2019高考数学一轮复习第11章计数原理和概率第1课时两个计数原理课件理-精选.doc

2019高考数学一轮复习第11章计数原理和概率第1课时两个计数原理课件理第1课时两个计数原理第十一章计数原理和概率2018考纲下载 1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．请注意两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，在本章中占有十分重要的地位．课前自助餐分类计数原理的推广完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m 1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m 2 种不同的方法在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m 1 ＋m 2 ＋＋m n种不同的方法．分步计数原理的推广完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m 1 种不同的方法，做第2步有m 2 种不同的方法做第n步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m 1 m 2 m n 种不同的方法．利用两个计数原理解题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解．1．(课本习题改编)教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为( ) A．6 B．2 3 C．4 2 D．4 4 答案 B 解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，由分步计数原理可知走法种数为2 3 ＝8.2．已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合 X 共有( ) A．2 个B．6 个 C．4 个 D．8 个答案 D 解析由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个．故有C 3 0 ＋C 3 1 ＋C 3 2 ＋C 3 3 ＝8.3．(2018湖南衡理模拟)若 a{1，2，3，4}，b{1，2，3，4}，则 y＝ ba x 表示不同直线的条数为( ) A．8 B．11 C．14 D．16答案 B 解析若使ba表示不同的实数，则当a＝1时，b＝1，2，3，4；当a＝2时，b＝1，3；当a＝3时，b＝1，2，4；当a＝4时，b＝1，3.故y＝ ba x表示的不同直线的条数共有4＋2＋3＋2＝11.4．从 0，1，2，3，4 这 5 个数字中任取 3 个组成三位数，其中奇数的个数是________．答案 18 解析从1，3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法．故所求奇数的个数为332＝18.5．(2016课标全国Ⅱ，理)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9答案 B 解析第一步EF：有6种；第二步FG：有3种；共有18种．6．(2017衡水中学调研卷)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．答案 182 解析甲、乙中裁一人的方案有C 2 1 C 8 3 种，甲、乙都不裁的方案有C 8 4 种，故不同的裁员方案共有C 2 1 C 8 3 ＋C 8 4 ＝182种．授人以渔题型一两个计数原理 (1)全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解析】方法一按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．方法二按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．【答案】 36(2)已知a{－1，2，3}，b{0，1，3，4}，r{1，2}，则方程(x－a) 2 ＋(y－b) 2 ＝r 2 所表示的不同的圆的个数有________．【解析】∵a{－1，2，3}，a 有3种方法，同理b的取法有4种，r有2种，又只有a，b，r依次确定后，才能确定圆，共有342＝24个不同的圆．【答案】 24★状元笔记★两个原理的特点利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类，还是分步，必须由题而定．如本例(1)中完成这件事分8类即可；(2)题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终．思考题1 (1)设x，yN * ，直角坐标平面中的点为P(x，y)．①若x＋y6，这样的P点有________个．②若1x4，1y5，这样的P点又有________个．【解析】①当x＝1，2，3，4，5时，y值依次有5，4，3，2，1个，不同P点共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．②x有1，2，3，4这4个不同值，而y有1，2，3，4，5这5个不同值，共有不同P点45＝20(个)．【答案】①15 ②20(2)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？【解析】方法一：分0个相同、1个相同、2个相同讨论． (1)若0个相同，则信息为1 001，共1个． (2)若1个相同，则信息为0 001，1 101, 1 011，1 000.共4个． (3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为0 101；②若位置一与三相同，则信息为0 011；③若位置一与四相同，则信息为0 000；④若位置二与三相同，则信息为1 111；⑤若位置二与四相同，则信息为1 100；⑥若位置三与四相同，则信息为1 010.共6个．故与信息0 110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.方法二：若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C 4 1 ＝4(个)；若2个相同，共有C 4 2 ＝6(个)．故共有1＋4＋6＝11(个)．【答案】 11个(1)5名旅客投宿到一个旅店的3个房间，(假设每个房间都有多个床位)问共有多少种不同的住店方法？【解析】每位客人只能住一间店，而每间店可以容纳多个客人，完成这件事需以客为主，按5个客人分成5步：①安排第1名旅客有3个房间(3种方法)．②安排第2名旅客也有3个房间(3种方法)，. 共有33333＝3 5 (种)不同的住店方法．【答案】 3 5(2)5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数有多少？【解析】每个冠军只能有一个获得，而每人可获得多个冠军，所以冠军相当于客，学生相当于店，3人住5间店，共有5 3 种可能的情况．【答案】 125种(3)三封信投入到4个不同的信箱中，共有多少种不同的投法．【解析】方法一：只要三封信都投进了信箱，这件事就算完成，故分三步：第一步，将第一封信投进信箱，有4种方法．第二步，将第二封信投进信箱，有4种方法．第三步，将第三封信投进信箱，有4种方法．由分步计数原理得共有444＝64种不同投法．方法二(住店法)：本题相当于3个人住4间店．【答案】 64★状元笔记★此类问题均可以类比本例(1)，用住店法求解，用住店法解题时需要确定所给的两类元素，哪一类是客(只能有一个选择的元素为客)，哪一类是店(可以容纳多个元素为店)．思考题2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(六名同学不一定都能参加) (1)每人只参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限； (3)每项限报一人，且每人至多参加一项．【思路】 (1) 按照人作为分步的依据明确所做的一件事情是什么利用分步乘法计数原理求解 (2)(3)按照项目作为分步的依据【解析】 (1)每人都可以从这三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有3 6 ＝729(种)．本题相当于6个人住3间店． (2)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一个参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6 3 ＝216(种)．本题相当于3个人住6间店．(3)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654＝120(种)．【答案】 (1)729 (2)216 (3)120【讲评】 (1)解决分步计数问题时要明确题目中的完成这件事是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的． (2)将完成这件事划分为几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．题型二两个原理的应用 (1)用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成____________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答) 【思路】按首位数字的奇偶性分类在每一类中利用分步乘法计数原理计数利用分类加法计数原理计数【解析】要完成的一件事为组成无重复数字的四位偶数，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步．①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计算原理，有3454＝240(种)取法．②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计算原理，有3354＝180(种)取法．③根据分类加法计算原理，共可以组成240＋180＝420(个)无重复数字的四位偶数．【答案】 420(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个正交线面对．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的正交线面对的个数是________．【解析】分情况讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成正交线面对，这样的正交线面对有212＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成正交线面对，这样的正交线面对有12个．所以正方体中正交线面对共有24＋12＝36(个)．【答案】 36(3)五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有________种．【解析】分类：第一类，两人拿对，有2C 5 2 ＝20(种)；第二类，三人拿对，有C 5 3 ＝10(种)；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31(种)．【答案】 31(4)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答) 【解析】解题的步骤为：先选人，再打包，再分天．结果为 C 7 6 C 6 3 C 3 3 ＝140. 【答案】 140★状元笔记★利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是什么事． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么． (4)利用两个计数原理求解．思考题 3 (1)(2013山东理)用 0，1，，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．279 【解析】由分步乘法计数原理知：用0，1，，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为91010＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为998＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B. 【答案】 B(2)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( ) A．40 B．16 C．13 D．10 【解析】分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面．所以可共确定13个平面．【答案】 C(3)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A．30种 B．35种 C．42种 D．48种【解析】方法一：分两种情况：①2门A，1门B，有C 3 2 C 4 1 ＝12种选法；②1门A，2门B有C 3 1 C 4 2 ＝36＝18种，共有12＋18＝30种选法．方法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A，B各至少选1门，有C 7 3 －C 3 3 －C 4 3 ＝35－1－4＝30种选法．故选A. 【答案】 A如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．【解析】方法一：区域1有C 4 1 种着色方法；区域2有C 3 1 种着色方法；区域3有C 2 1 种着色方法；区域4，5有3种着色方法(4与2同色有2种，4与2不同色有1种)．共有4323＝72种不同着色方法．方法二：本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形变化后，需要有敏锐的观察力．本题能较深刻地测试逻辑思维能力．因区域1与其他四个区域都相邻，宜先考虑．区域1有4种涂法．若区域2，4同色，有3种涂法，此时区域3，5均有两种涂法，涂法总数为4322＝48种；若区域2，4不同色，先涂区域2有3种方法，再涂区域4有2种方法．此时区域3，5也都只有1种涂法，涂法总数为43211＝24种．因此涂法共有48＋24＝72种．【答案】 72★状元笔记★做为两个计数原理应用之一的涂色问题，曾是高考的热点，解决此类问题体现了两个原理的精髓．思考题4 (2018邯郸一中月考)如图，图案共分9个区域，有 6 种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂 1 种颜色的涂料，其中 2 和 9 同色，3 和 6 同色，4 和 7 同色，5 和 8 同色，且相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法有( ) A．360 种 B．720 种 C．780 种 D．840 种【解析】首先从6种不同颜色的涂料中选出4种分别涂2和9、3和6、4和7、5和8，共有A 6 4 种涂法，然后根据条件可知只需从余下的两种不同颜色的涂料中选一种涂区域1即可，有2种涂法，所以满足要求的涂法有2A 6 4 ＝720种．选B. 【答案】 B对于分类计数原理，要重点抓住类字，应用时要注意类及类之间的独立性和并列性，对于分步计数原理，要重点抓住步字，应用时要注意步与步之间的相依性和连续性，对于稍复杂问题，常常结合相关知识混合使用两个计数原理．。