↘♓满足 （↘♓ ） ☐♓， （↘♓ ） ﹣☐♓，♓， ．若 ＜☐ ＜☐ ＜，则（）✌．☜（↘ ）＜☜（↘ ）， （↘ ）＜ （↘ ） ．☜（↘ ）＜☜（↘ ）， （↘ ）＞ （↘ ）．☜（↘ ）＞☜（↘ ）， （↘ ）＜ （↘ ） ．☜（↘ ）＞☜（↘ ）， （↘ ）＞ （↘ ）．（ 分）如图，已知正四面体 ﹣✌（所有棱长均相等的三棱锥）， 、✈、 分别为✌、 、 ✌上的点，✌， ，分别记二面角 ﹣ ﹣✈， ﹣ ✈﹣ ， ﹣✈﹣ 的平面角为↑、↓、↖，则（）✌．↖＜↑＜↓ ．↑＜↖＜↓ ．↑＜↓＜↖ ．↓＜↖＜↑．（ 分）如图，已知平面四边形✌，✌⊥ ，✌✌， ，✌与 交于点 ，记✋ ❿，✋ ❿，✋ ❿，则（）✌．✋ ＜✋ ＜✋ ．✋ ＜✋ ＜✋ ．✋ ＜✋ ＜✋ ．✋ ＜✋ ＜✋二、填空题：本大题共 小题，多空题每题 分，单空题每题 分，共 分．（ 分）我国古代数学家刘徽创立的❽割圆术❾可以估算圆周率⇨，理论上能把⇨的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了❽割圆术❾，将⇨的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，❽割圆术❾的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 ， ．．（ 分）已知♋、♌∈ ，（♋♌♓） ♓（♓是虚数单位），则♋ ♌ ，♋♌ ．．（ 分）已知多项式（⌧） （⌧） ⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧♋ ，则♋ ，♋ ．．（ 分）已知△✌，✌✌， ，点 为✌延长线上一点， ，连结 ，则△ 的面积是 ，♍☐♦∠ ． ．（ 分）已知向量、满足 ， ，则 ﹣ 的最小值是 ，最大值是 ．．（ 分）从 男 女共 名学生中选出队长 人，副队长 人，普通队员 人组成 人服务队，要求服务队中至少有 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）．（ 分）已知♋∈ ，函数♐（⌧） ⌧﹣♋♋在区间☯， 上的最大值是 ，则♋的取值范围是 ．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）已知函数♐（⌧） ♦♓⏹ ⌧﹣♍☐♦ ⌧﹣ ♦♓⏹⌧ ♍☐♦⌧（⌧∈ ）．（♊）求♐（）的值．（♋）求♐（⌧）的最小正周期及单调递增区间．．（ 分）如图，已知四棱锥 ﹣✌，△ ✌是以✌为斜边的等腰直角三角形， ∥✌， ⊥✌， ✌，☜为 的中点．（♊）证明： ☜∥平面 ✌；（♋）求直线 ☜与平面 所成角的正弦值．．（ 分）已知函数♐（⌧） （⌧﹣）♏﹣⌧（⌧≥）．（ ）求♐（⌧）的导函数；（ ）求♐（⌧）在区间☯， ∞）上的取值范围．．（ 分）如图，已知抛物线⌧ ⍓，点✌（﹣，）， （，），抛物线上的点 （⌧，⍓）（﹣＜⌧＜），过点 作直线✌的垂线，垂足为✈．（♊）求直线✌斜率的取值范围；（♋）求 ✌❿✈的最大值．．（ 分）已知数列 ⌧⏹❝满足：⌧ ，⌧⏹ ⌧⏹ ●⏹（ ⌧⏹）（⏹∈☠✉），证明：当⏹∈☠✉时，（♊） ＜⌧⏹＜⌧⏹；（♋） ⌧⏹﹣⌧⏹≤；（♌）≤⌧⏹≤．年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）已知集合 ⌧﹣ ＜⌧＜ ❝，✈⌧＜⌧＜ ❝，那么 ∪✈（）✌．（﹣ ， ） ．（ ， ） ．（﹣ ， ） ．（ ， ）【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合 ⌧﹣ ＜⌧＜ ❝，✈⌧＜⌧＜ ❝，那么 ∪✈⌧﹣ ＜⌧＜ ❝（﹣ ， ）．故选：✌．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．．（ 分）椭圆 的离心率是（）✌． ． ． ．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆 ，可得♋，♌，则♍ ，所以椭圆的离心率为： ．故选： ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．．（ 分）某几何体的三视图如图所示（单位：♍❍），则该几何体的体积（单位：♍❍ ）是（）✌． ． ． ． 【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为 ，三棱锥的底面是底边长 的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为 ，故该几何体的体积为××⇨× × ×××× ，故选：✌【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．．（ 分）若⌧、⍓满足约束条件，则 ⌧⍓的取值范围是（）✌．☯， ．☯， ．☯， ∞） ．☯， ∞）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：⌧、⍓满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数 ⌧⍓经过 点时，函数取得最小值，由解得 （ ， ），目标函数的最小值为：目标函数的范围是☯， ∞）．故选： ．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．．（ 分）若函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌在区间☯， 上的最大值是 ，最小值是❍，则 ﹣❍（）✌．与♋有关，且与♌有关 ．与♋有关，但与♌无关．与♋无关，且与♌无关 ．与♋无关，但与♌有关【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下 ﹣❍的取值与♋，♌的关系，综合可得答案．【解答】解：函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌的图象是开口朝上且以直线⌧﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞ 或﹣＜ ，即♋＜﹣ ，或♋＞ 时，函数♐（⌧）在区间☯， 上单调，此时 ﹣❍♐（ ）﹣♐（ ） ♋，故 ﹣❍的值与♋有关，与♌无关②当≤﹣≤ ，即﹣ ≤♋≤﹣ 时，函数♐（⌧）在区间☯，﹣ 上递减，在☯﹣， 上递增，且♐（ ）＞♐（ ），此时 ﹣❍♐（ ）﹣♐（﹣） ，故 ﹣❍的值与♋有关，与♌无关③当 ≤﹣＜，即﹣ ＜♋≤ 时，函数♐（⌧）在区间☯，﹣ 上递减，在☯﹣， 上递增，且♐（ ）＜♐（ ），此时 ﹣❍♐（ ）﹣♐（﹣） ♋，故 ﹣❍的值与♋有关，与♌无关综上可得： ﹣❍的值与♋有关，与♌无关故选：【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．．（ 分）已知等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，前⏹项和为 ⏹，则❽♎＞ ❾是❽ ＞ ❾的（）✌．充分不必要条件 ．必要不充分条件．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的求和公式和 ＞ ，可以得到♎＞ ，根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：∵ ＞ ，∴ ♋ ♎♋ ♎＞ （ ♋ ♎），∴ ♎＞ ♎，∴♎＞ ，故❽♎＞ ❾是❽ ＞ ❾充分必要条件，故选：【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题．（ 分）函数⍓♐（⌧）的导函数⍓♐（⌧）的图象如图所示，则函数⍓♐（⌧）的图象可能是（）✌． ． ． ．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当♐（⌧）＜ 时，函数♐（⌧）单调递减，当♐（⌧）＞ 时，函数♐（⌧）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数⍓♐（⌧）的图象可能【解答】解：由当♐（⌧）＜ 时，函数♐（⌧）单调递减，当♐（⌧）＞ 时，函数♐（⌧）单调递增，则由导函数⍓♐（⌧）的图象可知：♐（⌧）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除✌， ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在⌧轴上的右侧，排除 ，故选【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．．（ 分）已知随机变量↘♓满足 （↘♓ ） ☐♓， （↘♓ ） ﹣☐♓，♓， ．若 ＜☐ ＜☐ ＜，则（）✌．☜（↘ ）＜☜（↘ ）， （↘ ）＜ （↘ ） ．☜（↘ ）＜☜（↘ ）， （↘ ）＞ （↘ ）．☜（↘ ）＞☜（↘ ）， （↘ ）＜ （↘ ） ．☜（↘ ）＞☜（↘ ）， （↘ ）＞ （↘ ）【分析】由已知得 ＜☐ ＜☐ ＜，＜ ﹣☐ ＜ ﹣☐ ＜ ，求出☜（↘ ） ☐ ，☜（↘ ） ☐ ，从而求出 （↘ ）， （↘ ），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量↘♓满足 （↘♓ ） ☐♓， （↘♓ ） ﹣☐♓，♓， ，⑤，＜☐ ＜☐ ＜，∴＜ ﹣☐ ＜ ﹣☐ ＜ ，☜（↘ ） ×☐ ×（ ﹣☐ ） ☐ ，☜（↘ ） ×☐ ×（ ﹣☐ ） ☐ ，（↘ ） （ ﹣☐ ） ☐ （ ﹣☐ ） （ ﹣☐ ） ，（↘ ） （ ﹣☐ ） ☐ （ ﹣☐ ） （ ﹣☐ ） ，（↘ ）﹣ （↘ ） ☐ ﹣☐ ﹣（） （☐ ﹣☐ ）（☐ ☐ ﹣ ）＜ ，∴☜（↘ ）＜☜（↘ ）， （↘ ）＜ （↘ ）．故选：✌．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．．（ 分）如图，已知正四面体 ﹣✌（所有棱长均相等的三棱锥）， 、✈、分别为✌、 、 ✌上的点，✌， ，分别记二面角 ﹣ ﹣✈， ﹣ ✈﹣ ， ﹣✈﹣ 的平面角为↑、↓、↖，则（）✌．↖＜↑＜↓ ．↑＜↖＜↓ ．↑＜↓＜↖ ．↓＜↖＜↑【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△✌的中心为 ．不妨设 ．则 （ ， ， ）， （ ，﹣ ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ），✈， ，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接 ， ✈， ，过点 分别作垂线： ☜⊥ ， ☞⊥ ✈， ☝⊥✈，垂足分别为☜，☞，☝，连接 ☜， ☞， ☝．．可得♦♋⏹↑．♦♋⏹↓，♦♋⏹↖．由已知可得： ☜＞ ☝＞ ☞．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△✌的中心为 ．不妨设 ．则 （ ， ， ）， （ ，﹣ ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ，﹣ ， ）．✈， ， ， （ ， ， ）， （， ， ）， ， ．设平面 的法向量为 （⌧，⍓， ），则，可得，可得 ，取平面✌的法向量 （ ， ， ）．则♍☐♦ ，取↑♋❒♍♍☐♦．同理可得：↓♋❒♍♍☐♦．↖♋❒♍♍☐♦．∵＞＞．∴↑＜↖＜↓．解法二：如图所示，连接 ， ✈， ，过点 分别作垂线： ☜⊥ ， ☞⊥ ✈， ☝⊥✈，垂足分别为☜，☞，☝，连接 ☜， ☞， ☝．设 ♒．则♦♋⏹↑．同理可得：♦♋⏹↓，♦♋⏹↖．由已知可得： ☜＞ ☝＞ ☞．∴♦♋⏹↑＜♦♋⏹↖＜♦♋⏹↓，↑，↓，↖为锐角．∴↑＜↖＜↓．故选： ．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．．（ 分）如图，已知平面四边形✌，✌⊥ ，✌✌， ，✌与 交于点 ，记✋ ❿，✋ ❿，✋ ❿，则（）✌．✋ ＜✋ ＜✋ ．✋ ＜✋ ＜✋ ．✋ ＜✋ ＜✋ ．✋ ＜✋ ＜✋ 【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵✌⊥ ，✌✌， ，∴✌，∴∠✌∠ ＞ ，由图象知 ✌＜ ， ＜ ，∴ ＞❿＞❿，❿＞ ，即✋ ＜✋ ＜✋ ，故选： ．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．二、填空题：本大题共 小题，多空题每题 分，单空题每题 分，共 分．（ 分）我国古代数学家刘徽创立的❽割圆术❾可以估算圆周率⇨，理论上能把⇨的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了❽割圆术❾，将⇨的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，❽割圆术❾的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 ， ．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为 ，则其内接正六边形✌☜☞中，△✌是边长为 的正三角形，所以正六边形✌☜☞的面积为×× × ×♦♓⏹．故答案为：．【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．．（ 分）已知♋、♌∈ ，（♋♌♓） ♓（♓是虚数单位），则♋ ♌ ，♋♌ ．【分析】♋、♌∈ ，（♋♌♓） ♓（♓是虚数单位），可得 ♓♋ ﹣♌ ♋♌♓，可得 ♋ ﹣♌ ， ♋♌，解出即可得出．【解答】解：♋、♌∈ ，（♋♌♓） ♓（♓是虚数单位），∴ ♓♋ ﹣♌ ♋♌♓，∴ ♋ ﹣♌ ， ♋♌，解得♋♌，，．则♋ ♌ ，故答案为： ， ．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（ 分）已知多项式（⌧） （⌧） ⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧♋ ，则♋ ，♋．【分析】利用二项式定理的展开式，求解⌧的系数就是两个多项式的展开式中⌧与常数乘积之和，♋ 就是常数的乘积．【解答】解：多项式（⌧）（⌧）⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧ ♋ ⌧♋ ，（⌧） 中，⌧的系数是： ，常数是 ；（⌧） 中⌧的系数是 ，常数是 ，♋ × × ； ♋ × ． 故答案为： ； ．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．．（ 分）已知△✌，✌✌， ，点 为✌延长线上一点， ，连结 ，则△ 的面积是，♍☐♦∠ ．【分析】如图，取 得中点☜，根据勾股定理求出✌☜，再求出 △✌，再根据△ △✌即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取 得中点☜， ∵✌✌， ， ∴ ☜ ，✌☜⊥ ， ∴✌☜，∴ △✌ ❿✌☜× ×，∵ ， ∴ △ △✌ ，∵ ， ∴∠ ∠ ，∴∠✌☜∠ 在 ♦△✌☜中，∵♍☐♦∠✌☜ ，∴♍☐♦∠✌☜♍☐♦ ∠ ﹣ ，∴♍☐♦∠ ，故答案为：，【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题．（ 分）已知向量、满足 ， ，则 ﹣ 的最小值是 ，最大值是．【分析】通过记∠✌↑（ ≤↑≤⇨），利用余弦定理可可知 、 ﹣ ，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记∠✌↑，则 ≤↑≤⇨，如图，由余弦定理可得：，﹣ ，令⌧，⍓，则⌧ ⍓ （⌧、⍓≥ ），其图象为一段圆弧 ☠，如图，令 ⌧⍓，则⍓﹣⌧，则直线⍓﹣⌧过 、☠时 最小为 ❍♓⏹ ，当直线⍓﹣⌧与圆弧 ☠相切时 最大，由平面几何知识易知 ❍♋⌧即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧 ☠所在圆的半径的倍，所以 ❍♋⌧ × ．综上所述， ﹣ 的最小值是 ，最大值是．故答案为： 、．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．．（ 分）从 男 女共 名学生中选出队长 人，副队长 人，普通队员 人组成 人服务队，要求服务队中至少有 名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）【分析】由题意分两类选 女 男或选 女 男，再计算即可【解答】解：第一类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有✌ 种，故有 × 种，第二类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有✌ 种，故有 × 种，根据分类计数原理共有 种，故答案为： 【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题．（ 分）已知♋∈ ，函数♐（⌧） ⌧﹣♋♋在区间☯， 上的最大值是 ，则♋的取值范围是（﹣∞， ．【分析】通过转化可知 ⌧﹣♋♋≤ 且♋≤ ，进而解绝对值不等式可知 ♋﹣ ≤⌧≤ ，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知 ⌧﹣♋♋≤ ，即 ⌧﹣♋≤ ﹣♋，所以♋≤ ，又因为 ⌧﹣♋≤ ﹣♋，所以♋﹣ ≤⌧﹣♋≤ ﹣♋，所以 ♋﹣ ≤⌧≤ ，又因为 ≤⌧≤ ， ≤⌧≤ ，所以 ♋﹣ ≤ ，解得♋≤，故答案为：（﹣∞， ．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 分）已知函数♐（⌧） ♦♓⏹ ⌧﹣♍☐♦ ⌧﹣ ♦♓⏹⌧ ♍☐♦⌧（⌧∈ ）．（♊）求♐（）的值．（♋）求♐（⌧）的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（♊）代入可得：♐（）的值．（♋）根据正弦型函数的图象和性质，可得♐（⌧）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数♐（⌧） ♦♓⏹ ⌧﹣♍☐♦ ⌧﹣ ♦♓⏹⌧ ♍☐♦⌧﹣♦♓⏹⌧﹣♍☐♦⌧♦♓⏹（ ⌧）（♊）♐（） ♦♓⏹（ × ） ♦♓⏹ ，（♋）∵▫，故❆⇨，即♐（⌧）的最小正周期为⇨，由 ⌧∈☯﹣ ⇨， ⇨， ∈☪得：⌧∈☯﹣ ⇨，﹣ ⇨， ∈☪，故♐（⌧）的单调递增区间为☯﹣ ⇨，﹣ ⇨或写成☯⇨， ⇨ ， ∈☪．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．．（ 分）如图，已知四棱锥 ﹣✌，△ ✌是以✌为斜边的等腰直角三角形， ∥✌， ⊥✌， ✌，☜为 的中点．（♊）证明： ☜∥平面 ✌；（♋）求直线 ☜与平面 所成角的正弦值．【分析】（♊）取✌的中点☞，连结☜☞， ☞，推导出☜☞∥ ✌， ☞∥✌，从而平面☜☞∥平面✌，由此能证明☜∥平面 ✌．（♋）连结 ☞，过☞作☞⊥ 于 ，连结 ☞，推导出四边形 ☞为矩形，从而 ☞⊥✌，进而✌⊥平面 ☞，由✌∥ ，得 ⊥ ，再求出 ⊥ ☞，由此能求出♦♓⏹→．【解答】证明：（♊）取✌的中点☞，连结☜☞， ☞，∵☜为 的中点，∴☜☞∥ ✌，在四边形✌中， ∥✌，✌，☞为中点，∴ ☞∥✌，∴平面☜☞∥平面✌，∵☜⊂平面☜☞，∴☜∥平面 ✌．解：（♋）连结 ☞，过☞作☞⊥ 于 ，连结 ☞，∵ ✌，∴ ☞⊥✌，推导出四边形 ☞为矩形，∴ ☞⊥✌，∴✌⊥平面 ☞，又✌∥ ，∴ ⊥平面 ☞，∴ ⊥ ，设 ，则✌，∴ ，☞☞，∴ ☞，又 ⊥平面 ☞，∴ ⊥ ☞，∴ ☞⊥平面 ，即点☞到平面 的距离为，∵ ☞， 到平面 的距离应该和 ☞平行且相等，为，☜为 中点，☜到平面 的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴☜到平面 的距离为，在，由余弦定理得 ☜，设直线 ☜与平面 所成角为→，则♦♓⏹→ ．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．．（ 分）已知函数♐（⌧） （⌧﹣）♏﹣⌧（⌧≥）．（ ）求♐（⌧）的导函数；（ ）求♐（⌧）在区间☯， ∞）上的取值范围．【分析】（ ）求出♐（⌧）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（ ）求出♐（⌧）的导数，求得极值点，讨论当＜⌧＜ 时，当 ＜⌧＜时，当⌧＞时，♐（⌧）的单调性，判断♐（⌧）≥ ，计算♐（），♐（ ），♐（），即可得到所求取值范围．【解答】解：（ ）函数♐（⌧） （⌧﹣）♏﹣⌧（⌧≥），导数♐（⌧） （ ﹣❿❿）♏﹣⌧﹣（⌧﹣）♏﹣⌧（ ﹣⌧）♏﹣⌧ （ ﹣⌧）（ ﹣）♏﹣⌧；（ ）由♐（⌧）的导数♐（⌧） （ ﹣⌧）（ ﹣）♏﹣⌧，可得♐（⌧） 时，⌧或，当＜⌧＜ 时，♐（⌧）＜ ，♐（⌧）递减；当 ＜⌧＜时，♐（⌧）＞ ，♐（⌧）递增；当⌧＞时，♐（⌧）＜ ，♐（⌧）递减，且⌧≥⇔⌧ ≥ ⌧﹣ ⇔（⌧﹣ ） ≥ ，则♐（⌧）≥ ．由♐（） ♏，♐（ ） ，♐（） ♏，即有♐（⌧）的最大值为♏，最小值为♐（ ） ．则♐（⌧）在区间☯， ∞）上的取值范围是☯，♏ ．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．．（ 分）如图，已知抛物线⌧ ⍓，点✌（﹣，）， （，），抛物线上的点 （⌧，⍓）（﹣＜⌧＜），过点 作直线✌的垂线，垂足为✈．（♊）求直线✌斜率的取值范围；（♋）求 ✌❿✈的最大值．【分析】（♊）通过点 在抛物线上可设 （⌧，⌧ ），利用斜率公式结合﹣＜⌧＜可得结论；（♋）通过（✋）知 （⌧，⌧ ）、﹣＜⌧＜，设直线✌的斜率为 ，联立直线✌、 ✈方程可知✈点坐标，进而可用 表示出、，计算可知 ✌❿✈（ ） （ ﹣ ），通过令♐（⌧） （ ⌧） （ ﹣⌧），﹣ ＜⌧＜ ，求导结合单调性可得结论．【解答】解：（♊）由题可知 （⌧，⌧ ），﹣＜⌧＜，所以 ✌ ⌧﹣∈（﹣ ， ），故直线✌斜率的取值范围是：（﹣ ， ）；（♋）由（✋）知 （⌧，⌧ ），﹣＜⌧＜，所以 （﹣﹣⌧，﹣⌧ ），设直线✌的斜率为 ，则✌：⍓⌧ ， ✈：⍓﹣⌧ ，联立直线✌、 ✈方程可知✈（，），故 （，），又因为 （﹣ ﹣ ，﹣ ﹣ ），故﹣ ✌❿✈❿ （ ） （ ﹣ ），所以 ✌❿✈（ ） （ ﹣ ），令♐（⌧） （ ⌧） （ ﹣⌧），﹣ ＜⌧＜ ，则♐（⌧） （ ⌧） （ ﹣ ⌧） ﹣ （ ⌧） （ ⌧﹣ ），由于当﹣ ＜⌧＜时♐（⌧）＞ ，当＜⌧＜ 时♐（⌧）＜ ，故♐（⌧）❍♋⌧ ♐（） ，即 ✌❿✈的最大值为．【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．．（ 分）已知数列 ⌧⏹❝满足：⌧ ，⌧⏹ ⌧⏹ ●⏹（ ⌧⏹）（⏹∈☠✉），证明：当⏹∈☠✉时，（♊） ＜⌧⏹＜⌧⏹；（♋） ⌧⏹﹣⌧⏹≤；（♌）≤⌧⏹≤．【分析】（♊）用数学归纳法即可证明，（♋）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（♌）由≥ ⌧⏹﹣⌧⏹得﹣≥ （﹣）＞ ，继续放缩即可证明【解答】解：（♊）用数学归纳法证明：⌧⏹＞ ，当⏹时，⌧ ＞ ，成立，假设当⏹时成立，则⌧ ＞ ，那么⏹时，若⌧ ＜ ，则 ＜⌧ ⌧ ●⏹（ ⌧ ）＜ ，矛盾，故⌧⏹＞ ，因此⌧⏹＞ ，（⏹∈☠✉）∴⌧⏹ ⌧⏹ ●⏹（ ⌧⏹）＞⌧⏹，因此 ＜⌧⏹＜⌧⏹（⏹∈☠✉），（♋）由⌧⏹ ⌧⏹ ●⏹（ ⌧⏹）得⌧⏹⌧⏹﹣ ⌧⏹ ⌧⏹ ⌧⏹ ﹣ ⌧⏹ （⌧⏹ ）●⏹（ ⌧⏹），记函数♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧（⌧）●⏹（ ⌧），⌧≥∴♐（⌧） ●⏹（ ⌧）＞ ，∴♐（⌧）在（ ， ∞）上单调递增，∴♐（⌧）≥♐（ ） ，因此⌧⏹ ﹣ ⌧⏹ （⌧⏹ ）●⏹（ ⌧⏹）≥ ，故 ⌧⏹﹣⌧⏹≤；（♌）∵⌧⏹ ⌧⏹ ●⏹（ ⌧⏹）≤⌧⏹ ⌧⏹ ⌧⏹，∴⌧⏹≥，由≥ ⌧⏹﹣⌧⏹得﹣≥ （﹣）＞ ，∴﹣≥ （﹣）≥⑤≥ ⏹﹣ （﹣） ⏹﹣ ，∴⌧⏹≤，综上所述≤⌧⏹≤．【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题。
2017届浙江省五校高三第一次联考文科数学试卷及答案
2017学年浙江省第一次五校联考数学（文科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
选择题部分(共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式S =4πR 2球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积h 表示台体的高如果事件A , B 互斥, 那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}21(),0,1(2),2x P y y x Q x y g x x ⎧⎫==≥==-⎨⎬⎩⎭则P Q 为（ ）A ．(]0,1B ．∅C ．()0,2D ．{}02．已知,a b 都是实数,那么“a b <”是“11a b>”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 3．函数2sin sin 4242x x y ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的一个单调递减区间为( ) ks5uA ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,πC ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[],2ππ4．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为( )A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤5．设变量,x y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．现有四个函数：①y x sin x =⋅;②cos y x x =⋅;③|cos |y x x =⋅; ④2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②① 7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos2Ac b c =+， 则ABC ∆的形状是( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12315a a a =，且1335511575253S S S S S S ++=，则2a =（ ） A.2 B.1C. 3D. 13912,x x ，且1201x x <<<，点(,)P m n 表示的平面区域内存在点00(,)x y 满足00log (4)a y x =+，则实数a 的取值范围是（ ）A．1(0,)(1,3)2B．(0,1)(1,3)C．1(,1)(1,3]2D．[3,)+∞10．对任意的实数12x>，1y>，不等式222241(1)(21)x ya y a x+≥--恒成立，则实数a的最大值是（）A．．4 C．2D．2非选择题部分 （共100分）二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11．若复数2(1)(1)(,z x x i x R i =-+-∈为虚数单位）为纯虚数，则x = ．12．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为 ．13．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ．ks5u14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，*n N ∀∈，有⎪⎩⎪⎨⎧+=++为偶数，为奇数的正整数是使其中为奇数n n k nn n n a a k a a a a )(2,1511若113a =，则2013a ＝ ．15．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398a a =-，则12341111a a a a +++= ． 16．已知(0,0)O ，(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，(cos ,sin )C γγ，若(2)0kOA k OB OC +-+=，(02)k <<，则cos()αβ-的最大值是 ．17．已知,,,a b c d 为常数，若不等式0b x d x a x c ++<++的解集为11(1,)(,1)32-- ，则不等式的解集为 ．ks5u三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知函数1()cos )cos 2f x x x x ωωω=+-，其中0ω>，()f x 的最小正周期为4π.（Ⅰ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x π=对称，求()y g x =图像的对称中心； （Ⅱ）若在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且(2)cos cos a c B b C -=⋅，求()f A 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知A B 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且AOB ∠=120︒，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足(1)OC OA OB λλ=+- (01)λ<<.（Ⅰ）求证:点C 在线段AB 上；（Ⅱ）求CM CN ⋅的取值范围.20．（本小题满分14分）数列{}n a 中，14,a =前n 项和n S 满足：1n n S a n +=+. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）令121n n nb na -+=,数列{2n b }的前n 项和为n T .求证: *n N ∀∈,54n T <.ks5u 21．（本小题满分15分）已知函数22()1,()2,.f x x g x x ax x R =-=++∈（Ⅰ）若不等式()0g x >的解集是{|2x x >或1x <}，求不等式()()f x g x ≤的解集； （Ⅱ）若函数()()()2h x f x g x =++在(0,2)上有两个不同的零点12,x x ，求实数a 的取值范围.22． （Ⅰ）0a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对定义域内的任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()21215f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围．2013学年浙江省第一次五校联考数学（文科）答案一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。
2017年高考数学浙江卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式椎体的体积公式24πS R =1h3V S =球的体积公式其中S 代表椎体的底面积24π3V R =h 表示椎体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式柱体的体积公式()b1h 3a V S S =h V S =其中的a S ，b S 分别表示台体的h 表示柱体的高上、下底面积h 表示台体的高选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}-1<1Q=02P x x x x =<<<，，那么PUQ = A .(-1，2)B .(0，1)C .(-1，0)D .(1，2)2.椭圆2214x y +=的离心率是AB C .23 D .593.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是第3题图A .π+12B .π+32 C .3π+12D .3π+32 4.若x ，y 满足约束条件0+-30-20x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则z 2x y =+的取值范围是A .[0]6,B .[0]4,C .[6+)∞,D .[4+)∞,5.若函数2()=f x x ax b ++在区间[0]1，上的最大值是M ，最小值是m ，则-m M A .与a 有关，且与b 有关 B .与a 有关，但与b 无关 C .与a 无关，且与b 无关D .与a 无关，但与b 有关6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是465"+2"S S S >的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是第7题图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）ABCD8.已知随机变量i ξ满足i 1()i P p ξ==，i ()01P pi ξ==-，12i =，.若12201p p <<<，则 A .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＜ B .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＞ C .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＜ D .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＞9.如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==.分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为αβγ，，，则A .γαβ<<B .αγβ<<C .αβγ<<D .βγα<<10.如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB ＝，2I OB OC ＝，3I OC OD ＝，则A .123I I I <<B .132I I I <<C .312I I I <<D .213I I I <<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6=S ________.12.已知a b R ∈，，2i 34i a b +=+（）(i 是虚数单位)，则22a b +=________，ab =________.13.已知多项式()()5432123453212=x x x a x a x a x a x a +++++++，则4=a ________，5=a ________.14.已知ABC △，4AB AC ==，2BC =.点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连接CD ，则BDC △的面积是________，cos BDC ∠=________.15.已知向量a ,b 满足1=a ，2=b ，则+-a +b a b 的最小值是________，最大值是________.16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法.(用数字作答)17.已知a ∈R ，函数4()f x x a a x =+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数()22()sin cos cos R f x x x x x x =--∈.(I)求2()3f π的值； (II)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.（第9题图）（第10题图）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）19.(本题满分15分) 如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. (I)证明：CE ∥平面PAB ；(II)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.20.(本题满分15分)已知函数(1()e 2x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥.(I)求()f x 的导函数；(II)求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）21.(本题满分15分)如图，已知抛物线2x y =，点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线上的点()12,32P x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(I )求直线AP 斜率的取值范围；(II )求PA PQ 的最大值.22.(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】A【解析】根据集合的并集的定义,得2(1)PUQ =-，. 2.【答案】B【解析】根据题意知,3a =,b 2=,则c ==∴椭圆的离心率c e a =故选B . 3.【答案】A【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积1111ππ3+213=+132322V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故选A . 4.【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z 2x y =+,得1y=22zx -+,∴2z 是直线1=22z y x -+在y 轴上的截距,根据图形知,当直线1=22z y x -+过A 点时,2z取得最小值.由20+30x y x y -=⎧⎨-=⎩,得2x =,1y =,即21A （，）,此时,4z =,∴4x ≥,故选D .5.【答案】B【解析】22()=++b 24a af x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,①当012a ≤-≤时,min ()=m =()2a f x f -{}{}2max +b ()max (0)(1)max b ++b 4a f x M f f a =-===，，1，∴22max 1+44a a M m a ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭，与a 有关,与b 无关；②当02a -＜时,()f x 在[]01，上单调递增,∴(1)(0)1M m f f a -==+-与a 有关,与b 无关；③当12a-＞时,()f x 在[]01，上单调递减,∴(0)(1)1f f M m a -=---=与a 有关,但与b 无关,故选B . 6.【答案】C【解析】因为{}n a 为等差数列,所以46111+=466151021a a a S S d d d+++=+,512=1020a S d +,465+2=S S S d -,所以4650+2d S S S ⇔＞＞,故选C .7.【答案】D【解析】根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数()f x 在这些零点处取得极值,排除A 、B ；记导函数()f x '的零点从左到右分别为123x x x ，，,又在()1x -∞，()0f x '＜,在()12x x ，上()0f x '＞,所以函数()f x 在()1x -∞，上单调递减,排除C ,故选D .8.【答案】A【解析】根据题意得,1()i E p ξ=，11(-)i i p D p ξ=（），12i =，,∵12102p p ＜＜＜,∴12()()E E ξξ＜,令()f x 在102（，）上单调递增,所以12(p )(p )f f ＜,即12()()D D ξξ＜,故选A . 9.【答案】B【解析】如图1,设O 是点D 在底面ABC 的射影,过O 作OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥,垂足分别为E 、F 、G ,连接ED 、FD 、GD ,易得ED PR ⊥,∴OED ∠就是二面角D PR Q --的平面角,∴=OED α∠,tan =OD OE α,同理tan =OD OF β,tan =ODOGγ.底面的平面图如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设2AB =,则0,1)A（,数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）,0)B （1,C （,O （,∵AP PB =,2BQ CRQC RA ==,∴13Q （,23R （-,则直线RP的方程为y =,直线PQ的方程为y =,直线RQ的方程为y =+,根据点到直线的距离公式,知OE =,OF =,13OG =,∴OE OG OF ＞＞,∴tan tan tan αγβ＜＜,又α，β，γ为锐角,∴αγβ＜＜，故选B .10.【答案】C【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO ＜AF ,而90AFB ∠=︒,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角,根据题意,12()cos 0I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA AOB -=-=-==∠＜,∴12I I ＜,同理得23I I ＞,作AG BD ⊥于G ,又AB AD =,∴OB BG GD OD =＜＜,而OA AF FC OC =＜＜,∴OA OB OC OD ＜,而cos =cos 0AOB COD ∠∠＜,∴OA OB OC OD ＞,即13I I ＞,∴312I I I ＜＜,故选C .非选择题二.填空题. 11. 【解析】如图,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以,正六边形的面积61=612S ⨯⨯. 12.【答案】5 2【解析】∵222+2bi 2i 34i a a b ab =-+=+（）,∴22324a b ab ⎧-=⎨=⎩,∴21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩,∴225a b +=,2ab =.13.【答案】16 4【解析】由题意知4a 为含x 的项的系数,根据二项式定理得222233143232121216a C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,5a是常数项,所以332532124a C C =⨯⨯⨯=. 14. 【解析】在ABC △中,4AB AC ==,2BC =,由余弦定理得2222224241cos ABC=224AB BC AC AB BC +-+-==∠,则sin ABC=sin CBD ∠∠,所以B D C 15=B D BC s 2SCBD △∠.因为2B D B C ==,所以12C DB A BC =∠∠,则cos CDB ∠. 15.【答案】4【解析】解法一：()()()222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b++-=++-++-=+++-=10+2a b a b+-,而()()223a b a b a b a b a b +-+-=-=≥,∴()216a b a b ++-≥,即4a b a b++-≥,即a b a b++-的最小值为4.又2a b a b+-≤,∴a b a b ++-的最大值为.解法二：由向量三角不等式得,()()24a b a b a b a b b ++-+--==≥,又数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页）2a b a b++-==∴a b a b ++-的最大值为16.【答案】660【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有448655C C -=种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有2412A =种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55 12 660⨯=种不同的选法.17.【答案】(92⎤-∞⎥⎦，【解析】∵[]1,4x ∈,∴[]44,5x x +∈,①当92a ≤时,max ()=555f x a a a a -+=-+=,符合题意,②当分92a ＞时,max ()=4245f x a a a -+=-=,∴92a =(矛盾),故a 的取值范围是(92⎤-∞⎥⎦，.三、解答题. 18.【答案】（Ⅰ）2π()23f = （Ⅱ）()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】(Ⅰ)由2πsin 32=,2π1cos 32=-,222π11()32222f ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2π()23f =. (Ⅱ)由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得π()cos 222sin 26f x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得ππ3π2π22π262k x k +++≤≤,k Z ∈, 解得π2πππ63k x k ++≤≤,k Z ∈,所以()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 19.【答案】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . （Ⅱ）直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是8【解析】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC , 即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . (Ⅱ)分别取BC ,AD 的中点为M ,N .连接PN 交EF 于点Q ,连接MQ .因为E 、F 、N 分别是PD ,PA ,AD 的中点,所以Q 为EF 中点,在平行四边形BCEF 中,MQ CE ∥.由PAD ∆为等腰直角三角形得PN AD ⊥. 由DC AD ⊥,N 是AD 的中点得BN AD ⊥. 所以AD ⊥平面PBN ,由BC AD ∥得BC ⊥平面PBN ,那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线,垂足为H ,连接MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影,所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中,由2PC =,1CD =,PD =CE , 在PBN △中,由1PN BN ==,PB 得14QH =, 在t R MQH △中,14QH =,MQ = 所以sin =8MQH ∠, 所以,直线CE 与平面PBC .20.【答案】(Ⅰ)因为(1x'=()e ex x--'=-,所以(()12e1()1e e2xx xxf x x x----⎛⎫'=--=⎪⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e()xxf x--'=,解得1x=,52x=.因为又())211e02xf x-=≥,所以()f x在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(Ⅰ)因为(1x'=,()e ex x--'=-,所以(()12e1()1e e2xx xxf x x x----⎛⎫'=--=⎪⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e()xxf x--'=,解得1x=,52x=.因为又())211e02xf x-=≥,所以()f x在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.【答案】（Ⅰ）()1,1-（Ⅱ）2716【解析】(Ⅰ)设直线AP的斜率为k,2114122xk xx-==-+,因为1322x-＜＜,所以直线AP斜率的取值范围是()1,1-.(Ⅱ)联立直线AP与BQ的方程110,24930,42kx y kx ky k⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q的横坐标是()224321Qk kxk-++=+.因为)1x+12PA k⎫==+⎪⎭,)211xQk kPQ x-+-=所以()()311PA PQ k k=--+.令()()()311f k k k=--+,因为()()2()421f k k k'=--+,所以()f k在区间11,2⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,因此当12k=时,PA PQ取得最大值2716.22.【答案】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0nx＞.当1n=时,110x=＞.假设n k=时,0kx＞,那么+1n k=时,若1kx+≤,则()110=+ln1+0k k kx x x++≤＜,矛盾,故1kx+＞.因此()nN*x n∈＞.数学试卷第15页（共18页）数学试卷第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.。
2020届浙江省绍兴市2017级高三4月一模考试数学试卷参考答案
…………8 分
由已知得 A( 3，0，0) ， C(0，1，0) ，设 E(x, y, z) ，
BE BC 0, y 0,
则
|
BE
|
1,
即
x2
z2
1,
| EA | 7, (x 3)2 z2 7,
zE
D
B
C y
因为 z 0 ，所以，
A
x
x 3 ，y 0，z 1 ，即 E( 3 ，0，1) ．
n 1
2
n
所以， bn = n n(n ³ 2) .当 n =1 时， b1 =1´ 1 =1也成立，所以 bn = n n .
综上， an = 2n ， bn = n n .
…………9 分
（Ⅱ）因为当 n ³ 2 时， bn 1 n n 1 n an n 2n
n n n ，所以 n 2n 2n
解：（Ⅰ）由已知得焦点 F 坐标为 (1, 0) ， 所以 p 2 ，抛物线 C 的方程为 y2 4x ．
…………2 分 …………4 分
（Ⅱ）设 AB : x my 2 , A(x1, y1), B(x2, y2 ), M (x0, y0 ) .联立 AB 与 C 的方程， 得 y2 4my 8 0 ，且 16m2 32 0 ，
…………3 分
即 2(2q2 + 2) = 2q + 2q3 ，即 (q - 2)(q2 +1) = 0 ，解得 q = 2 ，所以 an = 2n .
…………5 分
当 n 1 时， b1
1.当 n ³ 2 时， b1
b2 2
b3 3
bn n
n2 n 2
,
b1
b2 2
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2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）2．（4分）已知i是虚数单位，复数z=，则z•=（）A．25 B．5 C．D．3．（4分）已知a，b为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知a＞0，且a≠1，若a b＞1，则（）A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b5．（4分）已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：若E（ξ）=．则p2+q2=（）A．B．C．D．16．（4分）已知实数x，y满足不等式组，若z=y﹣2x的最大值为7，则实数a=（）A．﹣1 B．1 C．D．7．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（p，0）的直线交抛物线于A，B两点，若=2，则=（）A．2 B．C．D．与p有关8．（4分）向量，满足||=4，•（﹣）=0，若|λ﹣|的最小值为2（λ∈R），则•=（）A．0 B．4 C．8 D．169．（4分）记min{x，y}=设f（x）=min{x2，x3}，则（）A．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）B．存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）C．存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t）D．存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB的中点为P，若光线从点P出发，依次经三个侧面BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1反射后，落到侧面ABB1A1（不包括边界），则入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（）A．（，）B．（，4）C．（，）D．（，）二、填空题（本大题共7小题，共36分）11．（3分）双曲线﹣=1的焦点坐标为，离心率为．12．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为，体积为．13．（3分）已知等差数列{a n}，等比数列{b n}的前n项和为S n，T n（n∈N*），若S n=n2+n，b1=a1，b2=a3，则a n=，T n=．14．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面积为，则c=，B=．15．（8分）将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为．（用具体的数字作答）16．（8分）已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为．17．（8分）已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（15分）已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．19．（15分）如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．20．（15分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．21．（15分）已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．22．（14分）已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+12=na n2+a n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．2017年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，+∞）D．（﹣2，+∞）【分析】由绝对值不等式的解法求出A，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由题意知，A={x∈R||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，2），故选：B．【点评】本题考查交集及其运算，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．2．（4分）已知i是虚数单位，复数z=，则z•=（）A．25 B．5 C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．【解答】解：∵z==，∴z•=．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（4分）已知a，b为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可．【解答】解：a=0时，f（x）=x2+b为偶函数，是充分条件，由f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+b=f（x），得f（x）是偶函数，故a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b为偶函数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的奇偶性，是一道基础题．4．（4分）已知a＞0，且a≠1，若a b＞1，则（）A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b【分析】对a进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四个不等式关系成立与否可得答案．【解答】解：当a∈（0，1）时，若a b＞1，则b＜0，则a＜b不成立，当a∈（1，+∞）时，若a b＞1，则b＞0，则ab＜b不成立，a＞b不一定成立，故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质及指数函数的单调性等知识点，难度中档．5．（4分）已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：若E（ξ）=．则p2+q2=（）A．B．C．D．1【分析】由随机变量ξ的分布列的性质列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）=．∴由随机变量ξ的分布列的性质得：，∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查两数的平方和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用．6．（4分）已知实数x，y满足不等式组，若z=y﹣2x的最大值为7，则实数a=（）A．﹣1 B．1 C．D．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解a值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：令z=y﹣2x，则z表示直线z=y﹣2x在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象可知，当z=y﹣2x经过点A时z最大，由可知A（﹣4，﹣1），A（﹣4，﹣1）在直线y+a=0上，可得a=1．故选：B．【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．7．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（p，0）的直线交抛物线于A，B两点，若=2，则=（）A．2 B．C．D．与p有关【分析】设直线方程为x=my+p，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2p2=0，利用向量条件，求出A，B的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为x=my+p，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2p2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=﹣2p2，∵=2，∴（p﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣p，y2），∴x1=﹣2x2+p，y1=﹣2y2，可得y2=p，y1=﹣2p，∴x2=p，x1=2p，∴==，故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识，考查抛物线的定义，属于中档题．8．（4分）向量，满足||=4，•（﹣）=0，若|λ﹣|的最小值为2（λ∈R），则•=（）A．0 B．4 C．8 D．16【分析】向量，满足||=4，•（﹣）=0，即=．|λ﹣|==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+﹣4≥0对于λ∈R恒成立，必须△≤0，解出即可得出．【解答】解：向量，满足||=4，•（﹣）=0，即=．若|λ﹣|==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+﹣4≥0对于λ∈R恒成立，∴△=﹣64（﹣4）≤0，化为≤0，∴•=8．故选：C．【点评】本题考查了数量积运算性质、二次函数的性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）记min{x，y}=设f（x）=min{x2，x3}，则（）A．存在t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）B．存在t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t）C．存在t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t）D．存在t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）【分析】求出f（x）的解析式，对t的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧函数的单调性和值域，从而得出答案．【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x），∴当x≤1时，x2﹣x3≥0，当x＞1时，x2﹣x3＜0，∴f（x）=．若t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2，|f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3，f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3，若0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0，|f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3，f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3，当t=1时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0，|f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2，f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2，∴当t＞0时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t）﹣f（﹣t），故A错误，B错误；当t＞0时，令g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2，则g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令g′（t）=0得﹣3t2+8t﹣1=0，∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点t1，t2，∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数，∴存在t0＞t2，使得g（t0）＜0，∴|g（t0）|＞g（t0），故C正确；令h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t，则h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣）2+＞0，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0，∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t），故D错误．故选：C．【点评】本题考查了函数单调性判断，分类讨论思想，属于中档题．10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB的中点为P，若光线从点P出发，依次经三个侧面BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1反射后，落到侧面ABB1A1（不包括边界），则入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（）A．（，）B．（，4）C．（，）D．（，）【分析】作点P关于平面BCC1B1的对称点P1，采用极限分析法．【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面BCC1B1的入射点离点B距离越近，入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值越大，如图所示，当三次反射后到侧面ABB1A1上B点时，入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值最大此时tan∠PHB=，结合选项，可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（，），故选：D．【点评】本题考查了正方体的几何性质，光的反射原理，对称性问题，题目很新颖，属于难题．二、填空题（本大题共7小题，共36分）11．（3分）双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率为2．【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率e===2，故答案为：（﹣4，0），（4，0），2【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．12．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2+2，体积为．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC ⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．∴该几何体的表面积S=++=2+2，体积V==．故答案为：2+2，．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、表面积与体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（3分）已知等差数列{a n}，等比数列{b n}的前n项和为S n，T n（n∈N*），若S n=n2+n，b1=a1，b2=a3，则a n=3n﹣1，T n=．【分析】利用a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．b2=a3=8，公比q=4．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣=3n﹣1．n=1时也成立，∴a n=3n﹣1．b2=a3=8，公比q==4．∴T n==．故答案为：3n﹣1，．【点评】本题主要考查了数列递推关系、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面积为，则c=1+，B=．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而可求cosB 的值，结合B的范围即可求得B的值．【解答】解：∵A=，b=，△ABC的面积为=bcsinA=×c×，∴解得：c=1+，∴由余弦定理可得：a==2，可得：cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：1+，．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．（8分）将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为288．（用具体的数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有A43=24种安排方法，此时共有6×24=144种不同的排法；②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22=2种情况，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有A42=12种安排方法，此时共有2×6×12=144种不同的排法；则共有144+144=288种不同的排法；故答案为：288．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目的限制条件，注意对于特殊问题的处理方法．16．（8分）已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．【点评】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（8分）已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为[0，1] ．【分析】列出满足的约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．【解答】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间[﹣，0]有零点，只要，或，其对应的平面区域如下图所示：则当a=﹣1，b=﹣1时，a﹣2b取最大值1，当a=0，b=0时，a﹣2b取最小值0，所以a﹣2b的取值范围为[0，1]；故答案为：[0，1]．【点评】本题考查了函数零点的分布，线性规划，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（15分）已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．化简可得：f（x）=1﹣cos2x+cos2x+sin2x=1+sin（2x﹣）∴函数的最小正周期T=（Ⅱ）由，k∈Z，得≤x≤．∴f（x）在（0，）上的单调递增区间为（0，]．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．19．（15分）如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．【分析】（Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB 的中点，∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO 即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB 的中点，所以MO∥PA，又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．设AC=2，则BC=2，MO=1，OH=，在Rt△MHO中，tan∠MHO=．二面角M﹣AC﹣B的大小为300．【点评】本题考查了线线的位置关系，及二面角的求解，属于基础题，20．（15分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，]；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a的取值范围[﹣2.2]．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及值域，考查分类讨论思想，属于中档题．21．（15分）已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时，=，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），则a=2，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx+m2﹣1=0，则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，①当MN为斜边时，=，解得：m=0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，即21m2+8m﹣4=0，解得：m=，m=﹣（舍），由△＞0，则m=，过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，∴直线MN的方程为y=x+，符合题意，综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．22．（14分）已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+12=na n2+a n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系可得（n+1）（a n+1+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）（na n+n+1），再根据a n＞0，可得a n+1﹣1与a n﹣1同号，问题得以证明，（Ⅱ）先判断出1＜a n≤2，再得到a n2≤，n≥2，利用放缩法得到≤2（﹣）+（﹣+），再分别取n=2，3，以及n≥4即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）a n+12﹣（n+1）=nan2﹣n+an﹣1，∴（n+1）（a n+1+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）（na n+n+1），由a n＞0，n∈N*，∴（n+1）（a n+1+1）＞0，na n+n+1＞0，∴a n+1﹣1与a n﹣1同号，∵a1﹣1=1＞0，∴a n＞1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）a n+12=nan2+an＜（n+1）a n2，∴a n+1＜a n，1＜a n≤2，又由题意可得a n=（n+1）a n+12﹣na n2，∴a1=2a22﹣a12，a2=3a32﹣2a22，…，a n=（n+1）a n+12﹣na n2，相加可得a1+a2+…+a n=（n+1）a n+12﹣4＜2n，∴a n+12≤，即an2≤，n≥2，∴≤2（+）≤2（﹣）+（﹣+），n≥2，当n=2时，=＜，当n=3时，+≤＜＜，当n≥4时，++…+＜2（+++）+（++﹣）=1+++++＜，从而，原命题得证【点评】本题考查了数列的递推关系和数列和不等式的问题，关键是放缩，考查了学生的解决问题的能力和和观察能力，属于难题．。