【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练:选4-1-1相似三角形的判定及有关性质(含答案解析)
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课时作业58 相似三角形的判定及有关性质
1.如图所示,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,DE ∥AC ,EF ⊥BC ,BE EA =32
,BD =6,求FC 的长.
解:由DE ∥AC ,BE EA =32
,BD =6,知DC =4. 又EF ∥AD ,故6-FD FD =32,解得FD =125,故FC =FD +DC =325
. 2.已知△ABC 中,BF ⊥AC 于点F ,CE ⊥AB 于点E ,BF 和CE 相交于点P ,求证:
(1)△BPE ∽△CPF ;
(2)△EFP ∽△BCP.
证明:(1)∵BF ⊥AC 于点F ,CE ⊥AB 于点E ,
∴∠BFC =∠CEB.
又∵∠CPF =∠BPE ,
∴△CPF ∽△BPE.
(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ,∴EP FP =BP CP
. 又∵∠EPF =∠BPC ,∴△EFP ∽△BCP.
3.
如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,DF ⊥AC 于F ,DE ⊥AB 于E ,求证:
(1)AB·AC =BC·AD ;
(2)AD 3=BC·CF·BE.
证明:(1)在Rt △ABC 中,AD ⊥BC ,
∴S △ABC =12AB·AC =12
BC·AD. ∴AB·AC =BC·AD.
(2)Rt △ADB 中,DE ⊥AB ,由射影定理可得
BD 2=BE·AB ,同理CD 2=CF·AC ,
∴BD 2·CD 2=BE·AB·CF·AC.
又在Rt △BAC 中,AD ⊥BC ,∴AD 2=BD·DC ,
∴AD 4=BE·AB·CF·AC ,
又AB·AC =BC·AD.
即AD 3=BC·CF·BE.
4.(2016·南阳模拟)
如图,△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,AE =13AC ,BD =13
AB ,点F 在BC 上,且CF =13
BC. 求证:
(1)EF ⊥BC ;
(2)∠ADE =∠EBC.
证明:设AB =AC =3a ,则AE =BD =a ,CF =2a.
(1)CE CB =2a 32a =23,CF CA =2a 3a =23
. 又∠C 为公共角,故△BAC ∽△EFC ,
由∠BAC =90°,∴∠EFC =90°,∴EF ⊥BC.
(2)由(1)得EF =2a ,故AE EF =a 2a =22,AD FB =2a 22a =22
, ∴AE EF =AD FB
,∵∠DAE =∠BFE =90°, ∴△ADE ∽△FBE ,∴∠ADE =∠EBC.
5.(2016·银川模拟)如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,E 是BD 的中点,AE 的延长线交BC 于F.
(1)求BF FC
的值. (2)若△BEF 的面积为S 1,四边形CDEF 的面积为S 2,求S 1S 2的值.
解:(1)过点D 作DG ∥BC ,并交AF 于G 点,
因为E 是BD 的中点,
所以BE =DE.
又因为∠EBF =∠EDG ,∠BEF =∠DEG ,
所以△BEF ≌△DEG ,则BF =DG ,
所以BF FC =DG FC.
又因为D 是AC 的中点,则DG
FC =12, 则BF FC =12,即BF FC =12
. (2)若△BEF 以BF 为底,△BDC 以BC 为底,
则由(1)知BF
BC =13, 又由BE BD =12可知h 1
h 2=12, 其中h 1,h 2分别为△BEF 和△BDC 的高,
则S △BEF S △BDC =13×12=16
, 则S 1S 2=1 5.
6.如图,在梯形ABCD 中,点E ,F 分别在AB ,CD 上,EF ∥AD ,假设EF 做上下平行移动.
(1)若AE EB =12
,求证:3EF =BC +2AD ; (2)请你探究一般结论,即若AE EB =m n
,那么你可以得到什么结论?
解:过点A 作AH ∥CD 分别交EF ,BC 于点G ,H.
(1)证明:因为AE EB =12
, 所以AE AB =13
. 又EG ∥BH ,所以EG BH =AE AB =13
,即3EG =BH.又EG +GF =EG +AD =EF , 从而EF =13
(BC -HC)+AD , 所以EF =13BC +23
AD ,即3EF =BC +2AD. (2)因为AE EB =m n ,所以AE AB =m n +m
. 又EG ∥BH ,所以EG BH =AE AB ,即EG =m m +n
BH. 所以EF =EG +GF =EG +AD =m m +n
(BC -AD)+AD , 所以EF =
m m +n BC +n m +n AD ,即(m +n)EF =mBC +nAD.。