动态几何问题(课件)

2 1 81 ∴ 直线 AQ 的解析式为 y = x − 8 2 0) 0) Q 0) 当Q 为(0， 时，A(4， ， (0， 均在 x 轴上， （或直线为 x轴）． ∴ 直线AQ 的解析式为y = 0
．
C
B (4， 3)
A(4， 0) O M 为等腰三角形， Q△QAN ①若 AQ = AN，则 42 + y 2 = 32 + 22，此时方程无解． 1 2 2 2 2 ②若 AQ = QN ，即 4 + y = 2 + (3 − y ) ，解得 y = − ． 2 2 2 2 2 ， ③若 QN = AN，即 2 + (3 − y) = 3 + 2 ，解得 y1 =0 y2 =6
， ． ． ．
O
M
E A
x
3 4 解：（1） − t， t 4 3 MA （2）在△MPA 中， = 4 − t ， 边上的高为 t MA 4
∴ S = S△ MPA
3 （3）2， 2， 2
3 2 3 S = − t + t (0 < t < 4) 8 2
．
1 3 = (4 − t ) t 即 2 4
类似的试题有： 类似的试题有：
(06吉林省中考题 、B是直线 上的两点，AB=4厘 吉林省中考题)A、 是直线 上的两点， 是直线l上的两点 吉林省中考题 厘 外一点C作 ∥ ，射线BC与 所成的锐角 米。过l外一点 作CD∥l，射线 与l所成的锐角 外一点 厘米。 分别从B、 ∠1=60°，线段 ° 线段BC=2厘米。动点 、Q分别从 、 厘米 动点P、 分别从 C同时出发，P以每秒 厘米的速度沿由 向C的方向 同时出发， 以每秒 厘米的速度沿由B向 的方向 以每秒1厘米的速度沿由 同时出发 运动。 运动的时间为t(秒 ， ＞ 时 运动。设P、Q运动的时间为 秒)，当t＞2时，PA 、 运动的时间为 交CD于E。 于 。 (1)用含 的代数式分别表示 和QE的长； 用含t的代数式分别表示 的长； 用含 的代数式分别表示CE和 的长 (2)求△APQ的面积 与t的函数关系式； 求 的面积S与 的函数关系式 的函数关系式； 的面积 (3)当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是 当 恰好平分△ 的面积时， 的长是 恰好平分 的面积时 多少厘米？ 多少厘米？
， ． ， ． ． .
AN = AB + BN = 3 + 2
2 2 2 2
QN 2 = CN 2 + CQ 2 = 22 + (3 − y ) 2
．
2
Q
x
1 0) 6) ∴ Q1 (0，- ) Q2 (0， Q3 (0， 2
1 1 − 当 Q 为(0， ) 时，设直线AQ的解析式为 y = kx − ，将 2 2 1 1
二、动点与列函数关系式相结合
例2：（07河北中考题)已知：如图： ：（07河北中考题 已知：如图： 河北中考题) △ABC中，∠C=90°，AC=3cm， 中 ° ， CB=4cm， 两个动点 、Q 分别从 、 ， 两个动点P、 分别从A C两点同时按顺时针方向沿△ABC的 两点同时按顺时针方向沿△ 两点同时按顺时针方向沿 的 边运动，当点Q运动到点 运动到点A时 边运动，当点 运动到点 时，P 、Q 两点运动即停止， 两点运动即停止，点 P、Q的运动速 、 的运动速 度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点 。设点P 运动时间为t(s) 运动时间为
（1）求此抛物线的解析式； （2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的 ）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的 解析式； （3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴 ）若一个动点P OA的中点M出发，先到达x 上的某点（设为点E 上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上 某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P 某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动 的总路径最短的点E，点F 的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最 短总路径的长．
商水一中
数学教研组
图形中的点、线的运动， 图形中的点、线的运动，构成了数学中 的一个新问题——动态几何 。 它通常分为三 动态几何。 的一个新问题 动态几何 种类型：动点问题、动线问题、动形问题。 种类型：动点问题、动线问题、动形问题。 这类试题以运动的点、线段、变化的角、 这类试题以运动的点、线段、变化的角、图 形的面积为基本的条件， 形的面积为基本的条件，给出一个或多个变 要求确定变量与其它量之间的关系， 量，要求确定变量与其它量之间的关系，或 变量在一定条件下为定量时， 变量在一定条件下为定量时，进行相关的几 何计算、证明或判断。 何计算、证明或判断。
Ｂ
Q Ｃ
A
PHale Waihona Puke (1).当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为 (1). 顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等 于2cm²； (2). 当点P 、 Q 运动时，阴影部分的形状随 当点P 运动时， 之变化， PQ与 之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为 围成阴影部分面积为 S（cm²），求出S与时间t的函数关系式，并 ） 求出S与时间t的函数关系式， 指出自变量t 指出自变量t的取值范围； （3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分 在运动的过程中， 面积S有最大值吗？若有， 面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若 没有，请说明理由。 没有，请说明理由。
周长是 ( A.2 C.4
∆ ABC 中， ∠ ABC = 120 0
点 P 是底边 AC 上一个动点， M , N 分别是 AB , BC 的中点，若 PM + PN 的最小值为 2，则 ∆ ABC 的
)
M A
B
B. 2+ 3 D. 4+ 2 3 N P C
(3 ).(08呼和浩特 )如图，已知梯形 ()
A C
E
A E D
F B
D B C
类似的试题有： 类似的试题有：
(1)(08荆门 )如图，菱形 ABCD 的两条对角线
分别长 6和8，点 P 是对角线 AC 上的一个 动点，点 M , N 分别是边 AB ， BC 的中点， 则 PM + PN 的最小值是
————
D A M P B N’ C N
(2 )(08 黄石 )如图，在等腰
(1)当时间 为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点 当时间t为何值时 当时间 为何值时， 三点为顶点 的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²； 的三角形的面积（图中的阴影部分）等于 ； 解：（1）S ∆ PCQ
Ｂ
= (3 − t ) • t = 2
1 = (3 − t ) • 2t 2
1 = PC • CQ 2
解：（2） ：（ ） ①当0＜t≤2时 2 3 9 2 s = −t + 3t = −t − + 2 4
②当2＜t≤3时
4 2 18 4 9 39 s = t − +6 = t − + 5 5 5 4 20
2
③当3＜t≤4.5时
3 2 27 42 3 9 15 s = − t + t − = − t − + 5 5 5 5 2 4
，
在解这类题时， 在解这类题时，要充分发挥空间想象的能 往往不要被“ 所迷惑， 力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求 一般与特殊位置关系； 中求“ 一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”， 抓住它运动中的某一瞬间， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间， 通过探索、归纳、猜想， 通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它 量之间的内在联系， 量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 函数模型或不等式模型， 函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学 思想进行解答。 思想进行解答。
Ｂ
②在2＜t≤3时 ＜ 时
12 当t = 3，s有最大值，s2 = 5
Q Ｃ
③在3＜t≤4.5时 ＜ 时
9 当t = ，s有最大值，s3 = 2 4
A 15
P
所以 S有最大值是
15 4
技巧点拨:由几何条件确定函数关系式， 技巧点拨:由几何条件确定函数关系式，关 键在于寻找两个变量的等量关系， 同时， 键在于寻找两个变量的等量关系 ， 同时 ， 确定 自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的 步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形。 步骤 ， 求自变量的取值范围一般采用结合图形 。 直接确定其思维过程为： 直接确定其思维过程为： 最大能“ 最小能“ ①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近 最大能 逼近”哪个点（ ）？最小能 哪个点（ 能否等于这个数？ 哪个点（数）？ 能否等于这个数？ 在变化过程中有无特殊点（ ② 在变化过程中有无特殊点（数） 综合以上两点下结论，另外， ③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动 态问题和分类问题，这是代数几何综合题， 态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是 今后发展的命题趋势。 今后发展的命题趋势。
ABCD ， AD // BC ,
AD = DC = 4 , BC = 8, 点 N 在 BC 上， CN = 2 , E 是 AB 中点，在 AC 上找一点 M ，使 EM + MN 的值最小， 此时其最小值一定等于
A.6 C.4 A E B D M N
B.8 D.10
C
y = ax 2 + bx + c y （4）（北京06中考题）已知抛物线 ）（北京06中考题）已知抛物线 与 3) 0) C 0) 轴交于点A(0， ，与轴分别交于B (1， ， (5， 两点．
（1）点的坐标为（ 1）点的坐标为（ ）（用含 的代数式表示）． ， ）（用含t的代数式表示）． P （2）记 △MPA的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式(0 < t < 4) ） 有最大值， 秒时 S有最大值，最大值是 （3）当t = ） y （4）若点Q 在 y 轴上，当S 有最大值且 ） 轴上， N B C △QAN 为等腰三角形时，求直线AQ 为等腰三角形时， P 的解析式． 的解析式 F
三、动点与坐标几何题相结合
为矩形， 如图，在平面直角坐标系中， 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为矩形，点 0) (4 3) A，B的坐标分别为 (4， ， ， ，动点M，N 分别从点 同时出发，以每秒1个单位的速度运动 个单位的速度运动， O，B 同时出发，以每秒 个单位的速度运动，其中点 运动， 运动， M 沿 OA向终点 A 运动，点 N 沿BC向终点 C 运动， ， 过点 N 作 NP ⊥ BC ，交AC于点 P 连结MP，当两动点 秒时． 运动了 t 秒时．
．
一、动点型
1、动点与最值问题相结合 2、动点与列函数关系式相结合
． ，
3、动点与坐标几何题相结合 4、动点与分类讨论相结合
一、动点与最值问题相结合
0
例1(06河南中考题)如图，在∆ABC中，AC = BC = 2, ∠ACB = 90 , D是边BC的中点，E是边AB上一动点，
则EC + ED的最小值是 _______
2
（3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分面积S 在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有， 有最大值吗 ？ 若有 ， 请求出最大值 ； 若没有 ， 请说 明理由。 明理由。
解：（3）有 ①在0＜t≤2时 ：（ ） ＜ 时
3 9 当t = , s有最大值, s1 = 2 4
．
y
C F O
3) N B (4，
． ．
P M E A(4， 0) x
（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且△QAN为等腰三角形 时，求直线AQ的解析式．
t y 解：由（3）知，当 S有最大值时， = 2，此时 N N 在 BC 的中点处，如下图,设 Q(0，y )
则 AQ 2 = OA2 + OQ 2 = 42 + y 2
Q Ｃ
2
t1 = 1, t 2 = 2 A 解得
P
∴ 当时间 t 为1s 或 2 s 时， S ∆ PCQ = 2 cm
(2).当点 P 、 Q运动时 ， 阴影部分的形状随之变化 ， 设 当点P 运动时，阴影部分的形状随之变化， PQ 与 △ ABC围成阴影部分面积为 S （ cm²） ， 求出 S 与 PQ与 围成阴影部分面积为S 围成阴影部分面积为 ） 求出S 时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； 时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；