高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算自我小测

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高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2

变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3，－12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz，则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的直角坐标运算学

3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量的坐标运算．3．会利用向量的坐标关系，判定两个向量共线或垂直．4．会计算向量的长度及两向量的夹角．1．空间向量的坐标表示(1)单位正交基底．建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引________向量i，j，k，这三个互相________的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做________．【做一做1－1】设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，则|e1|＋|e2|＋|e3|＝__________.(2)空间向量的坐标表示．在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在______实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组__________叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝__________.【做一做1－2】向量0的坐标为__________．向量的坐标与点的坐标表示方法不同，如向量a＝(x，y，z)，点A(x，y，z)．2．空间向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则容易得到a＋b＝____________；a－b＝____________；λa＝______________；a·b＝____________.(2)向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．【做一做2】设a＝(1,2,3)，b＝(1,1,1)，则2a＋b＝__________.3．空间向量平行和垂直的条件设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a∥b(b≠0)⇔__________⇔__________，当b1，b2，b3都不为0时，a∥b⇔__________；(2)a⊥b⇔__________⇔__________.【做一做3】设a＝(1,2,3)，b＝(1，－1，x)，a⊥b，则x＝__________.4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝____________，|b|＝____________，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝________________________. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____________.【做一做4】向量a ＝(2，－1，－1)，b ＝(1，－1,0)的夹角余弦值为__________，||a －b ＝__________.(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形式．在坐标形式下的模长公式，夹角公式，向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同，仅仅是形式不同；(2)空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离(长度)，夹角，证明垂直和平行关系等．如何理解空间向量的坐标及其运算？剖析：(1)注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系．向量的坐标是其终点与起点坐标的差量．只有以原点为起点的向量，向量的坐标才等于向量终点的坐标．(2)空间向量的坐标运算和平面向量基本一致，只是多了一个竖坐标． (3)坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算．题型一空间向量的坐标运算【例1】设向量a ＝(3,5,－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，(a ＋b )·(a －b )．分析：利用空间向量的坐标运算先求3a,2b ，a ＋b ，a －b ；再进行相关运算．反思：空间向量的坐标运算首先进行数乘运算然后再进行加减运算，最后进行数量积运算，先算括号内的后算括号外的．题型二空间向量的平行与垂直问题【例2】设向量a ＝(1，x,1－x )，b ＝(1－x 2，－3x ，x ＋1)，求满足下列条件时，实数x 的值．(1)a ∥b ；(2)a ⊥b .分析：解答本题可先由a ∥b ，a ⊥b 分别建立x 的方程，再解方程即可．反思：要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时，要分类讨论．在解答本题时易出现由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3x ＋11－x＝－3⇔x ＝2的错误，导致此错误的原因是忘记了这个结论成立的前提条件是1，x,1－x 都不是0.题型三空间向量的夹角及长度公式的应用【例3】已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1,－1,5)，求以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积．分析：已知三点A ，B ，C 的坐标，先求AB ，AC ，|AB |，|AC |，AB ·AC ，再求cos 〈AB ，AC 〉，sin 〈AB ，AC 〉，从而得到结论．反思：运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路是： ①建立空间坐标系；②求出相关点的坐标和向量坐标； ③结合公式进行计算；④将计算的向量结果转化为几何结论．1．若A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a ＋b 对应的坐标为( )A ．(5,－9,2)B ．(－5,9,－2)C ．(5,9,－2)D ．(5,－9,－2)2．下面各组向量不平行的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，b ＝(－3,0,0) B ．c ＝(0,1,0)，d ＝(1,0,1) C ．e ＝(0,1,－1)，f ＝(0,－1,1) D ．g ＝(1,0,0)，h ＝(0,0,0) 3．(2010·广东高考，理10)已知a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)且(c －a )·2b ＝－2，则x 的值为( )A ．3B ．4C ．2D ．1 4．若A (2,0,1)，B (3,4，－2)，则|AB |＝__________.5．向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1,0,0)，则cos 〈a ，b 〉＝__________. 6．已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n 使n ⊥a 且n ⊥b . 答案：基础知识·梳理1．(1)单位垂直坐标向量【做一做1－1】3(2)唯一 (a 1，a 2，a 3) (a 1，a 2，a 3) 【做一做1－2】(0,0,0)2．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3【做一做2】(3,5,7)3．(1)a ＝λb a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(2)a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 【做一做3】134．a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23 b ·b ＝b 21＋b 22＋b 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12【做一做4】322 典型例题·领悟【例1】解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(9－4,15－2，－12－16)＝(5,13，－28)；a ＋b ＝(3,5，－4)＋(2,1,8)＝(3＋2,5＋1，－4＋8)＝(5,6,4)；a －b ＝(3,5，－4)－(2,1,8)＝(3－2，5－1，－4－8)＝(1,4，－12)，(a ＋b )·(a －b )＝(5,6,4)·(1,4，－12)＝5×1＋6×4＋4×(－12)＝5＋24－48＝－19.【例2】解：(1)①当x ＝0时，a ＝(1,0,1)，b ＝(1,0,1)，a ＝b ，满足a ∥b . ②当x ＝1时，a ＝(1,1,0)，b ＝(0，－3,2)，不满足a ∥b ， ∴x ≠1.③当x ≠0，x ≠1时，由a ∥b ⇔1－x 21＝－3x x ＝x ＋11－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝－3，x ＋11－x＝－3⇔x ＝2.综上所述，当x ＝0，或x ＝2时，a ∥b .(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴(1，x,1－x )·(1－x 2，－3x ，x ＋1)＝0⇔1－x 2－3x 2＋1－x 2＝0，解得x ＝±105. ∴当x ＝±105时，a ⊥b . 【例3】解：∵A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)， ∴AB ＝(－2,1,6)－(0,2,3)＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－1,5)－(0,2,3)＝(1，－3,2)．∴|AB |＝－2＋－2＋32＝14，|AC |＝12＋－2＋22＝14，AB ·AC ＝(－2，－1,3)·(1，－3,2)＝－2＋3＋6＝7.∴cos 〈AB ，AC 〉＝A B →·A C →|AB →||AC →|＝12，∴sin 〈AB ，AC 〉＝32，以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB ，AC 〉＝7 3.随堂练习·巩固1．B a ＝CA →＝(2，－4，－1)－(3，－4,1)＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－1,5,1)－(3，－4,1)＝(－4,9,0)，故a ＋b ＝(－5,9，－2)．2．B A 项中b ＝－3a ，a ∥b ，C 项中f ＝－e ，f ∥e ，D 项中h ＝0， ∴h ∥g .3．C ∵(c －a )·2b ＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝－2， ∴2(1－x )＝－2，x ＝2. 4．26 |AB →|＝－2＋－2＋－2－2＝26.5．12 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | ＝2×1＋0＋022＋－2＋3212＋02＋02＝12. 6．解：设n ＝(x ，y ，z )，则n ·a ＝(x ，y ，z )·(－2,2，0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z )·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－2x ＋2z ＝0，可得y ＝x ，z ＝x .于是向量n ＝(x ，x ，x )＝x (1,1,1)，x ∈R .。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算课件

2．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则D→1B等于( ) A．a＋b＋c B．a＋b－c C．a－b－c D．－a＋b＋c 解析：选 C．画图可得D→1B＝A→B－A→D1＝A→B－(A→A1＋A→1D1)＝A→B －(A→A1＋A→D)＝a－b－c.
1．对空间向量加减运算的认识减法运算是加法运算的逆运算，可以在理解相反向量的基础上，结合向量的加法运算掌握减法运算，并会利用三角形作出减向量． 2．关于空间向量加法的运算需注意的几点 (1)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向最后向量的终点的向量． (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍然成立．
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点： ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
(2)如图所示，在以长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2，AA1＝1 的长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，
①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量．
【解】 (1)①正确；②正确，因为A→A1与C→1C的大小相等方向相反，即为互为相反向量，所以A→A1＝－C→1C；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝A→C. 综上可知，正确命题为①②.故填①②.
3．利用向量证明几何问题的常用方法 (1)正确分析被证向量式与题目中的特殊点、特殊线段之间的关系； (2)正确运用三角形法则与平行四边形法则，用要证明的某一向量构建三角形或平行四边形； (3)掌握常用向量变换技巧．

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算

5．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所
位置
在的直线的位置关系：
定关系
_____互_相__平_行__或_重__合____ 义
平行于同一个__平__面____的向量
特征方向___相_同__或_相__反_____
特例零向量与__任__意_向__量_____共线
• (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．
• (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
• 本章重点
• 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量单位向量
___任__意___ 任意
相反向量
____相_反___
相等向量
相同
模 ___0___ ___1___
相等
___相_等____
记法 ___0___
a 的相反向量：___－__a__ A→B的相反向量：_B_→_A___ a＝b
3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法：O→B＝__O_→_A_＋__A→_B____＝a＋b． (2)减法：C→A＝___O→_A_－__O_→_C_＝a－b． (3)加法运算律：
• 1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？

高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-1空间向量基本定理北师

BD的中点分别为E，F，则EF＝________．
答案：3a＋3b－5c
解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则
1
1
1
1
1
EF＝GF − GE＝ CD − BA＝ CD + AB＝ (5a＋6b－
2
2
1
8c)＋ (a－2c)＝3a＋3b－5c.
2
2
2
2
易错辨析对基理解不清致误
例3 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点．若
的值分别是(
)
1
1
1
1
1
1
A．x＝，y＝，z＝ B．z＝，y＝，z＝
3
3
3
1
1
1
C．x＝，y＝，z＝
3
6
3
答案：D
3
3
6
1
1
1
D．x＝，y＝，z＝
6
3
3
(2)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设AB＝a，AD＝b，AA′ ＝c，P是
CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且
A1 B1 ＝a，A1 D1 ＝b，A1 ＝c，试用基{a，b，c}表示向量C1 ．
解析：如图，连接A1M，A1C1 ，则C1 ＝A1 －
1
A1 C1 ＝A1 ＋AM－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1 ＋ (A1 B1
1
＋A1 D1 )－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1A－
2
1
1
b构成基的向量是(
)
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算a21

①( AB + BC )+ CC1 ;②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 ;③( AB + BB1 )+ B1C1 ;④ ( AA1 + A1B1 )+ B1C1 .
解析:(2)①( AB + BC )+ CC1 = AC + CC1 = AC1 ; ②( AA1 + A1D1 )+ D1C1 = AD1 + D1C1 = AC1 ; ③( AB + BB1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 ; ④( AA1 + A1B1 )+ B1C1 = AB1 + B1C1 = AC1 .
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算
课标要求:1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.3.理解空间共线向量和共面向量定理及推论.
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1.空间向量及其长度的定义与平面向量一样,在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,
解析:容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.故
选D.
2.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是
(D)
(A)a=b
(B)a+b为实数0
(C)a与b方向相同
(D)|a|=3
3.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是( C )
(A) OM =3 OA -2 OB - OC (B) OM + OA + OB + OC =0

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

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规律与方法
1.一些特殊向量特征 (1)零向量不是没有方向，而是它方向是任意. (2)单位向量方向即使不一定相同，但它们长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不但模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.
|a|.或|A→B|
第6页
(2)几类特殊空间向量
名称
定义及表示
零向量 • 起点与终点重合向量叫做
，零记向为量0
单位向量 • 相反向量 •
相等向量 •
向量称为模单为位1向量
与－向a 量a长相度等
而相方反向
向量，称为a相反向量，记为
方相向同且相模等向量称为相等向量，同向等且长有向线
段表示同一向量或相等向量
②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1；
④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1.
1 2 3 4第39页5
5.化简 2A→B＋2B→C＋3C→D＋3D→A＋A→C＝__0__. 答案解析 2A→B＋2B→C＋3C→D＋3D→A＋A→C ＝2A→B＋2B→C＋2C→D＋2D→A＋C→D＋D→A＋A→C＝0.
O→B＋B→C＋C→D＋D→E＋E→F＋F→G＋G→H＋H→O＝0.
第26页
(3)空间向量减法运算也能够看成是向量加法运算，即a－b＝a＋(－b). (4)因为空间任意两个向量都能够平移到同一平面内，成为同一个平面内两个向量，而平面向量满足加法交换律，所以空间向量也满足加法交换律. (5) 空间向量加法结合律证实：如图，

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算讲义

3．1.1 空间向量及其加减运算1．空间向量 (1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模． (3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090. ②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：□11与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为□12－a . ④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝□16a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝□17a －b . (2)加法运算律①交换律：a ＋b ＝□18b ＋a ； ②结合律：(a ＋b )＋c ＝□19a ＋(b ＋c )．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量的表达式：①AA 1→－CB →＝________. ②AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝________. ③12AD →＋12AB →－12A 1A →＝________.(4)(教材改编P 86T 3)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.答案 (1)球面 (2)BD 1→ (3)①AD 1→②AD 1→③12AC 1→(4)12AB →＋12AD →＋12AA 1→解析 (4)MN →＝MB →＋BC →＋→＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD→＋12AA 1→.探究1 空间向量的概念例1 给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模长也相等，应有AC →＝A 1C 1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等． ⑤真命题．根据零向量的定义可知． [答案] A 拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】 (1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA →与向量AB →的长度相等．其中正确命题的序号为________．答案 ④解析 ①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA →≠AB →但|BA →|＝|AB →|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①错误，若|a |＝0，则a ＝0；②正确．③正确．探究2 空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [解析]①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式的运算结果不为向量BD 1→.故选A. [答案] A[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC 1→的有哪些？ ①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→. 解 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. 故①②③④式运算结果都是向量AC 1→. 拓展提升、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 答案 A解析 EF →＋GH →＋PQ →＝AF →－AE →＋CH →－CG →＋D 1Q →－D 1P →＝0.探究3 空间向量证明题例3 在如图所示的平行六面体中．求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)，又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→. 拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】借助平行六面体，证明：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．证明作平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′使AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，如图，则：(a ＋b )＋c ＝(AB →＋AD →)＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，a ＋(b ＋c )＝AB →＋(AD →＋AA ′→)＝AB →＋(BC →＋CC ′→)＝AB →＋BC ′→＝AC ′→，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. ，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB →－AD →，误写成BD →，应为DB →.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝b B ．a ＋b 为实数0 C ．a 与b 方向相同 D ．|a |＝3 答案 D解析因为a ，b 互为相反向量，所以a ＝－b ，a ＋b ＝0，a 与 b 方向相反，|a |＝|b |＝3.2．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC → 答案 B解析 AB →－DC →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 B解析 ∵AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →，∴线段AB ，DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 是平行四边形．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的序号为________． ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．答案 ①③④解析下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，B 1C 1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA →＋OD →＝2OE →，OB 1→＋OC 1→＝2OF →，又OE →＝－OF →，所以命题①正确．由于OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，所以OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的．同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解 (1)由于AA 1＝1，所以AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)为A 1B 1→，DC →，D 1C 1→. (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.。

高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案(

3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当b ＝0，a ≠0时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况．6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ，又∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →∴OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →) ∴AP →＝yAB →＋zAC →， ∴点P 与点A ，B ，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． 5．向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．类型一空间向量的数乘运算【例1】设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，试用向量OA →，OB →，OD →表示AE →.【分析】将向量AE →分解成OA →，OB →，OD →的线性组合的形式．【解】由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE 中，有：AE →＝AD →＋DO →＋OE →， ①在△AOD 中，AD →＝OD →－OA →. ②在△BOC 中，OC →＝BC →－BO →，∵AD →＝BC →，∴OC →＝AD →＋OB →＝OD →－OA →＋OB →. 又∵OE →＝12OC →，∴OE →＝12(OD →－OA →＋OB →)＝－12OA →＋12OB →＋12OD →. ③又DO →＝－OD →， ④ 将②、③、④代入①可得： AE →＝(OD →－OA →)－OD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OB →＋12OD →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，∴AE →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b, AA ′→＝c ，E 和F分别是AD ′和BD 的中点，用向量a ，b ，c 表示D ′B →，EF →.解：D ′B →＝D ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′B →＝－b ＋a －c .EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12D ′A →＋a ＋12BD →＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12(a －c )．类型二空间向量的共线问题【例2】如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．【解】因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．类型三空间向量的共面问题【例3】已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH .证明：如下图，连接EG ，BG .(1)因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .1．下列命题中正确的是( C )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( A ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定解析：a ＋b 与a －b 不共线，则它们共面．3．设O ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A 、B 、C 共面，则λ＝2.解析：M 与A 、B 、C 共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.5．如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。

高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线

第3章空间向量与立体几何
第3章空间向量与立体几何
3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其线性运算
第3章空间向量与立体几何
学习导航
学习目标
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(难点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点)
学法指导
结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算．通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想.
(2)三角形法则，即：在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A ＝a－b(如图)．
3.运算律 (1)加法交换律：__a_＋__b_＝__b_＋__a______； (2)加法结合律：__(a_＋__b_)_＋__c_＝__a_＋__(_b_＋__c_) __； (3)数乘分配律：___λ_(a_＋__b_)_＝__λ_a_＋__λ_b_(λ_∈__R__) ________． 4.共线向量定理 (1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行、
ABEF 都是平行四边形，
空间向量的加减与数乘运算
如图，设 A 是△BCD 所在平面外一点，G 是△BCD 的重心，求证：A→G＝13(A→B＋A→C＋A→D)． (链接教材 P73 例 2)
[证明] 连结 BG，延长后交 CD 于 E，由 G 为△BCD 的重心，知B→G＝23B→E； ∵E 为 CD 的中点， ∴B→E＝12B→C＋12B→D. ∴A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→C＋B→D) ＝A→B＋13[(A→C－A→B)＋(A→D－A→B)]
③若两个非零向量
→ AB
与
→ CD

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算课件新人教A版选修

表示
字母表法
示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
特殊向量
理解特殊向量应注意的几个问题 (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0| ＝0，单位向量e的模|e|＝1. (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式． (4)两个向量不能比较大小．
第三章空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
自主学习新知突破
1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．
2．掌握空间向量的加法、减法运算法则及其表示． 3．理解并掌握空间向量的加、减法的运算律．
李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处，在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移呢？
D．4个
解析：共四个：AB，A1B1，CD，C1D1. 答案： D
3．两向量共线是两向量相等的________条件．解析：两向量共线就是两向量同向或反向，包含相等的情况．答案：必要不充分
4．已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，化简下列表达式：
(1)A→B＋BB→′－D→A′＋D′ →D－B→C； (2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′. 解析：根据平行六面体的性质． (1)原式＝A→B＋A′→D′＋D′ →D＋C→B＝A→B＋A′→D＋C→B ＝D→C＋D→A＋A′→D＝D→B＋A′→D＝A→′B； (2)原式＝CC→′＋A′→D＝AA→′＋A′→D＝A→D.

高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理讲义苏教版选修2_1

3.1.1 空间向量及其线性运算3.1.2 共面向量定理1．空间向量及其线性运算(1)空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．(2)空间向量的线性运算(1)共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．(2)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 3．共面向量(1)能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －cC [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c .] 2．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA ＋MB ＋MC ＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 四点共面．]3．在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF→＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]4．如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是________(填序号)．①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→.①② [①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD →＋BB 1→＋AA 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→.]【例1】 ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；。

高中数学3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算1数学

3．1.1 空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]空间向量的概念春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.空间向量的线性运算问题1提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝＋AB＝a＋b，BA＝－＝a－b，OC＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).共线向量及共线向量定理问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49]空间向量及有关概念[例(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案] (1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算b21b高二21数学

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典例透析
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1.“两个向量共线(ɡònɡ xiàn)”是“两个向量相等”的
答案:必要不充分
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第十五页，共二十页。
2
3
条件.
4
典例透析
1
2
3
4
2.已知 M,N 分别是四面体 ABCD 的棱 AB,CD 的中点,则 =
________( + ).
剖析:(1)空间向量的概念及表示与平面向量一样.
(2)零向量的方向是任意的,而不是零向量没有方向.
(3)向量只是用有向线段来表示,但向量不是有向线段.
(4)共线向量或平行向量,其基线平行或重合均可.共线向量的起点和终点未
必共线,平行向量的基线未必平行(可能重合),应特别注意零向量与任意向
量共线.
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3.1.1
空间(kōngjiān)向量的线性运算
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目标导航
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.
2.会用图形说明空间向量加法(jiāfǎ)、减法、数乘向量及它们的运算律.
3.能运用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何中的问题.
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知识梳理
1.空间(kōngjiān)向量的概念
(1)向量:在空间中,具有大小和方向的量.
(2)相等的向量(同一向量):同向且等长的有向线段表示的向量.
→
(3)零向量:起点与终点重合的向量.(手写记作 0 )
(4)向量a的长度或模:表示向量a的有向线段的长度,记作|a|.

2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.13.1.1空间向量及其线性运算3.1.2

[解析] ①③④正确，②不正确． [答案] 3
空间向量的线性运算
→ → → → ( AB CD ) ( AC 化简：－－－BD)．
[精彩点拨] 法运算．
根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减
[自主解答]
法一：将减法转化为加法进行化简．
→ → → → ∵AB－CD＝AB＋DC， → → → → → → → → ∴(AB－CD)－(AC－BD)＝AB＋DC－AC＋BD → → → → → → → → ＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA → → ＝AD＋DA＝0.
y－x ＝－1， 2 2 x y ∴2＋2＝0， x y －＝1， 2 2 → → → ∴BD＝EG－HF.
x＝1，解得 y＝－1.
→ → → ∴BD，EG，HF是共面向量， ∵BD 不在平面 EFGH 内． ∴BD∥平面 EFGH.
[名师指津] → 1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在实数对 x，y，使MP＝ → → xMA＋yMB.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下， → → → 可以用“若存在有序实数组(x， y， z)使得对于空间任意一点 O，有OP＝xOA＋yOB → ＋zOC，且 x＋y＋z＝1 成立，则 P，A，B，C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
→ → → 假设存在 x，y，使BD＝xEG＋yHF. 即 c－a
1 1 1 1 1 1 ＝x－2a＋2b＋2c＋y2a＋2b－2c y x x y x y ＝2－2a＋2＋2b＋2－2c.