最新北师大版八年级数学下第四章因式分解公式法(二)

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(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．下列等式中，从左到右的变形正确的是（）A ．()22242x x x ++=+B ．()()2444x x x -=+-C ．()222244x y x xy y +=++D ．()()2x 2x 3x 6+-=- 2．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（） A ．2444x x ++B ．244x x -++C ．4244x x -+D ．291216x x ++ 3．在下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（） A ．229x y - B ．21m -+ C ．2216a b -+ D ．21x -- 4．下列因式分解正确的是A ．4m 2-4m +1=4m （m -1）B ．a 3b 2-a 2b +a 2=a 2（ab 2-b ）C ．x 2-7x -10=（x -2）（x -5）D ．10x 2y -5xy 2=5xy （2x -y ） 5．对于任何实数m 、n ，多项式2261036m n m n +--+的值总是（） A ．非负数B ．0C ．大于2D ．不小于2 6．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（） A ．-2B ．2C ．-50D ．50 7．因式分解x ﹣4x 3的最后结果是（） A ．x （1﹣2x ）2B ．x （2x ﹣1）（2x+1）C ．x （1﹣2x ）（2x+1）D ．x （1﹣4x 2）8．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（） A ．()222x y x y +=+B ．()24444x x x x -+=-+C ．()()2111x x x +-=-D ．()210 5521x x x x -=- 9．下列多项式分解因式正确的是（）A ．a 2﹣2a ﹣3＝a （a ﹣2）﹣3B ．3ax 2﹣6ax ＝3（ax 2﹣2ax ）C ．m 3﹣m ＝m （m ﹣1）（m ＋1）D ．x 2＋2xy ﹣y 2＝（x ﹣y ）210．下列因式分解错误的是( )A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )211．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )A ．x 2﹣16+6x =(x +4)(x ﹣4)+6xB ．10x 2﹣5x =5x (2x ﹣1)C ．a 2﹣b 2﹣c 2=(a ﹣b )(a +b )﹣c 2D ．a (m +n )=am +an12．下列因式分解结果正确的是（）A ．x 2+3x +2=x （x +3）+2B ．4x 2﹣9=（4x +3）（4x ﹣3）C ．a 2﹣2a +1=（a +1）2D ．x 2﹣5x +6=（x ﹣2）（x ﹣3）二、填空题13．因式分解：316m m -=________．14．因式分解：41x -=______．15．若6x y +=，3xy =-，则2222x y xy +＝_____．16．若m+n=1，mn=-6，则22m n mn +代数式的值是____________________；17．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4﹣y 4，因式分解的结果是（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x ﹣y ）=0，（x+y ）=18，（x 2+y 2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x 3﹣xy 2，取x=27，y=3时，用上述方法产生的密码是：_____（写出一个即可）．18．分解因式：a 2﹣a ﹣6=________________．19．已知2,350ab b a =--=，则代数式223a b ab ab -+的值为_______________________．20．分解因式：mn 2﹣4mn+4m ＝_____．三、解答题21．（1）因式分解：328a a -．（2）如图，//AB CD ，40A ∠=︒，45D ∠=︒，求1∠和2∠的度数．22．因式分解：（1）382a a -（2）()()24129x y x y +-+-23．下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题．解：原式229()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②2()(32)x y a b =-+③任务一：以上解答过程从第步开始出现错误．任务二：请你写出正确的解答过程．24．（1）分解因式：244am am a ++（2）计算：(-2)(2)(2)x x x y x y ++-25．分解因式：（1）3218a b ab -；（2）244ab ab a -+．26．（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a 2+6a +8．原式＝a 2+6a +9－1＝(a +3) 2－1＝(a +3－1)( a +3+1)＝(a +2)(a +4)②求x 2+6x +11的最小值．解：x 2+6x +11＝x 2+6x +9+2＝(x +3) 2+2；由于(x +3) 2≥0，所以(x +3) 2+2≥2，即x 2+6x +11的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；(2)用配方法因式分解：a 2－12a +35；(3)用配方法因式分解：x 4+4；(4)求4x 2+4x +3的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】分别对各选项进行变形，然后对照进行判断即可得到答案．【详解】解：A 、()22241+3x x x ++=+，原选项变形错误，故不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-，原选项变形错误，故不符合题意；C 、()222244x y x xy y +=++，原选项变形正确，故符合题意；D 、2(2)(3)6x x x x +=---，原选项变形错误，故不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了整式的乘法和因式分解，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．2．C解析：C【分析】利用完全平方公式逐项进行判定即可．【详解】解：A. 2444x x ++，无法因式分解，故不符合题意；B. 244x x -++，无法因式分解，故不符合题意；C. ()2422442x x x -+=-，符合题意；D. 291216x x ++，无法因式分解，故不符合题意．故答案为Ｃ．【点睛】本题主要考查了运用完全公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解答本题关键． 3．D解析：D【分析】根据平方差公式有： 229x y -＝＝（x ＋3y ）（x−3y ）；21m -+＝m 2-1=（m+1）（m−1）；2216a b -+＝b 2−16a 2＝（b ＋4a ）（b−4a ）；而−x 2−1＝−（x 2＋1），不能用平方差公式分解．【详解】A.229x y -＝＝（x ＋3y ）（x−3y ）；B.21m -+＝m 2-1=（m+1）（m−1）；C.2216a b -+＝b 2−16a 2＝（b ＋4a ）（b−4a ）；而−x 2−1＝−（x 2＋1），不能用平方差公式分解．故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式：a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ），熟练掌握此公式是解答此题的关键． 4．D解析：D【分析】A 、利用完全平方公式分解；B 、利用提取公因式a 2进行因式分解；C 、利用十字相乘法进行因式分解；D 、利用提取公因式5xy 进行因式分解．【详解】A 、4m 2-4m+1=（2m-1）2，故本选项错误；B 、a 3b 2-a 2b+a 2=a 2（ab 2-b+1），故本选项错误；C 、（x-2）（x-5）=x 2-7x+10，故本选项错误；D 、10x 2y-5xy 2=xy （10x-5y ）=5xy （2x-y ），故本选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．5．D解析：D【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：2261036m n m n +--+226910252m m n n =-++-++22(3)(5)2m n =-+-+，2(3)0m -，2(5)0n -，22(3)(5)22m n ∴-+-+，∴多项式2261036m n m n +--+的值总是不小于2，故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．6．A解析：A【解析】试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．7．C解析：C【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式=x （1﹣4x 2）=x （1+2x ）（1﹣2x ）．故选C ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．8．D解析：D【分析】直接利用因式分解的定义逐一分析即可得出答案．【详解】A.()222x y x y +=+属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意，B.()24444x x x x -+=-+，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意，C.()()2111x x x +-=-属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意，D.()210 5521x x x x -=-属于因式分解，符合题意. 故选：D ．【点睛】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．9．C解析：C【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案．【详解】A 、a 2﹣2a ﹣3＝a （a ﹣2）﹣3，不符合因式分解的定义，故此选项错误；B 、3ax 2﹣6ax ＝3ax （x ﹣2），故此选项错误；C 、m 3﹣m ＝m （m ﹣1）（m ＋1），正确；D 、x 2＋2xy ﹣y 2，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了十字相乘法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．10．A解析：A【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1，不符合因式分解的定义，故此选项正确；B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )，正确，不符合题意；C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )，正确，不合题意；D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )2，正确，不合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 11．B解析：B【分析】根据因式分解的定义逐个进行判断即可.【详解】解：A 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；B 、把多项式10x 2﹣5x 变形为5x 与2x ﹣1的积，是因式分解；C 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；D 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；故选：B ．【点睛】本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.12．D解析：D【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断．【详解】A ．因为x 2+3x +2=（x +1）（x +2），故A 错误；B ．因为4x 2﹣9=（2x +3）（2x ﹣3），故B 错误；C ．因为a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2，故C 错误；D ．因为x 2﹣5x +6=（x ﹣2）（x ﹣3），故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．二、填空题13．m （m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：=m （m2-16）=m （m+4）（m-4）故答案为：m （m+4）（m-4）【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解解析：m （m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：316m m=m （m 2-16）=m （m+4）（m-4），故答案为：m （m+4）（m-4）【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．【分析】两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案【详解】解：=（x2-1）（x2+1）=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键解析：()()()2111x x x +-+．【分析】两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．【详解】解：41x -=（x 2-1）（x 2+1）=()()()2111x x x +-+．故答案为：()()()2111x x x +-+．【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15．【分析】先将原式因式分解得再整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案是：【点睛】本题考查因式分解解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值解析：36-【分析】先将原式因式分解得()2xy x y +，再整体代入即可求出结果．【详解】解：()22222x y xy xy x y +=+， ∵6x y +=，3xy =-，∴原式()23636=⨯-⨯=-．故答案是：36-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值．16．-6【分析】利用提公因式法因式分解再把m+n=1mn=-6代入计算即可【详解】解：∵m+n=1mn=-6∴m2n+mn2=mn （m+n ）=（-6）×1=-6故答案为：-6【点睛】本题主要考查了因式分解析：-6【分析】利用提公因式法因式分解，再把m+n=1，mn=-6代入计算即可．【详解】解：∵m+n=1，mn=-6，∴m2n+mn2=mn（m+n）=（-6）×1=-6．故答案为：-6．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．17．(答案不唯一)【分析】将多项式4x3-xy2提取x后再利用平方差公式分解因式将x与y的值分别代入每一个因式中计算得到各自的结果根据阅读材料中取密码的方法即可得出所求的密码【详解】4x3-xy2=x（解析：(答案不唯一)【分析】将多项式4x3-xy2，提取x后再利用平方差公式分解因式，将x与y的值分别代入每一个因式中计算得到各自的结果，根据阅读材料中取密码的方法，即可得出所求的密码．【详解】4x3-xy2=x（4x2-y2）=x（2x+y）（2x-y），∴当取x=10，y=10时，各个因式的值是：x=10，2x+y=30，2x-y=10，∴用上述方法产生的密码是：103010，101030或301010，故答案为103010，101030或301010.【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及了提公因式法及平方差公式分解因式，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出取密码的方法是解本题的关键．18．（a+2）（a﹣3）【分析】利用十字相乘法分解即可【详解】解：原式=（a+2）（a-3）故答案是：（a+2）（a-3）【点睛】此题考查了利用十字相乘法因式分解熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键解析：（a+2）（a﹣3）【分析】利用十字相乘法分解即可．【详解】解：原式=（a+2）（a-3）．故答案是：（a+2）（a-3）．【点睛】此题考查了利用十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．-8【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案【详解】∵∵∴又∴原式=2×(-4)=-8故答案为：-8【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式正确将原式变形是解题关键解析：-8【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案．【详解】∵223a b ab ab -+(31)ab a b =-+，∵350b a --=，∴35a b -=-，又2ab =，∴原式=2×(-4)=-8．故答案为：-8．【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键． 20．m （n ﹣2）2【分析】首先提取公因式m 再利用完全平方公式分解因式即可【详解】解：mn2﹣4mn+4m ＝m （n2﹣4n+4）＝m （n ﹣2）2故答案为：m （n ﹣2）2【点睛】此题主要考查了提取公因式法以解析：m （n ﹣2）2【分析】首先提取公因式m ，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：mn 2﹣4mn+4m＝m （n 2﹣4n+4）＝m （n ﹣2）2．故答案为：m （n ﹣2）2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．三、解答题21．（1）2(2)(2)a a a +-；（2）140∠=︒，285∠=︒．【分析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；(2) 根据平行线的性质，可以得到∠1和∠A 的关系，从而可以得到∠1的度数，再根据∠2＝∠1+∠D ，即可求得∠2的度数．【详解】解：（1）原式()2242(2)(2)a a a a a =-=+-．（2）//AB CD ，140A ∴∠=∠=︒，45D ∠=︒，2185D ∴∠=∠+∠=︒．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及平行线的性质，解答第2小题的关键是明确题意，利用平行线的性质和三角形外角和内角的关系解答．22．（1）()()22121a a a +-；（2）()2332x y -+ 【分析】（1）首先提取公因式2a ，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）8a 3-2ab 2=2a （4a 2-1）=2a （2a+1）（2a-1），（2）原式=[3（x-y ）+2]2=（3x-3y+2）2．【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23．①；见解析【分析】根据提公因式法和平方差公式进行因式分解．【详解】解：在小华同学的解答中，对原式进行变形，从第①步开始出现错误，故答案为：①正确过程如下：229()4()a x y b y x -+-229()4()a x y b x y =---22()(94)x y a b =--()(32)(32)x y a b a b =-+-．【点睛】本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．24．（1）()22a m + ；（2）22224x x y --【分析】（1）先提公因式a ，再根据完全平方公式分解因式；（2）先根据整式乘法、乘法公式展开括号，然后再合并同类项即可得到答案．【详解】（1）解：244am am a ++ ()244a m m =++()22a m =+；（2）(2)(2)(2)x x x y x y -++-22224x x x y =-+-22224x x y =--．【点睛】此题考查因式分解及整式的混合运算，掌握多项式的因式分解的方法，整式的乘法计算法则、合并同类项计算法则是解题的关键．25．（1）2(3)(3)ab a a +-；（2）2(21)a b -．【分析】（1）先提取公因式2ab 、然后再运用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式a 、然后再运用完全平方公式分解即可．【详解】（1）3218a b ab -()229ab a =-；2(3)(3)ab a a =+-（2）244ab ab a -+()2441a b b =-+2(21)a b =-．【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键． 26．(1)4；(2) ()()57a a --；(3) ()()222222x x x x ++-+；(4)2.【分析】(1)由2224___222,a a a a ++=+•⨯+ 从而可得答案；(2)由22221235266635a a a a -+=-•⨯+-+化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；(3)由()242222422222x x x x +=+••+-••化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；(4)由 ()22224432221113x x x x ++=+⨯•+-+化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．【详解】解：(1)()22442,a a a ++=+ 故答案为：4.(2)22221235266635a a a a -+=-•⨯+-+()2261a =-- ()()6161a a =-+--()()57.a a =--(3)()242222422222x x x x +=+••+-•• ()()22222x x =+-()()222222.x x x x =++-+(4)()22224432221113x x x x ++=+⨯•+-+ ()2212x =++ ()2210,x +≥()22122,x ∴++≥ 2443x x ∴++的最小值是2.【点睛】本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解1 因式分解

求 mn 的值. 解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4， ∴可设 x4 + mx3 + nx -16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)，则 x4+mx3+nx-16 = x4 +(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b 比较系数得 2b= -16，b- 3a+2 = 0，a - 3=m，2a-3b=n，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， ∴ a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， ∴b = 9. ∴a + b = 15．
(4)(y-3)2 = y2-_6_y_+_9_
(4) y2-6y+9 = ( y-3 )( y-3 )
或 (y-3)2
2 因式分解与整式乘法的关系
想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同?
项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种
变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.

北师大版八年级下册第四章因式分解的常用方法(汇总)

因式分解常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解小结与复习课件

⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
解：原式=(2x+y-1)2
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
(8) (x+1)(x+5）+4
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
2. 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k= （ ±140）
3.计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100
=(-2)100(-2+1) =2100·(-1)=-2100
4.已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
解：原式=x3-x2+5x2-x39
=4x2-9 =(2x+3)(2x-3) 又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
三分 ③再考虑分组分解法
四查 ④检查：特别看看多项式因式是否分解彻底
课堂小结
因式分解
概念
与整式乘法的关系
提公因式法
方法公式法
平方差公式
完全平方差公式
提：公因式步骤运：运用公式
查：检测结果是否彻底
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随堂训练
1.把下列各式分解因式：
(1) 4x2-16y2
(2) x2+xy+ y2.
第四章因式分解
小结与复习
知识归纳
复习点一（一）分解因式的概念：
把一个多项式化成几个整式的积的情势，叫做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积

北师版八年级下册数学第4章因式分解平方差公式(2)

解：原式＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2)．当x＝3时，原式＝2×3×(3＋2)×(3－2)＝2×3×5×1＝ 30.
15．【中考·大庆】已知x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．
解：∵x2－y2＝12， ∴(x＋y)(x－y)＝12. ∵x＋y＝3①， ∴x－y＝4②. 由①＋②，得2x＝7.∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28.
北师版八年级下
第四章因式分解
3 公式法第1课时平方差公式
提示：点击进入习题
1 (a＋b)(a－b)；和；差 2C 3A 4A 5 见习题
6A
答案显示
7C 8D
9 a(b＋1)(b－1)
(x＋2y)(x－2y)；(2a＋3)(2a 10 －3)
11 －4 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
(3)3a2－48; 解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)；
(4)2a2(n－m)＋8(m－n)．原式＝2a2(n－m)－8(n－m)＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－m)(a＋2)(a －2)．
13．计算：
(1)25×1012－992×25；
解：原式＝25×(1012－992) ＝25×(101＋99)×(101－99) ＝25×200×2 ＝10000；
8．因式分解的结果是(x＋y－z)(x－y＋z)的多项式是( )
D
A．x2－(y＋z)2
B．(x－y)2－z2
C．－(x－y)2＋z2
D．x2－(y－z)2
9．【2020·安徽】分解因式：ab2－a＝_____________a_(.b＋1)(b－1)
10．【2021·江西】因式分解：x2－4y2＝______________(x_＋. 2y)(x－2y) 【2021·乐山】因式分解：4a2－9＝________________.

八年级数学下册第4章因式分解4.3 公式法第2课时用完全平方公式分解因式习

(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；＝(x2＋16y2)2－(8xy)2 ＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy) ＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a3－a＋2b－2a2b；＝a(a2－1)＋2b(1－a2) ＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(4)【2019·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋ 12b－61，c是△ABC中最短边的长(三边长各不相等)，且c为整数，那么c可能是哪几个数？
解：∵a2＋b2＝10a＋12b－61， ∴(a－5)2＋(b－6)2＝0， ∴a＝5，b＝6，∴1＜c＜11. ∵c 是△ABC 中最短边的长，且 c 为整数，∴c 可能是 2，3，4.
8．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab， ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( ) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
【点拨】从图形的特征入手，利用面积公式求解．【答案】B
9．【2019·哈尔滨】把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式的结果是_a_(_a_－__3_b_)2___．
题．相信你也能很好地解决下面两个问题．请写出你的解题过程．
ห้องสมุดไป่ตู้
解决问题： (1)若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；解：∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0， ∴x2－4xy＋4y2＋y2＋2y＋1＝0， ∴(x－2y)2＋(y＋1)2＝0，∴x－2y＝0，y＋1＝0，解得 x＝－2，y＝－1，故 xy＝(－2)－1＝－12.
10．【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( C ) A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2 【点拨】8a3－8a2＋2a＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a －1)2.故选C.

北师大数学八年级下册第四章-因式分解进阶经典讲义

第02讲_因式分解进阶知识图谱因式分解的高级方法知识精讲一．十字相乘法二．分组分解法分组分解法分解因式常用的思路有：十字相乘法 2(0)ax bx c a ++≠ 若a 1 c 2+a 2 c 1 =b ，则 21122()()ax bx c a x c a x c ++=++ 分解思路为“看两端，凑中间” 21232x x ++21232=(8)(4)x x x x ++++a 1a 2c 2c 1a 1c 2 + a 2c 1分组分解法（1）适用场景：不能直接运用提公因式法和公式法（2）方法：把这个多项式分成几组，对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解四项=二项+二项（按字母分组、按系数分组、符合公式的两项分组）四项=三项+一项（先完全平方公式后平方差公式）五项=三项+二项（完全平方公式）六项=三项+三项（完全平方公式）六项=二项+二项+二项（各组之间有公因式）六项=三项+二项+一项（完全平方公式）三．换元法四．拆、添项法三点剖析一．考点：1．十字相乘法；2．分组分解法；3．换元法；4．拆、添项二．重难点：十字相乘法；分组分解法；换元法；拆、添项．三．易错点：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：在上式中，竖向的两个数必须满足关系12a a a =，12c c c =；斜向的两个数必须满足关系1221a c a c b +=，分解思路为“看两端，凑中间．”（2）换元法换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来，并最终对每一项都彻底因式分解．c 1c 2a 2a 1换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，简化运算过程设，则原式易错点：换元分解因式后，一定要记得将原有的字母换回来。

并再次对每一项彻底的因式分解拆、添项（1）在多项式中添上两个符号相反的项，再使用分组分解法进行分解因式（2）将多项式中的某一项拆成两项或多项，再使用分组分解法十字相乘法例题1、如果把多项式x 2﹣8x+m 分解因式得（x ﹣10）（x+n ），那么m+n=_____________．【答案】 -18【解析】 ∵x 2﹣8x+m=（x ﹣10）（x+n ）， ∴x 2﹣8x+m=x 2+（﹣10+n ）x ﹣10n ， ∴﹣10+n=﹣8，m=﹣10n ，解得：n=2，m=﹣20， m+n=﹣20+2=﹣18．例题2、因式分解：﹣2x 2y+8xy ﹣6y=_______．【答案】 ﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）【解析】原式=﹣2y （x 2﹣4x+3）=﹣2y （x ﹣1）（x ﹣3）例题3、甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9），则a=__，b=__．【答案】 6；9【解析】分解因式x 2+ax+b ，甲看错了b ，但a 是正确的，他分解结果为（x+2）（x+4）=x 2+6x+8， ∴a=6，同理：乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9）=x 2+10x+9， ∴b=9，例题4、因式分解：221999199911999x x .【答案】 ()()199911999x x +- 【解析】该题考查的是因式分解．十字相乘可得原式()()199911999x x =+- 例题5、把下列多项式因式分解（1）22273x xy y -+（2）22675x xy y --【答案】（1）(3)(2)x y x y --（2）(2)(35)x y x y +-【解析】（1）22273(3)(2)x xy y x y x y -+=--（2）22675(2)(35)x xy y x y x y --=+- 例题6、把下列多项式因式分解（1）2532x x -- （2）2568x x +- （3）26525x x -- （4）26113x x -+【答案】（1）(52)(1)x x +- （2）(54)(2)x x -+（3）(25)(35)x x -+（4）(23)(31)x x --【解析】利用十字相乘法进行因式分解可得（1）2532(52)(1)x x x x --=+- （2）2568(54)(2)x x x x +-=-+ （3）26525(25)(35)x x x x --=-+ （4）26113(23)(31)x x x x -+=-- 例题7、分解因式：2214425x y xy +- 【答案】 ()212x -【解析】略例题8、仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2－4x ＋m 有一个因式是（x ＋3），求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为（x ＋n ），得 x 2－4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）则x 2－4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ∴343n m n +=-⎧⎨=⎩．解得：n ＝－7，m ＝－21 ∴另一个因式为（x －7），m 的值为－21 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x 2＋3x －k 有一个因式是（2x －5），求另一个因式以及k 的值．【答案】另一个因式为（x ＋4），k ＝20 【解析】设另一个因式为（x ＋a ），得2x 2＋3x －k ＝（2x －5）（x ＋a ）则2x 2＋3x －k ＝2x 2＋（2a －5）x －5a ∴2535a a k -=⎧⎨-=-⎩解得：a ＝4，k ＝20故另一个因式为（x ＋4），k 的值为20．随练1、如果x 2－px ＋q ＝（x ＋1）（x －3），那么p 等于（） A.－2 B.2 C.－3 D.3【答案】 B【解析】已知等式整理得：x 2－px ＋q ＝（x ＋1）（x －3）＝x 2－2x －3，可得－p ＝－2，q ＝3，解得：p ＝2．随练2、分解因式：22268x y x y -++- 【答案】 (4)(2)x y x y -++-【解析】 ()()22222682169x y x y x x y y -++-=++--+()()()()22131313x y x y x y =+--=++-+-+ 随练3、阅读下列材料，并解答相应问题：对于二次三项式x 2+2ax+a 2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a ）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x 2+2ax ﹣3a 2=x 2+2ax+a 2﹣a 2﹣3a 2=（x+a ）2﹣（2a ）2=（x+3a ）（x ﹣a ）（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是； A ．提公因式法 B ．十字相乘法 C ．配方法 D ．公式法（2）这种方法的关键是；（3）用上述方法把m 2﹣6m+8分解因式．【答案】（1）B ；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形（3）（m ﹣2）（m ﹣4）【解析】（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是十字相乘法；（2）这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形；（3）原式=m 2﹣6m+9﹣1=（m ﹣3）2﹣1=（m ﹣3+1）（m ﹣3﹣1）=（m ﹣2）（m ﹣4），故答案为：（1）B ；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形随练4、把下列多项式因式分解（1）2232x xy y ++ （2）2276x xy y -+ （3）22421x xy y --（4）22215x xy y +-【答案】（1）()(2)x y x y ++（2）()(6)x y x y --（3）(3)(7)x y x y +-（4）(3)(5)x y x y -+【解析】（1）()()22322x xy y x y x y ++=++（2）2276()(6)x xy y x y x y -+=-- （3）22421(3)(7)x xy y x y x y --=+-（4）22215(3)(5)x xy y x y x y +-=-+ 随练5、把下列多项式因式分解（1）2383x x +- （2）2352x x -+ （3）42627x x -- （4）2236a b a ab +--【答案】（1）(31)(3)x x -+（2）(32)(1)x x --（3）2(3)(3)(3)x x x -++（4）(2)(13)a b a +-【解析】（1）2383(31)(3)x x x x +-=-+ （2）2352(32)(1)x x x x -+=--（3）()()()()()4222262793333x x x x x x x --=-+=+-+ （4）()()()()2236232213a b a ab a b a a b a b a +--=+-+=+- 随练6、把下列多项式因式分解（1）2273x x -+ （2）2675x x -- （3）4268x x ++（4）2()4()3a b a b +-++【答案】（1）(3)(21)x x --（2）(21)(35)x x +-（3）22(2)(4)x x ++（4）(1)(3)a b a b +-+- 【解析】（1）利用十字相乘法进行因式分解得（1）2273(3)(21)x x x x -+=-- （2）2675(21)(35)x x x x --=+- （3）422268(2)(4)x x x x ++=++（4）2()4()3(1)(3)a b a b a b a b +-++=+-+-分组分解法例题1、已知：a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝0，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】 a ＝b ＝c【解析】 ∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0， ∵2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0，a 2＋b 2－2ab ＋b 2＋c 2－2bc ＋a 2＋c 2－2ac ＝0，即（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2＝0， ∵a －b ＝0，b －c ＝0，c －a ＝0， ∵a ＝b ＝c ．例题2、已知a=998，b=997，c=996，则a 2﹣ab ﹣ac+bc=______________．【答案】 2【解析】原式=a （a ﹣b ）﹣c （a ﹣b ） =（a ﹣b ）（a ﹣c ） =（998﹣997）（998﹣996） =1×2 =2，例题3、分解因式a 2﹣b 2﹣2b ﹣1=__________．【答案】（a+b+1）（a ﹣b ﹣1）．【解析】 a 2﹣b 2﹣2b ﹣1 =a 2﹣（b 2+2b+1） =a 2﹣（b+1）2 =（a+b+1）（a ﹣b ﹣1）．例题4、把下列多项式因式分解（1）224484a b a b ab +-+-（2）222xy xz y yz z --+-【答案】（1）(2)(24)a b a b ---（2）()()y z x y z --+【解析】（1）()()()()()()2222244844448242224a b a b ab a ab b a b a b a b a b a b +-+-=-+--=---=---（2）()()()()2222xy xz y yz z x y z y z y z x y z --+-=---=--+例题5、仔细阅读下列解题过程：若a 2＋2ab ＋2b 2－6b ＋9＝0，求a 、b 的值．解：∵a 2＋2ab ＋2b 2－6b ＋9＝0 ∴a 2＋2ab ＋b 2＋b 2－6b ＋9＝0 ∴（a ＋b ）2＋（b －3）2＝0 ∴a ＋b ＝0，b －3＝0 ∴a ＝－3，b ＝3根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知x 2－2xy ＋2y 2－2y ＋1＝0，求x ＋2y 的值；（2）已知a 2＋5b 2－4ab －2b ＋1＝0，求a 、b 的值；（3）若m ＝n ＋4，mn ＋t 2－8t ＋20＝0，求n 2m －t 的值．【答案】（1）3 （2）a ＝2；b ＝1 （3）1【解析】（1）∵x 2－2xy ＋2y 2－2y ＋1＝0 ∴x 2－2xy ＋y 2＋y 2－2y ＋1＝0 ∴（x －y ）2＋（y －1）2＝0 ∴x －y ＝0，y －1＝0， ∴x ＝1，y ＝1， ∴x ＋2y ＝3；（2）∵a 2＋5b 2－4ab －2b ＋1＝0 ∴a 2＋4b 2－4ab ＋b 2－2b ＋1＝0 ∴（a －2b ）2＋（b －1）2＝0 ∴a －2b ＝0，b －1＝0 ∴a ＝2，b ＝1；（3）∵m ＝n ＋4，∴n （n ＋4）＋t 2－8t ＋20＝0 ∴n 2＋4n ＋4＋t 2－8t ＋16＝0 ∴（n ＋2）2＋（t －4）2＝0 ∴n ＋2＝0，t －4＝0 ∴n ＝－2，t ＝4 ∴m ＝n ＋4＝2∴n 2m －t ＝（－2）0＝1．例题6、阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法．（1）am+an+bm+bn=（am+bm ）+（an+bn ）=m （a+b ）+n （a+b ）=（a+b ）（m+n ）；（2）x 2﹣y 2﹣2y ﹣1=x 2﹣（y 2+2y+1）=x 2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x+y ﹣1）试用上述方法分解因式：（1）a 2+2ab+b 2+ac+bc （2）4a 2﹣x 2+4xy ﹣4y 2．【答案】（1）（a+b ）（a+b+c ）（2）（2a+x ﹣2y ）（2a ﹣x+2y ）【解析】（1）原式=（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ）=（a+b ）2+c （a+b ）=（a+b ）（a+b+c ）；（2）原式=4a 2﹣（x 2﹣4xy+4y 2）=4a 2﹣（x ﹣2y ）2=（2a+x ﹣2y ）（2a ﹣x+2y ）．例题7、把下列多项式因式分解（1）251539a m am abm bm -+-（2）432x x x x +++（3）432433x x x x ++++ （4）22ax bx bx ax a b -+-+-（5）2223(1)()22x x xy y x y xy +-+++（6）222x x y xy x y y -+-+-【答案】（1）()()353m a a b -+；（2）()()211x x x ++；（3）()()2213xx x +++；（4）()()21a b x x --+；（5）()222(1)x x xy y +++；（6）()()21y x x y --+【解析】（1）()()()()2515395333353a m am abm bm m a a b a m a a b -+-=-+-=-+⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()432321111x x x x x x x x x x x +++=+++=++ （3）()()()43243222243333313x x x x x x x x x xx x ++++=+++++=+++（4）()()()()22221ax bx bx ax a b x a b x a b a b a b x x -+-+-=---+-=--+（5）()()2223222222(1)()22(1)2(1)x x xy y x y xy x x xy y xy x x xy y +-+++=+-++=+++ （6）()()()()()222221111x x y xy x y y x y x y y y y x x y -+-+-=---+-=--+ 随练1、分解因式：y+y 2+xy+xy 2=______．【答案】 y （1+y ）（1+x ）【解析】先进行分组，再用提公因式法进行因式分解，即可解答．解：y+y 2+xy+xy 2=（y+y 2）+（xy+xy 2） =y （1+y ）+xy （1+y ） =（1+y ）（y+xy ） =y （1+y ）（1+x ）．随练2、分解因式：3232x x y y +-- 【答案】 22()()x y x x xy y y -++-+【解析】原式33222222()()()()()()()()x y x y x y x xy y x y x y x y x x xy y y =-+-=-++++-=-++-+ 随练3、分解因式：43221x x x x ++++ 【答案】 22(1)(1)x x x +++【解析】原式432222222()(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++ 随练4、把下列多项式因式分解（1）2214497x xy y x y -++- （2）222(2)123(3)m n mn n m +--- 【答案】（1）(7)(71)x y x y --+ （2）(23)(23)m n m n mn --+【解析】（1）()()()()2221449777771x xy y x y x y x y x y x y -++-=-+-=--+ （2）()()2222222(2)123(3)234129m n mn n m m n mn m mn n +---=-+-+()()()()223232323mn m n m n m n mn m n =-+-=-+-随练5、把下列多项式因式分解（1）2222x x y xy x y y -+-+- （2）222ax by cx ay bx cy ++--- （3）222221a b c c ab +---- （4）222494126x y z xy yz xz ++--+ 【答案】（1）()(1)(1)x y y x ---（2）()(2)a b c x y -+-（3）(1)(1)a b c a b c -++---（4）2(23)x y z -+ 【解析】（1）()()()22222222x x y xy x y y x y x y xy x y -+-+-=-----()()()()()()()11x y x y xy x y x y x y x y y =+-----=----⎡⎤⎣⎦()()()11x y y x =---（2）()()222222ax by cx ay bx cy ax bx cx by ay cy ++---=-++--()()()()22x a b c y a b c a b c x y =-+--+=-+-（3）()()()()222222222212211a b c c ab a ab b c c a b c +----=-+-++=--+(1)(1)a b c a b c =-++--- （4）()222249412623x y z xy yz xz x y z ++--+=-+随练6、把下列多项式因式分解（1）222xy xz y yz z --+- （2）222222x y xz z a ay --+-- （3）22(3)(34)a b b a --- （4）2(1)1x x x ----【答案】（1）()()y z x y z --+（2）()()x z a y x z a y -++---（3）(2)(32)a b a -+（4）2(1)(1)x x -+ 【解析】（1）()()()()2222xy xz y yz z x y z y z y z x y z --+-=---=--+ （2）()()()()22222222222222x y xz z a ay x xz z y ay a x z y a --+--=-+-++=--+ ()()x z a y x z a y =-++---（3）()()2222(3)(34)62346342a b b a a b ab a a ab a b ---=--+=-+-()()()()3222232a a b a b a b a =-+-=-+（4）()()()()()()2233222(1)1111111x x x x x x x x x x x x x x ----=-++-=-+-=-+-=-+ 随练7、把下列多项式因式分解（1）23442x x x -+- （2）24263a ab a b +++ （3）2244a b a b -+- （4）22944a ab b ---（5）2221693025m a ab b -+-（6）22194m n mn -++（7）224252036x y xy +--【答案】（1）()()()2212x x x x --+-+（2）(23)(2)a a b ++（3）()(4)a b a b -++（4）(32)(32)a b a b ++--（5）(435)(435)m a b m a b +--+ （6）11(3)(3)22m n m n +++-（7）(256)(256)x y x y -+-- 【解析】（1）()()()()()()2234222242422212x x x x x x x x x x x xx -+-=--=+--+=--+-+（2）()()()()242632232223a ab a b a a b a b a b a +++=+++=++ （3）()()()()()224444a b a b a b a b a b a b a b -+-=+-+-=-++（4）()()()222944923232a ab b a b a b a b ---=-+=++--（5）()()()2222216930251635435435m a ab b m a b m a b m a b -+-=--=+--+ （6）222111199334222m n mn m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-=+++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （7）()()()22=256256256x y x y x y --=-+--换元法例题1、若实数a ，b 满足（2a ＋2b ）（2a ＋2b －2）－8＝0，则a ＋b ＝________．【答案】－1或2【解析】设a ＋b ＝x ，则由原方程，得 2x （2x －2）－8＝0，整理，得4x 2－4x －8＝0，即x 2－x －2＝0，分解得：（x ＋1）（x －2）＝0，解得：x 1＝－1，x 2＝2．则a ＋b 的值是－1或2．例题2、分解因式：22()(32349)x x x x -+--+ 【答案】 223()1x x -- 【解析】 22222223234()()(9326329())3(1)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=-- 例题3、分解因式：（1）2(3)5(3)14p p ---- （2）()()224341256xx x x -+--+【答案】（1）(10)(1)p p --（2）2(1)(5)(44)x x x x +---【解析】（1）()()()()()()2235314353143732p p p p p p ----=----=---+()()101p p =-- （2）()()()()22222434125649420x x x x x x x x -+--+=---+()()()()()22244455144x x x x x x x x =----=-+--例题4、分解因式：（1）2(3)5(3)14p p ----（2）()()224341256x x x x -+--+（3）22(815)(87)15x x x x +++++（4）22(1)(2)12x x x x ++++- 【答案】（1）(10)(1)p p --（2）2(1)(5)(2)x x x +--（3）2(2)(6)(810)x x x x ++++（4）2(1)(2)(5)x x x x -+++ 【解析】（1）()()()()()()2235314353143732p p p p p p ----=----=---+()()101p p =--（2）()()()()22222434125649420x x x x x x x x -+--+=---+()()()()()22244455144x x x x x x x x =----=-+--（3）()()()()2222281587158228120x x x x x x x x +++++=++++()()()()()22281081226810x x x x x x x x =++++=++++（4）()()()()222221212310x x x x x x x x ++++-=+++-()()()()()22252215x x x x x x x x =+++-=+-++随练1、已知实数x ，y 满足（x 2＋y 2）（x 2＋y 2－12）＝45，求x 2＋y 2的值．【答案】 15【解析】设x 2＋y 2＝a ，则a （a －12）＝45， a 2－12a －45＝0，（a －15）（a ＋3）＝0， a 1＝15，a 2＝－3， ∵x 2＋y 2＝a≥0， ∴x 2＋y 2＝15．随练2、 (2013初二上期中人民大学附属中学)因式分解：222618680x xx x【答案】 ()()()224410x x x x ++++．【解析】该题考查的是因式分解．令26x x a +=，则原式21880a a =++ ()()810a a =++()()2268610x x x x =++++()()()224410x x x x =++++随练3、因式分解：222618680x xx x【答案】 ()()()224410x x x x ++++．【解析】该题考查的是因式分解．令26x x a +=，则原式21880a a =++ ()()810a a =++()()2268610x x x x =++++ ()()()224410x x x x =++++ 随练4、分解因式：（1）22(815)(87)15x x x x +++++ （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【答案】（1）2(2)(6)(810)x x x x ++++（2）2(1)(2)(5)x x x x -+++ 【解析】（1）()()()()2222281587158228120x x x x x x x x +++++=++++()()()()()22281081226810x x x x x x x x =++++=++++（2）()()()()222221212310x x x x x x x x ++++-=+++-()()()()()22252215x x x x x x x x =+++-=+-++拆、添项例题1、分解因式441x +【答案】 22(221)(221)x x x x ++-+ 【解析】()()()()224422222414414212212212x x x x x x x x x x +=++-=+-=+++-例题2、分解因式：42471x x -+ 【答案】 22(71)(71)x x x x ++-+【解析】 ()()()()22424222224712149171717x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-例题3、分解因式：841x x ++【答案】 2242(1)(1)(1)x x x x x x ++-+-+【解析】原式844424424221(1)(1)(1)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+2242(1)(1)(1)x x x x x x =++-+-+例题4、分解因式：32265x x x +-- 【答案】 (1)(3)(2)x x x ++-【解析】 3232226566(1)(3)(2)x x x x x x x x x x x +--=+++--=++-例题5、分解因式)()()(222y x z x z y z y x -+-+- 【答案】 ))()((z x y x z y ---【解析】 22222222()()()=()()()=()()()x y z y z x z x y x y z z x y x y z z y y z x y x z -+-+--+-+----随练1、分解因式：343a a -+【答案】2(1)(3)a a a -+- 【解析】 332224333(1)(3)a a a a a a a a a a -+=-+--+=-+-随练2、分解因式：224414x y x y -++【答案】 2222(4)(4)x y xy x y xy +++-【解析】 ()()22224442242222142164x y x y x x y y x y x y xy -++=++-=+-()()222244x y xy x y xy =+++-随练3、分解因式：4414x y +【答案】 222211()()22x y xy x y xy +++- 【解析】 ()224442242222111442x y x x y y x y x y xy ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭22221122x y xy x y xy ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭随练4、分解因式：4231x x -+【答案】22(1)(1)x x x x +--- 【解析】拆项法：原式=422222[()(1)](1)(1)x x x x x x x x ----=+--- 随练5、分解因式：4224a ab b ++【答案】 2222()()a ab b a ab b ++-+【解析】添项法：原式=2422422a a b b a b ++-随练6、分解因式：432234232a a b a b ab b ++++【答案】222()a ab b ++ 【解析】 43223443222234232222a a b a b ab b a a b a b a b ab b ++++=+++++()()4224222222a a b b ab a b a b =+++++()()()22222222222a b ab a b a b a b ab =++++=++随练7、分解因式：（1）()()22ax by bx ay ++-（2）()(2)(1)(1)x y x y xy xy xy +++++-【答案】（1）2222()()a b x y ++（2）(1)(1)(1)x y x y xy ++++-【解析】（1）()()222222222222ax by bx ay a x abxy b y b x abxy a y ++-=+++-+()()()()2222222222x a b y a b a b x y =+++=++（2）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-()()()()222211x y xy x y xy x y xy =++++-=++-()()()()()11111x y xy x y xy x y x y xy =+++++-=++++-拓展1、因式分解（1）3x ﹣12x 2 （2）x 2﹣9x ﹣10（3）x 2﹣2xz+z 2﹣4y 2（4）25（m+n ）2﹣4（m ﹣n ）2．【答案】（1）3x （1﹣4x ）（2）（x ﹣10）（x+1）（3）（x ﹣z+2y ）（x ﹣z ﹣2y ）（4）（7m+3n ）（3m+7n ）【解析】（1）原式=3x （1﹣4x ）；（2）原式=（x ﹣10）（x+1）；（3）原式=（x ﹣z ）2﹣4y 2=（x ﹣z+2y ）（x ﹣z ﹣2y ）；（4）原式=[5（m+n ）+2（m ﹣n ）][5（m+n ）﹣2（m ﹣n ）] =（7m+3n ）（3m+7n ）． 2、因式分解 ①3p 2﹣6pq ②2x 2+8x+8③a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ） ④x 2﹣2x ﹣15．【答案】 ①3p （p ﹣2q ）， ②2（x+2）2 ③（x ﹣y ）（a+4）（a ﹣4） ④ （x ﹣5）（x+3）【解析】 ①3p 2﹣6pq=3p （p ﹣2q ）；②2x 2+8x+8=2（x 2+4x+4）=2（x+2）2； ③a 2（x ﹣y ）+16（y ﹣x ） =（x ﹣y ）（a 2﹣16） =（x ﹣y ）（a+4）（a ﹣4）； ④x 2﹣2x ﹣15=（x ﹣5）（x+3）． 3、因式分解：3232x x x ++. 【答案】 ()()12x x x ++【解析】该题考查的是因式分解．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫做分解因式． 3232x x x ++()232x x x =++()()12x x x =++4、分解因式：22672x xy y -+ 【答案】（3x -y ）（x -2y ）【解析】（3x -y ）（x -2y ）5、把下列多项式因式分解（1）22568x xy y +- （2）2232x xy y -+ （3）2263x x +-（4）2815x x -+【答案】（1）(2)(54)x y x y +-（2）()(2)x y x y --（3）(9)(7)x x +-（4）(3)(5)x x -- 【解析】（1）22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-（2）()()22322x xy y x y x y -+=-- （3）()()226397x x x x +-=+-（4）()()281535x x x x -+=--6、分解因式：x 3﹣5x 2y ﹣24xy 2= ．【答案】 x （x+3y ）（x ﹣8y ）【解析】 x 3﹣5x 2y ﹣24xy 2 =x （x 2﹣5xy ﹣24y 2） =x （x+3y ）（x ﹣8y ）故答案为：x （x+3y ）（x ﹣8y ）．7、分解因式：2212x x y ---+ 【答案】 (1)(1)y x y x ++--【解析】原式2222(12)(1)(1)(1)y x x y x y x y x =-++=-+=++--8、把22222222448a b c d a c b d abcd +--+因式分解．【答案】 (22)(22)ab cd ac bd ab cd ac bd ++-+-+【解析】 ()()22222222222222224484444a b c d a c b d abcd a b abcd c d a c abcd b d +--+=++--+ ()()2222(22)(22)ab cd ac bd ab cd ac bd ab cd ac bd =+--=++-+-+9、分解因式：3254222x x x x x --++- 【答案】 42(2)(1)x x x -+-【解析】原式32542442(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x x x x x x x =---+-=---+-=-+- 10、把下列多项式因式分解（1）224484a b a b ab +-+-（2）4322221a a a a ++++【答案】（1）(2)(24)a b a b ---（2）22(1)(1)a a ++【解析】（1）()()222244844448a b a b ab a ab b a b +-+-=-+--()()2242a b a b =---()()224a b a b =---（2）()()()()243242222221212111a a a a a a a a a a ++++=++++=++11、把下列多项式因式分解（1）22ax bx bx ax a b -+-+-（2）432433x x x x ++++（3）2222424a b c d ab cd +--++（4）2269261x xy y x y ++--+ 【答案】（1）()()21a b x x --+；（2）()()2213x x x +++；（3）(2)(2)a b c d a b c d ++-+-+；（4）2(31)x y +-【解析】（1）()()()()22221ax bx bx ax a b x a b x a b a b a b x x -+-+-=---+-=--+ （2）()()()43243222243333313x x x x x x x x x x x x ++++=+++++=+++ （3）()()()()222222424222a b c d ab cd a b c d a b c d a b c d +--++=+--=++-+-+（4）()()()222269261323131x xy y x y x y x y x y ++--+=+-++=+- 12、把下列多项式因式分解（1）242363ax bx x ay by y -+-+- （2）224484a b a b ab +-+- （3）5432221x x x x x +--++（4）228166249x xy y x y -++-+ 【答案】（1）(21)(23)a b x y -+-（2）(2)(24)a b a b ---（3）32(1)(1)x x +-（4）2(43)x y -+ 【解析】 (1)()()()()2423632213212123ax bx x ay by y x a b y a b a b x y -+-+-=-+--+=-+-(2)()()()()()()2222244844448242224a b a b ab a ab b a b a b a b a b a b +-+-=-+--=---=---(3)()()()()()2543242232221121111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x +--++=+-+++=+-=+-(4)()()()22228166249464943x xy y x y x y x y x y -++-+=-+-+=-+13、把下列多项式因式分解（1）1xy x y --+ （2）325153x x x --+ （3）27321x y xy x -+- （4）(1)(2)6x x x --- （5）222(1)()ab x x a b +++（6）215430bm bn am an -+-（7）233a a ab b --+【答案】（1）()()11y x --；（2）()()2351x x --；（3）()()37x x y -+；（4）()()232x x -+；（5）()()ax b bx a ++；（6）()()2215b a m n +-；（7）()()3a b a -- 【解析】（1）()()()()()()111111xy x y xy x y x y y y x --+=---=---=-- （2）()()()()()()32322251535153533351x x x x x x x x x x x --+=---=---=-- （3）()()()()()()227321721373337x y xy x x x xy y x x y x x x y -+-=-+-=-+-=-+（4）()()()()()()323222(1)(2)632632632332x x x x x x x x x x x x x x ---=-+-=-+-=-+-=-+ （5）()()()()()()222222(1)()ab x x a b abx b x a x ab bx ax b a ax b ax b bx a +++=+++=+++=++ （6）()()215430241530bm bn am an bm am bn an -+-=+-+ ()()()()221522215m b a n b a b a m n =+-+=+-（7）()()()()()()22333333a a ab b a ab a b a a b a b a b a --+=---=---=--14、把下列多项式因式分解（1）2c abcd ac bd -+-（2）5432222a a a a a +++++ （3）54ax ax ax a -+-（4）2ax ay a bx by ab -++-+ （5）2293x x y y ---（6）2222x y z yz --+【答案】（1）(1)(1)ac bd +-（2）23(1)(2)a a a +++（3）4(1)(1)a x x -+ （4）()()x y a a b -++（5）(3)(31)x y x y +--（6）()()x y z x y z +--+【解析】（1）()()()()21c abcd ac bd c bd ac c bd c bd ac -+-=-+-=-+ （2）()()()()54323222322212112a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+++ （3）()()()()54441111ax ax ax a ax x a x a x x -+-=-+-=-+（4）()()()()()2ax ay a bx by ab x a b y a b a a b a b x y a -++-+=+-+++=+-+（5）()()()()()()()22229393333331x x y y x y x y x y x y x y x y x y ---=--+=+--+=+-- （6）()()()()2222222222x y z yz x y yz z x y z x y z x y z --+=--+=--=+--+ 15、若m ＝4n ＋3，则m 2－8mn ＋16n 2的值是________．【答案】 9【解析】 ∵m ＝4n ＋3， ∴m －4n ＝3，则原式＝（m －4n ）2＝32＝9．16、分解因式：()()x x x x 2232349-+--+【答案】 ()2231x x --【解析】 2222222(32)(34)9(32)6(32)9(31)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=--17、因式分解：()()222618680x x x x ++++【答案】 ()()()224610x x x x ++++．【解析】令26x x a +=，则原式21880a a =++()()810a a =++()()2268610x x x x =++++()()()224610x x x x =++++18、分解因式41)42)(52(22++---x x x x 【答案】 ()()()21322x x x x +--+ 【解析】本题考查的是因式分解．设22y x x =-，上式()()5414y y =-++，整理得：上式26y y =--十字相乘法得：上式()()32y y =-+．把22y x x =-代入得：()()222322x x x x ---+十字相乘法得：上式()()()21322x x xx =+--+19、因式分解：（1）222618680x xx x（2）()()x x x x 2232349-+--+【答案】（1）()()()224610x x x x ++++；（2）()2231x x --【解析】（1）令26x x a +=，则原式21880a a =++()()810a a =++()()2268610x x x x =++++=()()()224610x x x x ++++（2）2222222(32)(34)9(32)6(32)9(31)x x x x x x x x x x -+--+=-+--++=--20、分解因式：（1）224414x y x y -++（2）841x x ++【答案】 2222(4)(4)x y xy x y xy +++-；2242(1)(1)(1)x x x x x x ++-+-+ 【解析】（1）()()22224442242222142164x y x y x x y y x y x y xy -++=++-=+-()()222244x y xy x y xy =+++-（2）848442242121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x ++=++-=++-+-+21、分解因式：464x +【答案】22(84)(84)x x x x +++- 【解析】()()()()22442222264166416848484x x x x x x x x x x +=++-=+-=+++-22、分解因式：3234x x +-【答案】 2(1)(2)x x --【解析】 323222344444(1)(2)x x x x x x x x x +-=-+-+-=--23、分解因式：12631x x -+ 【答案】 6363(1)(1)x x x x -+++【解析】()()()()2212612666363633121111x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=-+++24、分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++ 【答案】 ()()()()c a b c a b a b c a b c -+--++++- 【解析】 444222222222a b c a b b c c a ---+++ 22444222222222222222222222242224()(2)(2)()()()()a b a b c b c c a a b a b a b c a b a b c a b a b c c a b c a b a b c a b c =---++-=-+-=++---+=-+--++++-25、分解因式：3)5)(3(22-----x x x x 【答案】 (1)(2)(2)(3)x x x x ++-- 【解析】22222(3)(5)3(3)2(3)3(1)(2)(2)(3)x x x x x x x x x x x x -----=------=++-- 26、分解因式2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【答案】 ()()()22458x x x x ++++【解析】()()()()22222248348248482x x x x x x x x x x x x ++++++=++++++()()()22458x x x x =++++。

八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第二课时：用完全平方公式分解因式》课件

6 【中考·珠海】填空：x2＋10x＋___2_5__＝(x＋ ___5___)2.
7 【2017·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝___±__1_0__.
知识点 2 用完全平方公式分解因式
知2－导
用公式法正确分解因式关键是什么？
从项数看：都是有3项
熟知公式特征！
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
容易忽视②⑤，注意②提出 1 ，⑤提出3以后 2
就能利用完全平方公式分解因式．
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块对应习题！
A．b<c<a
B．a<c<b
C．b<a<c
D．c<b<a
知3－练
4 若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为__x_2_＋__x__．
1 知识小结
完全平方公式法：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
（来自《完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (2016·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
知1－导
a2 2ab b2 a2 2ab b2
我们把以上两个式子叫做完全平方式 . 两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项” 的积的两倍
知1－讲

北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)

答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四因式分解的应用
【要点指点】因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究能力得到提高．

北师大版初二数学下册数学八年级下北师大第四章因式分解

=m(m-n)(n+m-n) =m²(m-n);
6.(x+y+z)²-(x-y-z)²=(x+y+z+x-y-z)(x+y+z-x+y+z) =2x(2y+2z)
7.4xy²-4x²y-y³=y(4xy-4x²-y²)
8.x²-6x+8=(x-2)(x-4)
1.把下列各式分解因式. （1） 5a²-20b²；（2） p²(a-1)+p(1-a)²；（3）a²(x-y) + 9b²（y-x）; （4）(a²-4)²+6(a²-4)+9 .
1. b²- 2b-8=b (b-2 ) – 8; 2. 2x3 4x 2 2x =2x(x²+2x); 3.x(x+y)(x-y)-x(x+y)²=x(x+y)(x-y-x-y); 4.p4 - 1=(p²+1)(p²-1); 5.mn(m-n)-m(n-m)²=mn(m-n)+m(m-n)²
提公因式法运用公式法
平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)
完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2
如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
下列各式的因式分解是否正确？如果不正确，应怎样改正？你能从中得到什么启示？
2.你能把下列各式分解因式吗？
（1）x²-y²-2y-1 (2) m²-4mn+3n²
解:(1)原式=x²-(y²+2y+1 ) =x²-(y+1) ² =（x+y+1)(x-y-1)
(2)原式= m²-4mn+4n²-n² =(m-2n) ²-n² =(m-2n+n)(m-2n-n) =(m-n)(m-3n)

因式分解——公式法(2) 优秀教学设计

公式法2
【课题】：公式法2
【教学目标】：
（一）教学知识点
用完全平方公式分解因式
（二）能力训练要求
1．理解完全平方公式的特点．
2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．
3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．
【教学重点】：用完全平方公式分解因式．
【教学难点】：根据多项式的特点选用适当的方法进行因式分解。

【教学突破点】：观察理解分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．
【教法、学法设计】：探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件。

(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．下列因式分解正确的是（）A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1D ．x 2+2x-1=(x-1)2 2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（） A ．()a m n am an +=+B ．2221(1)x x x +-=-C ．21055(21)x x x x -=-D ．216+6(+4)(4)+6x x x x x -=- 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．22(2)(2)4x y x y x y +-=-B ．221()1x y xy xy x y --=--C ．a 2-4ab+4b 2=（a-2b ）2D ．ax+ay+a =a （x+y ） 4．已知三角形的三边a ，b ，c 满足2223()()b a b c ba a -+=-，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．已知a ＋1a ＝3，则a 2＋21a 等于( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．116．下列多项式分解因式正确的是（）A ．a 2﹣2a ﹣3＝a （a ﹣2）﹣3B ．3ax 2﹣6ax ＝3（ax 2﹣2ax ）C ．m 3﹣m ＝m （m ﹣1）（m ＋1）D ．x 2＋2xy ﹣y 2＝（x ﹣y ）2 7．下列因式分解正确的是（）A ．()()()()a a b b a b a b a b ---=-+B ．2229(3)a b a b -=-C ．22244(2)a ab b a b ++=+D ．2()a ab a a a b -+=-8．下列四个多项式：①－a 2＋b 2；②－x 2－y 2；③1－(a －1)2；④x 2－2xy ＋y 2，其中能用平方差公式分解因式的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 9．下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A ．12xy 2＝3xy •4yB ．（x +1）（x ﹣3）＝x 2﹣2x ﹣3C ．x 2﹣4x +1＝x （x ﹣4）+1D ．x 3﹣x ＝x （x +1）（x ﹣1） 10．下列因式分解正确的是（）A ．221(21)1x x x x --=--B ．2244(2)x x x -+=-C ．256(6)(1)x x x x -+=-+D ．()321x x x x -=- 11．下列各式从左边到右边的变形属于因式分解的是（）A ．6ab ＝2a •3bB ．a （x +y ）＝ax +ayC ．x 2+4x +4＝x （x +4）+4D ．a 2﹣6a +9＝（a ﹣3）2 12．已知d ＝x 4﹣2x 3+x 2﹣10x ﹣4，则当x 2﹣2x ﹣4＝0时，d 的值为（）A ．4B ．8C ．12D ．16 二、填空题13．分解因式：3244x x x -+=__________．14．已知22()()24x my x ny x xy y -+=+-，则22m n mn -的值为______．15．因式分解()()26x mx x p x q +-=++，其中m 、p 、q 都为整数，则m 的最大值是______．16．若6x y +=，3xy =-，则2222x y xy +＝_____．17．二次三项式2248y xy x -+-在实数范围内分解因式的结果是______．18．分解因式：4232x -=_________．19．分解因式：2282a b -=______．20．分解因式：mn 2﹣4mn+4m ＝_____．三、解答题21．（1）因式分解：334mn m n -；（2）先化简，再求值：()()222212132x x y xy x y x x y x y ---⎡⎤-++÷⎢⎥⎣⎦，其中x 与y 互为倒数．22．（1）因式分解：328a a -．（2）如图，//AB CD ，40A ∠=︒，45D ∠=︒，求1∠和2∠的度数．23．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：a 2+2a +1＝，4x 2-4x +1＝，9y 2﹣12y +4＝．（2）观察以上三个多项式的系数，有22＝4×1×1，（-4）2＝4×4×1，（﹣12）2＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax 2+bx +c （a ＞0）是完全平方式，则实数系数a 、b 、c 一定存在某种关系．①请你用数学式子把a 、b 、c 之间的这种关系表示出来；②根据①的结论解决问题：若多项式x 2﹣2（m ﹣3）x +（10﹣6m ）是一个完全平方式，求m 的值，③根据②分解因式：x 2﹣2（m ﹣3）x +（10﹣6m ）．24．计算或因式分解（1()20211- （2）计算()()()2322232a ab ab ⋅-÷-（3）因式分解：323108x xy -（4）因式分解：2221a b b -+-（5）先化简，再求值：()()()()225x y x y x y x x y ++-+--．其中1x =，y 是的小数部分．25．因式分解：4224109x x y y -+26．（1）因式分解；()()22a x y b x y ---；（2）解方程：213211x y x y +=⎧⎨-=⎩．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A 、等号左右两边不相等，故错误；B 、a 3-a=a(a+1)(a-1)，故正确；C 、右边不是整式的积，故错误；D 、等号左右两边不相等，故错误．故选：B ．【点睛】因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．2．C解析：C【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可．【详解】解：A. ()a m n am an +=+,是乘法运算，不是因式分解，不合题意；B. 2221(1)x x x +-=-，变形错误，不是因式分解，不合题意；C. 21055(21)x x x x -=-，是因式分解符合题意；D. 216+6(+4)(4)+6x x x x x -=-，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解． 3．C解析：C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可.【详解】解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是因式分解，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选C.【点睛】本题考查了因式分解的知识，解答本题的关键是掌握因式分解的定义.4．D解析：D【分析】先将原式分解因式得（b-a ）(b 2+c 2-a 2)=0,从而得b ﹣a =0或c 2+b 2﹣a 2=0，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：∵2223()()b a b c ba a -+=-，∴（b-a ）(b 2+c 2-a 2)=0.∴b ﹣a =0或c 2+b 2﹣a 2=0，则a=b 或c 2+b 2=a 2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．故选D ．【点睛】此题综合运用了因式分解的知识、勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．5．B解析：B【分析】利用完全平方公式把221a a+变形成为21()2a a +-，代入解答即可．【详解】221a a+=21()2a a +-=232-=7．故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是把221a a+变形成为21()2a a +-． 6．C解析：C【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案．【详解】A 、a 2﹣2a ﹣3＝a （a ﹣2）﹣3，不符合因式分解的定义，故此选项错误；B 、3ax 2﹣6ax ＝3ax （x ﹣2），故此选项错误；C 、m 3﹣m ＝m （m ﹣1）（m ＋1），正确；D 、x 2＋2xy ﹣y 2，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了十字相乘法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．7．C解析：C【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．【详解】A 、2()()()()()a a b b a b a b a b a b ---=--=-，故此选项错误；B 、229(3)(3)a b a b a b -=+-，故此选项错误；C 、22244(2)a ab b a b ++=+，故此选项正确；D 、2(+1)a ab a a a b -+=-，故此选项错误．故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．8．C解析：C【分析】根据平方差公式特点：①两项，②都可以写成平方的形式，③平方前面是异号，可以得到答案．【详解】解：①－a 2＋b 2；③1－(a －1)2；符合平方差特点；④x 2－2xy ＋y 2，②－x 2－y 2；不符合平方差特点；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平方差公式特点，把握公式特点是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明10．B解析：B【分析】根据因式分解的定义进行选择即可．【详解】A. 221(21)1x x x x --=--，不是因式分解，故本选项不符合题意；B. 2244(2)x x x -+=-，故本选项符合题意，C. 256(2)(-3)-+=-x x x x ，故本选项不符合题意；D. ()321=x x+1x-1（）（）-=-x x x x ，故本选项不符合题意；故选B【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，因式分解-十字相乘法，掌握运算法则是解题关键 11．D解析：D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.【详解】解：A 、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B 、从左到右的变形，是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C 、从左到右的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D 、从左到右的变形，属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D.【点睛】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成整式的积的性质，叫做将多项式因式分解也叫做分解因式，掌握多项式的因式分解与整式乘法之间的区别是解题的关键.12．D解析：D【分析】由已知方程求得x 2﹣2x ＝4，将d ＝x 4﹣2x 3+x 2﹣10x ﹣4代为x 2（x 2﹣2x ）+（x 2﹣2x ）﹣8x ﹣4，通过两次代值计算便可．【详解】解：∵x 2﹣2x ﹣4＝0，∴x 2﹣2x ＝4，∴d ＝x 4﹣2x 3+x 2﹣10x ﹣4＝x 2（x 2﹣2x ）+（x 2﹣2x ）﹣8x ﹣4＝4x 2+4﹣8x ﹣4＝4（x 2﹣2x ）＝4×4＝16．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值，关键是通过因式分解把所求代数式转化为含x 2-2x 的代数式形式．二、填空题13．【分析】先提取公因式x 然后再运用完全平方公式解答即可【详解】解：===故答案为：【点睛】本题主要考查了因式分解掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键解析：2(21)x x -【分析】先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式解答即可．【详解】解：3244x x x -+=()2441x x x -+=()222221x x x ⎡⎤-⨯+⎣⎦=2(21)x x -故答案为：2(21)x x -．本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键． 14．【分析】由可得可得：即再把分解因式再整体代入求值即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是整式的乘法多项式的恒等因式分解的应用掌握以上知识是解题的关键解析：8.-【分析】由22()()24x my x ny x xy y -+=+-可得()222224,x n m xy mny x xy y +--=+-可得：2,4,n m mn -=-=-即2,4,m n mn -=-=再把22m n mn -分解因式，再整体代入求值即可．【详解】解： 22()()24x my x ny x xy y -+=+-，222224,x nxy mxy mny x xy y ∴+--=+-()222224,x n m xy mny x xy y ∴+--=+-2,4,n m mn ∴-=-=-2,4,m n mn ∴-=-=∴ ()22m n m n mn mn =--()428.=⨯-=-故答案为：8.-【点睛】本题考查的是整式的乘法，多项式的恒等，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．15．5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系按多项式乘以多项式法则把式子变形然后根据pq 的关系判断即可【详解】解：∵(x ＋p)(x ＋q)=x2＋（p+q ）x+pq=x2＋mx-6∴p+q=mpq=解析：5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可．【详解】解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx-6∴p+q=m ，pq=-6，∴pq=1×（-6）=（-1）×6=（-2）×3=2×（-3）=-6，∴m=-5或5或1或-1，∴m 的最大值为5，故答案为：5．此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．16．【分析】先将原式因式分解得再整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案是：【点睛】本题考查因式分解解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值解析：36-【分析】先将原式因式分解得()2xy x y +，再整体代入即可求出结果．【详解】解：()22222x y xy xy x y +=+， ∵6x y +=，3xy =-，∴原式()23636=⨯-⨯=-．故答案是：36-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值． 17．【分析】先提出负号把括号内多项式分两组4y2-8xy 两项一组x2单独一组把两项一组配方4y2-8xy+4x2-4x2=4（y-x ）2-4x2把-4x2与x2合并得-3x2括号内变为再因式分解即可【详解析：)(22)y x --【分析】先提出负号()224y 8xy x --+，把括号内多项式分两组4y 2-8xy 两项一组，x 2单独一组，把两项一组配方4y 2-8xy +4x 2-4x 2=4（y-x ）2-4x 2，把-4x 2与x 2合并得-3x 2，括号内变为 ()()2222224y 2-443xy x x x y x x ⎡⎤⎡⎤--++=---⎣⎦⎣⎦，再因式分解即可．【详解】22-4y 8xy x +-，()224y 8xy x =--+，()222242y xy x x x ⎡⎤=--+-+⎣⎦， ()2243y x x ⎡⎤=---⎣⎦， ()()22y x y x ⎡⎤⎡⎤=--+-⎣⎦⎣⎦()()2222y x y x =--+-．故答案为：()()2222y x y x ----本题考查在实数范围内因式分解问题，掌握两数和与差完全平方公式与平方差公式，会灵活运用公式解决问题，特别是三项式因式分解，一般要考虑用两数和与差完全平方公式，而且先配方，在因式分解是解题关键．18．2（x2+4）（x+2）（x －2）【分析】首先提取公因式2然后利用平方差公式继续分解直到不能分解为止即可求得答案【详解】解：2x4﹣32＝2（x4﹣16）＝2（x2+4）（x2﹣4）＝2（x2+4）解析：2（x 2+4）（x +2）（x －2）【分析】首先提取公因式2，然后利用平方差公式继续分解，直到不能分解为止，即可求得答案．【详解】解：2x 4﹣32＝2（x 4﹣16）＝2（x 2+4）（x 2﹣4）＝2（x 2+4）（x +2）（x －2）．故答案为：2（x 2+4）（x +2）（x －2）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 19．【分析】原式提取公因式2后再运用平方差公式进行因式分解即可【详解】故答案为：【点睛】此题主要考查了仍坚持公因式与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键解析：2(2)(2)a b a b +-【分析】原式提取公因式2后，再运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】2222822(4)2(2)(2)a b a b a b a b -=-=+-故答案为：2(2)(2)a b a b +-【点睛】此题主要考查了仍坚持公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键.20．m （n ﹣2）2【分析】首先提取公因式m 再利用完全平方公式分解因式即可【详解】解：mn2﹣4mn+4m ＝m （n2﹣4n+4）＝m （n ﹣2）2故答案为：m （n ﹣2）2【点睛】此题主要考查了提取公因式法以解析：m （n ﹣2）2【分析】首先提取公因式m ，再利用完全平方公式分解因式即可．解：mn 2﹣4mn+4m＝m （n 2﹣4n+4）＝m （n ﹣2）2．故答案为：m （n ﹣2）2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．三、解答题21．（1）(2)(2)mn n m n m +-；（2）12xy ，12 【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式分解因式可解答；（2）先计算括号里面的，再算除法，化简原式，然后根据互为倒数两数之积为1得1xy =，代入计算即可．【详解】解：（1）()332244mn m n mn n m -=-(2)(2)mn n m n m =+-．（2）原式()1222222132x y x y x y x x y x y ---⎡⎤=-++÷⎢⎥⎣⎦ 12122132x y x y x y ---⎛⎫=+÷ ⎪⎝⎭ 1221(2)213313223x y x y x y ------=÷=⨯ 12xy =． x 与y 互为倒数，1xy ∴=． ∴原式12=．【点睛】本题主要考查因式分解、整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．22．（1）2(2)(2)a a a +-；（2）140∠=︒，285∠=︒．【分析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；(2) 根据平行线的性质，可以得到∠1和∠A 的关系，从而可以得到∠1的度数，再根据∠2＝∠1+∠D ，即可求得∠2的度数．解：（1）原式()2242(2)(2)a a a a a =-=+-．（2）//AB CD ，140A ∴∠=∠=︒，45D ∠=︒， 2185D ∴∠=∠+∠=︒．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及平行线的性质，解答第2小题的关键是明确题意，利用平行线的性质和三角形外角和内角的关系解答．23．（1）2(1)a +，2(21)x -，2(32)y -；（2）①24b ac =；②m=±1；③当1m =时，2(2)x +；当1m =-时， 2(4)x +．【分析】（1）根据完全平方公式分解即可；（2）①根据（1）中3个式子特点总结即可；②根据①的结论列式求解即可；③把②中求得的m 的值代入分解即可；【详解】（1）a 2+2a +1＝2(1)a +，4x 2-4x +1＝2(21)x -，9y 2﹣12y+4＝2(32)y -，故答案为：2(1)a +，2(21)x -，2(32)y -；（2）①由22＝4×1×1，(-4)2＝4×4×1，(﹣12)2＝4×9×4，可知，24b ac =；②多项式x 2﹣2(m ﹣3)x +(10﹣6m)中，a =1，b=﹣2(m ﹣3)，c =10﹣6m ，由①24b ac =得：()22341(106)m m =⨯⋅⎡⎤⎣⎦﹣﹣﹣，化简得21m =，解得m=±1；③根据②，当1m =时，x 2﹣2(m ﹣3)x +(10﹣6m)=2244(2)x x x ++=+；当1m =-时，x 2﹣2(m ﹣3)x +(10﹣6m)=22816(4)x x x ++=+．【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．24．（1）54；（2）94ab -；（3）3(6)(6)x x y x y +-；（4）(1)(1)a b a b +--+；（5）9xy ，9【分析】（1）先算算术平方根，立方根和乘方，再算加减法，即可求解；（2）先算积的乘方，再根据单项式的乘除法法则，求解即可；（3）先提取公因式，再利用平方差分解因式，即可；、（4）先括号，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式，即可；（5）根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则，合并同类项法则，先化简，再代入求值，即可．【详解】（1）原式=()5(3)214+-+-- =54；（2）原式=()22433(2)(9)8a a b a b⋅÷- =94ab -；（3）原式=223(36)x x y -=3(6)(6)x x y x y +-；（4）原式=22(21)a b b --+=22(1)a b --=[][](1)(1)a b a b +---=(1)(1)a b a b +--+；（5）原式=222224455x xy y x y x xy +++--+=45xy xy +=9xy ，∵y的小数部分，∴1y =，∴当1x =+，1y =时，原式=9xy 11)=9．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，整式的化简求值，分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．25．()()()()33x y x y x y x y -+-+【解析】试题分析：先利用十字相乘法进行因式分解，然后再利用平方差公式进行分解即可. 试题原式=()()22229x y x y --=()()()()33x y x y x y x y -+-+. 【点睛】本题考查了综合运用十字相乘法与公式法进行因式分解，根据式子的特点灵活选取因式分解的方法进行分解是关键.26．（1）()()()x y a b a b -+-；（2）31x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）先提取公因式，再采用平方差公式继续分解．（2）根据加减法解方程即可求解．【详解】（1）()()22a x y b x y ---22()()x y a b =--()()()x y a b a b =-+-；（2）213211x y x y ①②+=⎧⎨-=⎩ ①+②，得412x =，解得：3x =，将3x =代入①，得321y +=，解得1y =-，所以方程组的解是31x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．。

北师版初中八下数学第四章因式分解公式法第2课时运用完全平方公式因式分解

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果. 解：（2）该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果为（x－2）4.
（3）请你模仿以上方法对多项式（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1进行因式分解. 解：（3）设x2－2x＝y. 原式＝y（y＋2）＋1＝y2＋2y＋1＝（y＋1）2＝（x2－2x＋1）2＝（x－1）4.
＝（x2－4）2 ＝（x＋2）2（x－2）2.
（4）16x2－（x2＋4）2；解：原式＝（4x＋x2＋4）（4x－x2－4）
＝－（x＋2）2（x－2）2. （5）（x2－2xy＋y2）＋（－2x＋2y）＋1. 解：原式＝（x－y）2－2（x－y）＋1
＝（x－y－1）2.
14.已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求多项式x2－6xy＋9y2的值. 解：∵x2＋y2－4x＋6y＋13＝0， ∴x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＝0， ∴（x－2）2＋（y＋3）2＝0， ∴x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3. 当x＝2，y＝－3时， x2－6xy＋9y2＝（x－3y）2＝[2－3×（－3）]2＝112＝121.
＝（2x－y）2. （2）9－12a＋4a2；解：原式＝32－2×3×2a＋（2a）2
＝（3－2a）2. （3）（m＋n）2－6（m＋n）＋9. 解：原式＝（m＋n）2－2×3×（m＋n）＋32
＝（m＋n－3）2.
知识点三先提公因式后运用完全平方公式因式分解
6.把多项式4a2b＋4ab2＋b3因式分解，正确的是（ B ）
＝－y（y－2x）2. （3）－2a3b2＋8a2b2－8ab2. 解：原式＝－2ab2（a2－4a＋4）
＝－2ab2（a－2）2.
易错点运用公式法因式分解时不彻底 9.把（a2＋1）2－4a2进行因式分解，得到的结果为（ C ）

北师大版八年级数学(下)第四章因式分解第5节公式法(二)

【解答】解：（1）27x2+18x+3 ＝3（9x2+6x+1）＝3（3x+1）2，（2）2x2﹣8 ＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）， (3)9a﹣a3 ＝a（9﹣a2）＝a（3+a）（3﹣a）， (4)2x2﹣12x+18 ＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2，
练习：分解因式或计算：（1）（2m﹣n）2﹣169（m+n）2；（2）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．（3）40×3.152+80×3.15×1.85+40×1.852
练习：若 2a＝3b﹣1，则 4a2﹣12ab+9b2﹣1 的值为
．
解：∵2a＝3b﹣1， ∴2a﹣3b＝﹣1， ∴4a2﹣12ab+9b2﹣1 ＝（2a﹣3b）2﹣1 ＝（﹣1）2﹣1 ＝0．故答案是：0．
例 6：分解因式：（1）27x2+18x+3 （2）2x2﹣8 （3）9a﹣a3 （4）2x2﹣12x+18
北师大版八年级数公式法分解因式（二）
利用完全平方公式因式分解
整式乘法
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
因式分解
a 2 2ab b 2 a b2 a 2 2ab b2 a b2
典型例题
例 1：下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．m2﹣m+1
B．﹣2m+m2+1 C．1﹣2m﹣m2
D．m2﹣2m﹣1
解：﹣2m+m2+1＝（m﹣1）2，故选：B．
练习：下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是（）

北师大版八年级数学下册4.3 第2课时完全平方公式

• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
a2 2ab b2 a b2
• 3:完全平方公式特点：含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
课外作业
1.练闯考P57(预习导学、课内精炼1-10题)
2.课本P102-103（随堂练习第1、2 题，习题 4.5第1、2题，做到作业本上）
（2）a2+2ab-b2 (a b)2
错。此多项式不是完全平方式
典例精析
例3 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3), 故可知N=(-3)2=9.
变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为___±__8___.
练习
把下列各式分解因式
① ax4 ax2
解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1)
② x4-16
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
（有公因式，先提公因式）（因式分解要彻底。）
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
课堂小结
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b2 a2 2ab b2

八年级数学下册第四章因式分解：公式法(5份北师大版)(2)高品质版

★分解因式应分解到各因式都不能再分解为止.
例题精讲
4、把多项式2x3-8x分解因式.
解：2x3-8x =2x (x2-4) 2_ 2 =2x (x 2 ) =2x (x+2)(x-2)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然后再进一步分解因式,直到不能分解为止.
课堂练习
3、把下列各式分解因式:
(1)
2)2-(b2)2= 4 4 ( a a –b =
(a2+b2)(a2-b2)
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) (m2-3)2–1= (m2-3-1)(m2-3+1)
=(m2-4)(m2-2)=(m+2)(m-2)(m2-2)
(3) 9(m+n)2-(m-n)2
课堂练习
5、把下列各式分解因式:
4 b 5
1 4 1 2 16 2 1a4b a b a b 2 5 2 5 4 25
知识探索
2、口答下列各题： (1) a2-1=( a )2-( 1 )2 (2) x4y2-4= ( x2y )2-( 2 )2 (3) 0.49x2-0.01y2=( 0.7x )2-( 0.1y )2
(4) 0.0001-121x2=( 0.01 )2-( 11x )2 3、能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？①有且只有两个平方项； ②两个平方项异号；
课堂练习
1、下列哪些多项式可以用平方差公式分解因式？ (1) 4x2+y2； (2) 4x2-(-y)2； (3) -4x2-y2； (4) -4x2+y2； (6) a2+32. (5) a2-4；（ 6）
2、把下列各式分解因式:

北师大版八年级下册数学第四章因式分解第3节《公式法(2)》参考教案

4.3.2 公式法（二）●教学目标（一）教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.（二）能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.●教学重点让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.●教学难点让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.●教学方法观察—发现—运用法●教具准备投影片两张第一张（记作§4.3.2 A）第二张（记作§4.3.2 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们不仅学习了平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2而且还学习了完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.Ⅱ.新课1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？［生］可以.将完全平方公式倒写：a2+2ab+b2=（a+b）2;a2－2ab+b2=（a－b）2.便得到用完全平方公式分解因式的公式.［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.投影（§4.3.2 A）项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.［生］（1）是.（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；（3）是；（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.（5）不是，x2与－9的符号不统一.（6）是.2.例题讲解［例1］把下列完全平方式分解因式：（1）x2+14x+49;（2）（m+n）2－6（m +n）+9.［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.［例2］把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2;（2）－x2－4y2+4xy.［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.解：（1）3ax 2+6axy+3ay 2=3a （x 2+2xy+y 2）=3a （x+y ）2（2）－x 2－4y 2+4xy=－（x 2－4xy+4y 2）=－［x 2－2·x·2y+（2y ）2］=－（x －2y ）2Ⅲ.课堂练习a.随堂练习1.解：（1）是完全平方式x 2－x+41=x 2－2·x·21+（21）2=（x －21）2 （2）不是完全平方式，因为3ab 不符合要求.（3）是完全平方式41m 2+3 m n+9n 2 =（21 m ）2＋2×21 m×3n+（3n ）2 =（21 m +3n ）2 （4）不是完全平方式2.解：（1）x 2－12xy+36y 2=x 2－2·x·6y+（6y ）2=（x －6y ）2;（2）16a 4+24a 2b 2+9b 4=（4a 2）2+2·4a 2·3b 2+（3b 2）2=（4a2+3b2）2（3）－2xy－x2－y2=－（x2+2xy+y2）=－（x+y）2;（4）4－12（x－y）+9（x－y）2=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2=（2－3x+3y）2b.补充练习投影片（§4.3.2 B）这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有三项.（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.Ⅴ.课后作业习题4.51.解：（1）x 2y 2－2xy+1=（xy －1）2;（2）9－12t+4t 2=（3－2t ）2;（3）y 2+y+41=（y+21）2; （4）25m 2－80 m +64=（5 m －8）2;（5）42x +xy+y 2=（2x +y ）2; （6）a 2b 2－4ab+4=（ab －2）22.解：（1）（x+y ）2+6（x+y ）+9=［（x+y ）+3］2=（x+y+3）2;（2）a 2－2a （b+c ）+（b+c ）2=［a －（b+c ）］2=（a －b －c ）2;（3）4xy 2－4x 2y －y 3=y （4xy －4x 2－y 2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;（4）－a+2a2－a3=－（a－2a2+a3）=－a（1－2a+a2）=－a（1－a）2.3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得x2－（x－2）2=［x+（x－2）］［x－（x－2）］=（x+x－2）（x－x+2）=2（2x－2）=4（x－1）因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.Ⅵ.活动与探究写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.参考答案：4a3b－4a2b2+ab3=ab（4a2－4ab+b2）=ab（2a－b）2●板书设计参考练习把下列各式分解因式1.－4xy－4x2－y2;2.3ab2+6a2b+3a3;3.（s+t）2－10（s+t）+25;4.0.25a2b2－abc+c2;5.x2y－6xy+9y;6.2x3y2－16x2y+32x;7.16x5+8x3y2+xy4参考答案：解：1.－4xy－4x2－y2=－（4x2+4xy+y2）=－（2x+y）2;2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;5.x2y－6xy+9y=y（x2－6x+9）=y（x－3）2;6.2x3y2－16x2y+32x=2x（x2y2－8xy+16）=2x（xy－4）2;7.16x5+8x3y2+xy4=x（16x4+8x2y2+y4）=x（4x2+y2）2.。

北师大版八年级数学下册第四章4.和4.因式分解公式法课件

练习：课本100页，知识技能1
例2
把下列各式因式分解:
总结
1.分解因式的步骤：
(1)9(m＋ n)2－(m－n)2
(2)2x3－8x
（1）提；（2）套
2.整体思想
解：(1)原式＝[3(m+n)]2－(m-n)2 (2）原式＝2x(x2-4)
＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] ＝2x(x2-22)
(2)原式=-( − + ) =-(a-2b)2 1.提 2.套
(3）原式＝y(y2－4y+4）
= y(y－2)2．
（4）原式= (y2 + x2 )2 -（)
=(y2 + x2 +2xy)(y2 + x2 -2xy) = + 2 ( − )2
先破后立
练习：名校课堂67页-68页
=( 2 +4 2 )(x+2y)(x-2y)
=(x+3)(x-3)
先破后立：
若一个多项式没有公因式，也不能直接运用公式时，
要把多项式化简，然后再考虑用适当的方法分解
练习：课本100页知识技能2（1）（3）（5）
想一想:以前学过两个乘法公式
a b
2
a b
2
a 2ab b
y）］
=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）
=（13x－y）（13y－x）;
（2） -16
（3）（ − ) +2(x-5)
解（2）原式= ( 2 )2 −( )
(3)原式= -2x+1+2x-10

北师版八年级数学下册优秀作业课件(BS) 第四章因式分解公式法第2课时利用完全平方公式因式分解

数学八年级下册北师版
第四章因式分解
4.3 公式法
第2课时利用完全平方公式因式分解
1．(3分)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2．(4分)将x2－2xy＋y2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋y)(x－y) B．x(x－2y)＋y2
5．(4分)把代数式3x3－12x2＋12x因式分解结果正确的是( D ) A．3x(x2－4x＋4) B．3x－(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
6．(4分)(攀枝花中考)因式分解：x3y－2x2y＋xy＝___x_y_(x_－__1_)_2____．
7．(12分)把下列各式因式分解： (1)x3－2x2y＋xy2；解：原式＝x(x－y)2
【素养提升】 14．(14分)(平顶山郏县期末)阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2－4y2＋2x－4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2＋2x－4y＝(x2－4y2)＋(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)＋2(x－2y)＝(x－ 2y)(x＋2y＋2). 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：x2－6xy＋9y2－3x＋9y； (2)若△ABC的三边a，b，c满足a2－b2－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
二、解答题(共36分) 12．(12分)将下列各式因式分解： (1)x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)；解：原式＝(y2－1)(x2＋2x＋1)＝(y＋1)(y－1)(x＋1)2 (2)a2－2ab＋b2－9；解：原式＝(a－b)2－32＝(a－b＋3)(a－b－3) (3)(x2y2＋1)2－4x2y2. 解：原式＝(xy＋1)2(xy－1)2