2共线向量与共面向量(二)
空间向量的共线与共面问题
么条件？
bC
p
P
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
存在有序实数对x,y使 AP x AB y AC
或对空间任一点O,有 OP xOA yOB zOC (x y z 1)
可证明或判断四点共面
三.类似地,有空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
23 c
B
(D)
2 3
a
+
2 3
b
－
1 2
c
课外补充练习:
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A
(A)若 OP OA t AB ，则P、A、B共线
(B)若 3OP OA AB ，则P是AB的中点
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
向量规．规定定a 平:: oo行与与于任任b一一记向向作量量aaa/是/是b共．共线线向向量量..
2.共线向量定理：空间任意两个向量
a
、b（
b
≠
0
），
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
练习.已知A、B、P三点共线，O为直线外
一点，且OP OA OB，求 的值.
那么 A 、B 、P 三点共线吗?
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
BP
a
O
注:我们把非零 向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
第二课时共线向量与共面向量
问题探究
1．空间一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 P 在 △ ABC 表示的平面内且O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，那 么 x，y，z 满足什么关系？
提示：x＋y＋z＝1.因为O→P＝O→A＋mA→B＋nA→C＝O→A ＋m(O→B－O→A)＋n(O→C－O→A) ＝(1－m－n)O→A＋mO→B＋nO→C. ∴x＋y＋z＝(1－m－n)＋m＋n＝1.
第二课时 共线向量与共面向量
课前自主学习
课标研读 1．了解共线向量、共面向量的概念；掌握共 线向量定理和共面向量定理；会利用共线向 量定理和共面向量定理解决相关问题． 2．重点是共线向量定理、共面向量定理，难 点是共线向量、共面向量的判定．
温故夯基
1．平面向量a与b共线，即存在非零实数λ，使 得___a_＝__λ_b_(b_≠_0_)___． 2．空间向量的加减法仍可根据__三__角__形__法则 和_平__行__四__边__形__法则进行． 3．空间向量的加法交换律为_a_＋__b_＝__b_＋__a_，加 法结合律为_(_a_＋__b_)＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_)_，数乘分配 律为__λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b__.
例2 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点．证明：向量A→1B、B→1C、E→F是 共面向量．
【思路点拨】 解答本题可利用向量共面的充要 条件证明，也可利用向量共面的定义证明．
【证明】 法一：如图①所示． E→F＝E→B＋B→A1＋A→1F＝12B→1B－A→1B＋12A→1D1 ＝12(B→1B＋B→C)－A→1B＝12B→1C－A→1B.
例1 如果点O为平行六面体ABCD—A1B1C1D1 中AC1的中点，求证：B1、O、D三点共线． 【思路点拨】 寻求O→B1与O→D的等式关系． 【证明】 如图所示，连结OB1、OD.
3.1.2共线与共面
OP xOA yOB zOC （其中x+y+z=1）
作 业： 教辅第23页~第26页,活页课时作业十一
教材31页练习:
1. 空间四边形ABCD中,连结AC、BD， M、G分别是BC、CD边的中点,化简：
A
（） AB BC CD AD 1
A1
A2
A3 An
An1
A4
4. 平行六面体： 平行四边形ABCD(包括它的内部)平移向量 a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体.
D1 A1 a A B1 C1 A1 D A B
D1
B1
C1
D
B
C
C
AB AD AA1 AC1
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边 形，每个面的边叫做平行六面体的棱.
于是点 P在平面MAB内，向量p // 平面MAB .
即向量 p 与 a 、 共面 . b
(3)共面向量定理: 如果两个向量a、b 不共线，则向量p与 向量a、b共面的充 要条件是存在实数 对x、y，使 B b p A A'
P
M
a
p = xa + yb.
ห้องสมุดไป่ตู้.O
推论:空间一点P 位于平面MAB内的充分必要条件是存在 有序实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. 即 OP (1 x y )OM xOA yOB （平面MAB的向量表达式）
证明：( 2) EF OF OE
k (OB OA)
k AB
共线向量与共面向量
2.共线向量定理: 2.共线向量定理:对空间任意两个 共线向量定理 向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a = λb
的直线,那么对任一点O, 已知非零向量 a的直线,那么对任一点O, 上的充要条件是存在实数t, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 满足等式OP=OA+t a其中向量叫做直线的 方向向量. 方向向量.
共线向量与共面向量
2004.3.3
一,共线向量: 共线向量: 1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的 共线向量
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a// b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.
2.共面向量定理: 2.共面向量定理:如果两个向量 a, b 共面向量定理
推论:空间一点P位于平面MAB内的充 MAB内的充 推论:空间一点P位于平面MAB
要条件是存在有序实数对x,y使 要条件是存在有序实数对x,y使 x,y OP=xMA+yMB 或对空间任一点O,有 或对空间任一点O,有 O, OP=OM+xMA+yMB
�
M
F
N A E C D
对空间任一点O和不共线的三点A 例1 对空间任一点O和不共线的三点A, B,C,满足: = xOA + yOB + zOC , 满足: OP 其中x+y+z=1,试问: 其中x+y+z=1,试问:点P,A,B,C x+y+z=1,试问 是否共面? x+y+z≠1,则结论是否 是否共面?若x+y+z≠1,则结论是否 依然成立? 依然成立?
空间向量与立体几何：第2讲共线定理、共面定理的应用
共线定理、共面定理的应用【基础知识】(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、y ，使p xa yb =+ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++ .把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP xOA yOB zOC =++ .其中x ＋y ＋z ＝1.【规律技巧】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式1()2OM OA OB =+ ，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)PA PB λ= ；[来源:学科网](2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++= ．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP xMA yMB =+ ；(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++= ；(4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．【典例讲解】【例1】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【变式探究】如图空间两个平行四边形共边AD ，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .【针对训练】1、已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【答案】(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .2、有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA→＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立，③正确，④中若M ，A ，B共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋y MB →不正确．故选B.3、】若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．不共面B ．共面C ．共线D．不共线4、若平面、的法向量分别为，则()A.B.C.、相交但不垂直 D.以上均不正确【答案】A 【练习巩固】1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．解析∵a ，b ，c 共面，且显然a ，b 不共线，∴c ＝x a ＋y b ，＝2x －y ，①＝－x ＋4y ，②＝3x －2y ，③＝337，＝177，代入③得λ＝657.答案6572．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．3．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．4.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .5、如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.6、若(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==- ，如果a 与b 为共线向量，则()A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32。
向量共线与共面的判定
向量共线与共面的判定在数学中，向量是一个具有大小和方向的量，常用于描述物体的运动和位置。
在研究向量的性质和关系时，一个重要的问题是如何确定两个或多个向量是否共线或共面。
本文将介绍判定向量共线与共面的方法。
共线向量的判定两个向量是共线的，意味着它们位于同一条直线上或平行于同一条直线。
判定两个向量是否共线的一种简单方法是比较它们的方向比例。
假设有两个向量a和b，则a和b共线的条件是存在一个实数k，使得a=k*b。
根据这个条件，可以通过比较向量的分量来判定两个向量是否共线。
假设向量a的分量为(a1,a2,a3)，向量b的分量为(b1,b2,b3)，则向量a和b共线的条件可以表示为以下方程组：a1=k*b1a2=k*b2a3=k*b3如果存在一个实数k满足这个方程组，则向量a和b共线；否则，它们不共线。
共面向量的判定三个或三个以上的向量是共面的，意味着它们位于同一个平面上或平行于同一个平面。
判定三个向量是否共面可以使用向量的混合积。
假设有三个向量a、b和c，则a、b和c共面的条件是它们的混合积为零，即(a×b)·c=0。
根据这个条件，可以通过比较向量的分量来判定三个向量是否共面。
假设向量a的分量为(a1,a2,a3)，向量b的分量为(b1,b2,b3)，向量c的分量为(c1,c2,c3)，则向量a、b和c共面的条件可以表示为以下方程：a1*(b2*c3-b3*c2) + a2*(b3*c1-b1*c3) + a3*(b1*c2-b2*c1) = 0如果上述方程成立，则向量a、b和c共面；否则，它们不共面。
综合判定除了使用上述方法判定向量共线与共面外，还可以使用线性方程组或矩阵运算来进行综合判定。
例如，可以将向量的分量构成方程组，并求解该方程组的解。
如果存在解，则向量共线或共面；如果不存在解，则不共线或不共面。
此外，还可以使用矩阵的秩来判定向量的共线性或共面性。
将向量的分量构成矩阵，并对该矩阵进行行变换，然后观察矩阵的秩。
平面向量的共线与共面
平面向量的共线与共面在数学中，平面向量是指具有大小和方向的量，而共线和共面则是用来描述向量之间的关系的。
共线指的是多个向量在同一直线上，共面则意味着多个向量在同一平面上。
平面向量的共线与共面是一种重要的概念，在几何学和物理学中都有广泛的应用。
一、共线向量共线向量是指多个向量位于同一直线上的情况。
为了判断向量是否共线，我们可以通过以下两种方法：方法一：向量的数量积法对于两个向量a和b来说，如果它们共线，那么它们的数量积（又称为点积）的结果为0。
数量积的计算公式如下：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，θ表示向量a和b之间的夹角。
如果两个向量的数量积为0，则它们共线。
方法二：向量的比例法对于两个向量a和b来说，如果它们共线，那么它们之间存在一个实数k，使得a=kb。
也就是说，如果一个向量是另一个向量的k倍，那么它们是共线的。
二、共面向量共面向量是指多个向量位于同一平面上的情况。
为了判断向量是否共面，我们可以通过以下方法：方法一：向量的数量积法对于三个向量a、b和c来说，如果它们共面，那么它们的数量积的结果为0。
数量积的计算公式如下：(a × b)·c = 0其中，×表示向量的叉积运算。
如果三个向量的数量积为0，则它们共面。
方法二：向量的混合积法对于三个向量a、b和c来说，如果它们共面，那么它们的混合积的结果为0。
混合积的计算公式如下：(a × b)·c = 0同样，如果三个向量的混合积为0，则它们共面。
三、应用举例1. 平面几何中的共线与共面在平面几何中，通过判断点是否共线或者判断线段是否相交，我们可以应用共线和共面的概念来求解几何问题。
例如，当我们需要判断三个点A、B和C是否共线时，可以计算向量AB和向量AC，然后判断这两个向量是否共线。
如果它们共线，则说明三个点在同一直线上。
同样地，如果我们需要判断四个点A、B、C和D是否共面，可以计算向量AB、向量AC和向量AD，然后判断它们的混合积是否为0。
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量
[跟踪训练] 1. 已知 E，F，G，H 分别为四面体 ABCD 的棱 AB，BC，CD，DA 的中点， 求证：(1)E，F，G，H 四点共面； (2)BD∥平面 EFGH. 证明：如图，连接 EG，BG.
(1)因为―EG→＝―E→B ＋―B→G ＝―E→B ＋12(―B→C ＋―BD→) ＝―E→B ＋―B→F ＋―E→H ＝―E→F ＋―E→H ， 由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面． (2)因为―EH→＝―A→H －―A→E ＝12―A→D －12―A→B ＝12―B→D ，所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH.
[跟踪训练] 1．已知 A，B，C 三点共线，O 为直线外空间任意一点， 若―O→C ＝m―O→A ＋n―O→B ，则 m＋n＝________． 解析：由于 A，B，C 三点共线，所以存在实数 λ， 使得―A→C ＝λ―A→B ，即―O→C －―O→A ＝λ(―O→B －―O→A )， 所以―O→C ＝(1－λ)―O→A ＋λ―O→B ， 所以 m＝1－λ，n＝λ，所以 m＋n＝1. 答案：1
2．已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M 满足 ―O→ M ＝13―O→A ＋13―O→B ＋13―O→C . (1)判断―M→A ，―M→B ，―M→C 三个向量是否共面； (2)判断 M 是否在平面 ABC 内．
解：(1)∵―O→A ＋―O→B ＋―O→C ＝3―OM→. ∴―O→A －―OM→＝(―O→M －―O→B )＋(―O→M －―O→C )， ∴―M→A ＝―BM→＋―CM→＝－―M→B －―M→C ， ∴向量―M→A ，―M→B ，―M→C 共面． (2)由(1)知，向量―M→A ，―M→B ，―M→C 共面， 而它们有共同的起点 M，且 A，B，C 三点不共线， ∴M，A，B，C 四点共面，即 M 在平面 ABC 内．
共线向量与共面向量
例2、已知平行四边形ABCD，从平面AC外 一点O引向量OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC， OH=KOD。 求证：（1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC。 O
D A H E F C
B
G
练习 .1.如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心。
A
1 求证：AG ( AB AC AD) 3
不共线,则向量P与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对x, y使 P xa yb
推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使
MP=xMA+yMB
或对空间任一点O,有
OP=OM+xMA+yMB
例1.对空间任一点O和不共线的三点A、B、 C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1） OP=xOA+yOB+zOC 的四点P、A、B、C共面。
P B
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
a
A
若P为A,B中点, 则 OP=1/2(OA+OB)
O 空间直线的向量参数表示式
二.共面向量:
向量所在的直线与平面平行或在平面内，叫向量 与平面平行。
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面 向量.
a
O A
a
2.共面向量定理:如果两个向量 a, b
共线向量与共面向量
2004.12.11
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
3.1.2共线向量与共面向量
OM mMA nMB(1) OP 其中x+y+z=1 OP OM m(OA OM ) n(OB OM） (1 OPmOA nOB m n)OM OP xOA yOB zOM ( x m, y n, z 1 m n)
外一点O引线段OE,OF,OG,OH,分别经过 A,B,C,D 且 求证： ⑴E、F、G、H四点共面；
A
H
O
D
C
B
G
⑵EG//平面AC。
E
F
练习
1.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 2.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 C.不共面向量 B.共线向量 D.既不共线又不共面向量
练习3、已知点M在平面ABC内，并且对空间任 意一点O， ,则x的值为
练习4、已知A、B、C三点不共线，对平面外一 点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
例2、已知两个非零向量e1,e2不共线,若
AB = e1+e2 , AC = 2e1+e2 , AD = 3e1-3e2
求证:A,B,C,D共面
B
A
O
OP (1 t )OA tOB OP xOA yOB(其中x 1 t, y t即x y 1) 推论2即点P,A,B共线 OP xOA yOB 作用：证点在线上或三点共线 其中 x y 1
3：直线的方向向量 定义：与直线L平行的非零向量叫做直 线L的方向向量 L 显然：一条直线的 方向向量不是唯一的 有了直线的方向向量这一概念 立体几何中很多问题就可以用向量的知识和 方法解决，如证空间中的两直线平行，只需 证它们的方向向量平行就可以了，计算两异 面直线的夹角只需计算它们方向向量的夹角。
人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-1-2共线向量与共面向量
→→→ ＝OA＋xAB＋yAC.
→→ ＝OA＋tAB
重点难点展示
重点：向量的线性运算，共线向量与共面向量定理． 难点：共线向量和共面向量的理解与运用．
学习要点点拨
1．共线向量 前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在
空间也是成立的，即①a∥b，b≠0，则存在唯一实数 x 使 a＝
xb；②若存在唯一实数 λ，使 a＝λb，则 a∥b. 判定两向量共线的关键是找到实数 λ.运用②证明直线平行
如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1＝ a，A→B＝b，A→D＝c，M、N、P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点， 试用 a、b、c 表示以下各向量：
(1)A→P； (2)A→1N； (3)M→P＋N→C1.
[解析] (1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N ＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b＋12c.
[答案]
2 15
[解析] 由 P 与 A、B、C 三点共面，∴15＋23＋λ＝1，解得 λ＝125.
4．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，若 E 为矩形 ABCD 对 角线交点，则A→1E＝A→1A＋xA→1B1＋yA→1D1中的 x，y 值应为 x＝ ________，y＝________.
→→ 数 t，使OP＝OA＋ta①，其中 a 叫做
直线 l 的_方__向__向__量___，如图所示． 如图，空间一点 P 位于平面 ABC
推论
内的充要条件是存在有序实数对
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一 句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。 礼物
第一章 第2课时 共线向量与共面向量
∴O→P－O→A＝18A→B＋18A→C， ∴A→P＝18A→B＋18A→C，
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确.
D 选项，O→P＝2O→A－O→B－O→C，无法转化成A→P＝xP→B＋yP→C的形式，所以 D 项不正确. 方法二 点 P 与 A，B，C 共面时，对空间任意一点 O，都有O→P＝xO→A＋ yO→B＋zO→C，且 x＋y＋z＝1，可判断出只有选项 B，C 符合要求.
知识梳理
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段
→ OA
所在的直线OA_平__行__于__
平面α 或 在平面α内，那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
定义
平行于同一个 平面 的向量
三个向量共面 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_唯__一__ 的充要条件 的有序实数对(x，y)使 _p_＝__x_a_＋__y_b_A.1BFra bibliotek0C.3
√D.13
解析 ∵O→M＝xO→A＋13O→B＋13O→C，
且M，A，B，C四点共面，
∴x＋13＋13＝1，∴x＝13，故选 D.
1234
4.设 a，b 是空间中两个不共线的向量，已知A→B＝9a＋mb，B→C＝－2a－b， D→C＝a－2b，且 A，B，D 三点共线，则实数 m＝_－__3__.
(2)(链接教材P5例1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的 中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面.
证明 设A→A1＝a，A→B＝b，A→D＝c，则—A1→B ＝b－a， ∵M 为线段 DD1 的中点，∴—A1→M＝c－12a， 又∵AN∶NC＝2，∴A→N＝23A→C＝23(b＋c)， ∴—A1→N ＝A→N－A→A1＝23(b＋c)－a ＝23(b－a)＋23c－12a ＝23—A1→B ＋23—A1→M， ∴—A1→N ，—A1→B ，—A1→M为共面向量.
共线向量和共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量 a,b(bo),a//b的充要条件是存在实
数使 ab
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
rB br
M aA
ur p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
u u u u r u u u u r u u u u r M PxM A yM B
或对空间任一点O,有O u u P u r O u u M u u r x u M u u A u r y u M u u B u r
四点E、F、G、H共面；
D A
C B
D' A'
B'
1.下列命题中正确的有：
u r r ru rrr ( 1 )p x a y b p 与 a 、 b 共 面 ;
u rrr u r r r ( 2 )p 与 a 、 b 共 面 p x a y b ；
u u u u ru u u u ru u u u r ( 3 ) M P x M A y M B P 、 M 、 A 、 B 共 面 ；
，O为空间任意一点，求证：
O uuPur O uuAur O uuBur 1
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
rr 2.共面向量定ur 理:如果r 两r 个向量a , b 不共线,则向量 p与向量 a u共r, b面的充r要 r 条件是存在实数对x, y使 Pxayb
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2共线向量与共面向量（二）
教学目标：
1．理解共面向量的概念，知道向量与平面平行的意义。
2．理解共面向量定理及推论，能运用定理判定向量共面、点共线的问题。
教学重点：共面向量定理及推论
教学难点：共面向量定理及推论的应用
教学过程：
们就说向量a平行于平面α，记作a∥α(图9－49)．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．对空间
任意两个向量，我们知道它们总是共面的．但空间任意三个向量
就不一定是共面向量了，例如，对于空
已知向量a、b不共线．如果向量p与a、b共面，则表示它们的有向线段可位在同一平面内(图9－51)．于是根据平面向量基本定理，一定存在实数对x、y使p=x a＋y b．
由以上分析，我们得到：
共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使
p=x a＋y b．
推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x，y，使
或对空间任一定点O，有
①
可以证明平面MAB内，点P对应的实数对(x，y)是唯一的．①式叫做平面MAB的向量表达式．
例2 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，问满足向量式
的四点P、A、B、C是否共面．
求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC．
证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以
所以E 、F 、G 、H 共面；
EF ∥AB ，EG ∥AC ．所以平面EG ∥平面AC ．
小结：
1 平行与同一平面的向量是共面向量。
2 共线向量定理：满足关系式p=xa+yb 的向量p 、a 、b 共面，反之亦然．
3 由共面向量定理的推论知：OP xOA yOB zOC =++ ，则P 与A 、B 、C 共面的充要
条件是x+y+z=1
作业：。