2017版高考数学一轮总复习第九章算法初步、统计与统计案例第四节变量间的相关关系与统计案例练习文

第四节 变量间的相关关系与统计案例【最新考纲】 1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.（线性回归方程系数公式不要求记忆）3.了解回归分析的思想、方法及其简单应用．了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数．(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系．3．残差分析(1)残差：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i－a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n ，e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差．4．独立性检验(1)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为则随机变量K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( ) (2)通过回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( ) (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．( )(4)若事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越小．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(2014·重庆卷)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4解析：因为变量x 和y 正相关，排除选项C ，D.又样本中心(3，3.5)在回归直线上，排除B ，选项A 满足．答案：A3．(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确．．．的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析：对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A 正确．对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确．对于C 选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C 正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 不正确．答案：D4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K 2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为该电视栏目优秀B ．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C ．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系解析：只有K 2≥6.635才能有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而既使K 2≥6.635也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关，故只有D 正确．答案：D5．若8名学生的身高和体重数据如下表：第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是y ^＝0.849x －85.712，则第3名学生的体重估计为________．解析：设第3名学生的体重为a ，根据样本点的中心一定在回归直线上，可得48＋57＋a ＋54＋64＋61＋43＋598＝0.849×165＋165＋157＋170＋175＋165＋155＋1708－85.712，解得a≈50. 答案：50 kg两条规律1．函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，相关关系是非随机变量与随机变量的关系．2．当K 2>3.841时，则有95%的把握说事件A 与B 有关；当K 2≤3.841时，认为两个分类变量无关．三点注意1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈直线时，求出的回归直线方程才有实际意义．2．线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差．3．独立性检验的随机变量K 2的观测值k≤3.841是判断是否有关系的临界值，K 2的观测值k≤3.841应判断为没有充分证据显示事件A与B有关系，而不能作为小于95%的量化值判断．A级基础巩固一、选择题2．第二届世界青年奥林匹克运动会于2014年8月16日～8月28日在南京举行，中国获37金，13银，13铜共63枚奖牌居奖牌榜首位，并打破十项青奥会记录．由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力( )A．平均数与方差B．回归直线方程C．独立性检验 D．概率解析：由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求．故用独立性检验最有说服力．答案：C3．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －－b ^x －，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：由题意知，x －＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y －＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 答案：B5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），算得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案：C 二、填空题6．(2016·西安质检)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.加工时间y(min)现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________． 解析：由x －＝30，得y －＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68. 答案：687．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P(K 2≥3.841)≈0.05，P(K 2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到K 2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．解析：∵K 2≈4.844，根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.答案：5%8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高可列表如下：设线性回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ，由表中的三组数据可求得b ^＝1，且过中心点(173，176)，故a ^＝y －－b ^x ＝176－173＝3，故线性回归方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：185 三、解答题9．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解：(1)由题意知n ＝10，x －＝1n i ＝1nx i ＝8010＝8，(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程，得y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元) 所以可预测该家庭的月储蓄为1.7(千元)．10．(2016·深圳调研)某企业通过调查问卷(满分50分)的形式对本企业900名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工(16名女员工，14名男员工)的得分，如下表：(1)根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；(2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：(3)根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：解：(1)从表中可知，30名员工中有8名得分大于45分，所以任选一名员工，他(她)的得分大于45分的概率是830＝415，所以估计此次调查中，该单位约有900×415＝240名员工的得分大于45分．(2)依题意，完成2×2列联表如下：(3)假设H 0：性别与工作是否满意无关， 根据表中数据，求得K 2的观测值k ＝30×（12×11－3×4）215×15×16×14≈8.571>6.635，查表得P(K 2≥6.635)＝0.010.∴能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为性别与工作是否满意有关．B 级 能力提升1．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 解析：K 21＝52×（6×22－10×14）216×36×20×32，设m ＝5216×36×20×32.则K 21＝82m ，K 22＝1122m ，K 23＝962m ，K 24＝4082m. ∴K 24>K 22>K 23>K 21，因此与性别有关联的可能性最大的变量是“阅读量”． 答案：D2．(2016·济南调研)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．解析：∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案：65.53．(2014·辽宁卷)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：参考公式与临界表：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K 2＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762.因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1，2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1，2，3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.统计与统计案例本章是新课程改革增加内容，是命题的热点，以程序框图、抽样方法、统计图表为重点，以客观题为主．命题重注背景新颖、角度灵活．但近年统计与统计案例、统计与概率交汇，加大考查力度.2014年、2015年课标全国均以解答题的形式呈现，强化统计思想方法和创新应用意识的考查，复习过程中应引起注意，多变换角度，注重新背景、新材料题目的训练．强化点1 程序框图及应用(多维探究)高考中对程序框图的考查，以循环结构为主，考查程序运行后的结果，或考查控制循环的条件．主要以选择题或填空题的形式出现，以中低档难度为主．近年统计与相关知识交汇命题是高考的一大亮点，归纳起来常见的命题角度有：(1)程序框图与统计交汇；(2)程序框图与函数渗透；(3)程序框图与数列交汇渗透．角度一 程序框图与统计的渗透交汇1．如图所示是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入________．解析：由判断框输出可知，M 表示及格人数，N 表示不及格人数， ∴及格率q ＝M M ＋N ，因此执行框为“q＝MM ＋N ”．答案：q ＝MM ＋N角度二 程序框图与数列交汇2．(2015·湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A.67B.37C.89D.49解析：根据循环控制条件i>3，阅读程序框图，得到S 的值． 第一次循环：S ＝11×3，i ＝2；第二次循环：S ＝11×3＋13×5，i ＝3；第三次循环：S ＝11×3＋13×5＋15×7，i ＝4，满足循环条件，结束循环．故输出S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12(1－13＋13－15＋15－17)＝37. 答案：B角度三 程序框图与函数交汇渗透3．(2014·湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4，5] D．[－3，6]解析：由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，因此－3≤S≤－1.当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后，1<t≤9.此时输出S＝t－3，有－2<S≤6.综上可知，输出S的值取值范围为[－3，6]．答案：D1．完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．2．求解该类问题，关键是准确理解程序框图的结构，明确程序框图的功能，按照程序框图中的条件运行程序．【变式训练】(2015·天津卷)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．2B．3C．4D．5解析：由题设，初始值S＝10，i＝0.i＝i＋1＝1，S＝S－i＝10－1＝9，不满足S≤1，i＝i＋1＝2，S＝S－i＝9－2＝7，不满足S≤1，i＝i＋1＝3，S＝S－i＝7－3＝4，不满足S≤1，i＝i＋1＝4，S＝S－i＝4－4＝0，满足S≤1，输出i＝4.答案：C强化点2 用样本估计总体(2015·课标全国Ⅱ卷)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图图①B地区用户满意度评分的频数分布表(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．B地区用户满意度评分的频率分布直方图图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．解：(1)B地区用户满意度评分的频率分布直方图：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值．B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由频率分布直方图，A地区用户不满意的频率f A＝(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.6，B地区用户不满意的频率f B＝(0.005＋0.02)×10＝0.25，因此估计概率P(C A)＝0.6，P(C B)＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．1．利用统计图表解决实际问题的关键在于从统计图表中提炼准确的数据信息．2．本例通过画频率分布直方图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识．【变式训练】 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x －1，x －2，估计x －1－x －2的值．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n. 由题意知30n＝0.05，解得n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x －′1，x －′2. 根据样本茎叶图可知30(x －′1－x －′2)＝30x －′1－30x －′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x －′1－x －′2＝0.5. 故x －1－x －2的估计值为0.5分． 强化点3 统计与概率的综合应用(2016·潍坊质检)某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：(1)判断是否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：(参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d)解：(1)K 2＝55（20×20－10×5）230×25×25×30≈11.978>7.879.所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关． (2)设所抽样本中有m 个“大于40岁”市民，则m 20＝630，得m ＝4，所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B 1，B 2，B 3，B 4，C 1，C 2.从中任选2人的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，B 4)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，(C 1，C 2)共15个．其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”的市民的事件有(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，共8个．所以恰有1名“大于40岁”的市民和1名“20岁至40岁”的市民的概率为P ＝815.1．独立性检验关键有两点：(1)计算K 2时要细致准确，参考数据表的应用要对应准确；(2)独立性检验中，K 2值越大，两变量有关的可能性越大，在第(1)题中，易得出相反的错误结论．2．古典概型中列举基本事件时，要按照一定的顺序列举，做到不重不漏，在(2)中这是导致失分的主要原因．【变式训练】 (2016·湖南雅礼中学模拟)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平；(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．解：(1)根据题意，x －甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，x －乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10.∴n ＝8，m ＝3.(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，∵x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为a ，b ，则所有(a ，b)有(7，8)，(7，9)，(7，10)，(7，11)，(7，12)，(8，8)，(8，9)，(8，10)，(8，11)，(8，12)，(10，8)，(10，9)，(10，10)，(10，11)，(10，12)，(12，8)，(12，9)，(12，10)，(12，11)，(12，12)，(13，8)，(13，9)，(13，10)，(13，11)，(13，12)共计25个．又满足a ＋b≤17的基本事件有(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，8)，(8，9)共5个． 因此满足a ＋b>17的基本事件共有25－5＝20(个)． 故该车间“质量合格”的概率P ＝2025＝45.A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·石家庄模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012解析：由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N，解得N ＝808. 答案：B3．如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x －，标准差为s ，则数据3x 1＋2，3x 2＋2，…，3x n ＋2的平均数和标准差分别是( )A ．3x －和9sB ．3x －和3s C ．3x －＋2和9s D ．3x －＋2和3s解析：依题意，（3x 1＋2）＋（3x 2＋2）＋…＋（3x n ＋2）n＝3（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋2nn＝3n x －＋2n n＝3x －＋2，＝3（x 1－x ）2＋（x 2－x ）2＋…＋（x n －x ）2n ＝3s.答案：D4．(2016·豫东、豫北十所名校联考)根据如下样本数据：得到的回归方程为y ^＝bx ＋a.若样本点的中心为(5，0.9)，则当x 每增加1个单位时，y 就( )A ．增加1.4个单位B ．减少1.4个单位C ．增加7.9个单位D ．减少7.9个单位 解析：依题意得，a ＋b －25＝0.9，故a ＋b ＝6.5①又样本点的中心为(5，0.9)，故0.9＝5b ＋a②联立①②，解得b ＝－1.4，a ＝7.9，则y ^＝－1.4x ＋7.9， 故可知当x 每增加1个单位时，y 就减少1.4个单位． 答案：B二、填空题6．(2016·日照3月模拟)在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25，30)内的人数为________．解：设年龄在[25，30)内的志愿者的频率是P，则有5×0.01＋P＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02＝1，解得P＝0.2.故估计这800名志愿者年龄在[25，30)内的人数是800×0.2＝160.答案：1607．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示).解析：K 2＝50×（20×15－5×10）25×25×30×20≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．答案：0.5%8．(2016·西安调研)已知某产品连续4个月的广告费用x 1(千元)与销售额y 1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：所以x －＝92，y －＝72，因为回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝0.8， 所以72＝0.8×92＋a ^，所以a ^＝－110，所以y ^＝0.8x －110.x ＝6时，可预测销售额约为4.7万元． 答案：4.7 三、解答题9．(2016·太原联考)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题(满分12分)的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x ，已知甲、乙两组的平均成绩相同．(1)求x 的值，并判断哪组学生成绩更稳定；(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率． 解：(1)x －甲＝9＋9＋11＋114＝10，x －乙＝8＋9＋12＋10＋x 4＝10，∴x ＝1，又s 2甲＝14[(10－9)2＋(10－9)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝1，s 2乙＝14[(10－8)2＋(10－9)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝52，∴s 2甲<s 2乙，∴甲组成绩比乙组稳定．(2)记甲组4名同学为：A 1，A 2，A 3，A 4；乙组4名同学为：B 1，B 2，B 3，B 4.分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)共16种．其中得分之和低于20分的共6种． ∴得分之和低于20分的概率P ＝616＝38.10．(2016·玉林、南京联考)某市地铁即将于2015年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：(1)若以区间的中点为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异“.参考数据：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)“赞成定价者”的月平均收入为x 1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56，“认为价格偏高者”的月平均收入为x 2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75.∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是 x 1－x 2＝50.56－38.75＝11.81(百元)． (2)根据条件可得2×2列联表如下：K 2＝50×（3×11－7×29）2（3＋7）（29＋11）（3＋29）（7＋11）≈6.27<6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．B 级 能力提升1．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如图所示．记甲、乙两人的平均得分分别为x －甲，x －乙中，则下列判断正确的是( )A.x －甲<x －乙，甲比乙成绩稳定 B.x －甲<x －乙，乙比甲成绩稳定 C.x －甲>x －乙，甲比乙成绩稳定 D.x －甲>x －乙，乙比甲成绩稳定解析：x －甲＝76＋77＋88＋90＋945＝85，x －乙＝75＋88＋86＋88＋935＝86，s 2甲＝15[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝52， s 2乙＝15[(75－86)2＋(88－86)2＋(86－86)2＋(88－86)2＋(93－86)2]＝35.6， 所以x －甲<x －乙，s 2甲>s 2乙，故乙比甲成绩稳定．答案：B2．从某小学随机抽样100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a ＝________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.05×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a ＝0.030.设身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]内的三组学生各有x ，y ，z 人， 则x 100＝0.030×10，y 100＝0.020×10，z 100＝0.01×10. ∴x ＝30，y ＝20，z ＝10.由分层抽样的意义，抽样比为1830＋20＋10＝30%. 因此从身高在[140，150]内的学生中选取10×30%＝3(人)．答案：(1)0.030 (2)33．(2016·河南郑州第二次质量检测)最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下表：在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z ＝2y.(1)现从500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，求应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少人；(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．解：(1)由题意知x 500＝0.3，所以x ＝150，所以y ＋z ＝60， 因为z ＝2y ，所以y ＝20，z ＝40，则应抽取教师人数为50500×20＝2， 应抽取学生人数为50500×40＝4. (2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a ，b ，4名学生记为1，2，3，4，随机选出3人的不同选法有(a ，b ，1)，(a ，b ，2)，(a ，b ，3)，(a ，b ，4)，(a ，1，2)，(a ，1，3)，(a ，1，4)，(a ，2，3)，(a ，2，4)，(a ，3，4)，(b ，1，2)，(b ，1，3)，(b ，1，4)，(b ，2，3)，(b ，2，4)，(b ，3，4)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共20种，至少有1名教师的选法有(a ，b ，1)，(a ，b ，2)，(a ，b ，3)，(a ，b ，4)，(a ，1，2)，(a ，1，3)，(a ，1，4)，(a ，2，3)，(a ，2，4)，(a ，3，4)，(b ，1，2)，(b ，1，3)，(b ，1，4)，(b ，2，3)，(b ，2，4)，(b ，3，4)，共16种，故至少有1名教师被选出的概率P ＝1620＝45.。