c2-质点运动定律
质点的运动规律
质点运动的基本参数
总结词
描述质点运动的参数主要包括位置、速度和加速度。
详细描述
位置是质点在某一时刻所在的空间坐标；速度是质点在单位时间内通过的距离， 表示质点的运动快慢和方向；加速度是速度变化的快慢程度，描述质点速度的变 化趋势。这些参数共同决定了质点的运动状态。
质点运动的基本方程
总结词
牛顿第二定律是质点运动的基本方程，描述了力与加速度之间的关系。
质点的运动规律
• 质点运动的基本概念 • 质点的直线运动 • 质点的曲线运动 • 质点运动的相对性 • 质点运动的实例分析
01
质点运动的基本概念
Hale Waihona Puke 质点的定义总结词质点是一个理想化的物理模型，用于描述具有质量的点在空间中的运动轨迹。
详细描述
质点被视为一个仅具有质量、没有大小和形状的点。在研究物体运动时，忽略 其形状和大小，只考虑其质量，这样的点即为质点。质点是物理学中一个非常 重要的理想化模型，用于简化复杂系统的运动分析。
运动规律
遵循开普勒三定律和牛顿万有引力定律， 描述卫星轨道和速度的变化。
刚体的定轴转动
定义
刚体绕某固定轴的旋转运动。
运动参数
角速度、角加速度、转动惯量等。
运动规律
遵循转动定律和角动量守恒定律，描述刚体的角速度和角动量的变 化。
THANKS
感谢观看
实例
汽车在平直的公路上刹车行驶。
03
质点的曲线运动
圆周运动
01
02
03
定义
质点在平面内沿着一个固 定的圆周路径运动，其轨 迹是一个闭合的曲线。
描述参数
通常使用角速度、角加速 度、线速度和线加速度等 参数来描述圆周运动。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
04质点运动定律二解答
2 1 p m2 1 0
T
I Fdt
0
IG mgT 2mg j w
F
IT Fy j T Fn ndt 2mg j w
L r m mrk
m1r1 m2r2 mw1r12 mw2r22
w2 w1r12 r22 12rad/s
质点的运动定律（二）
第二章 质点的运动定理
2．图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速
度w匀速转动．在小球转动一周的过程中，
(1) 小球动量增量的大小等于_______0___________．
中当小球B的速率为时，它与A点的距离最大，且弹 性绳长l=0.8 m，求此时的速率及初速率0。
解: 小球在运动过程中，受重力、支持力、弹力作用。 重力、支持力与运动方向垂直，不作功。
由机械能守恒，有
A
1 2
mv
2 0
1 2
mv 2
1 2
k (l
l0 )2
d 0.4 m
v0
30° B
质点的运动定律（二）
n
mg w
y
质点的运动定律（二）
第二章 质点的运动定理
3.小球质量为m，挂在轻弹簧的一端（弹簧的劲度系数 为k），另一端固定。先将弹簧放在水平位置，并保持 原长l0，然后释放。已知摆到竖直位置时，弹簧长度为l， 预求此时小球的速度，采用什么规律_________，关系
式__________ ，结果 = _____________ 。
w
mg N ma
R
N sin mw2r mw 2R sin
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
质点与刚体的运动规律
质点与刚体的运动规律运动是物质存在的基本属性之一，是所有物质都具有的普遍特征。
在物理学中，质点和刚体是两种常见的研究对象，它们分别具有不同的运动规律。
我们将分别探讨质点和刚体的运动规律，并比较它们之间的区别和联系。
一、质点的运动规律质点是指没有大小和形状的物体，质点的运动通常是指质点在空间中的位置随时间的变化过程。
在研究质点的运动规律时，我们通常关注质点的位移、速度和加速度等物理量。
1. 位移：质点的位移是指质点从出发点到达终点所经过的路径长度。
通常用矢量表示，可分为直线位移和曲线位移。
2. 速度：质点的速度是指质点在单位时间内所经过的位移。
速度的大小为每单位时间内的位移的大小，方向与位移方向相同。
速度的矢量表示为速度矢量，即速度大小和速度方向。
3. 加速度：质点的加速度是指质点的速度在单位时间内的变化率。
加速度的大小为每单位时间内的速度的变化量的大小，方向与速度变化的方向相同。
加速度的矢量表示为加速度矢量。
根据牛顿第二定律F=ma，质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比。
即a=F/m，其中a为加速度，F为合外力，m为质点的质量。
二、刚体的运动规律刚体是指形状不变的物体，刚体的运动通常是指刚体在空间中的位置和形态随时间的变化过程。
在研究刚体的运动规律时，我们通常关注刚体的位移、角位移、线速度、角速度和角加速度等物理量。
1. 位移：刚体的位移是指整个刚体在空间中的位置的变化。
通常用矢量表示，可分为直线位移和曲线位移。
2. 角位移：刚体的角位移是指刚体绕某个轴心转动的角度的变化。
通常用标量表示，常用弧度作为单位。
3. 线速度：刚体的线速度是指刚体上任意一点的速度大小。
线速度的大小为该点所在的切线上单位时间内的位移的大小，方向与该切线方向相同。
4. 角速度：刚体的角速度是指刚体绕某个轴心转动的角度在单位时间内的变化率。
角速度的大小为单位时间内角位移的大小，方向与转动方向相同。
根据刚体运动的特点，刚体上各点的线速度和角速度大小相等，方向相同。
质点运动的基本概念与运动学公式
质点运动的基本概念与运动学公式在物理学中，质点是指质量可忽略不计，仅具有位置和速度等运动属性的物体。
质点运动是运动学的一个基本概念，运动学是研究物体运动规律的学科。
本文将探讨质点运动的基本概念以及相关的运动学公式。
1. 位置、位移和路径位置是指物体在空间中的具体位置，通常可以用一个坐标系来表示。
位移是指物体从初位置到末位置的变化量，用Δx表示。
路径是物体在运动过程中所经过的轨迹。
2. 速度和速度公式速度是指物体在单位时间内所经过的位移，用v表示。
速度的大小可以通过位移除以时间来计算，即v=Δx/Δt。
当时间趋近于无穷小的时候，即Δt趋近于0，可以得到瞬时速度的定义：v=dx/dt，其中dx表示无穷小的位移变化，dt表示无穷小的时间变化。
3. 加速度和加速度公式加速度是指物体的速度变化率，用a表示。
加速度的大小可以通过速度除以时间来计算，即a=Δv/Δt。
当时间趋近于无穷小的时候，即Δt 趋近于0，可以得到瞬时加速度的定义：a=dv/dt，其中dv表示无穷小的速度变化，dt表示无穷小的时间变化。
4. 运动学公式根据速度和加速度的定义，我们可以得到一些与质点运动相关的运动学公式。
以下是一些常见的运动学公式：- 位移公式：Δx = v0t + (1/2)at^2- 速度公式：v = v0 + at- 加速度公式：v^2 = v0^2 + 2aΔx这些公式可以通过代入已知的初始条件，如初速度v0、时间t、位移Δx等来求解物体在运动过程中的运动参数。
5. 简谐振动简谐振动是质点运动中的一种特殊形式，它具有以下特点：- 振动的周期是恒定的，表示为T；- 振动的频率是周期的倒数，表示为f=1/T；- 振动的位移随时间的变化呈正弦或余弦函数。
对于简谐振动，还有一些与振动特性相关的公式：- 谐振频率公式：f = (1/2π) √(k/m)，其中k表示弹性系数，m表示质量；- 谐振周期公式：T = 1/f；- 谐振角频率公式：ω = 2πf。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
第二章 质点的运动定理
2-0 教学基本要求 2-1 牛顿运动定律 2-2 质点的动量定理 2-3 质点的动能定理 2-4 质点的角动量定理 -
§ 2-0 -
教学基本要求
掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件 牛顿定律的基本内容及其适用条件． 一 掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件．熟练掌握 用隔离物体法分析物体的受力情况， 用隔离物体法分析物体的受力情况，能用微积分方法求 变力作用下的简单质点动力学问题 的简单质点动力学问题． 解变力作用下的简单质点动力学问题． 二 理解动量、冲量概念，掌握质点动量定理 理解动量、冲量概念，掌握质点动量定理 动量
2 牛顿第二定律
v v 动量： 动量： p = mυ v v v 的物体， 动量为 p 的物体，在合外力 F ( = ∑ F ) 的作
i
用下， 用下，其动量随时间的变化率应当等于作用 于物体的合外力——牛顿第二定律． ——牛顿第二定律 于物体的合外力——牛顿第二定律． v v v dp(t ) d(mv) 当v << c 时， 数学表达式： 数学表达式： F (t ) = = m为常量 dt dt
3 牛顿第三定律
v v 两个物体之间作用力 F 和反作用力 F＇ ，
沿同一直线，大小相等，方向相反， 沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作 用在两个物体上． 用在两个物体上．
数学表达式： 数学表达式：
v v F12 = − F21 （物体间相互作用规律） 物体间相互作用规律）
v F12
v F21
Fx = ma x F y = ma y Fz = ma z
自然坐标系中
2 v dv v v v v v F = ma = m(at + an ) = m et + m dt ρ 2 dv ds Ft = m = m 2 dt dt v a 2 v Fn = m v en ρ 注意： 注意：ρ 为A处曲线 处曲线 A
质点系质心运动定律
3
O
x
x
2
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
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例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆 形铁丝的质心。
解：建立如图坐标系 任取一小段铁丝， 其 长 度 为 dl ， 质 量 为 dm ， 以 λ 表 示 铁 丝的线密度
dm dl
xc 0 , yc 2R /
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选择进入下一节 §2-0 教学基本要求 §2-1 质点系的内力 质心 质心运动定理 §2-2 动量定理 动量守恒定律 §2-3 功 动能 动能定理 §2-4 保守力 成对力的功 势能 §2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-6 碰撞 §2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
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质心的加速度为
ac
d vc
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛顿第二定律得
m1a1
m2a2
m1 m2
d v1 d t d v2 dt
F1 f12 f13 f1n
F2 f22 f23 f2
R 0
R2 y2 d y2 4R3 / 3
3R 8
质心在距球心 3R/8处。
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三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质
心的位矢是：
rc
mi ri mi
m1r1 m2r2 mnrn m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc
质点系及质点系的运动定律.
gh2
这就是伯努利方程，它表明在同一管道中任何一点处，
流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个
常量。在工程上，上式常写成
a1 b1
p
g
v2 2g
h
常量
p1 S1
v1
h1
a2 b2
h2
v2 p2 S2
系统的功能原理
p
g
、v 2
2
g
、h
三项都相当于长度，分别叫做压力头、速度头、水头。
42.4J
2
负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦 力作功42.4J
系统的功能原理
例题3-4 伯努利方程是流体动力学的基本定律，它 说明了理想流体在管道中作稳定流动时，流体中某 点的压强p、流速v和高度h三个量之间的关系为
p v2 h 常量
g 2g
式中是流体的密度，g是重力加速度。试用功能原
gs
gstg
1 2
v02
（3）
系统的功能原理
或
s
v02
2g( tg )
代入已知数字得
102
s
m 85 m
2 9.8(0.05 0.010)
解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，则系
统内只有汽车受到 功能原理，有
f和r
两N个力的作用，运用系统的
fr
s＝
（0
Gs
)
dA外 dA内 dEk
A外 A内 Ekb Eka Ek
d(
N i1
1 2
mi
v
2 i
)
质点运动的基本定律
r r r b r r F dr = ∫ ( F1 + F2 + L) dr
a
v v d A F d r v r (4)功率 (4)功率 P = = = Fυ dt dt
= ∑ Ai
21
r r [ e .g 2 4 ]已知: m = 2 kg , F = 12 t i , υ 0 = 0 已知: (1 内变力的功; 求: )前 2 s 内变力的功; (2)第1s末和第 2 s 末的功率. 末的功率. xb b r tb r A 解: = ∫ F dr = ∫ Fx dx = ∫ 12 t υ d t
2 0
2
2 0
= 140( N.S)
I = mυ mυ0
∴υ = 24(, F = t i ( sI ),当t = 0 时 已知: m r r 且通过坐标原点, υ0 = 2 j m / s,且通过坐标原点, r r υ 求: ( t ) = ? r ( t ) = ? r
υ
υ =
1+
υ0 υ0
R
6
t
第二节 力学相对性原理和非惯性系
一,伽利略相对性原理
结论1: 结论1:在相对于惯性系做匀速直线运动 1:在相对于惯性系做匀速直线运动 的参照系中所总结的力学规律与 惯性系中相同. 惯性系中相同. 结论2: 2:相对于惯性系作匀速直线运动的 结论2:相对于惯性系作匀速直线运动的 一切参照系都是惯性系. 一切参照系都是惯性系.
5
v m P22——[ P22——[例2-1] f R 已知: 已知:m ,R , ,υ 0 o N 求:υ(t),s(t) 2 υ 解: N = m R dυ fr = N = m dt t = 1 1 2 dυ υ R υ υ0 m = m
质点运动的基本原理
质点运动的基本原理质点运动是物理学中的一个基本概念，它描述了一个质点在空间中的位置随时间的变化规律。
质点运动的基本原理是物理学研究和描述物体运动的重要基础，它涉及到力、速度、加速度等概念。
本文将从质点的定义、牛顿运动定律以及运动的描述等方面探讨质点运动的基本原理。
一、质点的定义质点是物理学中研究运动的基本对象，它是一个理想化的物体，假设没有大小和形状，只有质量。
质点可以看作是一个质量集中在一个点上的物体，它的位置可以用坐标系中的一个点来表示。
质点的运动可以分为直线运动和曲线运动两种情况。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点运动的基本原理之一，它由英国物理学家牛顿在17世纪提出。
牛顿运动定律分为三个定律，分别是惯性定律、动量定律和作用-反作用定律。
1.惯性定律惯性定律也被称为牛顿第一定律，它表明一个质点如果没有外力作用，将保持匀速直线运动或静止状态。
这意味着质点的速度不会发生改变，或者说质点的加速度为零。
2.动量定律动量定律也被称为牛顿第二定律，它表明一个质点受到的合力等于质点的质量乘以加速度。
即F=ma，其中F表示合力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
根据动量定律，我们可以计算出质点在受到外力作用下的运动状态。
3.作用-反作用定律作用-反作用定律也被称为牛顿第三定律，它表明两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
例如，当一个物体施加力给另一个物体时，另一个物体也会施加同样大小、方向相反的力给第一个物体。
这个定律解释了为什么物体之间会有相互作用力，以及为什么物体之间的力总是成对出现。
三、运动的描述为了描述质点的运动，我们需要引入位移、速度和加速度等概念。
1.位移位移是指质点从一个位置到另一个位置的变化量，它是一个矢量量。
位移可以用两个位置的坐标差来表示，例如Δx=x2-x1，其中Δx表示位移，x1和x2分别表示两个位置的坐标。
2.速度速度是指质点在单位时间内位移的大小，它是一个矢量量。
速度可以用位移除以时间来计算，例如v=Δx/Δt，其中v表示速度，Δx表示位移，Δt表示时间。
质点运动的牛顿第二定律
质点运动的牛顿第二定律质点运动是物理学中最基本的运动形式之一，而牛顿第二定律则是描述质点运动的基本规律。
在研究质点运动的过程中，牛顿第二定律是不可或缺的一个理论工具。
本文将探讨质点运动的牛顿第二定律，并展示它在解决实际问题中的应用。
牛顿第二定律的基本表述是F=ma，其中F代表物体受力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个公式可以简洁地表达质点受力与加速度之间的关系。
换句话说，物体所受的合力与它的质量乘以加速度之积成正比。
在使用牛顿第二定律解决问题时，我们需要考虑物体所受的各种力。
常见的力包括重力、摩擦力、弹力等等。
这些力的大小和方向将决定物体的运动轨迹。
举例来说，如果一个物体在水平地面上受到一个向右的恒力F，那么根据牛顿第二定律，物体将沿着右方运动，并且加速度与施加力的大小成正比。
牛顿第二定律的一个重要应用是通过物体的运动状态来确定它所受的力。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与受力成正比，因此我们可以通过测量物体的加速度来推断作用在它上面的力。
例如，当一个物体以恒定的速度沿着水平方向运动时，我们可以推断它所受的合力为零，因为根据牛顿第二定律，合力为零时，物体的加速度也为零。
除了静止的物体外，牛顿第二定律可以用于分析物体的加速运动。
例如，当一个物体沿着斜面向下滑动时，我们可以计算物体受到的重力分量，进而推断它的加速度。
同样地，在研究弹射运动时，我们可以通过测量物体的加速度和知道其质量，来计算所受的合力。
通过将牛顿第二定律与其他相关物理量结合使用，我们可以得出物体在各种运动状态下的运动规律。
除了描述物体的加速度与受力之间的关系之外，牛顿第二定律还可以用于解决力的问题。
在分析复杂的力系统时，我们可以将所有受力加起来，并根据牛顿第二定律来计算物体的加速度。
这种方法被称为“力分析法”，它在解决实际问题中具有很高的应用价值。
除了单个质点的运动，牛顿第二定律还可以扩展到系统的运动。
在研究多个质点组成的系统时，我们可以将每个质点单独考虑，并根据牛顿第二定律计算它们的加速度。
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
质点运动知识点总结
质点运动知识点总结一、质点的概念质点是物体简化模型，把现实物体当作一个质点来处理的方法称为质点假设。
对于物体的形状、大小和内部结构等问题不考虑，只考虑物体的质量和体积，即具有一定的质量，但没有体积，理想的质点具有以下特性：1.质点的质量是分布在空间中的。
2.质点的位置可以用坐标来表示。
3.质点的大小和形状不考虑。
二、质点运动的描述1.质点的位移位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的偏离，用Δr表示，位移的方向与位移的方向相同。
2.质点的速度速度是指物体单位时间内所做的位移，是矢量，用v表示，速度的大小称为速率，速度的方向称为速度方向，速度的方向与位移的方向相同。
3.质点的加速度加速度是指物体单位时间内速度变化的快慢，是矢量，用a表示，加速度的大小称为加速率，加速度的方向称为加速度方向，加速度的方向与速度变化的方向相同。
三、匀速直线运动1.匀速直线运动的特点物体在同一方向上做匀速直线运动时，速度的大小和方向保持不变。
2.匀速直线运动的描述假设物体做匀速直线运动，其初速度为v₀，加速度为a，时间为t，位移为Δx，则有以下公式：v=v₀+atΔx=v₀t+(1/2)at²3.匀速直线运动的图形表示匀速直线运动的速度-时间图像是一条水平直线，速度的大小和方向保持不变。
四、变速直线运动1.变速直线运动的特点物体在同一方向上做变速直线运动时，速度的大小和方向会发生变化。
2.变速直线运动的描述假设物体做变速直线运动，其初速度为v₀，加速度为a，时间为t，位移为Δx，则有以下公式：v=v₀+atΔx=v₀t+(1/2)at²3.变速直线运动的图形表示变速直线运动的速度-时间图像是一条斜线，速度的大小和方向会发生变化。
五、曲线运动1.曲线运动的特点物体的运动轨迹是一条曲线时，称为曲线运动，曲线运动有多种形式，例如：圆周运动、抛物线运动等。
2.曲线运动的描述曲线运动的描述较为复杂，常用参数方程、极坐标方程或运动方程进行描述。
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10
例题2-2 一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮， 绳的一端挂有质量为m1的物体，绳的另一端穿过一 质量为m2的有一小孔的柱体，求当柱相对于绳以恒 定的加速度ao沿绳向下滑动时，物体和柱相对于地面 的加速度各是多少？柱与绳间的摩擦力多大？
解 在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况， 并规定(ox轴)向上为各量的正方向。
例题2-7 如图2-6所示，质量为m的钢球由静止开始 从A点沿圆心在o、半径为R的光滑半圆形槽下滑。当
滑到图示位置（钢球中心与o的连线和竖直方向成角）
时，求这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和 切向加速度。
解 由 fn=man , ft=mat 有
A
o
N
R
mg
图2-6
法向：N-mgcos =man=m 2 (1) R
x
T
T
m1: T- m1g=-m1a1
o m1 a1 m2 ao a2
m2：T- m2g =m2 a2 T即为摩擦力
m1
m2 m1g m2g
图2-2
11
m1: T- m1g=-m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 a柱对地=a柱对绳+a绳对地
即：a2=-a0 + a1
解得
x
T
T
a1
(m1m2)gm2a0 m1m2
(2-2)
dt
牛顿第二定律是：瞬时关系；矢量等式。
Fx max
Fy may
(2-3）
Fz maz
3
Fma
自然坐标系中的分量式:
et
2
Fn man m
m
Ft
mat
m
d
dt
（2-4）
en
式中, Fn、Ft分别代表物体所受的沿轨道法向和 切向方向的合外力。
4
（3）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律） 两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、 方向相反,且在同一直线上。
动。
车厢内的光滑桌面上 有一与弹簧相连的质量m 的小球, 弹簧的另一端系 在车厢壁上。现在来分析
乙
甲
mk
a
A
这个 弹簧、小球 力学系 统的运动情况。
图2-7
19
地面上的观察者甲： 小球m: F=kx=ma，符合牛顿定律。
车厢A内的观察者乙: 然 小球m: F=kx(因为弹簧确实已伸长)，a=0，显 这是违这背个牛例顿子定说律明的：。以加速度a运动的车厢A为参考 系,牛顿定律是不成立的。
选取适当的坐标系，写出牛顿第二定律沿 各个坐标轴方向（即相互垂直的方向上）的分 量式,最后联列求解这些方程。
7
例题2-1 如图2-1所示，在质量为M、倾角为的 光滑斜面上放置一质量为m的物体，要使物体m相对 斜面静止，水平推力F应为多大？（设斜面与地面间 的摩擦可以忽略）
解: 对m: x:Nsin=ma y:Ncos=mg
我们把牛顿定律成立的参考系称作惯性参考系
(简称惯性系), 而牛顿定律 不成立的参考系称作非惯 性系。
一个参考系是不是惯
乙
甲
mk
a
A
性系,只能由实验确定。
图2-7
20
研究地球表面附近(高度不太高、距离不太远)物 体的运动时,地面(或固定在地面上的物体)就是近似程 度相当好的惯性系。
惯性系有一个重要性质：一切相对于惯性系作匀 速直线运动的参考系也是惯性系。
切向：mgsin=mat=m
d dt
(2)
得： at=gsin
17
mgsi nmd md d
dt d dt
m d d
m
d
R d
mdmgsR ind 0
2
积分得： 1m2 mgcRos
2
A
o
(这可由机械能守恒得到)
N
由 N-mgcos =m 2
问题：若a,N ,使 N>mg, m是否会上升呢?
9
m R
Fs mN mg
讨论(2)：在上面的图中，要物体m不下滑，圆 筒的角速度至少应为多少?(设圆筒与物体m间的 摩擦系数为)。
图中物体m受三个力作用: N, mg, Fs=N。
水平: N=mR2 竖直: N=mg
解得 g
点相对转台的速度。
m
北半球的河床右岸为什么
受到较厉害的冲刷？赤道的信 风是怎样形成的？这些都是科
图2-10
里奥利力作用的结果。
25
惯性力-ma不遵从牛顿第三定律。 22
例题2-8 如图2-8所示，升降机内有一倾角为的
光滑斜面。当升降机以匀加速度a相对地面上升时，
一物体m正沿斜面下滑。求物体m相对于升降机的加
速度。
a
解 以升降机为参考系(非惯性系)， 物体m受三个力作用：真实力mg和N, 惯性力ma，方向如图。
m a
沿斜面方向应用牛顿定律,有
Fa 为m 物 s体a m ms受的a s真s实a合外a力，F移 项m 得a m F sm m a a m m a a
假想: Fi=-ma 惯性力 (2-6)
则在非惯性系S中有
FF i m a
(2-5)
请注意：这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性 系S相对于惯性系S的加速度。
图2-3
13
例题2-4 设一物体m在离地面上空高度等于地球 半径R处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速 度(不计空气阻力和地球的自转)。
解 F G mM r2
地面:
mM G R2 m g
mgR2
d
F r2
ma m dt
d gR 2
dt r 2
d d dr d gR 2
第2章
质点运动定律
Dynamics of a particle
(6)
内容提要 牛顿三大定律 惯性系和非惯性系 *蝴蝶效应 混沌
1
§2-1 牛顿三大定律及其应用
一.牛顿三大定律
（1）牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到 外力迫使它改变运动状态为止。
牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念：
研究大气层和远程导弹的运动，地心参考系是近 似程度相当好的惯性系。
天体运动的研究指出: 如果我们选择的参考系， 以太阳中心为原点，以指向某些恒星的直线为坐标轴， 则所观察到的天文现象都与 牛顿定律和万有引力定 律推出的结论相符合，因此，这样的日心参考系是惯 性系。
21
二.加速平动参考系中的惯性力
假设非惯性系S相对惯性系S以加速度a作直线运 动，于是有
二.牛顿定律的适用范围
低速、宏观、实物。 惯性系。
§2-3 相互作用力
（1）弹簧的弹性力 f = kx
k弹簧的倔强系数； x弹簧的伸长量。
5
（2）摩擦力
滑动摩擦力：
f = kN 式中, k为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体的材料
性质和接触面的粗糙程度决定。
静摩擦力 两接触物体间虽未发生相对运动,但存在着相对运 动趋势时,就产生静摩擦力。静摩擦力f是个变力：
0 f s N (最大静摩擦力） 式中,s为静摩擦系数。对于同样的两个物体,k<s。
（3）万有引力 F G m1m2 r2
6
§2-4牛顿定律的应用
基本方法： 隔离体法+正交分解
当问题涉及几个运动状态不同的物体时，必 须把每个物体从总体中分离出来,分别加以研究, 这种分析的方法叫做隔离体法,它是解决力学问 题的重要的分析方法。而物体间的联系用力来 表示。
m(g+a)sin =ma 解得： a=(g+a)sin
N
m a
ma mg 图2-8 23
三.匀速转动参考系中的惯性力
假定一质点相对匀速转动的参考系(非惯性系)静
止，在惯性系看，受到的向心力为
fmr2en
(方向沿半径指向圆心)
rm
如果在转动参考系(非惯性系) 中,还要套用牛顿定律,就必须认为 质点除了受到“真实的”力以外, 还受到一个惯性(离心)力的作用:
R
R
mg
图2-6
得：N=3mgcos
an
2
R
2gc
os
18
§2-5 惯性参考系和非惯性参考系
一.
从运动的描述来说,参考系的选择是任意的，这
主要由研究问题的方便而定。但是，如果问题涉及
运动和力的关系，即要应用牛顿定律时,参考系是否
也能任意选择呢?
如图2-7所示，车厢A在地面上以加速度a向右运
竖直: Ncos =mg
R N
解得
cos
g
2R
mg
图2-4
h
hRRcosRg2
15
例题2-6 如图2-5所示，一块水平木板上放一砝码， 砝码的质量m=0.2kg。手扶木板保持水平，托着砝码 使之在竖直平面内做半径R=0.5m的匀速率圆周运动，
速率=1m/s。当砝码与木板一起运动到图示位置时，
解 先找出力与某个变量()的关系，再求极值。 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fs= µN 解得：
mg
F
cos sin
F有极值的必要条件是：
N
L
F
h
dF 0 d
tg
fk
L=h/sin=2.92m时,最省力。
m
mg
F i mr2e n (2-8)
图2-9
(方向沿半径向外)
24
如果质点相对匀速转动参考系(非惯性系)运动, 则所受的惯性力较为复杂。除了受到惯性(离心)力的 作用外，还受到一种叫科里奥利力的惯性力。