【精品】人教版2020届高考数学(理)一轮复习课时作业62

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2020届高考数学一轮复习综合检测二(标准卷)理(含解析)新人教A版

综合检测二(标准卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2－x x >0，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2} 答案 C解析由集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2－x x >0，可知0<x <2；因为B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩B ＝{}x |1≤x <2，故选C.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则复数z 为( )A.15＋35i B ．－15＋35i C.15－35i D ．－15－35i 答案 D解析 ∵(1＋2i)z ＝1－i ，∴z ＝1－i 1＋2i ＝(1－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－1－3i 5＝－15－35i ，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．2答案 B 解析绘制不等式组表示的可行域(阴影部分包含边界)，结合目标函数可得，目标函数在点A (－1,0) 处取得最小值z ＝2x －y ＝－2.4.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 答案 A解析由题可知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23B A →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23O A →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A. 5．(2x ＋x )4的展开式中x 3的系数是( )A ．6B ．12C ．24D ．48答案 C解析 (2x ＋x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4(2x )4－k (x )k ＝C k 424－k 42k x －，令4－k 2＝3解得k ＝2，故x 3的系数为C 2422＝24，故选C.6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值为( )A ．15B ．37C ．83D ．177答案 B解析执行程序，可得S ＝0，i ＝1，不符合，返回循环；。

2020届高考数学一轮复习立体几何中的向量法(第2课时)求空间角与距离课时作业理(含解析)

第2课时求空间角与距离课时作业1．在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在棱CC 1上，且CC 1＝4CP ，求点P 到平面ABD 1的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则由题设条件易知A (4,0,0)，B (4,4,0)，P (0,4,1)，D 1(0,0,4)．AB →＝(0,4,0)，AD 1→＝(－4,0,4)，过P 点作PH ⊥平面ABD 1，垂足为H ，则PH 即为点P 到平面ABD 1的距离．设点H 的坐标为(x ，y ，z )，则PH →＝(x ，y －4，z －1)，AH →＝(x －4，y ，z )， ∵PH ⊥平面ABD 1，∴PH →⊥AB →，PH →⊥AD 1→，PH →⊥AH →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧PH →·AB →＝y －＝0，PH →·AD 1→＝－4x ＋z －＝0，PH →·AH →＝x x －＋y y －＋z z －＝0，解得x ＝32，y ＝4，z ＝52或x ＝0，y ＝4，z ＝1(舍去)，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4，52，PH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，∴|PH →|＝322.故点P 到平面ABD 1的距离为322.2．(2019漳州5月)如图，在三棱台ABC －DEF 中，二面角B －AD －C 是直二面角，AB ⊥AC ，AB ＝3，AD ＝DF ＝FC ＝12AC ＝1.(1)求证：AB ⊥平面ACFD ；(2)求二面角F －BE －D 的平面角的余弦值．解析：(1)连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG ⊥AC 交于G ，因为AD ＝DF ＝FC ＝12AC＝1，所以AG ＝12，DG ＝32，CG ＝32，所以CD ＝3，所以AD 2＋CD 2＝AC 2，即CD ⊥AD ，又二面角B －AD －C 是直二面角，CD平面ACFD ，所以CD ⊥平面ABED ，又AB平面ABED ，所以AB ⊥CD ，又因为AB ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，AC 、CD平面ACFD ，所以AB ⊥平面ACFD .(2)如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH ⊥AC ，由(1)可知AB ⊥AH ，以A 为原点，AB →，AC →，AH →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz .则B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，32，C (0,2,0)，所以BC →＝(－3,2,0)，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，设n ＝(x ，y ，z )是平面FBE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BC→n ⊥CF→，所以⎩⎨⎧－3x ＋2y ＝0－y ＋3z ＝0，取x ＝2，则y ＝3，z ＝3，即n ＝(2,3，3)，由(1)可知CD ⊥平面BED ，所以CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，32是平面BED 的一个法向量，所以cos 〈n ，CD →〉＝n ·CD →|n |·|CD →|＝－343＝－34，又二面角F －BE －D 的平面角为锐角，所以二面角F －BE －D 的平面角的余弦值为34.3．如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB .(1)证明：PE ⊥FG ；(2)求二面角P －AD －C 的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．解：(1)证明：∵PD ＝PC 且E 为CD 的中点，∴PE ⊥DC .又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE 平面PDC ，∴PE ⊥平面ABCD .又FG 平面ABCD ， ∴PE ⊥FG .(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥DC ，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，AD 平面ABCD ，∴AD ⊥平面PCD ，又CD ，PD平面PDC ，∴AD ⊥DC ，AD ⊥PD ，∴∠PDC 即为二面角P －AD －C 的平面角，在Rt △PDE 中，PD ＝4，DE ＝12AB ＝3，PE ＝PD 2－DE 2＝7，∴tan ∠PDC ＝PE DE ＝73，即二面角P －AD －C 的正切值为73. (3)如图所示，连接AC .∵AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，即AF FB ＝CGGB＝2，∴AC ∥FG ，∴∠PAC 为直线PA 与直线FG 所成角或其补角，在△PAC 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝5，AC ＝AD 2＋CD 2＝35，由余弦定理可得cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝52＋52－422×5×35＝9525，∴直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525.4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1＝∠CC 1B＝60°，AC＝2.(1)证明：AB1⊥CC1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的体积为3，求二面角B1－AC－C1的余弦值．解析：(1)取CC1的中点O，连接AO、AC1、B1C、B1O，由菱形的性质及∠ACC1＝∠CC1B1＝60°.得△ACC1，△B1CC1为正三角形．∴AO⊥CC1，B1O⊥CC1，且AO∩B1O＝O.∴CC1⊥平面AOB1，∴CC1⊥AB1.(2)三棱锥A－A1B1C1的体积是三棱柱ABC－A1B1C1体积的三分之一，得四棱锥A－BCC1B1的体积是柱体体积的三分之二，即等于2.平行四边形BCC1B1的面积为SBCC1B＝2×2×sin 60°＝2 3.设四棱锥A－BCC1B1的高为h，则：13×23×h ＝2，∴h ＝3，又AO ＝3＝h ，AO ⊥平面BCC 1B 1，建立如图直角坐标系：O －xyz ，则A (0,0，3)，B 1(3，0,0)，C (0，－1,0)，CB 1→＝(3，1,0)，CA →＝(0,1，3)，设平面CAB 1的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CA →＝y ＋3z ＝0n 1·CB 1→＝3x ＋y ＝0，取一个法向量为n 1＝(3，－3，3)，显然n 2＝(1,0,0)是平面C 1CA 的一个法向量．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝315＝55.二面角B 1－AC －C 1的余弦值为55. 5．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (2,0,0)，D (1，－2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(2,0,2)，D 1(1，－2,2)，又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M (1，12，1)，N (1，－2,1)．(1)证明：依题意，可得n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量，MN →＝(0，－52，0)，由此可得，MN →·n ＝0，又因为直线MN 平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1→＝(1，－2,2)，AC →＝(2,0,0)，设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2z ＝0，2x ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0,1,1)，设n 2＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0，又AB 1→＝(0,1,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2z ＝0，2x ＝0.不妨设z ＝1，可得n 2＝(0，－2,1)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝31010，所以二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0,1]，则E (0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2,1)，又n ＝(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →|·|n |＝1－2＋λ＋2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0,1]，解得λ＝7－2，所以线段A 1E 的长为7－2.6．(2018承豫南九校)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平面四边形，AB ＝AC ＝2，AD ＝22，PB ＝32，PB ⊥AC .(1)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)若∠PBA ＝45°，试判断棱PA 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33，若存在，求出AEAP的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝22，所以BC ＝AD ＝22，又AB ＝AC ＝2，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB ，又PB ⊥AC ，且AB ∩PB ＝B ，所以AC ⊥平面PAB ，因为AC平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC .(2)由(1)知AC ⊥AB ，AC ⊥平面PAB ，如图，分别以AB ，AC 所在直线为x 轴、y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，AC →＝(0,2,0)，BC →＝(－2,2,0) 由∠PBA ＝45°，PB ＝32，可得P (－1,0,3)，所以AP →＝(－1,0,3)，BP →＝(－3,0,3)，假设棱PA 上存在点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33，设AE AP＝λ(0＜λ＜1)，则AE →＝λAP →＝(－λ，0,3λ)，CE →＝AE →－AC →＝(－λ，－2,3λ)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0－3x ＋3z ＝0，令z ＝1，可得x ＝y ＝1，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，CE →〉|＝|－λ－2＋3λ|3·－λ2＋－2＋λ2＝|2λ－2|3·10λ2＋4＝33，整理得3λ2＋4λ＝0，因为0＜λ＜1，所以3λ2＋4λ＞0，故3λ2＋4λ＝0无解，所以棱PA 上不存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值为33.。

人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一(共7篇)

人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一（共7篇）目录课时作业1集合 (3).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 (10).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. (16).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业4函数及其表示. (22).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业5函数的单调性与最值. (28).................................................................. 错误！未定义书签。

2020届高三(文理)数学一轮复习《等比数列及前n项和》专题测试(学生版)

《等比数列及其前n 项和》专题题型一等比数列基本量的运算 1、在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为2、已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝3、在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝4、在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝5、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝7、设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝8、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为9、设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为10、已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝11、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝12、已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝13、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________．14、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15、已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于 16、等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 17、若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·5n ＋1，则实数m ＝________．18、已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.19、已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为20、已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于21、已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于22、数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于23、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________.24、已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________. 25、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.26、等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .题型二等比数列的性质类型一等比数列项的性质1、已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝2、在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于3、等比数列{a n }各项均为正数，a 3a 8＋a 4a 7＝18，则1＋2＋…＋10＝ _____4、已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为5、等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.7、在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为 8、已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9、递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，前n 项和S n ＝42，则n 等于类型二等比数列前n 项和的性质1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ 2、设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于3、设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________． 4、已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝－1，S 4＝－5，则S 6等于6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N). 题型三等比数列的判定与证明1、已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8.(1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n 3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；3、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.题型四等差、等比数列的综合问题1、在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2、设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．3、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n 4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2．。

2020届高考数学(理)一轮复习讲义 6.3 等比数列及其前n项和 - 副本

§6.3 等比数列及其前n 项和1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3.等比中项如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋).(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列.(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . 5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.6.等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .概念方法微思考1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数. 2.任意两个实数都有等比中项吗？提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项. 3.“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件.因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × )(2)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列.( × ) (3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列.( × ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( × ) 题组二教材改编2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 答案 C解析由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10. 题组三易错自纠4.若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________.答案－12解析 ∵1，a 1，a 2，4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12.5.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案－11解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB) 答案 39解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝8×210＝213，∴n ＝13. 即病毒共复制了13次. ∴所需时间为13×3＝39(秒).题型一等比数列基本量的运算1.(2019·沈阳模拟)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A.18B.12 C.1 D.2 答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知a 3a 5＝4(a 4－1)＝a 24，则a 24－4a 4＋4＝0，解得a 4＝2，又a 1＝14，所以q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.2.(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋).(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意对q ＝1和q ≠1的分类讨论. 题型二等比数列的判定与证明例1 已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n ，所以a n ＋1－3n ＋1＝5a n －2·3n －3n ＋1＝5(a n －3n )，又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，所以数列{a n －3n }是首项为5、公比为5的等比数列. 所以a n －3n ＝5n ，所以a n ＝3n ＋5n .(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5n3n ＝1＋⎝⎛⎭⎫53n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫531＋1＋⎝⎛⎭⎫532＋…＋1＋⎝⎛⎭⎫53n ＝n ＋53⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫53n 1－53＝5n ＋12·3n ＋n －52. 思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法：(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列；(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列； (3)通项公式法：若a n ＝Aq n (A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列.跟踪训练1 (2018·黄山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2). ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列. (2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列.∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.题型三等比数列性质的应用例2 (1)(2018·包头质检)已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N ＋)的最小值为( ) A.83 B.1 C.2 D.3 答案 C解析由已知得数列{a n }的公比满足q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，∴a 1＝2，a 3＝12，故数列{a n a n ＋1}是以2为首项，公比为a 2a 3a 1a 2＝14的等比数列，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n ∈⎣⎡⎭⎫2，83，故选C. (2)(2018·大连模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝－1，S 4＝－5，则S 6等于( ) A.－9 B.－21 C.－25 D.－63 答案 B解析因为S 2＝－1≠0，所以q ≠－1，由等比数列性质得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即－1×(S 6＋5)＝(－5＋1)2，所以S 6＝－21，故选B. 思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形.(3)前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.跟踪训练2 (1)等比数列{a n }各项均为正数，a 3a 8＋a 4a 7＝18，则1＋2＋…＋10＝ ________.答案 20解析由a 3a 8＋a 4a 7＝18，得a 4a 7＝9所以1＋2＋…＋10＝a 1a 2…a 10)＝a 1a 10)5＝a 4a 7)5＝59＝2log 3310 ＝20.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N ).答案－12解析很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得，S 3S 6＝a 1()1－q31－q a 1()1－q 61－q＝11＋q 3＝89，解得q ＝12，则a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12.等差数列与等比数列关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.例1 已知等差数列{a n }的首项和公差均不为0，且满足a 2，a 5，a 7成等比数列，则a 3＋a 6＋a 11a 1＋a 8＋a 10的值为( )A.1314B.1213C.1112D.13 答案 A解析已知等差数列{a n }的首项和公差均不为0，且满足a 2，a 5，a 7成等比数列，∴a 25＝a 2a 7，∴(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，∴10d 2＝－a 1d ，∵d ≠0，∴－10d ＝a 1，∴a 3＋a 6＋a 11a 1＋a 8＋a 10＝3a 1＋17d 3a 1＋16d ＝－30d ＋17d －30d ＋16d ＝1314.例2 已知{a n }为等比数列，数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( )A.3n ＋1B.3n －1C.3n 2＋n 2D.3n 2－n2答案 C解析 ∵b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1， ∴a 1(b 2－b 1)＝a 2，即a 2＝3a 1，又数列{a n }为等比数列， ∴数列{a n }的公比为q ＝3， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n＝3，∴数列{b n }是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{b n }的前n 项和为S n ＝2n ＋n (n －1)2×3＝3n 2＋n2.故选C.1.已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为( ) A.±2 B. 2 C.±2 D.2 答案 A解析根据等比数列的性质可得a 3·a 7＝a 25＝a 21·q 8＝q 8＝16＝24，所以q 2＝2，即q ＝±2，故选A.2.已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A.93B.189C.18916 D.378答案 B解析设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1，且2()a 2＋2＝a 1＋1＋a 3，即2×()6＋2＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，则q ＝2⎝⎛⎭⎫q ＝12舍去，则a 1＝62＝3，∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×()1－261－2＝189.3.(2018·满洲里质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B.－13 C.19 D.－19 答案 B解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1－32n －3 ＝32n －3(32－1)＝8·32n －3＝8·32n －2·3－1 ＝83·9n －1，所以3＋r ＝83，即r ＝－13，故选B.4.已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于( )A.－5B.－3C.5D.3 答案 C解析由题意可得，S 4S 2＝a 1[1－(－2)4]1－(－2)a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝1＋(－2)2＝5. 5.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 C解析设该女子第一天织布x 尺，则x (1－25)1－2＝5，解得x ＝531，所以前n 天织布的尺数为531(2n －1)，由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，解得n 的最小值为8. 6.若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N ＋)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B.－16 2 C.2 D.16 2答案 D解析设正项等比数列{a n }的公比为q >0， ∵a n a n ＋1＝22n (n ∈N ＋)， ∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝22(n ＋1)22n ＝4＝q 2，解得q ＝2，∴a 2n ×2＝22n，a n >0，解得a n ＝2122n -，则a 6－a 5＝1122－922＝162，故选D.7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________.答案 2 018解析 ∵a 2＋a 4＝－2a 3，∴a 2＋a 4＋2a 3＝0，a 2＋2a 2q ＋a 2q 2＝0，∴q 2＋2q ＋1＝0，解得q ＝－1.∵a 1＝2 018，∴S 2 019＝a 1(1－q 2 019)1－q＝2 018×[1－(－1)2 019]2 ＝2 018.8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________.答案 132解析由题意，得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫229＝132. 9.已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________. 答案 18解析 ∵a 2a 8＝2a 5＋3，∴a 25＝2a 5＋3，解得a 5＝3(舍负)，即a 1q 4＝3，则q 4＝6，a 9＝a 1q 8＝12×36＝18. 10.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.答案 83解析 ∵a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1(1－q 4)1－q ＋a 1(1－q 12)1－q ＝λa 1(1－q 8)1－q， 1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83. 11.(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式.解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n ，将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列.由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1.当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列.(2)解由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝⎛⎭⎫－12＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n －2 ＝1＋1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12 ＝1＋23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1 ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1. 当n ＝1时，53－23×⎝⎛⎭⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1(n ∈N ＋).13.(2018·大连模拟)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N ＋时，S n －1S n的最大值与最小值的比值为( ) A.－125 B.－107 C.109 D.125答案 B解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12， ∴a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1， ∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n . ①当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n 随着n 的增大而减小，则1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤56； ②当n 为偶数时，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤S n <1，故－712≤S n －1S n<0.∴S n－1S n的最大值与最小值的比值为5 6－712＝－107.14.已知数列{a n}的前n项和为S n＝2n＋1－2，b n＝log2(a2n·2n a)，数列{b n}的前n项和为T n，则满足T n>1 024的最小n的值为________.答案9解析由数列{a n}的前n项和为S n＝2n＋1－2，则当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，a1＝S1＝2，满足上式，所以b n＝log2(a2n·2n a)＝log2a2n＋log22n a＝2n＋2n，所以数列{b n}的前n和为T n＝n(2＋2n)2＋2(1－2n)1－2＝n(n＋1)＋2n＋1－2，当n＝9时，T9＝9×10＋210－2＝1 112>1 024，当n＝8时，T8＝8×9＋29－2＝582<1 024，所以满足T n>1 024的最小n的值为9.15.已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4＝a3，则使得T n>1的n的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案 C解析∵{a n}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝a3，∴a23＝a3，∴a3＝1.又∵q>1，∴a1<a2<1，a n>1(n>3)，∴T n>T n－1(n≥4，n∈N＋)，T1<1，T2＝a1·a2<1，T3＝a1·a2·a3＝a1a2＝T2<1，T4＝a1a2a3a4＝a1<1，T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝a53＝1，T6＝T5·a6＝a6>1，故n的最小值为6，故选C.16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，x t，2，并记a n＝log2(1·x1·x2·…·x t·2)，其中t＝2n－1，n∈N＋，求数列{a n}的通项公式.解 a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，所以a n ＋1＝log 2[1·(1·x 1)·x 1·(x 1·x 2)·…·x t ·(x t ·2)·2] ＝log 2(12·x 31·x 32·x 33·…·x 3t ·22)＝3a n －1，所以a n ＋1－12＝3⎝⎛⎭⎫a n －12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是一个以32为首项，以3为公比的等比数列，所以a n －12＝32×3n －1，所以a n ＝3n ＋12.。

2020年高考数学(文)一轮复习专题6.2 等差数列及其前n项和(练)(解析版)

专题6.2 等差数列及其前n 项和1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（）A ．2B ．7C ．14D ．28【答案】C 【解析】5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===，本题选C 。

2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=（）A ．12B ．9C ．6D ．3【答案】B【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==本题选B 。

3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（） A ．6 B ．6-C ．2-D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6，故选A 。

4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（）A ．2B ．2或32C ．2或-32D ．-1【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或，451a =a q ∴，5a =232或，故选B.5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。

2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题八：立体几何(5)直线、平面垂直的判定及其性质

立体几何（5）直线、平面垂直的判定及其性质1、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为94形.若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ) A.5π12 B.π4 C.π3 D.π62、在长方体1111ABCD A B C D -中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点1A 到截面11AB D 的距离是( ) A. 83 B. 38 C. 43 D. 343、在长方体1111ABCD A B C D -中, 12AA AD AB ==,若,E F 分别为线段111,A D CC 的中点,则直线EF 与平面11ADD A 所成角的正弦值为( )D. 134、三棱锥P ABC -的两侧面,PAB PBC 都是边长为2a 的正三角形, AC =,则二面角A PB C --的大小为( )A.90°B.30°C.45°D.60°5、如图所示，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥底面,ABCD M 是PC 上的任意一点，则下列选项能使得平面MBD ⊥平面PCD 的是( )A. M 为PC 的中点 B ． DM BC ⊥C ．DM PC ⊥D ．DM PB ⊥6、已知正方体1111ABCD A B D C -的棱长为6,点E 在棱BC 上,且2BE EC =,过点E 的直线l 与直线111,A A D C 分别交于,M N 两点,则MN = ( )A.B. C. 14D. 217、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为( )A ．8B ．C ．D ．8、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中1AD AA =，则下列结论不正确的为( )A. 平面11A B CD ⊥平面1BC DB. 存在平面11A B CD ⊥上的一点P 使得1//D P 平面1BC DC. 存在直线1A C 上的一点Q 使得1//D Q 平面1BC DD. 存在直线1A C 上的一点R 使得1D R ⊥平面1BC D9、在三棱锥P ABC -中,已知PA AB AC ==,BAC PAC ∠=∠,点,D E 分别为棱,BC PC 的中点,则下列结论正确的是( )A.直线DE ⊥直线ADB.直线DE ⊥直线PAC.直线DE ⊥直线ABD.直线DE ⊥直线AC10、已知直二面角AB αβ--,点C α∈,点D β∈,满足45,CAB DAB AC AD ∠=∠=︒=,则CAD ∠的大小为( )A. 30B. 45C. 60D. 12011、把三个半径都是2的球放在桌面上,使它们两两相切,然后在它们上面放上第四个球(半径是2),使它与下面的三个球都相切,则第四个球的最高点与桌面的距离为__________12、如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 12AA AB ==,1BC =,点P 在侧面11A ABB 上.若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等, 则1A P 的最小值是____.13、在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB AC BC ===,D E 分别是11,AC BB 的中点，则直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值为________．14、底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥,已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球,它们的底面边长为a ,球的半径为R ,设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为,αβ,则()tan αβ+=_________________.15、如图所示,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥底面ABCD ,底面边长为,a E 是PC 的中点1.求证://PA 平面BDE2.平面PAC ⊥平面BDE3.若二面角E BD C --为30︒,求四棱锥P ABCD -的体积.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：C解析：点1A 到截面11AB D 的距离是h ,由111111A AB D A A B D V V --=可得1111111133AB D A B D S h S AA ∆∆⋅=⋅解得43h =.3答案及解析：答案：C解析：取1DD 的中点G ,连接1,,EG FG EC .容易证明FEG ∠为直线EF 与平面11ADD A 所成的角.设AB a =,则12AA AD a ==.在三角形11ED C 中可求得1EC .在三角形1EFC 中可求得EF =.所以在三角形EFG 中可求得sin3FEG ∠==.4答案及解析：答案：D 解析：取PB 的中点M ,连接,AM CM ,则,AM PB CM PB ⊥⊥, 所以AMC ∠是二面角A PBC --的平面角.由已知易知AM CM ==,所以AMC ∆是正三角形,所以60AMC ∠=.5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：D解析：根据题意作图,由图可知, 1111111,33C F NC NC AD ND ===,所以FN =又17A F EN =, 故113FN EN A N MN ==, 所以 21MN =.故选D.7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析：答案：C解析：如图.过C 作,CO AB O ⊥为垂足,连接OD ,∵,,AB CO AB αβαβ⊥⋂=⊥,∴,CO CO OD β⊥⊥.又45CAO DAO ∠=∠=︒,AC AD =,,AOC AOD AO OD OC ∴∆≅∆∴==,,60.AC AD CD CAD ∴==∴∠=︒11答案及解析：4+ 解析：12答案及解析：解析：13答案及解析：答案：12解析：如图，取AC 的中点F ，连接,DF BF ，则//,DF BE DF BE =，∴//DE BF ，∴BF 与平面11BB C C 所成角的正弦值为所求．∵1,2AB BC AC ===，∴AB BC ⊥，又1AB BB ⊥，∴AB ⊥平面11BB C C作//GF AB 交BC 于点G ，则GF ⊥平面11BB C C ，∴FBG ∠为直线BF 与平面11BB C C 所成的角．由条件知122BG BC ==，1122GF AB ==，∴tan 3GF FBG BG ∠==， ∴π6FBG ∠=， ∴π1sin sin62FBG ∠==，即直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值为12.14答案及解析：答案：4R a- 解析：如图,设正方形中心为P ,则SQ 为求O 的直径,且SQ 经过点P ,垂直于平面ABCD ,设CD 中点为M ,则,αβ分别为SMP ∠和QMP ∠,设OP t =,则tan 2R t a α+=,tan 2R t a β-=,()()()()2222tan tan 4tan 1tan tan 414a aR R t R t a R t a αβαβαβ++===+-----,又222222a R t a ⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭,所以()4tan R a αβ+=-.15答案及解析：答案：1.证明:连接OE ,如图所示.∵,O E 分别为,AC PC 中点, ∴//OE PA∵OE ⊂面,//BDE PA 平面BDE ∴//PA 平面BDE .2.证明:∵PO ⊥平面ABCD ,∴PO BD ⊥.在正方形ABCD 中,BD AC ⊥又∵PO AC O ⋂=,∴BD ⊥平面PAC 又∵BD ⊂平面BDE ,∴平面PAC ⊥平面BDE3.取OC 中点F ,连接EF .∵E 为PC 中点,∴EF 为POC △的中位线,∴//EF PO又∵PO ⊥平面ABCD ,∴EF ⊥平面ABCD∵OF BD ⊥,∴OE BD ⊥∴EOF ∠为二面角E BD C --的平面角, ∴30EOF ∠=︒.在Rt OEF △中,OF OC AC a ===∴tan30EF OF a =︒⋅=,∴2OP EF a ==.∴2313618P ABCD V a -=⨯⨯= 解析：。

人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业六(共7篇)

课时作业 54 抛物线....................................................................................................................32 .................................................................. 错误！未定义书签。 .................................................................. 错误！未定义书签。
则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即 2x＋y－
7＝0.故选 B. 4．已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线 y＝2x＋1 上的圆，其圆心
到 x 轴的距离恰好等于圆的半径，在 y 轴上截得的弦长为 2 5，则圆的方程为( B )
A．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25 B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 C.x－232＋y－732＝499 D.x＋232＋y＋732＝499 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
解析：圆心 C(0,1)，设∠PCA＝α，|PC|＝m，则|PA|2＝m2＋1－2mcosα， |PB|2＝m2＋1－2mcos(π－α)＝m2＋1＋2mcosα，∴|PA|2＋|PB|2＝2m2＋
|0－1－1| 2.又 C 到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2，即 m 的最小值为
2，∴|PA|2＋|PB|2 的最小值为 2×( 2)2＋2＝6. 14．(2019·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知
CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过 M 的切线

【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业5

Earlybird课时作业14利用导数研究函数的单调性11．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(B)2A．(－1,1] B．(0,1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)1 1 x2－1 x－1x＋1解析：y＝x2－ln x，y′＝x－＝＝(x＞0)．2 x x x令y′≤0，得0＜x≤1，所以递减区间为(0,1]．2．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(B)A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝x e xC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln xππ解析：对于A，f(x)＝sin2x的单调递增区间是[(k∈4]kπ－，kπ＋4Z)；对于B，f′(x)＝e x(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)＝x e x在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＞3 3 3 0 ，得x＞或x＜－，∴函数f(x) ＝x3 －x在和－∞，－33 ( 3 ) 3 1 x－1上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)＞，＋∞)(3 x x0，得0＜x＜1，∴函数f(x)＝－x＋ln x在区间(0,1)上单调递增．综上所述，故选B.3．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(D)解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0 的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0 的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．4．(2019·豫南九校联考)已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f′(x)－2f(x)＜0，且f(－1)＝0，则f(x)＞0 的解集为(A)A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(－∞，0) D．(－1，＋∞)f x f′x－2f x解析：设g(x)＝，则g′(x)＝＜0 在R上恒成立，e2x e2x所以g(x)在R上递减，又因为g(－1)＝0，f(x)＞0⇔g(x)＞0，所以x＜－1.15．(2019·安徽江南十校联考)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，2a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(A)A．(1,2] B．[4，＋∞)C．(－∞，2] D．(0,3]9解析：∵f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－，∴由f′(x)≤0x解得0＜x≤3，由题意知Error!解得1＜a≤2.ln x6．(2019·安徽模拟)已知f(x)＝，则(D)xA．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2)C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2)解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，1－ln x∵f′(x)＝，∴x∈(0，e)，f′(x)＞0，x∈(e，＋∞)，x2ln2 ln8 ln3 f′(x)＜0，故x＝e 时，f(x)max＝f(e)，而f(2)＝＝，f(3)＝2 63 ln9＝，则f(e)＞f(3)＞f(2)．67．(2019·张掖一诊)定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)＝1，且π3π 3 x2f′(x)＞1，当x∈[时，不等式f(2cos x)＞－2sin2 的解集为－，2 ]2 2 2(D)π4ππ4πA.(B.3 )( 3 )，－，3 3πππC.(D.3)(3)0，－，3x 1解析：令g(x)＝f(x)－－，2 21则g′(x)＝f′(x)－＞0，2∴g(x)在R上单调递增，1 1且g(1)＝f(1)－－＝0，2 23 x2cos x 1∵f(2cos x)－＋2sin2 ＝f(2cos x)－－＝g(2cos x)，2 2 2 23 x∴f(2cos x)＞－2sin2 ，2 2即g(2cos x)＞0，∴2cos x＞1.π3πππ又x∈[，∴x∈.－，－，2 ](3)2 38．(2019·武汉模拟)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为yf e f ln2＝f′(x) ，当x＞0 ，xf′(x) －f(x) ＜0 ，若a＝，b＝，c＝e ln2f－3，则a，b，c的大小关系正确的是(D)－3A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．a＜c＜b D．c＜a＜bf x解析：设g(x)＝，xxf′x－f x则g′(x)＝，x2∵当x＞0 时，xf′(x)－f(x)＜0，∴g′(x)＜0.∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(－3)＝g(3)，又a＝g(e)，b＝g(ln2)，c＝g(－3)＝g(3)，∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，故c＜a＜b.9．(2019·银川诊断)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞).解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点．需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3，所以实数a的取值范围是(－3,0)∪(0，＋∞)．110．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，2则t的取值范围是(0,1)∪(2,3).解析：由题意知3 x－1x－3f′(x)＝－x＋4－＝－，x x由f′(x)＝0，得函数f(x)的两个极值点为1 和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t＜1＜t＋1 或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1 或2＜t＜3.11．(2019·河北武邑中学调研)已知函数f(x)＝e x－ax(a∈R，e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－e x＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝e x－a.当a≤0 时，f′(x)＞0，∴f(x)在R上为增函数；当a＞0 时，由f′(x)＝0 得x＝ln a，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，ln a)上为减函数，当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数．(2)当a＝1 时，g(x)＝(x－m)(e x－x)－e x＋x2＋x.∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数，∴g′(x)＝x e x－m e x＋m＋1≥0 在(2，＋∞)上恒成立，x e x＋1即m≤在(2，＋∞)上恒成立．e x－1x e x＋1令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，e x－1e x2－x e x－2e x e x e x－x－2则h′(x)＝＝.e x－1 2 e x－12令L(x)＝e x－x－2，L′(x)＝e x－1＞0 在(2，＋∞)上恒成立，即L(x)＝e x－x－2 在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)＞L(2)＝e2－4＞0，∴h′(x)＞0 在(2，＋∞)上成立，x e x＋1即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，e x－12e2＋1 2e2＋1∴h(x)＞h(2)＝，∴m≤.e2－1 e2－12e2＋1∴实数m的取值范围是(.－∞，e2－1 ]12．已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，m对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·[在区间(t,3)上总不f′x＋2]是单调函数，求m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，a1－x且f′(x)＝，x当a＞0 时，f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)；当a＜0 时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)；当a＝0 时，f(x)为常函数．a(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，2即a＝－2，2x－2∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.xm∴g(x)＝x3＋(x2－2x，＋2)2∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，∴Error!当g′(t)＜0 时，即3t2＋(m＋4)t－2＜0 对任意t∈[1,2]恒成立，Earlybird由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0 且g′(2)＜0，即m＜－5 且m＜－9，即m＜－9；37由g′(3)＞0，即m＞－.337∴－＜m＜－9.337即实数m的取值范围是(.，－9)－313．(2017·山东卷)若函数e x f(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数) 在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(A)A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos xe解析：设函数g(x)＝e x·f(x)，对于A，g(x)＝e x·2－x＝(x，在定2 )义域R上为增函数，A 正确．对于B，g(x)＝e x·x2，则g′(x)＝x(x＋2)e x，由g′(x)＞0 得x＜－2 或x＞0，∴g(x)在定义域R上不是增函e＝(x在定义域R上是减函数，数，B 不正确．对于C，g(x)＝e x·3－x3 )πC 不正确．对于D，g(x)＝e x·cos x，则g′(x)＝2e x cos(，g′(x)＞x＋4)0 在定义域R上不恒成立，D 不正确．14．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)＜xf′(x) ＜3f(x)恒成立，其中y＝f′(x)为y＝f(x)的导函数，则(B)f2f2A．8＜＜16 B．4＜＜8f1f1f2f2C．3＜＜4 D．2＜＜3f1f1解析：∵xf′(x)－2f(x)＞0，x＞0，Earlybirdf x f′x·x2－2xf x xf′x－2f x∴[′＝＝＞0，x2 ]x4 x3f x∴y＝在(0，＋∞)上单调递增，x2f2f1f2∴＞，即＞4.22 12 f1∵xf′(x)－3f(x)＜0，x＞0，f x f′x·x3－3x2f x xf′x－3f x∴[′＝＝＜0，x3 ]x6 x4f x∴y＝在(0，＋∞)上单调递减，x3f2f1f2∴＜，即＜8.23 13 f1f2综上，4＜＜8.f115．(2019·昆明调研)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数1 x2 1f′(x)＜，则不等式f(x2)＜＋的解集为{x|x＜－1 或x＞1}.2 2 21解析：设F(x)＝f(x)－x，21∴F′(x)＝f′(x)－，21 1∵f′(x)＜，∴F′(x)＝f′(x)－＜0，2 2即函数F(x)在R上单调递减．x2 1∵f(x2)＜＋，2 2x2 1∴f(x2)－＜f(1)－，2 2∴F(x2)＜F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，∴x2＞1，即不等式的解集为{x|x＜－1 或x＞1}．16．(2019·岳阳质检)已知函数f(x)＝(ax－1)e x，a∈R.(1)讨论f(x)的单调区间；Earlybird(2)当m＞n＞0 时，证明：m e n＋n＜n e m＋m.解：(1)f(x)的定义域为R，且f′(x)＝(ax＋a－1)e x.①当a＝0 时，f′(x)＝－e x＜0，此时f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)．a－1②当a＞0 时，由f′(x)＞0，得x＞－；aa－1由f′(x)＜0，得x＜－.aa－1此时f(x)的单调递减区间为(，单调递增区间为－∞，－a)a－1.－，＋∞)(aa－1③当a＜0 时，由f′(x)＞0，得x＜－；aa－1由f′(x)＜0，得x＞－.aa－1此时f(x)的单调递减区间为(，单调递增区间为－，＋∞)aa－1.－∞，－(a)(2)证明：当m＞n＞0 时，要证m e n＋n＜n e m＋m，只要证m(e n－1)＜n(e m－1)，e m－1 e n－1即证＞.(*)m ne x－1设g(x)＝，x＞0，xx－1e x＋1则g′(x)＝，x＞0.x2设h(x)＝(x－1)e x＋1，由(1)知h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x＞0 时，h(x)＞h(0)＝0，于是g′(x)＞0，Earlybird所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当m＞n＞0 时，(*)式成立，故当m＞n＞0 时，m e n＋n＜n e m＋m.。

【精选】人教版2020届高考数学(理)一轮复习课时作业20

课时作业20 三角函数的图象与性质1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( A ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③解析：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2. 2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( C ) A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心． 3．(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.4．(2019·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π解析：因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2＜2x －π6＜2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3＜x ＜k π＋56π(k ∈Z )．取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，56π.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0解析：函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .例如1]( D )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22B ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，当0≤x ＜π4或5π4＜x ≤2π时，cos x ＞sin x ，f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.7．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )＞1对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，－π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 解析：由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3. ∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3， ∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )＞1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1＞1，即cos(3x ＋φ)＞0，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|＜π2可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0. 8．(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0＜φ＜π)是奇函数，则φ＝5π6 .解析：因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0＜φ＜π，故φ＝5π6.9．已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是[2,3)__．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12＜1，∴2≤a ＜3.10．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为2__.解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 由－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 12．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.13．(2019·龙岩六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞0，则f (x )的单调递减区间是( C )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π4(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析：由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＞0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z ，故选C ．14．设ω∈N *且ω≤15，则使函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调的ω的个数是( C )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由ωx ＝π2＋k π(k ∈Z )得函数y ＝sin ωx 的图象的对称轴为x ＝π2ω＋k πω(k ∈Z )．∵函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调，∴π4＜π2ω＋k πω＜π3(k ∈Z )，解得1.5＋3k ＜ω＜2＋4k (k ∈Z )．由题意ω∈N *且ω≤15，∴当k ＝0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k ＝1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；当k ＝2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；当k ＝3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；当k ＝4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C ． 15．若函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝4_035__.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1 ＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3， ∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0＜φ＜π2，∴2φ＝π2，φ＝π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 ＋2×2 018＝504×0－sin π2－sinπ＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.16．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t的值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |＜3，即f (x )－3＜m ＜f (x )＋3，所以2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．。

2020届高考数学(理)大一轮复习增分练：等差数列及其前n项和含解析

4．(2019·广东广州联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2 017的值为()
A．2 018B．4 028
C．5 037D．3 019
解析：选B.由题意得
解得所以an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
所以a2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，
故解得
即所求m的值为5，k的值为4.
[综合题组练]
1．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是()
A．2 016B．2 017
C．4 032D．4 033
解析：选C.因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝ >0，S4 033＝＝4 033a2 017<0，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.
因为d>0，所以d＝2.
从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.
答案：10
8．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝________．

【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (6)

课时作业6 函数的奇偶性与周期性1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( D ) A ．y ＝e x ＋e －x B ．y ＝ln(|x |＋1) C ．y ＝sin x |x | D ．y ＝x －1x 解析：选项A ，B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x 在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x 在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确． 2．(2019·商丘模拟)已知函数f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )，则f (x )是( D ) A ．奇函数，且在(0，e)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，e)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，e)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，e)上是减函数解析：f (x )的定义域为(－e ，e)，且f (x )＝ln(e 2－x 2)．又t ＝e 2－x 2是偶函数，且在(0，e)上是减函数，∴f (x )是偶函数，且在(0，e)上是减函数． 3．(2019·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( D ) A ．f (2)＞f (3) B ．f (2)＞f (5) C ．f (3)＞f (5) D ．f (3)＞f (6) 解析：∵y ＝f (x ＋4)为偶函数， ∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称，∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)．又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数， ∴f (5)＞f (6)，所以f (3)＞f (6)． 4．(2019·安徽蚌埠模拟)已知单调函数f (x )，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x ]＝6，则f (2)＝( C ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：设t ＝f (x )－2x ，则f (t )＝6，且f (x )＝2x ＋t ，令x ＝t ，则f (t )＝2t ＋t ＝6， ∵f (x )是单调函数，f (2)＝22＋2＝6， ∴t ＝2，即f (x )＝2x ＋2，则f (2)＝4＋2＝6，故选C. 5．(2019·河北石家庄一模)已知奇函数f (x )在x ＞0时单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围为( A ) A ．{x |0＜x ＜1或x ＞2} B ．{x |x ＜0或x ＞2} C ．{x |x ＜0或x ＞3} D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，则－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )＞0；x ＜－1或0＜x ＜1时，f (x )＜0.∴不等式f (x －1)＞0即－1＜x －1＜0或x －1＞1，解得0＜x ＜1或x ＞2，故选A. 6．(2019·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )＞2的解集为( B ) A ．(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析：f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )＞2＝f (1)⇔f (|log 2x |)＞f (1)⇔|log 2x |＞1⇔log 2x ＞1或log 2x ＜－1⇔x ＞2或0＜x ＜12.7．(2019·河南郑州一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2e)＝－f (x )(其中e ＝2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系(用不等号连接)为( A ) A ．f (b )＞f (a )＞f (c ) B ．f (b )＞f (c )＞f (a ) C ．f (a )＞f (b )＞f (c ) D ．f (a )＞f (c )＞f (b ) 解析：∵f (x )是R 上的奇函数，满足f (x ＋2e)＝－f (x )， ∴f (x ＋2e)＝f (－x )， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝e 对称， ∵f (x )在区间[e,2e]上为减函数， ∴f (x )在区间[0，e]上为增函数，又易知0＜c ＜a ＜b ＜e ， ∴f (c )＜f (a )＜f (b )，故选A. 8．(2019·四川师大附中模拟)设函数f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D (a ＜b )，使f (x )在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”．若函数f (x )＝log 2(4x ＋t )为“优美函数”，则t 的取值范围是( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：∵函数f (x )＝log 2(4x ＋t )是定义域上的增函数， ∴由题意得，若函数为“优美函数”，则f (x )＝x 有两个不相等的实根，即log 2(4x ＋t )＝x ，整理得4x ＋t ＝2x ， ∴(2x )2－2x ＋t ＝0有两个不相等的实根． ∵2x ＞0，令λ＝2x (λ＞0)， ∴λ2－λ＋t ＝0有两个不相等的正实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4t ＞0，t ＞0，解得0＜t ＜14，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，故选D. 9．(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是－25 . 解析：因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝110，即－12＋a ＝110，所以a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－25. 10．(2019·泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是①②③④__(请把正确命题的序号全部写出来)．解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立．令x ＝y ＝0，所以f (0)＝0. 令x ＋y ＝0，所以y ＝－x ，所以f (0)＝f (x )＋f (－x )．所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为f (x )在x ∈[－1,0]上为增函数，又f (x )为奇函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数．由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)⇒f (x ＋4)＝f (x )，所以周期T ＝4，即f (x )为周期函数．f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )．又因为f (x )为奇函数，所以f (2－x )＝f (x )，所以函数关于直线x ＝1对称．由f (x )在[0,1]上为增函数，又关于直线x ＝1对称，所以f (x )在[1,2]上为减函数．由f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数． (1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． 12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)＜2等价于f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0＜|x －1|＜16，解之得－15＜x ＜17且x ≠1，∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．13．(2019·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0,1]，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247，则下列结论正确的是( B ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞a ＞b 解析：由函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，可知函数的周期为4，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47.由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，可知函数是区间[0,1]上的减函数，据此可得b ＞a ＞c . 14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( B ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x＜2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，所以当0≤x＜2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x＜4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6.故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.15．(2019·河南林州一中调研)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，满足f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－4，令函数g(x)＝f(x)－m，若g(x)在区间[－10,2]上有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝－24__.解析：∵函数y＝f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，由f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，令x＝0，可得f(2)＝0，∵f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，∴周期T＝4.作出函数f(x)在[－10,2]上的图象及直线y＝m如图所示．由图象可知f(x)的图象在[－10,2]上有3条对称轴，分别为x＝－8，x＝－4，x＝0，∴6个零点之和为2×(－8)＋2×(－4)＋2×0＝－24.16．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然原不等式成立．若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，因为f (x )在[－1,1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0. 所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．若x 1＋x 2＞0，则－1≤－x 2＜x 1≤1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0. 所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上所述，对任意x 1，x 2∈[－1,1]，有[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)≤0恒成立． (2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1,1]上是减函数，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1. 故所求实数a 的取值范围是[0,1)．。

2020届高三文理科数学一轮复习《三角函数的图像与性质》专题汇编(教师版)

《三角函数的图像与性质》专题一、相关知识点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 4．奇偶性相关结论(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ；②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z.题型一三角函数的定义域1．函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．解析：根据题意知sin x >0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)． 2．函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3B ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由2sin x －3≥0得sin x ≥32，∴π3＋2k π≤x ≤23π＋2k π(k ∈Z)，故选B ． 3．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．解析：要使函数式有意义，需2sin x －2≥0，即sin x ≥22，借助正弦函数的图象(图略)，可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z ，所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)． 4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z 解析：D ，由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z .] 5．x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π解析：法一：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π，3π2.故选C. 法二：x ＝π时，函数有意义，排除A 、D ；x ＝54π时，函数有意义，排除B.故选C.题型二三角函数的值域(最值)三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域 (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域 (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域1．函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．解析：f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z)，x ＝6k π(k ∈Z)，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z}．] 2．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛⎭⎫255cos x ＋55sin x ＝5sin(x ＋α)(其中tan α＝2)，故函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5. 3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.4．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332 D ．⎣⎡⎦⎤－332，3 解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3，故选B ． 5．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________．解析：∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3<1，∴－1<2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3<2. ∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为(－1,2)． 6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.7．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝|2sin ⎝⎛⎪⎪2x －π3）<3，所以m ≥ 3. 8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为解析：∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. 10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______解析：设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12(－2≤t ≤2)，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y 取最大值为2＋12，当t ＝－1时，y 取最小值为－1.所以函数值域为⎣⎡⎦⎤－1，12＋2.]11．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． 12．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．解析：∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．题型三三角函数的单调性类型一求三角函数的单调区间 1．f (x )＝|tan x |；解析：观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是( k π－π2，k π ]，k ∈Z.2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：选D ，将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间是________．解析：由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)．故函数的递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12.4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 解析： f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－2sin ( 2x －π4 )，令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z)，故－π4＋2k π≤2x ≤3π4＋2k π(k ∈Z)，解得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．故选D. 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，函数f (x )的减区间就是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. 6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 7．函数 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调性递增区间为；递减区间为解析：当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是[ －5π12，π12]，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－5π12，⎣⎡⎦⎤π12，π2. 8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C ．⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，2π解析：令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π3，π3，故选C ． 9．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12和⎣⎡⎦⎤－π12，0. 10．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B ，因为sin φ－cos φ＝22，所以2sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ＝5π12.因为f (x )＝sin 2(x ＋φ)＝1－cos (2x ＋2φ)2＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π62，所以由2x ＋5π6∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z). 11．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18＞sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．解析：令－π2≤2x －π6≤π2，则－π6≤x ≤π3.令π2≤2x －π6≤32π，则π3≤x ≤5π6.因为－π12≤x ≤π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减．当x ＝π3时，f (x )取得最大值为1. 因为f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32<f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，所以当x ＝－π12时，f (x )min ＝－32. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 类型二已知单调性求参数值或范围已知单调区间求参数范围的3种方法 1．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于解析：因为f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32. 2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4. 3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π8，5π8，则ω＝________. 解析：由π8≤x ≤5π8得π8ω＋π4≤ωx ＋π4≤5π8ω＋π4.又函数f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z)，则⎩⎨⎧π8ω＋π4＝2k π＋π2，58πω＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＝16k ＋2ω＝165k ＋2，解得ω＝2. 4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是．解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意，知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥2k π＋π2，k ∈Zπω＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，∴4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，当k ＝0时，12≤ω≤54.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．解析：由π＜x ＜3π2得πω－π3＜ωx －π3＜3π2ω－π3，由题意知⎝⎛⎭⎫πω－π3，3π2ω－π3⊆⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)． ∴⎩⎨⎧πω－π3≥2k π＋π2，k ∈Z3π2ω－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得⎩⎨⎧ω≥2k ＋56，k ∈Zω≤43k ＋119，k ∈Z，当k ＝0时，56≤ω≤119.6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________. 解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π，∴2πω≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________. 解析：因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则 f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 8．若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．解析：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ∈[0，a ]时，π4≤x ＋π4≤a ＋π4，由题意知a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值为3π4.题型四三角函数的周期性三角函数周期的求解方法1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 解析：22．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的最小正周期为________ 解析：T ＝2ππ＝2．3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为________ 解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π. 4．函数＋的最小正周期为______.解析：函数,所以，最小正周期，5．在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③解析：①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图像知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C ．6．函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为________ 解析：由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 题型五三角函数的奇偶性与三角函数奇偶性相关的结论：三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． (2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．1．函数y ＝1－2sin 2( x －3π4)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x ，故函数y 是最小正周期为π的奇函数，故选A.2．若函数是偶函数，则等于______解析：由题，又()0,ϕπ∈，故 =3．若函数是偶函数，则 ________．解析：函数为偶函数，则当时函数取得最值，即： .4．若是定义在上的偶函数，其中，则 _____ 解析：根据题意可知若f （x ）是定义在R 上的偶函数，即的对称轴为x=0则有，又因为，所以可解得5．将函数向右平移个单位，得到一个偶函数的图象，则最小值为__ 解析：将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，因为函数为偶函数，，当时，的最小值，故答案为 .6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________. 解析：由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2. 7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. 题型五三角函数的对称性(1) 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．(2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z1．列函数的最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：根据函数的最小正周期为π知，排除C ，又当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，2x －π6＝π2，2x －π3＝π3，故选B ． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 解析：令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z.当k ＝－1时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－3π4，0.故选B. 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3 D ．x ＝7π12解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)，可得x ＝512π＋k 2π(k ∈Z)．令k ＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x ＝1112π. 3．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为解析：由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z.∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6. 4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或0解析：选B ，因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值. 5．函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝－π4对称 C ．关于直线x ＝π2对称 D ．关于直线x ＝－π2对称解析：f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－2，故选B. 6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( ) A.π6 B.π3 C.7π6 D.4π3解析：选C ，函数零点即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点，由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝7π12，可知两个交点关于直线x ＝7π12对称，故两个零点的和为7π12×2＝7π6. 8．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A ，由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，k ∈Z.当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，B 错误，也不关于直线x ＝π3对称，D 错误．故选A. 9．(理科)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π 解析：选B ，∵函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2. 10．(理科)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2)解析：选C ，由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋k πω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z.又∵f (x )的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．题型六三角函数的性质综合运用1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x 2D ．y ＝tan(－x ) 解析：选D ，A 选项，函数在⎝⎛⎭⎫π2，3π4上单调递减，在⎝⎛⎭⎫3π4，π上单调递增，故排除A ；B 选项，函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，故排除B ；C 选项，函数的周期是4π，故排除C.3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：D ，A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z)，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 项正确． C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确． D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)，递增区间为2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z)，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D ． 4．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴 D ．g (x )为奇函数解析：选C ，由题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以周期为π，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π3＝32，直线x ＝π6不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选C. 5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C.716 D.32解析：选D ，∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3，∵函数f (x )是偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 6．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z. 所以函数f (x )图像的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z. (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.7．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ( x －π4)·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，1，k ∈Z. (2)x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数有最大值2；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数有最小值12.8．已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x 2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解析：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)， ∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4，2k π＋5π4](k ∈Z)． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x ＋ 2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3满足[f (x )]2－22f (x )－m ＞0，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＋ 2 ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π.∵由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， ∴单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3时，可得2x －π6∈⎣⎡⎦⎤0，π2，解得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2∈[2，2＋1] ⇒F (x )＝[f (x )]2－22f (x )＝[f (x )－2]2－2∈[－2，－1]．存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3，满足F (x )－m ＞0的实数m 的取值范围为(－∞，－1)．。

人教版2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业32 等比数列及其前n项和(含答案)

课时作业32 等比数列及其前n 项和1．已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( A )A ．4B ．2 C.12D.14解析：由题意知2×12＝a 5＋32a 4，即3a 4＋2a 5＝2. 设{a n }的公比为q (q ＞0)，则由a 3＝1，得3q ＋2q 2＝2，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)，所以a 1＝a 3q 2＝4.2．(2019·益阳调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( D )A ．3B ．5C ．9D ．25解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D.3．(2019·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( C )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或3解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C.4．(2019·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( A )A ．－ 3B ．－1C ．－33D. 3解析：依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D.6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( A )A ．2n ＋1－2B ．2n ＋1C ．2n2－ 2D ．2n ＋22－ 2解析：因为点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，所以a n －2·a n －1＝0.又因为a n ＞0，所以a na n －1＝2(n ≥2)．又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以所求的S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.7．(2019·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( B )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.所以a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220，故选B.8．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( D )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1，当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3，当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6，解得b 1＝1，q ＝2，数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n ＜a n ，T n ＜b n ＋1.9．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a2 019的最小值为 4 .解析：设公比为q (q ＞0)，因为a 2 018＝22，所以a 2 017＝a 2 018q ＝22q ，a 2 019＝a 2 018q ＝22q ，则有1a 2 017＋2a 2 019＝2q ＋222q ＝2q ＋22q ≥2 2q ×2q ＝4，当且仅当q 2＝2，即q ＝2时取等号，故所求最小值为4.10．(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝ 3 .解析：由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，又S 12＝7S 4，∴(S 8－S 4)2＝S 4·(7S 4－S 8)，可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24，得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2，又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，∴S 8S 4＞1，∴S 8S 4＝3.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．12．(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n3n －1.解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝q n －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0，由已知，q ＞0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1). 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q 2(k －1)＞q 2(k －1)，所以1＋q 2(k －1)＞q k －1(k ∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n ＞1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1，故e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n3n －1.13．(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507 B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507 C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507 D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507 解析：由题意可知b ＝12a ，c ＝12b ， ∴b a ＝12，c b ＝12.∴a 、b 、c 成等比数列且公比为12.∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a ＋b ＋c ＝50，又易知a ＝4c ，b ＝2c ，∴4c ＋2c ＋c ＝50， ∴7c ＝50，∴c ＝507，故选D.14．(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.15．(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n (n ＋1)2 .解析：由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1， ∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∵b n ＞0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1， ∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92， ∴b 1＝2，b 2＝322， ∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝(n ＋1)22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n (n ＋1)2.16．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n≤136.。

【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (46)

课时作业46 空间向量的运算及应用1．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( D )A ．－2B ．－143 C.145 D ．2解析：由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( B )A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线解析：由已知可得OP →－OA →＝－14OA →＋18OB →＋18OC →，即OP →－OA →＝－18OA →＋18OB →＋18OC →－18OA →，可得AP →＝－18(OA →－OB →)＋18(OC →－OA →)＝－18BA →＋18AC →＝18(AC →＋AB →)，所以AP →，AC →，AB →共面但不共线，故P ，A ，B ，C 四点共面． 3．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD→＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 的中点，则△AMD 是( C )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定解析：∵M 为BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)． ∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，即△AMD 为直角三角形．4．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( D )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13 B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16 C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝13解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∵G 分MN 的所成比为2，∴MG →＝23MN →，∴OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝12a ＋23⎝⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝12a＋13b ＋13c －13a ＝16a ＋13b ＋13c ，即x ＝16，y ＝13，z ＝13.5．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( B )A.52 3 B.54 3 C.74 3D.114解析：|OA →|＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋|b |2＋4a ·b ＝7，同理|OB →|＝7，则cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝6|a |2－|b |2＋a ·b 7＝1114，从而有sin ∠AOB ＝5314，∴△OAB 的面积S ＝12×7×7×5314＝534，故选B.6．如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值为( A )A.3－225 B.2－26 C.12D.32解析：因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为 60° .解析：由题意，得(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10，即2a ·c ＋b ·c ＝－10. 又∵a ·c ＝4，∴b ·c ＝－18，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，又∵〈b ，c 〉∈[0°，180°]，∴〈b ，c 〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.8．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 .解析：∵点Q 在直线OP 上，∴设点Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23.即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23. 此时OQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫43，43，83.9．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是 VA ∥平面PMN .解析：如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ， PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →， ∴VA →，PM →，PN →共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .10．如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解：(1)设AB →＝a ，AD →＝b ， AA 1→＝c .由图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12DC →＝12a ＋b ＋c ＝12AB →＋AD →＋AA 1→.(2)证明：由题图，得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ， EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →， ∵EG 与AC 无公共点，∴EG ∥AC ， ∵EG ⊄平面AB 1C ，AC ⊂平面AB 1C ， ∴EG ∥平面AB 1C .又∵AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ，FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→， ∵FG 与AB 1无公共点，∴FG ∥AB 1， ∵FG ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴FG ∥平面AB 1C ，又∵FG ∩EG ＝G ，FG ，EG ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面AB 1C .11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上，且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( A )A.216aB.66aC.156aD.153a解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )，因为点M 在AC 1上，且AM →＝12MC 1→，则(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，得x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a3，所以|MN →|＝⎝⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 12．如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点.(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：(1)如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．由题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)由题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明：由题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0，所以A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M .。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题62 离散型随机变量均值与方差、正态分布(解析版)

考点62 离散型随机变量均值与方差、正态分布1．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布()290,N σ，且()700.2P x <=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[]90,110的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为（）A ．3B ．2.1C ．0.3D ．0.21【答案】B 【解析】∵290(),x N δ～，且()700.2P x <=，所以()1100.2P x >=∴()901100.50.20.3P x <<=-=， ∴()10,0.3X B ～，X 的方差为()100.310.3 2.1⨯⨯-=．故选B ．2．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】∵考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称， ∵P （95≤ξ≤105）=0.32， ∴P （ξ≥115）=12（1-0.64）=0.18， ∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B ．3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望()E X =_______．【答案】300【解析】设没有发芽的种子数为Y ,则有2X Y =,由题意可知Y 服从二项分布，即Y(1000,0.15)B ,()10000.15150E Y =⨯=,()2()300E X E Y ==.4．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A 卷理）已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【答案】1 【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为：1．5．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩2(100,)XN σ.统计结果显示数学考试成绩X 在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________．【答案】3250 【解析】因为成绩()2100,X N σ~，所以正态分布曲线关于100X =对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的1311248⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以此次考试成绩不低于120分的学生约有12600032508⨯=.6．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）. （1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求ξ的分布列与数学期望. 【答案】（1）736（2）见解析【解析】设X 表示2名女性观众中认为好看的人数，Y 表示2名男性观众中认为好看的人数，则12,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭. （1）设事件A 表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则()()()()2,12,01,0P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==,222212022221211123323C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21022111722336C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，()()00,0P P X Y ξ==== 2200221112336C C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()11,00,1P P X Y P X Y ξ====+==，= 2210012222111121223233C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16=， ()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==,2220112222111121232233C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22022*********C C ⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()31,22,1P P X Y P X Y ξ====+==,2212212222112*********C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13=， ()()42,2P P X Y ξ==== 222222121239C C ⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ξ的分布列为∴11131170123436636393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 7．（天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学理）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。

【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (62)

课时作业62 变量间的相关关系与统计案例1．(2019·辽宁丹东教学质量监测)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”．( C ) 附：C ．1%D ．0.1% 解析：因为6.635＜6.705＜10.828，因此有1%的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”，故选C. 2．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( C ) A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：由y ＝－0.1x ＋1，知x 与y 负相关，即y 随x 的增大而减小，又y 与z 正相关，所以z 随y 的增大而增大，减小而减小，所以z 随x 的增大而减小，x 与z 负相关，故选C. 3．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( B ) A.116 B ．18C.14 D ．12 解析：依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18. 4．为考察A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法正确的是( C ) A ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果 B ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果 C ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 D ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果解析：根据两个等高条形图知，药物A 实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B 实验显示明显大， ∴药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果．故选C. 5．(2019·河南焦作一模)已知变量x 和y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为y ＝b x －0.25，据此可以预测当x ＝8时，y ^＝( C ) A ．6.4 B ．6.25C ．6.55D ．6.45 解析：由题意知x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5， y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋65＝4，将点(5,4)代入y ^＝b ^x －0.25，解得b ^＝0.85，则y ^＝0.85x －0.25，所以当x ＝8时，y ^＝0.85×8－0.25＝6.55，故选C. 6．(2019·南昌模拟)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表.由K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝100×(45×22－20×13)258×42×35×65≈9.616，参照附表，得到的正确结论是( C ) A ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”解析：由题意K 2的观测值≈9.616＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“生育意愿与城市级别有关”．7．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.77x ＋52.9.73 .解析：由已知可计算求出x ＝30，而线性回归方程必过点(x ，y )，则y ＝0.77×30＋52.9＝76，设模糊数字为a ，则a ＋62＋75＋80＋905＝76，计算得a ＝73.8．(2019·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)推断犯错误的概率不超过 0.025 .附表：解析：由列联表计算K 2的观测值k ＝50(22×12－8×8)230×20×20×30≈5.556＞5.024，∴推断犯错误的概率不超过0.025. 9．(2019·安徽蚌埠段考)为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽取了100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，列出的2×2列联表如下：年龄有关”．解析：由2×2列联表可知，K 2＝100×(25×30－10×35)240×60×35×65≈2.93，因为2.93＞2.706，所以有90%以上的把握认为“工人是否为‘生产能手’与工人的年龄有关”． 10．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：其线性回归方程是y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝ 10 . 解析：x ＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y ＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，回归直线一定经过样本点中心(x ，y )，即6＋n 5＝－3.2⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝10，n ＝10，故n ＝10. 11．(2019·重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：(1)5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率； (2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.注：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d . 解：(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为550＝110. 所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×110＝2(人)，男用户30×110＝3(人)．抽取的5人中，三名男用户记为a ，b ，c ，两名女用户记为r ，s ，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab ，ac ，ar ，as ，bc ，br ，bs ，cr ，cs ，rs . 其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar ，as ，br ，bs ，cr ，cs . 故所求的概率为P ＝610＝0.6. (2)由题意，得K 2的观测值为k ＝80(30×20－20×10)2(30＋20)(10＋20)(30＋10)(20＋20)＝163≈5.333＞5.024. 又P (K 2≥5.024)＝0.025. 故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”． 12．(2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17， ∑i ＝17 (y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2∑i ＝1n (y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t －. 解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17 (t i －t )2＝28，∑i ＝17 (y i －y )2＝0.55， ∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )∑i ＝17 (t i －t )2＝2.8928≈0.10， a ^＝y －b ^ t －＝1.331－0.10×4≈0.93. 所以y 关于t 的回归方程为 y ^＝0.93＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得：y ^＝0.93＋0.10×9＝1.83. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨．13．(2019·湖南张家界一模)已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y ^＝－0.7x ＋10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是( C )A.变量B ．可以预测，当x ＝20时，y ^＝－3.7 C ．m ＝4 D ．该回归直线必过点(9,4) 解析：由－0.7＜0，得变量x ，y 之间呈负相关关系，故A 正确；当x ＝20时，y ^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B 正确；由表格数据可知x ＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y ＝14(6＋m ＋3＋2)＝11＋m 4，则11＋m 4＝－0.7×9＋10.3，解得m ＝5，故C 错；由m ＝5，得y ＝6＋5＋3＋24＝4，所以该回归直线必过点(9,4)，故D 正确．故选C. 14．(2019·湖南永州模拟)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( C )A.b ^＞b ′，a ^＞a ′ B ．b ^＞b ′，a ^＜a ′ C.b ^＜b ′，a ^＞a ′ D ．b ^＜b ′，a ^＜a ′ 解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6 x ·y ∑i ＝16x 2i －6 x 2＝ 58－6×72×13691－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，所以b ^＜b ′，a ^＞a ′. 15．(2019·青岛模拟)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数23.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有 12 人.则k ＞3.841，即k ＝3x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 6·x 6－5x 6·x 32x ·x 2·x2·x ＝3x 8＞3.841，解得x ＞10.243.因为x 6，x2为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．16．(2019·包头一模)如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程，预测2017年该企业的污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：y －＝54，∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)＝21，14≈3.74，∑i ＝17(y i －y ^i )2＝94.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，线性回归方程y ^＝a ^＋b ^t ，b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t －.反映回归效果的公式为：R 2＝1－∑i ＝1n (y i －y ^i )2∑i ＝1n (y i －y )2，其中R 2越接近于1，表示回归的效果越好．解：(1)由折线图中的数据得，t ＝4，∑i ＝17 (t i －t －)2＝28，∑i ＝17(y i －y －)2＝18，所以r ＝2128×18≈0.935.因为y 与t 的相关系数近似为0.935，说明y 与t 的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)因为y －＝54，b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2128＝34，所以a ^＝y －b ^ t ＝54－34×4＝51，所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝b ^t ＋a ^＝34t ＋51. 将2017年对应的t ＝8代入得y ^＝34×8＋51＝57，所以预测2017年该企业污水净化量约为57吨．(3)因为R 2＝1－∑i ＝17 (y i －y ^i )2∑i ＝17(y i －y )2＝1－94×118＝1－18＝78＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．。

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