高三数学2.1直线的一般式方程教案 苏教版必修2

直线的一般式方程

教学目标

（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为0）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；

②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线．

（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．

教学重点

各种形式之间的互相转化．

教学难点

理解直线方程的一般式的含义．

教学过程

一、问题情境

1．复习：直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程．

2．问题：

（1）点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于,x y 的什么方程（二元一次方程）？

（2）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用关于,x y 的二元一次方程表示吗？

（3）关于,x y 的二元一次方程是否一定表示一条直线？

二、建构数学

1．一般式

（1）直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程：

在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在90α≠和90α=两种情况下，直线方程可分别写成y kx b =+及1x x =这两种形式，它们又都可变形为0=++C By Ax 的形式，且,A B 不同时为0，即直线的方程都是关于,x y 的二元一次方程．

（2）关于,x y 的二元一次方程的图形是直线：

因为关于,x y 的二元一次方程的一般形式为0=++C By Ax ，其中,A B 不同时为0．在0B ≠和0B =两种情况下，一次方程可分别化成B C x B A y --=和A

C x -=，它们分别是直线的斜截式方程和与y 轴平行或重合的直线方程，即每一个二元一次方程的图形都是直线． 这样我们就建立了直线与关于,x y 二元一次方程之间的对应关系．我们把0=++C By Ax （其中,A B 不同时为0）叫做直线方程的一般式．

一般地，需将所求的直线方程化为一般式．

三、数学运用

1．例题：

例1．已知直线过点(6,4)A -，斜率为43-

，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．

解：经过点(6,4)A -且斜率43-的直线方程的点斜式44(6)3

y x +=--， 化成一般式，得：43120x y +-=，化成截距式，得：134

x y +=． 例2．求直线:35150l x y +-=的斜率及x 轴， y 轴上的截距，并作图．

解：直线:35150l x y +-=的方程可写成335y x =-

+， ∴直线l 的斜率35

k =-；y 轴上的截距为3； 当0y =时，5x =，∴ x 轴上的截距为5．

例3．设直线22:(23)(21)260(1)l m m x m m y m m --++--+=≠-，根据下列条件分别确定m 的值：（1）直线l 在 x 轴上的截距为3-；（2）直线l 的斜率为1．

解：（1）令0y =得 22623m x m m -=--，由题知，226323m m m -=---，解得3

5-=m ． （2）∵直线l 的斜率为222321m m k m m --=-+-，∴2223121

m m m m ---=+-，解得43m =． 例4．求斜率为

34

，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程． 解：设直线方程为34y x b =+，令0y =，得43

x b =-， ∴14|()|623b b ⋅-=，∴3b =±， 所以，所求直线方程为34120x y --=或34120x y -+=．

例5．直线l 过点(6,3)P -，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距相等，求直线l 的方程． 分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截

距式，应用点斜式来解．

解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线l 的方程为

1x y b b +=， ∵直线l 过点(6,3)P -，∴631b b

-+=，∴3b =-， 35

∴直线l 的方程为30x y ++=．

（2）当截距为零时，则直线l 过原点，设其方程为y kx =，

将6,3x y =-=代入上式，得36k =-，所以21-

=k ， ∴直线l 的方程为12

y x =-，即20x y +=， 综合（1）（2）得，所求直线l 的方程为30x y ++=或20x y +=．

2．练习：课本第79页练习第1、2、4题．

四、回顾小结：

1．什么是直线的一般式？直线方程的各种形式之间的如何互相转化？

五、课外作业：

课本第79练习页第3题、第80页第10题、第117页第3、4、5、6题．