第二章线性系统的状态描述B
第二章 线性不变系统.
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
r ' J 0 (r ' )dr'
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
线性系统的数学模型
描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关 系的数学表达式称为系统的数学模型。
★ 描述控制系统的输入－输出变量数学模型:
微分方程、传递函数、方框图、频率特性
★ 描述控制系统的内部变量数学模型： 状态空间
说明 ◆ 要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统 的数学模型； ◆ 一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不 同，得到的数学模型也不同。
3.反馈
R(S) E(S) ＋ B(S) H(S) C(S)
G(S)
负反馈 正反馈 单位反馈：H(S)＝1
主 要 内 容
§2－1 微分方程 §2－2 传递函数
§2－3 典型环节的传递函数及动态响应
§2－4 电气网络的运算阻抗与传递函数 §2－5 方框图 §2－5 反馈控制系统的传递函数
§2－1
微分方程
对于线性定常系统, 可以用线性常系数微分方程 作为其数学模型，如 a 0dnc (t)/dtn +a1dn-1c (t) /dtn-1+…＋anc (t) =b0dmr(t)/dtm +b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t) c(t): 系统的输出； r(t): 系统的输入； a0……an ; b0……bm 均为实数，均由系统本身的结
对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电 路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！
§2－5 控制系统的方框图
方框图是以图形表示系统的数学模型；
通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各
环节之间的传递过程；
方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数； 方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。
八.二阶振荡环节 1、传递函数
自动控制原理课件2
Tm
GD 2 R 375 cecm
uf Kfn
K f 反馈电压和转速之间的 比例系数
（3）消去中间变量得直流调速系统的动态微分方程
1 T d T K m kd d 2 n 2t 1 T m K kd d n tn ( 1 K K r k )C eU g
其中 Kr K1K 为s正向通道电压放大系数
R(S)
E(S)
G(S)
-
B(S)
H(S)
Y(S)
2.结构图的组成： （1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 （2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。 （3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。 （4）方框：方框图内输入环节的传递函数。
3 .动态结构图的绘制步骤： （1）确定系统输入量与输出量。 （2）将复杂系统划分为若干个典型环节。 （3）求出各典型环节对应的传递函数。 （4）作出相应的结构图。 （5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。
二、结构图的简化法则 常用的结构图变换方法可归纳为两类：一类是环节的合并，另一类是信号的分支点或相
加点的移动。 结构图的变换必须遵循的原则是：变换前后的数学关系保持不变，因而也称为结构图的
等效变换。
（一）环节的合并 法则一 环节串联，传递函数相乘。
法则二 环节并联，传递函数相加。
法则三 反馈连接的等效传递函数。
（6）延迟环节 （时滞环节、滞后环节） 特点：输出信号经过一段延迟时间τ 后，可完全复现输入信号。
y(t)/r(t)
0τ
r(t) y(t)
t
G(s) es R(s) e s Y(s)
2.4 系统动态结构图
一、概念 1.动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它 表示了系统的输入输出之间的关系。
线性系统理论 第2章 线性系统的状态空间描述
u(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征： 少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性 ：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )
线性控制理论 第2章 状态空间表达式的求解
12t 2 0 2 2 2 t 1 2! 0 2 2 n t
1 2 2 1 t t 0 1 1 2! 1 2 2 1 2 t 2 t 2! 1 2 2 0 1 n t n t 2!
1
1 2 1 m 1 t t 2! (m 1)! t （2-21） 1 2 1 t 2! t 1 mm
证明 因
12 1 1 0 1 2 ,A A 0 1 1 1 mm 21
x(t ) Φ(t ) x(0),t 0
上式表明齐次状态方程的解，在初始状 态确定情况下，由状态转移矩阵惟一确定，
即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部
信息，完全表征了系统的动态特性。
定义2.1
线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 是
满足矩阵微分方程和初始条件
(t t ) AΦ (t t ), t t Φ 0 0 0 Φ (t0 t0 ) I
(2-3)
(t ) b1 2b2t kbk t x
( k 1)
k
Ax (t ) A(b0 b1t b2t bk t )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较上式两边t的同次幂可得
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
第二章现代控制理论状态空间表达式
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
线性系统理论2011
线性系统的时间域理论
第一章 绪 论 第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 线性系统的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
线性系统的复频率域理论
第一章 绪论
1.1系统控制理论的研究对象 系统控制理论的研究对象
系统是系统控制理论的研究对象 系统:是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体” 系统具有如下3个基本特征: (1)整体性 (2)抽象性 作为系统控制理论的研 究对象,系统常常抽去 了具体系统的物理,自 然和社会含义,而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究. (3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性
x1 (k + 1) = 1.01× (1 − 0.04) x1 (k ) + 1.01× 0.02 x2 (k ) − 1.01× 5 ×104 u (k ) x2 (k + 1) = 1.01× (1 − 0.02) x2 (k ) + 1.01× 0.04 x1 (k ) + 1.01× 5 ×104 u (k )
1/2,4/5
•
控制理论发展趋势 集成控制技术
资源共享 因特网 信息集成 信息技术 控制技术
• •
•
网络控制技术 工厂自动化
计算机集成制造系统（CIMS） 计算机集成过程系统（CIPS）
• • •
现代控制理论发展的主要标志 卡尔曼：状态空间法 卡尔曼：能控性与能观性 庞特里雅金：极大值原理
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n
线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)
系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)
f
2
(
x,u,
e
线性系统课后答案第2章
2.1 Consider the memoryless system with characteristics shown in Fig 2.19, in which u denotes the input and y the output. Which of them is a linear system? Is it possible to introduce a new output so that the system in Fig 2.19(b) is linear?Figure 2.19Translation: 考虑具有图2.19中表示的特性的无记忆系统。
其中u 表示输入，y 表示输出。
下面哪一个是线性系统？可以找到一个新的输出，使得图2.19(b)中的系统是线性的吗？Answer: The input-output relation in Fig 2.1(a) can be described as:u a y *=Here a is a constant. It is a memoryless system. Easy to testify that it is a linear system. The input-output relation in Fig 2.1(b) can be described as:b u a y +=*Here a and b are all constants. Testify whether it has the property of additivity. Let: b u a y +=11*b u a y +=22*then:b u u a y y *2)(*)(2121++=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.But we can introduce a new output so that it is linear. Let:b y z -=u a z *=z is the new output introduced. Easy to testify that it is a linear system.The input-output relation in Fig 2.1(c) can be described as:u u a y *)(=a(u) is a function of input u . Choose two different input, get the outputs:111*u a y =222*u a y =Assure:21a a ≠then:221121**)(u a u a y y +=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.2.2 The impulse response of an ideal lowpass filter is given by)(2)(2sin 2)(00t t t t t g --=ωωω for all t , where w and to are constants. Is the ideal lowpass filter causal? Is is possible to built the filter in the real world?Translation: 理想低通滤波器的冲激响应如式所示。
现代控制理论基础总复习
第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。
910 2.1 线性系统的时域数学模型()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。
2.2 传递函数11m n b s a s --++++++11 式中1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++1011()nn n n N s a s a s a s a --=++++()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。
2.5 线性系统的状态空间描述A Buy C du =+⎧⎨=+⎩x x x(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系1()()G s C sI A B D -=-+(2.4)12 2.5.3 状态空间表达式的建立情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点()(1)11n n n n y a y a y a y u --++++= (2.5)情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (2.6) 1011111()()n n n nn n n nb s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++(2.7)13 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性9.1 线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x(2.8) 状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。
第二章线性系统的状态空间描述1
第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。
（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。
（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。
）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。
记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。
引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。
从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。
其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。
与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。
5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。
例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。
控制工程第二章线性系统的数学描述1
3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机 械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是 系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
现代控制理论(第二章)线性系统的状态空间描述
H[t0 ,)
yc
1
yc
u
t t0 0
容易得到其解
yc
(t )
e
1t
yc
(0)
t
e1
(t
)u(
)d
显然，若其初始条件
yc
0
(0)
不能确定，则不能
唯一地确定其输出。
1.非零初始条件与脉冲输入
零初始条件：系统的初始条件为零是指系统在初 始时刻没有能量储备。
注意：在建立线性系统的输入—输出描述时， 必须假设系统的初始条件为零。
单变量线性时变系统输入－输出关系： y L(u)
用符号 g(t,τ) 表示该系统的单位脉冲响应，即
g(t,τ)L( (t ))
注意： g(t,τ) 是双变量函数; τ— 代表δ函数作用于系统的时刻； t — 代表观测其输出响应的时刻。
结论1：对单变量线性时变系统，u(t)为其输 入变量，g(t,τ)为其单位脉冲响应，在初始
y
kp
u
s3 1s 2 2s 3
若对其参数一无所知，它的控制律设计就会复 杂得多，而稳定性的分析事实上是无法进行的。
系统的输入—输出描述仅在松弛的条件下才能采用。
若系统在t0时刻是非松弛的，输出 y[t0 ,) 并不能单
单由 u[t0 ,) 所决定，即关系式 不成立。考察简单的一阶系统：
y[t0 ,)
初始条件不为零时，可以将非零的初始条件等 效成在初始时刻的一个脉冲输入。
单位脉冲函数（δ函数 ）
令
0
(t
t1
)
1
0
t t1 t1 t t1 t t1
当Δ→0时， (t t1) 的极限函数，即
线性控制系统理论
例
设 y 5y8y6y 3u
求（A，B，C，D）
解：选
x1 y
..
x3 y
.
x2 y
线性控制系统理论
16
则： x1 x2 x2 x3
x 3 6 x 1 8 x2 5 x 3 3 u
y x1
线性控制系统理论
17
状态空间表达式为
x1 0 1 0x1 0
xx3206
0 8
1x20u 5x3 3
线性反馈系统的时间域综合
• 引言
– 综合问题的提法(*) – 性能指标的类型 – 研究综合问题的思路(*) – 工程实现中的一些理论问题
• 状态反馈和输出反馈
– 状态反馈(*) – 输出反馈 – 状态反馈和输出反馈的比较(*)
• 状态反馈极点配置：单输人情形(*)
– 问题的提法 – 期望闭环极点组 – 极点配置定理 – 极点配置算法(*)
– 由输入输出描述导出状态空间描述（*) – 由方块图描述导出状态空间描述(*)
线性控制系统理论
2
• 线性时不变系统的特征结构 – 特征多项式(*) – 特征值(*) – 特征向量和广义特征向量
• 状态方程的约当规范形 – 特征值为两两相异的情形(*)
• 由状态空间描述导出传递函数矩阵 – 传递函数矩阵 – G(s)基于(A,B,C,D)的表达式(*)
• 外部稳定性和内部稳定性(*)
– 外部稳定性 – 内部稳定性 – 内部稳定性和外部稳定性的关系
• 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
– 李亚普诺夫第一方法和第二方法
– 自治系统.平衡状态和受扰运动
– 李亚普诺夫意义下的稳定 – 渐近稳定 – 不稳定
• 李亚普诺夫第二方法的主要定理(*)
线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)
状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态 的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1 (t0 ), x2 t0 ,, xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
R1
C
iC
duc di L u c R 2C L 0 dt dt duc di L R1i L R1C L e dt dt
1 uc ( R1 R2 )C i R1 L L( R1 R2 ) R2 u R2 R1 R2
x Ax Bu y Cx Du
机电系统状态空间描述的列写示例
R a i a La
dia c e e dt d c M i a f J dt c Ra e 1 ia La ia La L e f a cM 0 J J i
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的两类数学描述
u1
y1
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
(1) 系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
u1
y1
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bn1u ( n1) b1u (1) b0u
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3. 由微分非常或传递函数建立动态方程3.1 实现：对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态 方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一 个状态空间实现。
由于状态变量的选择不唯一，所以状态空间实现也不唯一， 最小实现也不唯一。
3.2 典型实现：设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：y + an-1 y = bn-1u( n-1)( n)( n-1)& + an-2 y(n-2) +L+ a1 y + a0 y(n-2)+ bn-2u& +L+ b1u + b0u(2-11)式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为N ( s ) y ( s) b n -1s + b n - 2 s n -2 L + b1s + b 0 G (s) D = = n D ( s ) u ( s ) s + an -1s n -1 + an - 2 s n - 2 + L + a1s + a0n-1(2-12)(1) 能观测标准形实现设xn = y ü ý & xi = xi+1 +ay-biu i =1Ln-1þ ，, i其展开式为(2-13)xn = y & xi = xi+1 +ai y -biuü ý i =1L n-1þ ，,(2-13)& & xn-1 = xn + an-1y - bn-1u = y + an-1y - bn-1u & & & & xn-2 = xn-1 + an-2 y - bn-2u = y + an-1y - bn-1u + an-2 y - bn-2u Mn-2 n-3 n-3 n-4 n-4 & x2 = x3 + a2 y - b2u = y( ) + an-1y( ) - bn-2u( ) + an-2 y( ) - bn-2u( ) +L+ a2 y - b2u& x1 = x2 + a1y - b1u = y( n-1) + an-1y( n-2) - bn-1u( n-2) -an-2 y( n-3) - bn-2u( n-3) +L+ a1y - b1u考虑式(2-11)可得& x1 = -a0 y + b0u = -a0 xn + b0u故有状态方程：ü ï ï ï M ý & xn -1 = xn - 2 - an - 2 xn + b n - 2u ï ï & xn = xn -1 - an -1 xn + b n -1u ï þ输出方程为& x1 = - a0 xn + b 0u & x2 = x1 - a1 xn + b1u(2-14)y = xn(2-15)其向量-矩阵形式为 式中é0 ê1 ê A = ê0 ê êM ê0 ë - a0 ù 0 L 0 - a1 ú ú 1 L 0 - a2 ú ú M O M M ú 0 L 1 - an -1 ú û 0 L 0& x = A x + b u， y = cxé b0 ù êb ú ê 1 ú b = ê b2 ú ê ú M ú ê ê b n -1 ú ë û(2-16)é x1 ù êx ú ê 2ú x = ê x3 ú ê ú êMú ê xn ú ë ûc = [ 0 L 0 1]式(2-16)所示动态方程，称能观测标准形实现。
ub0¢ x11 x1 s¢ x2 1 x2sL Lxn-2 x¢-1 1 xn-1 nsx¢ 1 xn nsy-a0- a1-an-2- an-1状态变量图（可观测标准型）(2) 能控标准形式实现将式(2-12)所示传递函数 G ( s )分解为两部分相串联，并引入中 间变量 z ( s ，见下图所示 ： )由第一个方块可导出以u作为输入、z作为输出的不含输入导数 项的微分方程，由第二个方块可导出系统输出量y可表为z及其 导数的线性组合，即z +an-1z +L az+az =uü + 1& 0 ï ý ( n-1) y=bn-1z +L b1z+b0z ï + & þ( n)( n-1)(2-17)定义如下一组状态变量x1 = z， 2 = z，， 0 = z x &L x可得状态方程( n-1)(2-18)ü ï ï ï M ý n -1 & & xn = -a0 z - a1 z -L - an-1z ( ) + u ï ï = -a0 x1 - a1 x2 -L - an-1xn + u ï þ& x1 = x2 & x2 = x3(2-19)输出方程为y =b0x1 +b1x2 +L bn-1xn +(2-20) (2-21)其向量-矩阵形式为 式中é 0 ê 0 ê A=ê M ê ê 0 ê -a0 ë 1 0 M 0 -a1 0 1 M 0 - a2& x = Ax + bu，y = cx0 ù 0 ú ú O M ú ú L 1 ú L -an -1 ú ûL Lé0 ù ê0 ú ê ú b = êM ú ê ú ê0 ú ê1 ú ë ûé x1 ù êx ú ê 2 ú x=ê M ú ê ú ê xn-1 ú ê xn ú ë ûc = [ b0b1 L b n -1 ]式(2-21)所示动态方程，称能控标准形实现。
状态变量图（可观测标准型）ub0x¢ n1 sxn1 sxn-1Lx31 sx21 sx1y-an-1-an-2-a2-a1-a0LN(s) 串联分解的状态变量图 D(s)o对偶关系： 注意到能控、能观测两种准形实现动态方程中诸矩阵存在下列 关系： Ac = AT，bc = cT，cc = bT 0 0 0 (2-22) 式中下标表示能控标准形，o表示能观测标准形，T为转置记号。
式(2-22)所示关系称为对偶关系。
(3) G(s)的对角形实现设D(s)的因式分解为D(s) = (s - l1)(s - l2 )L(s - ln )(2-23)式中为系统的相异实极点，则G(s)可展开成部分分式之和，即y ( s ) N ( s ) n ci G (s) = = =å u ( s ) D ( s ) i =1 s - li(2-24)式中é N (s) ù ci = ê × ( s - li ) ú ë D (s) û s = lici y (s) = å u (s) i =1 s - lii = 1， ，n Ln(2-25)nci 称为极点 li 的留数。
且有若令状态变量为xi ( s ) = 1 u (s) s - li(2-26)(2-27)其拉氏反变换结果有 xi ( t ) = li xi ( t ) + u ( t )，y ( t ) = å ci xi ( t ) &i =1(2-28)展开可得& x1 = l1 x1 + u ü &2 = l2 x2 + u ï x ï ý M ï & xn = ln xn + u ï þy = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn(2-29)(2-30)其向量-矩阵形式为& x = Ax + bu，y = cx(2-31)式中é l1 ê A=ê ê ê ë0l20ù ú ú ú O ú ln ûé1ù ê1ú b=ê ú êM ú êú ë1ûc = [ c1 c2 L cn ](4)G ( s ) 的约当形实现当 G ( s )不仅含有相异实极点，还含有相同实极点时，除了可化 为能控、能观测标准形实现以外，还可化为约当形实现，其A 阵是一个含约当块的矩阵。
设 D ( s ) 的因式分解为D( s ) = ( s - l1 ) ( s - lk +1 )L( s - ln )k(2-32)式中 l 1 为 k 重实极点， k + 1， ， l n为相异实极点，则G ( s ) 可 l L 展成下列部分分式之和，即n y (s) N (s) c1k ci c11 c12 G (s) = = = + +L + +å u ( s ) D ( s ) ( s - l1 )k ( s - l1 )k -1 s - l1 i = k +1 s - li(2-33)式中é N ( s) ù ci = ê × ( s - li ) ú ë D ( s) û s =li i = k + 1， ，n L ü ï ï ï ý ï i = 1， L，k ï 2， ï þì 1 d i -1 é N ( s ) k ùü ï ï c1i = í × i -1 ê × ( s - l1 ) ú ý ï ( i - 1) ! ds ë D ( s ) û ï s =l1 î þ(2-34)且y (s) =( s - l1 )c11kn c1k ci u (s) + u (s) +L + u (s) + å u (s) k -1 s - l1 i = k +1 s - li ( s - l1 )c12(2-35)取状态变量 x 1 i 及 x i 为x1 1 ( s ) = x1 2 ( s ) = M x1 k ( s ) = xi ( s ) = 1 1( s - l1 )1ku (s ) u (s )( s - l1 ) ( s - l1 )1k -1u (s ) u (s )( s - li )ü ï ï ï ï ï ï ý ï ï ï ï i = k + 1， ， n ï L ï þ(2-36)则 y ( s ) = c11 x11 ( s ) + c12 x12 ( s ) + L + c1k x1k ( s ) +i = k +1å c x ( s )Ai in(2-37)1112x x éùêúêú是严格有串联分解并引入中间[] =012-5(a)、(b)分别示出可控及可观测标准形实现的状态变量图。